Усі методи вирішення завдань динаміки, які ми досі розглядали, ґрунтуються на рівняннях, що випливають або безпосередньо із законів Ньютона, або ж із загальних теорем, які є наслідками цих законів. Однак цей шлях не є єдиним. Виявляється, що рівняння руху чи умови рівноваги механічної системи можна отримати, поклавши основою замість законів Ньютона інші загальні становища, звані принципами механіки. У ряді випадків застосування цих принципів дозволяє, як побачимо, знайти ефективніші методи вирішення відповідних завдань. У цьому розділі буде розглянуто один із загальних принципів механіки, який називається принципом Даламбера.
Нехай ми маємо систему, що складаються з nматеріальних точок. Виділимо якусь із точок системи з масою. Під дією прикладених до неї зовнішніх і внутрішніх сил і (до яких входять і активні сили, і реакції зв'язку) точка отримує по відношенню до інерційної системи відліку деяке прискорення.
Введемо на розгляд величину
має розмірність сили. Векторну величину, рівну за модулем добутку маси точки на її прискорення і спрямовану протилежно до цього прискорення, називають силою інерції точки (іноді даламберової силою інерції).
Тоді виявляється, що рух точки має таку загальну властивість: якщо у кожний момент часу до фактично діючих на точку сил і додати силу інерції , то отримана система сил буде врівноваженою, тобто. буде
.
Цей вислів виражає принцип Даламбера для однієї матеріальної точки. Неважко переконатися, що воно еквівалентне другому закону Ньютона і навпаки. Справді, другий закон Ньютона для цієї точки дає 
. Переносячи тут член у праву частину рівності і прийдемо до останнього співвідношення.
Повторюючи виконані вищі міркування стосовно кожної з точок системи, прийдемо до наступного результату, що виражає принцип Даламбер для системи: якщо у будь-який момент часу до кожної з точок системи, крім фактично діючих на ній зовнішніх і внутрішніх сил, докласти відповідних сил інерції, то отримана система сил буде перебувати в рівновазі і до неї можна буде застосовувати всі рівняння статики.
Значення принципу Даламбера у тому, що з безпосередньому його застосуванні до завдань динаміки рівняння руху системи складаються у вигляді добре відомих рівнянь рівноваги; що робить одноманітний підхід до вирішення завдань і зазвичай набагато спрощує відповідні розрахунки. Крім того, у поєднанні з принципом можливих переміщень, який буде розглянуто в наступному розділі, принцип Даламбер дозволяє отримати новий загальний метод вирішення задач динаміки.
Застосовуючи принцип Даламбера, слід пам'ятати, що у точку механічної системи, рух якої вивчається, діють лише зовнішні й внутрішні сили і , що виникають у результаті взаємодії точок системи друг з одним і з тілами, які входять у систему; під дією цих сил точки системи і рухаються з відповідними прискореннями. Сили ж інерції, про які йдеться в принципі Даламбера, на точки, що рухаються, не діють (інакше, ці точки перебували б у спокої або рухалися без прискорень і тоді не було б і самих сил інерції). Введення сил інерції - це лише прийом, що дозволяє складати рівняння динаміки за допомогою простіших методів статики.
Зі статики відомо, що геометрична сума сил, що знаходяться в рівновазі, і сума їх моментів щодо будь-якого центру Прорівні нулю, причому за принципом затвердіння це справедливо для сил, що діють не тільки на тверде тіло, але і на будь-яку змінну систему. Тоді на підставі принципу Даламбер має бути.
Спочатку ідея цього принципу була висловлена Яковом Бернуллі (1654-1705) під час розгляду завдання про центр коливань тіл довільної форми. У 1716 р. петербурзький академік Я. Герман (1678 - 1733) висунув принцип статичної еквівалентності «вільних» рухів та «фактичних» рухів, тобто рухів, які здійснюються за наявності зв'язків. Пізніше цей принцип був застосований Л. Ейлером (1707-1783) до завдання про коливання гнучких тіл (робота була опублікована в 1740) і отримав назву «Петербурзького принципу». Однак першим, хто сформулював розглянутий принцип у загальному вигляді, хоч і не дав йому належного аналітичного виразу, був Даламбер (1717-1783). У своїй «Динаміці», що вийшла 1743 р., він вказав загальний метод підходу до вирішення задач динаміки невільних систем. Аналітичне вираз цього принципу було дано пізніше Лагранжем у його «Аналітичній механіці».
Розглянемо деяку невільну механічну систему. Позначимо рівнодіючу всіх активних сил, що діють на будь-яку точку системи, через а рівнодіючу реакцій зв'язків - через тоді рівняння руху точки матиме вигляд
де - Вектор прискорення точки, а маса цієї точки.
Якщо ввести в розгляд силу, що називається даламберовою силою інерції, то рівняння руху (2.9) можна переписати у формі рівняння рівноваги трьох сил:
Рівняння (2.10) становить істота принципу Даламбера для точки, але це ж рівняння, поширене систему, - істота принципу Даламбера для системи.
Рівняння руху, написане у формі (2.10), дозволяє дати принципу Даламбера наступне формулювання: якщо систему, що перебуває в русі, в будь-який момент часу миттєво зупинити і до кожної матеріальної точки цієї системи докласти активні сили реакції зв'язків, що діяли на неї в момент зупинки. Даламберові сили інерції система залишиться в рівновазі.
Принцип Даламбера є зручним методичним прийомом вирішення динамічних завдань, оскільки дозволяє рівняння руху невільних систем написати у формі рівнянь статики.
Цим самим, звичайно, завдання динаміки не зводиться до завдання статики, оскільки завдання інтегрування рівнянь руху, як і раніше, зберігається, але принцип Даламбера дає єдиний метод складання рівнянь руху невільних систем, і в цьому його головна перевага.
Якщо на увазі, що реакції являють собою дію зв'язків на точки системи, то принципу Даламбера можна дати і таке формулювання: якщо до активних сил, що діють на точки невільної системи, приєднати даламберові сили інерції, то результуючі цих сил врівноважуються реакціями зв'язків. Слід підкреслити умовність цього формулювання, оскільки насправді
при русі системи ніякого врівноважування немає, оскільки сили інерції до точок системи не прикладені.
Нарешті принципу Даламбера можна дати ще одне еквівалентне формулювання, для чого рівняння (2.9) перепишемо в такій формі:
Принцип Даламбера встановлює єдиний підхід до вивчення руху матеріального об'єкта незалежно від характеру умов, що накладаються на цей рух. При цьому динамічним рівнянням руху надається вигляд рівнянь рівноваги. Звідси друга назва принципу Даламбер – метод кінетостатики.
Для матеріальної точки у будь-який момент руху геометрична сума прикладених активних сил, реакцій зв'язків та умовно приєднаної сили інерції дорівнює нулю (рис. 48).
Де Ф-сила інерції матеріальної точки дорівнює:
.
(15.2)
Малюнок 48
Малюнок 49
Сила інерції прикладена не до об'єкта, що рухається, а до зв'язків, що визначає його рух. Людина повідомляє прискорення 
вагонетці (рис. 49), штовхаючи її силою 
.Сила інерції є протидію дії людини на вагонетку, тобто. за модулем дорівнює силі 
і спрямована у протилежний бік.
Якщо точка рухається криволінійною траєкторією, то силу інерції можна спроектувати на природні осі координат.
Малюнок 50
;
(15.3)
, (15.4) де 
- Радіус кривизни траєкторії.
При розв'язанні задач за допомогою методу кінетостатики необхідно:
1. вибрати систему координат;
2. показати всі активні сили, що додаються до кожної точки;
3. відкинути зв'язки, замінивши їх відповідними реакціями;
4. додати до активних сил та реакцій зв'язків силу інерції;
5. скласти рівняння кінетостатики, у тому числі визначити шукані величини.
ПРИКЛАД 21.
Про
РІШЕННЯ. 1. Розглянемо автомобіль, що у верхній точці опуклого моста. Розглянемо автомобіль як матеріальну точку, яку задана сила 2. Так як автомобіль рухається з постійною швидкістю, запишемо принцип Даламбер для матеріальної точки в проекції на нормаль 
та реакцію зв'язку 
.
. (1) Виразимо силу інерції: 
; нормальний тиск автомобіля визначимо з рівняння (1):Н.
=20м і рухається з постійною швидкістюV=36км/год (рис. 51).
16. Принцип даламбер для механічної системи. Головний вектор та головний момент сил інерції.
Якщо до кожної точки механічної системи в будь-який момент руху умовно докласти відповідну силу інерції, то в будь-який момент руху геометрична сума діючих на точку активних сил, реакцій зв'язків і сили інерції дорівнює нулю.
Рівняння, що виражає принцип Даламбер для механічної системи, має вигляд 
. (16.1) Сума моментів цих урівноважених сил щодо будь-якого центру також дорівнює нулю 
. (16.2) При застосуванні принципу Даламбер рівняння руху системи складаються у формі рівнянь рівноваги. За допомогою рівнянь (16.1) та (16.2) можна визначити динамічні реакції.
ПРИКЛАД 22.
Вертикальний вал АК, що обертається з постійною кутовою швидкістю 
=10с -1 , закріплений підп'ятником у точці А та циліндричним підшипником у точці К (рис. 52). До валу в точці Е прикріплені тонкий однорідний ламаний стрижень масою m=10кг і довжиною 10b, що складається з частин 1 і 2 де b=0,1м, а їх маси m 1 і m 2 пропорційні довжинам. Стрижень прикріплений до валу шарніром у точці Е та невагомим стрижнем 4 жорстко закріпленим у точці В. Визначити реакцію шарніра Е та стрижня 4.
РІШЕННЯ.
1. Довжина ламаного стрижня дорівнює 10b. Виразимо маси частин стрижня, пропорційні до довжин: m 1 =0,4m; m2 = 0,3m; m3 = 0,3m.
Малюнок 42
2. Для визначення шуканих реакцій розглянемо рух ламаного стрижня та застосуємо принцип Даламбера. Розташуємо стрижень у площині ху, зобразимо зовнішні сили, що діють на нього: 
,
,
, реакції шарніру 
і 
та реакцію 
стрижня 4. Приєднуємо до цих сил сили інерції частин стрижня: 
;
;
,
де 
;
;
.
Тоді Н.М.М.
Лінія дії рівнодіючих сил інерції 
,
і 
проходить на відстані h 1 , h 2 і h 3 від осі х: м;
3. Відповідно до принципу Даламбера прикладені активні сили, реакції зв'язків та сили інерції утворюють врівноважену систему сил. Складемо для плоскої системи сил три рівняння рівноваги:
;
;
(1)
;;
(2)
;.(3)
Вирішуючи систему рівнянь (1)+(3), підставляючи задані значення відповідних величин, знайдемо реакцію, що шукаються:
N = y E = x E =
Якщо всі сили, що діють на точки механічної системи, поділити на зовнішні 
та внутрішні 
, (рис. 53), то для довільної точки механічної системи можна записати дві векторні рівності:
;
(16.3)
.
Малюнок 53
Зважаючи на властивості внутрішніх сил, отримаємо принцип Даламбера для механічної системи в наступному вигляді: 
;
(16.4)
, (16.5) де 
,
- відповідно головні вектори зовнішніх сил та сил інерції;
,
- відповідно головні моменти зовнішніх сил та сил інерції щодо довільного центру О.
Головний вектор 
та головний момент 
замінюють сили інерції всіх точок системи, оскільки до кожної точки системи необхідно докласти свою силу інерції, яка залежить від прискорення точки. Використовуючи теорему про рух центру мас та про зміну кінетичного моменту системи щодо довільного центру, отримуємо: 
,
(16.6)
. (16.7) Для твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі z, головний момент сил інерції щодо цієї осі дорівнює 
, (16.8) де 
- Кутове прискорення тіла.
При поступальному русі тіла сили інерції всіх його точок призводять до рівнодіючої, що дорівнює головному вектору сил інерції, тобто. 
.
П
Малюнок 54
, (16.9) де 
- момент інерції тіла щодо осі обертання.
Якщо тіло має площину симетрії і обертається навколо нерухомої осі z, перпендикулярної площині симетрії і не проходить через центр мас тіла, сила інерції всіх точок тіла приводиться до рівнодіючої, рівної головному вектору сил інерції системи, але прикладеної до деякої точки К (рис. 54) . Лінія дії рівнодіючою 
віддалено від точки Про на відстані 
.
(16.10)
При плоскому русі тіла, що має площину симетрії, тіло рухається вздовж цієї площини (рис.55). Головний вектор і головний момент сил інерції також лежать у цій площині та визначаються за формулами:
Малюнок 55
;
.
Знак мінус показує, що напрямок моменту 
протилежно до напрямку кутового прискорення тіла.
ПРИКЛАД 23.
Визначити силу, що прагне розірвати маховик, що рівномірно обертається, масою m, вважаючи його масу розподіленою по обіду. Радіус маховика r, кутова швидкість 
(Рис. 56).
РІШЕННЯ.
1. Шукана сила 
є внутрішньою. 
- рівнодіюча сил інерції елементів обода. 
. Виразимо координату х із центру мас дуги обода із центральним кутом 
:
тоді 
.
2. Для визначення сили 
застосовуємо принцип Даламбера в проекції на вісь х: 
;
, звідки 
.
3. Якщо маховик – суцільний однорідний диск, то 
тоді 
.
Область застосування принципу Даламбер – це динаміка невільних механічних систем. Даламбер запропонував оригінальний метод розв'язання задач динаміки, що дозволяє використовувати досить прості рівняння статики. Він писав: «Це правило наводить всі завдання, що стосуються руху тіл, до більш простих завдань про рівновагу».
В основу цього методу покладено силу інерції. Введемо це поняття.
Силою інерції називають геометричну суму сил протидії рухомої матеріальної частки тілам, які повідомляють їй прискорення.
Пояснимо це визначення. На рис. 15.1 показано матеріальну частку М , що взаємодіє з n матеріальними об'єктами. На рис. 15.1 показано сили взаємодії: без
щі насправді не на частинку, а на тіла з масами m 1 , …, m n . Ясно, що рівнодіююча ця система схожих сил протидії, R '=ΣF' k , за модулем дорівнює R і спрямована протилежно до прискорення, тобто: R ' = -ma. Ця сила і є силою інерції, про яку йдеться у визначенні. Надалі будемо її позначати буквою Ф , тобто:
У загальному випадку криволінійного руху точки прискорення є сумою двох складових:
З (15.4) видно, що складові сили інерції спрямовані протилежно до напрямів відповідних складових прискорення точки. Модулі складових сили інерції визначають за такими формулами:
де ρ - Радіус кривизни траєкторії точки.
Після визначення сили інерції розглянемо принцип Даламбера.
Нехай дана механічна система, що складається з n матеріальних точок (рис. 15.2). Візьмемо одну з них. Усі сили, що діють на k -ю точку, класифікуємо за групами:
Вираз (15.6) відображає сутність принципу Даламбера, записаного для однієї мате-ріальної точки. Повторюючи зроблені вище дії стосовно кожної точки механічної системи, можна записати систему n рівнянь, подібних (15.6), що і буде математичним записом принципу Даламбера стосовно механічної системи. Таким чином, сформулюємо принцип Даламбер для механічної системи:
Якщо до кожної точки механічної системи в будь-який момент часу, окрім зовнішніх і внутрішніх сил, що фактично діють на неї, докласти відповідну силу інерції, то вся система сил буде приведена в рівноважний стан і до неї можна буде застосовувати всі рівняння статики.
Слід мати на увазі:
Принцип Даламбера можна застосовувати для динамічних процесів, що протікають
інерційних системах відліку. Цього ж вимоги, як зазначалося раніше, слід дотримуватись і при застосуванні законів динаміки;
Сили інерції, які, згідно з методикою принципу Даламбера, необхідно додати
жити до точок системи, насправді ними не діють. Справді, якби вони існували, то вся сукупність сил, прикладених до кожної точки, перебувала б у рівновазі, і була б відсутня сама постановка завдання динаміки.
Для рівноважної системи сил можна записати такі рівняння:
тобто. геометрична сума всіх сил системи, включаючи сили інерції, і геометрична сума моментів всіх сил щодо довільного центру дорівнюють нулю.
Враховуючи властивості внутрішніх сил системи:
вирази (15.7) можна помітно спростити.
Вводячи позначення головного вектора
та головного моменту
вирази (15.7) з'являться у вигляді:
Рівняння (15.11) є прямим продовженням принципу Даламбера, але не містять внутрішніх сил, що є їхньою безперечною перевагою. Їх використання найбільше ефективно при дослідженні динаміки механічних систем, що складаються з твердих тіл.
Якщо розглядати систему, яка складається з кількох матеріальних точок, виділяючи одну певну точку з відомою масою, то під дією прикладених до неї зовнішніх і внутрішніх сил вона отримує деяке прискорення щодо інерційної системи відліку. Серед таких сил можуть бути активні сили, так і реакції зв'язку.
Сила інерції точки - це векторна величина, яка дорівнює модулю добутку маси точки на її прискорення. Цю величину іноді згадують як даламберівську силу інерції, вона спрямована протилежно до прискорення. У цьому випадку виявляється така властивість точки, що рухається: якщо в кожен момент часу додати силу інерції до фактично діючих на точку сил, то отримана система сил буде врівноважена. Так можна сформулювати принцип Даламбер для однієї матеріальної точки. Це твердження повністю відповідає другому закону Ньютона.
Принципи Даламбер для системи
Якщо повторити всі міркування для кожної точки в системі, вони призводять до наступного висновку, який виражає принцип Даламбера, сформульований для системи: якщо в будь-який момент часу прикласти до кожної з точок в системі, крім зовнішніх і внутрішніх сил, що фактично діють, то дана система буде перебувати у рівновазі, тому до неї можна застосовувати всі рівняння, що використовуються у статиці.
Якщо застосовувати принцип Даламбера для вирішення задач динаміки, то рівняння руху системи можна скласти у формі відомих рівнянь рівноваги. Цей принцип значно спрощує розрахунки та робить підхід до вирішення завдань єдиним.
Застосування принципу Даламбер
Слід враховувати, що на точку, що рухається, в механічній системі діють тільки зовнішні і внутрішні сили, які виникають як результат взаємодії точок між собою, а також з тілами, що не входять до цієї системи. Крапки рухаються з певними прискореннями під впливом усіх цих сил. Сили інерції не діють на точки, що рухаються, в іншому випадку вони б рухалися без прискорення або були в спокої.
Сили інерції вводяться лише у тому, щоб скласти рівняння динаміки з допомогою простіших і зручніших методів статики. Враховується також, що геометрична сума внутрішніх сил та сума їх моментів дорівнює нулю. Використання рівнянь, які з принципу Даламбера, робить процес розв'язання завдань простіше, оскільки дані рівняння не містять внутрішніх сил.
