Formulat dhe vetitë e një drejtkëndëshi. Figurat gjeometrike

Drejtkëndëshështë një katërkëndësh në të cilin çdo cep është një kënd i drejtë.

Dëshmi

Vetia shpjegohet me veprimin e tiparit 3 të paralelogramit (d.m.th. \këndi A = \këndi C, \këndi B = \këndi D)

2. Anët e kundërta janë të barabarta.

AB = CD,\hapësirë ​​BC = AD

3. Anët e kundërta janë paralele.

AB \paralel CD,\enspace BC \paralel AD

4. Brinjët ngjitur janë pingul me njëra-tjetrën.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. Diagonalet e drejtkëndëshit janë të barabarta.

AC=BD

Dëshmi

Sipas pronë 1 drejtkëndëshi është një paralelogram, që do të thotë AB = CD.

Prandaj, \trekëndësh ABD = \trekëndësh DCA përgjatë dy këmbëve (AB = CD dhe AD - nyje).

Nëse të dy figurat - ABC dhe DCA janë identike, atëherë hipotenuset e tyre BD dhe AC janë gjithashtu identike.

Pra AC = BD .

Vetëm një drejtkëndësh i të gjitha figurave (vetëm nga paralelogramet!) Ka diagonale të barabarta.

Le ta vërtetojmë edhe këtë.

ABCD është një paralelogram \Rightarrow AB = CD , AC = BD sipas kushtit. \Shigjeta djathtas \trekëndëshi ABD = \trekëndëshi DCA tashmë në tre anët.

Rezulton se \këndi A = \këndi D (si këndet e një paralelogrami). Dhe \këndi A = \këndi C , \këndi B = \këndi D .

Ne e nxjerrim këtë përfundim \këndi A = \këndi B = \këndi C = \këndi D. Ata janë të gjithë 90^(\circ) . Totali është 360^(\circ) .

E provuar!

6. Katrori i diagonales është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të saj ngjitur.

Kjo veti është e vlefshme në bazë të teoremës së Pitagorës.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonalja e ndan drejtkëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë identikë.

\trekëndësh ABC = \trekëndësh ACD, \hapësirë ​​\trekëndësh ABD = \trekëndësh BCD

8. Pika e kryqëzimit të diagonaleve i përgjysmon ato.

AO=BO=CO=DO

9. Pika e prerjes së diagonaleve është qendra e drejtkëndëshit dhe rrethi i rrethuar.

10. Shuma e të gjitha këndeve është 360 gradë.

\këndi ABC + \këndi BCD + \këndi CDA + \këndi DAB = 360^(\circ)

11. Të gjitha cepat e drejtkëndëshit janë të drejtë.

\këndi ABC = \këndi BCD = \këndi CDA = \këndi DAB = 90^(\circ)

12. Diametri i rrethit të rrethuar rreth drejtkëndëshit është i barabartë me diagonalen e drejtkëndëshit.

13. Një rreth mund të përshkruhet gjithmonë rreth një drejtkëndëshi.

Kjo veti është e vlefshme për faktin se shuma e këndeve të kundërta të një drejtkëndëshi është 180^(\circ)

\këndi ABC = \këndi CDA = 180^(\circ),\hapësirë ​​\këndi BCD = \këndi DAB = 180^(\circ)

14. Një drejtkëndësh mund të përmbajë një rreth të brendashkruar dhe vetëm një nëse ka të njëjtat gjatësi brinjësh (është katror).

është një paralelogram në të cilin të gjitha këndet janë 90° dhe anët e kundërta janë paralele dhe të barabarta në çift.

Drejtkëndëshi ka disa veti të pakundërshtueshme që përdoren në zgjidhjen e shumë problemeve, në formulat për sipërfaqen e drejtkëndëshit dhe perimetrin e tij. Këtu ata janë:

Gjatësia e anës së panjohur ose diagonales së drejtkëndëshit llogaritet nga ose nga teorema e Pitagorës. Zona e një drejtkëndëshi mund të gjendet në dy mënyra - nga produkti i anëve të tij ose nga formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi përmes diagonales. Formula e parë dhe më e thjeshtë duket kështu:

Një shembull i llogaritjes së sipërfaqes së një drejtkëndëshi duke përdorur këtë formulë është shumë i thjeshtë. Duke ditur dy anët, për shembull a = 3 cm, b = 5 cm, ne mund të llogarisim lehtësisht sipërfaqen e drejtkëndëshit:
Ne marrim se në një drejtkëndësh të tillë sipërfaqja do të jetë e barabartë me 15 metra katrorë. cm.

Sipërfaqja e një drejtkëndëshi për sa i përket diagonaleve

Ndonjëherë ju duhet të aplikoni formulën për sipërfaqen e një drejtkëndëshi për sa i përket diagonaleve. Për të, do t'ju duhet jo vetëm të dini gjatësinë e diagonaleve, por edhe këndin midis tyre:

Konsideroni një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një drejtkëndëshi duke përdorur diagonale. Le të jepet një drejtkëndësh me diagonale d = 6 cm dhe kënd = 30°. Ne i zëvendësojmë të dhënat në formulën e njohur tashmë:

Pra, shembulli i llogaritjes së sipërfaqes së një drejtkëndëshi përmes diagonales na tregoi se gjetja e zonës në këtë mënyrë, duke pasur parasysh këndin, është mjaft e thjeshtë.
Konsideroni një enigmë tjetër interesante që do të na ndihmojë të zgjasim pak trurin tonë.

Detyra: Jepet një katror. Sipërfaqja e saj është 36 sq. cm Gjeni perimetrin e një drejtkëndëshi gjatësia e njërës brinjë të tij është 9 cm dhe sipërfaqja e njëjtë me atë të katrorit të dhënë më sipër.
Pra kemi disa kushte. Për qartësi, ne i shkruajmë ato për të parë të gjithë parametrat e njohur dhe të panjohur:
Anët e figurës janë paralele dhe të barabarta në çift. Prandaj, perimetri i figurës është i barabartë me dyfishin e shumës së gjatësive të anëve:
Nga formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi, e cila është e barabartë me prodhimin e dy anëve të figurës, gjejmë gjatësinë e brinjës b.
Nga këtu:
Zëvendësojmë të dhënat e njohura dhe gjejmë gjatësinë e anës b:
Llogaritni perimetrin e figurës:
Pra, duke ditur disa formula të thjeshta, mund të llogarisni perimetrin e një drejtkëndëshi, duke ditur zonën e tij.

Përkufizimi.

Drejtkëndësh Ai është një katërkëndësh me dy brinjë të kundërta të barabarta dhe të katër këndet të barabarta.

Drejtkëndëshat ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në raportin e anës së gjatë me anën e shkurtër, por që të katër janë të drejtë, domethënë 90 gradë secili.

Brinja e gjatë e drejtkëndëshit quhet gjatësia drejtkëndëshe, dhe e shkurtra gjerësia drejtkëndëshe.

Brinjët e një drejtkëndëshi janë gjithashtu lartësitë e tij.

Karakteristikat themelore të një drejtkëndëshi

Një drejtkëndësh mund të jetë një paralelogram, një katror ose një romb.

1. Brinjët e kundërta të një drejtkëndëshi kanë të njëjtën gjatësi, domethënë janë të barabarta:

AB=CD, BC=AD

2. Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë paralele:

3. Brinjët ngjitur të një drejtkëndëshi janë gjithmonë pingul:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Të katër qoshet e drejtkëndëshit janë të drejtë:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Shuma e këndeve të një drejtkëndëshi është 360 gradë:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Diagonalet e një drejtkëndëshi kanë të njëjtën gjatësi:

7. Shuma e katrorëve të diagonales së një drejtkëndëshi është e barabartë me shumën e katrorëve të brinjëve:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Çdo diagonale e një drejtkëndëshi e ndan drejtkëndëshin në dy figura identike, përkatësisht trekëndësha kënddrejtë.

9. Diagonalet e drejtkëndëshit priten dhe ndahen në gjysmë në pikën e kryqëzimit:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Pika e prerjes së diagonaleve quhet qendra e drejtkëndëshit dhe është gjithashtu qendra e rrethit të rrethuar.

11. Diagonalja e një drejtkëndëshi është diametri i rrethit të rrethuar

12. Një rreth mund të përshkruhet gjithmonë rreth një drejtkëndëshi, pasi shuma e këndeve të kundërta është 180 gradë:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Një rreth nuk mund të brendashkohet në një drejtkëndësh, gjatësia e të cilit nuk është e barabartë me gjerësinë e tij, pasi shumat e brinjëve të kundërta nuk janë të barabarta me njëra-tjetrën (një rreth mund të brendashkruhet vetëm në një rast të veçantë të një drejtkëndëshi - një katror).

Anët e një drejtkëndëshi

Përkufizimi.

Gjatësia drejtkëndëshe quaj gjatësinë e çiftit më të gjatë të anëve të tij. Gjerësia drejtkëndëshe emërtoni gjatësinë e çiftit më të shkurtër të anëve të tij.

Formulat për përcaktimin e gjatësisë së brinjëve të një drejtkëndëshi

1. Formula për brinjën e një drejtkëndëshi (gjatësia dhe gjerësia e drejtkëndëshit) për sa i përket diagonales dhe anës tjetër:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula për brinjën e një drejtkëndëshi (gjatësia dhe gjerësia e drejtkëndëshit) për sa i përket sipërfaqes dhe anës tjetër:

b = dcos	β
	2

Diagonale drejtkëndëshe

Përkufizimi.

Drejtkëndësh diagonalÇdo segment që lidh dy kulme të këndeve të kundërta të një drejtkëndëshi quhet.

Formulat për përcaktimin e gjatësisë së diagonales së një drejtkëndëshi

1. Formula për diagonalen e një drejtkëndëshi për sa i përket dy brinjëve të drejtkëndëshit (nëpërmjet teoremës së Pitagorës):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula për diagonalen e një drejtkëndëshi për sa i përket sipërfaqes dhe çdo brinjë:

4. Formula për diagonalen e një drejtkëndëshi për sa i përket rrezes së rrethit të rrethuar:

d=2R

5. Formula për diagonalen e një drejtkëndëshi për sa i përket diametrit të rrethit të rrethuar:

d = D o

6. Formula e diagonales së një drejtkëndëshi për sa i përket sinusit të këndit ngjitur me diagonalen dhe gjatësisë së brinjës përballë këtij këndi:

8. Formula e diagonales së një drejtkëndëshi për sa i përket sinusit të një këndi akut midis diagonaleve dhe sipërfaqes së drejtkëndëshit

d = √2S: sinβ

Perimetri i një drejtkëndëshi

Përkufizimi.

Perimetri i një drejtkëndëshiështë shuma e gjatësive të të gjitha brinjëve të drejtkëndëshit.

Formulat për përcaktimin e gjatësisë së perimetrit të një drejtkëndëshi

1. Formula për perimetrin e një drejtkëndëshi për sa i përket dy brinjëve të drejtkëndëshit:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formula për perimetrin e një drejtkëndëshi për sa i përket sipërfaqes dhe çdo brinjë:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Formula për perimetrin e një drejtkëndëshi për sa i përket diagonales dhe çdo brinjë:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formula për perimetrin e një drejtkëndëshi për sa i përket rrezes së rrethit të rrethuar dhe çdo brinjë:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formula për perimetrin e një drejtkëndëshi për sa i përket diametrit të rrethit të rrethuar dhe çdo brinjë:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2 (b + √D o 2 - b 2)

Zona drejtkëndëshe

Përkufizimi.

Zona drejtkëndëshe quhet hapësira e kufizuar nga brinjët e drejtkëndëshit, pra brenda perimetrit të drejtkëndëshit.

Formulat për përcaktimin e sipërfaqes së një drejtkëndëshi

1. Formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi për sa i përket dy brinjëve:

S = a b

2. Formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi përmes perimetrit dhe çdo anë:

5. Formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi për sa i përket rrezes së rrethit të rrethuar dhe çdo anë:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi për sa i përket diametrit të rrethit të rrethuar dhe çdo anë:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Rreth i rrethuar rreth një drejtkëndëshi

Përkufizimi.

Një rreth i rrethuar rreth një drejtkëndëshi Rreth quhet rrethi që kalon nëpër katër kulme të një drejtkëndëshi, qendra e të cilit shtrihet në kryqëzimin e diagonaleve të drejtkëndëshit.

Formulat për përcaktimin e rrezes së një rrethi të rrethuar rreth një drejtkëndëshi

1. Formula për rrezen e një rrethi të rrethuar rreth një drejtkëndëshi përmes dy brinjëve:

4. Formula për rrezen e një rrethi, e cila përshkruhet rreth një drejtkëndëshi përmes diagonales së një katrori:

5. Formula për rrezen e një rrethi, e cila përshkruhet pranë një drejtkëndëshi përmes diametrit të një rrethi (të rrethuar):

6. Formula për rrezen e një rrethi, e cila përshkruhet pranë një drejtkëndëshi përmes sinusit të këndit që është ngjitur me diagonalen dhe gjatësinë e anës përballë këtij këndi:

7. Formula për rrezen e një rrethi, e cila përshkruhet rreth një drejtkëndëshi për sa i përket kosinusit të këndit që është ngjitur me diagonalen dhe gjatësisë së brinjës në këtë kënd:

8. Formula për rrezen e një rrethi, e cila përshkruhet pranë një drejtkëndëshi përmes sinusit të një këndi akut midis diagonaleve dhe zonës së drejtkëndëshit:

Këndi midis një brinjë dhe një diagonale të një drejtkëndëshi.

Formulat për përcaktimin e këndit midis anës dhe diagonales së një drejtkëndëshi:

1. Formula për përcaktimin e këndit midis brinjës dhe diagonales së një drejtkëndëshi përmes diagonales dhe anës:

2. Formula për përcaktimin e këndit midis brinjës dhe diagonales së një drejtkëndëshi përmes këndit midis diagonaleve:

Këndi ndërmjet diagonaleve të drejtkëndëshit.

Formulat për përcaktimin e këndit ndërmjet diagonaleve të një drejtkëndëshi:

1. Formula për përcaktimin e këndit midis diagonaleve të një drejtkëndëshi përmes këndit midis anës dhe diagonales:

β = 2α

2. Formula për përcaktimin e këndit ndërmjet diagonaleve të një drejtkëndëshi nëpër sipërfaqe dhe diagonale.

Përmbajtja:

Një diagonale është një segment vije që lidh dy kulme të kundërta të një drejtkëndëshi. Një drejtkëndësh ka dy diagonale të barabarta. Nëse brinjët e drejtkëndëshit janë të njohura, diagonalja mund të gjendet duke përdorur teoremën e Pitagorës, sepse diagonalja e ndan drejtkëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë. Nëse anët nuk janë dhënë, por dihen sasi të tjera, për shembull, sipërfaqja dhe perimetri ose raporti i brinjëve, mund të gjeni anët e drejtkëndëshit dhe më pas të llogarisni diagonalen duke përdorur teoremën e Pitagorës.

Hapat

1 Krah për krah

1. 1 Shkruani teoremën e Pitagorës. Formula: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Futni anët në formulë. Janë dhënë në problem ose duhet të maten. Vlerat anësore zëvendësohen me një 3
   • Në shembullin tonë:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Sipas sipërfaqes dhe perimetrit

     1. 1 Formula: S \u003d l w (Në figurë, simboli A përdoret në vend të S.)
     2. 2 Kjo vlerë zëvendësohet me S 3 Rishkruajeni formulën në mënyrë që të izoloni w 4 Shkruani formulën për llogaritjen e perimetrit të një drejtkëndëshi. Formula: P = 2 (w + l)
     3. 5 Zëvendësoni vlerën e perimetrit të drejtkëndëshit në formulë. Kjo vlerë zëvendësohet me P 6 Ndani të dyja anët e ekuacionit me 2. Do të merrni shumën e brinjëve të drejtkëndëshit, përkatësisht w + l 7 Në formulë, zëvendësoni shprehjen për të llogaritur w 8 Hiqni qafe thyesat. Për ta bërë këtë, shumëzoni të dy pjesët e ekuacionit me l 9 Vendosni ekuacionin në 0. Për ta bërë këtë, zbritni termin me variablin e rendit të parë nga të dy anët e ekuacionit.
        • Në shembullin tonë:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Rendit termat e ekuacionit. Anëtari i parë do të jetë anëtari i dytë i ndryshueshëm, pastaj anëtari i parë i ndryshueshëm dhe më pas anëtari i lirë. Në të njëjtën kohë, mos harroni për shenjat ("plus" dhe "minus") që janë para anëtarëve. Vini re se ekuacioni do të shkruhet si një ekuacion kuadratik.
          • Në shembullin tonë, 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • Në shembullin tonë, ekuacioni 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Gjeni l 13 Shkruani teoremën e Pitagorës. Formula: a 2 + b 2 = c 2
              • Përdorni teoremën e Pitagorës, sepse çdo diagonale e një drejtkëndëshi e ndan atë në dy trekëndësha kënddrejtë të barabartë. Për më tepër, anët e drejtkëndëshit janë këmbët e trekëndëshit, dhe diagonalja e drejtkëndëshit është hipotenuza e trekëndëshit.
            • 14 Këto vlera zëvendësohen me një 15 Sheshoni gjatësinë dhe gjerësinë dhe më pas shtoni rezultatet. Mos harroni se kur një numër katror, ​​ai shumëzohet në vetvete.
              • Në shembullin tonë:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Merrni rrënjën katrore të të dy anëve të ekuacionit. Përdorni një kalkulator për të gjetur shpejt rrënjën katrore. Ju gjithashtu mund të përdorni kalkulatorin online. do të gjeni c

                3 Sipas sipërfaqes dhe raportit të pamjes

                1. 1 Shkruani një ekuacion që karakterizon raportin e anëve. Izoloni l 2 Shkruani formulën për llogaritjen e sipërfaqes së një drejtkëndëshi. Formula: S = l w (Shënimi A përdoret në vend të S në figurë.)
                   • Kjo metodë është gjithashtu e zbatueshme kur dihet vlera e perimetrit të drejtkëndëshit, por atëherë duhet të përdorni formulën për të llogaritur perimetrin, jo sipërfaqen. Formula për llogaritjen e perimetrit të një drejtkëndëshi: P = 2 (w + l)
                2. 3 Futni zonën e drejtkëndëshit në formulë. Kjo vlerë zëvendësohet me S 4 Zëvendësoni shprehjen që karakterizon raportin e anëve në formulë. Në rastin e një drejtkëndëshi, mund të zëvendësoni një shprehje për të llogaritur l 5 Shkruani një ekuacion kuadratik. Për ta bërë këtë, hapni kllapat dhe barazoni ekuacionin me zero.
                   • Në shembullin tonë:
                     35 = w (w + 2) 6 Faktorizoni ekuacionin kuadratik. Lexoni për udhëzime të hollësishme.
                     • Në shembullin tonë, ekuacioni 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Gjeni w 8 Zëvendësoni vlerën e gjerësisë (ose gjatësisë) që gjendet në ekuacionin që karakterizon raportin e anëve. Kështu që ju mund të gjeni anën tjetër të drejtkëndëshit.
                       • Për shembull, nëse keni llogaritur se gjerësia e një drejtkëndëshi është 5 cm dhe raporti i pamjes jepet nga ekuacioni l = w + 2 9 Shkruani teoremën e Pitagorës. Formula: a 2 + b 2 = c 2
                         • Përdorni teoremën e Pitagorës, sepse çdo diagonale e një drejtkëndëshi e ndan atë në dy trekëndësha kënddrejtë të barabartë. Për më tepër, anët e drejtkëndëshit janë këmbët e trekëndëshit, dhe diagonalja e drejtkëndëshit është hipotenuza e trekëndëshit.
                       • 10 Futni vlerat e gjatësisë dhe gjerësisë në formulë. Këto vlera zëvendësohen me një 11 Sheshoni gjatësinë dhe gjerësinë dhe më pas shtoni rezultatet. Mos harroni se kur një numër katror, ​​ai shumëzohet në vetvete.
                         • Në shembullin tonë:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Merrni rrënjën katrore të të dy anëve të ekuacionit. Përdorni një kalkulator për të gjetur shpejt rrënjën katrore. Ju gjithashtu mund të përdorni kalkulatorin online. Do të gjeni c (stil ekrani c) , që është hipotenuza e trekëndëshit, dhe rrjedhimisht diagonalja e drejtkëndëshit.
                           • Në shembullin tonë:
                             74 = c 2 (stili i shfaqjes 74=c^(2))
                             74 = c 2 (stili i shfaqjes (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (stili i shfaqjes 8,6024=c)
                             Kështu, diagonalja e një drejtkëndëshi gjatësia e të cilit është 2 cm më shumë se gjerësia dhe sipërfaqja e të cilit është 35 cm 2 është afërsisht 8,6 cm.