“Matematik tahlil” fanidan imtihon savollari, 1-kurs, 1-semestr.
1. Setlar. To'plamlar ustidagi asosiy amallar. Metrik va arifmetik bo'shliqlar.
2. Raqamli to'plamlar. Raqam chizig'idagi to'plamlar: segmentlar, intervallar, yarim o'qlar, qo'shnilar.
3. Cheklangan to'plamning ta'rifi. Raqamli to'plamlarning yuqori va pastki chegaralari. Raqamli to'plamlarning yuqori va pastki chegaralari haqidagi postulatlar.
4. Matematik induksiya usuli. Bernulli va Koshi tengsizliklari.
5. Funktsiya ta'rifi. Funktsiya grafigi. Juft va toq funksiyalar. Davriy funktsiyalar. Funktsiyani o'rnatish usullari.
6. Ketma-ketlik chegarasi. Konvergent ketma-ketliklarning xossalari.
7. cheklangan ketma-ketliklar. Ketma-ketlikning ajralishining yetarli sharti haqidagi teorema.
8. Monotonik ketma-ketlikning ta'rifi. Veyershtrasning monoton ketma-ketlik teoremasi.
9. Raqam e.
10. Funktsiyaning nuqtadagi chegarasi. Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi. Bir tomonlama chegaralar.
11. Cheksiz kichik funktsiyalar. Yig'indi, ko'paytma va bo'lim funksiyalarining chegarasi.
12. Tengsizliklar barqarorligi haqidagi teoremalar. Tengsizliklarda chegaraga o'tish. Uch funksiya haqida teorema.
13. Birinchi va ikkinchi ajoyib chegaralar.
14. Cheksiz katta funksiyalar va ularning cheksiz kichik funksiyalar bilan aloqasi.
15. Cheksiz kichik funksiyalarni solishtirish. Ekvivalent cheksiz kichiklarning xossalari. Cheksiz kichiklarni ekvivalentlar bilan almashtirish teoremasi. Asosiy ekvivalentlar.
16. Funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi. Uzluksiz funksiyali amallar. Asosiy elementar funksiyalarning uzluksizligi.
17. Funksiyaning uzilish nuqtalarining tasnifi. Uzluksizlik bo'yicha kengaytma
18. Murakkab funktsiyaning ta'rifi. Murakkab funktsiya chegarasi. Murakkab funksiyaning uzluksizligi. Giperbolik funktsiyalar
19. Funksiyaning segmentdagi uzluksizligi. Intervalda uzluksiz funktsiyaning yo'qolishi va funktsiyaning oraliq qiymati haqidagi Koshi teoremalari.
20. Segmentda uzluksiz funksiyalarning xossalari. Uzluksiz funksiyaning chegaralanganligi haqidagi Veyershtras teoremasi. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati haqidagi Veyershtras teoremasi.
21. Monotonik funktsiyaning ta'rifi. Monoton funksiya chegarasi haqidagi Veyershtras teoremasi. Intervalda monoton va uzluksiz bo'lgan funksiya qiymatlari to'plami haqidagi teorema.
22. Teskari funksiya. Teskari funksiya grafigi. Teskari funktsiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema.
23. Teskari trigonometrik va giperbolik funksiyalar.
24. Funksiya hosilasining ta’rifi. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari.
25. Differensiallanuvchi funksiyaning ta’rifi. Funksiyaning differentsialligi uchun zarur va yetarli shart. Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligi.
26. Hosilning geometrik ma'nosi. Funksiya grafigining tangens va normal tenglamasi.
27. Ikki funktsiyaning yig'indisi, mahsuloti va qismining hosilasi
28. Murakkab funktsiya va teskari funktsiyaning hosilasi.
29. Logarifmik farqlash. Parametrli berilgan funksiyaning hosilasi.
30. Funktsiyaning o'sishining asosiy qismi. Funktsiyani linearlashtirish formulasi. Differensialning geometrik ma'nosi.
31. Murakkab funksiyaning differensiali. Differensial shaklning o'zgarmasligi.
32. Differensiallanuvchi funksiyalarning xossalari haqidagi Rol, Lagranj va Koshi teoremalari. Cheklangan o'sishlar formulasi.
33. O'z ichidagi noaniqliklarni oshkor qilish uchun lotinni qo'llash. L'Hopital qoidasi.
34. Hosila ta'rifi n-tartib. n-tartibning hosilasini topish qoidalari. Leybnits formulasi. Yuqori tartibli farqlar.
35. Peano ko'rinishida qolgan a'zo bilan Teylor formulasi. Lagranj va Koshi shaklidagi qoldiq atamalar.
36. O'sish va kamaytirish funktsiyalari. ekstremal nuqtalar.
37. Funksiyaning qavariqligi va botiqligi. Burilish nuqtalari.
38. Cheksiz funksiya buziladi. Asimptotalar.
39. Funksiya grafigini tuzish sxemasi.
40. Antiderivativning ta'rifi. Antiderivativning asosiy xossalari. Eng oddiy integratsiya qoidalari. Oddiy integrallar jadvali.
41. O'zgaruvchini o'zgartirish orqali integrallash va noaniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash formulasi.
42. Shakl ifodalarining integrasiyasi rekursiv munosabatlar yordamida e ax cos bx va e ax sin bx.
43. Kasrni integrallash |
rekursiv munosabatlardan foydalanish. |
|||
a 2 n |
||||
44. Ratsional funktsiyaning noaniq integrali. Oddiy kasrlarni integrallash.
45. Ratsional funktsiyaning noaniq integrali. To'g'ri kasrlarni oddiy kasrlarga ajratish.
46. Irratsional funksiyaning noaniq integrali. Ifoda integratsiyasi
R x, m |
|||
47. Irratsional funksiyaning noaniq integrali. R x, ax 2 bx c ko'rinishdagi ifodalarning integrasiyasi. Eyler almashtirishlari.
48. Shakl ifodalarining integrasiyasi |
|||||||||||||
ax2 bx c |
ax2 bx c |
2 bx c |
49. Irratsional funksiyaning noaniq integrali. Binomli differensiallarning integrasiyasi.
50. Trigonometrik ifodalarni integrallash. Universal trigonometrik almashtirish.
51. Ratsional trigonometrik ifodalarni integrallash singa nisbatan toq bo'lganda. x (yoki cos x ) yoki hatto sin x va cos x ga nisbatan.
52. Ifoda integratsiyasi sin n x cos m x va sin n x cos mx.
53. Ifoda integratsiyasi tg m x va ctg m x.
54. Ifoda integratsiyasi R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 va R x , x 2 a 2 trigonometrik almashtirishlar yordamida.
55. Aniq integral. Egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblash muammosi.
56. integral summalar. Darboux summalari. Aniq integralning mavjudligi sharti haqidagi teorema. Integrallanuvchi funksiyalar sinflari.
57. Aniq integralning xossalari. O'rtacha qiymat haqidagi teoremalar.
58. Yuqori chegara funktsiyasi sifatida aniq integral. Formula Nyuton-Leybnits.
59. O'zgaruvchan formulani va aniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash formulasini o'zgartirish.
60. Integral hisobni geometriyaga qo'llash. Shaklning hajmi. Aylanish figuralarining hajmi.
61. Integral hisobni geometriyaga qo'llash. Samolyot figurasining maydoni. Egri chiziqli sektorning maydoni. Egri chiziq uzunligi.
62. Birinchi turdagi noto'g'ri integralning ta'rifi. Formula Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar uchun Nyuton-Leybnits. Eng oddiy xususiyatlar.
63. Ijobiy funktsiya uchun birinchi turdagi noto'g'ri integrallarning yaqinlashishi. 1 va 2 taqqoslash teoremalari.
64. O'zgaruvchan funksiyaning birinchi turdagi noto'g'ri integrallarining mutlaq va shartli yaqinlashuvi. Abel va Dirixlet uchun konvergentsiya mezonlari.
65. Ikkinchi turdagi noo'rin integralning ta'rifi. Formula Nyuton-Leybnits ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar uchun.
66. Noto'g'ri integrallarning ulanishi 1 va 2 turdagi. Asosiy qiymat ma'nosida noto'g'ri integrallar.
O'zgaruvchiga ruxsat bering x n cheksiz qiymatlar ketma-ketligini oladi
x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)
va o'zgaruvchining o'zgarish qonuni ma'lum x n, ya'ni. har bir natural son uchun n mos keladigan qiymatni belgilashingiz mumkin x n. Shunday qilib, o'zgaruvchan deb taxmin qilinadi x n ning funksiyasi hisoblanadi n:
x n = f(n)
Keling, matematik tahlilning eng muhim tushunchalaridan birini aniqlaylik - ketma-ketlik chegarasi yoki bir xil bo'lgan o'zgaruvchining chegarasi x n yugurish ketma-ketligi x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .
Ta'rif. doimiy raqam a chaqirdi ketma-ketlik chegarasi x 1 , x 2 , ..., x n , ... . yoki o'zgaruvchining chegarasi x n, agar ixtiyoriy kichik musbat son e uchun shunday natural son mavjud bo'lsa N(ya'ni raqam N) o'zgaruvchining barcha qiymatlari x n, bilan boshlanadi x N dan farq qiladi a e dan mutlaq qiymatdan kamroq. Ushbu ta'rif qisqacha quyidagicha yozilgan:
| x n -a |< (2)
Barcha uchun n N, yoki, qaysi bir xil,
Koshi chegarasining ta'rifi. A soni f (x) funktsiyaning a nuqtadagi chegarasi deyiladi, agar bu funksiya a nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlangan bo'lsa, ehtimol a nuqtaning o'zidan tashqari va har bir e > 0 uchun d > 0 mavjud bo'lsa. shundayki, barcha x qoniqarli shartlar uchun |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Geyne chegarasining ta'rifi. A soni f (x) funktsiyaning a nuqtadagi chegarasi deyiladi, agar bu funktsiya a nuqtaning ba'zi bir qo'shnisida aniqlangan bo'lsa, ehtimol a nuqtaning o'zi uchun va shunday ketma-ketlikdan tashqari 
a soniga yaqinlashganda, funktsiya qiymatlarining tegishli ketma-ketligi A soniga yaqinlashadi.
Agar f(x) funksiya a nuqtada chegaraga ega bo’lsa, bu chegara yagona hisoblanadi.
A 1 soni f (x) funksiyaning a nuqtadagi chap chegarasi deyiladi, agar har bir e > 0 uchun d > mavjud bo‘lsa. 
A 2 soni f (x) funksiyaning a nuqtadagi o'ng chegarasi deyiladi, agar har bir e > 0 uchun d > 0 bo'lsa, tengsizlik bo'ladi. 
Chapdagi chegara o'ngdagi chegara sifatida belgilanadi - Bu chegaralar a nuqtaning chap va o'ng tomonidagi funksiyaning harakatini tavsiflaydi. Ular ko'pincha bir tomonlama chegaralar deb ataladi. Bir tomonlama chegaralarni x → 0 sifatida belgilashda odatda birinchi nol tushiriladi: va . Demak, funktsiya uchun 
Agar har bir e > 0 uchun a nuqtaning d-qo'shnisi mavjud bo'lsa, barcha x uchun |x – a| shartni qanoatlantiradi.< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >e, u holda f (x) funksiyaning a nuqtada cheksiz chegarasi borligini aytamiz:
Shunday qilib, funksiya x = 0 nuqtada cheksiz chegaraga ega. +∞ va –∞ ga teng chegaralar ko'pincha farqlanadi. Shunday qilib,
Agar har bir e > 0 uchun d > 0 mavjud bo‘lsa, har qanday x > d uchun |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Eng kichik yuqori chegara uchun mavjudlik teoremasi
Ta'rif: AR mR, m – A ning yuqori (pastki) yuzi, agar aA am (am) bo‘lsa.
Ta'rif: A to‘plam yuqoridan (pastdan) chegaralangan, agar aA bo‘ladigan m bo‘lsa, am (am) bajariladi.
Ta'rif: SupA=m, agar 1) m - A ning yuqori chegarasi
2) m’: m’
InfA = n, agar 1) n A ning infimumidir
2) n’: n’>n => n’ A ning infimumi emas.
Ta'rif: SupA=m shunday sonki: 1) aA am
2) >0 a A, shundayki, a a-
InfA = n shunday raqam deyiladi:
2) >0 a A, shundayki, a E a+
Teorema: Yuqoridan chegaralangan har qanday bo'sh bo'lmagan AR to'plami eng yaxshi yuqori chegaraga ega va bunda yagona.
Isbot:
Haqiqiy chiziqda m raqamini quramiz va bu A ning eng kichik yuqori chegarasi ekanligini isbotlaymiz.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A ning yuqori yuzi
Segment [[m],[m]+1] - 10 qismga bo'lingan
m 1 =maks:aA)]
m 2 =maks,m 1:aA)]
m dan =maks,m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - yuqori yuz A
m=[m],m 1 ...m K eng kichik yuqori chegara ekanligini va uning yagona ekanligini isbotlaylik:
to: .
Guruch. 11. y arcsin x funksiyaning grafigi.
Endi kompleks funksiya tushunchasini kiritamiz ( kompozitsiyalarni ko'rsatish). D, E, M uchta to'plam berilsin va f: D→E, g: E→M. Shubhasiz, f va g xaritalashlar kompozitsiyasi yoki kompleks funksiya deb ataladigan yangi h: D→M xaritalashni qurish mumkin (12-rasm).
Murakkab funksiya quyidagicha belgilanadi: z =h(x)=g(f(x)) yoki h = f o g.
Guruch. 12. Murakkab funksiya tushunchasi uchun illyustratsiya.
f (x) funksiyasi chaqiriladi ichki funktsiya, va g ( y ) funksiyasi - tashqi funktsiya.
1. Ichki funksiya f (x) = x², tashqi g (y) sin y. Kompleks funktsiya z= g(f(x))=sin(x²)
2. Endi aksincha. Ichki funksiya f (x)= sinx, tashqi g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)
Kurs matematika, iqtisod yoki tabiiy fanlarga ixtisoslashgan bakalavrlar va magistrlar, shuningdek, o'rta maktab matematika o'qituvchilari va universitet professorlariga mo'ljallangan. Bu matematika bilan chuqur shug'ullanadigan talabalar uchun ham foydali bo'ladi.
Kursning tuzilishi an'anaviydir. Kurs universitetning birinchi kursida birinchi semestrda o'rganilgan matematik tahlil bo'yicha klassik materialni o'z ichiga oladi. “To‘plamlar va haqiqiy sonlar nazariyasining elementlari”, “Son ketma-ketliklar nazariyasi”, “Funksiyaning chegarasi va uzluksizligi”, “Funksiyaning differentsiallanishi”, “Differensiallikning qo‘llanilishi” bo‘limlari taqdim etiladi. To‘plam tushunchasi bilan tanishamiz, haqiqiy songa qat’iy ta’rif beramiz, haqiqiy sonlarning xossalarini o‘rganamiz. Keyin raqamlar ketma-ketligi va ularning xossalari haqida gapiramiz. Bu bizga maktab o'quvchilariga yaxshi ma'lum bo'lgan raqamli funktsiya tushunchasini yangi, yanada qat'iyroq darajada ko'rib chiqishga imkon beradi. Funksiyaning chegarasi va uzluksizligi tushunchasini kiritamiz, uzluksiz funksiyalarning xossalari va ularni masalalar yechishda qo‘llanilishini muhokama qilamiz.
Kursning ikkinchi qismida biz bir o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi va differentsialligini aniqlaymiz va differentsiallanuvchi funksiyalarning xossalarini o‘rganamiz. Bu sizga funktsiya qiymatlarini taxminiy hisoblash va tenglamalarni echish, chegaralarni hisoblash, funktsiyaning xususiyatlarini o'rganish va uning grafigini qurish kabi muhim amaliy muammolarni qanday hal qilishni o'rganishga imkon beradi. .
Format
Ta'lim shakli sirtqi (masofaviy) hisoblanadi.
Haftalik darslar tematik videoma'ruzalarni tomosha qilishni va natijalarni avtomatlashtirilgan tekshirish bilan test topshiriqlarini bajarishni o'z ichiga oladi.
Fanni o'rganishning muhim elementi hisoblash masalalari va isbotlash masalalarini mustaqil hal qilishdir. Yechim to'g'ri javobga (hisoblash muammosi bo'lsa) yoki kerakli bayonotni to'liq isbotlashga olib keladigan (nazariy masalalar uchun) qat'iy va mantiqiy to'g'ri fikrlashni o'z ichiga olishi kerak.
Talablar
Kurs 1 yillik ta'lim bakalavrlari uchun mo'ljallangan. O'rta maktab (11 sinf) hajmida boshlang'ich matematika bo'yicha bilimlarni talab qiladi.
Kurs dasturi
1-ma'ruza To‘plamlar nazariyasi elementlari.
2-ma'ruza Haqiqiy son haqida tushuncha. Raqamli to'plamlarning aniq yuzlari.
Ma'ruza 3 Haqiqiy sonlar ustidagi arifmetik amallar. Haqiqiy sonlarning xossalari.
Ma'ruza 4 Raqamli ketma-ketliklar va ularning xossalari.
5-ma'ruza monoton ketma-ketliklar. Ketma-ket yaqinlashish uchun Koshi mezoni.
6-ma'ruza Bitta o'zgaruvchining funksiyasi haqida tushuncha. Funktsiya chegarasi. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.
7-ma'ruza Funktsiyaning uzluksizligi. To'xtash nuqtasi tasnifi. Uzluksiz funksiyalarning lokal va global xossalari.
8-ma'ruza Monoton funktsiyalari. Teskari funksiya.
9-ma'ruza Eng oddiy elementar funksiyalar va ularning xossalari: darajali, logarifmik va darajali funksiyalar.
10-ma'ruza Trigonometrik va teskari trigonometrik funksiyalar. Ajoyib chegaralar. Funksiyaning bir xil uzluksizligi.
11-ma'ruza Hosila va differentsial tushunchasi. Hosilning geometrik ma'nosi. Farqlash qoidalari.
12-ma'ruza Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari. Funktsional differentsial.
13-ma'ruza Yuqori tartibli hosilalar va differentsiallar. Leybnits formulasi. Parametrli berilgan funksiyalarning hosilalari.
14-ma'ruza Differensiallanuvchi funksiyalarning asosiy xossalari. Rol va Lagranj teoremalari.
15-ma'ruza Koshi teoremasi. L'Hospitalning noaniqliklarni oshkor qilishning birinchi qoidasi.
16-ma'ruza L'Hopitalning noaniqliklarni oshkor qilishning ikkinchi qoidasi. Peano ko'rinishida qolgan a'zo bilan Teylor formulasi.
17-ma'ruza Umumiy shaklda, Lagranj va Koshi ko'rinishida qoldiq atama bilan Teylor formulasi. Maklaurinning asosiy elementar funktsiyalarni kengaytirishi. Teylor formulasini qo'llash.
18-ma'ruza Ekstremum uchun etarli sharoitlar. Funksiya grafigining asimptotalari. Qavariq.
19-ma'ruza Burilish nuqtalari. Funktsiyani o'rganishning umumiy sxemasi. Chizma tuzishga misollar.
O‘quv natijalari
Kursni o‘zlashtirish natijasida talaba matematik analizning asosiy tushunchalari: to‘plam, son, ketma-ketlik va funksiya haqida tushunchaga ega bo‘ladi, ularning xossalari bilan tanishadi va bu xossalarni masalalar yechishda qo‘llashni o‘rganadi.
Kurs Akademik Universitetda matematik tahlil bo'yicha ma'ruzalarning birinchi semestrining birinchi yarmida ular o'qiladigan shakldagi studiya video yozuvidir. 4 modul uchun talabalar matematik analizning asosiy tushunchalari: ketma-ketliklar, chegaralar va uzluksizliklar bilan tanishadilar. Biz o'zimizni bitta o'zgaruvchining haqiqiy raqamlari va funktsiyalari bilan cheklaymiz. Taqdimot dalillarning asosiy g'oyalarini o'zgartirmaydigan, ammo idrokni sezilarli darajada murakkablashtiradigan mumkin bo'lgan umumlashtirishlarsiz juda elementar darajada amalga oshiriladi. Barcha bayonotlar (kursning boshida va elementar funktsiyalarni aniqlashda ba'zi zerikarli rasmiy asoslashlardan tashqari) qat'iy isbotlanadi. Videoyozuvlar talabalarning mustaqil ishlashi uchun juda ko'p sonli vazifalar bilan birga keladi.
Bu kurs kim uchun
Texnika mutaxassisliklari bakalavriat talabalari
Talabalar matematika bo'yicha maktab o'quv dasturini yaxshi bilishlari kerak. Ya'ni, asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari qanday ko'rinishini bilish, trigonometrik, ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalar, arifmetik va geometrik progressiyalar uchun asosiy formulalarni bilish, shuningdek, tenglik va tenglik bilan algebraik o'zgarishlarni ishonchli amalga oshirishni bilish kerak. tengsizliklar. Bir nechta muammolarni hal qilish uchun ratsional va irratsional sonlarning eng oddiy xususiyatlarini ham bilish kerak.
