To'rtburchakning formulalari va xossalari. Geometrik figuralar

To'rtburchak har bir burchagi to'g'ri burchak bo'lgan to'rtburchakdir.

Isbot

Xususiyat parallelogrammaning 3-xususiyatining harakati bilan izohlanadi (ya'ni \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Qarama-qarshi tomonlar teng.

AB = CD, \ bo'shliq BC = AD

3. Qarama-qarshi tomonlar parallel.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Qo'shni tomonlar bir-biriga perpendikulyar.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. To‘rtburchakning diagonallari teng.

AC = BD

Isbot

Ga binoan mulk 1 to'rtburchak parallelogramm bo'lib, AB = CD degan ma'noni anglatadi.

Shuning uchun, \triangle ABD = \triangle DCA ikki oyoq bo'ylab (AB = CD va AD - bo'g'in).

Agar ikkala raqam - ABC va DCA bir xil bo'lsa, ularning gipotenuzalari BD va AC ham bir xil bo'ladi.

Shunday qilib, AC = BD.

Barcha raqamlarning faqat to'rtburchaklari (faqat parallelogramlardan!) Teng diagonallarga ega.

Keling, buni ham isbotlaylik.

ABCD parallelogrammdir \Rightarrow AB = CD , AC = BD sharti bo'yicha. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA allaqachon uch tomondan.

Aniqlanishicha, \angle A = \angle D (paralelogramma burchaklari kabi). Va \ burchak A = \ burchak C , \ burchak B = \ burchak D .

Biz buni xulosa qilamiz \ burchak A = \ burchak B = \ burchak C = \ burchak D. Ularning barchasi 90^(\circ) . Jami 360^(\circ) .

Tasdiqlangan!

6. Diagonalning kvadrati uning ikki qo‘shni tomoni kvadratlari yig‘indisiga teng.

Bu xususiyat Pifagor teoremasi tufayli o'rinlidir.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonal to‘rtburchakni ikkita bir xil to‘g‘ri burchakli uchburchakka ajratadi.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Diagonallarning kesishish nuqtasi ularni ikkiga bo'ladi.

AO=BO=CO=DO

9. Diagonallarning kesishish nuqtasi to'rtburchak va aylananing markazidir.

10. Barcha burchaklarning yig'indisi 360 gradus.

\ burchak ABC + \ burchak BCD + \ burchak CDA + \ burchak DAB = 360 ^ (\ aylana)

11. To'rtburchakning barcha burchaklari to'g'ri.

\ burchak ABC = \ burchak BCD = \ burchak CDA = \ burchak DAB = 90 ^ (\ aylana)

12. To'g'ri to'rtburchak atrofida aylananing diametri to'rtburchakning diagonaliga teng.

13. To'rtburchak atrofida aylana har doim tasvirlanishi mumkin.

Bu xususiyat toʻrtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yigʻindisi 180^(\circ) boʻlganligi sababli amal qiladi.

\ burchak ABC = \ burchak CDA = 180 ^ (\ aylana), \ bo'shliq \ burchak BCD = \ burchak DAB = 180 ^ (\ aylana)

14. To'g'ri to'rtburchakda ichkariga chizilgan doira bo'lishi mumkin va faqat bitta tomon uzunligi bir xil bo'lsa (bu kvadrat).

barcha burchaklari 90° va qarama-qarshi tomonlari juft parallel va teng boʻlgan parallelogramma.

To'rtburchak ko'plab muammolarni hal qilishda, to'rtburchaklar maydoni va uning perimetri uchun formulalarda qo'llaniladigan bir nechta rad etib bo'lmaydigan xususiyatlarga ega. Mana ular:

To'rtburchakning noma'lum tomoni yoki diagonalining uzunligi Pifagor teoremasi yoki bo'yicha hisoblanadi. To'rtburchakning maydonini ikki yo'l bilan topish mumkin - uning tomonlari mahsuloti yoki diagonal bo'ylab to'rtburchaklar maydoni formulasi bo'yicha. Birinchi va eng oddiy formula quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu formuladan foydalangan holda to'rtburchaklar maydonini hisoblash misoli juda oddiy. Ikki tomonni bilib, masalan, a = 3 sm, b = 5 sm, biz to'rtburchakning maydonini osongina hisoblashimiz mumkin:
Biz bunday to'rtburchakda maydon 15 kvadrat metrga teng bo'lishini olamiz. sm.

