d'Alambertov princip za materijalnu tačku. Oblik jednačine kretanja u skladu sa Newtonovim zakonima nije jedini. Ove jednačine se mogu napisati iu drugim oblicima. Jedna od ovih mogućnosti je d'Alambertov princip, što formalno dozvoljava da diferencijalne jednačine kretanja poprime oblik jednadžbi ravnoteže.

Ovaj princip se može smatrati nezavisnim aksiomom, koji zamjenjuje drugi Newtonov zakon. Koristimo ga kao sredstvo za rješavanje problema i izvodimo ga iz Newtonovog zakona.

Razmotrite kretanje materijalne tačke u odnosu na inercijski referentni okvir. Za besplatni materijalni bod

imamo: to = = I.

Prenos vektora to na desnoj strani jednakosti, ovaj omjer se može predstaviti kao jednadžba ravnoteže: ja - to - 0.

Predstavljamo koncept sile inercije. Nazovimo vektor usmjeren suprotno od ubrzanja i jednak je proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja sila inercije materijalne tačke: = -ta.

Koristeći ovaj koncept možemo napisati (slika 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Rice. 3.42.

za materijalnu tačku

Jednačina (3.47) je d'Alembertov princip za slobodnu materijalnu tačku: ako se sila inercije doda silama primijenjenim na tačku, tada će tačka biti u stanju ravnoteže.

Strogo govoreći, navedeni stav nije d'Alembertov princip u onom obliku u kojem ga je formulisao autor.

d'Alembert je razmišljao neslobodno kretanje tačke, bez korištenja principa oslobađanja od veza, bez uvođenja reakcije veze. Primećujući da se u prisustvu veze ubrzanje tačke ne poklapa u pravcu sa silom i ta F R, uveo je koncept izgubio struju P - to i naveo da primjena izgubljene sile na tačku ne remeti njeno stanje ravnoteže, budući da je izgubljena sila uravnotežena reakcijom veze.

Relacija (3.47) je osnovna jednadžba kinetostatike, ili Hermannova Peterburška načelna jednačina-Euler. Metoda kinetostatike može se smatrati modifikacijom d'Alembertovog principa, uključujući i slobodnu materijalnu tačku, što je pogodnije za praktičnu upotrebu. Stoga se u većini književnih izvora jednačina (3.47) naziva d'Alembertovim principom.

Ako tačka nije besplatna, tj. na njega je nametnuto ograničenje, pogodno je podijeliti sile koje djeluju na tačku na aktivne 1, R°(postavka-

dato) i reakcija CU veze: p(a) + n =

Ova tehnika je zgodna, jer je za neke vrste veza moguće sastaviti jednadžbu kretanja na način da u nju nisu uključene reakcije ovih veza. Dakle, d'Alembertov princip za neslobodnu tačku može se zapisati kao (slika 3.43):

R (a)+/V+ R W) = 0, (3.48)

tj. ako se na neslobodnu materijalnu tačku, pored aktivnih sila i reakcije spajanja, primeni inercijalna sila, tada će rezultujući sistem sila biti u ravnoteži u svakom trenutku.

Rice. 3.43.

materijalna tačka

A- sa engleskog, aktivan- aktivno. Podsjetimo da se sile nazivaju aktivnim ako zadrže svoje vrijednosti kada se sve veze uklone.

Kada se razmatra krivolinijsko kretanje tačke, preporučljivo je predstaviti silu inercije u obliku dvije komponente: G "‘ n) \u003d -ta n- centrifugalni i W, p) \u003d -ta x - tangenta (slika 3.44).

Rice. 3.44.

kretanje materijalne tačke

Podsjetimo da izrazi za normalno i tangencijalno ubrzanje imaju oblik: a p -U 2 / p i i t = s1U D/L

Tada možete napisati: P^ t) - -t-p Rp p) - -t-t, ili na kraju: R

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3,49)

Jednakost (3.49) izražava d'Alembertov princip za krivolinijsko kretanje neslobodne tačke.

Razmotrimo nit dužine /, na čijem je kraju fiksirana tačka mase T. Nit se rotira oko vertikalne ose, opisujući stožastu površinu sa konstantnim uglom nagiba generatriksa A. Odredite odgovarajuću konstantnu brzinu tačke i napetost niti T(Sl. 3.45).

Rice. 3.45.

kretanje neslobodne materijalne tačke

Da, ali: /u, /, a = const. Nađi: T, V.

Primijenimo na tačku inercijalne sile usmjerene suprotno od odgovarajućih komponenti ubrzanja. Imajte na umu da je tangencijalna sila inercije nula, jer je po uslovu brzina konstantna:

/1°") = -ta = -t-= Oh

a centrifugalna sila inercije određena je izrazom P^ m) \u003d mU 2 /p, gdje je p = /Bta.

Primjena d'Alembertovog principa na ovaj problem nam omogućava da zapišemo jednačinu kretanja proučavane materijalne tačke u obliku uvjeta za ravnotežu sila koje se konvergiraju: T? + T + Pp n) = 0.

U ovom slučaju, sve jednadžbe ravnoteže vrijede u projekciji na prirodne koordinatne ose:

X^n=0, - FJ" 1+ Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + T cosa = 0,

+ T sin a =

-mg + T cosa = 0,

gde da nađemo T= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

d'Alambertov princip za sistem materijalnih tačaka. Razmotrimo kretanje mehaničkog sistema materijalnih tačaka. Kao i kod povlačenja OZMS-a, sile primijenjene na svaku tačku dijelimo na vanjske i unutrašnje (slika 3.46).

Rice. 3.46.

Neka je ' rezultanta vanjskih sila primijenjenih na /-tu ​​tačku, i / G (L - rezultanta unutrašnjih sila primijenjenih na istu tačku. U skladu sa d'Alambertovim principom, inercijalne sile se moraju primijeniti na svaki materijal tačka sistema: Rr n) = -t,a g

Tada sile primijenjene na svaku tačku sistema zadovoljavaju relaciju:

1?E) + pY) + p0n)

one. sistem materijalnih tačaka će biti u ravnoteži ako se na svaku njegovu tačku primeni dodatna sila inercije. Dakle, uz pomoć d'Alembertovog principa moguće je jednačinama kretanja sistema dati oblik jednačina ravnoteže.

Izrazimo kinetostatske uslove ravnoteže sistema pomoću statičkih ekvivalenata inercijalnih sila i vanjskih sila. U tu svrhu zbrajamo sve P jednačine (A), opisujući sile primijenjene na pojedine tačke sistema. Zatim izračunavamo momente svih vanjskih i unutrašnjih sila i sila inercije primijenjenih na pojedinačne tačke, u odnosu na proizvoljnu tačku O:

g a X R "E> + g a X /*") + g a X P t > =0. і = 1,2,..., ".

Zatim sumiramo, kao rezultat dobijemo

// p str

'(E) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M ( 0 E) + M ( 0 n + M% a) = 0.

Zbog K i)= 0 i M 1 0 p = 0, konačno imamo:

ÍÂ (?) + L (/I) = 0;

M (a E) + M(‘n) = 0.

Iz sistema jednadžbi (3.50) može se vidjeti da je glavni vektor inercijskih sila uravnotežen glavnim vektorom vanjskih sila, a glavni moment inercijskih sila u odnosu na proizvoljnu tačku uravnotežen glavnim momentom vanjskih sila. u odnosu na istu tačku.

Prilikom rješavanja zadataka potrebno je imati izraze za glavni vektor i glavni moment inercijskih sila. Veličine i smjerovi ovih vektora zavise od raspodjele ubrzanja pojedinih tačaka i njihovih masa. U pravilu, direktna definicija ja (sh) I M ( ”" ] geometrijsko zbrajanje može se izvesti relativno jednostavno samo kada P - 2 ili P= 3. Istovremeno, u problemu kretanja krutog tijela moguće je izraziti statičke ekvivalente inercijalnih sila u pojedinim slučajevima kretanja u zavisnosti od kinematičkih karakteristika.

Glavni vektor i glavni moment sila inercije krutog tijela u različitim slučajevima kretanja. Prema teoremi o kretanju centra mase t sa c \u003d I (E). Po d'Alambertovom principu imamo: I (1P) + I (E) = Oh, gde da nađemo: I "1P) = -t sa sa. Dakle, sa bilo kojim pokretom tijela glavni vektor inercijskih sila jednak je umnošku mase tijela i ubrzanja centra mase i usmjeren je suprotno od ubrzanja centra mase(Sl. 3.47).

Rice. 3.47.

