Teoria e funksioneve të një ndryshoreje. Analiza matematikore

Pyetje për provimin “Analiza matematike”, viti i 1-rë, semestri I.

1. Komplete. Operacionet bazë në grupe. Hapësirat metrike dhe aritmetike.

2. Komplete numerike. Komplet në vijën numerike: segmente, intervale, gjysmëboshte, lagje.

3. Përkufizimi i një grupi të kufizuar. Kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të bashkësive numerike. Postulatet rreth kufijve të sipërm dhe të poshtëm të grupeve numerike.

4. Metoda e induksionit matematik. Pabarazitë e Bernoulli dhe Cauchy.

5. Përkufizimi i funksionit. Grafiku i funksionit. Funksionet çift dhe tek. Funksionet periodike. Mënyrat për të vendosur një funksion.

6. Kufiri i sekuencës. Vetitë e sekuencave konvergjente.

7. sekuenca të kufizuara. Një teoremë në një kusht të mjaftueshëm për divergjencën e një sekuence.

8. Përkufizimi i një sekuence monotonike. Teorema e sekuencës monotone të Weierstrass.

9. Numri e.

10. Kufiri i një funksioni në një pikë. Kufiri i një funksioni në pafundësi. Kufijtë e njëanshëm.

11. Funksione pafundësisht të vogla. Kufiri i funksioneve të shumës, produktit dhe koeficientit.

12. Teorema mbi qëndrueshmërinë e pabarazive. Kalimi në kufi në pabarazi. Teorema rreth tre funksioneve.

13. Kufijtë e parë dhe të dytë të mrekullueshëm.

14. Funksionet pafundësisht të mëdha dhe lidhja e tyre me funksionet infiniteminale.

15. Krahasimi i funksioneve infiniteminale. Vetitë e infinitezimaleve ekuivalente. Teorema mbi zëvendësimin e infinitezimaleve me ato ekuivalente. Ekuivalencat bazë.

16. Vazhdimësia e një funksioni në një pikë. Veprimet me funksione të vazhdueshme. Vazhdimësia e funksioneve elementare bazë.

17. Klasifikimi i pikave të ndërprerjes së një funksioni. Zgjerim sipas vazhdimësisë

18. Përkufizimi i një funksioni kompleks. Kufiri i një funksioni kompleks. Vazhdimësia e një funksioni kompleks. Funksionet hiperbolike

19. Vazhdimësia e një funksioni në një segment. Teoremat e Cauchy-t mbi zhdukjen e një funksioni të vazhdueshëm në një interval dhe mbi vlerën e ndërmjetme të një funksioni.

20. Vetitë e funksioneve të vazhdueshme në një segment. Teorema e Weierstrass mbi kufirin e një funksioni të vazhdueshëm. Teorema e Weierstrass-it mbi vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni.

21. Përkufizimi i një funksioni monoton. Teorema e Weierstrass mbi kufirin e një funksioni monoton. Teorema mbi bashkësinë e vlerave të një funksioni që është monoton dhe i vazhdueshëm në një interval.

22. Funksioni i anasjelltë. Grafiku i funksionit të anasjelltë. Teorema mbi ekzistencën dhe vazhdimësinë e funksionit të anasjelltë.

23. Funksionet e anasjellta trigonometrike dhe hiperbolike.

24. Përkufizimi i derivatit të një funksioni. Derivatet e funksioneve elementare themelore.

25. Përkufizimi i një funksioni të diferencueshëm. Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për diferencueshmërinë e një funksioni. Vazhdimësia e një funksioni të diferencueshëm.

26. Kuptimi gjeometrik i derivatit. Ekuacioni i tangjentes dhe normales me grafikun e funksionit.

27. Derivat i shumës, prodhimit dhe herësit të dy funksioneve

28. Derivat i një funksioni të përbërë dhe i një funksioni të anasjelltë.

29. Diferencimi logaritmik. Derivat i një funksioni të dhënë në mënyrë parametrike.

30. Pjesa kryesore e rritjes së funksionit. Formula e linearizimit të funksionit. Kuptimi gjeometrik i diferencialit.

31. Diferenciali i një funksioni të përbërë. Invarianca e formës diferenciale.

32. Teoremat e Rolle-s, Lagranzhit dhe Cauchy-së mbi vetitë e funksioneve të diferenciueshme. Formula e rritjeve të fundme.

