Sve metode za rješavanje problema dinamike koje smo do sada razmatrali zasnivaju se na jednadžbama koje slijede ili direktno iz Newtonovih zakona, ili iz općih teorema koje su posljedice ovih zakona. Međutim, ovaj put nije jedini. Ispostavilo se da se jednačine kretanja ili ravnotežni uslovi mehaničkog sistema mogu dobiti bazirajući ga na drugim opštim principima, nazvanim principima mehanike, umesto na Newtonovim zakonima. U velikom broju slučajeva, primena ovih principa omogućava, kao što ćemo videti, pronalaženje efikasnijih metoda za rešavanje odgovarajućih problema. Ovo poglavlje će ispitati jedan od opštih principa mehanike, nazvan d'Alambertov princip.
Hajde da imamo sistem koji se sastoji od n materijalne tačke. Odaberimo jednu od tačaka sistema sa masom . Pod utjecajem vanjskih i unutrašnjih sila koje se na nju primjenjuju (koje uključuju i aktivne sile i reakcije spajanja), tačka dobiva određeno ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir.
Hajde da uvedemo u obzir količinu
ima dimenziju sile. Vektorska veličina jednaka umnošku mase tačke i njenog ubrzanja i usmjerena suprotno od ovog ubrzanja naziva se inercijska sila točke (ponekad i d’Alembertova inercijska sila).
Tada se ispostavlja da kretanje tačke ima sledeće opšte svojstvo: ako u svakom trenutku dodamo silu inercije silama koje stvarno deluju na tačku, onda će rezultujući sistem sila biti uravnotežen, tj. će
.
Ovaj izraz izražava d'Alambertov princip za jednu materijalnu tačku. Lako je vidjeti da je on ekvivalentan drugom Newtonovom zakonu i obrnuto. Zapravo, drugi Newtonov zakon za predmetnu tačku daje 
. Premještajući pojam ovdje na desnu stranu jednakosti, dolazimo do posljednje relacije.
Ponavljajući gornje rezonovanje u odnosu na svaku od tačaka sistema, dolazimo do sljedećeg rezultata, izražavajući D'Alambertov princip za sistem: ako se u bilo kojem trenutku na svaku tačku sistema primjenjuju odgovarajuće inercijalne sile, pored vanjskih i unutrašnjih sila koje stvarno djeluju na nju, tada će rezultirajući sistem sila biti u ravnoteži i sve statičke jednadžbe se mogu primijenjen na to.
Značaj d'Alamberovog principa leži u činjenici da kada se direktno primenjuju na probleme dinamike, jednačine kretanja sistema se sastavljaju u obliku dobro poznatih jednačina ravnoteže; što čini jedinstven pristup rješavanju problema i obično uvelike pojednostavljuje odgovarajuće proračune. Osim toga, u kombinaciji s principom mogućih pomaka, o kojem će biti riječi u sljedećem poglavlju, d'Alembertov princip nam omogućava da dobijemo novu opštu metodu za rješavanje problema dinamike.
Prilikom primjene d'Alamberovog principa, treba imati na umu da na tačku mehaničkog sistema, čije se kretanje proučava, djeluju samo vanjske i unutrašnje sile i , koje nastaju kao rezultat interakcije tačaka sistem međusobno i sa tijelima koja nisu uključena u sistem; pod uticajem ovih sila, tačke sistema se kreću odgovarajućim ubrzanjima. Sile inercije, o kojima se govori u D'Alembertovom principu, ne djeluju na pokretne tačke (inače bi ove tačke mirovale ili se kretale bez ubrzanja, a tada ne bi postojale same inercijalne sile). Uvođenje inercijalnih sila je samo tehnika koja omogućava sastavljanje dinamičkih jednačina koristeći jednostavnije statičke metode.
Iz statike je poznato da je geometrijski zbir sila u ravnoteži i zbir njihovih momenata u odnosu na bilo koji centar O jednake su nuli, a prema principu očvršćavanja, to vrijedi za sile koje djeluju ne samo na čvrsto tijelo, već i na bilo koji promjenljivi sistem. Onda bi, na osnovu D'Alembertovog principa, trebalo da bude.
U početku je ideju o ovom principu izrazio Jacob Bernoulli (1654-1705) kada je razmatrao problem centra oscilovanja tijela proizvoljnog oblika. Godine 1716., akademik iz Sankt Peterburga J. Herman (1678 - 1733) iznio je princip statičke ekvivalencije „slobodnih“ pokreta i „stvarnih“ pokreta, odnosno pokreta koji se izvode u prisustvu veza. Kasnije je ovaj princip primenio L. Euler (1707-1783) na problem vibracija savitljivih tela (rad je objavljen 1740. godine) i nazvan je „Peterburški princip“. Međutim, prvi koji je dotični princip formulisao u opštem obliku, iako mu nije dao odgovarajući analitički izraz, bio je D'Alembert (1717-1783). U svojoj Dynamics, objavljenoj 1743. godine, ukazao je na opšti metod pristupa rešavanju problema u dinamici neslobodnih sistema. Analitički izraz ovog principa kasnije je dao Lagrange u svojoj Analitičkoj mehanici.
Razmotrimo neki neslobodni mehanički sistem. Označimo rezultantu svih aktivnih sila koje djeluju na bilo koju tačku sistema sa i rezultantu reakcija spajanja sa Tada će jednadžba kretanja tačke imati oblik
gdje je vektor ubrzanja tačke, a masa ove tačke.
Ako u obzir uvedemo silu koja se zove d'Alembertova sila inercije, tada se jednačina gibanja (2.9) može prepisati u obliku jednadžbe ravnoteže tri sile:
Jednačina (2.10) je suština d'Alembertovog principa za tačku, a ista jednačina proširena na sistem je suština d'Alembertovog principa za sistem.
Jednačina kretanja, napisana u obliku (2.10), omogućava nam da d'Alembertovom principu damo sljedeću formulaciju: ako je sistem u kretanju, u nekom trenutku vremena, momentalno se zaustavlja i primjenjuje na svaku materijalnu tačku ovog sistema. aktivnih sila reakcije veza koje na njega djeluju u trenutku zaustavljanja i d'Alembertovih inercijskih sila, tada će sistem ostati u ravnoteži.
D'Alembertov princip je pogodan metod za rješavanje dinamičkih problema, jer omogućava da se jednačine kretanja neslobodnih sistema zapišu u obliku statičkih jednačina.
Time se, naravno, problem dinamike ne svodi na problem statike, jer problem integracije jednadžbi kretanja i dalje ostaje, ali d'Alambertov princip daje jedinstvenu metodu za sastavljanje jednadžbi gibanja neslobodnih sistema, i to je njegova glavna prednost.
Ako imamo na umu da reakcije predstavljaju djelovanje veza na tačke sistema, onda se d'Alembertovom principu može dati sljedeća formulacija: ako se d'Alembertove sile inercije dodaju aktivnim silama koje djeluju na tačke neslobodnog sistema, tada će rezultujuće sile ovih sila biti uravnotežene reakcijama veza. Treba naglasiti da je ova formulacija proizvoljna, budući da je u stvarnosti
Kada se sistem kreće, nema balansiranja, jer se inercijalne sile ne primenjuju na tačke sistema.
Konačno, d'Alembertovom principu može se dati još jedna ekvivalentna formulacija, za koju prepisujemo jednačinu (2.9) u sljedećem obliku:
D'Alambertov princip uspostavlja jedinstven pristup proučavanju kretanja materijalnog objekta, bez obzira na prirodu uslova nametnutih tom kretanju. U ovom slučaju, dinamičke jednačine kretanja dobijaju oblik jednačina ravnoteže. Otuda je drugi naziv d'Alembertovog principa metoda kinetostatike.
Za materijalnu tačku u bilo kojem trenutku kretanja, geometrijski zbir primijenjenih aktivnih sila, reakcija spajanja i konvencionalno priključene sile inercije jednak je nuli (slika 48).
Gdje je F sila inercije materijalne tačke, jednaka:
.
(15.2)
Slika 48
Slika 49
Sila inercije se ne primjenjuje na pokretni objekt, već na veze koje određuju njegovo kretanje. Čovjek prijavljuje ubrzanje 
kolica (Sl. 49), gurajući ga silom 
.Sila inercije predstavlja protivakciju delovanju osobe na kolica, tj. modul jednak sili 
i usmjerena u suprotnom smjeru.
Ako se tačka kreće duž zakrivljene putanje, tada se sila inercije može projicirati na prirodne koordinatne osi.
Slika 50
;
(15.3)
, (15.4) gdje 
-- radijus zakrivljenosti putanje.
Prilikom rješavanja problema metodom kinetostatike morate:
1. odabrati koordinatni sistem;
2. prikazati sve aktivne sile primijenjene na svaku tačku;
3. odbaciti veze, zamijenivši ih odgovarajućim reakcijama;
4. dodati silu inercije aktivnim silama i reakcijama veza;
5. sastaviti kinetostatičke jednačine iz kojih će se odrediti tražene količine.
PRIMJER 21.
O
RJEŠENJE. 1. Zamislite automobil na vrhu konveksnog mosta. Razmotrite automobil kao materijalnu tačku na koju djeluje data sila 2. Budući da se automobil kreće konstantnom brzinom, zapisujemo D'Alembertov princip za materijalnu tačku u projekciji na normalu 
i komunikacijske reakcije 
.
. (1) Izrazimo silu inercije: 
; određujemo normalni pritisak automobila iz jednačine (1): N.
\u003d 20m i kreće se konstantnom brzinom V = 36 km / h (slika 51).
16. D'Alembertov princip za mehanički sistem. Glavni vektor i glavni moment inercijskih sila.
Ako se odgovarajuća inercijska sila uslovno primeni na svaku tačku mehaničkog sistema u bilo kom trenutku kretanja, tada je u svakom trenutku kretanja geometrijski zbir aktivnih sila koje deluju na tačku, reakcija veza i inercijalne sile jednak nula.
Jednačina koja izražava d'Alembertov princip za mehanički sistem ima oblik 
. (16.1) Zbir momenata ovih uravnoteženih sila u odnosu na bilo koji centar je također nula 
. (16.2) Prilikom primjene D'Alembertovog principa, jednačine kretanja sistema se sastavljaju u obliku jednačina ravnoteže. Jednačine (16.1) i (16.2) se mogu koristiti za određivanje dinamičkih odgovora.
PRIMJER 22.
Vertikalna osovina AK, rotirajuća konstantnom ugaonom brzinom 
=10s -1, osiguran potisnim ležajem u tački A i cilindričnim ležajem u tački K (Sl. 52). Na osovinu u tački E pričvršćena je tanka homogena slomljena šipka mase m = 10 kg i dužine 10 b, koja se sastoji od dijelova 1 i 2, gdje je b = 0,1 m, a njihove mase m 1 i m 2 su proporcionalno dužinama. Šipka je pričvršćena na osovinu šarkom u tački E i bestežinskom šipkom 4 čvrsto pričvršćenom u tački B. Odrediti reakciju šarke E i šipke 4.
RJEŠENJE.
1. Dužina slomljene šipke je 10b. Izrazimo mase dijelova štapa, proporcionalne dužinama: m 1 =0,4m; m 2 =0,3m; m 3 \u003d 0,3 m.
Slika 42
2. Da biste odredili željene reakcije, razmotrite kretanje slomljene šipke i primijenite D’Alembertov princip. Postavimo štap u ravninu xy i predočimo vanjske sile koje djeluju na njega: 
,
,
, reakcije šarke 
I 
i reakcija 
štap 4. Ovim silama dodajemo sile inercije dijelova štapa: 
;
;
,
Gdje 
;
;
.
Zatim N.N.N.
Linija djelovanja rezultantnih sila inercije 
,
I 
prolazi na udaljenostima h 1 , h 2 i h 3 od x-ose: m;
3. Prema d'Alambertovom principu, primijenjene aktivne sile, reakcije sprege i inercijalne sile čine uravnotežen sistem sila. Sastavimo tri jednačine ravnoteže za ravan sistem sila:
;
;
(1)
;;
(2)
;.(3)
Rješavajući sistem jednadžbi (1)+(3), zamjenjujući date vrijednosti odgovarajućih veličina, nalazimo tražene reakcije:
N= yE=xE=
Ako se sve sile koje djeluju na tačke mehaničkog sistema dijele na vanjske 
i interni 
, (slika 53), tada za proizvoljnu tačku mehaničkog sistema možemo napisati dvije vektorske jednakosti:
;
(16.3)
.
Slika 53
Uzimajući u obzir svojstva unutrašnjih sila, dobijamo d'Alambertov princip za mehanički sistem u sledećem obliku: 
;
(16.4)
, (16.5) gdje 
,
-- glavni vektori vanjskih sila i inercijskih sila;
,
-- respektivno, glavni momenti vanjskih sila i sila inercije u odnosu na proizvoljni centar O.
Glavni vektor 
i glavna poenta 
zamijeniti inercijalne sile svih tačaka sistema, jer svaka tačka sistema mora imati svoju inercijsku silu u zavisnosti od ubrzanja tačke. Koristeći teoremu o kretanju centra mase i promjeni ugaonog momenta sistema u odnosu na proizvoljni centar, dobijamo: 
,
(16.6)
. (16.7) Za kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose z, glavni moment sila inercije u odnosu na ovu os je jednak 
, (16.8) gdje 
-- ugaono ubrzanje tijela.
Pri translacijskom kretanju tijela inercijalne sile svih njegovih tačaka se svode na rezultantu jednaku glavnom vektoru inercijalnih sila, tj. 
.
P
Slika 54
, (16.9) gdje 
-- moment inercije tijela u odnosu na os rotacije.
Ako tijelo ima ravan simetrije i rotira oko fiksne ose z, okomito na ravan simetrije i ne prolazi kroz centar mase tijela, inercijska sila svih tačaka tijela se smanjuje na rezultantnu silu jednaku na glavni vektor sila inercije sistema, ali primenjen na određenu tačku K (Sl. 54) . Linija djelovanja rezultante 
nalazi se na udaljenosti od tačke O 
.
(16.10)
U ravninskom kretanju tijela koje ima ravan simetrije, tijelo se kreće duž ove ravni (sl. 55). Glavni vektor i glavni moment inercijskih sila također leže u ovoj ravni i određeni su formulama:
Slika 55
;
.
Znak minus označava da je pravac trenutka 
suprotno smeru ugaonog ubrzanja tela.
PRIMJER 23.
Odrediti silu koja teži da rastrgne ravnomjerno rotirajući zamašnjak mase m, s obzirom na njegovu masu raspoređenu po obodu. Radijus zamašnjaka r, ugaona brzina 
(Sl. 56).
RJEŠENJE.
1. Snaga koju tražite 
je interna. 
-- rezultanta sila inercije elemenata naplatka. 
. Izrazimo koordinatu x c centra mase luka oboda sa centralnim uglom 
:
, Onda 
.
2. Odrediti snagu 
Primijenimo d'Alambertov princip u projekciji na x-osu: 
;
, gdje 
.
3. Ako je zamašnjak čvrsti homogeni disk, onda 
, Onda 
.
Područje primjene d'Alembertovog principa je dinamika ograničenih mehaničkih sistema. d'Alembert je predložio originalnu metodu za rješavanje problema dinamike, koja omogućava korištenje prilično jednostavnih statičkih jednačina. Napisao je: “Ovo pravilo sve probleme vezane uz kretanje tijela dovodi do jednostavnijih problema ravnoteže.”
Ova metoda se zasniva na inercijalnim silama. Hajde da predstavimo ovaj koncept.
Sila inercije je geometrijski zbir sila suprotstavljanja pokretne materijalne čestice telima koja joj daju ubrzanje.
Hajde da objasnimo ovu definiciju. Na sl. 15.1 prikazuje materijalnu česticu M , u interakciji sa n materijalnih objekata. Na sl. 15.1 prikazuje sile interakcije: bez
koji se zapravo ne odnose na česticu, već na tijela s masama m 1 , …, m n . Jasno je da rezultanta ovog sistema konvergirajućih kontrasila, R ’ =ΣF’ k , modul jednako R i usmjeren je suprotno od ubrzanja, tj.: R ’ =-ma. Ova sila je inercijalna sila o kojoj se govori u definiciji. U nastavku ćemo to označavati slovom F , tj.:
U opštem slučaju krivolinijskog kretanja tačke, ubrzanje je zbir dve komponente:
Iz (15.4) je jasno da su komponente sile inercije usmjerene suprotno od smjerova odgovarajućih komponenti ubrzanja tačke. Moduli komponenti sile inercije određuju se sljedećim formulama:
Gdje ρ – radijus zakrivljenosti putanje tačke.
Nakon određivanja sile inercije, razmotrite d'Alambertov princip.
Neka nam bude dat mehanički sistem koji se sastoji od n materijalne tačke (slika 15.2). Uzmimo jednu od njih. Sve sile koje djeluju na k tačku, klasifikujemo ga u grupe:
Izraz (15.6) odražava suštinu d'Alamberovog principa, napisanog za jednu materijalnu tačku. Ponavljanjem gornjih radnji u odnosu na svaku tačku mehaničkog sistema možemo napisati sistem n jednadžbe slične (15.6), koje će biti matematički prikaz d’Alembertovog principa primijenjenog na mehanički sistem. Dakle, hajde da formulišemo d'Alambertov princip za mehanički sistem:
Ako se odgovarajuća inercijalna sila primeni na svaku tačku mehaničkog sistema u bilo kom trenutku, pored spoljašnjih i unutrašnjih sila koje stvarno deluju na nju, tada će ceo sistem sila biti doveden u ravnotežno stanje i sve statičke jednačine može se primijeniti na njega.
Imajte na umu:
D'Alembertov princip se može primijeniti na dinamičke procese koji se odvijaju u
inercijski referentni sistemi. Isti zahtjev, kao što je ranije navedeno, treba se pridržavati kada se primjenjuju zakoni dinamike;
Inercijalne sile, koje se, prema metodologiji d’Alamberovog principa, moraju primijeniti
žive do tačaka sistema, u stvari na njih ne utiče. Zaista, kada bi postojale, onda bi čitav skup sila primijenjenih na svaku tačku bio u ravnoteži, a sama formulacija problema dinamike bi izostala.
Za ravnotežni sistem sila mogu se napisati sljedeće jednačine:
one. geometrijski zbir svih sila sistema, uključujući sile inercije, i geometrijski zbir momenata svih sila u odnosu na proizvoljni centar jednaki su nuli.
S obzirom na svojstva unutrašnjih sila sistema:
izrazi (15.7) se mogu značajno pojednostaviti.
Uvođenje glavne notacije vektora
i glavna poenta
izrazi (15.7) će se pojaviti u obliku:
Jednačine (15.11) su direktan nastavak d'Alamberovog principa, ali ne sadrže unutrašnje sile, što je njihova nesumnjiva prednost. Njihova upotreba je najefikasnija kada se proučava dinamika mehaničkih sistema koji se sastoje od čvrstih tijela.
Ako uzmemo u obzir sistem koji se sastoji od nekoliko materijalnih tačaka, ističući jednu određenu tačku s poznatom masom, onda pod djelovanjem vanjskih i unutarnjih sila primijenjenih na njega, on dobiva određeno ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir. Među takvim silama mogu postojati i aktivne sile i reakcije spajanja.
Inercijalna sila tačke je vektorska veličina koja je po veličini jednaka proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja. Ova veličina se ponekad naziva d'Alembertovom inercijskom silom; ona je usmjerena suprotno od ubrzanja. U ovom slučaju se otkriva sljedeće svojstvo pokretne tačke: ako u svakom trenutku dodamo silu inercije silama koje stvarno djeluju na tačku, tada će rezultirajući sistem sila biti uravnotežen. Ovako možemo formulisati d'Alembertov princip za jednu materijalnu tačku. Ova izjava je u potpunosti u skladu sa drugim Newtonovim zakonom.
D'Alembertovi principi za sistem
Ako ponovimo sva rezonovanja za svaku tačku u sistemu, oni dovode do sljedećeg zaključka, koji izražava d'Alambertov princip formulisan za sistem: ako u bilo kom trenutku primenimo na svaku od tačaka u sistemu, dodatno na stvarno djelujuće vanjske i unutrašnje sile, tada će ovaj sistem biti u ravnoteži, pa se na njega mogu primijeniti sve jednačine koje se koriste u statici.
Ako primijenimo d'Alambertov princip za rješavanje problema dinamike, onda se jednačine kretanja sistema mogu sastaviti u obliku nama poznatih jednačina ravnoteže. Ovaj princip uvelike pojednostavljuje proračune i čini pristup rješavanju problema ujednačenim.
Primjena d'Alamberovog principa
Treba uzeti u obzir da na pokretnu tačku u mehaničkom sistemu djeluju samo vanjske i unutrašnje sile, koje nastaju kao rezultat interakcije tačaka jedna s drugom, kao i sa tijelima koja nisu uključena u ovaj sistem. Pod uticajem svih ovih sila tačke se kreću određenim ubrzanjima. Inercijalne sile ne djeluju na pokretne tačke, inače bi se kretale bez ubrzanja ili mirovale.
Inercijalne sile se uvode samo da bi se sastavljale dinamičke jednadžbe koristeći jednostavnije i pogodnije statičke metode. Takođe se uzima u obzir da je geometrijski zbir unutrašnjih sila i zbir njihovih momenata jednak nuli. Upotreba jednačina koje proizilaze iz d'Alamberovog principa olakšava proces rješavanja problema, jer ove jednačine više ne sadrže unutrašnje sile.