Izrazimo glavni moment inercijskih sila pri rotacionom kretanju tela oko fiksne ose okomite na ravan materijalne simetrije tela (slika 3.48). Sile inercije primijenjene na / -tačku: R"! n) = m,x op; 2 i R? P)= /u,ep,.

Budući da sve centrifugalne sile inercije sijeku os rotacije, glavni moment ovih sila inercije je nula, a glavni moment tangencijalnih inercijskih sila je:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - J z (3.51)

Dakle, glavni moment tangentnih sila inercije oko ose rotacije jednak je umnošku momenta inercije oko ove ose i ugaonog ubrzanja, a smer glavnog momenta tangentnih sila inercije je suprotan od smjer ugaonog ubrzanja.

Rice. 3.48.

oko ose rotacije

Zatim izražavamo sile inercije za ravnoparalelno kretanje tijela. Razmatrajući ravnoparalelno kretanje tijela (slika 3.49) kao zbir translacijskog kretanja zajedno sa centrom mase i rotacija okolo osa koja prolazi kroz centar mase okomito na ravan kretanja, može se dokazati, u prisustvu ravni materijalne simetrije koja se poklapa sa ravninom kretanja centra mase, da su sile inercije u ravni paralelnom kretanju ekvivalentne glavnom vektoru / ? (" p) primijenjen na centar mase suprotan je ubrzanju centra mase, a glavni moment inercijskih sila M^ n) u odnosu na središnju os, okomito na ravninu kretanja, usmjerenu u smjeru suprotnom od kutnog ubrzanja:

Rice. 3.49.

Bilješke.

• 1. Imajte na umu da, budući da d’Alembertov princip dozvoljava samo napišite jednačinu kretanja u obliku jednačine ravnoteže, onda ne daje nikakve integrale jednadžbe kretanja.
• 2. Naglašavamo to sila inercije u d'Alambertovom principu je fiktivno siva, primjenjuju se uz djelujuće sile s jedinom svrhom postizanja ravnotežnog sistema. Međutim, u prirodi postoje sile koje su geometrijski jednake silama inercije, ali se te sile primjenjuju na druga (ubrzavajuća) tijela, u interakciji s kojima nastaje sila ubrzanja koja se primjenjuje na razmatrano tijelo koje se kreće. Na primjer, kada se pomiče točka fiksirana na niti koja se rotira konstantnom brzinom oko kružnice u horizontalnoj ravni, napetost niti je tačno jednaka sila inercije, one. sila reakcije tačke na niti, dok se tačka pomiče pod dejstvom reakcije niti na nju.
• 3. Kao što je već pokazano, gornji oblik d'Alembertovog principa razlikuje se od onog koji je koristio sam d'Alembert. Metodu sastavljanja diferencijalnih jednačina gibanja sistema, koja se ovdje koristi, razvili su i proširili brojni naučnici iz Sankt Peterburga i dobila je ime kinetostatska metoda.

Primena metoda mehanike na neke probleme dinamike šinskih vozila:

? kretanje šinskog vozila duž zakrivljene pruge. U ovom trenutku, zahvaljujući mogućnostima kompjuterske tehnologije, analiza svih mehaničkih pojava koje se javljaju tokom kretanja šinskog vozila u krivini vrši se pomoću prilično složenog modela, koji uzima u obzir čitav skup pojedinačnih tijela sistema. i karakteristike veza između njih. Ovakav pristup omogućava dobijanje svih potrebnih kinematičkih i dinamičkih karakteristika kretanja.

Međutim, prilikom analize konačnih rezultata i izvođenja preliminarnih procjena u tehničkoj literaturi, prilično se često susreću određena izobličenja nekih pojmova mehanike. Stoga je preporučljivo govoriti o najoriginalnijim osnovama koje se koriste u opisivanju kretanja posade u krivulji.

Predstavimo neke matematičke opise razmatranih procesa u elementarnoj formulaciji.

Za ispravno, dosljedno objašnjenje karakteristika stacionarno kretanje posade u kružnoj krivulji potrebno je:

• odabrati metodu mehanike koja se koristi za opisivanje ovog kretanja;
• polaziti od jasnog, sa stanovišta mehanike, koncepta "sile";
• ne zaboravite zakon jednakosti akcije i reakcije.

Proces kretanja posade u krivini neizbježno podrazumijeva promjenu smjera brzine. Karakteristika brzine ove promjene je normalno ubrzanje usmjereno na centar zakrivljenosti krivolinijske putanje centra mase: a p - V 2/p, gde je p poluprečnik krive.

Tokom kretanja, vozilo dolazi u interakciju sa šinom, što rezultira normalnim i tangencijalnim reaktivnim silama koje se primenjuju na osovinske parove. Naravno, na šine se primjenjuju jednake i suprotne sile pritiska. Prema gore navedenim mehaničkim konceptima, sila se podrazumijeva kao rezultat interakcije tijela, odnosno tijela i polja. U problemu koji se razmatra postoje dva fizička sistema: vagon sa točkovima i šinski kolosek, pa se sile moraju tražiti na mestima njihovog dodira. Osim toga, interakcija posade i gravitacionog polja Zemlje stvara gravitaciju.

Opis kretanja posade u krivulji može se napraviti pomoću opšte teoreme dinamike, koje su posljedice OZMS-a, ili na osnovu principi mehanike(na primjer, d'Alembertov princip), koji je osnova kinetostatska metoda.

Želeći da objasnim jednake karakteristike metode za uzimanje u obzir zakrivljenosti ose kolosijeka na karakteristike kretanja posade, prvo koristimo najjednostavniji idealizirani model. Posada će se smatrati materijalnim avionom čija je masa jednaka masi ovog sistema.

Centar mase koji leži u ovoj ravni izvodi dato kretanje duž putanje koja je kongruentna osi putanje, brzinom v. Kontakt sa šinom vrši se u dve tačke preseka pokretne ravni sa šinskim navojima. Dakle, govoreći o interakciji vozila sa šinom, možemo govoriti o koncentrisanim silama, koje su rezultanta svih reakcija šina na pojedinačnim osovinskim parovima sa svake od šina. Štaviše, priroda pojave reaktivnih sila je beznačajna;

? kretanje vagona duž pruge bez podizanja vanjske šine. Na sl. 3.50 prikazuje projektnu šemu posade koja se kreće duž zakrivljene staze. Vanjske i unutrašnje šine, u ovom slučaju, nalaze se na istom nivou. Na sl. 3.50 prikazuje sile koje djeluju na posadu i reakcije veza. Naglašavamo da nema u ovoj shemi nema stvarnih centrifugalnih sila.

U okviru Njutnove geometrijske mehanike, kretanje vozila u krivini opisuje se opštim teoremama dinamike sistema.

U ovom slučaju, prema teoremi o kretanju centra mase,

t c a c - I a), (a)

gdje je R) glavni vektor vanjskih sila.

Projektovanje oba dela izraza (A) na pratećim prirodnim koordinatnim osama, čiji je centar u centru mase vozila, sa jediničnim vektorima m, i, b i vjerovati t s = T.

U projekciji na glavnu normalu dobijamo da je n \u003d F n, ili

mV / p \u003d Fn (b)

Gdje F n - stvarna moć reakcije šine na parove točkova, što je zbir projekcija reakcija šine na normalu na putanju. To mogu biti usmjeravajuće sile pritiska šina na prirubnicama kotača. Nema drugih vanjskih sila u ovom pravcu.

U projekciji izraza (A) na binormalnom dobijamo:

O = -mg+Nout+N gostionica. (sa)

Evo indeksa van 1 odgovaraju spoljašnjem, a gostionica- unutrašnja šina krivine. Lijeva strana u izrazu (c) jednaka je nuli, jer je projekcija ubrzanja na binormalu jednaka nuli.

Treću jednačinu dobijamo koristeći teoremu o promjeni ugaonog momenta u odnosu na centar mase:

dK c /dt = ^M c . (d)

Dizajniranje izraza d na t osi, gdje je t = nx b - vektorski proizvod jediničnih vektora P I b, s obzirom na to KCl\u003d U St s t, U St - moment inercije posade oko ose tangente na putanju centra mase, imat ćemo

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (e)

budući da je kutno ubrzanje oko m ose u ravnomjernom kretanju duž kružne krivulje nula.

Izrazi ( b), (c) i (e) su sistem linearnih algebarskih jednadžbi za tri nepoznate veličine M-tp> rješavajući koje, dobijamo:

Rice. 3.50.

Dakle, dosljedna primjena općih teorema dinamike omogućava nam da u razmatranom problemu ustanovimo sve pojave povezane s prolaskom posade krivolinijskog dijela staze.

U stvari, oba točka su podložna silama usmjerenim unutar krivine. Rezultanta ovih sila stvara moment oko centra mase vozila, što može uzrokovati rotaciju, pa čak i prevrtanje van krivine ako V 2 N/p5" > g. Djelovanje ove sile dovodi do habanja kotača. Naravno, suprotno usmjerena sila djeluje na šinu -R p uzrokuje trošenje šina.

Imajte na umu da se u gornjoj izjavi može pronaći samo rezultanta horizontalnih reakcija dvije tračnice R. Da bi se odredila raspodjela ove sile između unutrašnje i vanjske tračnice, potrebno je riješiti statički neodređeni problem korištenjem dodatnih uvjeta. Osim toga, tokom kretanja vagona, normalne reakcije vanjskih i unutrašnjih šina imaju različite vrijednosti. Vanjski navoj šine je više opterećen.

Reakcija unutrašnjeg navoja na vozilo je manja i pri određenoj vrijednosti brzine može biti jednaka nuli.

U klasičnoj mehanici ovo stanje se naziva prevrtanje, iako zapravo još nema prevrtanja. Da bi se saznalo kada dolazi do stanja stvarnog prevrtanja, treba razmotriti rotaciju automobila oko ose paralelne sa m i koja prolazi kroz tačku kontakta točka sa spoljnom šinom u? T F 0. Takav zadatak je od čisto akademskog interesa, jer je, naravno, neprihvatljivo da se pravi sistem dovede u takvo stanje.

Još jednom naglašavamo da smo u objašnjavanju svih pojava polazili od činjenice kretanje automobila pod dejstvom samo stvarnih sila.

Imajte na umu da je diferencijalna jednadžba rotacije oko m ose, čak i kod = 0, napisana u odnosu na centralnu osu m. Odabir ove ose u drugoj tački dovodi do promjene oblika lijeve strane jednačine teorema momenta. Stoga je nemoguće, na primjer, zapisati ovu jednačinu u istom obliku u odnosu na osu koja prolazi kroz točku kontakta točka sa tračnicom, iako bi se činilo da bi bilo lakše pronaći vrijednost normalnih reakcija u ovom slučaju. Međutim, ovaj pristup će dovesti do pogrešnog rezultata: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Može se pokazati da je stvar u tome da jednačina rotacije oko ose koja prolazi, na primjer, kroz tačku TO, mora biti napisan uzimajući u obzir moment količine gibanja tijela iz translatornog dijela kretanja g x x ta s: J Cl? t+ T(g ks xx d)=^ M Kh.

Dakle, umjesto jednačine (c) u projekciji na osu St dobijamo izraz

(8 )

/ St? t+ t[g ks X a c) t = -teB + N ipp 25,

gdje je u zagradama vrijednost projekcije na os St vektorskog proizvoda ? ks ha s.

Pokažimo da nam uzastopna implementacija potrebnih procedura omogućava pronalaženje s w iz rezultirajuće jednačine). Od sl. 3.50 to pokazuje

g ks - bp + Hb I a c =

Izračunajmo vektorski proizvod:

Ovdje se uzima u obzir da php = 0 I bxn = - t. Stoga,

tNU 2

2L g / lp 5',

gdje nalazimo reakciju unutrašnje šine:

što je isto kao rezultat dobijen u izrazu (/).

U zaključku izlaganja problema ističemo da je razmatranje automobila u pokret korištenje Newtonovih metoda geometrijske mehanike omogućava rješavanje problema bez uvođenja fiktivne i ove inercije. Potrebno je samo pravilno koristiti sve odredbe mehanike. Međutim, treba napomenuti da upotreba ove metode može biti povezana s većom količinom proračuna nego, na primjer, kada se koristi d'Alembertov princip.

Hajde sada da pokažemo kako se isti problem rešava na osnovu upotrebe d'Alembertovog principa u opšteprihvaćenom obliku kinetostatičke metode. U tom slučaju potrebno je primijeniti dopunu

navojem fiktivno sila inercije: G* = -ta sp = -T-P. i eki-

stranica zaustavlja, tj. sada ubrzanje njegovog centra mase a c= 0. Na sl. 3.51 prikazuje takve sistem mirovanja. Sve sile koje se na njega primjenjuju, uključujući silu inercije, moraju zadovoljiti kinetostatičke jednačine ravnoteža, a ne kretanje, kao u prethodnom slučaju.

Ova okolnost nam omogućava da pronađemo sve nepoznate količine iz jednačina ravnoteže. U ovom slučaju, izbor oblika jednadžbi ravnoteže i tačaka u odnosu na koje se računaju momenti postaje proizvoljan. Poslednja okolnost nam omogućava da pronađemo sve nepoznate nezavisno jedna od druge:

I M. = oh I m,_= oh

-n = oko.

1 at MP

Rice. 3.51. Projektna shema sila koje djeluju na posadu pod istim uvjetima kao na sl. 3,50 kada se koristi d'Alembertov princip

Lako je vidjeti da se rješenja ovog sistema jednadžbi poklapaju sa odgovarajućim formulama dobijenim korištenjem teorije dinamike. Dakle, u primjeru koji se razmatra, primjena d'Alembertovog principa omogućila je donekle pojednostavljenje rješenja problema.

Međutim, pri tumačenju rezultata treba imati na umu da je dodatno primijenjena inercijska sila fiktivna u smislu da je u stvarnosti ne postoji takva sila koja deluje na posadu. Osim toga, ova sila ne zadovoljava treći Newtonov zakon – nema „drugog kraja“ ove sile, tj. nema opozicije.

Općenito, pri rješavanju mnogih problema mehanike, uključujući i problem kretanja posade u krivulji, zgodno je primijeniti d'Alembertov princip. Međutim, ne treba dovoditi u vezu nikakve pojave akcija ovu silu inercije. Na primjer, reći da ova centrifugalna sila inercije dodatno opterećuje vanjsku šinu i rasterećuje unutrašnju, i štoviše, ta sila može uzrokovati prevrtanje vozila. Ovo nije samo nepismeno, već i besmisleno.

Još jednom podsjećamo da su vanjske primijenjene sile koje djeluju na vagon u krivini i mijenjaju stanje njegovog kretanja gravitacija, vertikalne i horizontalne reakcije šina;

? kretanje vagona duž krivine sa elevacijom vanjske šine. Kako je pokazano, procesi koji se javljaju kada vozilo prolazi kroz krivine bez podizanja vanjske šine povezani su sa neželjenim posljedicama - neravnomjernim vertikalnim opterećenjem šina, značajnim normalnim horizontalnim odgovorom šine na točak, praćeno povećanim habanjem. i točkova i šina, mogućnost prevrtanja pri prekoračenju brzine.pomeranje određene granice itd.

U velikoj mjeri, neugodne pojave koje prate prolazak krivina mogu se izbjeći podizanjem vanjske šine iznad unutrašnje. U ovom slučaju, kočija će se kotrljati duž površine stošca s uglom nagiba generatrike prema horizontalnoj osi (slika 3.52): f L = arcsin (L / 25), ili pod malim uglovima

F A * L/2 S.

Rice. 3.52.

sa elevacijom vanjske šine

U stacionarnom slučaju, kada V- const i φ A = const, možemo razmotriti kretanje ravnog dijela vagona u vlastitoj ravni na isti način kao kada se uklapa u krivinu bez podizanja vanjske šine.

Razmotrite tehniku ​​rješavanja problema korištenjem općih teorema dinamike. Pretpostavićemo da se centar mase vozila kreće duž kružne krivulje poluprečnika p, iako se u razmatranom slučaju, strogo govoreći, radijus zakrivljenosti ose kolosijeka razlikuje od poluprečnika zakrivljenosti putanje centra mase za malu količinu:

H sin cf L ~ H f A "r.

Stoga, u poređenju sa p, potonja vrijednost se može zanemariti. Kretanje "ravnog dijela" posade će se pripisati pratećim osovinama SuSi x(vidi sliku 3.52), gdje je os su] paralelno sa ravninom koloseka. Pri konstantnoj brzini kretanja, projekcija ubrzanja centra mase na glavnu normalu putanje njegovog kretanja može se napisati na isti način kao pri kretanju u krivulji bez elevacije, tj. a p = V i/R.

Projekcije ubrzanja na osu Su, i Cz^ jednaki su redom:

a ux = a p sovf,; I. \u003d a „smy h.

Jednadžbe gibanja ravnog presjeka zasnovane na teoremi o kretanju centra mase i teoremi o promjeni ugaonog momenta u odnosu na osu Cx su sljedeće:

Uzimajući u obzir da je = 0, nakon zamjene dobijamo sistem od tri linearne algebarske jednadžbe u tri nepoznate F vi, N iiw, N (nula:

/i-si Pf l = -mg cosV/ , + N mn + N out; P

-sof A = mgs ipf A + F ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Imajte na umu da nagib ravnine ose kolosijeka zbog elevacije vanjske tračnice dovodi do promjene projekcije ubrzanja centra mase na os Cy, i Cr, što je povezano s promjenom u reakcije šina u odnosu na one u odsustvu kote, kada A. - 0, a l Ove promjene u projekcijama ubrzanja mogu se objasniti ako rotaciju vozila oko binormale koja prolazi kroz centar krivine krivulje posmatramo kao geometrijski zbir dvije rotacije ω = ω (+ b) oko osi?, y, prolazeći kroz isti centar krive.

Prilikom sastavljanja sistema jednačina (Za) nije bila predviđena malenkost ugla cp L. Međutim, u praktičnom dizajnu

wtf A ~ /g/25.

Dakle, u slučaju malog f L, sistem jednačina za određivanje reakcija staze na vozilo ima sledeći oblik:

= -g^+ LG,„ + M gsh,;

T- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Rješavajući ove jednačine dobijamo:

N...... =

mg + TU/G

pet/77 K I /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

U konkretnom slučaju kada nema nadmorske visine (I= 0), ovi izrazi se poklapaju sa onima dobijenim ranije (/).

Pređimo sada na analizu rezultata rješavanja problema za I F 0.

Treba napomenuti da se u ovom slučaju smanjuje poprečna reakcija tračnice, usmjerena u ravnini kolosijeka. To se objašnjava činjenicom da u formiranju ubrzanja centra mase u smjeru ose Su ne sudjeluje samo sila //, već i komponenta gravitacije. Štaviše, za određenu vrijednost I\u003d 25K 2 / p? sila R postaje nula:

Imajući to na umu

t g - T,= X A,%>+ X A[

• (3.42)

Poziva se vrijednost u zagradama izvanredno ubrzanje. Država kada P = 0, odgovara slučaju u kojem je normalno ubrzanje A nastaje samo projekcijom na osu d>, sile gravitacije posade.

Kada se raspravlja o problemu koji se razmatra, ponekad postoji sofističko rezonovanje da je ubrzanje a p je usmjerena horizontalno, a gravitacija je vertikalna (vidi sliku 3.52), te stoga ne može formirati razmatrano ubrzanje a p at R= 0. Ovo rezonovanje sadrži grešku, jer u formiranju horizontalnog ubrzanja, pored sile R, učestvuju i normalne reakcije D r w u i / V o r. Zbir ove dvije reakcije pri malom f A jednak je 1H tp + 1U oig \u003d mg. Stoga gravitacija još uvijek sudjeluje u formiranju horizontalnog ubrzanja a p, već kroz djelovanje reakcija N m I S oiG

Razmotrimo sada kako se mijenjaju normalne reakcije tračnica, okomitih na površinu kolosijeka.

Imajte na umu da se, za razliku od slučaja /7 = 0, reakcije povećavaju za istu vrijednost TU 2 I/2r28,što je zanemareno jer ///25 - vrijednost je mala. Međutim, u rigoroznom zaključivanju, izostavite ovaj izraz za izraze i N w ne radi to.

Kada - > -2-, tj. sa izvanrednim pozitivnim ubrzanjem, str. 25

reakcija unutrašnje šine je manja od vanjske, međutim razlika između njih nije toliko značajna kao kod I = 0.

Ako je izvanredno ubrzanje jednako nuli, vrijednosti reakcije postaju jednake IV oSH = mg|2(za male I), one. visina vanjske šine omogućava ne samo da se dobije RU= 0, ali i izjednačiti pritisak na vanjske i vanjske šine. Ove okolnosti omogućavaju postizanje ujednačenijih vrijednosti habanja za obje šine.

Međutim, zbog kote vanjske šine postoji mogućnost negativne vrijednosti R", što u realnom sistemu sa ograničenjima bez zadržavanja odgovara procesu klizanja vozila duž ose y g one. unutar krive. Zbog istog nagiba staze može doći do preraspodjele reakcija N w I Ne oh! dominantan M sh.

Dakle, proučavanja kretanja vozila u krivini duž putanje sa elevacijom vanjske šine, sprovedena primenom Newtonovih metoda geometrijske mehanike, omogućavaju analizu stanja sistema bez dodatnih terminoloških hipoteza. U rasuđivanju ne postoje sile inercije.

Razmotrimo sada kako se kretanje kolica u istoj krivulji opisuje korištenjem d'Alembertovog principa.

Primjenjujući ovaj princip u formulaciji kinetostatičke metode na isti način kao u prethodnom slučaju, potrebno je primijeniti normalnu (centrifugalnu) silu inercije na centar mase. R„ n), usmjereno u smjeru suprotnom od normalnog ubrzanja (slika 3.53):

Gde sistem opet zaustavlja, tj. posada se ne kreće duž staze. Dakle, sve jednadžbe kinetostatičke ravnoteže vrijede:

I To= °-X r* = O.

/L^ypf, - G‘ str sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Zamjenom vrijednosti ovdje dobijamo isti sistem jednačina kao sistem (/) za bilo koji f / (ili (Za) at small I.

Dakle, korištenje obje metode dovodi do potpuno istih rezultata. Sistem jednačina ( To) i sistem dobijen na osnovu d'Alembertovog principa su identični.

Međutim, imajte na umu da u konačni rezultati ne uključuju inercijske sile. To je razumljivo, budući da je d'Alembertov princip, koji leži u osnovi metode kinetostatike, samo sredstvo za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja sistema. Istovremeno, vidimo da je u razmatranom problemu primjena d'Alembertovog principa omogućila pojednostavljenje proračuna i da se može preporučiti za praktična proračuna.

Međutim, još jednom naglašavamo da u stvarnosti nema snage TU 2/p primijenjeno na centar mase vozila u pokretu. Stoga sve pojave vezane za kretanje u krivu treba objasniti onako kako je to urađeno na osnovu analize rezultata rješavanja sistema (/), odnosno (Za).

U zaključku ističemo da su "Newtonova metoda" i "D'Alembertova metoda" u razmatranom problemu korištene samo u svrhu sastavljanja diferencijalnih jednačina kretanja. Istovremeno, u prvoj fazi ne dobijamo nikakve informacije, osim samih diferencijalnih jednadžbi. Naknadno rješavanje dobijenih jednačina i provedena analiza nisu vezani za način dobivanja samih jednačina.

Rice. 3.53.

• out- sa engleskog, vanjski- vanjski.
• gostionica- sa engleskog, unutrašnje- enterijer.
• gostionica- sa engleskog, unutrašnje- enterijer.

d'Alambertov princip

Glavni rad Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Traktat o dinamici" - objavljen je 1743.

Prvi dio rasprave posvećen je konstrukciji analitičke statike. Ovdje d'Alembert formulira "osnovne principe mehanike", među kojima su "princip inercije", "princip zbrajanja kretanja" i "princip ravnoteže".

"Princip inercije" je formulisan odvojeno za slučaj mirovanja i za slučaj ravnomernog pravolinijskog kretanja. "Sila inercije, - piše d'Alembert, ja, zajedno sa Njutnom, nazivam svojstvo tela da održava stanje u kojem se nalazi."

"Princip sabiranja kretanja" je zakon sabiranja brzina i sila prema pravilu paralelograma. Na osnovu ovog principa, d'Alembert rješava probleme statike.

"Princip ravnoteže" je formuliran kao sljedeća teorema: "Ako dva tijela koja se kreću brzinom obrnuto proporcionalnom njihovoj masi imaju suprotne smjerove, tako da se jedno tijelo ne može kretati bez pomjeranja s mjesta na drugo tijelo, tada će ova tijela biti u ravnoteži ". U drugom dijelu Traktata, d'Alembert je predložio opći metod za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja za bilo koji materijalni sistem, zasnovan na svođenju problema dinamike na statiku. Formulirao je pravilo za svaki sistem materijalnih tačaka, kasnije nazvano "d'Alembertov princip", prema kojem se sile koje se primjenjuju na tačke sistema mogu razložiti na "djelujuće", odnosno one koje uzrokuju ubrzanje sistem, i "izgubljeni", neophodni za ravnotežu sistema. d'Alembert smatra da sile koje odgovaraju "izgubljenom" ubrzanju formiraju takvu kombinaciju koja ne utiče na stvarno ponašanje sistema. Drugim rečima, ako se na sistem primeni samo skup "izgubljenih" sila, onda će sistem ostati u mirovanju. Modernu formulaciju d'Alamberovog principa dao je M. E. Žukovski u svom "Kursu teorijske mehanike": "Ako se u bilo kom trenutku sistem zaustavi, on se kreće, a mi mu dodajemo, pored njegovog pokretanja sile, sve sile inercije koje odgovaraju datom trenutku u vremenu, tada će se posmatrati ravnoteža, dok će sve sile pritiska, napetosti itd. koje se razvijaju između delova sistema u takvoj ravnoteži, biti realne sile pritisak, napetost, itd. kada se sistem kreće u razmatranom trenutku". Treba napomenuti da sam d'Alembert, prilikom predstavljanja svog principa, nije pribjegavao ni pojmu sile (s obzirom da nije dovoljno jasan da bi se uvrstio u listu osnovnih pojmova mehanike), a još manje konceptu inercijalne sile. Prikaz d'Alembertovog principa korištenjem pojma "sila" pripada Lagrangeu, koji je u svojoj "Analitičkoj mehanici" dao njen analitički izraz u obliku principa mogućih pomaka. Bio je to Joseph Louis Lagrange (1736-1813) i posebno Leonardo Euler (1707-1783) koji je odigrao bitnu ulogu u konačnoj transformaciji mehanike u analitičku mehaniku.

Analitička mehanika materijalne tačke i Ojlerova dinamika krutog tela

Leonardo Euler- jedan od istaknutih naučnika koji je dao veliki doprinos razvoju fizičko-matematičkih nauka u XVIII veku. Njegov rad je upečatljiv uvidom istraživačke misli, univerzalnošću talenta i ogromnom količinom naučnog naslijeđa ostavljenog iza sebe.

Već u prvim godinama svoje naučne delatnosti u Sankt Peterburgu (Ojler je stigao u Rusiju 1727. godine) izradio je program grandioznog i sveobuhvatnog ciklusa rada u oblasti mehanike. Ovaj dodatak nalazi se u njegovom dvotomnom djelu "Mehanika ili nauka o kretanju, izraženo analitički" (1736). Ojlerova mehanika bila je prvi sistematski kurs Njutnove mehanike. Sadržao je osnove dinamike tačke - pod mehanikom je Ojler razumeo nauku kretanja, za razliku od nauke o ravnoteži sila, ili statici. Odlučujuća karakteristika Ojlerove "Mehanike" bila je široka upotreba novog matematičkog aparata - diferencijalnog i integralnog računa. Ukratko karakterizirajući glavna djela o mehanici koja su se pojavila na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, Euler je primijetio sin-tetiko-geometrijski stil njihovog rada, koji je stvorio mnogo posla za čitatelje. Na ovaj način su napisani Njutnovi elementi i kasnija Foronomija (1716) J. Hermana. Euler ističe da se djela Hermanna i Newtona navode "po običaju starih ljudi uz pomoć sintetičkih geometrijskih dokaza" bez upotrebe analize, "samo putem koje se može postići potpuno razumijevanje ovih stvari".

Sintetičko-geometrijska metoda nije imala generalizujući karakter, već je zahtijevala, po pravilu, individualne konstrukcije za svaki zadatak posebno. Ojler priznaje da je nakon proučavanja „Foronomije“ i „Početaka“ on, kako mu se činilo, „prilično jasno razumeo rešenja mnogih problema, ali više nije mogao da rešava probleme koji su donekle odstupali od njih“. Zatim je pokušao da "izoluje analizu ove sintetičke metode i da analitički uradi iste predloge u svoju korist." Ojler napominje da je zahvaljujući tome mnogo bolje shvatio suštinu problema. Razvio je fundamentalno nove metode za proučavanje problema mehanike, stvorio njen matematički aparat i briljantno ga primijenio na mnoge složene probleme. Zahvaljujući Euleru, diferencijalna geometrija, diferencijalne jednadžbe i varijacijski račun postali su alati mehanike. Ojlerov metod, koji su kasnije razvili njegovi nasljednici, bio je nedvosmislen i adekvatan predmetu.

Ojlerov rad o dinamici krutog tijela "Teorija kretanja krutih tijela" ima veliki uvod od šest odjeljaka, gdje je ponovo ocrtana dinamika tačke. U uvodu je napravljen niz izmjena: posebno se jednadžbe gibanja točke pišu pomoću projekcije na os fiksnih pravokutnih koordinata (a ne na tangentu, glavnu normalu i normalu, odnosno os nepokretnog prirodnog triedra povezanog sa tačkama putanje, kao u "Mehanici").

"Traktat o kretanju krutih tijela" koji slijedi nakon uvoda sastoji se od 19 odjeljaka. Traktat se zasniva na d'Alambertovom principu. Ukratko se zadržavajući na translacijskom kretanju krutog tijela i uvodeći koncept centra inercije, Euler razmatra rotacije oko fiksne ose i oko fiksne tačke.Ovde su formule za projekcije trenutne ugaone brzine, ugaonog ubrzanja na koordinatne ose, koriste se tzv. Eulerovi uglovi itd. opisane su inercije, nakon čega Euler prelazi na dinamiku samog krutog tijela. On izvodi diferencijalne jednadžbe za rotaciju teškog tijela oko njegovog nepokretnog težišta u u odsustvu vanjskih sila i rješava ih za jednostavan poseban slučaj. Tako je nastao poznati i jednako važan problem u teoriji žiroskopa oko rotacije krutog tijela oko fiksne tačke. Ojler je radio i na teoriji brodogradnje, u očima hidro- i aeromehanike, balistike, teorija stabilnosti i teorija malih vibracija, nebeska mehanika i sl.

Osam godina nakon objavljivanja Mehanike, Ojler je obogatio nauku prvom preciznom formulacijom principa najmanjeg dejstva. Formulacija principa najmanje akcije, koja je pripadala Maupertuisu, bila je još uvijek vrlo nesavršena. Prva naučna formulacija principa pripada Euleru. Svoj princip je formulirao na sljedeći način: integral ima najmanju vrijednost za realnu putanju, ako uzmemo u obzir

posljednja u grupi mogućih trajektorija koje imaju zajednički početni i krajnji položaj i koje se izvode sa istom vrijednošću energije. Ojler daje svom principu tačan matematički izraz i rigorozno opravdanje za jednu materijalnu tačku, testira delovanje centralnih sila. Tokom 1746-1749 pp. Euler je napisao nekoliko radova o figurama ravnoteže fleksibilne niti, gdje je princip najmanjeg djelovanja primijenjen na probleme u kojima djeluju elastične sile.

Tako je do 1744. mehanika obogaćena sa dva važna principa: d'Alembertovim principom i Maupertuis-Eulerovim principom najmanjeg djelovanja. Na osnovu ovih principa, Lagrange je izgradio sistem analitičke mehanike.

Kada se materijalna tačka kreće, njeno ubrzanje u svakom trenutku vremena je takvo da date (aktivne) sile koje se primenjuju na tačku, reakcije veza i fiktivna d'Alembertova sila F = - formiraju uravnotežen sistem sila.

Dokaz. Razmotrimo kretanje neslobodne materijalne tačke sa masom T u inercijskom referentnom okviru. Prema osnovnom zakonu dinamike i principu oslobađanja od obveznica imamo:

gdje je F rezultanta datih (aktivnih) sila; N je rezultanta reakcija svih veza nametnutih na tačku.

Lako je transformisati (13.1) u oblik:

Vektor F = - to nazvana d'Alembertova sila inercije, sila inercije ili jednostavno d'Alembertova moć. U nastavku ćemo koristiti samo posljednji termin.

Jednačina (13.3), koja izražava d'Alembertov princip u simboličkom obliku, naziva se kinetostatička jednačina materijalna tačka.

Lako je dobiti generalizaciju d'Alembertovog principa za mehanički sistem (sistem P materijalne tačke).

Za bilo koje To u tački mehaničkog sistema, jednakost (13.3) je zadovoljena:

Gdje ? Za - rezultanta datih (aktivnih) sila koje djeluju na To-th point; N Za - rezultanta reakcija veza na koje se naslanjaju k-th tačka; F k \u003d - to k- d'Alamberova sila To-th point.

Očigledno, ako su uslovi ravnoteže (13.4) ispunjeni za svaku trojku sila F*, N* : , F* (Za = 1,. .., P), zatim cijeli sistem 3 P snage

je uravnotežen.

Shodno tome, tokom kretanja mehaničkog sistema u svakom trenutku vremena, aktivne sile koje se primenjuju na njega, reakcije veza i d'Alembertove sile tačaka sistema formiraju uravnotežen sistem sila.

Sile sistema (13.5) više nisu konvergentne, stoga, kao što je poznato iz statike (odjeljak 3.4), neophodni i dovoljni uslovi za njegovu ravnotežu imaju sljedeći oblik:

Jednačine (13.6) se nazivaju jednačinama kinetostatike mehaničkog sistema. Za proračune se koriste projekcije ovih vektorskih jednadžbi na ose koje prolaze kroz trenutnu tačku O.

Napomena 1. Pošto su zbir svih unutrašnjih sila sistema, kao i zbir njihovih momenata u odnosu na bilo koju tačku, jednaki nuli, onda je u jednadžbi (13.6) dovoljno uzeti u obzir samo reakcije vanjski veze.

Jednačine kinetostatike (13.6) se obično koriste za određivanje reakcija ograničenja mehaničkog sistema kada je dato kretanje sistema, a samim tim i ubrzanja tačaka sistema i d'Alembertovih sila koje zavise od njih. su poznati.

Primjer 1 Pronađite reakcije podrške A I IN osovina sa svojom ravnomjernom rotacijom na frekvenciji od 5000 o/min.

Tačkaste mase su čvrsto povezane sa osovinom gp= 0,1 kg, t 2 = 0,2 kg. Poznate veličine AC - CD - DB = 0,4 m h= 0,01 m. Masu okna smatrati zanemarljivom.

Rješenje. Da bismo koristili d'Alembertov princip za mehanički sistem koji se sastoji od dvije tačkaste mase, na dijagramu (slika 13.2) naznačimo date sile (gravitacije) Gi, G 2, reakciju veza N4, N # i d 'Alembertove sile F|, F 2.

Smjerovi Dalambresovih sila su suprotni od ubrzanja tačkastih masa T b t 2g koji uniformno opisuju krugove poluprečnika h oko ose AB osovina.

Pronalazimo veličine sila gravitacije i Dalambresovih sila:

Ovdje je kutna brzina osovine ko- 5000* l/30 = 523,6 s Ah ah, Az, dobijamo uslove ravnoteže za ravan sistem paralelnih sila Gi, G 2 , 1Chd, N tf , F ʹ F 2:

Iz jednadžbe momenata nalazimo N in = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, i od jednadžbe projekcije dalje

osa Ay: Na \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 = 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 = 0,06 N.

Jednadžbe kinetostatike (13.6) mogu se koristiti i za dobijanje diferencijalnih jednačina gibanja sistema, ako su sastavljene tako da su reakcije veza isključene i kao rezultat toga postaje moguće dobiti zavisnosti ubrzanja na date sile.

Sile inercije u dinamici materijalne tačke i mehaničkog sistema

Silom inercije materijalne tačke je proizvod mase tačke i njenog ubrzanja, uzet sa predznakom minus, odnosno inercijalne sile u dinamici se primenjuju u sledećim slučajevima:

• 1. Prilikom proučavanja kretanja materijalne tačke u neinercijalni(pokretni) koordinatni sistem, odnosno relativno kretanje. To su translatorne i Coriolisove sile inercije, koje se često nazivaju Eulerovim silama.
• 2. Prilikom rješavanja zadataka dinamike metodom kinetostatike. Ova metoda se zasniva na d'Alembertovom principu, prema kojem se sile inercije materijalne tačke ili sistema materijalnih tačaka kreću sa određenim ubrzanjem u inercijalni referentni sistem. Ove sile inercije nazivaju se d'Alembertovim silama.
• 3. D'Alembertove sile inercije se također koriste u rješavanju problema dinamike korištenjem Lagrange-D'Alembertovog principa ili opće jednačine dinamike.

Izraz u projekcijama na osi kartezijanskih koordinata

Gdje - moduli projekcija ubrzanja tačke na Dekartovu koordinatnu osu.

Kod krivolinijskog kretanja tačke, sila inercije se može razložiti na tangencijalnu i normalnu:; , - modul tangencijalnog i normalnog ubrzanja; - radijus zakrivljenosti putanje;

V- tačka brzina.

d'Alambertov princip za materijalnu tačku

Ako nije besplatno na materijalnu tačku koja se kreće pod dejstvom primenjenih aktivnih sila i reakcionih sila veza, primenite njenu silu inercije, tada će u svakom trenutku rezultujući sistem sila biti uravnotežen, tj. geometrijski zbir ovih sila će biti jednak nuli.

materijal mehaničkog tijela

Gdje - rezultanta aktivnih sila primijenjenih na tačku; - rezultanta reakcija veza nametnutih na tačku; sila inercije materijalne tačke. Napomena: U stvari, sila inercije materijalne tačke se ne primenjuje na samu tačku, već na telo koje ovoj tački daje ubrzanje.

d'Alambertov princip za mehanički sistem

geometrijski zbir glavni vektori spoljnih sila koje deluju na sistem, i inercijalne sile svih tačaka sistema, kao i geometrijski zbir glavnih momenata ovih sila u odnosu na određeni centar za neslobodan mehanički sistem u bilo kom trenutku jednaki su nuli, tj.

Glavni vektor i glavni moment sila inercije krutog tijela

Glavni vektor i glavni moment sila inercije tačaka sistema određuju se posebno za svako kruto tijelo uključeno u ovaj mehanički sistem. Njihova definicija se zasniva na Poinsot metodi poznatoj iz statike o dovođenju proizvoljnog sistema sila u dato središte.

Na osnovu ove metode, inercijalne sile svih tačaka tela u opštem slučaju njegovog kretanja mogu se dovesti u centar mase i zameniti glavnim vektorom * i glavnim momentom o centru mase. One se određuju formulama tj. za bilo koje kretanje krutog tijela, glavni vektor inercijalnih sila jednak je sa predznakom minus proizvodu mase tijela i ubrzanja centra mase tijela; ,Gdje r kc -- radijus vektor k-th tačka povučena iz centra mase. Ove formule u određenim slučajevima kretanja krutog tijela imaju oblik:

1. Progresivni pokret.

2. Rotacija tijela oko ose koja prolazi kroz centar mase

3. Ravnoparalelno kretanje

Uvod u analitičku mehaniku

Osnovni pojmovi analitičke mehanike

Analitička mehanika- oblast (sekcija) mehanike, u kojoj se proučava kretanje ili ravnoteža mehaničkih sistema korišćenjem opštih, unificiranih analitičkih metoda koje se koriste za bilo koje mehaničke sisteme.

Razmotrimo najkarakterističnije koncepte analitičke mehanike.

1. Veze i njihova klasifikacija.

Veze-- bilo kakvih ograničenja u obliku tijela ili bilo kakvih kinematičkih uslova nametnutih kretanju tačaka mehaničkog sistema. Ova ograničenja se mogu napisati kao jednačine ili nejednačine.

Geometrijske veze-- veze, čije jednačine sadrže samo koordinate tačaka, odnosno ograničenja se nameću samo na koordinate tačaka. To su veze u obliku tijela, površina, linija itd.

Diferencijalne veze-- veze koje nameću ograničenja ne samo na koordinate tačaka, već i na njihovu brzinu.

Holonomske veze -- sve geometrijske veze i one diferencijalne čije se jednadžbe mogu integrirati.

Neholonomska ograničenja-- diferencijalne neintegrabilne veze.

Stacionarne komunikacije -- veze, čije jednačine ne uključuju eksplicitno vrijeme.

Nestacionarne komunikacije- veze koje se mijenjaju tokom vremena, tj. čije jednačine eksplicitno uključuju vrijeme.

Bilateralne (holding) veze -- veze koje ograničavaju kretanje tačke u dva suprotna smera. Takve veze su opisane jednadžbama .

Jednostrano(ne-retaining) karike - karike koje ograničavaju kretanje samo u jednom smjeru. Takve veze se opisuju nejednačinama

2. Moguća (virtuelna) i stvarna kretanja.

Moguće ili virtuelno pomaci tačaka mehaničkog sistema su imaginarni beskonačno mali pomaci koji su dozvoljeni ograničenjima nametnutim sistemu.

Moguće Pomak mehaničkog sistema je skup istovremenih mogućih pomaka tačaka sistema koji su kompatibilni s ograničenjima. Neka mehanički sistem bude koljenasti mehanizam.

Moguća tačka kretanja A je pomak koji se zbog svoje malenosti smatra pravolinijskim i usmjeren okomito na OA.

Moguća tačka kretanja IN(klizač) se kreće u vodilicama. Moguće pomicanje radilice OA je rotacija za ugao, a klipnjača AB -- pod uglom oko MCS (tačka R).

Validan Pomaci tačaka sistema nazivaju se i elementarnim pomacima, koji dozvoljavaju superponirane veze, ali uzimajući u obzir početne uslove kretanja i sile koje deluju na sistem.

Broj stepeni sloboda S mehaničkog sistema je broj njegovih nezavisnih mogućih pomaka koji se mogu prenijeti tačkama sistema u fiksnom trenutku u vremenu.

Princip mogućih pomaka (Lagrangeov princip)

Princip mogućih pomaka ili Lagrangeov princip izražava uslov ravnoteže za neslobodan mehanički sistem pod dejstvom primenjenih aktivnih sila. Formulacija principa.

Za balans Za neslobodan mehanički sistem sa bilateralnim, stacionarnim, holonomskim i idealnim ograničenjima, koji miruje pod dejstvom primenjenih aktivnih sila, potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila bude jednak metku na bilo kom mogući pomak sistema iz razmatranog ravnotežnog položaja:

Opća jednadžba dinamike (Lagrange-D'Alembertov princip)

Opšta jednadžba dinamike primjenjuje se na proučavanje kretanja neslobodnih mehaničkih sistema čija se tijela ili tačke kreću određenim ubrzanjima.

U skladu sa d'Alembertovim principom, ukupnost aktivnih sila primijenjenih na mehanički sistem, reakcionih sila veza i sila inercije svih tačaka sistema čini uravnotežen sistem sila.

Ako se na takav sistem primijeni princip mogućih pomaka (Lagrangeov princip), onda se dobija kombinovani Lagrange-D'Alembertov princip ili opšta jednačina dinamike.formulaciju ovog principa.

Prilikom kretanja nije slobodno mehaničkog sistema sa dvosmernim, idealnim, stacionarnim i holonomskim ograničenjima, zbir elementarnih radova svih aktivnih sila i sila inercije primenjenih na tačke sistema na bilo koji mogući pomak sistema jednak je nuli:

Lagrangeove jednadžbe druge vrste

Lagrangeove jednadžbe druge vrste su diferencijalne jednačine kretanja mehaničkog sistema u generalizovanim koordinatama.

Za sistem sa S stepena slobode, ove jednačine imaju oblik

Razlika ukupni vremenski izvod parcijalnog izvoda kinetičke energije sistema u odnosu na generalizovanu brzinu i parcijalni izvod kinetičke energije u odnosu na generalizovanu koordinatu jednak je generalizovanoj sili.

Lagrangeove jednadžbe za konzervativne mehaničke sisteme. Ciklične koordinate i integrali

Za konzervativni sistem, generalizovane sile se određuju u smislu potencijalne energije sistema formulom

Zatim se Lagrangeove jednadžbe prepisuju u formu

Pošto je potencijalna energija sistema funkcija samo generalizovanih koordinata, tj. Uzimajući to u obzir, predstavljamo je u obliku gde T - P \u003d L - Lagrangeova funkcija (kinetički potencijal). Konačno, Lagrangeove jednačine za konzervativni sistem

Stabilnost ravnotežnog položaja mehaničkog sistema

Pitanje stabilnosti ravnotežnog položaja mehaničkih sistema je od direktnog značaja u teoriji oscilacija sistema.

Položaj ravnoteže može biti stabilan, nestabilan i indiferentan.

održivo ravnotežni položaj - položaj ravnoteže u kojem se tačke mehaničkog sistema, izvedene iz ovog položaja, pomiču pod dejstvom sila u neposrednoj blizini blizu svog ravnotežnog položaja.

Ovaj pokret će imati različit stepen ponavljanja u vremenu, tj. sistem će izvršiti oscilatorno kretanje.

nestabilno ravnotežni položaj - položaj ravnoteže od kojeg će, uz proizvoljno malo odstupanje tačaka sistema, u budućnosti, djelujuće sile dalje uklanjati tačke iz njihovog ravnotežnog položaja .

indiferentan ravnotežni položaj - položaj ravnoteže, kada za bilo koje malo početno odstupanje tačaka sistema od ove pozicije u novom položaju, sistem takođe ostaje u ravnoteži. .

Postoje različite metode za određivanje stabilnog ravnotežnog položaja mehaničkog sistema.

Razmotrimo definiciju stabilne ravnoteže na osnovu Lagrange-Dirichletove teoreme

Ako je na poziciji ravnoteža konzervativnog mehaničkog sistema sa idealnim i stacionarnim ograničenjima, njegova potencijalna energija ima minimum, onda je ova ravnotežna pozicija stabilna.

Fenomen uticaja. Udarna sila i udarni impuls

Pojava u kojoj se brzine tačaka tijela mijenjaju za konačan iznos u zanemarljivo malom vremenskom periodu naziva se udarac. Ovaj vremenski period se zove vreme udara. Tokom udara, sila udara djeluje beskonačno mali vremenski period. udarna snaga naziva se sila čiji je moment gibanja pri udaru konačna vrijednost.

Ako je modulo konačna sila djeluje tokom vremena, započinjući svoje djelovanje u određenom trenutku , tada njegov zamah ima oblik

Također, kada udarna sila djeluje na materijalnu tačku, možemo reći da:

djelovanje netrenutnih sila tokom udara može se zanemariti;

kretanje materijalne tačke tokom udara može se zanemariti;

rezultat djelovanja udarne sile na materijalnu tačku izražava se konačnom promjenom pri udaru njenog vektora brzine.

Teorema o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema pri udaru

promjena impulsa mehaničkog sistema za vrijeme udara jednaka je geometrijskom zbiru svih vanjskih udarnih impulsa primijenjenih na tačke sistema, Gdje - količina kretanja mehaničkog sistema u trenutku prestanka djelovanja udarnih sila, - količina kretanja mehaničkog sistema u trenutku kada udarne sile počnu djelovati, - eksterni udarni impuls.

D'Alembertov princip omogućava da se problemi dinamike mehaničkih sistema formulišu kao problemi statike. U ovom slučaju, dinamičke diferencijalne jednadžbe kretanja dobivaju oblik jednadžbi ravnoteže. Takav metod se zove kinetostatska metoda .

d'Alambertov princip za materijalnu tačku: « U svakom trenutku kretanja materijalne tačke, aktivne sile koje stvarno deluju na nju, reakcije veza i sila inercije uslovno primenjene na tačku čine uravnotežen sistem sila.»

sila inercije tačke naziva se vektorska veličina koja ima dimenziju sile jednaku apsolutnoj vrijednosti proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja

. (3.38)

Razmatrajući mehanički sistem kao skup materijalnih tačaka, na svaku od kojih, prema d'Alembertovom principu, utiču uravnoteženi sistemi sila, imamo posledice ovog principa u odnosu na sistem. Glavni vektor i glavni moment u odnosu na bilo koji centar vanjskih sila primijenjenih na sistem i sile inercije svih njegovih tačaka jednaki su nuli:

(3.39)

Ovdje su vanjske sile aktivne sile i reakcije veza.

Glavni vektor inercijskih sila mehaničkog sistema jednak je proizvodu mase sistema i ubrzanja njegovog centra mase i usmjeren je u smjeru suprotnom od ovog ubrzanja

. (3.40)

Glavni moment inercijskih sila sistema u odnosu na proizvoljni centar O jednaka vremenskom izvodu njegovog ugaonog momenta u odnosu na isto središte

. (3.41)

Za kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose Oz, nalazimo glavni moment sila inercije oko ove ose

. (3.42)

3.8. Elementi analitičke mehanike

U odeljku "Analitička mehanika" razmatraju se opšti principi i analitičke metode za rešavanje problema u mehanici materijalnih sistema.

3.8.1 Moguća kretanja sistema. Klasifikacija

neke veze

Moguća kretanja tačke
bilo koje imaginarne, beskonačno male pomake, koje dozvoljavaju ograničenja nametnuta sistemu, u fiksnom trenutku u vremenu, nazivaju se mehanički sistemi. A-priorat, broj stepena slobode mehaničkog sistema je broj njegovih nezavisnih mogućih pomaka.

Pozivaju se veze koje su nametnute sistemu idealan , ako je zbir elementarnih radova njihovih reakcija na bilo koji od mogućih pomaka tačaka sistema jednak nuli

. (3. 43)

Pozivaju se veze za koje su ograničenja nametnuta na bilo kojoj poziciji sistema zadržavajući se . Relacije koje se ne mijenjaju u vremenu, čije jednačine eksplicitno ne uključuju vrijeme, nazivaju se stacionarno . Zovu se veze koje ograničavaju samo pomake tačaka sistema geometrijski , a granične brzine su kinematička . U budućnosti ćemo razmatrati samo geometrijske odnose i one kinematičke koje se integracijom mogu svesti na geometrijske.

3.8.2. Princip mogućih pokreta

Za ravnotežu mehaničkog sistema sa ograničavajućim idealnim i stacionarnim ograničenjima, potrebno je i dovoljno da

zbir elementarnih radova svih aktivnih sila koje djeluju na njega, na sve moguće pomake sistema, bio je jednak nuli

. (3.44)

U projekcijama na koordinatne ose:

. (3.45)

Princip mogućih pomaka nam omogućava da u opštem obliku uspostavimo uslove za ravnotežu bilo kog mehaničkog sistema, ne uzimajući u obzir ravnotežu njegovih pojedinačnih delova. U ovom slučaju se uzimaju u obzir samo aktivne sile koje djeluju na sistem. Nepoznate reakcije idealnih veza nisu uključene u ove uslove. Istovremeno, ovaj princip omogućava određivanje nepoznatih reakcija idealnih veza odbacivanjem ovih veza i uvođenjem njihovih reakcija u broj aktivnih sila. Kada se odbace veze čije se reakcije moraju odrediti, sistem dodatno dobija odgovarajući broj stepeni slobode.

Primjer 1 . Pronađite odnos između sila I dizalica, ako se zna da pri svakom okretanju ručke AB = l, šraf WITH proteže do te mere h(Sl. 3.3).

Rješenje

Moguća kretanja mehanizma su rotacija ručke  i kretanje tereta  h. Uslov jednakosti elementarnog rada sila sa nulom:

pl– Ph = 0;

Onda
. Od h 0, onda

3.8.3. Opća varijaciona jednačina dinamike

Razmotrite kretanje sistema koji se sastoji od n bodova. Na njega djeluju aktivne sile i reakcije veza .(k = 1,…,n) Ako se delujućim silama dodaju sile inercije tačaka
, tada će, prema d'Alembertovom principu, rezultirajući sistem sila biti u ravnoteži i stoga vrijedi izraz napisan na osnovu principa mogućih pomaka (3.44):

. (3.46)

Ako su sve veze idealne, onda je 2. zbir jednak nuli i u projekcijama na koordinatne ose, jednakost (3.46) će izgledati ovako:

Posljednja jednakost je opća varijaciona jednačina dinamike u projekcijama na koordinatne ose, koja omogućava sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja mehaničkog sistema.

Opća varijaciona jednačina dinamike je matematički izraz d'Alembert-Lagrangeov princip: « Kada je sistem u kretanju, podložan stacionarnim, idealnim, ograničavajućim ograničenjima, u bilo kojem trenutku vremena, zbir elementarnih radova svih aktivnih sila primijenjenih na sistem i sila inercije na bilo koji mogući pomak sistema je jednaka nuli».

Primjer 2 . Za mehanički sistem (slika 3.4), koji se sastoji od tri tijela, odredite ubrzanje tereta 1 i napetost sajle 1-2 ako: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; radijus rotacije bloka 2 i = 1,5r 2. Valjak 3 je kontinuirani homogeni disk.

Rješenje

Opišimo sile koje vrše elementarni rad na mogućem pomaku  s opterećenje 1:

Zapisujemo moguće pomake svih tijela kroz mogući pomak tereta 1:

Linearna i ugaona ubrzanja svih tijela izražavamo u terminima željenog ubrzanja tereta 1 (omjeri su isti kao i u slučaju mogućih pomaka):

.

Opća varijaciona jednadžba za ovaj problem ima oblik:

Zamjenom prethodno dobijenih izraza za aktivne sile, inercijalne sile i moguće pomake, nakon jednostavnih transformacija, dobijamo

Od  s 0, dakle, izraz u zagradi koji sadrži ubrzanje jednak je nuli A 1 , gdje a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Da bismo odredili napetost kabela koji drži opterećenje, oslobađamo opterećenje od kabela, zamjenjujući njegovo djelovanje željenom reakcijom . Pod uticajem datih sila ,i inercijsku silu primijenjenu na teret
on je u ravnoteži. Stoga je d’Alembertov princip primjenjiv na razmatrano opterećenje (tačku), tj. mi to pišemo
. Odavde
.

3.8.4. Lagrangeova jednadžba 2. vrste

Generalizirane koordinate i generalizirane brzine. Zovu se svi međusobno nezavisni parametri koji na jedinstven način određuju položaj mehaničkog sistema u prostoru generalizovane koordinate . Ove koordinate, označene q 1 ,....q i , može imati bilo koju dimenziju. Konkretno, generalizirane koordinate mogu biti pomaci ili uglovi rotacije.

Za sisteme koji se razmatraju, broj generaliziranih koordinata jednak je broju stupnjeva slobode. Položaj svake tačke sistema je jednoznačna funkcija generaliziranih koordinata

Dakle, kretanje sistema u generalizovanim koordinatama je određeno sledećim zavisnostima:

Prvi izvodi generaliziranih koordinata se nazivaju generalizovane brzine :
.

Generalizovane sile. Izraz za elementarni rad sile na mogućem potezu
izgleda kao:

.

Za elementarni rad sistema sila pišemo

Koristeći dobijene zavisnosti, ovaj izraz se može napisati kao:

,

gdje je generalizirana sila koja odgovara i-ta generalizovana koordinata,

. (3.49)

dakle, generalizovana sila koja odgovara i-ta generalizovana koordinata, je koeficijent varijacije ove koordinate u izrazu zbira elementarnih radova aktivnih sila na mogući pomak sistema . Za izračunavanje generalizovane sile potrebno je informisati sistem o mogućem pomaku, u kojem se menja samo generalizovana koordinata q i. Koeficijent at
i biće željena generalizovana sila.

Jednačine kretanja sistema u generalizovanim koordinatama. Neka je dat mehanički sistem sa s stepena slobode. Poznavajući sile koje na njega djeluju, potrebno je sastaviti diferencijalne jednadžbe gibanja u generaliziranim koordinatama
. Primjenjujemo proceduru za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja sistema - Lagrangeove jednačine 2. vrste - po analogiji sa izvođenjem ovih jednačina za slobodnu materijalnu tačku. Na osnovu 2. Newtonovog zakona, pišemo

Dobijamo analog ovih jednadžbi, koristeći notaciju za kinetičku energiju materijalne tačke,

Parcijalni izvod kinetičke energije u odnosu na projekciju brzine na os
jednaka je projekciji količine kretanja na ovu osu, tj.

Da bismo dobili potrebne jednačine, izračunavamo derivacije s obzirom na vrijeme:

Rezultirajući sistem jednačina su Lagrangeove jednačine 2. vrste za materijalnu tačku.

Za mehanički sistem Lagrangeove jednačine 2. vrste predstavljamo u obliku jednačina u kojima umjesto projekcija aktivnih sila P x , P y , P z koristiti generalizovane sile Q 1 , Q 2 ,...,Q i i uzeti u obzir u opštem slučaju zavisnost kinetičke energije od generalizovanih koordinata.

Lagranževe jednačine 2. vrste za mehanički sistem imaju oblik:

. (3.50)

Mogu se koristiti za proučavanje kretanja bilo kojeg mehaničkog sistema sa geometrijskim, idealnim i ograničavajućim ograničenjima.

Primjer 3 . Za mehanički sistem (slika 3.5), za koji su podaci dati u prethodnom primjeru, sastaviti diferencijalnu jednačinu gibanja koristeći Lagrangeovu jednačinu 2. vrste,

Rješenje

Mehanički sistem ima jedan stepen slobode. Za generaliziranu koordinatu uzimamo linearno kretanje tereta q 1 = s; generalizovana brzina - . Imajući to na umu, pišemo Lagrangeovu jednačinu 2. vrste

.

Sastavimo izraz za kinetičku energiju sistema

.

Sve ugaone i linearne brzine izražavamo u terminima generalizovane brzine:

Sada dobijamo

Izračunajmo generaliziranu silu sastavljanjem izraza za elementarni rad na mogućem pomaku  s sve aktivne snage. Bez sila trenja, rad u sistemu obavlja samo gravitacija tereta 1
Zapisujemo generaliziranu silu na  s, kao koeficijent u elementarnom radu Q 1 = 5mg. Dalje nalazimo

Konačno, diferencijalna jednačina kretanja sistema će imati oblik: