Теорія функцій однієї змінної. Математичний аналіз

Нехай змінна величина x nприймає нескінченну послідовність значень

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

причому відомий закон зміни змінної x n, тобто. для кожного натурального числа nможна вказати відповідне значення x n. Таким чином, передбачається, що змінна x nє функцією від n:

x n = f(n)

Визначимо одне з найважливіших понять математичного аналізу - межа послідовності, або, що те саме, межа змінної величини x n, що пробігає послідовність x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Визначення.Постійне число aназивається межею послідовності x 1 , x 2 , ..., x n , ... . або межею змінної x nякщо для будь-якого малого позитивного числа e знайдеться таке натуральне число N(тобто номер N), що всі значення змінної x n, починаючи з x N, відрізняються від aпо абсолютній величині менше, ніж e. Дане визначення коротко записується так:

| x n - a |< (2)

при всіх n  N, або, що те саме,

Визначення межі по Коші. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх x, що задовольняють умові | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Визначення межі за Гейном. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для будь-якої послідовності такий, що схожій до a, відповідна послідовність значень функції сходить до A.

Якщо функція f (x) має межу в точці a, то ця межа єдина.

Число A 1 називається межею функції f (x) ліворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ >

Число A 2 називається межею функції f(x) праворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх виконується нерівність

Межа зліва позначається межа праворуч – ці межі характеризують поведінку функції зліва та праворуч від точки a. Їх часто називають односторонніми межами. У позначенні односторонніх меж при x → 0 зазвичай опускають перший нуль: і . Так, для функції

Якщо кожного ε > 0 існує така δ-околиця точки a, що всіх x, задовольняють умові |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, то кажуть, що функція f(x) має в точці a нескінченну межу:

Так, функція має у точці x = 0 нескінченну межу Часто розрізняють межі, рівні +∞ та –∞. Так,

Якщо кожного ε > 0 існує таке δ > 0, що з будь-якого x > δ виконується нерівність |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема про існування точної верхньої грані

Визначення:АR mR, m - верхня (нижня) грань А, якщо аА аm (аm).

Визначення:Безліч A обмежена зверху (знизу), якщо існує таке m, що аА, виконується аm (аm).

Визначення: SupA=m, якщо 1) m - верхня грань A

2) m’: m’ m’ не верхня грань A

InfA = n, якщо 1) n – нижня грань A

2) n': n'>n => n' не нижня грань A

Визначення: SupA=m називається число, таке що: 1)  aA am

2) >0 a  A, таке, що a  a-

?

2) >0 a  A, таке, що a E a+

Теорема:Будь-яка, непуста обмежена зверху безліч АR, має точну верхню грань, причому єдину.

Доведення:

Побудуємо на числовий прямий число m і доведемо, що це точна верхня грань А.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхня грань A

Відрізок [[m],[m]+1] – розбиваємо на 10 частин

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m до =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - верхня грань A

Доведемо, що m=[m],m 1 ...m K - точна верхня грань і що вона єдина:

к: .

Мал. 11. Графік функції y arc sin x .

Введемо тепер поняття складної функції ( композиції відображень). Нехай дані три множини D, E, M і нехай f: D→E, g: E→M. Очевидно, можна побудувати нове відображення h: D→M, яке називається композицією відображень f і g або складною функцією (рис. 12).

Складна функція позначається так: z = h (x) = g (f (x)) або h = f o g.

Мал. 12. Ілюстрація до поняття складної функції.

Функція f(x) при цьому називається внутрішньою функцією, а функція g (y) - зовнішньою функцією.

1. Внутрішня функція f(x)= x², зовнішня g(y) sin y. Складна функція z = g (f (x)) = sin (x ²)

2 . Тепер навпаки. Внутрішня функція f(x) = sinx, зовнішня g(y) y2. u=f(g(x))=sin²(x)

Курс орієнтований на бакалаврів і магістрів, що спеціалізуються з математичних, економічних або природничих дисциплін, а також на вчителів математики середніх шкіл і на викладачів вузів. Буде також корисний школярам, ​​які поглиблено займаються математикою.

Побудова курсу зазвичай. Курс охоплює класичний матеріал з математичного аналізу, що вивчається на першому курсі університету у першому семестрі. Будуть представлені розділи «Елементи теорії множин та речові числа», «Теорія числових послідовностей», «Межа та безперервність функції», «Диференційність функції», «Додатки диференційності». Ми познайомимося з поняттям безлічі, дамо суворе визначення речового числа та вивчимо властивості речових чисел. Потім поговоримо про числові послідовності та їх властивості. Це дозволить розглянути поняття числової функції, добре знайоме школярам, ​​на новому, більш строгому рівні. Ми введемо поняття межі та безперервності функції, обговоримо властивості безперервних функцій та їх застосування для вирішення задач.

У другій частині курсу ми дамо визначення похідної та диференційності функції однієї змінної та вивчимо властивості функцій, що диференціюються. Це дозволить навчитися вирішувати такі важливі прикладні завдання, як наближене обчислення значень функції та розв'язання рівнянь, обчислення меж, дослідження властивостей функції та побудова її графіка.

Формат

Форма навчання заочна (дистанційна).
Щотижневі заняття включатимуть перегляд тематичних відеолекцій та виконання тестових завдань з автоматизованою перевіркою результатів.
Важливим елементом вивчення дисципліни є самостійне вирішення обчислювальних завдань та завдань на доказ. Рішення має містити суворі та логічно вірні міркування, що призводять до правильної відповіді (у разі завдання на обчислення) або повністю доводять необхідне твердження (для теоретичних завдань).

Вимоги

Курс розрахований на бакалаврів 1 року навчання. Потрібно знання елементарної математики обсягом середньої школи (11 класів).

Програма курсу

лекція 1.Елементи теорії множин.
лекція 2.Поняття речового числа. Точні грані числових множин.
лекція 3.Арифметичні операції над речовими числами. Властивості дійсних чисел.
лекція 4.Числові послідовності та їх властивості.
лекція 5.Монотонні послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності.
Лекція 6Поняття функції однієї змінної. Межа функції. Нескінченно малі та нескінченно великі функції.
лекція 7.Безперервність функції. Класифікація точок розриву. Локальні та глобальні властивості безперервних функцій.
лекція 8.Монотонні функції. Зворотній функції.
лекція 9.Найпростіші елементарні функції та їх властивості: показова, логарифмічна та статечна функції.
лекція 10.Тригонометричні та зворотні тригонометричні функції. Чудові межі. Рівномірна безперервність функції.
лекція 11.Поняття похідної та диференціала. Геометричний зміст похідної. Правила диференціювання.
лекція 12.Похідні основних функцій. Диференціал функції.
лекція 13.Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбниця. Похідні параметричних функцій.
лекція 14.Основні властивості функцій, що диференціюються. Теореми Ролля та Лагранжа.
лекція 15.Теорема Коші. Перше правило Лопіталя розкриття невизначеностей.
лекція 16.Друге правило Лопіталя розкриття невизначеностей. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано.
лекція 17.Формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі, у формі Лагранжа та Коші. Розпад за формулою Маклорена основних елементарних функцій. Програми формули Тейлора.
лекція 18.Достатні умови екстремуму. Асимптоти графіка функції. Випуклість.
лекція 19.Точки перегину. Загальна схема дослідження функцій. Приклади побудови графіків.

Результати навчання

В результаті освоєння курсу слухач отримає уявлення про базові поняття математичного аналізу: множині, числі, послідовності та функції, познайомиться з їх властивостями та навчиться застосовувати ці властивості при вирішенні завдань.

Запитання до іспиту з «Математичного аналізу», 1 курс, 1-й семестр.

1. Безліч. Основні операції над множинами. Метричні та арифметичні простори.

2. Числові множини. Безліч на числовій прямій: відрізки, інтервали, півосі, околиці.

3. Визначення обмеженої множини. Верхня та нижня грані числових множин. Постулати про верхню і нижню межі числових множин.

4. Метод математичної індукції. Нерівності Бернуллі та Коші.

5. Визначення функції. Графік функції. Парні та непарні функції. Періодичні функції. Способи завдання функції.

6. Межа послідовності. Властивості послідовностей, що сходяться.

7. Обмежені послідовності. Теорема про достатню умову розбіжності послідовності.

8. Визначення монотонної послідовності. Теорема Вейєрштраса про монотонну послідовність.

9. Число е.

10. Межа функції у точці. Межа функції на нескінченності. Односторонні межі.

11. Нескінченно малі функції. Межа суми, твору та приватного функцій.

12. Теореми про стійкість нерівностей. Перехід до межі у нерівностях. Теорема про три функції.

13. Перший і другий чудові межі.

14. Нескінченно великі функції та їх зв'язок із нескінченно малими функціями.

15. Порівняння нескінченно малих функцій. Властивості еквівалентних нескінченно малих. Теорема про заміну нескінченно малих на еквівалентні. Основні еквівалентності.

16. Безперервність функції у точці. Події з безперервними функціями. Безперервність основних елементарних функций.

17. Класифікація точок розриву функції. Довизначення безперервності

18. Визначення складної функції. Межа складної функції. Неперервність складної функції. Гіперболічні функції

19. Безперервність функції на відрізку. Теореми Коші про звернення в нуль функції безперервної на відрізку та проміжне значення функції.

20. Властивості безперервних функцій на відрізку. Теорема Вейєрштраса про обмеженість безперервної функції. Теорема Вейєрштраса про найбільше та найменше значення функції.

21. Визначення монотонної функції. Теорема Вейєрштраса про межу монотонної функції. Теорема про безліч значень функції монотонної та безперервної на відрізку.

22. Зворотній функції. Графік зворотної функції. Теорема про існування та безперервність зворотної функції.

23. Зворотні тригонометричні та гіперболічні функції.

24. Визначення похідної функції. Похідні основних функцій.

25. Визначення функції, що диференціюється. Необхідна та достатня умова диференційованості функції. Безперервність функції, що диференціюється.

26. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до графіка функції.

27. Похідна суми, твори та приватного двох функцій

28. Похідна складної функції та зворотної функції.

29. Логарифмічне диференціювання. Похідна функції заданої параметрично.

30. Головна частина збільшення функції. Формула лінеаризації функції. Геометричний зміст диференціала.

31. Диференціал складної функції. Інваріантність форми диференціалу.

32. Теореми Роля, Лагранжа та Коші про властивості функцій, що диференціюються. Формула кінцевих збільшень.

33. Застосування похідної до розкриття невизначеностей у межах. Правило Лопіталя.

34. Визначення похідної n-го порядку. Правила знаходження похідної n-го порядку. Формула Лейбниця. Диференціали вищих систем.

35. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано. Залишкові члени у формі Лагранжа та Коші.

36. Зростання та зменшення функцій. Крапки екстремуму.

37. Випуклість та увігнутість функції. Точки перегину.

38. Нескінченні розриви функцій. Асимптоти.

39. Схема побудови графіка функції.

40. Визначення первісної. Основні властивості первісної. Найпростіші правила інтегрування. Таблиця найпростіших інтегралів.

41. Інтегрування шляхом заміни змінної та формула інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

42. Інтегрування виразів виду e ax cos bx та e ax sin bx за допомогою рекурентних співвідношень.

	43. Інтегрування дробу			за допомогою рекурентних співвідношень.
			a 2 n

44. Невизначений інтеграл від оптимальної функції. Інтегрування найпростіших дробів.

45. Невизначений інтеграл від оптимальної функції. Розкладання правильних дробів на найпростіші.

46. Невизначений інтеграл від ірраціональної функції. Інтегрування виразів

	R x, m

47. Невизначений інтеграл від ірраціональної функції. Інтегрування виразів виду R x , ax 2 bx c. Підстановки Ейлер.

48. Інтегрування виразів виду

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Невизначений інтеграл від ірраціональної функції. Інтегрування біномних диференціалів.

50. Інтегрування тригонометричних виразів. Універсальна тригонометрична підстановка.

51. Інтегрування раціональних тригонометричних виразів у разі, коли підінтегральна функція непарна щодо sin x (або cos x) або парна щодо sin x і cos x.

52. Інтегрування виразів sin n x cos m x і sin nx cos mx.

53. Інтегрування виразів tg m x і ctg m x.

54. Інтегрування виразів R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 і R x , x 2 a 2 за допомогою тригонометричних підстановок.

55. Визначений інтеграл. Завдання про обчислення площі криволінійної трапеції.

56. Інтегральні суми. Суми Дарба. Теорема про існування певного інтеграла. Класи функцій, що інтегруються.

57. Властивості певного інтегралу. Теореми про середнє значення.

58. Певний інтеграл як функція верхньої межі. ФормулаНьютона-Лейбніца.

59. Формула заміни змінної та формула інтегрування частинами у певному інтегралі.

60. Додаток інтегрального числення до геометрії. Об'єм фігури. Об'єм фігур обертання.

61. Додаток інтегрального числення до геометрії. Площа плоских фігур. Площа криволінійного сектора. Довжина кривої.

62. Визначення невласного інтеграла першого роду. ФормулаНьютона-Лейбніца для невласних інтегралів I роду. Найпростіші властивості.

63. Схожість невласних інтегралів I роду позитивної функції. 1-а та 2-а теореми порівняння.

64. Абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів I роду від знакозмінної функції. Ознаки збіжності Абеля та Діріхле.

65. Визначення невласного інтеграла ІІ роду. ФормулаНьютона-Лейбніца для невласних інтегралів ІІ роду.

66. Зв'язок невласних інтегралів 1-го та 2-го роду. Невласні інтеграли у сенсі головного значення.