Принцип Даламбер для матеріальної точки. Форма запису рівняння руху відповідно до законів Ньютона перестав бути єдиною. Ці рівняння може бути записані та інших формах. Одну з таких можливостей представляє принцип Даламбера, який формально дозволяє диференціальним рівнянням руху надати вигляду рівнянь рівноваги.

Цей принцип можна як самостійну аксіому, яка замінює другий закон Ньютона. Використовуємо його як вирішення завдань і виведемо його із закону Ньютона.

Розглянемо рух матеріальної точки щодо інерційної системи відліку. Для вільної матеріальної точки

маємо: та = = Я.

Переносячи вектор тау праву частину рівності, це співвідношення можна як рівняння рівноваги: Я та - 0.

Введемо поняття сили інерції.Назвемо вектор, спрямований протилежно до прискорення і рівний добутку маси точки на її прискорення силою інерції матеріальної точки: = -та.

Використовуючи це поняття, можемо записати (рис. 3.42):

• ? ^ + Р" п) = 0. (3.47)

Мал. 3.42.

для матеріальної точки

Рівняння (3.47) і принцип Даламбера для вільної матеріальної точки: якщо до прикладених до точки сил додати силу інерції, то точка перебуватиме у стані рівноваги.

Строго кажучи, висловлене становище не є принципом Даламбера у тій формі, в якій він був сформульований автором.

Даламбер розглядав невільний рух точки, не використовуючи принцип звільнення від зв'язків, не вводячи реакцію зв'язку. Зазначаючи, що за наявності зв'язку прискорення точки не збігається у напрямку з силою та та Ф Р,він увів поняття втраченої сили Р - таі висловив твердження, що додаток до точки втраченої сили не порушує стан рівноваги, оскільки втрачена сила врівноважується реакцією зв'язку.

Співвідношення (3.47) є основне рівняння кінетостатики,мул і рівняння Петербурзького принципу Германа-Ейлер.Метод кінетостатики можна як видозміна запису принципу Даламбера, зокрема й у вільної матеріальної точки, зручніше для практичного використання. Тож у більшості літературних джерел рівняння (3.47) називають принципом Даламбера.

Якщо точка невільна, тобто. на неї накладено зв'язок, то зручно розділити сили, що діють на точку, на активні 1 , Р°(задава-

ні) та реакцію зв'язку УУ: р(а) + N =

Такий прийом зручний, тому що при деяких типах зв'язків вдається скласти рівняння руху так, що реакції цих зв'язків до нього не ввійдуть. Таким чином, принцип Даламбер для невільної точки можна записати у вигляді (рис. 3.43):

Р(а)+ /V + Р Ш) = 0, (3.48)

тобто, якщо до невільної матеріальної точки, крім активних сил та реакції зв'язку докласти силу інерції, то отримана система сил у будь-який момент часу перебуватиме в рівновазі.

Мал. 3.43.

матеріальної точки

а- від англ. active- Активний. Нагадаємо, що активними називають сили, які зберігають свої значення при видаленні всіх зв'язків.

При розгляді криволінійного руху точки доцільно силу інерції представляти як двох складових: Г'' п) = -та п- відцентровий та Щ, п) =-та х -дотичної (рис. 3.44).

Мал. 3.44.

руху матеріальної точки

Нагадаємо, що вирази для величин нормального та дотичного прискорень мають вигляд: а п -У 2/р і я т = с1УД/Л

Тоді можна записати: Р ^ т) --т-п Рр п) --т-т, або остаточно: Р

рт + р(т) + р(а) +уу = про (3.49)

Рівність (3.49) виражає принцип Даламбер для криволінійного руху невільної точки.

Розглянемо нитку довгою /, на кінці якої закріплена точка масою т.Нитка обертається навколо вертикальної осі, описуючи конічну поверхню з постійним кутом нахилу. а.Визначити відповідну постійну швидкість руху точки та натяг нитки Т(Рис. 3.45).

Мал. 3.45.

руху невільної матеріальної точки

Але:/і,/, а = const. Знайти: Т, V.

Прикладемо до точки сили інерції, спрямовані протилежно до відповідних складових прискорення. Зауважимо, що дотична сила інерції дорівнює нулю, оскільки за умовою швидкість стала:

/1°") = -та = -т-= О,

а відцентрова сила інерції визначається виразом Р^ т) = тУ 2 / р,де р = / Бта.

Застосування принципу Даламбера до цієї задачі дозволяє записати рівняння руху досліджуваної матеріальної точки у вигляді умови рівноваги сил, що сходяться: т? + Т + Рр п) = 0.

При цьому справедливі всі рівняння рівноваги в проекції на осі природні координат:

Х^„=0, - FJ" 1+ Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + Т cosa = 0,

+ Т sin a =

-mg + T cosa = 0,

звідки знаходимо Т= /і#/соБа; V= Бтал/^/Тсоза.

Принцип Даламбер для системи матеріальних точок. Розглянемо рух механічної системи матеріальних точок. Як і під час виведення ОЗМС, розділимо сили, прикладені до кожної точки, на зовнішні та внутрішні (рис. 3.46).

Мал. 3.46.

Нехай ' - рівнодіюча зовнішніх сил, прикладених до /-ї точки, а /Г (Л - рівнодіюча внутрішніх сил, прикладених до цієї ж точки. Відповідно до принципу Даламбера до кожної матеріальної точки системи потрібно докласти сили інерції: Рр п) = -т, а г

Тоді сили, що додаються до кожної точки системи, задовольняють співвідношенню:

1?Е) + рУ) + р0п)

тобто. система матеріальних точок перебуватиме у рівновазі, якщо до кожної її точки докласти додатково сили інерції. Таким чином, за допомогою принципу Даламбера вдається рівнянням руху системи надати вигляду рівнянь рівноваги.

Виразимо кінетостатичні умови рівноваги системи за допомогою статичних еквівалентів сил інерції та зовнішніх сил. Для цієї мети підсумуємо по всьому прівняння (а),описують сили, що додаються до окремих точок системи. Потім обчислимо моменти всіх зовнішніх і внутрішніх сил і сил інерції, доданих до окремих точок щодо довільної точки В:

г а X Р" Е> + гах /*") +гах Р т > =0. і = 1,2,...,«.

Потім проведемо підсумовування, в результаті отримаємо

// п п

'(Е) і Г(1)

1л (?) + Л (/) + Л (, п) = 0;

[М (0 Е) + М (0 п + М% а) = 0.

Оскільки До і)= 0 і М 1 0 п = 0, то остаточно маємо:

ІЯ (?) + Л (/Я) = 0;

М(а Е) + М ( 'п) = 0.

З системи рівнянь (3.50) видно, що головний вектор сил інерції врівноважується головним вектором зовнішніх сил, а момент сил інерції щодо довільної точки врівноважується головним моментом зовнішніх сил щодо цієї точки.

При розв'язанні задач необхідно мати вирази для головного вектора та головного моменту сил інерції. Величини та напрями цих векторів залежать від розподілу прискорень окремих точок та їх мас. Як правило, безпосереднє визначення Я(ш)і М ( ”" ]геометричним підсумовуванням порівняно просто можна виконувати лише за п - 2 або п= 3. Разом з тим у задачі про рух твердого тіла можна виразити статичні еквіваленти сил інерції в деяких окремих випадках руху залежно від кінематичних характеристик.

Головний вектор та головний момент сил інерції твердого тіла за різних випадків руху. За теоремою про рух центру мас т с а с = Я (Е).Відповідно до принципу Даламбера маємо: Я (1П) + Я (Е) =О, звідки знаходимо: Я" 1П) = -Т з ас.Таким чином, за будь-якого руху тіла головний вектор сил інерції дорівнює добутку маси тіла на прискорення центру мас і спрямований протилежно до прискорення центру мас(Рис. 3.47).

