Teorija funkcija jedne varijable. Matematička analiza

Neka varijabla x n uzima beskonačan niz vrijednosti

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

a zakon promjene varijable je poznat x n, tj. za svaki prirodan broj n možete odrediti odgovarajuću vrijednost x n. Stoga se pretpostavlja da je varijabla x n je funkcija od n:

x n = f(n)

Definirajmo jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize - granicu niza ili, što je isto, granicu varijable x n sekvenca trčanja x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definicija. konstantan broj a pozvao granica sekvence x 1 , x 2 , ..., x n , ... . ili granica varijable x n, ako za proizvoljno mali pozitivan broj e postoji takav prirodan broj N(tj. broj N) da su sve vrijednosti varijable x n, počevši od x N, razlikuju se od a manje u apsolutnoj vrijednosti od e. Ova definicija je ukratko napisana na sljedeći način:

| x n -a |< (2)

za sve n  N, ili, što je isto,

Definicija Cauchyjeve granice. Broj A naziva se granica funkcije f (x) u tački a ako je ova funkcija definirana u nekom susjedstvu točke a, osim možda same točke a, a za svako ε > 0 postoji δ > 0 takav da za sve x zadovoljava uslov |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definicija Heineove granice. Broj A naziva se granica funkcije f (x) u tački a ako je ta funkcija definirana u nekom susjedstvu točke a, osim možda za samu tačku a i za bilo koji niz takav da konvergirajući na broj a, odgovarajući niz vrijednosti funkcije konvergira na broj A.

Ako funkcija f(x) ima granicu u tački a, onda je ova granica jedinstvena.

Broj A 1 naziva se lijeva granica funkcije f (x) u tački a ako za svako ε > 0 postoji δ >

Broj A 2 naziva se desna granica funkcije f (x) u tački a ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da je nejednakost

Granica na lijevoj strani označava se kao granica na desnoj strani - Ove granice karakteriziraju ponašanje funkcije lijevo i desno od točke a. Često se nazivaju jednosmjernim ograničenjima. U zapisu jednostranih granica kao x → 0, prva nula se obično izostavlja: i . Dakle, za funkciju

Ako za svako ε > 0 postoji δ-susedstvo tačke a takvo da za sve x koje zadovoljavaju uslov |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, onda kažemo da funkcija f (x) ima beskonačnu granicu u tački a:

Dakle, funkcija ima beskonačnu granicu u tački x = 0. Često se razlikuju granice jednake +∞ i –∞. dakle,

Ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da je za bilo koje x > δ nejednakost |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema postojanja za najmanju gornju granicu

definicija: AR mR, m - gornje (donje) lice A, ako je aA am (am).

definicija: Skup A je ograničen odozgo (odozdo), ako postoji m takvo da je aA, tada je am (am) zadovoljeno.

definicija: SupA=m, ako je 1) m - gornja granica A

2) m’: m’ m' nije gornje lice A

InfA = n ako je 1) n infimum od A

2) n’: n’>n => n’ nije infimum od A

Definicija: SupA=m je broj takav da: 1)  aA am

2) >0 a  A, tako da je  a-

InfA = n naziva se broj takav da je:

2) >0 a  A, tako da je a E a+

Teorema: Svaki neprazan skup AR ograničen odozgo ima najbolju gornju granicu, i to jedinstvenu.

dokaz:

Konstruišemo broj m na realnoj pravoj i dokazujemo da je ovo najmanja gornja granica A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - gornja strana A

Segment [[m],[m]+1] - podijeliti na 10 dijelova

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m do =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - gornja strana A

Dokažimo da je m=[m],m 1 ...m K najmanja gornja granica i da je jedinstvena:

za: .

Rice. 11. Grafikon funkcije y arcsin x.

Hajde da sada uvedemo koncept kompleksne funkcije ( prikazati kompozicije). Neka su data tri skupa D, E, M i neka f: D→E, g: E→M. Očigledno, moguće je konstruisati novo preslikavanje h: D→M, nazvano kompozicijom preslikavanja f i g ili kompleksnom funkcijom (slika 12).

Kompleksna funkcija se označava na sljedeći način: z =h(x)=g(f(x)) ili h = f o g.

Rice. 12. Ilustracija za koncept kompleksne funkcije.

Poziva se funkcija f (x). unutrašnja funkcija, i funkcija g ( y ) - eksterna funkcija.

1. Unutrašnja funkcija f (x) = x², eksterna g (y) sin y. Kompleksna funkcija z= g(f(x))=sin(x²)

2. Sada obrnuto. Unutrašnja funkcija f (x)= sinx, vanjska g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Kurs je namijenjen prvostupnicima i magistrima specijaliziranim za matematiku, ekonomiju ili prirodne nauke, kao i profesorima matematike u srednjim školama i univerzitetskim profesorima. Biće korisno i za učenike koji se duboko bave matematikom.

Struktura kursa je tradicionalna. Predmet obuhvata klasičnu građu matematičke analize koja se izučava na prvoj godini univerziteta u prvom semestru. Biće predstavljeni dijelovi "Elementi teorije skupova i realnih brojeva", "Teorija numeričkih nizova", "Granica i kontinuitet funkcije", "Diferencijabilnost funkcije", "Primjena diferencijabilnosti". Upoznat ćemo se s pojmom skupa, dati rigoroznu definiciju realnog broja i proučavati svojstva realnih brojeva. Zatim ćemo govoriti o nizovima brojeva i njihovim svojstvima. To će nam omogućiti da koncept numeričke funkcije, koji je dobro poznat školarcima, razmotrimo na novom, rigoroznijem nivou. Uvodimo pojam granice i kontinuiteta funkcije, raspravljamo o svojstvima kontinuiranih funkcija i njihovoj primjeni na rješavanje problema.

U drugom dijelu kursa definirat ćemo derivaciju i diferencijabilnost funkcije jedne varijable i proučavati svojstva diferencijabilnih funkcija. To će vam omogućiti da naučite kako riješiti tako važne primijenjene probleme kao što su približno izračunavanje vrijednosti funkcije i rješenje jednadžbi, izračunavanje granica, proučavanje svojstava funkcije i konstrukcija njenog grafa .

Format

Oblik obrazovanja je vanredni (na daljinu).
Tjedni časovi će uključivati ​​gledanje tematskih video predavanja i ispunjavanje testnih zadataka uz automatsku provjeru rezultata.
Važan element izučavanja discipline je samostalno rješavanje računskih problema i problema dokazivanja. Rješenje će morati sadržavati rigorozno i ​​logički ispravno rezonovanje koje vodi do tačnog odgovora (u slučaju računskog problema) ili u potpunosti dokazuje potrebnu tvrdnju (za teorijske probleme).

Zahtjevi

Kurs je namijenjen prvostupnicima od 1 godine studija. Potrebno poznavanje osnovne matematike u obimu srednje škole (11 časova).

Program kursa

Predavanje 1 Elementi teorije skupova.
Predavanje 2 Koncept realnog broja. Tačna lica brojčanih skupova.
Predavanje 3 Aritmetičke operacije nad realnim brojevima. Svojstva realnih brojeva.
Predavanje 4 Numerički nizovi i njihova svojstva.
Predavanje 5 monotone sekvence. Cauchyjev kriterij za konvergenciju niza.
Predavanje 6 Koncept funkcije jedne varijable. Ograničenje funkcije. Beskonačno male i beskonačno velike funkcije.
Predavanje 7 Kontinuitet funkcije. Klasifikacija tačke prekida. Lokalna i globalna svojstva kontinuiranih funkcija.
Predavanje 8 Monotone funkcije. Inverzna funkcija.
Predavanje 9 Najjednostavnije elementarne funkcije i njihova svojstva: eksponencijalne, logaritamske i funkcije stepena.
Predavanje 10 Trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije. Izvanredne granice. Uniformni kontinuitet funkcije.
Predavanje 11 Koncept derivacije i diferencijala. Geometrijsko značenje izvedenice. Pravila diferencijacije.
Predavanje 12 Derivati ​​osnovnih elementarnih funkcija. Funkcijski diferencijal.
Predavanje 13 Derivati ​​i diferencijali višeg reda. Leibnizova formula. Derivati ​​parametarski zadanih funkcija.
Predavanje 14 Osnovna svojstva diferencijabilnih funkcija. Rolle i Lagrangeove teoreme.
Predavanje 15 Cauchyjev teorem. L'Hospitalovo prvo pravilo otkrivanja neizvjesnosti.
Predavanje 16 L'Hopitalovo drugo pravilo otkrivanja neizvjesnosti. Taylor formula s ostatkom u Peano obliku.
Predavanje 17 Taylorova formula sa terminom ostatka u opštem obliku, u obliku Lagrangea i Cauchyja. Maclaurinova ekspanzija osnovnih elementarnih funkcija. Primjena Taylorove formule.
Predavanje 18 Dovoljni uslovi za ekstrem. Asimptote grafa funkcije. Konveksna.
Predavanje 19 Pregibne tačke. Opća shema proučavanja funkcije. Primjeri crtanja.

Ishodi učenja

Kao rezultat savladavanja predmeta, student će steći predstavu o osnovnim pojmovima matematičke analize: skupu, broju, nizu i funkciji, upoznati se sa njihovim svojstvima i naučiti kako primijeniti ta svojstva u rješavanju problema.

Pitanja za ispit iz "Matematičke analize", 1. godina, 1. semestar.

1. Setovi. Osnovne operacije nad skupovima. Metrički i aritmetički prostori.

2. Numerički skupovi. Skupovi na brojevnoj pravoj: segmenti, intervali, poluose, susjedstva.

3. Definicija ograničenog skupa. Gornje i donje granice brojčanih skupova. Postulati o gornjim i donjim granicama brojčanih skupova.

4. Metoda matematičke indukcije. Bernulijeve i Košijeve nejednakosti.

5. Definicija funkcije. Funkcijski graf. Parne i neparne funkcije. Periodične funkcije. Načini postavljanja funkcije.

6. Granica sekvence. Svojstva konvergentnih nizova.

7. ograničene sekvence. Teorema o dovoljnom uslovu za divergenciju niza.

8. Definicija monotonog niza. Weierstrassov monotoni niz teorema.

9. Broj e.

10. Granica funkcije u točki. Granica funkcije u beskonačnosti. Jednostrane granice.

11. Beskonačno male funkcije. Granica funkcije zbira, proizvoda i količnika.

12. Teoreme o stabilnosti nejednačina. Prelazak do granice u nejednakostima. Teorema o tri funkcije.

13. Prva i druga divna granica.

14. Beskonačno velike funkcije i njihova povezanost s beskonačno malim funkcijama.

15. Poređenje infinitezimalnih funkcija. Svojstva ekvivalentnih infinitezimala. Teorema o zamjeni infinitezimala ekvivalentnim. Osnovne ekvivalencije.

16. Kontinuitet funkcije u tački. Akcije s kontinuiranim funkcijama. Kontinuitet osnovnih elementarnih funkcija.

17. Klasifikacija tačaka prekida funkcije. Proširenje kontinuitetom

18. Definicija složene funkcije. Granica složene funkcije. Kontinuitet složene funkcije. Hiperboličke funkcije

19. Kontinuitet funkcije na segmentu. Cauchyjeve teoreme o nestajanju funkcije kontinuirane na intervalu i o međuvrijednosti funkcije.

20. Svojstva funkcija kontinuiranih na segmentu. Weierstrassova teorema o ograničenosti kontinuirane funkcije. Weierstrassov teorem o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

21. Definicija monotone funkcije. Weierstrassov teorem o granici monotone funkcije. Teorema o skupu vrijednosti funkcije koja je monotona i kontinuirana na intervalu.

22. Inverzna funkcija. Inverzni graf funkcije. Teorema o postojanju i kontinuitetu inverzne funkcije.

23. Inverzne trigonometrijske i hiperboličke funkcije.

24. Definicija derivacije funkcije. Derivati ​​osnovnih elementarnih funkcija.

25. Definicija diferencijabilne funkcije. Neophodan i dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije. Kontinuitet diferencijabilne funkcije.

26. Geometrijsko značenje izvedenice. Jednadžba tangente i normale na graf funkcije.

27. Derivat zbira, proizvoda i količnika dvije funkcije

28. Derivat složene funkcije i inverzne funkcije.

29. Logaritamska diferencijacija. Derivat funkcije zadane parametarski.

30. Glavni dio funkcije inkrement. Formula linearizacije funkcije. Geometrijsko značenje diferencijala.

31. Diferencijal složene funkcije. Invarijantnost diferencijalnog oblika.

32. Rolleove, Lagrangeove i Cauchyjeve teoreme o svojstvima diferencijabilnih funkcija. Formula konačnih priraštaja.

33. Primjena derivata na otkrivanje neizvjesnosti unutar. L'Hopitalovo pravilo.

34. Definicija izvoda n-ti red. Pravila za pronalaženje derivacije n-tog reda. Leibnizova formula. Diferencijali višeg reda.

35. Taylor formula s ostatkom u Peano obliku. Rezidualni članovi u obliku Lagrangea i Cauchyja.

36. Povećajuće i opadajuće funkcije. ekstremne tačke.

37. Konveksnost i konkavnost funkcije. Pregibne tačke.

38. Beskrajni prekidi funkcija. Asimptote.

39. Šema za crtanje grafa funkcije.

40. Definicija antiderivata. Glavna svojstva antiderivata. Najjednostavnija pravila integracije. Tabela jednostavnih integrala.

41. Integracija promjenom varijable i formula za integraciju po dijelovima u neodređenom integralu.

42. Integracija izraza forme e ax cos bx i e ax sin bx koristeći rekurzivne relacije.

	43. Integriranje razlomka			koristeći rekurzivne relacije.
			a 2 n

44. Neodređeni integral racionalne funkcije. Integracija prostih razlomaka.

45. Neodređeni integral racionalne funkcije. Dekompozicija pravih razlomaka na jednostavne.

46. Neodređeni integral iracionalne funkcije. Integracija izraza

	R x, m

47. Neodređeni integral iracionalne funkcije. Integracija izraza oblika R x , ax 2 bx c . Ojlerove zamene.

48. Integracija izraza oblika

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Neodređeni integral iracionalne funkcije. Integracija binomnih diferencijala.

50. Integracija trigonometrijskih izraza. Univerzalna trigonometrijska supstitucija.

51. Integracija racionalnih trigonometrijskih izraza u slučaju kada je integrand neparan u odnosu na sin x (ili cos x ) ili čak u odnosu na sin x i cos x .

52. Integracija izraza sin n x cos m x i sin n x cos mx .

53. Integracija izraza tg m x i ctg m x .

54. Integracija izraza R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 i R x , x 2 a 2 koristeći trigonometrijske supstitucije.

55. Definitivni integral. Problem izračunavanja površine krivolinijskog trapeza.

56. integralne sume. Darboux sums. Teorema o uvjetu postojanja određenog integrala. Klase integrabilnih funkcija.

57. Svojstva određenog integrala. Teoreme o srednjoj vrijednosti.

58. Definitivni integral kao funkcija gornje granice. Formula Newton-Leibniz.

59. Promjena varijabilne formule i formule za integraciju po dijelovima u određenom integralu.

60. Primjena integralnog računa na geometriju. Volumen figure. Volumen figura rotacije.

61. Primjena integralnog računa na geometriju. Površina ravne figure. Područje krivolinijskog sektora. Dužina krivulje.

62. Definicija nepravog integrala prve vrste. Formula Newton-Leibniz za neprave integrale prve vrste. Najjednostavnija svojstva.

63. Konvergencija nepravilnih integrala prve vrste za pozitivnu funkciju. 1. i 2. teorema poređenja.

64. Apsolutna i uslovna konvergencija nepravih integrala prve vrste naizmenične funkcije. Kriteriji konvergencije za Abela i Dirichleta.

65. Definicija nepravilnog integrala druge vrste. Formula Newton-Leibniz za neprave integrale druge vrste.

66. Veza nepravih integrala 1. i 2. vrste. Nepravilni integrali u smislu glavne vrijednosti.