Diagonallar bo'yicha to'rtburchakning maydoni

Ba'zan diagonallar bo'yicha to'rtburchaklar maydoni uchun formulani qo'llash kerak. Buning uchun siz nafaqat diagonallarning uzunligini, balki ular orasidagi burchakni ham bilishingiz kerak bo'ladi:

Diagonallar yordamida to'rtburchakning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqing. Diagonali d = 6 sm va burchagi = 30 ° bo'lgan to'rtburchak berilsin. Biz ma'lumotlarni allaqachon ma'lum bo'lgan formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib, to'rtburchakning maydonini diagonal orqali hisoblash misoli bizga burchakni hisobga olgan holda maydonni shu tarzda topish juda oddiy ekanligini ko'rsatdi.
Miyamizni biroz cho'zishga yordam beradigan yana bir qiziqarli jumboqni ko'rib chiqing.

Vazifa: Kvadrat berilgan. Uning maydoni 36 kv. sm.Tomonlaridan birining uzunligi 9 sm, maydoni yuqorida berilgan kvadratnikiga teng bo‘lgan to‘rtburchakning perimetrini toping.
Shunday qilib, bizda bir nechta shartlar mavjud. Aniqlik uchun barcha ma'lum va noma'lum parametrlarni ko'rish uchun ularni yozamiz:
Shaklning tomonlari juft parallel va tengdir. Shunday qilib, rasmning perimetri tomonlarning uzunliklari yig'indisining ikki barobariga teng:
Shaklning ikki tomonining mahsulotiga teng bo'lgan to'rtburchakning maydoni formulasidan biz b tomonining uzunligini topamiz.
Bu yerdan:
Biz ma'lum ma'lumotlarni almashtiramiz va b tomonining uzunligini topamiz:
Shaklning perimetrini hisoblang:
Shunday qilib, bir nechta oson formulalarni bilib, siz uning maydonini bilib, to'rtburchakning perimetrini hisoblashingiz mumkin.

Ta'rif.

To'rtburchak Bu qarama-qarshi tomonlari teng va barcha to'rtta burchaklari teng bo'lgan to'rtburchak.

To'rtburchaklar bir-biridan faqat uzun tomonning qisqa tomoniga nisbati bilan farq qiladi, lekin ularning to'rttasi ham to'g'ri, ya'ni har biri 90 daraja.

To'rtburchakning uzun tomoni deyiladi to'rtburchak uzunligi, va qisqasi to'rtburchaklar kengligi.

To'rtburchakning tomonlari ham uning balandligidir.

To'rtburchakning asosiy xossalari

To'rtburchak parallelogramm, kvadrat yoki romb bo'lishi mumkin.

1. To'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari bir xil uzunlikka ega, ya'ni ular tengdir:

AB=CD, BC=AD

2. To‘rtburchakning qarama-qarshi tomonlari parallel:

3. To‘g‘ri to‘rtburchakning qo‘shni tomonlari doimo perpendikulyar:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. To‘rtburchakning barcha to‘rt burchagi to‘g‘ri:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. To‘g‘ri to‘rtburchak burchaklarining yig‘indisi 360 gradusga teng:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. To‘rtburchakning diagonallari bir xil uzunlikka ega:

7. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonal kvadratlari yig‘indisi tomonlari kvadratlari yig‘indisiga teng:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. To'rtburchakning har bir diagonali to'rtburchakni ikkita bir xil figuraga, ya'ni to'g'ri burchakli uchburchaklarga ajratadi.

9. To‘rtburchakning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasida yarmiga bo‘linadi:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Diagonallarning kesishish nuqtasi to'rtburchakning markazi deb ataladi va aylananing markazi ham hisoblanadi.

11. To'g'ri to'rtburchakning diagonali - aylananing diametri

12. To'rtburchak atrofida aylana har doim tasvirlanishi mumkin, chunki qarama-qarshi burchaklar yig'indisi 180 daraja:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Uzunligi uning eniga teng bo'lmagan to'rtburchakka aylana chizib bo'lmaydi, chunki qarama-qarshi tomonlarning yig'indilari bir-biriga teng bo'lmagani uchun (aylana faqat to'rtburchakning maxsus holatida - kvadratda chiziladi).

To'rtburchakning tomonlari

Ta'rif.

To'rtburchak uzunligi uning tomonlarining uzunroq juftining uzunligini chaqiring. To'rtburchaklar kengligi uning qisqaroq juft tomonining uzunligini nomlang.

To'g'ri to'rtburchak tomonlarining uzunliklarini aniqlash formulalari

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning yon tomoni (to‘rtburchakning uzunligi va eni) diagonali va boshqa tomoni bo‘yicha formulasi:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning tomoni (to‘rtburchakning uzunligi va eni) maydoni va boshqa tomoni bo‘yicha formulasi:

b = dcos	β
	2

Diagonal to'rtburchak

Ta'rif.

Diagonal to'rtburchak To'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining ikkita uchini bog'laydigan har qanday segment deyiladi.

To'rtburchak diagonalining uzunligini aniqlash uchun formulalar

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning ikki tomoni bo‘yicha diagonal formulasi (Pifagor teoremasi orqali):

d = √ a 2 + b 2

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning maydoni va istalgan tomoni bo‘yicha diagonali formulasi:

4. Cheklangan doira radiusi bo‘yicha to‘rtburchak diagonalining formulasi:

d=2R

5. Cheklangan doira diametri bo‘yicha to‘rtburchakning diagonali formulasi:

d = D o

6. To‘g‘ri to‘rtburchak diagonalining diagonaliga tutashgan burchak sinusi va shu burchakka qarama-qarshi tomonining uzunligi bo‘yicha formulasi:

8. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonalining diagonallari va maydoni orasidagi o‘tkir burchak sinusi bo‘yicha formulasi.

d = √2S: sinb

To'rtburchakning perimetri

Ta'rif.

To'rtburchakning perimetri to'rtburchakning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisidir.

To'rtburchak perimetri uzunligini aniqlash uchun formulalar

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning ikki tomoni bo‘yicha uning perimetri formulasi:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetri maydoni va istalgan tomoni bo‘yicha formulasi:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonali va istalgan tomoni bo‘yicha perimetri formulasi:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Aylana va istalgan tomonining radiusi bo‘yicha to‘rtburchakning perimetri formulasi:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. To'g'ri to'rtburchakning perimetri uchun aylana va har qanday tomonning diametri bo'yicha formulasi:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

To'rtburchaklar maydoni

Ta'rif.

To'rtburchaklar maydoni to'rtburchakning yon tomonlari bilan chegaralangan, ya'ni to'rtburchak perimetri ichidagi bo'shliq deyiladi.

To'rtburchakning maydonini aniqlash uchun formulalar

1. Ikki tomoni bo'yicha to'rtburchakning maydoni formulasi:

S = a b

2. To‘rtburchakning perimetri va istalgan tomoni bo‘ylab o‘tgan maydoni formulasi:

5. Aylana va istalgan tomonning radiusi bo‘yicha to‘rtburchakning maydoni formulasi:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Aylana va har qanday tomonning diametri bo'yicha to'rtburchakning maydoni formulasi:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

To'rtburchak atrofida aylana chizilgan

Ta'rif.

To'rtburchak atrofida aylana Doira to'rtburchakning to'rtta cho'qqisidan o'tuvchi aylana deyiladi, uning markazi to'rtburchakning diagonallari kesishmasida joylashgan.

To'rtburchak atrofida aylana radiusini aniqlash formulalari

1. Ikki tomondan to‘g‘ri to‘rtburchak atrofida aylana radiusi formulasi:

4. Kvadrat diagonali orqali to‘g‘ri to‘rtburchak haqida tasvirlangan aylana radiusi formulasi:

5. Doira diametri orqali to'rtburchak yaqinida tasvirlangan aylana radiusi formulasi (cheklangan):

6. To‘g‘ri to‘rtburchak yaqinida diagonalga tutashgan burchak sinusi va shu burchakka qarama-qarshi tomonning uzunligi orqali tasvirlangan aylana radiusi formulasi:

7. To‘g‘ri to‘rtburchak to‘g‘risida diagonalga tutashgan burchakning kosinusu va shu burchakdagi tomoni uzunligi bo‘yicha tasvirlangan aylana radiusi formulasi:

8. To'rtburchak yaqinida diagonallar va to'rtburchak maydoni orasidagi o'tkir burchak sinusi orqali tasvirlangan doira radiusi formulasi:

To'rtburchakning yon tomoni va diagonali orasidagi burchak.

To'rtburchakning yon tomoni va diagonali orasidagi burchakni aniqlash uchun formulalar:

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning yon tomoni va diagonali orasidagi burchakni diagonali va yon tomoni orqali aniqlash formulasi:

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning yon tomoni va diagonali orasidagi burchakni diagonallar orasidagi burchak orqali aniqlash formulasi:

To'rtburchakning diagonallari orasidagi burchak.

To'rtburchakning diagonallari orasidagi burchakni aniqlash uchun formulalar:

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonallari orasidagi burchakni yon tomoni va diagonali orasidagi burchak orqali aniqlash formulasi:

b = 2a

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonallari orasidagi burchakni maydoni va diagonali orqali aniqlash formulasi.

Tarkib:

Diagonal to'rtburchakning ikkita qarama-qarshi cho'qqisini bog'laydigan chiziq segmentidir. To'rtburchakning ikkita teng diagonali bor. To'rtburchakning tomonlari ma'lum bo'lsa, diagonalni Pifagor teoremasi yordamida topish mumkin, chunki diagonal to'rtburchakni ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi. Agar tomonlar berilmagan bo'lsa, lekin boshqa miqdorlar ma'lum bo'lsa, masalan, maydon va perimetr yoki tomonlarning nisbati, siz to'rtburchakning tomonlarini topishingiz mumkin, so'ngra Pifagor teoremasi yordamida diagonalni hisoblashingiz mumkin.

Qadamlar

1 yonma-yon

1. 1 Pifagor teoremasini yozing. Formula: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Yon tomonlarini formulaga ulang. Ular muammoda berilgan yoki ularni o'lchash kerak. Yon qiymatlar 3 ga almashtiriladi
   • Bizning misolimizda:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Maydoni va perimetri bo'yicha

     1. 1 Formula: S \u003d l w (rasmda S o'rniga A belgisi ishlatilgan.)
     2. 2 Bu qiymat S 3 ga almashtiriladi Formulani w ni ajratib olish uchun qayta yozing To'rtburchakning perimetrini hisoblash formulasini yozing. Formula: P = 2 (w + l)
     3. 5 To'rtburchak perimetri qiymatini formulaga almashtiring. Bu qiymat P 6 ga almashtiriladi Tenglamaning ikkala tomonini 2 ga bo'ling. To'rtburchakning tomonlari yig'indisini olasiz, ya'ni w + l 7 Formuladagi ifodani w 8 ni hisoblash uchun almashtiring Fraksiyalardan xalos bo'ling. Buning uchun tenglamaning ikkala qismini l 9 ga ko'paytiring Tenglamani 0 ga o'rnating. Buning uchun tenglamaning ikkala tomonidan birinchi tartibli o'zgaruvchiga ega bo'lgan atama ayiriladi.
        • Bizning misolimizda:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Tenglama shartlarini tartiblang. Birinchi a'zo ikkinchi o'zgaruvchi a'zo, keyin birinchi o'zgaruvchi a'zo, keyin esa erkin a'zo bo'ladi. Shu bilan birga, a'zolar oldida turgan belgilar ("ortiqcha" va "minus") haqida unutmang. E'tibor bering, tenglama kvadrat tenglama sifatida yoziladi.
          • Bizning misolimizda 0 = 35 + l 2 - 12 l 11
            • Bizning misolimizda tenglama 0 = l 2 - 12 l + 35 12 l 13 ni toping Pifagor teoremasini yozing. Formula: a 2 + b 2 = c 2
              • Pifagor teoremasidan foydalaning, chunki to'rtburchakning har bir diagonali uni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi. Bundan tashqari, to'rtburchakning tomonlari uchburchakning oyoqlari, to'rtburchakning diagonali esa uchburchakning gipotenuzidir.
            • 14 Ushbu qiymatlar 15 ga almashtirilgan Uzunlik va kenglikni kvadratga aylantiring va natijalarni qo'shing. Esda tutingki, raqamni kvadratga aylantirganda, u o'ziga ko'paytiriladi.
              • Bizning misolimizda:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini oling. Kvadrat ildizni tezda topish uchun kalkulyatordan foydalaning. Onlayn kalkulyatordan ham foydalanishingiz mumkin. c topasiz

                3 Maydon va tomonlar nisbati bo'yicha

                1. 1 Tomonlar nisbatini xarakterlovchi tenglamani yozing. Izolyatsiya l 2 To'rtburchakning maydonini hisoblash formulasini yozing. Formula: S = l w (rasmda S o'rniga A belgisi ishlatilgan.)
                   • Ushbu usul to'rtburchakning perimetri qiymati ma'lum bo'lganda ham qo'llaniladi, ammo keyin maydonni emas, balki perimetrni hisoblash uchun formuladan foydalanish kerak. To'rtburchakning perimetrini hisoblash formulasi: P = 2 (w + l)
                2. 3 To'rtburchaklar maydonini formulaga ulang. Bu qiymat S 4 ga almashtiriladi Tomonlar nisbatini tavsiflovchi ifodani formulaga almashtiring. To'rtburchak bo'lsa, l 5 ni hisoblash uchun ifodani almashtirishingiz mumkin Kvadrat tenglamani yozing. Buning uchun qavslarni oching va tenglamani nolga tenglang.
                   • Bizning misolimizda:
                     35 = w (w + 2) 6 Kvadrat tenglamani koeffitsientlarga ajrating. Batafsil ko'rsatmalar uchun o'qing.
                     • Bizning misolimizda 0 = w 2 - 12 w + 35 7 tenglamasi w 8 ni toping Tomonlar nisbatini tavsiflovchi tenglamada topilgan kenglik (yoki uzunlik) qiymatini almashtiring. Shunday qilib, siz to'rtburchakning boshqa tomonini topishingiz mumkin.
                       • Misol uchun, agar siz to'rtburchakning kengligi 5 sm ekanligini hisoblagan bo'lsangiz va tomonlar nisbati l = w + 2 9 tenglama bilan berilgan bo'lsa. Pifagor teoremasini yozing. Formula: a 2 + b 2 = c 2
                         • Pifagor teoremasidan foydalaning, chunki to'rtburchakning har bir diagonali uni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi. Bundan tashqari, to'rtburchakning tomonlari uchburchakning oyoqlari, to'rtburchakning diagonali esa uchburchakning gipotenuzidir.
                       • 10 Formulaga uzunlik va kenglik qiymatlarini kiriting. Bu qiymatlar 11 ga almashtiriladi Uzunlik va kenglikni kvadratga aylantiring va natijalarni qo'shing. Esda tutingki, raqamni kvadratga aylantirganda, u o'ziga ko'paytiriladi.
                         • Bizning misolimizda:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini oling. Kvadrat ildizni tezda topish uchun kalkulyatordan foydalaning. Onlayn kalkulyatordan ham foydalanishingiz mumkin. Siz c (displaystyle c) ni topasiz, bu uchburchakning gipotenuzasi va shuning uchun to'rtburchakning diagonali.
                           • Bizning misolimizda:
                             74 = c 2 (displey uslubi 74=c^(2))
                             74 = c 2 (displey uslubi (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (displey uslubi 8,6024=c)
                             Shunday qilib, uzunligi kengligidan 2 sm katta va maydoni 35 sm 2 bo'lgan to'rtburchakning diagonali taxminan 8,6 sm ga teng.