Parimi i d'Alembert për një pikë materiale. Forma e ekuacionit të lëvizjes në përputhje me ligjet e Njutonit nuk është e vetmja. Këto ekuacione mund të shkruhen edhe në forma të tjera. Një nga këto mundësi është Parimi i d'Alembert, i cili zyrtarisht lejon që ekuacionet diferenciale të lëvizjes të marrin formën e ekuacioneve të ekuilibrit.

Ky parim mund të konsiderohet si një aksiomë e pavarur, duke zëvendësuar ligjin e dytë të Njutonit. Ne e përdorim atë si një mjet për zgjidhjen e problemeve dhe e nxjerrim atë nga ligji i Njutonit.

Merrni parasysh lëvizjen e një pike materiale në lidhje me një kornizë inerciale të referencës. Për një pikë materiale të lirë

ne kemi: se = = I.

Vektor transferues se në anën e djathtë të barazisë, ky raport mund të përfaqësohet si një ekuacion ekuilibri: Unë - kjo - 0.

Ne prezantojmë konceptin forcat e inercisë. Le ta quajmë vektorin e drejtuar të kundërt me nxitimin dhe të barabartë me prodhimin e masës së pikës dhe nxitimit të saj forca e inercisë së një pike materiale: = -ta.

Duke përdorur këtë koncept, ne mund të shkruajmë (Fig. 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Oriz. 3.42.

për pikën materiale

Ekuacioni (3.47) është parimi i d'Alembert për një pikë materiale të lirë: nëse forca e inercisë u shtohet forcave të aplikuara në pikë, atëherë pika do të jetë në gjendje ekuilibri.

Në mënyrë të rreptë, qëndrimi i deklaruar nuk është parimi i d'Alembert në formën në të cilën është formuluar nga autori.

konsideroi d'Alembert lëvizje jo e lirë e një pike, pa përdorur parimin e çlirimit nga lidhjet, pa futur një reaksion lidhjeje. Duke vënë në dukje se në prani të një lidhjeje, nxitimi i një pike nuk përkon në drejtim me forcën dhe ta F R, ai prezantoi konceptin humbi fuqinë P - se dhe deklaroi se aplikimi i një force të humbur në një pikë nuk e prish gjendjen e saj të ekuilibrit, pasi forca e humbur balancohet nga reagimi i lidhjes.

Lidhja (3.47) është ekuacioni bazë i kinetostatikës, ose Ekuacioni parimor i Hermann në Petersburg-Euler. Metoda e kinetostatikës mund të konsiderohet si një modifikim i parimit d'Alembert, duke përfshirë një pikë të lirë materiale, e cila është më e përshtatshme për përdorim praktik. Prandaj, në shumicën e burimeve letrare, ekuacioni (3.47) quhet parimi d'Alembert.

Nëse pika nuk është e lirë, d.m.th. i është vendosur një kufizim, është i përshtatshëm për të ndarë forcat që veprojnë në pikë në aktive 1, R°(cilësimi-

dhënë) dhe reagimi i lidhjes CU: p(a) + n =

Kjo teknikë është e përshtatshme, sepse për disa lloje lidhjesh është e mundur të hartohet një ekuacion i lëvizjes në atë mënyrë që reaksionet e këtyre lidhjeve të mos përfshihen në të. Kështu, parimi d'Alembert për një pikë jo të lirë mund të shkruhet si (Fig. 3.43):

R (a)+/V+ R W) = 0, (3.48)

d.m.th., nëse një forcë inerciale zbatohet në një pikë materiale jo të lirë, përveç forcave aktive dhe reaksionit të bashkimit, atëherë sistemi i forcave që rezulton do të jetë në ekuilibër në çdo kohë.

Oriz. 3.43.

pika materiale

A- nga anglishtja, aktive- aktive. Kujtoni që forcat quhen aktive nëse ruajnë vlerat e tyre kur hiqen të gjitha lidhjet.

Kur merret parasysh lëvizja lakorike e një pike, këshillohet që forca e inercisë të përfaqësohet në formën e dy komponentëve: Г "‘ n) \u003d -ta n- centrifugale dhe W, p) \u003d -ta x - tangjente (Fig. 3.44).

Oriz. 3.44.

lëvizja e një pike materiale

Kujtojmë se shprehjet për nxitimet normale dhe tangjenciale kanë formën: a p -U 2 / p dhe i t = s1U D/L

Atëherë mund të shkruani: P^ t) - -t-p Rp p) - -t-t, ose më në fund: P

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3,49)

Barazia (3.49) shpreh parimin e d'Alembert për lëvizjen kurvilineare të një pike jo të lirë.

Konsideroni një fije me gjatësi /, në fund të së cilës është fiksuar një pikë në masë T. Fije rrotullohet rreth një boshti vertikal, duke përshkruar një sipërfaqe konike me një kënd të vazhdueshëm të prirjes së gjeneratorit A. Përcaktoni shpejtësinë konstante përkatëse të pikës dhe tensionin e fillit T(Fig. 3.45).

Oriz. 3.45.

lëvizja e një pike materiale jo të lirë

Po, por: /u, /, a = konst. Gjej: T, V.

Le të zbatojmë në pikën forcat inerciale të drejtuara në mënyrë të kundërt me përbërësit përkatës të nxitimit. Vini re se forca tangjenciale e inercisë është zero, pasi sipas kushteve shpejtësia është konstante:

/1°") = -ta = -t-= Oh

kurse forca centrifugale e inercisë përcaktohet me shprehjen P^ m) \u003d mU 2 /p, ku p = /Bta.

Zbatimi i parimit d'Alembert në këtë problem na lejon të shkruajmë ekuacionin e lëvizjes së pikës materiale të studiuar në formën e një kushti për ekuilibrin e forcave konvergjente: T? + T + Pp n) = 0.

Në këtë rast, të gjitha ekuacionet e ekuilibrit janë të vlefshme në projeksionin në boshtet e koordinatave natyrore:

X^n=0, - FJ" 1+ Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + T cosa = 0,

+ T mëkat a =

-mg + T cosa = 0,

ku gjejmë T= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

Parimi i d'Alembert për një sistem pikash materiale. Merrni parasysh lëvizjen e një sistemi mekanik të pikave materiale. Ashtu si me tërheqjen e OZMS, ne i ndajmë forcat e aplikuara në secilën pikë në të jashtme dhe të brendshme (Fig. 3.46).

Oriz. 3.46.

Le të jetë ' rezultantja e forcave të jashtme të aplikuara në pikën /-të, dhe / G (L - rezultanta e forcave të brendshme të aplikuara në të njëjtën pikë. Në përputhje me parimin d'Alembert, forcat inerciale duhet të zbatohen në çdo material pika e sistemit: Рр n) = -т,а г

Atëherë forcat e aplikuara në secilën pikë të sistemit plotësojnë relacionin:

1?E) + pY) + p0n)

ato. sistemi i pikave materiale do të jetë në ekuilibër nëse në secilën pikë të tij zbatohet një forcë shtesë e inercisë. Kështu, me ndihmën e parimit d'Alembert, është e mundur që ekuacioneve të lëvizjes së sistemit t'u jepet forma e ekuacioneve të ekuilibrit.

Le të shprehim kushtet e ekuilibrit kinetostatik të sistemit duke përdorur ekuivalentët statikë të forcave inerciale dhe forcave të jashtme. Për këtë qëllim, ne përmbledhim mbi të gjitha P ekuacionet (A), duke përshkruar forcat e aplikuara në pikat individuale të sistemit. Pastaj ne llogarisim momentet e të gjitha forcave të jashtme dhe të brendshme dhe forcat e inercisë të aplikuara në pika individuale, në lidhje me një pikë arbitrare RRETH:

g a X R "E> + g a X /*") + g a X P t > =0. і = 1,2,..., ".

Pastaj përmbledhim, si rezultat marrim

// fq fq

'(E) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M (0 E) + M (0 n + M% a) = 0.

Sepse K i)= 0 dhe M 1 0 p = 0, më në fund kemi:

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M (a E) + M('n) = 0.

Nga sistemi i ekuacioneve (3.50) mund të shihet se vektori kryesor i forcave inerciale balancohet nga vektori kryesor i forcave të jashtme, dhe momenti kryesor i forcave të inercisë në lidhje me një pikë arbitrare balancohet nga momenti kryesor i forcave të jashtme. në lidhje me të njëjtën pikë.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, është e nevojshme të kemi shprehje për vektorin kryesor dhe momentin kryesor të forcave të inercisë. Madhësitë dhe drejtimet e këtyre vektorëve varen nga shpërndarja e nxitimeve të pikave individuale dhe masave të tyre. Si rregull, një përkufizim i drejtpërdrejtë Unë (sh) Dhe M (""] Përmbledhja gjeometrike mund të kryhet relativisht thjesht vetëm kur P - 2 ose P= 3. Në të njëjtën kohë, në problemin e lëvizjes së një trupi të ngurtë, është e mundur të shprehen ekuivalentët statikë të forcave inerciale në disa raste të veçanta të lëvizjes në varësi të karakteristikave kinematike.

Vektori kryesor dhe momenti kryesor i forcave të inercisë së një trupi të ngurtë në raste të ndryshme lëvizjeje. Sipas teoremës mbi lëvizjen e qendrës së masës t me një c \u003d I (E). Sipas parimit të d'Alembert, ne kemi: I (1P) + I (E) = Oh, ku e gjejmë: Unë "1P) = -t me një me. Kështu, me çdo lëvizje të trupit vektori kryesor i forcave inerciale është i barabartë me produktin e masës trupore dhe nxitimin e qendrës së masës dhe është i drejtuar në kundërshtim me nxitimin e qendrës së masës.(Fig. 3.47).

Oriz. 3.47.

Le të shprehim momentin kryesor të forcave inerciale gjatë lëvizjes rrotulluese të trupit rreth një boshti fiks pingul me rrafshin e simetrisë materiale të trupit (Fig. 3.48). Forcat e inercisë të aplikuara në / -pikën: R"! n) = m, x op; 2 dhe R? P)= /u,ep,.