Мал. 3.47.

Виразимо головний момент сил інерції при обертальному русі тіла навколо нерухомої осі, перпендикулярної площині матеріальної симетрії тіла (рис. 3.48). Сили інерції, що додаються до/-точки: Р„! п) = т,хор; 2 та р? д)= / і, ер,.

Оскільки всі відцентрові сили інерції перетинають вісь обертання, головний момент цих сил інерції дорівнює нулю, а головний момент дотичних сил інерції дорівнює:

м т =?_ З > Р(= ?-ш.д х/Р. = = -е?/я. р; = - J z р. (3.51)

Таким чином, головний момент дотичних сил інерції щодо осі обертання дорівнює добутку моменту інерції щодо цієї осі та кутового прискорення, причому напрямок головного моменту дотичних сил інерції протилежний напрямку кутового прискорення.

Мал. 3.48.

щодо осі обертання

Далі висловимо сили інерції при плоскопаралельному русі тіла. Розглядаючи плоскопаралельний рух тіла (рис. 3.49) як суму поступального руху разом із центром маста обертального руху навколо осі, що проходить через центр масперпендикулярно до площини руху, можна довести за наявності площини матеріальної симетрії, що збігається з площиною руху центру мас, що сили інерції при^плоскопаралельному русі еквівалентні головному вектору /? ("п) , прикладеному до центру мас протилежно прискоренню центру мас, і головному моменту сил інерції М^ п)щодо центральної осі, перпендикулярної площині руху, спрямованому в бік, протилежну кутовому прискоренню:

Мал. 3.49.

Примітки.

• 1. Зазначимо, оскільки принцип Даламбера дозволяє тільки записати рівняння руху у формі рівняння рівноваги,то будь-яких інтегралів рівняння руху не дає.
• 2. Підкреслимо, що сила інерціїв принципі Даламбер є фіктивною сизою,що додається додатково до діючих сил з тією метою, щоб отримати рівноважну систему. Однак у природі існують сили геометрично рівні силам інерції, але ці сили прикладені до інших (прискорювальних) тіл, у взаємодії з якими виникає прискорююча сила, прикладена до тілу, що рухається. Наприклад, при русі точки, закріпленої на нитці, що обертається з постійною швидкістю по колу в горизонтальній площині, натяг нитки якраз дорівнює силі інерції,тобто. силі реакції точки на нитку,тоді як точка рухається під впливом реакції нитки неї.
• 3. Як було показано, наведена форма принципу Даламбера відрізняється від тієї, яку використовував сам Даламбер. Спосіб складання диференціальних рівнянь руху системи, що застосовується тут, був розвинений та розширений поруч петербурзьких учених та отримав назву методу кінетостатики.

Додаток методів механіки до деяких завдань динаміки рейкових екіпажів:

? рух рейкового екіпажу криволінійним шляхом.В даний час у зв'язку з можливостями обчислювальної техніки аналіз всіх механічних явищ, що відбуваються при русі рейкового екіпажу в кривій, виробляють за допомогою досить складної моделі, в якій враховують усю сукупність окремих тіл системи та особливості зв'язків між ними. Такий підхід дозволяє отримати всі необхідні кінематичні та динамічні характеристики руху.

Однак при аналізі кінцевих результатів і проведенні попередніх розрахунків в технічній літературі досить часто зустрічаються певні спотворення деяких понять механіки. Тому доцільно поговорити про «первісні основи», що використовуються при описі руху екіпажу в кривій.

Наведемо деякі математичні описи аналізованих процесів елементарної постановці.

Для правильного, несуперечливого пояснення характеристик стаціонарного руху екіпажуу круговій кривій необхідно:

• вибрати метод механіки, який використовується для опису цього руху;
• виходити із чіткого, з погляду механіки, поняття «сила»;
• не забувати закон рівності дії та протидії.

Процес руху екіпажу в кривій неминуче передбачає зміну напрямку швидкості. Характеристикою швидкості цієї зміни є нормальне прискорення, спрямоване в центр кривизни криволінійної траєкторії центру мас: а п - V 2/ Р, де р - радіус кривої.

У процесі руху екіпаж взаємодіє з рейковим шляхом, у результаті виникають нормальні та дотичні реактивні сили, прикладені до колісних пар. Природно, що рівні та протилежні їм сили тиску прикладені до рейок. Згідно з викладеними механічними уявленнями, під силою розуміють результат взаємодії тіл, або тіла і поля. У розглянутій задачі присутні дві фізичні системи: екіпаж з колісними парами та рейковий шлях, отже, сили треба шукати у місцях їхнього контакту. Крім цього взаємодія екіпажу та гравітаційного поля Землі створює силу важкості.

Опис руху екіпажу в кривій можна робити, використовуючи загальні теореми динаміки, які є наслідками ОЗМС, або на основі принципів механіки(наприклад, принцип Даламбера), що є основою методу кінетостатики.

Бажаючи пояснити рівні особливостіметодики обліку кривизни осі шляху характеристики руху екіпажу, використовуємо спочатку найпростішу ідеалізовану модель. Екіпаж розглядатимемо як матеріальну площину з масою, що дорівнює масі цієї системи.

Центр мас, що лежить у цій площині, здійснює заданий рух траєкторією, конгруентної осі шляху, зі швидкістю V.Контакт з рейковим шляхом здійснюється у двох точках перетину площини, що рухається, з рейковими нитками. Тому, говорячи про взаємодію екіпажу з рейковим шляхом, можна говорити про зосереджені сили, що є рівнодіючими всіх реакцій рейок на окремі колісні пари від кожної з рейок. Причому природа виникнення реактивних сил несуттєва;

? рух екіпажу шляхом без піднесення зовнішньої рейки.На рис. 3.50 наведено розрахункову схему екіпажу, що рухається по криволінійному шляху. Зовнішній та внутрішній рейки, в даному випадку, розташовані на одному рівні. На рис. 3.50 вказані сили та реакції зв'язків, що діють на екіпаж. Підкреслимо, що жодних реальних відцентрових сил у цій схемі немає.

В рамках геометричної механіки Ньютона рух екіпажу в кривій описують загальними теоремами динаміки системи.

У цьому випадку, згідно з теоремою про рух центру мас,

т с а с - Я а), (а)

де Я) – головний вектор зовнішніх сил.

Проектуємо обидві частини виразу (а)на супровідні природні осі координат, центр яких знаходиться в центрі мас екіпажу, з одиничними векторами т, я, bі вважаємо т з = т.

У проекції на головну нормаль отримаємо та п = F n ,або

mV /p = F„ (Ь)

де F n - реально існуюча силареакцій рейки на колісні пари, що є сумою проекцій реакцій рейок на нормаль до траєкторії. Це можуть бути спрямовуючі сили тиску рейок на гребені коліс. Жодних інших зовнішніх сил у цьому напрямі немає.

У проекції виразу (а)на бінормаль отримаємо:

О = -mg + N out + N inn. (с)

Тут індекси out 1відповідають зовнішньому, a inn -внутрішній рейці кривої. Ліва частина у виразі (с) дорівнює нулю, оскільки нулю дорівнює проекція прискорення на бінормаль.

Третє рівняння отримаємо, використовуючи теорему про зміну моменту кількості руху щодо центру мас:

dK c /dt = ^M c . (d)

Проектуючи вираз dна вісь т, де т = nx b -векторне виробництво одиничних векторів пі Ь, з врахуванням того, що K Cl=У Ст зі т, У Ст - момент інерції екіпажу щодо осі дотичної до траєкторії центру мас, матимемо

J a * i = NJS-N m S + F K H = 0, (е)

оскільки кутове прискорення щодо осі т в усталеному русі по круговій кривій дорівнює нулю.

Вирази ( Ь), (с) та (е)являють собою систему лінійних рівнянь алгебри щодо трьох невідомих величин М-тп> Вирішуючи яку, отримаємо:

Мал. 3.50.

Таким чином, послідовне застосування загальних теорем динаміки дозволяє у розглянутій задачі встановити всі феномени, пов'язані з проходженням екіпажем криволінійної ділянки шляху.

Насправді, на обидва колеса діють сили, спрямовані всередину кривої. Рівночинна сил створює момент щодо центру мас екіпажу, який може викликати обертання і навіть перекидання назовні кривою, якщо V 2 Н/Р5" > g.Дія цієї сили призводить до зношування коліс. Природно, що чинна на рейку протилежно спрямована сила -Р пвикликає знос рейки.

Зауважимо, що у викладеній постановці можна знайти лише рівнодіючу горизонтальних реакцій двох рейок Р.Для визначення розподілу цієї сили між внутрішньою та зовнішньою рейками необхідно вирішувати статично невизначену задачу з використанням додаткових умов. Крім цього при русі екіпажу нормальні реакції зовнішньої та внутрішньої рейок мають різні значення. Більше навантажена зовнішня рейкова нитка.

Реакція внутрішньої нитки на екіпаж менша і за певного значення швидкості може бути навіть дорівнює нулю.

У класичній механіці такий стан і називають перекиданнямхоча фактично перекидання насправді ще немає. Для з'ясування, коли настає стан дійсного перекидання, слід розглянути обертання вагона навколо осі, паралельної т і проходить через точку контакту колеса із зовнішньою рейкою при? т Ф 0. Таке завдання має суто академічний інтерес, оскільки безумовно доводити реальну систему до такого стану неприпустимо.

Ще раз наголосимо, що при поясненні всіх явищ виходили з факту руху вагона під впливом лише реальних сил.

Зауважимо, що диференціальне рівняння обертання навколо осі т навіть при = 0 записано стосовно центральної осі т. Вибір цієї осі в іншій точці призводить до зміни виду лівої частини рівняння теореми моментів. Тому не можна, наприклад, записувати це рівняння в такому вигляді щодо осі, що проходить через точку контакту колеса з рейкою, хоча, здавалося б, знайти значення нормальних реакцій при цьому було б простіше. Однак такий підхід призведе до невірного результату: І ош = М 1Ш1 = mg | 2.

Можна показати, що справа полягає в тому, що рівняння обертання щодо осі, яка проходить, наприклад, через точку До, потрібно записувати з урахуванням моменту кількості руху тіла від поступової частини руху г кс х та с: J Cl? т + т(г ксхй г)=^ М Кх.

Тому замість рівняння (с) у проекції на вісь Ст отримаємо вираз

(8 )

/ Ст? т + т[г ксх а з) т = -Теб + N іпп 25,

де в дужках записано значення проекції на вісь Ст векторного твору ? кс ха с.

Покажемо, що послідовне проведення необхідних процедур дозволяє знайти Ы шпз отриманого рівняння). З рис. 3.50 видно, що

г кс - Бп + НЬі а з =

Обчислимо векторний твір:

Тут враховано, що пхп = 0і Ьхп = -т. Отже,

тНУ 2

2Л г /лп 5',

звідки знаходимо реакцію внутрішньої рейки:

що збігається з результатом, отриманим у виразі (/).

На закінчення викладу завдання вкажемо, що розгляд вагона в русіз використанням методів геометричної механіки Ньютона дозволяє вирішити задачу без введення фіктивних сія інерції.Потрібно лише правильно використовувати всі положення механіки. Слід зазначити, що застосування цього способу може бути пов'язане з більшим об'ємом обчислень, ніж, наприклад, при використанні принципу Даламбера.

Покажемо тепер, як вирішується це завдання з урахуванням використання принципу Даламбера у загальноприйнятої формі методу кінетостатики. У цьому випадку необхідно додати до центру мас допов-

нульову фіктивнусилу інерції: Г* = -та Сп = -т-п.І екі-

паж зупиняється, тобто. тепер прискорення його центру мас а з= 0. На рис. 3.51 наведено таку система, що спочиває.Усі прикладені до неї сили, включаючи силу інерції, повинні задовольняти кінетос-татичним рівнянням рівноваги, а не руху,як у попередньому випадку.

Ця обставина дозволяє знайти всі невідомі величини з рівняння рівноваги.У цьому вибір форми рівнянь рівноваги і точок, щодо яких обчислюють моменти, стає довільним. Остання обставина дозволяє знайти всі невідомі незалежно один від одного:

I М. = о, I м,_= о,

-Н = о.

1 у МП

Мал. 3.51. Розрахункова схема сил, що діють на екіпаж за тих самих умов, що і на рис. 3.50 під час використання принципу Даламбера

Легко бачити, що розв'язання цієї системи рівнянь збігаються з відповідними формулами, отриманими з використанням теорії динаміки. Таким чином, у прикладі застосування принципу Даламбера дозволило дещо спростити вирішення завдання.

Однак при тлумаченні результатів слід мати на увазі, що додаткова сила інерції є фіктивною в тому сенсі, що насправді немає такої сили, що діє на екіпаж.З іншого боку, ця сила не задовольняє третьому закону Ньютона - немає «другого кінця» цієї сили, тобто. немає протидії.

Загалом, при вирішенні багатьох завдань механіки, у тому числі й задачі руху екіпажу в кривій, зручно застосовувати принцип Даламбера. Але при цьому не слід пов'язувати будь-які явища з дієюцієї сили інерції. Наприклад, говорити про те, що ця відцентрова сила інерції навантажує додатково зовнішню рейку і розвантажує внутрішній і більше того, що ця сила може викликати перекидання екіпажу. Це не лише безграмотно, а й безглуздо.

Нагадаємо ще раз, що зовнішніми прикладеними силами, що діють на екіпаж у кривій і змінюють стан його руху, є сила тяжіння, вертикальні та горизонтальні реакції рейок;

? рух екіпажу кривою з піднесенням зовнішньої рейки.Як було показано, процеси, що виникають при проходженні екіпажу в кривих без підвищення зовнішньої рейки, пов'язані з небажаними наслідками - нерівномірним вертикальним навантаженням рейок, значною нормальною горизонтальною реакцією рейки на колесо, що супроводжується посиленим зносом як коліс, так і рейок, можливістю перекидання руху деякої межі та ін.

Значною мірою неприємних явищ, що супроводжують проходження кривих, можна уникнути, якщо влаштовувати піднесення зовнішньої рейки над внутрішньою. При цьому екіпаж котитиметься по поверхні конуса з кутом нахилу, що утворює до горизонтальної осі (рис. 3.52): ф Л = arcsin (Л/25), або при малих кутах

Ф А * Л/2 S.

Мал. 3.52.

з піднесенням зовнішньої рейки

У стаціонарному випадку, коли V - const і ф А = const, можна розглядати рух плоского перерізу екіпажу у своїй площині так само, як і при вписуванні в криву без піднесення зовнішньої рейки.

Розглянемо методику розв'язання задачі за допомогою загальних теорем динаміки. Вважатимемо, що центр мас екіпажу рухається по круговій кривій радіусом р, хоча в даному випадку, строго кажучи, радіус кривизни осі шляху відрізняється від радіуса кривизни траєкторії центру мас на малу величину:

Н sin ср Л ~ Нф А «р.

Тому порівняно з р останньою величиною можна знехтувати. Рух «плоського перерізу» екіпажу відноситимемо до осей, що супроводжують. СуСі х(див. рис. 3.52), де вісь Су ]паралельна площині шляху. При незмінній швидкості руху проекція прискорення центру мас на головну нормаль траєкторії його руху може бути записана так само, як і при русі в кривій без піднесення, тобто. а п = V і/р.

Проекції прискорення на осі Су, та Cz^рівні відповідно:

а ух = а псовф; я. =a„smy h .

Рівняння руху плоского перерізу на основі теореми про рух центру мас і теореми про зміну моменту кількості руху щодо осі Сх виглядають наступним чином:

З урахуванням того, що = 0, після підстановки отримуємо систему трьох лінійних рівнянь алгебри щодо трьох невідомих F Vi , N iiw, N (nil:

/і-si Пф л = -mg cos V/ , + N mn + N out; P

-Соєф А = mgsіпф А+ F ;

0 = +N ilw S-N oul S + F y H.

Звернемо увагу, що нахил площини осі шляху через піднесення зовнішньої рейки призводить до зміни проекції прискорення центру мас на осі Су, і Сг, що пов'язано зі зміною реакцій рейок порівняно з такими за відсутності піднесення, коли а. - 0, а л Ці зміни в проекціях прискорень можна пояснити, якщо розглядати обертання екіпажу навколо бінормалі, що проходить через центр кривизни кривої як геометричну суму двох обертань з Л =со (+ б) навколо осей, що проходять через той же центр кривої.

При складанні системи рівнянь (к)Трохи кута ср Л не передбачалася. Однак у практично реалізованій конструкції

втф А ~ /г/25.

Таким чином, у разі малих ф Л система рівнянь для визначення реакцій шляху на екіпаж має такий вигляд:

= -г ^+ ЛГ,„ + М гш,;

т- = /гг#--1- г, ;

О = + Л/-5 - /У 0І/5 + Р п Н.

Вирішуючи ці рівняння, отримуємо:

N...... =

mg + тУ/г

пункт/77 К І /77 „

• - +--+-н
• 2р 25 25

В окремому випадку, коли піднесення відсутнє (І= 0), ці вирази збігаються з отриманими раніше (/).

Тепер перейдемо до аналізу результатів розв'язання задачі при І Ф 0.

Слід зазначити, що у разі поперечна реакція рейки, спрямовану площині шляху, зменшується. Це тим, що у формуванні прискорення центру мас у бік осі Су, бере участь як сила //, а й складова сили тяжкості. Більше того, за певного значення І= 25К 2 /р? сила Рстає рівною нулю:

Маючи на увазі, що

т г - Т,= X А, %>+ X А[

• (3.42)

Величину у дужках називають непогашеним прискоренням.Стан, коли Р = 0, відповідає випадку, при якому нормальне прискорення аформується лише проекцією на вісь д>, сили тяжіння екіпажу.

При обговоренні завдання, що розглядається, іноді виникає софістичне міркування про те, що прискорення а пспрямовано по горизонталі, а сила тяжіння - вертикально (див. рис. 3.52), і тому вона не може формувати прискорення, що розглядається. а ппри Р= 0. Дана міркування містить помилку, оскільки у формуванні горизонтального прискорення, крім сили Р, беруть участь ще й нормальні реакції Д г шя і /У оіГ Сума цих двох реакцій при малих ф Л дорівнює 1Ч тп + 1У оіг = mg.Отже, сила тяжіння таки бере участь у формуванні горизонтального прискорення а п,але за допомогою дії реакцій N тпі Ы оіГ

Обговоримо тепер, як змінюються нормальні реакції рейок, перпендикулярні до шляху.

Зауважимо, що на відміну від випадку /7 = 0 реакції зростають на те саме значення тУ 2 І/2р28,яким нехтують, оскільки ///25 - величина мала. Однак при строгих міркуваннях опускати цей член для виразів і N шне слід.

При -> -2-, тобто. при позитивному непогашеному прискоренні, р 25

реакції внутрішньої рейки менше, ніж зовнішньої, однак, різниця між ними не така значна, як при І = 0.

У разі рівності нулю непогашеного прискорення значення реакції стають рівними /У /Ял = IV оШ = mg|2(при малих І),тобто. підвищення зовнішньої рейки дозволяє не тільки отримати Р у= 0, але й зрівняти тиск на зовнішній та зовнішній рейки. Зазначені обставини дозволяють досягти рівномірніших значень зносу для обох рейок.

Разом з тим, внаслідок підвищення зовнішньої рейки виникає можливість негативного значення Р", що в реальній системі при нестримних зв'язках відповідає процесу ковзання екіпажу вздовж осі у гтобто. всередину кривої шляху. Внаслідок того ж нахилу шляху може відбуватися перерозподіл реакцій N ші N ої!з переважним значенням М ш.

Таким чином, проведені за допомогою методів геометричної механіки Ньютона дослідження руху екіпажу в кривій на шляху з піднесенням зовнішньої рейки дозволяють проаналізувати стан системи без додаткових термінологічних гіпотез. Жодних сил інерції в міркуваннях немає.

Розглянемо тепер, як описується рух екіпажу у такій самій кривою з допомогою принципу Даламбера.

Застосовуючи цей принцип у формулюванні методу кінетостатики так само, як і в попередньому випадку, необхідно додати до центру мас нормальну (відцентрову) силу інерції Р„ п) ,спрямовану убік, протилежний нормальному прискоренню (рис. 3.53):

При цьому системазнову ж таки зупиняється, тобто. екіпаж не рухається вздовж колії. Тому справедливі всі рівняння кінето-статичної рівноваги:

I до= °-X г* =о.

/Л^ипф, - Г' псовф* + Г У[ = 0;

- /Л?С08ф/; - БІПф, + + N^1

Підставляючи сюди значення отримаємо ту саму систему рівнянь, що і система (/) за будь-яких ф / (або (к)при малих І.

Таким чином, застосування обох способів призводить до абсолютно однакових результатів. Система рівнянь ( до) та система, отримана на основі принципу Даламбера тотожні.

Зауважимо при цьому, що в остаточні результати жодних сил інерції не входять.Це і зрозуміло, оскільки принцип Даламбера, що лежить в основі методу кінетостатики, є лише засобом складання диференціальних рівнянь руху системи.Разом з тим бачимо, що в задачі, що розглядається, застосування принципу Даламбера дозволило спростити викладки і може бути рекомендовано при проведенні практичних розрахунків.

Однак наголосимо ще раз, що насправді немає сили тУ 2/р, прикладеної до центру мас екіпажу, що рухається. Тому всі феномени, пов'язані з рухом у кривій, слід пояснювати так, як це було виконано на основі аналізу результатів розв'язання системи (/), або (К).

Вкажемо на закінчення, що «метод Ньютона» і «метод Даламбера» в цій задачі застосовувалися лише з метою складання диференціальних рівнянь руху. У цьому першому етапі не отримуємо жодної інформації, крім самих диференціальних рівнянь. Подальше рішення отриманих рівнянь та проведений аналіз не пов'язані з методом отримання самих рівнянь.

Мал. 3.53.

• out -від англ. outer -зовнішній.
• inn -від англ. inner -внутрішній.
• inn -від англ. inner -внутрішній.

Принцип Даламбера

Основний працю Ж.Л. Даламбера(1717-1783) - "Трактат про динаміку" - була опублікована в 1743

Перша частина трактату присвячена побудові аналітичної статики. Тут Даламбер формулює "основні принципи механіки", серед яких "принцип інерції", "принцип додавання рухів" та "принцип рівноваги".

"Принцип інерції" сформульований окремо для випадку спокою та випадку рівномірного прямолінійного руху. "Силої інерції, - пише Даламбер, т я разом із Ньютоном називаю властивість тіла зберігати той стан, в якому воно знаходиться".

"Принцип додавання рухів" є закон складання швидкостей і сил за правилом паралелограма. За підсумками цього принципу Даламбер вирішує завдання статики.

"Принцип рівноваги" сформульовано у вигляді наступної теореми: "Якщо два тіла, що рухаються зі швидкостями, обернено пропорційна їх масам, мають протилежні напрямки, так що одне тіло не може рухатися, не зрушуючи з місця на інше тіло, то ці тіла будуть перебувати в стані рівноваги ". У другій частині "Трактату" Даламбер запропонував загальний метод складання диференціальних рівнянь руху будь-яких матеріальних систем, заснований на зведенні задачі динаміки до статики. Він сформулював правило для будь-якої системи матеріальних точок, назване згодом "принципом Даламбера", згідно з яким прикладені до точок системи сили можна розкласти на "діючі", тобто такі, що викликають прискорення системи, та "втрачені", необхідні для рівноваги системи. Даламбер вважає, що сили, які відповідають "втраченим" прискоренням, утворюють таку сукупність, яка ніяк не впливає на фактичну поведінку системи. Іншими словами, якщо до системи докласти лише сукупність "втрачених" сил, то система залишиться у спокої. Сучасне формулювання принципу Даламбера дав М. Жуковський у своєму "Курсі теоретичної механіки": "Якщо в якийсь момент часу зупинити систему, рухається, і додати до неї, крім її рушійних сил, ще всі сили інерції, що відповідають даному моменту часу, то спостерігатиметься рівновага, при цьому всі сили тиску, натягу тощо розвиваються між частинами системи за такої рівноваги, будуть справжніми силами тиску, натягу тощо при русі системи в даний момент часу». Слід зазначити, що сам Даламбер при викладі свого принципу не вдавався ні до поняття сили (вважаючи, що воно не є достатньо чітким, щоб входити до переліку основних понять механіки), ні, тим більше, до поняття сили інерції. Виклад принципу Даламбера із застосуванням терміна "сила" належить Лагранжа, який у своїй "Аналітичній механіці» дав його аналітичний вираз у формі принципу можливих переміщень. Саме Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) і особливо Леонардо Ейлер (1707-178) у остаточному перетворенні механіки на аналітичну механіку.

Аналітична механіка матеріальної точки та динаміка твердого тіла Ейлера

Леонардо Ейлер- один із видатних учених, який зробив великий внесок у розвиток фізико-математичних наук у XVIII ст. Його творчість вражає проникливістю дослідницької думки, універсальністю обдарування та величезним обсягом залишеної наукової спадщини.

Вже в перші роки наукової діяльності в Петербурзі (Ейлер приїхав до Росії в 1727 р.) він склав програму грандіозного та всеосяжного циклу робіт у галузі механіки. Ця програма знаходиться в його двотомній праці "Механіка або наука про рух, викладена аналітично" (1736). "Механіка" Ейлера була першим систематичним курсом ньютонівської механіки. Вона містила основи динаміки точки - під механікою Ейлер розумів наукучхро рух, на відміну від науки про рівновагу сил, або статики. Визначальною рисою "Механіки" Ейлера було широке використання нового математичного апарату - диференціального інтегрального обчислень. Коротко охарактеризувавши основні праці з механіки, що з'явилися на рубежі XVII-XVIII ст., Ейлер відзначав син-тетико-геометричний стиль їхнього викладу. Що створював для читачів дуже багато праці. Саме в такій манері написані "Початки" Ньютона і пізніша "Фо-рономія" (1716) Я. Германа. Ейлер вказує, що роботи Германа та Ньютона викладені "за звичаєм давніх за допомогою синтетичних геометричних доказів" без застосування аналізу, "тільки завдяки якому і можна досягти повного розуміння цих речей".

Синтетико-геометричний метод у відсутності узагальнюючого характеру, а вимагав, зазвичай, індивідуальних побудов щодо кожної завдання окремо. Ейлер зізнається, що після вивчення "Форономії" і "Почав" він, як йому здавалося, "досить ясно зрозумів розв'язання багатьох завдань, проте завдань певною мірою відступають від них вже вирішити не міг". Тоді він спробував "виділити аналіз щодо цього синтетичного методу і ті ж пропозиції для власної користі зробити аналітично". Ейлер зазначає, що завдяки цьому він значно краще зрозумів суть питання. Він розробив принципово нові методи дослідження проблем механіки, створив її математичний апарат і блискуче застосував його до багатьох складних завдань. Завдяки Ейлер диференціальна геометрія, диференціальні рівняння, варіаційне обчислення стали інструментом механіки. Метод Ейлера, розвинений пізніше його наступниками, був однозначним та адекватним предмету.

Робота Ейлера з динаміки твердого тіла "Теорія руху твердих тіл" має великий вступ із шести розділів, де знову викладено динаміку точки. У вступ внесено низку змін: зокрема, рівняння руху точки записуються за допомогою проектування на осі нерухомих прямокутних координат (а не на дотичну, головну нормаль і нормаль, тобто осі нерухомого природного тригранника, пов'язаного з точками траєкторії, як у "Механіці") .

Наступний після вступу «Трактат про рух твердих тіл» складається з 19 розділів. В основу трактату покладено принцип Даламбера. Коротко зупинившись на поступальному русі твердого тіла і ввівши поняття центру інерції, Ейлер розглядає обертання навколо нерухомої осі та навколо нерухомої точки. проекцій миттєвої кутової швидкості, кутового прискорення на осі координат, використовуються так звані кути Ейлера і т. д. Далі викладено властивості моменту інерції, після чого Ейлер переходить власне до динаміки твердого тіла, що виводить диференціальні рівняння обертання важкого тіла навколо його нерухомого центру. відсутності, зовнішніх сил і вирішує їх для простого окремого випадку.Так виникла відома і настільки ж важлива в теорії гіроскопа завдання про обертання твердого тіла навколо нерухомої точки. теорії малих коливань, небесний механік та ін.

Через вісім років після виходу "Механіки" Ейлер збагатив науку першим точним формулюванням принципу найменшої дії. Формулювання принципу найменшої дії, які належали Мопертюї, були дуже недосконалі. Перше наукове формулювання принципу належить Ейлер. Він сформулював свій принцип так: інтеграл має найменше значення для справжньої траєкторії, якщо розглядати

останню в групі можливих траєкторій, що мають загальні початкове та кінцеве положення та здійснюються з тим самим значенням енергії. Ейлер надає своєму принципу точного математичного вираження та суворого обґрунтування для однієї матеріальної точки, відчуває дії центральних сил. Протягом 1746–1749 pp. Ейлер написав кілька робіт про фігури рівноваги гнучкої нитки, де принцип найменшої дії були застосовані до завдань, у яких діють пружні сили.

Таким чином, до 1744 р. механіка збагатилася двома важливими принципами: принципом Даламбера і принципом найменшої дії Мопертюї-Ейлера. Маючи ці принципи, Лагранж побудував систему аналітичної механіки.

При русі матеріальної точки її прискорення у кожен час таке, що прикладені до точки задані (активні) сили, реакції зв'язків і фіктивна Даламберова сила Ф = - та утворюють врівноважену систему сил.

Доведення.Розглянемо рух невільної матеріальної точки масою тв інерційній системі відліку. Відповідно до основного закону динаміки та принципу звільнення від зв'язків маємо:

де F - рівнодіюча заданих (активних) сил; N - рівнодіюча реакцій всіх накладених на точку зв'язків.

Неважко перетворити (13.1) на вигляд:

Вектор Ф = - таназивають Даламберової силою інерції, силою інерції чи просто Даламберової силою.Далі використовуватимемо лише останній термін.

Рівняння (13.3), що виражає принцип Даламбер в символьній формі, називають рівнянням кінетостатикиматеріальної точки.

Легко отримати узагальнення принципу Даламбер для механічної системи (системи пматеріальних точок).

Для будь-якої до-ї точки механічної системи виконується рівність (13.3):

де ? до -рівнодіюча заданих (активних) сил, що діють на до-ю точку; N до -рівнодіюча реакцій зв'язків, накладених на до-юточку; Ф до = - та до- Даламберова сила до-ї точки.

Очевидно, якщо умови врівноваженості (13.4) виконуються для кожної трійки сил F*, N* : , Ф* (до = 1,. .., п), то і вся система 3 псил

є врівноваженою.

Отже, при русі механічної системи в кожний момент часу прикладені до неї активні сили, реакції зв'язків і сили Дамберів точок системи утворюють врівноважену систему сил.

Сили системи (13.5) вже не є схожими, тому, як відомо зі статики (п. 3.4), необхідні та достатні умови її врівноваженості мають такий вигляд:

Рівняння (13.6) називають рівняннями кінетостатики механічної системи. Для розрахунків використовують проекції цих векторних рівнянь на осі, що проходять через моментну точку. О.

Зауваження 1. Оскільки сума всіх внутрішніх сил системи, а також сума їх моментів щодо будь-якої точки дорівнюють нулю, то в рівняннях (13.6) достатньо враховувати лише реакції зовнішніхзв'язків.

Рівняння кінетостатики (13.6) зазвичай використовують для визначення реакцій зв'язків механічної системи, коли рух системи задано, а тому прискорення точок системи та залежні від них Даламберові сили відомі.

приклад 1.Знайти реакції опор Аі Увалу при його рівномірному обертанні з частотою 5000 об/хв.

З валом жорстко пов'язані точкові маси гп= 0,1 кг, т 2 =Вага: 0,2 кг. Відомі розміри АС - CD - DB = 0,4 м, h= 0,01 м. Масу валу вважати дуже малою.

Рішення.Щоб скористатися принципом Даламбера для механічної системи, що складається з двох точкових мас, вкажемо на схемі (рис. 13.2) задані сили (сили тяжіння) Gi, G 2 реакції зв'язків N4, N# і Даламберові сили Ф|, Ф 2 .

Напрями Даламбсрових сил протилежні прискоренням точкових мас ть т 2уякі рівномірно описують кола радіусу hнавколо осі АВвалу.

Знаходимо величини сил тяжіння та Даламбсрових сил:

Тут кутова швидкість валу зі- 5000* л/30 = 523,6 с Проеціюючи рівняння кінетостатики (13.6) на декартові осі Ах, Ay, Az, Отримаємо умови врівноваженості плоскої системи паралельних сил Gi, G 2 , 1Чд, N tf , Фь Ф 2:

З рівняння моментів знаходимо N в = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w „

272 Н, а з рівняння проекції на

вісь Ay: Na = -N B + G, + G 2 + Ф, -Ф 2 = 272 + 0,98 +1,96 + 274-548 = 0,06 Н.

Рівняння кінетостатики (13.6) можна використовувати для отримання диференціальних рівнянь руху системи, якщо скласти їх так, що реакції зв'язків виключаються і в результаті з'являється можливість отримати залежності прискорень від заданих сил.

Сили інерції в динаміці матеріальної точки та механічної системи

Силої інерціїматеріальної точки називається добуток маси точки на її прискорення, взяте зі знаком мінус, тобто сили інерції в динаміці застосовуються в таких випадках:

• 1. При дослідженні руху матеріальної точки в неінерційною(Рухомий) системі координат, тобто відносного руху. Це переносна та коріолісова сили інерції, які часто називають ейлеровими.
• 2. Під час вирішення завдань динаміки з використанням методу кінетостатики. В основу цього методу покладено принцип Даламбера, відповідно до якого вводяться сили інерції матеріальної точки або системи матеріальних точок, що рухаються з деяким прискоренням інерційноюсистемі відліку. Ці сили інерції називаються даламберовими.
• 3. Даламберові сили інерції застосовуються також при вирішенні задач динаміки з використанням принципу Лагранжа-Даламбера або загального рівняння динаміки.

Вираз у проекціях на осі декартових координат

де - модулі проекцій прискорення крапки на осі декартових координат.

При криволінійному русі точки силу інерції можна розкласти на дотичну і нормальну:; , - модуль дотичного та нормального прискорень; - радіус кривизни траєкторії;

V -швидкість точки.

Принцип Даламбера для матеріальної точки

Якщо до невільноїматеріальної точки, що рухається під дією прикладених активних сил і сил реакцій зв'язків, докласти її силу інерції, то будь-якої миті часу отримана система сил буде врівноваженою, тобто геометрична сума зазначених сил дорівнюватиме нулю.

механічний точка тіло матеріальне

де - рівнодіюча активних сил, прикладених до точки; - рівнодіюча реакцій зв'язків, накладених на точку; сила інерції матеріальної точки. Примітка: Насправді сила інерції матеріальної точки прикладена не до самої точки, а до тіла, яке повідомляє прискорення даної точки.

Принцип Даламбер для механічної системи

Геометрична сумаголовних векторів зовнішніх сил, які діють систему, і сил інерції всіх точок системи, і навіть геометрична сума основних моментів цих сил щодо деякого центру для невільної механічної системи будь-якої миті часу рівні нулю, т.к.

Головний вектор та головний момент сил інерції твердого тіла

Головний вектор та головний момент сил інерції точок системи визначаються окремо для кожного твердого тіла, що входить до цієї механічної системи. Їх визначення ґрунтується на відомому зі статики методі Пуансо про приведення довільної системи сил до заданого центру.

На підставі цього методу сили інерції всіх точок тіла у загальному випадку його руху можна привести до центру мас і замінити їх головним вектором * та головним моментом щодо центру мас. Вони визначаються за формулами тобто за будь-якогорух твердого тіла головний вектор сил інерції дорівнює зі знаком мінус добутку маси тіла на прискорення центру мас тіла; де r kc -- радіус-вектор k-йточки, проведений із центру мас. Ці формули в окремих випадках руху твердого тіла мають вигляд:

1. Поступальний рух.

2. Обертання тіла навколо осі, що проходить через центр мас

3. Плоскопаралельний рух

Введення в аналітичну механіку

Основні поняття аналітичної механіки

Аналітична механіка- область (розділ) механіки, у якому вивчається рух чи рівновагу механічних систем з допомогою загальних, єдиних аналітичних методів, застосовуваних будь-яких механічних систем.

Розглянемо найхарактерніші поняття аналітичної механіки.

1. Зв'язки та їх класифікація.

Зв'язки- будь-які обмеження у вигляді тіл або будь-яких кінематичних умов, що накладаються на рухи точок механічної системи. Ці обмеження можуть бути записані у вигляді рівнянь чи нерівностей.

Геометричні зв'язки-- зв'язки, рівняння яких містять лише координати точок, т. е. обмеження накладаються лише з координати точок. Це зв'язки у вигляді тіл, поверхонь, ліній тощо.

Диференціальні зв'язки-- зв'язки, що накладають обмеження як на координати точок, а й у їх швидкості.

Голономні зв'язкивсі геометричні зв'язки та ті диференціальні, рівняння яких можуть бути проінтегровані.

Неголономні зв'язки- Диференціальні неінтегровані зв'язки.

Стаціонарні зв'язкизв'язку, рівняння яких не входить явно час.

Нестаціонарні зв'язки-- зв'язки, змінюються з часом, т. е. у рівняння яких явно входить час.

Двосторонні (утримуючі) зв'язки -зв'язку, що обмежують рух точки у двох протилежних напрямках. Такі зв'язки описуються рівняннями .

Односторонні(Неутримуючий) зв'язку - зв'язки, що обмежують рух тільки в одному напрямку. Такі зв'язки описуються нерівностями

2. Можливі (віртуальні) та дійсні переміщення.

Можливимиабо віртуальнимиПереміщеннями точок механічної системи називаються уявні нескінченно малі переміщення, які допускають накладені на систему зв'язку.

МожливимПереміщенням механічної системи називається сукупність одночасних можливих переміщень точок системи, сумісних із зв'язками. Нехай механічна система - кривошипно-шатунний механізм.

Можливим переміщенням точки Ає переміщення яке в силу його небагато вважається прямолінійним і спрямованим перпендикулярно до ОА.

Можливим переміщенням точки У(Повзун) є переміщення в напрямних. Можливим переміщенням кривошипу ОАє поворот на кут, а шатуна АВ -на кут навколо МЦС (точка Р).

дійснимиПереміщеннями точок системи називаються також елементарні переміщення, які допускають накладені зв'язки, але з урахуванням початкових умов руху і сил, що діють на систему.

Число ступенівсвободи SМеханічна система - це число її незалежних можливих переміщень, які можна повідомити точкам системи у фіксований момент часу.

Принцип можливих переміщень (принцип Лагранжа)

Принцип можливих переміщень чи принцип Лагранжа висловлює умову рівноваги невільної механічної системи, що під дією прикладених активних сил. Формулювання принципу.

Для рівновагиневільної механічної системи з двосторонніми, стаціонарними, голономними та ідеальними зв'язками, що перебуває в спокої під дією прикладених активних сил, необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт усіх активних сил дорівнювала кулю на будь-якому можливому переміщенні системи з положення рівноваги:

Загальне рівняння динаміки (принцип Лагранжа-Даламбера)

Загальне рівняння динаміки застосовується до дослідження руху невільних механічних систем, тіла чи точки яких рухаються з деякими прискореннями.

Відповідно до принципу Даламбера сукупність прикладених до механічної системи активних сил, сил реакцій зв'язків і сил інерції всіх точок системи утворює врівноважену систему сил.

Якщо до такої системи застосувати принцип можливих переміщень (принцип Лагранжа), то отримаємо об'єднаний принцип Лагранжа-Даламбера або загальне рівняння динаміки.Формулювання цього принципу.

Під час руху невільноїмеханічної системи з двосторонніми, ідеальними, стаціонарними та голономними зв'язками сума елементарних робіт усіх прикладених до точок системи активних сил та сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:

Рівняння Лагранжа другого роду

Рівняння Лагранжадругого роду – це диференціальні рівняння руху механічної системи в узагальнених координатах.

Для системи з Sступенями свободи ці рівняння мають вигляд

Різницяповної похідної за часом від приватної похідної від кінетичної енергії системи узагальненої швидкості і приватної похідної від кінетичної енергії за узагальненою координатою дорівнює узагальненої силі.

Лагранжа для консервативних механічних систем. Циклічні координати та інтеграли

Для консервативної системи узагальнені сили визначаються через потенційну енергію системи за формулою

Тоді рівняння Лагранжа перепишуться у вигляді

Оскільки потенційна енергія системи є функція лише узагальнених координат, т. е. , то з урахуванням цього представимо у вигляді, де Т - П = L -функція Лагранжа (кінетичний потенціал). Остаточно рівняння Лагранжа для консервативної системи

Стійкість положення рівноваги механічної системи

Питання стійкості положення рівноваги механічних систем має безпосереднє значення теорії коливання систем.

Положення рівноваги може бути стійким, нестійким та байдужим.

Стійкеположення рівноваги - положення рівноваги, при якому точки механічної системи, виведені з цього положення, надалі рухаються під дією сил у безпосередній близькості до свого рівноважного положення.

Цей рух матиме той чи інший ступінь повторюваності в часі, тобто система здійснюватиме коливальний рух.

Нестійкеположення рівноваги - положення рівноваги, з якого при будь-якому малому відхиленні точок системи надалі діючі сили ще далі видалятимуть точки від їх рівноважного положення .

Байдужеположення рівноваги - положення рівноваги, коли при будь-якому малому початковому відхиленні точок системи від цього положення в новому положенні система залишається в рівновазі. .

Для визначення стійкого становища рівноваги механічної системи є різні методи.

Розглянемо визначення стійкого положення рівноваги на підставі теореми Лагранжа-Діріхле

Якщо у положеннірівноваги консервативної механічної системи з ідеальними та стаціонарними зв'язками її потенційна енергія має мінімум, то це положення рівноваги є стійким.

Явище удару. Ударна сила та ударний імпульс

Явище, у якому за мізерно проміжок часу швидкості точок тіла змінюються на кінцеву величину, називається ударом.Цей проміжок часу називається часом удару.При ударі протягом нескінченно малого проміжку часу діє ударна сила. ударною силоюназивається сила, імпульс якої за час удару є кінцевою величиною.

Якщо кінцева за модулем сила діє протягом часу, починаючи свою дію в момент часу , то її імпульс має вигляд

Також при дії ударної сили на матеріальну точку можна сказати, що:

дією миттєвих сил під час удару можна знехтувати;

переміщення матеріальної точки під час удару не враховувати;

результат дії ударної сили на матеріальну точку виражається у кінцевому зміні під час удару вектора її швидкості.

Теорема про зміну кількості руху механічної системи під час удару

зміна кількості руху механічної системи за час удару дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх ударних імпульсів, прикладених до точок систем,де - кількість руху механічної системи в момент закінчення дії ударних сил, - кількість руху механічної системи в момент початку дії ударних сил, - зовнішній ударний імпульс.

Принцип Даламбер дозволяє сформулювати завдання динаміки механічних систем як завдання статики. У цьому динамічним диференціальним рівнянням руху надають вигляд рівнянь рівноваги. Такий метод називають методом кінетостатики .

Принцип Даламбер для матеріальної точки: « У кожний момент часу руху матеріальної точки, що фактично діють на неї активні сили, реакції зв'язків та умовно додана до точки сила інерції утворюють врівноважену систему сил»

Силої інерції точки називають векторну величину, що має розмірність сили, рівну за модулем добутку маси точки на її прискорення та спрямовану протилежно вектору прискорення

. (3.38)

Розглядаючи механічну систему як сукупність матеріальних точок, на кожну з яких діють, згідно з принципом Даламбера, урівноважені системи сил, маємо наслідки з цього принципу стосовно системи. Головний вектор і головний момент щодо будь-якого центру доданих до системи зовнішніх сил та сил інерції всіх її точок дорівнюють нулю:

(3.39)

Тут зовнішніми силами є активні сили та реакції зв'язків.

Головний вектор сил інерціїмеханічної системи дорівнює добутку маси системи на прискорення її центру мас і спрямований у бік, протилежний цьому прискоренню

. (3.40)

Головний момент сил інерціїсистеми щодо довільного центру Продорівнює взятій із зворотним знаком похідною за часом від кінетичного моменту її щодо того ж центру

. (3.41)

Для твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі Oz, знайдемо головний момент сил інерції щодо цієї осі

. (3.42)

3.8. Елементи аналітичної механіки

У розділі «Аналітична механіка» розглядають загальні засади та аналітичні методи вирішення завдань механіки матеріальних систем.

3.8.1.Можливі переміщення системи. Класифікація

деяких зв'язків

Можливими переміщеннями точок
Механічної системи називають будь-які уявні, нескінченно малі їх переміщення, що допускаються накладеними на систему зв'язками, у фіксований момент часу. За визначенням, числом ступенів свободи механічною системою називають число її незалежних можливих переміщень.

Зв'язки, накладені на систему, називають ідеальними якщо сума елементарних робіт їх реакцій на будь-якому з можливих переміщень точок системи дорівнює нулю

. (3. 43)

Зв'язки, для яких обмеження, що накладаються ними, зберігаються при будь-якому положенні системи, називають утримуючими . Зв'язки, що не змінюються в часі, до рівнянь яких явно не входить час, називають стаціонарними . Зв'язки, що обмежують лише переміщення точок системи, називають геометричними , а обмежуючі швидкості – кінематичними . Надалі розглядатимемо лише геометричні зв'язки та ті кінематичні, які можуть бути шляхом інтегрування зведені до геометричних.

3.8.2. Принцип можливих переміщень

Для рівноваги механічної системи з утримуючими ідеальними та стаціонарними зв'язками необхідно і достатньо, щоб

сума елементарних робіт усіх активних сил, що діють на неї, на будь-яких можливих переміщеннях системи дорівнювала нулю

. (3.44)

У проекціях на осі координат:

. (3.45)

Принцип можливих переміщень дозволяє встановити у загальній формі умови рівноваги будь-якої механічної системи, не розглядаючи рівновагу її окремих частин. При цьому враховуються лише активні сили, що діють на систему. Невідомі реакції ідеальних зв'язків до цих умов не входять. Разом з тим цей принцип дозволяє визначати невідомі реакції ідеальних зв'язків шляхом відкидання цих зв'язків та введення їх реакцій до активних сил. При відкиданні зв'язків, реакції яких необхідно визначити, система набуває додатково відповідної кількості ступенів свободи.

Приклад 1 . Знайти залежність між силами і домкрата, якщо відомо, що при кожному повороті рукоятки АВ = l, гвинт Звисувається на величину h(Рис. 3.3).

Рішення

Можливі переміщення механізму – це поворот рукоятки  та переміщення вантажу  h. Умова рівності нулю елементарних робіт сил:

Pl– Qh = 0;

Тоді
. Оскільки h 0, то

3.8.3. Загальне варіаційне рівняння динаміки

Розглянемо рух системи, що складається з nточок. На неї діють активні сили та реакції зв'язків .(k = 1,…,n) Якщо до чинних сил додати сили інерції точок
, то, згідно з принципом Даламбера, отримана система сил буде перебувати в рівновазі і, отже, справедливий вираз, записаний на основі принципу можливих переміщень (3.44):

. (3.46)

Якщо всі зв'язки ідеальні, то 2 сума дорівнює нулю і в проекціях на осі координат рівність (3.46) виглядатиме таким чином:

Остання рівність є загальним варіаційним рівнянням динаміки в проекціях на осі координат, яке дозволяє скласти диференціальні рівняння руху механічної системи.

Загальне варіаційне рівняння динаміки – це математичний вираз принципу Даламбера-Лагранжа: « При русі системи, підпорядкованої стаціонарним, ідеальним, утримуючим зв'язкам, у кожний момент часу сума елементарних робіт всіх активних сил, прикладених до системи, і сил інерції будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю».

Приклад 2 . Для механічної системи (рис. 3.4), що складається з трьох тіл, визначити прискорення вантажу 1 і натяг троса 1-2, якщо: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; радіус інерції блоку 2 i = 1,5r 2 . Ковзанка 3 являє собою суцільний однорідний диск.

Рішення

Зобразимо сили, які виконують елементарну роботу на можливому переміщенні  sвантажу 1:

Запишемо можливі переміщення всіх тіл через можливе переміщення вантажу 1:

Виразимо лінійні та кутові прискорення всіх тіл через прискорення вантажу 1 (відносини такі ж, як і у разі можливих переміщень):

.

Загальне варіаційне рівняння для даної задачі має вигляд:

Підставляючи отримані раніше вирази для активних сил, сил інерції та можливих переміщень, після нескладних перетворень отримаємо

Оскільки  s 0, отже, дорівнює нулю вираз у дужках, що містить прискорення а 1 , звідки a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Для визначення натягу троса, що утримує вантаж, звільнимо вантаж від троса, замінивши дію його реакцією, що шукається. . Під дією заданих сил ,та доданої до вантажу сили інерції
він у рівновазі. Отже, до аналізованого вантажу (точці) застосуємо принцип Даламбера, тобто. запишемо, що
. Звідси
.

3.8.4. Рівняння Лагранжа 2-го роду

Узагальнені координати та узагальнені швидкості. Будь-які незалежні між собою параметри, що однозначно визначають положення механічної системи в просторі, називають узагальненими координатами . Ці координати, що позначаються q 1 ,....q i можуть мати будь-яку розмірність. Зокрема узагальнені координати можуть бути переміщеннями або кутами повороту.

Для систем, що розглядаються, число узагальнених координат дорівнює числу ступенів свободи. Положення кожної точки системи є однозначною функцією узагальнених координат

Таким чином, рух системи в узагальнених координатах визначається такими залежностями:

Перші похідні від узагальнених координат називають узагальненими швидкостями :
.

Узагальнені сили.Вираз для елементарної роботи сили на можливому переміщенні
має вигляд:

.

Для елементарної роботи системи сил запишемо

Використовуючи отримані залежності, цей вираз можна записати у вигляді:

,

де узагальнена сила, що відповідає i-ї узагальненої координати,

. (3.49)

Таким чином, узагальненою силою, що відповідає i-й узагальненої координати, є коефіцієнт при варіації цієї координати у вираженні суми елементарних робіт активних сил на можливому переміщенні системи . Для обчислення узагальненої сили необхідно повідомити систему можливе переміщення, у якому змінюється лише узагальнена координата q i. Коефіцієнт при
і буде шуканою узагальненою силою.

Рівняння руху системи в узагальнених координатах. Нехай дана механічна система з sступенями свободи. Знаючи сили, що діють на неї, необхідно, скласти диференціальні рівняння руху в узагальнених координатах
. Застосуємо процедуру складання диференціальних рівнянь руху системи – рівнянь Лагранжа 2-го роду – за аналогією виведення цих рівнянь для вільної матеріальної точки. Виходячи з 2-го закону Ньютона, запишемо

Отримаємо аналог цих рівнянь, використовуючи запис для кінетичної енергії матеріальної точки,

Приватна похідна від кінетичної енергії щодо проекції швидкості на вісь
дорівнює проекції кількості руху цієї вісь, тобто.

Щоб отримати необхідні рівняння, обчислимо похідні за часом:

Отримана система рівнянь є рівняннями Лагранжа 2-го роду матеріальної точки.

Для механічної системи рівняння Лагранжа 2-го роду представимо у вигляді рівнянь, у яких замість проекцій активних сил P x , P y , P zвикористовують узагальнені сили Q 1 , Q 2 ,...,Q i і враховують у випадку залежність кінетичної енергії від узагальнених координат.

Рівняння Лагранжа 2-го роду для механічної системи мають вигляд:

. (3.50)

Їх можна використовувати для вивчення руху будь-якої механічної системи з геометричними, ідеальними та утримуючими зв'язками.

Приклад 3 . Для механічної системи (рис. 3.5), дані для якої наведені в попередньому прикладі, скласти диференціальне рівняння руху, використовуючи рівняння Лагранжа 2-го роду,

Рішення

Механічна система має одну міру свободи. За узагальнену координату приймемо лінійне переміщення вантажу q 1 = s; узагальнена швидкість - . З урахуванням цього запишемо рівняння Лагранжа 2-го роду

.

Складемо вираз для кінетичної енергії системи

.

Виразимо всі кутові та лінійні швидкості через узагальнену швидкість:

Тепер отримаємо

Обчислимо узагальнену силу, склавши вираз елементарної роботи на можливому переміщенні  sвсіх чинних сил. Без урахування сил тертя роботу в системі здійснює тільки сила тяжіння вантажу 1
Запишемо узагальнену силу при  sяк коефіцієнт в елементарній роботі Q 1 = 5mg. Далі знайдемо

Остаточно диференціальне рівняння руху системи матиме вигляд: