Формули та властивості прямокутника. Геометричні фігури

Прямокутник- Це чотирикутник, у якого кожен кут є прямим.

Доведення

Властивість пояснюється дією ознаки 3 паралелограма (тобто \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Протилежні сторони рівні.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Протилежні сторони паралельні.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Прилеглі сторони перпендикулярні одна одній.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. Діагоналі прямокутника рівні.

AC = BD

Доведення

Згідно властивості 1прямокутник є паралелограмом, отже AB = CD .

Отже, \triangle ABD = \triangle DCA за двома катетами (AB = CD та AD - спільний).

Якщо обидві фігури — ABC і DCA тотожні, їх гіпотенузи BD і AC теж тотожні.

Значить AC = BD .

Тільки у прямокутника з усіх постатей (тільки з паралелограмів!) Дорівнюють діагоналі.

Доведемо й це.

ABCD — паралелограм Rightarrow AB = CD , AC = BD за умовою. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCAвже з трьох сторін.

Виходить, що \angle A = \angle D (як кути паралелограма). І \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Виводимо, що \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Усі вони по 90^(\circ). У сумі - 360 ^ (\ circ).

Доведено!

6. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів двох прилеглих його сторін.

Ця властивість справедлива через теорему Піфагора.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Діагональ ділить прямокутник на два однакові прямокутні трикутники.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Точка перетину діагоналей ділить їх навпіл.

AO = BO = CO = DO

9. Точка перетину діагоналей є центром прямокутника та описаного кола.

10. Сума всіх кутів дорівнює 360 градусів.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Усі кути прямокутника прямі.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Діаметр описаного біля прямокутника кола дорівнює діагоналі прямокутника.

13. Навколо прямокутника завжди можна описати коло.

Ця властивість справедлива через те, що сума протилежних кутів прямокутника дорівнює 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Прямокутник може містити вписане коло і лише одну, якщо він має однакові довжини сторін (є квадратом).

– це паралелограм, у якого всі кути дорівнюють 90°, а протилежні сторони попарно паралельні та рівні.

У прямокутника є кілька незаперечних властивостей, що застосовуються у розв'язанні безлічі завдань, у формулах площі прямокутника та його периметра. Ось вони:

Довжина невідомої сторони або діагоналі прямокутника обчислюється по або з теореми Піфагора. Площу прямокутника можна знайти двома способами – за добутком його сторін або за формулою площі прямокутника через діагональ. Перша та найпростіша формула виглядає так:

Приклад розрахунку площі прямокутника за формулою дуже простий. Знаючи дві сторони, наприклад a = 3 см, b = 5 см, ми легко вирахуємо площу прямокутника:
Отримуємо, що в такому прямокутнику площа дорівнюватиме 15 кв. див.

Площа прямокутника через діагоналі

Іноді потрібно застосувати формулу прямокутника через діагоналі. Для неї потрібно не тільки дізнатися довжину діагоналей, а й кут між ними:

Розглянемо приклад розрахунку площі прямокутника через діагоналі. Нехай даний прямокутник з діагоналлю d = 6 см і кутом = 30°. Підставляємо дані у вже відому формулу:

Отже, приклад розрахунку площі прямокутника через діагональ показав нам, що знайти площу таким чином, якщо задано кут, досить просто.
Розглянемо ще одне цікаве завдання, яке допоможе нам трохи розім'яти мізки.

Завдання:Дано квадрат. Його площа дорівнює 36 кв. см. Знайдіть периметр прямокутника, у якого довжина однієї зі сторін дорівнює 9 см, а площа така сама, як у заданого вище квадрата.
Отже, ми маємо кілька умов. Для наочності запишемо їх, щоб побачити всі відомі та невідомі параметри:
Сторони фігури попарно паралельні та рівні. Тому периметр фігури дорівнює подвоєній сумі довжин сторін:
З формули площі прямокутника, що дорівнює добутку двох сторін фігури, знайдемо довжину сторони b
Звідси:
Підставляємо відомі дані і знаходимо довжину сторони b:
Розраховуємо периметр фігури:
Ось так, знаючи кілька легких формул, можна обчислити периметр прямокутника, знаючи його площу.

Визначення.

Прямокутник- це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони рівні і всі чотири кути однакові.

Прямокутники відрізняються між собою лише ставленням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.

Довгу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротку - шириною прямокутника.

Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

Основні властивості прямокутника

Прямокутником може бути паралелограм, квадрат чи ромб.

1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:

AB = CD, BC = AD

2. Протилежні сторони прямокутника паралельні:

3. Прилеглі сторони прямокутника завжди перпендикулярні:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Усі чотири кути прямокутника прямі:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Діагоналі прямокутника мають однакову довжину:

7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів сторін:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Кожна діагональ прямокутника поділяє прямокутник на дві однакові фігури, а саме прямокутні трикутники.

9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:

		AO = BO = CO = DO =	d
			2

10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника і також є центром описаного кола

11. Діагональ прямокутника є діаметром описаного кола

12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. У прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, тому що суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можна лише у окремий випадок прямокутника - квадрат).

Сторони прямокутника

Визначення.

Довжиною прямокутниканазивають довжину довшої пари його сторін. Шириною прямокутниканазивають довжину коротшої пари його сторін.

Формули визначення довжин сторін прямокутника

1. Формула сторони прямокутника (довжини та ширини прямокутника) через діагональ та іншу сторону:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Формула сторони прямокутника (довжини та ширини прямокутника) через площу та іншу сторону:

b = d cos	β
	2

Діагональ прямокутника

Визначення.

Діагоналлю прямокутниканазивається будь-який відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів прямокутника.

Формули визначення довжини діагоналі прямокутника

1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):

d = √ a 2 + b 2

2. Формула діагоналі прямокутника через площу та будь-яку сторону:

4. Формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:

d = 2R

5. Формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:

d = D про

6. Формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, та довжину сторони протилежної цьому куту:

8. Формула діагоналі прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника

d = √2S: sin β

Периметр прямокутника

Визначення.

Периметр прямокутниканазивається сума довжин усіх сторін прямокутника.

Формули визначення довжини периметру прямокутника

1. Формула периметра прямокутника через дві сторони прямокутника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Формула периметру прямокутника через площу та будь-яку сторону:

P =	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Формула периметру прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Площа прямокутника

Визначення.

Площею прямокутниканазивається простір обмежений сторонами прямокутника, тобто у межах периметра прямокутника.

Формули визначення площі прямокутника

1. Формула площі прямокутника через дві сторони:

S = a · b

2. Формула площі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:

5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2

Коло описане навколо прямокутника

Визначення.

Колом описаного навколо прямокутниканазивається коло проходить через чотири вершини прямокутника, центр якого лежить на перетині діагоналей прямокутника.

Формули визначення радіуса кола описаного навколо прямокутника

1. Формула радіуса кола описаного навколо прямокутника через дві сторони:

4. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через діагональ квадрата:

5. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через діаметр кола (описаного):

6. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через синус кута, що прилягає до діагоналі, і довжину сторони протилежної цьому куту:

7. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через косинус кута, що прилягає до діагоналі, та довжину сторони у цього кута:

8. Формула радіуса кола, яка описана біля прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника:

Кут між стороною та діагоналлю прямокутника.

Формули для визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника:

1. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через діагональ та сторону:

2. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через кут між діагоналями:

Кут між діагоналями прямокутника.

Формули визначення кута між діагоналей прямокутника:

1. Формула визначення кута між діагоналей прямокутника через кут між стороною та діагоналлю:

β = 2α

2. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через площу та діагональ.

Вміст:

Діагональ - це відрізок, який з'єднує дві протилежні вершини прямокутника. У прямокутнику дві рівні діагоналі. Якщо відомі сторони прямокутника, діагональ можна знайти за теоремою Піфагора, тому що діагональ ділить прямокутник на два прямокутні трикутники. Якщо сторони не дано, але відомі інші величини, наприклад, площа і периметр або відношення сторін, можна знайти сторони прямокутника, а потім теорему Піфагора обчислити діагональ.

Кроки

1 З боків

1. 1 Запишіть теорему Піфагора.Формула: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 У формулу підставте значення сторін.Вони дано завдання або їх потрібно виміряти. Значення сторін підставляються замість a 3
   • У нашому прикладі:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 По площі та периметру

     1. 1 Формула: S = l w (На малюнку замість S використано позначення А.)
     2. 2 Це значення підставляється замість S 3 Перепишіть формулу так, щоб відокремити w 4 Запишіть формулу для обчислення периметра прямокутника.Формула: P = 2 (w + l)
     3. 5 У формулу підставте значення периметра прямокутника.Це значення підставляється замість P 6 Розділіть обидві сторони рівняння на 2.Ви отримаєте суму сторін прямокутника, а саме w + l 7 У формулу підставте вираз для обчислення w 8 Позбудьтеся дробу.Для цього обидві частини рівняння помножте на l 9 Прирівняйте рівняння до 0.Для цього з обох сторін рівняння відніміть член зі змінною першого порядку.
        • У нашому прикладі:
          12 l = 35 + l 2 10 Упорядкуйте члени рівняння.Першим членом буде член із змінною другого порядку, потім член із змінною першого порядку, а потім вільний член. При цьому не забудьте про знаки (плюс і мінус), які стоять перед членами. Зауважте, що рівняння запишеться у вигляді квадратного рівняння.
          • У нашому прикладі 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • У прикладі рівняння 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Знайдіть l 13 Запишіть теорему Піфагора.Формула: a 2 + b 2 = c 2
              • Скористайтеся теоремою Піфагора, тому що кожна діагональ прямокутника ділить його на два рівні прямокутні трикутники. Причому сторони прямокутника – це катети трикутника, а діагональ прямокутника – гіпотенуза трикутника.
            • 14 Ці значення підставляються замість a 15 Довжину та ширину зведіть у квадрат, а потім складіть отримані результати.Пам'ятайте, що при зведенні числа квадрат воно множиться на себе.
              • У нашому прикладі:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Вийміть квадратний корінь з обох сторін рівняння.Скористайтеся калькулятором, щоб швидко витягти квадратний корінь. Також можна скористатися онлайн-калькулятором. Ви знайдете c

                3 За площею та відношенню сторін

                1. 1 Запишіть рівняння, що характеризує відношення сторін.Відокремте l 2 Запишіть формулу для обчислення площі прямокутника.Формула: S = l w (На малюнку замість S використано позначення A.)
                   • Цей метод можна застосувати і в тому випадку, коли відомо значення периметра прямокутника, але тоді потрібно користуватися формулою для обчислення периметра, а не площі. Формула для обчислення периметра прямокутника: P = 2 (w + l)
                2. 3 У формулу підставте значення площі прямокутника.Це значення підставляється замість S 4 У формулу підставте вираз, що характеризує відношення сторін.У разі прямокутника можна підставити вираз для обчислення l 5 Запишіть квадратне рівняння.Для цього розкрийте дужки та прирівняйте рівняння до нуля.
                   • У нашому прикладі:
                     35 = w (w + 2) 6 Розкладіть квадратне рівняння на множники.Щоб отримати докладніші інструкції, прочитайте.
                     • У прикладі рівняння 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Знайдіть w 8 Підставте знайдене значення ширини (або довжини) рівняння, що характеризує відношення сторін.Так можна знайти іншу сторону прямокутника.
                       • Наприклад, якщо ви обчислили, що ширина прямокутника дорівнює 5 см, а відношення сторін визначається рівнянням l = w + 2 9 Запишіть теорему Піфагора.Формула: a 2 + b 2 = c 2
                         • Скористайтеся теоремою Піфагора, тому що кожна діагональ прямокутника ділить його на два рівні прямокутні трикутники. Причому сторони прямокутника – це катети трикутника, а діагональ прямокутника – гіпотенуза трикутника.
                       • 10 У формулу підставте значення довжини та ширини.Ці значення підставляються замість a 11 Довжину та ширину зведіть у квадрат, а потім складіть отримані результати.Пам'ятайте, що при зведенні числа квадрат воно множиться на себе.
                         • У нашому прикладі:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Вийміть квадратний корінь з обох сторін рівняння.Скористайтеся калькулятором, щоб швидко витягти квадратний корінь. Також можна скористатися онлайн-калькулятором. Ви знайдете c (displaystyle c), тобто гіпотенузу трикутника, отже і діагональ прямокутника.
                           • У нашому прикладі:
                             74 = c 2 (displaystyle 74=c^(2))
                             74 = c 2 (displaystyle (sqrt (74)) = (sqrt (c ^ (2)))))
                             8 , 6024 = c (displaystyle 8,6024 = c)
                             Таким чином, діагональ прямокутника, у якого довжина на 2 см більша за ширину і площа якого дорівнює 35 см 2 приблизно дорівнює 8,6 см.