Meqenëse të gjitha forcat centrifugale të inercisë kryqëzojnë boshtin e rrotullimit, momenti kryesor i këtyre forcave të inercisë është zero, dhe momenti kryesor i forcave të inercisë tangjenciale është:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - J z (3.51)

Kështu, momenti kryesor i forcave tangjente të inercisë rreth boshtit të rrotullimit është i barabartë me produktin e momentit të inercisë rreth këtij boshti dhe nxitimit këndor, dhe drejtimi i momentit kryesor të forcave tangjenciale të inercisë është i kundërt me drejtimi i nxitimit këndor.

Oriz. 3.48.

rreth boshtit të rrotullimit

Më pas, ne shprehim forcat e inercisë për një lëvizje plan-paralele të trupit. Duke e konsideruar lëvizjen plan-paralele të trupit (Fig. 3.49) si shumën e lëvizjes përkthimore së bashku me qendrën e masës dhe rrotullimi rreth boshti që kalon nga qendra e masës pingul me planin e lëvizjes, mund të vërtetohet, në prani të një rrafshi të simetrisë materiale që përkon me rrafshin e lëvizjes së qendrës së masës, se forcat e inercisë në lëvizjen plan-paralele janë ekuivalente me vektorin kryesor / ? (" p) e aplikuar në qendrën e masës është e kundërt me nxitimin e qendrës së masës dhe momentin kryesor të forcave të inercisë M^ n) në lidhje me boshtin qendror, pingul me rrafshin e lëvizjes, i drejtuar në drejtim të kundërt me nxitimin këndor:

Oriz. 3.49.

Shënime.

• 1. Vini re se, meqë e lejon parimi d’Alembert thjesht shkruani ekuacionin e lëvizjes në formën e një ekuacioni ekuilibri, atëherë nuk jep asnjë integral të ekuacionit të lëvizjes.
• 2. Theksojmë se forca e inercisë në parimin e d'Alembert është gri fiktive, zbatohen krahas forcave vepruese me qëllimin e vetëm për të përftuar një sistem ekuilibri. Sidoqoftë, në natyrë ekzistojnë forca që janë gjeometrikisht të barabarta me forcat e inercisë, por këto forca zbatohen ndaj trupave të tjerë (përshpejtues), në bashkëveprim me të cilin lind një forcë përshpejtuese, e aplikuar në trupin e konsideruar lëvizës. Për shembull, kur lëvizni një pikë të fiksuar në një fije që rrotullohet me një shpejtësi konstante rreth një rrethi në një plan horizontal, tensioni i fillit është saktësisht i barabartë me forca e inercisë, ato. forca e reagimit të një pike në një fije, ndërsa pika lëviz nën veprimin e reagimit të fillit ndaj saj.
• 3. Siç u tregua tashmë, forma e mësipërme e parimit d'Alembert ndryshon nga ajo e përdorur nga vetë d'Alembert. Metoda e përpilimit të ekuacioneve diferenciale të lëvizjes së sistemit, e përdorur këtu, u zhvillua dhe u zgjerua nga një numër shkencëtarësh të Shën Petersburgut dhe mori emrin metoda kinetostatike.

Zbatimi i metodave të mekanikës në disa probleme të dinamikës së mjeteve hekurudhore:

? lëvizja e një automjeti hekurudhor përgjatë një binar të lakuar. Aktualisht, për shkak të aftësive të teknologjisë kompjuterike, analiza e të gjitha fenomeneve mekanike që ndodhin gjatë lëvizjes së një mjeti hekurudhor në një kurbë kryhet duke përdorur një model mjaft kompleks, i cili merr parasysh të gjithë grupin e trupave individualë të sistemit. dhe veçoritë e lidhjeve ndërmjet tyre. Kjo qasje bën të mundur marrjen e të gjitha karakteristikave të nevojshme kinematike dhe dinamike të lëvizjes.

Sidoqoftë, gjatë analizimit të rezultateve përfundimtare dhe kryerjes së vlerësimeve paraprake në literaturën teknike, mjaft shpesh hasen shtrembërime të caktuara të disa koncepteve të mekanikës. Prandaj, këshillohet të flasim për themelet më "origjinale" të përdorura në përshkrimin e lëvizjes së ekuipazhit në një kurbë.

Le të paraqesim disa përshkrime matematikore të proceseve të konsideruara në një formulim elementar.

Për një shpjegim të saktë dhe të qëndrueshëm të karakteristikave lëvizja e palëvizshme e ekuipazhit në një kurbë rrethore është e nevojshme:

• zgjidhni metodën e mekanikës së përdorur për të përshkruar këtë lëvizje;
• të vazhdojë nga një koncept i qartë, nga pikëpamja e mekanikës, i "forcës";
• mos harroni ligjin e barazisë së veprimit dhe reagimit.

Procesi i lëvizjes së ekuipazhit në një kurbë nënkupton në mënyrë të pashmangshme një ndryshim në drejtimin e shpejtësisë. Karakteristikë e shpejtësisë së këtij ndryshimi është nxitimi normal i drejtuar në qendrën e lakimit të trajektores së lakuar të qendrës së masës: a p - V 2/p, ku p është rrezja e kurbës.

Gjatë lëvizjes, automjeti ndërvepron me shina hekurudhore, duke rezultuar në forca reaktive normale dhe tangjenciale të aplikuara në grupet e rrotave. Natyrisht, forca të barabarta dhe të kundërta të presionit aplikohen në shina. Sipas koncepteve të mësipërme mekanike, forca kuptohet si rezultat i bashkëveprimit të trupave, ose një trupi dhe një fushë. Në problemin në shqyrtim ka dy sisteme fizike: një karrocë me rrota dhe një binar, prandaj forcat duhet të kërkohen në vendet e kontaktit të tyre. Përveç kësaj, ndërveprimi i ekuipazhit dhe fushës gravitacionale të Tokës krijon gravitet.

Përshkrimi i lëvizjes së ekuipazhit në kurbë mund të bëhet duke përdorur teorema të përgjithshme të dinamikës, të cilat janë pasoja të OZMS-së, ose të bazuara në parimet e mekanikës(për shembull, parimi d'Alembert), i cili është baza metoda kinetostatike.

Duke dashur të shpjegojë tipare të barabarta metodat për të marrë parasysh lakimin e boshtit të pistës në karakteristikat e lëvizjes së ekuipazhit, së pari përdorim modelin më të thjeshtë të idealizuar. Ekuipazhi do të konsiderohet si një aeroplan material me masë të barabartë me masën e këtij sistemi.

Qendra e masës e shtrirë në këtë rrafsh kryen një lëvizje të caktuar përgjatë një trajektoreje kongruente me boshtin e shtegut, me një shpejtësi v. Kontakti me trasenë hekurudhore kryhet në dy pika të kryqëzimit të aeroplanit lëvizës me fijet hekurudhore. Prandaj, duke folur për ndërveprimin e automjetit me shina hekurudhore, mund të flasim për forca të përqendruara, të cilat janë rezultat i të gjitha reagimeve të shinave në grupet e rrotave individuale nga secila prej binarëve. Për më tepër, natyra e shfaqjes së forcave reaktive është e parëndësishme;

? lëvizja e karrocës përgjatë trasesë pa lartësi të hekurudhës së jashtme. Në fig. 3.50 tregon skemën e projektimit të ekuipazhit që lëviz përgjatë një shtegu të lakuar. Binarët e jashtëm dhe të brendshëm, në këtë rast, janë të vendosura në të njëjtin nivel. Në fig. 3.50 tregon forcat që veprojnë mbi ekuipazhin dhe reagimet e lidhjeve. Theksojmë se nuk ka nuk ka forca reale centrifugale në këtë skemë.

Brenda kuadrit të mekanikës gjeometrike të Njutonit, lëvizja e një mjeti në një kurbë përshkruhet nga teorema të përgjithshme të dinamikës së sistemit.

Në këtë rast, sipas teoremës mbi lëvizjen e qendrës së masës,

t c a c - I a), (a)

ku R) është vektori kryesor i forcave të jashtme.

Projektimi i të dy pjesëve të shprehjes (A) në akset e koordinatave natyrore shoqëruese, qendra e të cilave është në qendër të masës së mjetit, me vektorë njësi m, i, b dhe besoni t s = T.

Në projeksionin në normalen kryesore, marrim që n \u003d F n, ose

mV / p \u003d Fn (b)

Ku F n - fuqi reale reaksionet hekurudhore ndaj grupeve të rrotave, e cila është shuma e projeksioneve të reaksioneve hekurudhore ndaj normales ndaj trajektores. Këto mund të jenë forcat e presionit drejtues të shinave në fllanxhat e rrotave. Nuk ka forca të tjera të jashtme në këtë drejtim.

Në projeksionin e shprehjes (A) në binormalen marrim:

O = -mg+Jo+N han. (Me)

Këtu janë indekset jashtë 1 korrespondojnë me të jashtmen, a bujtinë- hekurudha e brendshme e kurbës. Ana e majtë në shprehjen (c) është e barabartë me zero, pasi projeksioni i nxitimit në binormal është i barabartë me zero.

Ne marrim ekuacionin e tretë duke përdorur teoremën mbi ndryshimin e momentit këndor në lidhje me qendrën e masës:

dK c /dt = ^M c. (d)

Hartimi i një shprehjeje d në aksin t, ku t = nx b - prodhim vektorial i vektorëve njësi P Dhe b, duke pasur parasysh atë KCl\u003d U St me t, U St - momenti i inercisë së ekuipazhit rreth boshtit tangjent me trajektoren e qendrës së masës, do të kemi

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (e)

meqenëse nxitimi këndor rreth boshtit m në lëvizje të qëndrueshme përgjatë një lakore rrethore është zero.

Shprehjet ( b), (c) dhe (e) janë një sistem ekuacionesh algjebrike lineare për tre madhësi të panjohura M-tp> duke e zgjidhur atë, marrim:

Oriz. 3.50.

Kështu, zbatimi i qëndrueshëm i teoremave të përgjithshme të dinamikës na lejon të vendosim në problemin në shqyrtim të gjitha fenomenet që lidhen me kalimin e ekuipazhit të një seksioni lakor të pistës.

Në fakt, të dy rrotat i nënshtrohen forcave të drejtuara brenda kurbës. Rezultantja e këtyre forcave krijon një moment rreth qendrës së masës së mjetit, i cili mund të shkaktojë rrotullim dhe madje anim nga jashtë kurbës nëse V 2 N/p5" > g. Veprimi i kësaj force çon në konsumimin e rrotave. Natyrisht, forca e drejtuar në mënyrë të kundërt që vepron në hekurudhë -R fq shkakton konsumimin e hekurudhave.

Vini re se në deklaratën e mësipërme, mund të gjeni vetëm rezultatin e reaksioneve horizontale të dy binarëve R. Për të përcaktuar shpërndarjen e kësaj force midis shinave të brendshme dhe të jashtme, është e nevojshme të zgjidhet një problem statikisht i papërcaktuar duke përdorur kushte shtesë. Përveç kësaj, gjatë lëvizjes së karrocës, reagimet normale të shinave të jashtme dhe të brendshme kanë vlera të ndryshme. Fije hekurudhore e jashtme është më e ngarkuar.

Reagimi i fillit të brendshëm ndaj automjetit është më i vogël dhe në një vlerë të caktuar shpejtësie mund të jetë edhe zero.

Në mekanikën klasike, kjo gjendje quhet duke u përmbysur, edhe pse në fakt nuk ka ende asnjë përmbysje. Për të zbuluar se kur ndodh gjendja e përmbysjes aktuale, duhet të merret parasysh rrotullimi i makinës rreth një boshti paralel me m dhe që kalon nga pika e kontaktit të timonit me hekurudhën e jashtme në? T F 0. Një detyrë e tillë është me interes thjesht akademik, pasi, natyrisht, është e papranueshme të sillet një sistem real në një gjendje të tillë.

Theksojmë edhe një herë se në shpjegimin e të gjitha dukurive jemi nisur nga fakti lëvizja e makinës vetëm nën veprimin e forcave reale.

Vini re se ekuacioni diferencial i rrotullimit rreth boshtit m, edhe në = 0, shkruhet në lidhje me boshtin qendror m. Zgjedhja e këtij boshti në një pikë tjetër çon në një ndryshim në formën e anës së majtë të ekuacionit të teorema e momentit. Prandaj, është e pamundur, për shembull, të shkruhet ky ekuacion në të njëjtën formë në lidhje me boshtin që kalon nëpër pikën e kontaktit të timonit me hekurudhën, megjithëse do të duket se do të ishte më e lehtë të gjesh vlerën e reaksioneve normale. në këtë rast. Sidoqoftë, kjo qasje do të çojë në rezultatin e gabuar: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Mund të tregohet se çështja është se ekuacioni i rrotullimit rreth një boshti që kalon, për shembull, përmes një pike TE, duhet të shkruhet duke marrë parasysh momentin e momentit të trupit nga pjesa translatore e lëvizjes g x x ta s: J Cl? t+ T(g ks xx d)=^ M Kh.

Prandaj, në vend të ekuacionit (c) në projeksionin në boshtin St, marrim shprehjen

(8 )

/ St? t+ t[g ks X një c) t = -teB + N ipp 25,

ku në kllapa është vlera e projeksionit në boshtin St të produktit të vektorit ? ks ha s.

Le të tregojmë se zbatimi i njëpasnjëshëm i procedurave të nevojshme na lejon të gjejmë s w nga ekuacioni që rezulton). Nga fig. 3.50 tregon se

g ks - bp + Hb Dhe a c =

Le të llogarisim produktin e vektorit:

Këtu merret parasysh se php = 0 Dhe bxn = - t. Prandaj,

tNU 2

2L g/lp 5',

ku gjejmë reagimin e hekurudhës së brendshme:

që është i njëjtë me rezultatin e marrë në shprehjen (/).

Në përfundim të paraqitjes së problemit, theksojmë se shqyrtimi i makinës në lëvizjes përdorimi i metodave të Njutonit të mekanikës gjeometrike lejon zgjidhjen e problemit pa futjen e fiktive dhe kësaj inercie.Është e nevojshme vetëm të përdoren saktë të gjitha dispozitat e mekanikës. Megjithatë, duhet të theksohet se përdorimi i kësaj metode mund të shoqërohet me një sasi më të madhe llogaritjesh sesa, për shembull, kur përdoret parimi d'Alembert.

Le të tregojmë tani se si zgjidhet i njëjti problem bazuar në përdorimin e parimit d'Alembert në formën e pranuar përgjithësisht të metodës kinetostatike. Në këtë rast, është e nevojshme të aplikoni një shtesë

filetimi fiktive forca e inercisë: G* = -ta sp = -T-P. Dhe eki-

faqe ndalon, d.m.th. tani nxitimi i qendrës së saj të masës një c= 0. Në fig. 3.51 tregon të tilla sistemi i pushimit. Të gjitha forcat e aplikuara në të, duke përfshirë forcën e inercisë, duhet të plotësojnë ekuacionet kinetostatike ekuilibër, jo lëvizje, si në rastin e mëparshëm.

Kjo rrethanë na lejon të gjejmë të gjitha sasitë e panjohura nga ekuacioni i bilancit. Në këtë rast, zgjedhja e formës së ekuacioneve të ekuilibrit dhe pikave në lidhje me të cilat llogariten momentet bëhet arbitrare. Rrethana e fundit na lejon të gjejmë të gjitha të panjohurat në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra:

I M. = oh I m,_= oh

-n = rreth.

1 në deputet

Oriz. 3.51. Skema e projektimit të forcave që veprojnë në ekuipazh në të njëjtat kushte si në Fig. 3.50 kur përdoret parimi d'Alembert

Është e lehtë të shihet se zgjidhjet e këtij sistemi ekuacionesh përkojnë me formulat përkatëse të marra duke përdorur teorinë e dinamikës. Kështu, në shembullin në shqyrtim, zbatimi i parimit d'Alembert bëri të mundur që disi të thjeshtohej zgjidhja e problemit.

Megjithatë, gjatë interpretimit të rezultateve, duhet pasur parasysh se forca inerciale e aplikuar shtesë është fiktive në kuptimin që në realitet nuk ka një forcë të tillë që vepron mbi ekuipazhin. Përveç kësaj, kjo forcë nuk kënaq ligjin e tretë të Njutonit - nuk ka "fund të dytë" të kësaj force, d.m.th. asnjë opozitë.

Në përgjithësi, kur zgjidhen shumë probleme të mekanikës, përfshirë problemin e lëvizjes së ekuipazhit në një kurbë, është e përshtatshme të zbatohet parimi d'Alembert. Megjithatë, nuk duhet të lidhet asnjë fenomen me veprim kjo forcë e inercisë. Për shembull, të thuhet se kjo forcë centrifugale e inercisë ngarkon shtesë hekurudhën e jashtme dhe shkarkon atë të brendshme, dhe për më tepër, se kjo forcë mund të shkaktojë përmbysjen e mjetit. Kjo është jo vetëm analfabete, por edhe e pakuptimtë.

Kujtojmë edhe një herë se forcat e jashtme të aplikuara që veprojnë në karrocë në një kurbë dhe ndryshojnë gjendjen e lëvizjes së saj janë reaksionet e gravitetit, vertikale dhe horizontale të shinave;

? lëvizja e karrocës përgjatë një kthese me një lartësi të hekurudhës së jashtme. Siç u tregua, proceset që ndodhin kur automjeti kalon nëpër kthesa pa lartësi të hekurudhës së jashtme shoqërohen me pasoja të padëshirueshme - ngarkim vertikal i pabarabartë i shinave, një përgjigje normale e konsiderueshme horizontale e hekurudhës në timon, e shoqëruar me konsum të shtuar. si te rrotave ashtu edhe te shinave mundesia e permbysjes me tejkalim te shpejtesise.levizja e nje kufiri te caktuar etj.

Në një masë të madhe, dukuritë e pakëndshme që shoqërojnë kalimin e kthesave mund të shmangen duke ngritur hekurudhën e jashtme mbi atë të brendshme. Në këtë rast, karroca do të rrokulliset përgjatë sipërfaqes së konit me këndin e prirjes së gjeneratorit në boshtin horizontal (Fig. 3.52): f L \u003d hark (L / 25), ose në kënde të vogla

F A * L/2 S.

Oriz. 3.52.

me një lartësi të hekurudhës së jashtme

Në rastin e palëvizshëm, kur V- konst dhe φ A = konst, ne mund të konsiderojmë lëvizjen e një seksioni të sheshtë të karrocës në rrafshin e vet në të njëjtën mënyrë si kur futemi në një kurbë pa ngritur hekurudhën e jashtme.

Konsideroni një teknikë për zgjidhjen e problemit duke përdorur teorema të përgjithshme të dinamikës. Ne do të supozojmë se qendra e masës së mjetit lëviz përgjatë një kurbë rrethore me rreze p, megjithëse në rastin në fjalë, në mënyrë rigoroze, rrezja e lakimit të boshtit të trasesë ndryshon nga rrezja e lakimit të trajektores së qendrës. masë në një sasi të vogël:

H mëkat cf L ~ H f A "r.

Prandaj, krahasuar me p, vlera e fundit mund të neglizhohet. Lëvizja e "seksionit të sheshtë" të ekuipazhit do t'i atribuohet akseve shoqëruese SuSi x(shih Fig. 3.52), ku aksi Su] paralel me rrafshin e pistës. Me një shpejtësi konstante lëvizjeje, projeksioni i nxitimit të qendrës së masës në normalen kryesore të trajektores së lëvizjes së saj mund të shkruhet në të njëjtën mënyrë si kur lëvizni në një kurbë pa lartësi, d.m.th. një fq = V i/R.

Projeksionet e nxitimit në boshtin Su, dhe Cz^ janë të barabartë përkatësisht:

a ux = a p sovf,; I. \u003d një "smy h.

Ekuacionet e lëvizjes së një seksioni të rrafshët bazuar në teoremën mbi lëvizjen e qendrës së masës dhe teoremën mbi ndryshimin e momentit këndor në lidhje me boshtin Cx janë si më poshtë:

Duke marrë parasysh se = 0, pas zëvendësimit, marrim një sistem prej tre ekuacionesh algjebrike lineare në tre të panjohura F vi, N iiw, N (nuk:

/i-si Pf l = - mg cosV/, + N mn + N jashtë; P

-sof A = mgs ipf A + F ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Vini re se pjerrësia e rrafshit të boshtit të trasesë për shkak të lartësisë së hekurudhës së jashtme çon në një ndryshim në projeksionin e nxitimit të qendrës së masës në boshtin Cy, dhe Cr, i cili shoqërohet me një ndryshim në reaksionet e shinave në krahasim me ato në mungesë të lartësisë, kur A. - 0, a l Këto ndryshime në projeksionet e nxitimeve mund të shpjegohen nëse e konsiderojmë rrotullimin e mjetit rreth binormalit që kalon nëpër qendrën e lakimit të kurbës si shuma gjeometrike e dy rrotullimeve ω = ω (+ b) rreth boshteve?, y, duke kaluar nëpër të njëjtën qendër të kurbës.

Gjatë përpilimit të një sistemi ekuacionesh (për) vogëlsia e këndit cp L nuk ishte parashikuar. Megjithatë, në një dizajn praktik

wtf A ~ /g/25.

Kështu, në rastin e f L të vogël, sistemi i ekuacioneve për përcaktimin e reagimeve të trasesë ndaj automjetit ka formën e mëposhtme:

= -g^+ LG," + M gsh,;

T- = /vv#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Duke zgjidhur këto ekuacione, marrim:

N...... =

mg + TU/G

e premte/77 K DHE /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

Në rastin e veçantë kur nuk ka lartësi (DHE= 0), këto shprehje përkojnë me ato të marra më herët (/).

Tani le t'i drejtohemi analizës së rezultateve të zgjidhjes së problemit për Unë F 0.

Duhet të theksohet se në këtë rast reaksioni tërthor i hekurudhës, i drejtuar në rrafshin e trasesë, zvogëlohet. Kjo shpjegohet me faktin se në formimin e nxitimit të qendrës së masës në drejtim të boshtit Su, merr pjesë jo vetëm forca //, por edhe përbërësi i gravitetit. Për më tepër, për një vlerë të caktuar DHE\u003d 25K 2 / fq? forcë R bëhet zero:

Duke pasur parasysh se

t g - T,= X A,%>+ X A[

• (3.42)

Vlera në kllapa quhet nxitim i jashtëzakonshëm. Shteti kur P = 0, korrespondon me rastin në të cilin nxitimi normal A formohet vetëm nga projeksioni në boshtin d>, forca e gravitetit të ekuipazhit.

Kur diskutohet problemi në shqyrtim, ndonjëherë ekziston një arsyetim sofistik se nxitimi një fq drejtohet horizontalisht dhe graviteti është vertikal (shih Fig. 3.52) dhe për këtë arsye nuk mund të formojë nxitimin e konsideruar një fq në R= 0. Ky arsyetim përmban një gabim, pasi në formimin e nxitimit horizontal, përveç forcës R, marrin pjesë edhe reaksionet normale 1H tp + 1U oig \u003d mg. Prandaj, graviteti ende merr pjesë në formimin e nxitimit horizontal një p, por nëpërmjet veprimit të reaksioneve N m Dhe S oiG

Le të diskutojmë tani se si ndryshojnë reaksionet normale të shinave, pingul me sipërfaqen e trasesë.

Vini re se, ndryshe nga rasti /7 = 0, reagimet rriten me të njëjtën vlerë TU 2 I/2r28, e cila është lënë pas dore sepse ///25 - vlera është e vogël. Megjithatë, në arsyetimin rigoroz, hiqni këtë term për shprehjet dhe N w mos e bej.

Kur -> -2-, d.m.th. me nxitim pozitiv të jashtëzakonshëm, f 25

reagimi i hekurudhës së brendshme është më i vogël se ai i jashtëm, megjithatë, ndryshimi midis tyre nuk është aq i rëndësishëm sa me DHE = 0.

Nëse nxitimi i jashtëzakonshëm është i barabartë me zero, vlerat e reagimit bëhen të barabarta me IV oSH = mg|2(për të vogla DHE), ato. lartësia e hekurudhës së jashtme lejon jo vetëm të merret RU= 0, por gjithashtu barazoni presionin në shinat e jashtme dhe të jashtme. Këto rrethana bëjnë të mundur arritjen e vlerave më uniforme të veshjes për të dy binarët.

Megjithatë, për shkak të lartësisë së hekurudhës së jashtme, ekziston mundësia e një vlere negative R", i cili në një sistem real me kufizime jo mbajtëse korrespondon me procesin e rrëshqitjes së mjetit përgjatë aksit. y g ato. brenda kurbës. Për shkak të të njëjtës pjerrësi të shtegut, mund të ndodhë një rishpërndarje e reagimeve N w Dhe N oh! dominuese M sh.

Kështu, studimet e lëvizjes së një automjeti në një kurbë përgjatë një shtegu me një lartësi të hekurudhës së jashtme, të kryera duke përdorur metodat e mekanikës gjeometrike të Njutonit, bëjnë të mundur analizimin e gjendjes së sistemit pa hipoteza shtesë terminologjike. Nuk ka forca të inercisë në arsyetim.

Le të shqyrtojmë tani se si përshkruhet lëvizja e karrocës në të njëjtën kurbë duke përdorur parimin d'Alembert.

Duke zbatuar këtë parim në formulimin e metodës kinetostatike në të njëjtën mënyrë si në rastin e mëparshëm, është e nevojshme të zbatohet forca normale (centrifugale) e inercisë në qendrën e masës. Ä n), drejtuar në drejtim të kundërt me nxitimin normal (Fig. 3.53):

ku sistemi përsëri ndalon, d.m.th. ekuipazhi nuk po lëviz përgjatë rrugës. Prandaj, të gjitha ekuacionet e ekuilibrit kineto-statik janë të vlefshme:

I për të= °-X r* = O.

/L^ypf, - G‘ f sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Duke zëvendësuar vlerën këtu, marrim të njëjtin sistem ekuacionesh si sistemi (/) për çdo f / (ose (për) në të vogla DHE.

Kështu, përdorimi i të dyja metodave çon në të njëjtat rezultate. Sistemi i ekuacioneve ( për të) dhe sistemi i marrë në bazë të parimit d'Alembert janë identikë.

Vini re, megjithatë, se në rezultatet përfundimtare nuk përfshijnë asnjë forcë inerciale. Kjo është e kuptueshme, pasi parimi d'Alembert, i cili qëndron në themel të metodës së kinetostatikës, është vetëm një mjet për përpilimin e ekuacioneve diferenciale të lëvizjes së sistemit. Në të njëjtën kohë, shohim se në problemin në shqyrtim, zbatimi i parimit d'Alembert bëri të mundur thjeshtimin e llogaritjeve dhe mund të rekomandohet për llogaritje praktike.

Megjithatë, theksojmë edhe një herë se në realitet nuk ka pushtet TU 2/p aplikuar në qendrën e masës së mjetit në lëvizje. Prandaj, të gjitha fenomenet që lidhen me lëvizjen në një kurbë duhet të shpjegohen siç është bërë në bazë të një analize të rezultateve të zgjidhjes së sistemit (/), ose (Për).

Si përfundim theksojmë se "metoda e Njutonit" dhe "metoda e D'Alembertit" në problemin në shqyrtim u përdorën vetëm për qëllimin e përpilimit të ekuacioneve diferenciale të lëvizjes. Në të njëjtën kohë, në fazën e parë, nuk marrim asnjë informacion, përveç vetë ekuacioneve diferenciale. Zgjidhja e mëvonshme e ekuacioneve të marra dhe analiza e kryer nuk lidhen me metodën e përftimit të vetë ekuacioneve.

Oriz. 3.53.

• jashtë- nga anglishtja, e jashtme- e jashtme.
• bujtinë- nga anglishtja, e brendshme - brendshme.
• bujtinë- nga anglishtja, e brendshme - brendshme.

Parimi d'Alembert

Vepra kryesore e Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Traktat mbi dinamikën" - u botua në 1743

Pjesa e parë e traktatit i kushtohet ndërtimit të statikës analitike. Këtu d'Alembert formulon "parimet bazë të mekanikës", ndër të cilat janë "parimi i inercisë", "parimi i shtimit të lëvizjeve" dhe "parimi i ekuilibrit".

"Parimi i inercisë" është formuluar veçmas për rastin e pushimit dhe për rastin e lëvizjes drejtvizore uniforme. "Forca e inercisë, - shkruan d'Alembert, unë, së bashku me Njutonin, e quajmë vetinë e trupit për të ruajtur gjendjen në të cilën ndodhet."

"Parimi i mbledhjes së lëvizjeve" është ligji i mbledhjes së shpejtësive dhe forcave sipas rregullit të paralelogramit. Bazuar në këtë parim, d'Alembert zgjidh problemet e statikës.

"Parimi i ekuilibrit" është formuluar si teorema e mëposhtme: "Nëse dy trupa që lëvizin me shpejtësi në përpjesëtim të zhdrejtë me masat e tyre kanë drejtime të kundërta, kështu që një trup nuk mund të lëvizë pa u zhvendosur nga një vend në një trup tjetër, atëherë këta trupa do të jenë në ekuilibër. ". Në pjesën e dytë të Traktatit, d'Alembert propozoi një metodë të përgjithshme për përpilimin e ekuacioneve diferenciale të lëvizjes për çdo sistem material, bazuar në reduktimin e problemit të dinamikës në statikë. Ai formuloi një rregull për çdo sistem pikash materiale, të quajtur më vonë "parimi d'Alembert", sipas të cilit forcat e aplikuara në pikat e sistemit mund të zbërthehen në "vepruese", domethënë ato që shkaktojnë nxitimin e sistemi, dhe "i humbur", i nevojshëm për ekuilibrin e sistemit. d'Alembert beson se forcat që korrespondojnë me nxitimin "e humbur" formojnë një kombinim të tillë që nuk ndikon në sjelljen aktuale të sistemit. Me fjalë të tjera, nëse vetëm një grup forcash "të humbura" zbatohet në sistem, atëherë sistemi do të mbetet në qetësi. Formulimi modern i parimit d'Alembert u dha nga M. E. Zhukovsky në "Kursin e Mekanikës Teorike": "Nëse në një moment të kohës sistemi ndalet, ai është në lëvizje, dhe ne i shtojmë atij, përveç drejtimit të tij. forcat, të gjitha forcat e inercisë që i korrespondojnë një pike të caktuar kohore, atëherë do të vërehet një ekuilibër, ndërsa të gjitha forcat e presionit, tensionit etj. që zhvillohen midis pjesëve të sistemit në një ekuilibër të tillë, do të jenë forca reale të presioni, tensioni, etj. kur sistemi lëviz në momentin e konsideruar të kohës". Duhet të theksohet se vetë d'Alembert, kur prezantoi parimin e tij, nuk iu drejtua as konceptit të forcës (duke pasur parasysh se nuk është mjaft i qartë për t'u përfshirë në listën e koncepteve bazë të mekanikës), aq më pak konceptit. të forcës inerciale. Paraqitja e parimit të d'Alembert duke përdorur termin "forcë" i takon Lagranzhit, i cili në "Mekanikë analitike" e dha shprehjen e tij analitike në formën e parimit të zhvendosjeve të mundshme.Ishte Joseph Louis Lagrange (1736-1813) dhe veçanërisht Leonardo Euler (1707-1783) i cili luajti një rol thelbësor në shndërrimin përfundimtar të mekanikës në mekanikë analitike.

Mekanika analitike e një pike materiale dhe dinamika e trupit të ngurtë të Euler-it

Leonardo Euler- një nga shkencëtarët e shquar që dha një kontribut të madh në zhvillimin e shkencave fizike dhe matematikore në shekullin XVIII. Puna e tij është e habitshme në depërtimin e mendimit kërkimor, universalitetin e talentit dhe sasinë e madhe të trashëgimisë shkencore të lënë pas.

Tashmë në vitet e para të veprimtarisë së tij shkencore në Shën Petersburg (Euler mbërriti në Rusi në 1727), ai hartoi një program të një cikli madhështor dhe gjithëpërfshirës të punës në fushën e mekanikës. Kjo shtojcë gjendet në veprën e tij me dy vëllime "Mekanika ose shkenca e lëvizjes, e shprehur në mënyrë analitike" (1736). Mekanika e Euler-it ishte kursi i parë sistematik në mekanikën Njutoniane. Ai përmbante bazat e dinamikës së një pike - nga mekanika, Euler kuptonte shkencën e lëvizjes, në kontrast me shkencën e ekuilibrit të forcave, ose statikës. Tipari përcaktues i "Mekanikës" së Euler-it ishte përdorimi i gjerë i një aparati të ri matematikor - llogaritja diferenciale dhe integrale. Duke karakterizuar shkurtimisht veprat kryesore mbi mekanikën që u shfaqën në kthesën e shekujve 17-18, Euler vuri në dukje stilin bir-tethiko-gjeometrik të punës së tyre, i cili krijoi shumë punë për lexuesit. Është në këtë mënyrë që Elementet e Njutonit dhe Foronomia e mëvonshme (1716) nga J. Herman u shkruan. Euler thekson se veprat e Hermann dhe Njutonit janë deklaruar "sipas zakonit të të lashtëve me ndihmën e provave gjeometrike sintetike" pa përdorur analiza, "vetëm përmes së cilës mund të arrihet një kuptim i plotë i këtyre gjërave".

Metoda sintetike-gjeometrike nuk kishte karakter përgjithësues, por kërkonte, si rregull, ndërtime individuale për secilën detyrë veç e veç. Euler pranon se pasi studioi "Foronominë" dhe "Fillimet", ai, siç i dukej, "i kuptoi fare qartë zgjidhjet e shumë problemeve, por nuk mund të zgjidhte më probleme që devijonin deri diku prej tyre". Më pas ai u përpoq "të izolonte analizën e kësaj metode sintetike dhe të bënte të njëjtat propozime për përfitimin e tij në mënyrë analitike". Euler vëren se falë kësaj, ai e kuptoi thelbin e çështjes shumë më mirë. Ai zhvilloi metoda thelbësisht të reja për studimin e problemeve të mekanikës, krijoi aparatin e tij matematikor dhe e zbatoi shkëlqyeshëm atë në shumë probleme komplekse. Falë Euler-it, gjeometria diferenciale, ekuacionet diferenciale dhe llogaritja e variacioneve u bënë mjetet e mekanikës. Metoda e Euler-it, e zhvilluar më vonë nga pasardhësit e tij, ishte e paqartë dhe adekuate për këtë temë.

Puna e Euler-it mbi dinamikën e një trupi të ngurtë "Teoria e lëvizjes së trupave të ngurtë" ka një hyrje të madhe prej gjashtë seksionesh, ku dinamika e një pike është përshkruar përsëri. Një numër ndryshimesh janë bërë në hyrje: në veçanti, ekuacionet e lëvizjes së një pike shkruhen duke përdorur projeksionin në boshtin e koordinatave drejtkëndore fikse (dhe jo në tangjenten, normalen kryesore dhe normale, domethënë boshtin i një trekëndëshi natyror të paluajtshëm të lidhur me pikat e trajektores, si në "Mekanikë").

"Traktati mbi lëvizjen e trupave të ngurtë" pas hyrjes përbëhet nga 19 seksione. Traktati bazohet në parimin d'Alembert. Duke u ndalur shkurtimisht në lëvizjen përkthimore të një trupi të ngurtë dhe duke prezantuar konceptin e qendrës së inercisë, Euler merr parasysh rrotullimet rreth një boshti fiks dhe rreth një pike fikse Këtu janë formulat për projeksionet e shpejtësisë këndore të çastit, nxitimi këndor në boshtet e koordinatave, përdoren të ashtuquajturat kënde të Euler-it etj.. Më pas, veçoritë e momentit të përshkruhen inercitë, pas së cilës Euler vazhdon me dinamikën e një trupi të ngurtë të duhur. Ai nxjerr ekuacione diferenciale për rrotullimin e një trupi të rëndë rreth qendrës së tij të palëvizshme të gravitetit në mungesë të forcave të jashtme dhe i zgjidh ato për një rast të thjeshtë të veçantë. Kështu lindi problemi i njohur dhe po aq i rëndësishëm në teorinë e xhiroskopit në lidhje me rrotullimin e një trupi të ngurtë rreth një pike fikse. Euler gjithashtu punoi në teorinë e ndërtimit të anijeve, në sytë e hidro- dhe aeromekanikës, balistikës, teoria e stabilitetit dhe teoria e dridhjeve të vogla, mekanika qiellore etj.

Tetë vjet pas botimit të Mekanikës, Euler e pasuroi shkencën me formulimin e parë të saktë të parimit të veprimit më të vogël. Formulimi i parimit të veprimit më të vogël, i cili i përkiste Maupertuis, ishte ende shumë i papërsosur. Formulimi i parë shkencor i parimit i përket Euler-it. Ai e formuloi parimin e tij si më poshtë: integrali ka vlerën më të vogël për një trajektore reale, nëse marrim parasysh

e fundit në grupin e trajektoreve të mundshme që kanë një pozicion fillestar dhe përfundimtar të përbashkët dhe kryhen me të njëjtën vlerë energjetike. Euler siguron parimin e tij me një shprehje të saktë matematikore dhe një justifikim rigoroz për një pikë materiale, teston veprimet e forcave qendrore. Gjatë viteve 1746-1749 f. Euler shkroi disa letra mbi figurat e ekuilibrit të një filli fleksibël, ku parimi i veprimit më të vogël u zbatua për problemet në të cilat veprojnë forcat elastike.

Kështu, deri në vitin 1744, mekanika u pasurua me dy parime të rëndësishme: parimi d'Alembert dhe parimi Maupertuis-Euler i veprimit më të vogël. Bazuar në këto parime, Lagranzhi ndërtoi një sistem të mekanikës analitike.

Kur një pikë materiale lëviz, nxitimi i saj në çdo moment të kohës është i tillë që forcat e dhëna (aktive) të aplikuara në pikë, reaksionet e lidhjeve dhe forca fiktive d'Alembert Ф = - që formojnë një sistem të ekuilibruar forcash.

Dëshmi. Merrni parasysh lëvizjen e një pike materiale jo të lirë me një masë T në një kornizë inerciale referimi. Sipas ligjit bazë të dinamikës dhe parimit të lirimit nga obligacionet kemi:

ku F është rezultantja e forcave të dhëna (aktive); N është rezultati i reaksioneve të të gjitha lidhjeve të vendosura në pikë.

Është e lehtë të transformohet (13.1) në formën:

Vektori Ф = - se quhet forca e inercisë d'Alembert, forca e inercisë, ose thjesht Fuqia e d'Alembert. Në vijim do të përdorim vetëm termin e fundit.

Ekuacioni (13.3), që shpreh parimin d'Alembert në formë simbolike, quhet ekuacioni i kinetostatikës pika materiale.

Është e lehtë të merret një përgjithësim i parimit d'Alembert për një sistem mekanik (sistem P pikat materiale).

Për çdo për të Pika e tretë e sistemit mekanik, barazia (13.3) plotësohet:

Ku ? te - rezultat i forcave të dhëna (aktive) që veprojnë për të-pika; N te - rezultat i reaksioneve të lidhjeve të mbivendosura në k-të pikë; F k \u003d - që k- Forca d'Alembert për të- pika e saj.

Natyrisht, nëse kushtet e ekuilibrit (13.4) plotësohen për çdo trefish të forcave F*, N* : , Ф* (Për = 1,. .., P), pastaj i gjithë sistemi 3 P forcat

është i balancuar.

Rrjedhimisht, gjatë lëvizjes së një sistemi mekanik në çdo moment të kohës, forcat aktive të aplikuara ndaj tij, reaksionet e lidhjeve dhe forcat d'Alembert të pikave të sistemit formojnë një sistem të ekuilibruar forcash.

Forcat e sistemit (13.5) nuk janë më konvergjente, prandaj, siç dihet nga statika (seksioni 3.4), kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për ekuilibrin e tij kanë formën e mëposhtme:

Ekuacionet (13.6) quhen ekuacione të kinetostatikës së një sistemi mekanik. Për llogaritjet, përdoren projeksionet e këtyre ekuacioneve vektoriale në boshtet që kalojnë nëpër pikën e momentit. RRETH.

Vërejtje 1. Meqenëse shuma e të gjitha forcave të brendshme të sistemit, si dhe shuma e momenteve të tyre në lidhje me çdo pikë, është e barabartë me zero, atëherë në ekuacionet (13.6) mjafton të merren parasysh vetëm reaksionet e jashtme lidhjet.

Ekuacionet e kinetostatikës (13.6) zakonisht përdoren për të përcaktuar reaksionet e kufizimeve të një sistemi mekanik kur jepet lëvizja e sistemit, dhe për këtë arsye nxitimet e pikave të sistemit dhe forcat e d'Alembert që varen prej tyre. janë të njohura.

Shembulli 1 Gjeni reagime mbështetëse A Dhe NË bosht me rrotullimin e tij uniform në një frekuencë prej 5000 rpm.

Masat e pikave janë të lidhura fort me boshtin gp= 0,1 kg, t 2 = 0.2 kg. Madhësitë e njohura AC - CD - DB = 0.4 m h= 0,01 m Konsideroni masën e boshtit të papërfillshme.

Zgjidhje. Për të përdorur parimin d'Alembert për një sistem mekanik të përbërë nga dy masa pikash, ne tregojmë në diagramin (Fig. 13.2) forcat e dhëna (graviteti) Gi, G 2, reaksionin e lidhjeve N4, N # dhe d. 'Forcat Alembert Ф|, Ф 2.

Drejtimet e forcave të Dalambres janë të kundërta me nxitimet e masave pikësore T b t 2vj të cilat përshkruajnë në mënyrë uniforme rrathë me rreze h rreth boshtit AB bosht.

Ne gjejmë madhësitë e forcave të gravitetit dhe forcave të Dalambres:

Këtu shpejtësia këndore e boshtit bashkë- 5000* l/30 = 523,6 s Ah ah, Az, marrim kushtet e ekuilibrit për një sistem të sheshtë të forcave paralele Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2:

Nga ekuacioni i momenteve gjejmë N në = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, dhe nga ekuacioni i projeksionit në

boshti Aj: Na \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Ekuacionet e kinetostatikës (13.6) mund të përdoren gjithashtu për të marrë ekuacione diferenciale të lëvizjes së sistemit, nëse ato janë të përbëra në atë mënyrë që reaksionet e lidhjeve të përjashtohen dhe, si rezultat, të bëhet e mundur të merren varësitë të nxitimeve në forcat e dhëna.

Forcat e inercisë në dinamikën e një pike materiale dhe të një sistemi mekanik

Nga forca e inercisë i një pike materiale është prodhimi i masës së një pike dhe nxitimit të saj, i marrë me shenjën minus, d.m.th. forcat inerciale në dinamikë zbatohen në rastet e mëposhtme:

• 1. Gjatë studimit të lëvizjes së një pike materiale në joinerciale sistem koordinativ (lëvizës), pra lëvizje relative. Këto janë forcat translative dhe Coriolis të inercisë, të cilat shpesh quhen forcat Euler.
• 2. Gjatë zgjidhjes së problemeve të dinamikës duke përdorur metodën e kinetostatikës. Kjo metodë bazohet në parimin d'Alembert, sipas të cilit forcat e inercisë së një pike materiale ose një sistemi pikash materiale që lëvizin me një farë nxitimi në inerciale sistemi i referencës. Këto forca të inercisë quhen forca d'Alembert.
• 3. Forcat d'Alembert të inercisë përdoren gjithashtu në zgjidhjen e problemeve të dinamikës duke përdorur parimin Lagranzh-D'Alembert ose ekuacionin e përgjithshëm të dinamikës.

Shprehja në projeksione në boshtet e koordinatave karteziane

Ku - modulet e projeksioneve të nxitimit të pikës në boshtin koordinativ kartezian.

Me një lëvizje lakorike të një pike, forca e inercisë mund të zbërthehet në tangjenciale dhe normale:; , - moduli i nxitimeve tangjenciale dhe normale; - rrezja e lakimit të trajektores;

V- shpejtësi pikë.

Parimi i d'Alembert për një pikë materiale

Nëse jo falas në një pikë materiale që lëviz nën veprimin e forcave aktive të aplikuara dhe forcave të reagimit të lidhjeve, aplikoni forcën e saj të inercisë, atëherë në çdo kohë sistemi i forcave që rezulton do të jetë i balancuar, d.m.th., shuma gjeometrike e këtyre forcave do të jetë e barabartë me zero.

materiali i trupit me pikë mekanike

Ku - rezultantja e forcave aktive të aplikuara në pikë; - rezultanti i reaksioneve të lidhjeve të vendosura në pikë; forca e inercisë së një pike materiale. Shënim: Në fakt, forca e inercisë së një pike materiale nuk zbatohet në vetë pikën, por në trupin që i jep nxitim kësaj pike.

Parimi i d'Alembert për një sistem mekanik

shuma gjeometrike vektorët kryesorë të forcave të jashtme që veprojnë në sistem, dhe forcat inerciale të të gjitha pikave të sistemit, si dhe shuma gjeometrike e momenteve kryesore të këtyre forcave në lidhje me një qendër të caktuar për një sistem mekanik jo të lirë në çdo kohë janë të barabarta me zero, d.m.th.

Vektori kryesor dhe momenti kryesor i forcave të inercisë së një trupi të ngurtë

Vektori kryesor dhe momenti kryesor i forcave të inercisë së pikave të sistemit përcaktohen veçmas për çdo trup të ngurtë të përfshirë në këtë sistem mekanik. Përkufizimi i tyre bazohet në metodën Poinsot të njohur nga statika për sjelljen e një sistemi arbitrar forcash në një qendër të caktuar.

Bazuar në këtë metodë, forcat inerciale të të gjitha pikave të trupit në rastin e përgjithshëm të lëvizjes së tij mund të sillen në qendër të masës dhe të zëvendësohen nga vektori kryesor * dhe momenti kryesor. rreth qendrës së masës. Ato përcaktohen nga formula dmth për çdo lëvizja e një trupi të ngurtë, vektori kryesor i forcave inerciale është i barabartë me një shenjë minus me produktin e masës trupore dhe nxitimin e qendrës së masës së trupit; , Ku r kc -- vektori i rrezes k-të pikë e tërhequr nga qendra e masës. Këto formula në raste të veçanta të lëvizjes së një trupi të ngurtë kanë formën:

1. Lëvizja progresive.

2. Rrotullimi i një trupi rreth një boshti që kalon nga qendra e masës

3. Lëvizja plan-paralele

Hyrje në Mekanikë Analitike

Konceptet themelore të mekanikës analitike

Mekanika analitike- një zonë (seksion) e mekanikës, në të cilën lëvizja ose ekuilibri i sistemeve mekanike studiohet duke përdorur metoda analitike të përgjithshme, të unifikuara të përdorura për çdo sistem mekanik.

Le të shqyrtojmë konceptet më karakteristike të mekanikës analitike.

1. Lidhjet dhe klasifikimi i tyre.

Lidhjet- çdo kufizim në formën e trupave ose kushteve kinematike të vendosura në lëvizjen e pikave të një sistemi mekanik. Këto kufizime mund të shkruhen si ekuacione ose pabarazi.

Lidhje gjeometrike-- lidhjet, ekuacionet e të cilave përmbajnë vetëm koordinatat e pikave, pra kufizimet vendosen vetëm në koordinatat e pikave. Këto janë lidhje në formë trupash, sipërfaqesh, vijash etj.

Lidhjet diferenciale-- lidhjet që vendosin kufizime jo vetëm në koordinatat e pikave, por edhe në shpejtësinë e tyre.

Lidhje holonomike -- të gjitha lidhjet gjeometrike dhe ato diferenciale ekuacionet e të cilave mund të integrohen.

Kufizimet joholonomike-- lidhjet diferenciale të paintegrueshme.

Komunikime stacionare -- lidhjet, ekuacionet e të cilave nuk përfshijnë në mënyrë të qartë kohën.

Komunikimet jo stacionare- lidhjet që ndryshojnë me kalimin e kohës, d.m.th., ekuacionet e të cilave përfshijnë në mënyrë të qartë kohën.

Lidhje dypalëshe (mbajtëse) -- lidhjet që kufizojnë lëvizjen e një pike në dy drejtime të kundërta. Lidhje të tilla përshkruhen nga ekuacionet .

I njëanshëm lidhje (jo-mbajtëse) - lidhje që kufizojnë lëvizjen vetëm në një drejtim. Lidhje të tilla përshkruhen nga pabarazitë

2. Lëvizjet e mundshme (virtuale) dhe aktuale.

E mundshme ose Virtual zhvendosjet e pikave të një sistemi mekanik janë zhvendosje imagjinare infiniteminale që lejohen nga kufizimet e vendosura në sistem.

E mundshme Zhvendosja e një sistemi mekanik është një grup zhvendosjesh të njëkohshme të mundshme të pikave të sistemit që janë në përputhje me kufizimet. Le të jetë sistemi mekanik një mekanizëm fiksimi.

Pika e mundshme lëvizëse Aështë një zhvendosje e cila, për shkak të vogëlisë së saj, konsiderohet drejtvizore dhe e drejtuar pingul me OA.

Pika e mundshme lëvizëse NË(rrëshqitësi) po lëviz në udhëzues. Lëvizja e mundshme e fiksimit OAështë rrotullimi nga një kënd, dhe shufra lidhëse AB -- në një kënd rreth MCS (pika R).

E vlefshme Zhvendosjet e pikave të sistemit quhen edhe zhvendosje elementare, të cilat lejojnë lidhjet e mbivendosura, por duke marrë parasysh kushtet fillestare të lëvizjes dhe forcat që veprojnë në sistem.

Numri i gradave lirinë S i një sistemi mekanik është numri i zhvendosjeve të tij të pavarura të mundshme që mund t'u komunikohen pikave të sistemit në një moment të caktuar kohor.

Parimi i zhvendosjeve të mundshme (parimi i Lagranzhit)

Parimi i zhvendosjeve të mundshme ose parimi i Lagranzhit shpreh kushtin e ekuilibrit për një sistem mekanik jo të lirë nën veprimin e forcave aktive të aplikuara. Formulimi i parimit.

Për ekuilibër Për një sistem mekanik jo të lirë me kufizime dypalëshe, të palëvizshme, holonomike dhe ideale, i cili është në qetësi nën veprimin e forcave aktive të aplikuara, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e punëve elementare të të gjitha forcave aktive të jetë e barabartë me një plumb në çdo zhvendosja e mundshme e sistemit nga pozicioni i konsideruar i ekuilibrit:

Ekuacioni i përgjithshëm i dinamikës (parimi Lagrange-D'Alembert)

Ekuacioni i përgjithshëm i dinamikës zbatohet për studimin e lëvizjes së sistemeve mekanike jo të lira, trupat ose pikat e të cilave lëvizin me nxitime të caktuara.

Në përputhje me parimin d'Alembert, tërësia e forcave aktive të aplikuara në sistemin mekanik, forcat e reaksionit të lidhjeve dhe forcat e inercisë së të gjitha pikave të sistemit formon një sistem të balancuar forcash.

Nëse në një sistem të tillë zbatohet parimi i zhvendosjeve të mundshme (parimi i Lagranzhit), atëherë marrim parimin e kombinuar Lagranzh-D'Alembert ose ekuacioni i përgjithshëm i dinamikës.formulimi i këtij parimi.

Kur lëviz jo i lirë e një sistemi mekanik me kufizime të dyanshme, ideale, stacionare dhe holonomike, shuma e punëve elementare të të gjitha forcave aktive dhe forcave të inercisë të aplikuara në pikat e sistemit në çdo zhvendosje të mundshme të sistemit është e barabartë me zero:

Ekuacionet e Lagranzhit të llojit të dytë

Ekuacionet e Lagranzhit e llojit të dytë janë ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një sistemi mekanik në koordinata të përgjithësuara.

Për një sistem me S shkallët e lirisë, këto ekuacione kanë formën

Diferenca derivati ​​i përgjithshëm kohor i derivatit të pjesshëm të energjisë kinetike të sistemit në lidhje me shpejtësinë e përgjithësuar dhe derivati ​​i pjesshëm i energjisë kinetike në lidhje me koordinatën e përgjithësuar është i barabartë me forcën e përgjithësuar.

Ekuacionet e Lagranzhit për sistemet mekanike konservatore. Koordinatat dhe integralet ciklike

Për një sistem konservator, forcat e përgjithësuara përcaktohen në terma të energjisë potenciale të sistemit nga formula

Pastaj ekuacionet e Lagranzhit rishkruhen në formë

Meqenëse energjia potenciale e sistemit është funksion vetëm i koordinatave të përgjithësuara, d.m.th., duke marrë parasysh këtë, ne e paraqesim atë në formën ku T - P \u003d L - Funksioni i Lagranzhit (potenciali kinetik). Së fundi, ekuacionet e Lagranzhit për një sistem konservator

Qëndrueshmëria e pozicionit të ekuilibrit të një sistemi mekanik

Çështja e qëndrueshmërisë së pozicionit të ekuilibrit të sistemeve mekanike ka një rëndësi të drejtpërdrejtë në teorinë e lëkundjeve të sistemeve.

Pozicioni i ekuilibrit mund të jetë i qëndrueshëm, i paqëndrueshëm dhe indiferent.

të qëndrueshme pozicioni i ekuilibrit - një pozicion ekuilibri në të cilin pikat e një sistemi mekanik, që rrjedhin nga ky pozicion, më pas lëvizin nën veprimin e forcave në afërsi të afërt pranë pozicionit të tyre ekuilibër.

Kjo lëvizje do të ketë një shkallë të ndryshme përsëritjeje në kohë, d.m.th., sistemi do të kryejë një lëvizje osciluese.

e paqëndrueshme pozicioni i ekuilibrit - një pozicion ekuilibri nga i cili, me një devijim arbitrar të vogël të pikave të sistemit, në të ardhmen, forcat vepruese do t'i largojnë më tej pikat nga pozicioni i tyre i ekuilibrit. .

indiferent pozicioni i ekuilibrit - pozicioni i ekuilibrit, kur, për çdo devijim të vogël fillestar të pikave të sistemit nga ky pozicion në pozicionin e ri, sistemi gjithashtu qëndron në ekuilibër. .

Ekzistojnë metoda të ndryshme për përcaktimin e pozicionit të qëndrueshëm të ekuilibrit të një sistemi mekanik.

Konsideroni përkufizimin e një ekuilibri të qëndrueshëm bazuar në Teorema Lagranzh-Dirichlet

Nëse në pozicion ekuilibri i një sistemi mekanik konservator me kufizime ideale dhe stacionare, energjia e tij potenciale ka një minimum, atëherë ky pozicion ekuilibri është i qëndrueshëm.

Dukuria e ndikimit. Forca e goditjes dhe impulsi i goditjes

Dukuria në të cilën shpejtësitë e pikave të trupit ndryshojnë me një sasi të kufizuar në një periudhë të papërfillshme kohore quhet goditje. Kjo periudhë kohore quhet koha e ndikimit. Gjatë një goditjeje, një forcë ndikimi vepron për një periudhë pafundësisht të vogël kohore. forcë goditëse quhet forcë, momenti i së cilës gjatë goditjes është një vlerë e fundme.

Nëse forca e fundme modul vepron me kalimin e kohës, duke e filluar veprimin e tij në një moment kohor , atëherë momenti i tij ka formën

Gjithashtu, kur forca e goditjes vepron në një pikë materiale, mund të themi se:

veprimi i forcave jo të menjëhershme gjatë goditjes mund të neglizhohet;

lëvizja e një pike materiale gjatë goditjes mund të injorohet;

rezultati i veprimit të forcës së goditjes në një pikë materiale shprehet në ndryshimin përfundimtar gjatë ndikimit të vektorit të shpejtësisë së tij.

Teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik pas goditjes

ndryshimi në momentin e sistemit mekanik gjatë goditjes është i barabartë me shumën gjeometrike të të gjitha impulseve të goditjes së jashtme të aplikuara në pikat e sistemeve, Ku - sasia e lëvizjes së sistemit mekanik në momentin e përfundimit të veprimit të forcave të goditjes, - sasia e lëvizjes së sistemit mekanik në momentin që forcat e goditjes fillojnë të veprojnë, - impuls i jashtëm i goditjes.

Parimi d'Alembert bën të mundur formulimin e problemeve të dinamikës së sistemeve mekanike si probleme të statikës. Në këtë rast, ekuacioneve diferenciale dinamike të lëvizjes u jepet forma e ekuacioneve të ekuilibrit. Një metodë e tillë quhet metoda kinetostatike .

Parimi i d'Alembert për një pikë materiale: « Në çdo moment në kohën e lëvizjes së një pike materiale, forcat aktive që veprojnë në të vërtetë mbi të, reagimet e lidhjeve dhe forca e inercisë e aplikuar me kusht në pikë formojnë një sistem të balancuar forcash.»

forca e inercisë së pikës quhet nje sasi vektoriale qe ka dimensionin e nje force te barabarte ne vlere absolute me produktin e mases se nje pike dhe nxitimit te saj dhe e drejtuar kunder vektorit te nxitimit

. (3.38)

Duke e konsideruar një sistem mekanik si një grup pikash materiale, secila prej të cilave ndikohet, sipas parimit d'Alembert, nga sisteme të balancuara forcash, nga ky parim kemi pasoja në lidhje me sistemin. Vektori kryesor dhe momenti kryesor në lidhje me çdo qendër të forcave të jashtme të aplikuara në sistem dhe forcat e inercisë së të gjitha pikave të tij janë të barabarta me zero:

(3.39)

Këtu forcat e jashtme janë forca aktive dhe reagime të lidhjeve.

Vektori kryesor i forcave inerciale i një sistemi mekanik është i barabartë me produktin e masës së sistemit dhe nxitimit të qendrës së tij të masës dhe është i drejtuar në drejtim të kundërt me këtë nxitim.

. (3.40)

Momenti kryesor i forcave të inercisë sistemi në lidhje me një qendër arbitrare RRETH e barabartë me derivatin kohor të momentit të tij këndor në lidhje me të njëjtën qendër

. (3.41)

Për një trup të ngurtë që rrotullohet rreth një boshti fiks Oz, gjejmë momentin kryesor të forcave të inercisë rreth këtij boshti

. (3.42)

3.8. Elemente të mekanikës analitike

Seksioni "Mekanika analitike" shqyrton parimet e përgjithshme dhe metodat analitike për zgjidhjen e problemeve në mekanikën e sistemeve materiale.

3.8.1 Lëvizjet e mundshme të sistemit. Klasifikimi

disa lidhje

Lëvizjet e mundshme të pikave
çdo zhvendosje imagjinare, pafundësisht e vogël e tyre, e lejuar nga kufizimet e vendosura në sistem, në një moment të caktuar kohor, quhen sisteme mekanike. A-parësore, numri i shkallëve të lirisë i një sistemi mekanik është numri i zhvendosjeve të mundshme të pavarura të tij.

Lidhjet e imponuara në sistem quhen ideale , nëse shuma e punëve elementare të reaksioneve të tyre ndaj ndonjë prej zhvendosjeve të mundshme të pikave të sistemit është e barabartë me zero

. (3. 43)

Quhen lidhjet për të cilat kufizimet e vendosura prej tyre ruhen në çdo pozicion të sistemit që pengojnë . Marrëdhëniet që nuk ndryshojnë në kohë, ekuacionet e të cilave në mënyrë të qartë nuk përfshijnë kohën, quhen stacionare . Quhen lidhjet që kufizojnë vetëm zhvendosjet e pikave të sistemit gjeometrike , dhe shpejtësitë kufizuese janë kinematike . Në të ardhmen do të shqyrtojmë vetëm marrëdhëniet gjeometrike dhe ato kinematike që mund të reduktohen në ato gjeometrike me integrim.

3.8.2. Parimi i lëvizjeve të mundshme

Për ekuilibrin e një sistemi mekanik me kufizime ideale dhe stacionare të kufizuara, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që

shuma e punëve elementare të të gjitha forcave aktive që veprojnë mbi të, në çdo zhvendosje të mundshme të sistemit, ishte e barabartë me zero

. (3.44)

Në projeksionet në akset koordinative:

. (3.45)

Parimi i zhvendosjeve të mundshme na lejon të vendosim në një formë të përgjithshme kushtet për ekuilibrin e çdo sistemi mekanik, pa marrë parasysh ekuilibrin e pjesëve të tij individuale. Në këtë rast merren parasysh vetëm forcat aktive që veprojnë në sistem. Reaksionet e panjohura të lidhjeve ideale nuk përfshihen në këto kushte. Në të njëjtën kohë, ky parim bën të mundur përcaktimin e reaksioneve të panjohura të lidhjeve ideale duke i hedhur poshtë këto lidhje dhe duke futur reagimet e tyre në numrin e forcave aktive. Kur lidhjet, reagimet e të cilave duhet të përcaktohen, hidhen poshtë, sistemi fiton gjithashtu numrin përkatës të shkallëve të lirisë.

Shembulli 1 . Gjeni marrëdhënien midis forcave Dhe krik, nëse dihet se me çdo rrotullim të dorezës AB = l, vidhos ME shtrihet në masën h(Fig. 3.3).

Zgjidhje

Lëvizjet e mundshme të mekanizmit janë rrotullimi i dorezës  dhe lëvizja e ngarkesës  h. Kushti i barazisë me zero të punës elementare të forcave:

pl– Ph = 0;

Pastaj
. Që nga h 0, atëherë

3.8.3. Ekuacioni i përgjithshëm variacional i dinamikës

Konsideroni lëvizjen e një sistemi të përbërë nga n pikë. Forcat aktive veprojnë mbi të dhe reaksionet e lidhjes .(k = 1,…,n) Nëse forcave vepruese u shtojmë forcat e inercisë së pikave
, atëherë, sipas parimit d'Alembert, sistemi i forcave që rezulton do të jetë në ekuilibër dhe, për rrjedhojë, shprehja e shkruar në bazë të parimit të zhvendosjeve të mundshme (3.44) është e vlefshme:

. (3.46)

Nëse të gjitha lidhjet janë ideale, atëherë shuma e dytë është e barabartë me zero dhe në projeksionet në boshtet e koordinatave, barazia (3.46) do të duket kështu:

Barazia e fundit është një ekuacion i përgjithshëm variacional i dinamikës në projeksionet në boshtet koordinative, i cili lejon që dikush të përpilojë ekuacione diferenciale të lëvizjes së një sistemi mekanik.

Ekuacioni i përgjithshëm variacional i dinamikës është një shprehje matematikore Parimi d'Alembert-Lagrange: « Kur një sistem është në lëvizje, subjekt i kufizimeve të palëvizshme, ideale, kufizuese, në çdo moment të caktuar kohor, shuma e punëve elementare të të gjitha forcave aktive të aplikuara në sistem dhe forcave të inercisë në çdo zhvendosje të mundshme të sistemit është e barabartë me zero».

Shembulli 2 . Për një sistem mekanik (Fig. 3.4), i përbërë nga tre trupa, përcaktoni nxitimin e ngarkesës 1 dhe tensionin e kabllit 1-2 nëse: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; rrezja e rrotullimit të bllokut 2 i = 1,5r 2. Roller 3 është një disk homogjen i vazhdueshëm.

Zgjidhje

Le të përshkruajmë forcat që bëjnë punë elementare në një zhvendosje të mundshme  s ngarkesa 1:

Ne shkruajmë zhvendosjet e mundshme të të gjithë trupave përmes zhvendosjes së mundshme të ngarkesës 1:

Ne shprehim nxitimet lineare dhe këndore të të gjithë trupave në terma të nxitimit të dëshiruar të ngarkesës 1 (raportet janë të njëjta si në rastin e zhvendosjeve të mundshme):

.

Ekuacioni i përgjithshëm i variacionit për këtë problem ka formën:

Duke zëvendësuar shprehjet e marra më parë me forcat aktive, forcat inerciale dhe zhvendosjet e mundshme, pas transformimeve të thjeshta, fitojmë

Që nga  s 0, pra, shprehja në kllapa që përmbajnë nxitimin është e barabartë me zero A 1 , ku a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Për të përcaktuar tensionin e kabllit që mban ngarkesën, ne e lëshojmë ngarkesën nga kablloja, duke e zëvendësuar veprimin e saj me reagimin e dëshiruar. . Nën ndikimin e forcave të dhëna ,dhe forca inerciale e aplikuar në ngarkesë
ai është në ekuilibër. Prandaj, parimi d'Alembert është i zbatueshëm për ngarkesën (pikën) e konsideruar, d.m.th. ne e shkruajmë atë
. Nga këtu
.

3.8.4. Ekuacioni i Lagranzhit i llojit të dytë

Koordinatat e përgjithësuara dhe shpejtësitë e përgjithësuara. Çdo parametër i pavarur reciprokisht që përcaktojnë në mënyrë unike pozicionin e një sistemi mekanik në hapësirë ​​quhen koordinatat e përgjithësuara . Këto koordinata, të shënuara q 1 ,....q i , mund të ketë çdo dimension. Në veçanti, koordinatat e përgjithësuara mund të jenë zhvendosje ose kënde rrotullimi.

Për sistemet në shqyrtim, numri i koordinatave të përgjithësuara është i barabartë me numrin e shkallëve të lirisë. Pozicioni i secilës pikë të sistemit është një funksion me një vlerë të koordinatave të përgjithësuara

Kështu, lëvizja e sistemit në koordinata të përgjithësuara përcaktohet nga varësitë e mëposhtme:

Derivatet e para të koordinatave të përgjithësuara quhen shpejtësi të përgjithësuara :
.

Forcat e përgjithësuara. Shprehje për punën elementare të një force në një lëvizje të mundshme
duket si:

.

Për punën elementare të sistemit të forcave, ne shkruajmë

Duke përdorur varësitë e marra, kjo shprehje mund të shkruhet si:

,

ku i përgjigjet forca e përgjithësuar i-koordinata e përgjithësuar,

. (3.49)

Kështu, forca e përgjithësuar përkatëse i-koordinata e përgjithësuar, është koeficienti i ndryshimit të kësaj koordinate në shprehjen e shumës së punëve elementare të forcave aktive në zhvendosjen e mundshme të sistemit. . Për të llogaritur forcën e përgjithësuar, është e nevojshme të informoni sistemin për një zhvendosje të mundshme, në të cilën ndryshon vetëm koordinata e përgjithësuar q i. Koeficienti në
dhe do të jetë forca e përgjithësuar e dëshiruar.

Ekuacionet e lëvizjes së sistemit në koordinata të përgjithësuara. Le të jepet një sistem mekanik me s shkallët e lirisë. Duke ditur forcat që veprojnë në të, është e nevojshme të përpilohen ekuacione diferenciale të lëvizjes në koordinata të përgjithësuara
. Ne zbatojmë procedurën për përpilimin e ekuacioneve diferenciale të lëvizjes së sistemit - ekuacionet e Lagranzhit të llojit të dytë - në analogji me derivimin e këtyre ekuacioneve për një pikë materiale të lirë. Bazuar në ligjin e 2-të të Njutonit, ne shkruajmë

Ne marrim një analog të këtyre ekuacioneve, duke përdorur shënimin për energjinë kinetike të një pike materiale,

Derivat i pjesshëm i energjisë kinetike në lidhje me projeksionin e shpejtësisë në bosht
është e barabartë me projeksionin e sasisë së lëvizjes në këtë bosht, d.m.th.

Për të marrë ekuacionet e nevojshme, ne llogarisim derivatet në lidhje me kohën:

Sistemi rezultues i ekuacioneve është ekuacionet e Lagranzhit të llojit të dytë për një pikë materiale.

Për një sistem mekanik, ne përfaqësojmë ekuacionet e Lagranzhit të llojit të dytë në formën e ekuacioneve në të cilat në vend të projeksioneve të forcave aktive P x , P y , P z përdorin forca të përgjithësuara P 1 , P 2 ,...,P i dhe të merret parasysh në rastin e përgjithshëm varësia e energjisë kinetike nga koordinatat e përgjithësuara.

Ekuacionet e Lagranzhit të llojit të dytë për një sistem mekanik kanë formën:

. (3.50)

Ato mund të përdoren për të studiuar lëvizjen e çdo sistemi mekanik me kufizime gjeometrike, ideale dhe kufizuese.

Shembulli 3 . Për sistemin mekanik (Fig. 3.5), të dhënat për të cilat janë dhënë në shembullin e mëparshëm, hartoni një ekuacion diferencial të lëvizjes duke përdorur ekuacionin e Lagranzhit të llojit të dytë,

Zgjidhje

Sistemi mekanik ka një shkallë lirie. Për koordinatën e përgjithësuar marrim lëvizjen lineare të ngarkesës q 1 = s; shpejtësia e përgjithësuar - . Me këtë në mendje, ne shkruajmë ekuacionin e Lagranzhit të llojit të dytë

.

Le të hartojmë një shprehje për energjinë kinetike të sistemit

.

Të gjitha shpejtësitë këndore dhe lineare i shprehim në terma të shpejtësisë së përgjithësuar:

Tani marrim

Le të llogarisim forcën e përgjithësuar duke kompozuar shprehjen për punë elementare në një zhvendosje të mundshme  s të gjitha forcat aktive. Pa forca të fërkimit, puna në sistem kryhet vetëm nga graviteti i ngarkesës 1
Forcën e përgjithësuar e shkruajmë në  s, si koeficient në punën elementare P 1 = 5mg. Më pas gjejmë

Së fundi, ekuacioni diferencial i lëvizjes së sistemit do të ketë formën: