Formule i svojstva pravokutnika. Geometrijske figure

Pravougaonik je četverougao u kojem je svaki ugao pravi ugao.

Dokaz

Svojstvo se objašnjava djelovanjem karakteristike 3 paralelograma (tj. \ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D )

2. Suprotne strane su jednake.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Suprotne strane su paralelne.

AB \paralelni CD,\enrazmak BC \paralelni AD

4. Susjedne strane su okomite jedna na drugu.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. Dijagonale pravougaonika su jednake.

AC=BD

Dokaz

Prema imovina 1 pravougaonik je paralelogram, što znači AB = CD.

Dakle, \trougao ABD = \trougao DCA duž dva kraka (AB = CD i AD - spoj).

Ako su obje figure - ABC i DCA identične, onda su i njihove hipotenuze BD i AC identične.

Dakle AC = BD .

Samo pravougaonik svih figura (samo iz paralelograma!) ima jednake dijagonale.

Dokažimo i ovo.

ABCD je paralelogram \Rightarrow AB = CD , AC = BD po uslovu. \Rightarrow \triangle ABD = \troangle DCA već sa tri strane.

Ispada da je \ugao A = \ugao D (kao uglovi paralelograma). I \ugao A = \ugao C, \ugao B = \ugao D.

Mi to zaključujemo \ugao A = \ugao B = \ugao C = \ugao D. Svi su 90^(\circ) . Ukupno je 360^(\circ) .

Dokazan!

6. Kvadrat dijagonale jednak je zbiru kvadrata njene dvije susjedne strane.

Ovo svojstvo važi na osnovu Pitagorine teoreme.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Dijagonala dijeli pravougaonik na dva identična pravougaona trougla.

\trougao ABC = \trougao ACD, \enrazmak \trougao ABD = \trougao BCD

8. Točka presjeka dijagonala ih dijeli na pola.

AO=BO=CO=DO

9. Točka presjeka dijagonala je centar pravougaonika i opisane kružnice.

10. Zbir svih uglova je 360 ​​stepeni.

\ugao ABC + \ugao BCD + \ugao CDA + \ugao DAB = 360^(\circ)

11. Svi uglovi pravougaonika su pravi.

\ugao ABC = \ugao BCD = \ugao CDA = \ugao DAB = 90^(\circ)

12. Prečnik opisane kružnice oko pravougaonika jednak je dijagonali pravougaonika.

13. Krug se uvijek može opisati oko pravougaonika.

Ovo svojstvo vrijedi zbog činjenice da je zbir suprotnih uglova pravokutnika 180^(\circ)

\ugao ABC = \ugao CDA = 180^(\circ),\enspace \ugao BCD = \ugao DAB = 180^(\circ)

14. Pravougaonik može sadržavati upisan krug i samo jedan ako ima iste dužine stranica (u pitanju je kvadrat).

je paralelogram u kojem su svi uglovi 90°, a suprotne strane su parno paralelne i jednake.

Pravokutnik ima nekoliko nepobitnih svojstava koja se koriste u rješavanju mnogih problema, u formulama za površinu pravokutnika i njegovog perimetra. Evo ih:

Dužina nepoznate stranice ili dijagonale pravougaonika izračunava se Pitagorinom teoremom ili pomoću njega. Površina pravokutnika može se naći na dva načina - umnoškom njegovih stranica ili formulom za površinu pravokutnika kroz dijagonalu. Prva i najjednostavnija formula izgleda ovako:

Primjer izračunavanja površine pravokutnika pomoću ove formule je vrlo jednostavan. Poznavajući dvije stranice, na primjer a = 3 cm, b = 5 cm, lako možemo izračunati površinu pravokutnika:
Dobijamo da će u takvom pravokutniku površina biti jednaka 15 kvadratnih metara. cm.

Površina pravougaonika u smislu dijagonala

Ponekad morate primijeniti formulu za površinu pravokutnika u smislu dijagonala. Za to ćete morati znati ne samo dužinu dijagonala, već i kut između njih:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine pravokutnika pomoću dijagonala. Neka je zadan pravougaonik sa dijagonalom d = 6 cm i uglom = 30°. Podatke zamjenjujemo u već poznatu formulu:

Dakle, primjer izračunavanja površine pravokutnika kroz dijagonalu pokazao nam je da je pronalaženje površine na ovaj način, s obzirom na kut, prilično jednostavno.
Razmislite o još jednoj zanimljivoj slagalici koja će nam pomoći da malo rastegnemo mozak.

zadatak: Dat je kvadrat. Njegova površina je 36 kvadratnih metara. cm Odredi obim pravougaonika čija je dužina jedne od stranica 9 cm, a površina jednaka onoj gore navedenog kvadrata.
Dakle, imamo nekoliko uslova. Radi jasnoće, zapisujemo ih kako bismo vidjeli sve poznate i nepoznate parametre:
Stranice figure su parno paralelne i jednake. Dakle, obim figure je jednak dvostrukom zbroju dužina stranica:
Iz formule za površinu pravokutnika, koja je jednaka umnošku dviju stranica figure, nalazimo dužinu stranice b
Odavde:
Zamijenimo poznate podatke i pronađemo dužinu stranice b:
Izračunajte obim figure:
Dakle, poznavajući nekoliko jednostavnih formula, možete izračunati obim pravokutnika, znajući njegovu površinu.

Definicija.

Pravougaonik To je četverougao s dvije suprotne stranice jednake i sva četiri ugla jednaka.

Pravokutnici se međusobno razlikuju samo po omjeru duge i kratke strane, ali su sva četiri prava, odnosno svaki po 90 stepeni.

Duga strana pravougaonika se zove dužina pravougaonika, i kratki širina pravougaonika.

Stranice pravougaonika su ujedno i njegove visine.

Osnovna svojstva pravougaonika

Pravougaonik može biti paralelogram, kvadrat ili romb.

1. Suprotne strane pravougaonika imaju istu dužinu, odnosno jednake su:

AB=CD, BC=AD

2. Suprotne strane pravougaonika su paralelne:

3. Susedne strane pravougaonika su uvek okomite:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Sva četiri ugla pravougaonika su prava:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Zbir uglova pravougaonika je 360 ​​stepeni:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Dijagonale pravougaonika imaju istu dužinu:

7. Zbir kvadrata dijagonale pravougaonika jednak je zbiru kvadrata stranica:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Svaka dijagonala pravougaonika deli pravougaonik na dve identične figure, odnosno pravougaone trougle.

9. Dijagonale pravokutnika se sijeku i dijele se na pola u tački sjecišta:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Točka presjeka dijagonala naziva se središte pravokutnika i također je centar opisane kružnice

11. Dijagonala pravougaonika je prečnik opisane kružnice

12. Krug se uvijek može opisati oko pravougaonika, jer je zbir suprotnih uglova 180 stepeni:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Krug se ne može upisati u pravougaonik čija dužina nije jednaka njegovoj širini, jer sume suprotnih strana nisu međusobno jednake (krug se može upisati samo u poseban slučaj pravougaonika – kvadrat).

Stranice pravougaonika

Definicija.

Dužina pravougaonika nazovimo dužinu dužeg para njegovih stranica. Širina pravougaonika nazovite dužinu kraćeg para njegovih stranica.

Formule za određivanje dužina stranica pravougaonika

1. Formula za stranu pravokutnika (dužinu i širinu pravokutnika) u smislu dijagonale i druge strane:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula za stranu pravokutnika (dužinu i širinu pravokutnika) u smislu površine i druge strane:

b = dcos	β
	2

Dijagonala pravougaonika

Definicija.

Dijagonalni pravougaonik Svaki segment koji povezuje dva vrha suprotnih uglova pravougaonika naziva se.

Formule za određivanje dužine dijagonale pravokutnika

1. Formula za dijagonalu pravokutnika u terminima dvije stranice pravokutnika (preko Pitagorine teoreme):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu površine i bilo koje stranice:

4. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice:

d=2R

5. Formula za dijagonalu pravougaonika u smislu prečnika opisane kružnice:

d = D o

6. Formula dijagonale pravougaonika u smislu sinusa ugla susednog dijagonali i dužine stranice suprotne ovom uglu:

8. Formula dijagonale pravokutnika u smislu sinusa oštrog ugla između dijagonala i površine pravokutnika

d = √2S: sinβ

Perimetar pravougaonika

Definicija.

Obim pravougaonika je zbir dužina svih strana pravougaonika.

Formule za određivanje dužine perimetra pravokutnika

1. Formula za obim pravokutnika u smislu dvije stranice pravokutnika:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formula za obim pravokutnika u smislu površine i bilo koje stranice:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Formula za obim pravokutnika u smislu dijagonale i bilo koje stranice:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formula za obim pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice i bilo koje stranice:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formula za obim pravokutnika u smislu prečnika opisane kružnice i bilo koje stranice:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Površina pravougaonika

Definicija.

Površina pravougaonika naziva se prostor omeđen stranicama pravougaonika, odnosno unutar perimetra pravougaonika.

Formule za određivanje površine pravokutnika

1. Formula za površinu pravokutnika u smislu dvije stranice:

S = a b

2. Formula za površinu pravokutnika kroz perimetar i bilo koju stranu:

5. Formula za površinu pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice i bilo koje stranice:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Formula za površinu pravokutnika u smislu prečnika opisane kružnice i bilo koje stranice:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Krug opisan oko pravougaonika

Definicija.

Krug opisan oko pravougaonika Krug se naziva kružnica koja prolazi kroz četiri vrha pravougaonika, čiji centar leži na presjeku dijagonala pravokutnika.

Formule za određivanje polumjera kružnice opisane oko pravokutnika

1. Formula za polumjer kružnice opisane oko pravokutnika kroz dvije stranice:

4. Formula za polumjer kružnice koja se opisuje oko pravokutnika kroz dijagonalu kvadrata:

5. Formula za polumjer kružnice, koja je opisana blizu pravokutnika kroz prečnik kružnice (opisana):

6. Formula za polumjer kružnice, koja je opisana u blizini pravokutnika kroz sinus ugla koji je susjedni dijagonali, i dužinu stranice nasuprot ovom kutu:

7. Formula za polumjer kružnice, koja se opisuje oko pravokutnika u smislu kosinusa ugla koji je susedan dijagonali, i dužine stranice pod ovim kutom:

8. Formula za polumjer kružnice, koja je opisana u blizini pravokutnika kroz sinus oštrog ugla između dijagonala i površine pravokutnika:

Ugao između stranice i dijagonale pravougaonika.

Formule za određivanje ugla između stranice i dijagonale pravokutnika:

1. Formula za određivanje ugla između stranice i dijagonale pravokutnika kroz dijagonalu i stranicu:

2. Formula za određivanje ugla između stranice i dijagonale pravougaonika kroz ugao između dijagonala:

Ugao između dijagonala pravougaonika.

Formule za određivanje ugla između dijagonala pravokutnika:

1. Formula za određivanje ugla između dijagonala pravokutnika kroz ugao između stranice i dijagonale:

β = 2α

2. Formula za određivanje ugla između dijagonala pravougaonika kroz površinu i dijagonale.

sadržaj:

Dijagonala je segment koji spaja dva suprotna vrha pravougaonika. Pravougaonik ima dve jednake dijagonale. Ako su stranice pravougaonika poznate, dijagonala se može naći pomoću Pitagorine teoreme, jer dijagonala dijeli pravougaonik na dva pravokutna trougla. Ako stranice nisu date, ali su poznate druge veličine, na primjer, površina i perimetar ili omjer stranica, možete pronaći stranice pravokutnika, a zatim izračunati dijagonalu koristeći Pitagorinu teoremu.

Koraci

1 Jedan pored drugog

1. 1 Zapišite Pitagorinu teoremu. Formula: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Uključite strane u formulu. Oni su dati u problemu ili ih treba izmjeriti. Bočne vrijednosti se zamjenjuju sa 3
   • U našem primjeru:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Po površini i perimetru

     1. 1 Formula: S \u003d l w (Na slici se koristi simbol A umjesto S.)
     2. 2 Ova vrijednost je zamijenjena za S 3 Prepišite formulu tako da izolujete w 4 Zapišite formulu za izračunavanje opsega pravokutnika. Formula: P = 2 (w + l)
     3. 5 Zamijenite vrijednost opsega pravougaonika u formulu. Ova vrijednost je zamijenjena za P 6 Podijelite obje strane jednačine sa 2. Dobićete zbir strana pravougaonika, odnosno w + l 7 U formuli zamijenite izraz za izračunavanje w 8 Riješite se razlomaka. Da biste to učinili, pomnožite oba dijela jednačine sa l 9 Postavite jednačinu na 0. Da biste to uradili, oduzmite pojam sa promenljivom prvog reda sa obe strane jednačine.
        • U našem primjeru:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Poređajte članove jednačine. Prvi član će biti drugi promenljivi član, zatim prvi promenljivi član, a zatim slobodni član. Istovremeno, ne zaboravite na znakove (“plus” i “minus”) koji se nalaze ispred članova. Imajte na umu da će jednačina biti napisana kao kvadratna jednačina.
          • U našem primjeru, 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • U našem primjeru, jednadžba 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Nađi l 13 Zapišite Pitagorinu teoremu. Formula: a 2 + b 2 = c 2
              • Koristite Pitagorinu teoremu, jer svaka dijagonala pravougaonika dijeli ga na dva jednaka pravokutna trougla. Štaviše, stranice pravougaonika su noge trokuta, a dijagonala pravougaonika je hipotenuza trokuta.
            • 14 Ove vrijednosti su zamijenjene sa 15 Kvadrirajte dužinu i širinu, a zatim dodajte rezultate. Zapamtite da se pri kvadriranju broja on množi sam sa sobom.
              • U našem primjeru:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Uzmite kvadratni korijen obje strane jednadžbe. Koristite kalkulator da brzo pronađete kvadratni korijen. Možete koristiti i online kalkulator. naći ćete c

                3 Po površini i omjeru širine i visine

                1. 1 Zapišite jednačinu koja karakterizira omjer strana. Izolirati l 2 Zapišite formulu za izračunavanje površine pravokutnika. Formula: S = l w (Oznaka A se koristi umjesto S na slici.)
                   • Ova metoda je također primjenjiva kada je poznata vrijednost opsega pravokutnika, ali tada morate koristiti formulu za izračunavanje perimetra, a ne površine. Formula za izračunavanje opsega pravokutnika: P = 2 (w + l)
                2. 3 Uključite područje pravokutnika u formulu. Ova vrijednost je zamijenjena za S 4 Zamijenite izraz koji karakterizira omjer strana u formulu. U slučaju pravougaonika, možete zamijeniti izraz za izračunavanje l 5 Zapišite kvadratnu jednačinu. Da biste to učinili, otvorite zagrade i izjednačite jednačinu sa nulom.
                   • U našem primjeru:
                     35 = w (w + 2) 6 Faktorizirajte kvadratnu jednačinu.Čitajte dalje za detaljne upute.
                     • U našem primjeru, jednadžba 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Pronađite w 8 Zamijenite vrijednost širine (ili dužine) koja se nalazi u jednadžbi koja karakterizira omjer strana. Tako da možete pronaći drugu stranu pravougaonika.
                       • Na primjer, ako ste izračunali da je širina pravokutnika 5 cm, a omjer stranica je dat jednadžbom l = w + 2 9 Zapišite Pitagorinu teoremu. Formula: a 2 + b 2 = c 2
                         • Koristite Pitagorinu teoremu, jer svaka dijagonala pravougaonika dijeli ga na dva jednaka pravokutna trougla. Štaviše, stranice pravougaonika su noge trokuta, a dijagonala pravougaonika je hipotenuza trokuta.
                       • 10 U formulu uključite vrijednosti dužine i širine. Ove vrijednosti su zamijenjene sa 11 Kvadrirajte dužinu i širinu, a zatim dodajte rezultate. Zapamtite da se pri kvadriranju broja on množi sam sa sobom.
                         • U našem primjeru:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Uzmite kvadratni korijen obje strane jednadžbe. Koristite kalkulator da brzo pronađete kvadratni korijen. Možete koristiti i online kalkulator. Naći ćete c (displaystyle c) , što je hipotenuza trougla, a time i dijagonala pravougaonika.
                           • U našem primjeru:
                             74 = c 2 (stil prikaza 74=c^(2))
                             74 = c 2 (stil prikaza (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (stil prikaza 8,6024=c)
                             Dakle, dijagonala pravougaonika čija je dužina 2 cm veća od širine i čija je površina 35 cm 2 je približno 8,6 cm.