33. Zbatimi i derivatit për zbulimin e pasigurive brenda. Rregulli i L'Hopital.

34. Përkufizimi derivat rendi i n-të. Rregullat për gjetjen e derivatit të rendit të n-të. Formula e Leibniz-it. Diferencat e rendit më të lartë.

35. Formula Taylor me termin e mbetur në formën Peano. Termat e mbetur në formën e Lagranzhit dhe Cauchy.

36. Funksionet rritëse dhe pakësuese. pika ekstreme.

37. Konveksiteti dhe konkaviteti i një funksioni. Pikat e lakimit.

38. Ndërprerje të pafundme funksioni. Asimptota.

39. Skema për vizatimin e grafikut të funksionit.

40. Përkufizimi i antiderivativit. Vetitë kryesore të antiderivativit. Rregullat më të thjeshta të integrimit. Tabela e integraleve të thjeshta.

41. Integrimi me ndryshim të ndryshores dhe formula e integrimit sipas pjesëve në integralin e pacaktuar.

42. Integrimi i shprehjeve të formës e ax cos bx dhe e ax sin bx duke përdorur marrëdhënie rekursive.

	43. Integrimi i një thyese			duke përdorur marrëdhënie rekursive.
			a 2 n

44. Integrali i pacaktuar i një funksioni racional. Integrimi i thyesave të thjeshta.

45. Integrali i pacaktuar i një funksioni racional. Zbërthimi i thyesave të duhura në të thjeshta.

46. Integrali i pacaktuar i një funksioni irracional. Integrimi i shprehjes

	R x, m

47. Integrali i pacaktuar i një funksioni irracional. Integrimi i shprehjeve të trajtës R x , ax 2 bx c . Zëvendësimet e Euler-it.

48. Integrimi i shprehjeve të formës

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Integrali i pacaktuar i një funksioni irracional. Integrimi i diferencialeve binomiale.

50. Integrimi i shprehjeve trigonometrike. Zëvendësimi universal trigonometrik.

51. Integrimi i shprehjeve racionale trigonometrike në rastin kur integrani është tek në lidhje me mëkatin x (ose cos x) ose edhe në lidhje me sin x dhe cos x.

52. Integrimi i shprehjes sin n x cos m x dhe sin n x cos mx.

53. Integrimi i shprehjes tg m x dhe ctg m x.

54. Integrimi i shprehjes R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 dhe R x , x 2 a 2 duke përdorur zëvendësime trigonometrike.

55. Integral i caktuar. Problemi i llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi lakor.

56. shumat integrale. Shumat Darboux. Teorema mbi kushtin për ekzistencën e një integrali të caktuar. Klasat e funksioneve të integrueshme.

57. Vetitë e një integrali të caktuar. Teorema mbi vlerën mesatare.

58. Integrali i caktuar në funksion të kufirit të sipërm. Formula Njuton-Leibniz.

59. Ndryshimi i formulës së ndryshueshme dhe formulës për integrimin sipas pjesëve në një integral të caktuar.

60. Zbatimi i llogaritjes integrale në gjeometri. Vëllimi i figurës. Vëllimi i figurave të rrotullimit.

61. Zbatimi i llogaritjes integrale në gjeometri. Sipërfaqja e një figure të rrafshët. Zona e sektorit lakor. Gjatësia e kurbës.

62. Përkufizimi i një integrali jo të duhur të llojit të parë. Formula Newton-Leibniz për integrale të pahijshme të llojit të parë. Karakteristikat më të thjeshta.

63. Konvergjenca e integraleve jo të duhura të llojit të parë për një funksion pozitiv. Teorema e krahasimit 1 dhe 2.

64. Konvergjenca absolute dhe e kushtëzuar e integraleve jo të duhura të llojit të parë të një funksioni alternativ. Kriteret e konvergjencës për Abel dhe Dirichlet.

65. Përkufizimi i një integrali të pasaktë të llojit të dytë. Formula Njuton-Leibniz për integrale të pahijshme të llojit të dytë.

66. Lidhja e integraleve jo të duhura Lloji i parë dhe i dytë. Integrale të pahijshme në kuptimin e vlerës kryesore.

Lëreni ndryshoren x n merr një sekuencë të pafund vlerash

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

dhe ligji i ndryshimit të ndryshores është i njohur x n, d.m.th. për çdo numër natyror n ju mund të specifikoni vlerën përkatëse x n. Kështu supozohet se ndryshorja x nështë një funksion i n:

x n = f(n)

Le të përcaktojmë një nga konceptet më të rëndësishme të analizës matematikore - kufiri i një sekuence, ose, çfarë është e njëjta, kufiri i një ndryshoreje x n sekuencë vrapimi x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Përkufizimi. numër konstant a thirrur kufiri i sekuencës x 1 , x 2 , ..., x n , ... . ose kufiri i një ndryshoreje x n, nëse për një numër pozitiv arbitrarisht të vogël e ekziston një numër i tillë natyror N(dmth numri N) që të gjitha vlerat e ndryshores x n, duke filluar me x N, ndryshojnë nga a më pak në vlerë absolute se e. Ky përkufizim është shkruar shkurtimisht si më poshtë:

| x n - a |< (2)

per te gjithe n  N, ose, që është e njëjta,

Përkufizimi i kufirit Cauchy. Një numër A quhet kufiri i një funksioni f (x) në një pikë a nëse ky funksion përcaktohet në një fqinjësi të pikës a, me përjashtim ndoshta të vetë pikës a, dhe për çdo ε > 0 ekziston δ > 0 e tillë që për të gjitha x kushtet e kënaqshme |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Përkufizimi i kufirit Heine. Një numër A quhet kufiri i një funksioni f (x) në një pikë a nëse ky funksion përcaktohet në një fqinjësi të pikës a, me përjashtim ndoshta të vetë pikës a dhe për çdo sekuencë të tillë që duke konverguar me numrin a, sekuenca përkatëse e vlerave të funksionit konvergon me numrin A.

Nëse funksioni f(x) ka një kufi në pikën a, atëherë ky kufi është unik.

Numri A 1 quhet kufiri i majtë i funksionit f (x) në pikën a nëse për çdo ε > 0 ekziston δ >

Numri A 2 quhet kufiri i duhur i funksionit f (x) në pikën a nëse për çdo ε > 0 ekziston δ > 0 i tillë që mosbarazimi

Kufiri në të majtë shënohet si kufi në të djathtë - Këto kufij karakterizojnë sjelljen e funksionit majtas dhe djathtas të pikës a. Ato shpesh quhen kufij me një drejtim. Në shënimin e kufijve të njëanshëm si x → 0, zeroja e parë zakonisht hiqet: dhe . Pra, për funksionin

Nëse për çdo ε > 0 ekziston një fqinjësi δ e një pike a e tillë që për të gjitha x që plotësojnë kushtin |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, atëherë themi se funksioni f (x) ka një kufi të pafund në pikën a:

Kështu, funksioni ka një kufi të pafund në pikën x = 0. Shpesh dallohen kufijtë e barabartë me +∞ dhe –∞. Kështu që,

Nëse për çdo ε > 0 ekziston δ > 0 i tillë që për çdo x > δ pabarazia |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema e ekzistencës për kufirin më të vogël të sipërm

Përkufizimi: AR mR, m - faqja e sipërme (e poshtme) e A-së, nëse аА аm (аm).

Përkufizimi: Bashkësia A është e kufizuar nga lart (nga poshtë), nëse ekziston m e tillë që аА, atëherë am (аm) është e kënaqur.

Përkufizimi: SupA=m, nëse 1) m - kufiri i sipërm i A

2) m’: m’ m' nuk është fytyra e sipërme e A

InfA = n nëse 1) n është infimum i A

2) n’: n’>n => n’ nuk është një infimum i A

Përkufizimi: SupA=m është një numër i tillë që: 1)  aA am

2) >0 a  A, e tillë që a  a-

InfA = n quhet një numër i tillë që:

2) >0 a  A, e tillë që një E a+

Teorema:Çdo grup jo bosh АR i kufizuar nga lart ka një kufi të sipërm më të mirë, dhe një unik në atë.

Dëshmi:

Ndërtojmë një numër m në drejtëzën reale dhe vërtetojmë se kjo është kufiri më i vogël i sipërm i A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - faqja e sipërme e A

Segmenti [[m],[m]+1] - i ndarë në 10 pjesë

m 1 =maksimumi:aA)]

m 2 =maksimumi,m 1:aA)]

m në = max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - fytyra e sipërme A

Le të vërtetojmë se m=[m],m 1 ...m K është kufiri më i vogël i sipërm dhe se është unik:

për: .

Oriz. 11. Grafiku i funksionit y harksin x.

Le të prezantojmë tani konceptin e një funksioni kompleks ( shfaqin kompozime). Le të jepen tri bashkësi D, E, M dhe le të jenë f: D→E, g: E→M. Natyrisht, është e mundur të ndërtohet një pasqyrim i ri h: D→M, i quajtur një përbërje e pasqyrave f dhe g ose një funksion kompleks (Fig. 12).

Një funksion kompleks shënohet si më poshtë: z =h(x)=g(f(x)) ose h = f o g.

Oriz. 12. Ilustrim për konceptin e një funksioni kompleks.

Funksioni f (x) thirret funksioni i brendshëm, dhe funksioni g (y) - funksioni i jashtëm.

1. Funksioni i brendshëm f (x) = x², g i jashtëm (y) sin y. Funksioni kompleks z= g(f(x))=sin(x²)

2. Tani anasjelltas. Funksioni i brendshëm f (x)= sinx, i jashtëm g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Kursi ka për qëllim bachelor dhe master të specializuar në matematikë, ekonomi ose shkenca natyrore, si dhe mësues të matematikës të shkollave të mesme dhe profesorë universiteti. Do të jetë gjithashtu e dobishme për studentët që janë thellësisht të përfshirë në matematikë.

Struktura e kursit është tradicionale. Lënda mbulon materialin klasik të analizës matematikore, i studiuar në vitin e parë të universitetit në semestrin e parë. Do të prezantohen seksionet "Elementet e teorisë së bashkësive dhe numrave realë", "Teoria e sekuencave numerike", "Kufizimi dhe vazhdimësia e një funksioni", "Diferencimi i një funksioni", "Zbatimet e diferencibilitetit". Do të njihemi me konceptin e një bashkësie, do të japim një përkufizim rigoroz të një numri real dhe do të studiojmë vetitë e numrave realë. Pastaj do të flasim për sekuencat e numrave dhe vetitë e tyre. Kjo do të na lejojë të shqyrtojmë konceptin e një funksioni numerik, i cili është i njohur mirë për nxënësit e shkollës, në një nivel të ri, më rigoroz. Prezantojmë konceptin e kufirit dhe vazhdimësisë së një funksioni, diskutojmë vetitë e funksioneve të vazhdueshme dhe zbatimin e tyre në zgjidhjen e problemeve.

Në pjesën e dytë të kursit, ne do të përcaktojmë derivatin dhe diferencibilitetin e një funksioni të një ndryshoreje dhe do të studiojmë vetitë e funksioneve të diferencueshme. Kjo do t'ju lejojë të mësoni se si të zgjidhni probleme të tilla të rëndësishme të aplikuara si llogaritja e përafërt e vlerave të një funksioni dhe zgjidhja e ekuacioneve, llogaritja e kufijve, studimi i vetive të një funksioni dhe ndërtimi i grafikut të tij. .

Formati

Forma e arsimimit është me kohë të pjesshme (në distancë).
Klasat javore do të përfshijnë shikimin e leksioneve video tematike dhe përfundimin e detyrave testuese me verifikim të automatizuar të rezultateve.
Një element i rëndësishëm i studimit të disiplinës është zgjidhja e pavarur e problemeve llogaritëse dhe e problemeve të provës. Zgjidhja duhet të përmbajë arsyetime rigoroze dhe logjikisht të sakta që çojnë në përgjigjen e saktë (në rastin e një problemi llogaritjeje) ose vërtetimin e plotë të deklaratës së nevojshme (për problemet teorike).

Kërkesat

Kursi është projektuar për bachelor me 1 vit studim. Kërkon njohuri të matematikës fillore në vëllimin e shkollës së mesme (11 klasa).

Programi i kursit

Leksioni 1 Elementet e teorisë së grupeve.
Leksioni 2 Koncepti i një numri real. Fytyrat e sakta të grupeve numerike.
Leksioni 3 Veprimet aritmetike me numra realë. Vetitë e numrave realë.
Leksioni 4 Sekuencat numerike dhe vetitë e tyre.
Leksioni 5 sekuenca monotone. Kriteri Cauchy për konvergjencën e sekuencës.
Leksioni 6 Koncepti i një funksioni të një ndryshoreje. Kufiri i funksionit. Funksione pafundësisht të vogla dhe pafundësisht të mëdha.
Leksioni 7 Vazhdimësia e funksionit. Klasifikimi i pikave të ndërprerjes. Vetitë lokale dhe globale të funksioneve të vazhdueshme.
Leksioni 8 Funksionet monotone. Funksioni i anasjelltë.
Leksioni 9 Funksionet elementare më të thjeshta dhe vetitë e tyre: funksionet eksponenciale, logaritmike dhe të fuqisë.
Leksioni 10 Funksionet trigonometrike dhe të anasjellta trigonometrike. Kufij të shquar. Vazhdimësia uniforme e një funksioni.
Leksioni 11 Koncepti i derivatit dhe diferencialit. Kuptimi gjeometrik i derivatit. Rregullat e diferencimit.
Leksioni 12 Derivatet e funksioneve elementare themelore. Diferenciali i funksionit.
Leksioni 13 Derivatet dhe diferencialet e rendit te larte. Formula e Leibniz-it. Derivatet e funksioneve të dhëna parametrikisht.
Leksioni 14 Vetitë themelore të funksioneve të diferencueshme. Teoremat e Rolit dhe Lagranzhit.
Leksioni 15 Teorema e Cauchy-t. Rregulli i parë i L'Hospital për zbulimin e pasigurive.
Leksioni 16 Rregulli i dytë i L'Hopital për zbulimin e pasigurive. Formula Taylor me termin e mbetur në formën Peano.
Leksioni 17 Formula e Taylor-it me një term të mbetur në formë të përgjithshme, në formën e Lagranzhit dhe Cauchy. Zgjerimi i Maclaurin-it i funksioneve themelore elementare. Zbatimet e formulës Taylor.
Leksioni 18 Kushtet e mjaftueshme për një ekstrem. Asimptotat e grafikut të një funksioni. Konveks.
Leksioni 19 Pikat e lakimit. Skema e përgjithshme e studimit të funksionit. Shembuj të komplotit.

Rezultatet e mësimit

Si rezultat i zotërimit të lëndës, studenti do të marrë një ide për konceptet bazë të analizës matematikore: grupin, numrin, sekuencën dhe funksionin, do të njihet me vetitë e tyre dhe do të mësojë se si t'i zbatojë këto veti në zgjidhjen e problemeve.

Lënda është një video incizim në studio i gjysmës së parë të semestrit të parë të leksioneve për analizën matematikore në formën në të cilën ato lexohen në Universitetin Akademik. Për 4 module studentët do të njihen me konceptet bazë të analizës matematikore: sekuencat, kufijtë dhe vazhdimësia. Ne e kufizojmë veten në numra realë dhe funksione të një ndryshoreje. Prezantimi do të kryhet në një nivel mjaft elementar pa përgjithësime të mundshme që nuk ndryshojnë idetë kryesore të provave, por e komplikojnë dukshëm perceptimin. Të gjitha pohimet (përveç disa justifikimeve të mërzitshme formale në fillim të kursit dhe në përkufizimin e funksioneve elementare) do të vërtetohen me rigorozitet. Regjistrimet video shoqërohen me një numër të madh detyrash që studentët të punojnë në mënyrë të pavarur.

Për kë është ky kurs

Studentë universitarë të specialiteteve teknike

Nxënësit duhet të zotërojnë mirë kurrikulën e shkollës në matematikë. Domethënë, është e nevojshme të dihet se si duken grafikët e funksioneve kryesore elementare, të njihen formulat themelore për funksionet trigonometrike, eksponenciale dhe logaritmike, për progresionet aritmetike dhe gjeometrike, si dhe të jemi në gjendje të bëjmë me siguri transformime algjebrike me barazi dhe pabarazitë. Për disa probleme, duhet të njihen edhe vetitë më të thjeshta të numrave racionalë dhe irracionalë.