moddiy nuqta uchun d'Alember printsipi. Nyuton qonunlariga muvofiq harakat tenglamasining shakli yagona emas. Bu tenglamalarni boshqa shakllarda ham yozish mumkin. Bu imkoniyatlardan biri d'Alember printsipi, bu harakatning differensial tenglamalarini muvozanat tenglamalari shaklini olishiga rasmiy ruxsat beradi.

Bu tamoyilni Nyutonning ikkinchi qonuni o'rnini bosuvchi mustaqil aksioma deb hisoblash mumkin. Biz undan muammolarni hal qilish vositasi sifatida foydalanamiz va uni Nyuton qonunidan olamiz.

Moddiy nuqtaning inertial sanoq sistemasiga nisbatan harakatini ko‘rib chiqaylik. Bepul moddiy nuqta uchun

bizda ... bor: bu = = I.

O'tkazilayotgan vektor bu Tenglikning o'ng tomonida bu nisbat muvozanat tenglamasi sifatida ifodalanishi mumkin: men - bu - 0.

Biz kontseptsiyani taqdim etamiz inertsiya kuchlari. Tezlanishga qarama-qarshi yo'naltirilgan va nuqta massasi va uning tezlanishi ko'paytmasiga teng vektor deb ataylik. moddiy nuqtaning inertsiya kuchi: = -ta.

Ushbu kontseptsiyadan foydalanib, biz yozishimiz mumkin (3.42-rasm):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Guruch. 3.42.

moddiy nuqta uchun

(3.47) tenglama erkin moddiy nuqta uchun d'Alembert printsipi: agar nuqtaga qo'llaniladigan kuchlarga inersiya kuchi qo'shilsa, u holda nuqta muvozanat holatida bo'ladi.

To'g'ri aytganda, e'lon qilingan pozitsiya muallif tomonidan shakllantirilgan shaklda d'Alembert printsipi emas.

d'Alember o'yladi nuqtaning erkin harakatlanishi, bog'lanishdan ozod qilish printsipidan foydalanmasdan, bog'lanish reaktsiyasini kiritmasdan. Bog'lanish mavjud bo'lganda, nuqtaning tezlashishi kuch va yo'nalish bo'yicha mos kelmasligini ta'kidladi. ta F R, tushunchasini kiritdi yo'qolgan quvvat P - bu va yo'qolgan kuchning nuqtaga qo'llanilishi uning muvozanat holatini buzmasligini aytdi, chunki yo'qolgan kuch ulanish reaktsiyasi bilan muvozanatlanadi.

Munosabatlar (3.47). kinetostatikaning asosiy tenglamasi, yoki Hermanning Peterburg printsipi tenglamasi-Eyler. Kinetostatika usulini d'Alembert printsipining modifikatsiyasi deb hisoblash mumkin, shu jumladan, amaliy foydalanish uchun qulayroq bo'lgan erkin moddiy nuqta uchun. Shuning uchun ko'pchilik adabiy manbalarda (3.47) tenglama d'Alember printsipi deb ataladi.

Agar nuqta bepul bo'lmasa, ya'ni. unga cheklov qo'yilgan, nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchlarni faol 1 ga bo'lish qulay, R°(sozlash -

berilgan) va CU aloqasining reaktsiyasi: p(a) + n =

Bu texnika qulay, chunki ba'zi bog'lanish turlari uchun harakat tenglamasini shunday tuzish mumkinki, bu bog'lanishlarning reaksiyalari unga kirmaydi. Shunday qilib, erkin bo'lmagan nuqta uchun d'Alember tamoyilini quyidagicha yozish mumkin (3.43-rasm):

R (a)+/V+ R W) = 0, (3.48)

ya'ni, agar erkin bo'lmagan moddiy nuqtaga faol kuchlar va bog'lanish reaktsiyasidan tashqari, inertial kuch qo'llanilsa, unda hosil bo'lgan kuchlar tizimi istalgan vaqtda muvozanatda bo'ladi.

Guruch. 3.43.

moddiy nuqta

A- ingliz tilidan, faol- faol. Eslatib o'tamiz, kuchlar barcha bog'lanishlar olib tashlanganda o'z qiymatlarini saqlab qolsa, faol deb ataladi.

Nuqtaning egri chiziqli harakatini ko‘rib chiqishda inersiya kuchini ikki komponent ko‘rinishida ifodalash tavsiya etiladi: G "‘ n) \u003d -ta n- markazdan qochma va V, p) \u003d -ta x - tangens (3.44-rasm).

Guruch. 3.44.

moddiy nuqtaning harakati

Eslatib o'tamiz, normal va tangensial tezlanishlar uchun ifodalar quyidagi shaklga ega: a p -U 2 / p va i t = s1U D/L

Keyin yozishingiz mumkin: P^ t) - -t-p Rp p) - -t-t, yoki nihoyat: R

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3,49)

Tenglik (3.49) erkin bo'lmagan nuqtaning egri chiziqli harakati uchun d'Alember tamoyilini ifodalaydi.

Uzunligi / bo'lgan ipni ko'rib chiqing, uning oxirida massa nuqtasi o'rnatiladi T. Ip vertikal o'q atrofida aylanadi, generatrixning doimiy moyillik burchagi bilan konusning sirtini tasvirlaydi. A. Nuqtaning mos keladigan doimiy tezligini va ipning tarangligini aniqlang T(3.45-rasm).

Guruch. 3.45.

erkin bo'lmagan moddiy nuqtaning harakati

Ha, lekin: /u, /, a = const. Toping: T, V.

Nuqtaga tezlanishning mos komponentlariga qarama-qarshi yo'naltirilgan inersiya kuchlarini qo'llaymiz. E'tibor bering, inertsiyaning tangensial kuchi nolga teng, chunki shartga ko'ra tezlik doimiydir:

/1°") = -ta = -t-= Oh

va markazdan qochma inertsiya kuchi ifoda bilan aniqlanadi P^ m) \u003d mU 2 /p, bu erda p = / Bta.

Bu masalaga d’Alember prinsipini qo‘llash o‘rganilayotgan moddiy nuqtaning harakat tenglamasini yaqinlashuvchi kuchlar muvozanatining sharti ko‘rinishida yozish imkonini beradi: T? + T + Pp n) = 0.

Bunday holda, barcha muvozanat tenglamalari tabiiy koordinata o'qlariga proektsiyada haqiqiydir:

X^n=0, - FJ" 1+ Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + T kosa = 0,

+ T sin a =

-mg + T kosa = 0,

qayerdan topamiz T= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

Moddiy nuqtalar tizimi uchun d'Alember printsipi. Moddiy nuqtalarning mexanik tizimining harakatini ko'rib chiqing. OZMSni tortib olishda bo'lgani kabi, biz har bir nuqtaga qo'llaniladigan kuchlarni tashqi va ichki qismlarga ajratamiz (3.46-rasm).

Guruch. 3.46.

' /-chi nuqtaga qo'llaniladigan tashqi kuchlar natijasi va / G (L - bir xil nuqtaga qo'llaniladigan ichki kuchlarning natijasi bo'lsin. D'Alember printsipiga muvofiq, har bir materialga inersiya kuchlari qo'llanilishi kerak. tizim nuqtasi: Rr n) = -t,a g

Keyin tizimning har bir nuqtasiga qo'llaniladigan kuchlar nisbatni qondiradi:

1?E) + pY) + p0n)

bular. moddiy nuqtalar sistemasi, agar uning har bir nuqtasiga qo'shimcha inersiya kuchi qo'llanilsa, muvozanat holatida bo'ladi. Shunday qilib, d'Alember prinsipi yordamida sistemaning harakat tenglamalarini muvozanat tenglamalari shaklini berish mumkin.

Inersiya kuchlari va tashqi kuchlarning statik ekvivalentlaridan foydalanib tizimning kinetostatik muvozanat shartlarini ifodalaylik. Buning uchun biz hamma narsani jamlaymiz P tenglamalar (A), tizimning alohida nuqtalariga qo'llaniladigan kuchlarni tavsiflash. Keyin biz ixtiyoriy nuqtaga nisbatan alohida nuqtalarga qo'llaniladigan barcha tashqi va ichki kuchlar va inersiya kuchlarining momentlarini hisoblaymiz. HAQIDA:

g a X R "E> + g a X /*") + g a X P t > =0. і = 1,2,..., ".

Keyin biz xulosa qilamiz, natijada biz olamiz

// p p

'(E) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M ( 0 E) + M ( 0 n + M% a) = 0.

Chunki K i)= 0 va M 1 0 p = 0, bizda nihoyat:

IYa (?) + L (/I) = 0;

M (a E) + M(‘n) = 0.

(3.50) tenglamalar sistemasidan ko’rinib turibdiki, inersiya kuchlarining bosh vektori tashqi kuchlarning bosh vektori bilan, ixtiyoriy nuqtaga nisbatan inersiya kuchlarining bosh momenti esa tashqi kuchlarning bosh momenti bilan muvozanatlangan. bir xil nuqtaga nisbatan.

Masalalarni yechishda inersiya kuchlarining bosh vektori va bosh momenti uchun ifodalar bo’lishi kerak. Bu vektorlarning kattaliklari va yo'nalishlari alohida nuqtalarning tezlanishlari va ularning massalarining taqsimlanishiga bog'liq. Qoida tariqasida, to'g'ridan-to'g'ri ta'rif men (sh) Va M ("" ] geometrik yig'indini faqat qachon nisbatan sodda bajarish mumkin P - 2 yoki P= 3. Shu bilan birga, qattiq jismning harakati masalasida kinematik xarakteristikaga qarab harakatning ayrim alohida holatlaridagi inersiya kuchlarining statik ekvivalentlarini ifodalash mumkin.

Har xil harakat holatlaridagi qattiq jismning inersiya kuchlarining bosh vektori va bosh momenti. Massalar markazining harakati haqidagi teoremaga ko'ra t c \u003d I (E) bilan. D'Alember printsipiga ko'ra, bizda: I (1P) + I (E) = Oh, qayerdan topamiz: Men "1P) = -t bilan. Shunday qilib, tananing har qanday harakati bilan inersiya kuchlarining asosiy vektori tana massasi va massa markazining tezlanishi ko'paytmasiga teng va massa markazining tezlanishiga teskari yo'naltirilgan.(3.47-rasm).

Guruch. 3.47.

Jismning moddiy simmetriya tekisligiga perpendikulyar qo'zg'almas o'q atrofida jismning aylanish harakati paytidagi inersiya kuchlarining asosiy momentini ifodalaymiz (3.48-rasm). / -nuqtaga qo'llaniladigan inersiya kuchlari: R"! n) = m,x op; 2 va R? P)= /u,ep,.

Barcha markazdan qochma inertsiya kuchlari aylanish o'qini kesib o'tganligi sababli, bu inersiya kuchlarining asosiy momenti nolga teng, tangensial inersiya kuchlarining asosiy momenti:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - J z (3.51)

Shunday qilib, aylanish o'qiga nisbatan inersiya tangens kuchlarining asosiy momenti shu o'qga nisbatan inersiya momenti va burchak tezlanishining ko'paytmasiga teng va tangensial inersiya kuchlarining asosiy momentining yo'nalishi qarama-qarshidir. burchak tezlanishining yo'nalishi.

Guruch. 3.48.

aylanish o'qi haqida

Keyinchalik, tananing tekis-parallel harakati uchun inersiya kuchlarini ifodalaymiz. Jismning tekis-parallel harakatini (3.49-rasm) translatsiya harakatining yig'indisi sifatida hisobga olgan holda massa markazi bilan birga va atrofida aylanish massa markazidan o'tadigan o'q harakat tekisligiga perpendikulyar bo'lsa, massa markazining harakat tekisligi bilan mos keladigan moddiy simmetriya tekisligi mavjud bo'lganda, tekis-parallel harakatdagi inersiya kuchlari asosiy vektorga ekvivalent ekanligini isbotlash mumkin / ? (" p) massa markaziga qo'llaniladigan massa markazining tezlanishiga qarama-qarshidir va inersiya kuchlarining asosiy momenti. M^ n) markaziy o'qqa nisbatan, harakat tekisligiga perpendikulyar, burchak tezlanishiga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan:

Guruch. 3.49.

Eslatmalar.

• 1. E'tibor bering, chunki d'Alembert printsipi imkon beradi shunchaki harakat tenglamasini muvozanat tenglamasi shaklida yozing, u holda harakat tenglamasining hech qanday integralini bermaydi.
• 2. Biz shuni ta'kidlaymiz inersiya kuchi d'Alember printsipida xayoliy kulrang, faqat muvozanat tizimini olish maqsadida ta'sir qiluvchi kuchlarga qo'shimcha ravishda qo'llaniladi. Ammo tabiatda geometrik jihatdan inersiya kuchlariga teng bo'lgan kuchlar mavjud, ammo bu kuchlar boshqa (tezlashtiruvchi) jismlarga qo'llaniladi, ular bilan o'zaro ta'sirda tezlashtiruvchi kuch paydo bo'lib, ko'rib chiqilayotgan harakatlanuvchi jismga qo'llaniladi. Masalan, doimiy tezlikda aylanayotgan ipga mahkamlangan nuqtani gorizontal tekislikda aylana bo‘ylab harakatlantirganda ipning tarangligi aynan shunday bo‘ladi. inersiya kuchi, bular. nuqtaning ipdagi reaktsiya kuchi, nuqta esa ipning unga bo'lgan reaksiyasi ta'sirida harakat qiladi.
• 3. Yuqorida ko'rsatilgandek, d'Alember printsipining yuqoridagi shakli d'Alembertning o'zi ishlatganidan farq qiladi. Bu erda qo'llaniladigan tizim harakatining differentsial tenglamalarini tuzish usuli bir qator Peterburg olimlari tomonidan ishlab chiqilgan va kengaytirilgan va nom oldi. kinetostatik usul.

Temir yo'l transporti dinamikasining ba'zi muammolariga mexanika usullarini qo'llash:

? temir yo'l transport vositasining egri chiziq bo'ylab harakatlanishi. Hozirgi vaqtda kompyuter texnologiyalarining imkoniyatlaridan kelib chiqqan holda, temir yo'l transport vositasining egri chiziqda harakatlanishi paytida yuzaga keladigan barcha mexanik hodisalarni tahlil qilish tizimning alohida jismlarining butun majmuasini hisobga oladigan ancha murakkab model yordamida amalga oshiriladi. va ular orasidagi aloqalarning xususiyatlari. Ushbu yondashuv harakatning barcha kerakli kinematik va dinamik xususiyatlarini olish imkonini beradi.

Biroq, yakuniy natijalarni tahlil qilish va texnik adabiyotlarda dastlabki hisob-kitoblarni amalga oshirishda mexanikaning ba'zi tushunchalarining ma'lum buzilishlariga tez-tez duch keladi. Shuning uchun, ekipajning egri chiziqdagi harakatini tavsiflashda ishlatiladigan eng "asl poydevorlar" haqida gapirish tavsiya etiladi.

Keling, ko'rib chiqilayotgan jarayonlarning ba'zi matematik tavsiflarini elementar formulada keltiraylik.

Xususiyatlarni to'g'ri, izchil tushuntirish uchun ekipajning statsionar harakati dumaloq egri chiziqda quyidagilar zarur:

• bu harakatni tasvirlash uchun ishlatiladigan mexanika usulini tanlang;
• aniq, mexanika nuqtai nazaridan, "kuch" tushunchasidan kelib chiqish;
• harakat va reaksiya tengligi qonunini unutmang.

Ekipajning egri chiziqda harakatlanish jarayoni muqarrar ravishda tezlik yo'nalishini o'zgartirishni nazarda tutadi. Ushbu o'zgarish tezligining xarakteristikasi massa markazining egri chiziqli traektoriyasining egrilik markaziga yo'naltirilgan normal tezlanishdir: a p - V 2/p, bu erda p - egri chiziqning radiusi.

Harakat paytida avtomobil temir yo'l bilan o'zaro ta'sir qiladi, buning natijasida g'ildirak guruhlariga normal va tangensial reaktiv kuchlar qo'llaniladi. Tabiiyki, relslarga teng va qarama-qarshi bosim kuchlari qo'llaniladi. Yuqoridagi mexanik tushunchalarga ko'ra, kuch jismlarning yoki jism va maydonning o'zaro ta'siri natijasi sifatida tushuniladi. Ko'rib chiqilayotgan muammoda ikkita jismoniy tizim mavjud: g'ildiraklari bo'lgan vagon va temir yo'l, shuning uchun kuchlarni ular bilan aloqa qilish joylarida izlash kerak. Bundan tashqari, ekipaj va Yerning tortishish maydonining o'zaro ta'siri tortishish kuchini yaratadi.

Ekipajning egri chiziqdagi harakati tavsifi yordamida amalga oshirilishi mumkin dinamikaning umumiy teoremalari, OZMS oqibatlari bo'lgan yoki asoslangan mexanika tamoyillari(masalan, d'Alember printsipi), bu asosdir kinetostatik usul.

Tushuntirish istagi teng xususiyatlar ekipaj harakatining xususiyatlari bo'yicha yo'l o'qining egriligini hisobga olish usullari, biz birinchi navbatda eng oddiy ideallashtirilgan modeldan foydalanamiz. Ekipaj ushbu tizimning massasiga teng massaga ega bo'lgan moddiy samolyot sifatida qaraladi.

Ushbu tekislikda yotgan massa markazi ma'lum bir harakatni yo'lning o'qiga mos keladigan traektoriya bo'ylab tezlik bilan bajaradi. v. Temir yo'l bilan aloqa harakatlanuvchi tekislikning temir yo'l iplari bilan kesishgan ikkita nuqtasida amalga oshiriladi. Shu sababli, transport vositasining temir yo'l bilan o'zaro ta'siri haqida gapirganda, har bir relsdan alohida g'ildiraklar ustidagi relslarning barcha reaktsiyalarining natijasi bo'lgan konsentrlangan kuchlar haqida gapirish mumkin. Bundan tashqari, reaktiv kuchlarning paydo bo'lishining tabiati ahamiyatsiz;

? tashqi relsni ko'tarmasdan yo'l bo'ylab vagon harakati. Shaklda. 3.50 egri chiziq bo'ylab harakatlanadigan ekipajning dizayn sxemasini ko'rsatadi. Tashqi va ichki relslar, bu holda, bir xil darajada joylashgan. Shaklda. 3.50da ekipajga ta'sir qiluvchi kuchlar va bog'lanishlarning reaktsiyalari ko'rsatilgan. Biz yo'qligini ta'kidlaymiz bu sxemada haqiqiy markazdan qochma kuchlar mavjud emas.

Nyutonning geometrik mexanikasi doirasida transport vositasining egri chiziqdagi harakati tizim dinamikasining umumiy teoremalari bilan tavsiflanadi.

Bu holda, massa markazining harakati haqidagi teoremaga ko'ra,

t c a c - I a), (a)

bu yerda R) tashqi kuchlarning asosiy vektori.

Ifodaning ikkala qismini proyeksiyalash (A) markazi avtomobil massasi markazida joylashgan, birlik vektorlari m, i bilan birga keladigan tabiiy koordinata o'qlarida, b va ishoning t s = T.

Asosiy normalga proektsiyada biz olamiz bu n \u003d F n, yoki

mV / p \u003d Fn (b)

Qayerda F n - haqiqiy kuch g'ildiraklar silsilasiga temir yo'l reaktsiyalari, bu temir yo'l reaktsiyalarining traektoriyaning normaliga proyeksiyalarining yig'indisi. Bu g'ildirak gardishlaridagi relslarning yo'naltiruvchi bosim kuchlari bo'lishi mumkin. Bu yo'nalishda boshqa tashqi kuchlar yo'q.

Ifodaning proyeksiyasida (A) binormalda biz olamiz:

O = -mg+Nout+N karvonsaroy. (bilan)

Mana indekslar chiqib 1 tashqisiga mos keladi, a karvonsaroy- egri chiziqning ichki chizig'i. (c) ifodaning chap tomoni nolga teng, chunki tezlanishning binormalga proyeksiyasi nolga teng.

Uchinchi tenglamani burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan foydalanib olamiz massa markaziga nisbatan:

dK c /dt = ^M c. (d)

Ifodani loyihalash d t o'qi bo'yicha, bu erda t = nx b - birlik vektorlarning vektor mahsuloti P Va b, shuni hisobga olgan holda KCl\u003d U St bilan t, U St - ekipajning massa markazining traektoriyasiga teguvchi o'qga nisbatan inertsiya momenti, bizda bo'ladi.

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (e)

chunki dumaloq egri chiziq bo'ylab barqaror harakatda m o'qiga nisbatan burchak tezlanishi nolga teng.

Ifodalar ( b), (c) va (e) uchta noma'lum miqdor uchun chiziqli algebraik tenglamalar tizimidir M-tp> qaysini hal qilsak, biz quyidagilarni olamiz:

Guruch. 3.50.

Shunday qilib, dinamikaning umumiy teoremalarini izchil qo'llash ko'rib chiqilayotgan muammoda ekipajning yo'lning egri chiziqli qismidan o'tishi bilan bog'liq barcha hodisalarni aniqlashga imkon beradi.

Aslida, ikkala g'ildirak ham egri chiziq ichiga yo'naltirilgan kuchlarga bo'ysunadi. Ushbu kuchlarning natijasi avtomobilning massa markazi atrofida bir lahzani hosil qiladi, bu esa aylanishga va hatto egri chiziqdan tashqariga tushishiga olib kelishi mumkin. V 2 N/p5" > g. Ushbu kuchning harakati g'ildiraklarning aşınmasına olib keladi. Tabiiyki, temir yo'lda harakat qiluvchi qarama-qarshi yo'naltirilgan kuch -R p relsning eskirishiga olib keladi.

E'tibor bering, yuqoridagi bayonotda faqat ikkita relsning gorizontal reaktsiyalarining natijasini topish mumkin R. Ushbu kuchning ichki va tashqi relslar o'rtasida taqsimlanishini aniqlash uchun qo'shimcha shartlar yordamida statik noaniq masalani hal qilish kerak. Bundan tashqari, vagonning harakati paytida tashqi va ichki relslarning normal reaktsiyalari turli qiymatlarga ega. Tashqi relsli ip ko'proq yuklangan.

Ichki ipning avtomobilga reaktsiyasi kamroq va tezlikning ma'lum bir qiymatida u hatto nolga teng bo'lishi mumkin.

Klassik mexanikada bu holat deyiladi ag'darish, garchi aslida hech qanday aylanish yo'q. Haqiqiy ag'darilish holati qachon sodir bo'lishini bilish uchun avtomobilning m ga parallel o'q atrofida aylanishini va g'ildirakning tashqi rels bilan aloqa nuqtasidan o'tishini hisobga olish kerakmi? T F 0. Bunday vazifa faqat ilmiy qiziqish uyg'otadi, chunki, albatta, bunday holatga haqiqiy tizimni olib kelish mumkin emas.

Biz yana bir bor ta'kidlaymizki, barcha hodisalarni tushuntirishda biz haqiqatdan chiqdik avtomobilning faqat haqiqiy kuchlar ta'sirida harakati.

E'tibor bering, m o'qi atrofida aylanishning differentsial tenglamasi, hatto = 0 bo'lsa ham, markaziy o'q m ga nisbatan yoziladi.Bu o'qni boshqa nuqtada tanlash tenglamaning chap tomoni shaklini o'zgartirishga olib keladi. moment teoremasi. Shuning uchun, masalan, g'ildirakning rels bilan aloqa nuqtasidan o'tadigan o'qga nisbatan bu tenglamani bir xil shaklda yozish mumkin emas, garchi normal reaktsiyalarning qiymatini topish osonroq bo'lib tuyulsa ham. Ushbu holatda. Biroq, bu yondashuv noto'g'ri natijaga olib keladi: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Ko'rsatish mumkinki, nuqta, masalan, nuqta orqali o'tadigan o'q atrofida aylanish tenglamasi. TO, harakatning tarjima qismidan jismning impuls momentini hisobga olgan holda yozilishi kerak g x x ta s: J Cl? t+ T(g ks xx d)=^ M X.

Shuning uchun St o'qiga proyeksiyada (c) tenglama o'rniga ifodani olamiz

(8 )

/ St? t+ t[g ks X a c) t = -teB + N ipp 25,

bu yerda qavs ichida vektor ko'paytmaning St o'qiga proyeksiyaning qiymati ? ks ha s.

Keling, kerakli tartiblarni ketma-ket amalga oshirish bizga topishga imkon berishini ko'rsataylik s w olingan tenglamadan). Anjirdan. 3.50 shuni ko'rsatadi

g ks - bp + Hb Va a c =

Vektor mahsulotini hisoblaymiz:

Bu erda e'tiborga olinadi php = 0 Va bxn = - t. Shuning uchun,

tNU 2

2L g / lp 5 ',

bu erda biz ichki relsning reaktsiyasini topamiz:

bu (/) ifodasida olingan natija bilan bir xil.

Muammoni taqdim etish yakunida biz shuni ta'kidlaymizki, mashinani ko'rib chiqish harakat geometrik mexanikaning Nyuton usullaridan foydalanish masalani yechish imkonini beradi xayoliy va bu inertsiyani kiritmasdan. Faqat mexanikaning barcha qoidalaridan to'g'ri foydalanish kerak. Biroq, shuni ta'kidlash kerakki, ushbu usuldan foydalanish, masalan, d'Alembert printsipidan foydalangandan ko'ra ko'proq hisob-kitoblar bilan bog'liq bo'lishi mumkin.

Keling, kinetostatik usulning umumiy qabul qilingan ko'rinishida d'Alember printsipidan foydalanish asosida xuddi shu masala qanday hal qilinishini ko'rsatamiz. Bunday holda, qo'shimchani qo'llash kerak

ip o'tkazish xayoliy inersiya kuchi: G* = -ta sp = -T-P. Va eki-

sahifa to'xtaydi, ya'ni. endi uning massa markazining tezlashishi a c= 0. rasmda. 3.51 buni ko'rsatadi dam olish tizimi. Unga qo'llaniladigan barcha kuchlar, shu jumladan inersiya kuchi kinetostatik tenglamalarni qondirishi kerak. harakat emas, muvozanat, oldingi holatda bo'lgani kabi.

Bu holat bizga barcha noma'lum miqdorlarni topish imkonini beradi balans tenglamasi. Bunday holda, muvozanat tenglamalari shaklini va momentlar hisoblangan nuqtalarni tanlash ixtiyoriy bo'ladi. Oxirgi holat barcha noma'lumlarni bir-biridan mustaqil ravishda topishga imkon beradi:

I M. = oh I m,_= oh

-n = taxminan.

1 da deputat

Guruch. 3.51. Ekipajga bir xil sharoitlarda ta'sir etuvchi kuchlarning dizayn sxemasi 1-rasmdagi kabi. d'Alembert printsipidan foydalanganda 3.50

Ushbu tenglamalar tizimining yechimlari dinamika nazariyasi yordamida olingan mos formulalar bilan mos kelishini ko'rish oson. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misolda d'Alember tamoyilini qo'llash muammoni hal qilishni biroz soddalashtirishga imkon berdi.

Biroq, natijalarni sharhlashda shuni yodda tutish kerakki, qo'shimcha ravishda qo'llaniladigan inertial kuch xayoliydir, ya'ni haqiqatda ekipajga ta'sir qiluvchi bunday kuch yo'q. Bundan tashqari, bu kuch Nyutonning uchinchi qonunini qondirmaydi - bu kuchning "ikkinchi uchi" yo'q, ya'ni. qarshilik yo'q.

Umuman olganda, mexanikaning ko'plab muammolarini, shu jumladan egri chiziqda ekipaj harakati muammosini hal qilishda d'Alembert printsipini qo'llash qulay. Biroq, hech qanday hodisani bog'lamaslik kerak harakat bu inersiya kuchi. Misol uchun, bu markazdan qochma inertsiya kuchi tashqi relsga qo'shimcha ravishda yuklaydi va ichki qismini tushiradi, bundan tashqari, bu kuch avtomobilning ag'darilishiga olib kelishi mumkin. Bu nafaqat savodsiz, balki ma'nosiz ham.

Yana bir bor eslatib o'tamizki, aravaga egri chiziqda ta'sir etuvchi va uning harakat holatini o'zgartiruvchi tashqi qo'llaniladigan kuchlar tortishish kuchi, relslarning vertikal va gorizontal reaktsiyalari;

? tashqi relsning balandligi bilan egri chiziq bo'ylab vagonning harakati. Ko'rsatilgandek, transport vositasi tashqi relsni ko'tarmasdan egri chiziqlardan o'tganda sodir bo'ladigan jarayonlar nomaqbul oqibatlar bilan bog'liq - relslarning notekis vertikal yuklanishi, relsning g'ildirakka sezilarli darajada normal gorizontal reaktsiyasi, aşınmanın kuchayishi bilan birga. g'ildiraklarning ham, relslarning ham, tezlik oshib ketganda ag'darilish ehtimoli.ma'lum chegaraning harakati va boshqalar.

Tashqi relsni ichki qismdan yuqoriga ko'tarish orqali egri chiziqlar o'tishi bilan birga keladigan noxush hodisalarni katta darajada oldini olish mumkin. Bunday holda, vagon konusning yuzasi bo'ylab generatrixning gorizontal o'qga egilish burchagi bilan aylanadi (3.52-rasm): f L \u003d yoy (L / 25) yoki kichik burchaklarda.

F A * L/2 S.

Guruch. 3.52.

tashqi temir yo'lning balandligi bilan

Statsionar holatda, qachon V- const va ph A = const, biz tashqi relsni ko'tarmasdan egri chiziqqa o'rnatishda bo'lgani kabi, vagonning tekis qismining o'z tekisligidagi harakatini ko'rib chiqishimiz mumkin.

Dinamikaning umumiy teoremalaridan foydalangan holda muammoni hal qilish texnikasini ko'rib chiqing. Biz avtomashinaning massa markazi p radiusli dumaloq egri chiziq bo'ylab harakat qiladi deb taxmin qilamiz, garchi ko'rib chiqilayotgan holatda, qat'iy aytganda, yo'l o'qining egrilik radiusi markazning traektoriyasining egrilik radiusidan farq qiladi. oz miqdorda massa:

H sin cf L ~ H f A "r.

Shuning uchun, p bilan solishtirganda, oxirgi qiymatni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Ekipajning "tekis qismi" ning harakati hamrohlik qiluvchi o'qlarga tegishli bo'ladi SuSi x(3.52-rasmga qarang), bu erda eksa Su] yo'l tekisligiga parallel. Harakatning doimiy tezligida massa markazining tezlashishini uning harakat traektoriyasining asosiy normasi bo'yicha proyeksiyasi balandliksiz egri chiziqda harakatlanayotganda xuddi shunday yozilishi mumkin, ya'ni. a p = V i/R.

Su o'qi bo'yicha tezlanish proyeksiyalari, va Cz^ mos ravishda teng:

a ux = a p sovf,; I. \u003d a "smy h.

Massalar markazining harakati toʻgʻrisidagi teorema va burchak impulsining Cx oʻqiga nisbatan oʻzgarishi haqidagi teoremaga asoslangan tekis kesimning harakat tenglamalari quyidagicha:

= 0 ekanligini hisobga olsak, almashtirishdan keyin uchta noma'lum uchta chiziqli algebraik tenglamalar tizimini olamiz. F vi, N iiw, N (nol:

/i-si Pf l = -mg cosV/ , + N mn + N tashqarida; P

-sof A = mgs ipf A + F ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

E'tibor bering, tashqi relsning ko'tarilishi tufayli yo'l o'qi tekisligining moyilligi Cy va Cr o'qi bo'yicha massa markazining tezlashuvi proyeksiyasining o'zgarishiga olib keladi, bu o'zgarish bilan bog'liq. ko'tarilish yo'qligi bilan solishtirganda relslarning reaktsiyalari, qachon A. - 0, a l Tezlanishlar proyeksiyalaridagi bu o'zgarishlarni, agar transport vositasining egri chiziqning egrilik markazidan o'tuvchi binormal atrofida aylanishini o'qlar atrofida ō = ō (+ b) ikkita aylanishning geometrik yig'indisi deb hisoblasak, tushuntirish mumkin?, y, egri chiziqning bir xil markazidan o'tuvchi.

Tenglamalar tizimini tuzishda (Kimga) cp L burchagining kichikligi nazarda tutilmagan. Biroq, amaliy dizaynda

wtf A ~ /g/25.

Shunday qilib, kichik f L bo'lsa, yo'lning transport vositasiga reaktsiyalarini aniqlash uchun tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:

= -g^+ LG, " + M gsh,;

T- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Ushbu tenglamalarni yechish orqali biz quyidagilarni olamiz:

N...... =

mg + TU/G

Juma/77 K VA /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

Balandlik bo'lmagan alohida holatda (VA= 0), bu iboralar ilgari olingan (/) bilan mos keladi.

Endi muammoni hal qilish natijalari tahliliga murojaat qilaylik I F 0.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda temir yo'lning yo'l tekisligiga yo'naltirilgan ko'ndalang reaktsiyasi kamayadi. Bu massa markazining Su o'qi yo'nalishi bo'yicha tezlanishini hosil qilishda nafaqat kuch //, balki tortishish komponenti ham ishtirok etishi bilan izohlanadi. Bundan tashqari, ma'lum bir qiymat uchun VA\u003d 25K 2 / p? kuch R nolga aylanadi:

Shuni hisobga olib

t g - T,= X A,%>+ X A[

• (3.42)

Qavs ichidagi qiymat deyiladi ajoyib tezlashtirish. Davlat qachon P = 0, normal tezlanish bo'lgan holatga mos keladi A faqat o'qga proyeksiyasi d>, ekipajning tortishish kuchi bilan hosil bo'ladi.

Ko'rib chiqilayotgan muammoni muhokama qilganda, ba'zida tezlashuv degan murakkab fikr mavjud a p gorizontal yo'naltirilgan, tortishish esa vertikal (3.52-rasmga qarang) va shuning uchun u ko'rib chiqilgan tezlanishni hosil qila olmaydi. a p da R= 0. Bu mulohaza xatoni o'z ichiga oladi, chunki gorizontal tezlanishni shakllantirishda kuchdan tashqari, R, D r w u va / V o r normal reaksiyalari ham ishtirok etadi.Kichik f A da bu ikki reaksiyaning yig’indisi ga teng. 1H tp + 1U oig \u003d mg. Shuning uchun tortishish kuchi hali ham gorizontal tezlanishning shakllanishida ishtirok etadi a p, lekin reaksiyalar harakati orqali N m Va S oiG

Keling, yo'l yuzasiga perpendikulyar bo'lgan relslarning normal reaktsiyalari qanday o'zgarishini muhokama qilaylik.

E'tibor bering, /7 = 0 holatdan farqli o'laroq, reaktsiyalar bir xil qiymatga ortadi TU 2 I/2r28, bu e'tibordan chetda, chunki ///25 - qiymati kichik. Biroq, qat'iy mulohaza yuritishda va iboralar uchun ushbu atamani o'tkazib yuboring N w buni qilma.

Qachon - > -2-, ya'ni. ijobiy ajoyib tezlashtirish bilan, p 25

ichki relsning reaktsiyasi tashqi tomondan kamroq, ammo ular orasidagi farq unchalik muhim emas. VA = 0.

Agar ajoyib tezlashuv nolga teng bo'lsa, reaktsiya qiymatlari teng bo'ladi IV oSH = mg|2(kichik uchun VA), bular. tashqi temir yo'lning balandligi nafaqat olish imkonini beradi RU= 0, shuningdek, tashqi va tashqi relslardagi bosimni tenglashtiring. Ushbu holatlar ikkala rels uchun bir xil eskirish qiymatlariga erishishga imkon beradi.

Biroq, tashqi temir yo'lning ko'tarilishi tufayli, salbiy qiymatga ega bo'lish ehtimoli mavjud R", ushlab turmaydigan cheklovlarga ega bo'lgan haqiqiy tizimda transport vositasini eksa bo'ylab siljish jarayoniga mos keladi. y g bular. egri chiziq ichida. Yo'lning bir xil qiyaligi tufayli reaktsiyalarning qayta taqsimlanishi sodir bo'lishi mumkin N w Va Yo'q! hukmron M sh.

Shunday qilib, Nyutonning geometrik mexanikasi usullaridan foydalangan holda olib borilgan tashqi relsning balandligi bilan yo'l bo'ylab egri chiziq bo'ylab transport vositasining harakatini o'rganish tizimning holatini qo'shimcha terminologik farazlarsiz tahlil qilish imkonini beradi. Fikrlashda inersiya kuchlari mavjud emas.

Keling, vagonning xuddi shu egri chiziqdagi harakati d'Alember printsipi yordamida qanday tasvirlanganligini ko'rib chiqaylik.

Kinetostatik usulni shakllantirishda ushbu printsipni avvalgi holatda bo'lgani kabi qo'llash orqali massa markaziga normal (markazdan qochma) inersiya kuchini qo'llash kerak. r„ n), normal tezlashuvga teskari yo'nalishda yo'naltirilgan (3.53-rasm):

Qayerda tizimi yana to'xtaydi, ya'ni. ekipaj trek bo'ylab harakatlanmaydi. Shunday qilib, kineto-statik muvozanatning barcha tenglamalari haqiqiydir:

I Kimga= °-X r* = O.

/L^ypf, - G‘ p sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Bu erda qiymatni almashtirib, biz har qanday f / (yoki) uchun tizim (/) bilan bir xil tenglamalar tizimini olamiz. (Kimga) kichikda VA.

Shunday qilib, ikkala usuldan foydalanish mutlaqo bir xil natijalarga olib keladi. Tenglamalar tizimi ( Kimga) va d'Alember printsipi asosida olingan tizim bir xil.

Shunga qaramay, e'tibor bering yakuniy natijalar hech qanday inertial kuchlarni o'z ichiga olmaydi. Bu tushunarli, chunki kinetostatika usulining asosi bo'lgan d'Alembert printsipi faqat sistema harakatining differentsial tenglamalarini tuzish vositasi. Shu bilan birga, ko'rib chiqilayotgan masalada d'Alember tamoyilini qo'llash hisob-kitoblarni soddalashtirishga imkon berganligini va amaliy hisob-kitoblar uchun tavsiya etilishi mumkinligini ko'ramiz.

Biroq, biz yana bir bor ta'kidlaymizki, aslida hech qanday kuch yo'q TU 2/ p harakatlanuvchi transport vositasining massa markaziga qo'llaniladi. Shuning uchun egri chiziqdagi harakat bilan bog'liq barcha hodisalar tizimni (/) yechish natijalarini tahlil qilish asosida amalga oshirilganidek tushuntirilishi kerak. (Kimga).

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, ko'rib chiqilayotgan masaladagi "Nyuton usuli" va "D'Alember usuli" faqat harakatning differensial tenglamalarini tuzish maqsadida ishlatilgan. Shu bilan birga, birinchi bosqichda biz differentsial tenglamalarning o'zidan tashqari hech qanday ma'lumot olmaymiz. Olingan tenglamalarning keyingi yechimi va o'tkazilgan tahlil tenglamalarning o'zini olish usuli bilan bog'liq emas.

Guruch. 3.53.

• tashqariga ingliz tilidan, tashqi - tashqi.
• karvonsaroy- ingliz tilidan, ichki - ichki.
• karvonsaroy- ingliz tilidan, ichki - ichki.

d'Alember printsipi

J.L.ning asosiy ishi. d'Alembert(1717-1783) - "Dinamikaga oid risola" - 1743 yilda nashr etilgan.

Risolaning birinchi qismi analitik statikani qurishga bag'ishlangan. Bu erda d'Alember "mexanikaning asosiy tamoyillari" ni shakllantiradi, ular orasida "inersiya printsipi", "harakatlarni qo'shish printsipi" va "muvozanat printsipi" mavjud.

"Inersiya printsipi" dam olish holati va bir tekis to'g'ri chiziqli harakat uchun alohida tuzilgan. "Inersiya kuchi, - deb yozadi d'Alember, men Nyuton bilan birgalikda tananing xususiyatini uning holatini saqlab qolish uchun chaqiraman".

"Harakatlarni qo'shish printsipi" - bu parallelogramm qoidasiga ko'ra tezlik va kuchlarni qo'shish qonunidir. Shu tamoyilga asoslanib, d'Alember statika masalalarini hal qiladi.

«Muvozanat printsipi» quyidagi teorema shaklida ifodalanadi: «Agar o‘z massalariga teskari proporsional tezlikda harakatlanuvchi ikkita jism qarama-qarshi yo‘nalishga ega bo‘lsa, shuning uchun bir jism bir joydan ikkinchi jismga siljimasdan harakatlana olmasa, u holda bu jismlar muvozanatda bo‘ladi. ". Traktatning ikkinchi qismida d'Alember dinamika muammosini statikaga qisqartirishga asoslangan har qanday moddiy tizimlar uchun differensial harakat tenglamalarini tuzishning umumiy usulini taklif qildi. U keyinchalik "d'Alember printsipi" deb nomlangan har qanday moddiy nuqtalar tizimi uchun qoidani ishlab chiqdi, unga ko'ra tizim nuqtalariga qo'llaniladigan kuchlar "ta'sir qiluvchi", ya'ni tezlashishiga olib keladigan kuchlarga ajralishi mumkin. tizim va "yo'qolgan", tizimning muvozanati uchun zarur. d'Alembertning fikricha, "yo'qolgan" tezlashuvga mos keladigan kuchlar tizimning haqiqiy xatti-harakatlariga ta'sir qilmaydigan bunday kombinatsiyani hosil qiladi. Boshqacha qilib aytganda, agar tizimga faqat "yo'qolgan" kuchlar to'plami qo'llanilsa, u holda tizim tinch holatda qoladi. D'Alember printsipining zamonaviy formulasini M. E. Jukovskiy o'zining "Nazariy mexanika kursi" asarida bergan: "Agar biron bir vaqtning o'zida tizim to'xtab qolsa, u harakatlanadi va biz unga haydashdan tashqari qo'shamiz. kuchlar, vaqtning ma'lum bir nuqtasiga to'g'ri keladigan barcha inersiya kuchlari, keyin muvozanat kuzatiladi, shu bilan birga, bunday muvozanatda tizim qismlari o'rtasida rivojlanayotgan barcha bosim, taranglik va boshqalar kuchlari haqiqiy kuchlar bo'ladi. tizim ko'rib chiqilgan vaqt momentida harakat qilganda bosim, kuchlanish va boshqalar ". Shuni ta'kidlash kerakki, d'Alemberning o'zi o'z printsipini taqdim etar ekan, kuch tushunchasiga ham murojaat qilmagan (mexanikaning asosiy tushunchalari ro'yxatiga kirish uchun etarlicha aniq emasligini hisobga olib), kontseptsiyaga nisbatan kamroq. inertial kuch. D'Alembert printsipining "kuch" atamasi yordamida taqdimoti Lagranjga tegishli bo'lib, u o'zining "Analitik mexanika" asarida o'zining analitik ifodasini mumkin bo'lgan siljishlar printsipi shaklida bergan.Bu Jozef Lui Lagranj (1736-1813) va Mexanikani analitik mexanikaga yakuniy aylantirishda muhim rol o'ynagan Leonardo Eyler (1707-1783).

Moddiy nuqtaning analitik mexanikasi va Eylerning qattiq jism dinamikasi

Leonardo Eyler- XVIII asrda fizika-matematika fanlari rivojiga katta hissa qo'shgan buyuk olimlardan biri. Uning ishi tadqiqotchilik tafakkuri, iste'dodning universalligi va ortda qoldirilgan ulkan ilmiy merosi bilan hayratlanarli.

Sankt-Peterburgdagi ilmiy faoliyatining dastlabki yillaridayoq (Euler Rossiyaga 1727 yilda kelgan) mexanika sohasidagi ulkan va keng qamrovli ishlarning dasturini tuzdi. Ushbu ilova uning ikki jildli "Mexanika yoki harakat fani, analitik bayon qilingan" (1736) asarida mavjud. Eyler mexanikasi Nyuton mexanikasidagi birinchi tizimli kurs edi. Unda nuqta dinamikasi asoslari mavjud edi - mexanika bo'yicha Eyler kuchlar muvozanati yoki statika haqidagi fandan farqli o'laroq, harakat fanini tushundi. Eylerning "Mexanika" ning belgilovchi xususiyati yangi matematik apparat - differensial va integral hisoblardan keng foydalanish edi. 17-18-asrlar oxirida paydo bo'lgan mexanika bo'yicha asosiy ishlarni qisqacha tavsiflab, Eyler o'quvchilar uchun juda ko'p ishlarni yaratgan o'g'il-tetiko-geometrik uslubini ta'kidladi. “Nyuton elementlari” va undan keyingi “Foronomiya” (1716) J. Xerman shu tarzda yozilgan. Eyler, Hermann va Nyutonning asarlari «qadimgilarning odatiga ko‘ra, sintetik geometrik isbotlar yordamida» tahlildan foydalanmasdan bayon etilganligini, «faqat shu narsa orqaligina bu narsalarni to‘liq tushunishga erishish mumkin»ligini ta'kidlaydi.

Sintetik-geometrik usul umumlashtiruvchi xususiyatga ega emas edi, lekin qoida tariqasida, har bir vazifa uchun alohida konstruktsiyalarni talab qiladi. Eylerning e’tirof etishicha, “Foronomiya” va “Boshlanishlar”ni o‘rgangach, u o‘ziga o‘xshab ko‘rinib turganidek, “ko‘p masalalar yechimini juda aniq tushungan, biroq u endi ulardan ma’lum darajada chetga chiqqan masalalarni yecha olmadi”. Keyin u "ushbu sintetik usulning tahlilini ajratib olishga va analitik tarzda o'z manfaati uchun bir xil takliflarni bajarishga" harakat qildi. Eylerning qayd etishicha, shu tufayli u masalaning mohiyatini ancha yaxshi tushungan. U mexanika muammolarini o'rganishning printsipial jihatdan yangi usullarini ishlab chiqdi, uning matematik apparatini yaratdi va uni ko'plab murakkab masalalarga ajoyib tarzda qo'lladi. Eyler tufayli differensial geometriya, differensial tenglamalar va variatsiyalar hisobi mexanikaning quroliga aylandi. Keyinchalik uning vorislari tomonidan ishlab chiqilgan Eyler usuli bir ma'noli va mavzuga adekvat edi.

Eylerning qattiq jismning dinamikasi bo'yicha "Qattiq jismlar harakati nazariyasi" ishi olti bo'limdan iborat katta kirishga ega bo'lib, bu erda nuqta dinamikasi yana tasvirlangan. Kirish qismiga bir qator oʻzgartirishlar kiritildi: xususan, nuqtaning harakat tenglamalari qoʻzgʻalmas toʻrtburchaklar koordinatalar oʻqi boʻyicha (tangens, asosiy normal va normal, yaʼni oʻqda emas) proyeksiyasi yordamida yoziladi. "Mexanika" da bo'lgani kabi, traektoriya nuqtalari bilan bog'langan ko'chmas tabiiy triedrning).

Kirishdan keyingi "Qattiq jismlar harakati haqidagi risola" 19 bo'limdan iborat.Taksil d'Alember tamoyiliga asoslanadi.Qattiq jismning translatsiya harakati haqida qisqacha to'xtalib, inersiya markazi tushunchasi bilan tanishtiruvchi Eyler. qo'zg'almas o'q atrofida va qo'zg'almas nuqta atrofida aylanishlarni ko'rib chiqadi.Bu erda bir lahzali burchak tezligi, koordinata o'qlari bo'yicha burchak tezlanishining proyeksiyalari uchun formulalar, Eyler burchaklari deb ataladigan va boshqalar ishlatiladi.Keyingi, momentning xossalari. inertsiya tavsiflanadi, shundan so'ng Eyler qattiq jismning to'g'ri dinamikasiga o'tadi.U og'ir jismning tashqi kuchlar bo'lmaganda uning ko'chmas og'irlik markazi atrofida aylanishi uchun differensial tenglamalarni chiqaradi va ularni oddiy muayyan holat uchun yechadi. Giroskop nazariyasidagi hammaga ma'lum va bir xil darajada muhim masala qattiq jismning qo'zg'almas nuqta atrofida aylanishi haqida shunday paydo bo'ldi. Eyler shuningdek, gidro- va aeromexanika, ballistika nazarida kema qurish nazariyasi ustida ishlagan. barqarorlik nazariyasi va kichik tebranishlar nazariyasi, osmon mexanikasi va boshqalar.

"Mexanika" nashr etilganidan sakkiz yil o'tgach, Eyler fanni eng kam ta'sir printsipining birinchi aniq formulasi bilan boyitdi. Maupertuisga tegishli bo'lgan eng kam harakat tamoyilining shakllanishi hali ham juda nomukammal edi. Printsipning birinchi ilmiy formulasi Eylerga tegishli. U o'z printsipini quyidagicha shakllantirdi: agar hisobga olsak, integral haqiqiy traektoriya uchun eng kichik qiymatga ega.

umumiy boshlang'ich va yakuniy pozitsiyaga ega bo'lgan va bir xil energiya qiymati bilan amalga oshiriladigan mumkin bo'lgan traektoriyalar guruhidagi oxirgi. Eyler o'z printsipini aniq matematik ifoda va bitta moddiy nuqta uchun qat'iy asoslash bilan ta'minlaydi, markaziy kuchlarning harakatlarini sinab ko'radi. 1746-1749 yillarda b. Eyler egiluvchan ipning muvozanat raqamlari bo'yicha bir nechta maqolalar yozdi, bu erda elastik kuchlar ta'sir qiladigan masalalarga eng kam ta'sir printsipi qo'llaniladi.

Shunday qilib, 1744 yilga kelib, mexanika ikkita muhim tamoyil bilan boyidi: d'Alember printsipi va Mopertuis-Eulerning eng kam ta'sir printsipi. Ushbu tamoyillarga asoslanib, Lagranj analitik mexanika tizimini yaratdi.

Moddiy nuqta harakat qilganda, uning har bir vaqt momentidagi tezlanishi shunday bo'ladiki, nuqtaga qo'llaniladigan berilgan (faol) kuchlar, bog'lanishlar reaktsiyalari va xayoliy d'Alember kuchi F = - bu muvozanatli kuchlar tizimini tashkil qiladi.

Isbot. Massaga ega bo'lgan erkin bo'lmagan moddiy nuqtaning harakatini ko'rib chiqing T inertial sanoq sistemasida. Dinamikaning asosiy qonuni va obligatsiyalardan ozod qilish printsipiga ko'ra, bizda:

bu erda F - berilgan (faol) kuchlarning natijasi; N nuqtaga o'rnatilgan barcha bog'lanishlar reaktsiyalarining natijasidir.

(13.1) ni quyidagi shaklga aylantirish oson:

F vektor F = - bu d'Alember inertsiya kuchi, inersiya kuchi yoki oddiygina deyiladi d'Alembertning kuchi. Keyinchalik, biz faqat oxirgi atamani ishlatamiz.

D'Alember tamoyilini ramziy shaklda ifodalovchi (13.3) tenglama deyiladi kinetostatik tenglama moddiy nuqta.

Mexanik tizim (tizim P moddiy nuqtalar).

Har qanday uchun Kimga Mexanik tizimning uchinchi nuqtasi, tenglik (13.3) bajariladi:

Qayerda ? Kimga - ta'sir qiluvchi berilgan (faol) kuchlarning natijasi Kimga-chi nuqta; N Kimga - ustiga o'rnatilgan bog'larning reaksiyalari natijasidir k-chi nuqta; F k \u003d - bu k- d'Alembert kuchlari Kimga-chi nuqta.

Shubhasiz, agar F*, N* : , F* kuchlarning har uchligi uchun muvozanat shartlari (13.4) bajarilsa. (To = 1,. .., P), keyin butun tizim 3 P kuchlar

muvozanatlashgan.

Binobarin, har bir vaqt momentida mexanik tizimning harakati davomida unga ta'sir etuvchi faol kuchlar, bog'lanishlar reaksiyalari va sistema nuqtalarining d'Alember kuchlari muvozanatli kuchlar tizimini hosil qiladi.

Tizimning kuchlari (13.5) endi yaqinlashmaydi, shuning uchun statikadan (3.4-bo'lim) ma'lumki, uning muvozanati uchun zarur va etarli shartlar quyidagi shaklga ega:

(13.6) tenglamalar mexanik sistemaning kinetostatikasi tenglamalari deyiladi. Hisoblash uchun bu vektor tenglamalarining moment nuqtasidan o'tuvchi o'qlarga proyeksiyalari qo'llaniladi HAQIDA.

Izoh 1. Tizimning barcha ichki kuchlarining yig'indisi, shuningdek ularning har qanday nuqtaga nisbatan momentlari yig'indisi nolga teng bo'lganligi sababli (13.6) tenglamalarda faqat reaktsiyalarni hisobga olish kifoya. tashqi ulanishlar.

Kinetostatika tenglamalari (13.6) odatda sistemaning harakati berilganda mexanik tizim cheklovlarining reaksiyalarini va shuning uchun tizim nuqtalarining tezlanishlarini va ularga bog'liq bo'lgan d'Alember kuchlarini aniqlash uchun ishlatiladi. ma'lum.

1-misol Qo'llab-quvvatlash reaktsiyalarini toping A Va IN 5000 rpm chastotada bir xil aylanishi bilan mil.

Nuqta massalari milga qattiq bog'langan gp= 0,1 kg, t 2 = 0,2 kg. O'lchamlari ma'lum AC - CD - DB = 0,4 m h= 0,01 m Milning massasini ahamiyatsiz deb hisoblang.

Yechim. Ikki nuqtali massadan tashkil topgan mexanik tizim uchun d'Alember printsipidan foydalanish uchun biz diagrammada (13.2-rasm) berilgan kuchlarni (tortishish) Gi, G 2, N4, N # va d bog'lanish reaktsiyasini ko'rsatamiz. 'Alembert kuchlari F|, F 2.

Dalambres kuchlarining yo'nalishlari nuqta massalarining tezlanishiga qarama-qarshidir T b t 2y radiusli doiralarni bir xilda tasvirlaydi h eksa atrofida AB mil.

Biz tortishish kuchlari va Dalambres kuchlarining kattaliklarini topamiz:

Bu erda milning burchak tezligi hamkorlik 5000* l/30 = 523,6 s Oh, ah, Az, Gi, G 2 , 1Chd, N tf , F l F 2 parallel kuchlar yassi sistemasi uchun muvozanat shartlarini olamiz:

Momentlar tenglamasidan topamiz N in = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, va proyeksiya tenglamasidan

o'qi Oy: Na \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Kinetostatikaning (13.6) tenglamalaridan sistema harakatining differensial tenglamalarini olish uchun ham foydalanish mumkin, agar ular shunday tuzilgan bo'lsa, bog'lanish reaktsiyalari chiqarib tashlanadi va natijada bog'liqliklarni olish mumkin bo'ladi. berilgan kuchlarning tezlanishi.

Moddiy nuqta va mexanik tizim dinamikasidagi inersiya kuchlari

Inertsiya kuchi bilan Moddiy nuqta - bu nuqta massasi va uning tezlanishining ko'paytmasi, minus belgisi bilan olingan, ya'ni dinamikada inertial kuchlar quyidagi hollarda qo'llaniladi:

• 1. Moddiy nuqtaning harakatini o‘rganishda noinertial(harakatlanuvchi) koordinatalar tizimi, ya'ni nisbiy harakat. Bular inertsiyaning translatsiya va Koriolis kuchlari bo'lib, ular ko'pincha Eyler kuchlari deb ataladi.
• 2.Kinetostatika usuli yordamida dinamikaga oid masalalarni yechishda. Bu usul d'Alembert printsipiga asoslanadi, unga ko'ra moddiy nuqta yoki ma'lum bir tezlanish bilan harakatlanadigan moddiy nuqtalar tizimining inersiya kuchlari. inertial mos yozuvlar tizimi. Bu inersiya kuchlari d'Alember kuchlari deyiladi.
• 3. D'Alember inertsiya kuchlari dinamikaga oid masalalarni Lagranj-D'Alember prinsipi yoki dinamikaning umumiy tenglamasi yordamida yechishda ham qo'llaniladi.

Dekart koordinatalari o'qlariga proyeksiyalarda ifodalash

Qayerda - Dekart koordinata o'qi bo'yicha nuqta tezlanish proyeksiyalarining modullari.

Nuqtaning egri chiziqli harakati bilan inersiya kuchini tangensial va normalga ajratish mumkin:; , - tangensial va normal tezlanishlar moduli; - traektoriyaning egrilik radiusi;

V- nuqta tezligi.

moddiy nuqta uchun d'Alember printsipi

Agar bepul bo'lmasa qo'llaniladigan faol kuchlar va bog'lanishlarning reaktsiya kuchlari ta'sirida harakatlanadigan moddiy nuqtaga uning inertsiya kuchini qo'llang, keyin istalgan vaqtda hosil bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatlanadi, ya'ni bu kuchlarning geometrik yig'indisi nolga teng bo'ladi.

mexanik nuqta tanasi materiali

Qayerda - nuqtaga qo'llaniladigan faol kuchlarning natijasi; - nuqtaga o'rnatilgan bog'lanishlar reaktsiyalarining natijasi; moddiy nuqtaning inertsiya kuchi. Eslatma: Aslida, moddiy nuqtaning inertsiya kuchi nuqtaning o'ziga emas, balki shu nuqtaga tezlanish beradigan jismga qo'llaniladi.

Mexanik tizim uchun d'Alember printsipi

geometrik yig'indi tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning asosiy vektorlari va tizimning barcha nuqtalarining inertial kuchlari, shuningdek, istalgan vaqtda erkin bo'lmagan mexanik tizim uchun ma'lum bir markazga nisbatan bu kuchlarning asosiy momentlarining geometrik yig'indisi nolga teng, ya'ni.

Qattiq jism inersiya kuchlarining bosh vektori va bosh momenti

Ushbu mexanik tizimga kiritilgan har bir qattiq jism uchun tizim nuqtalarining inertsiya kuchlarining asosiy vektori va asosiy momenti alohida aniqlanadi. Ularning ta'rifi ma'lum bir markazga ixtiyoriy kuchlar tizimini olib kelish haqida statikadan ma'lum bo'lgan Puinsot usuliga asoslangan.

Ushbu usulga asoslanib, tananing barcha nuqtalarining inertial kuchlari uning harakatining umumiy holatida massa markaziga keltirilishi va asosiy vektor * va asosiy moment bilan almashtirilishi mumkin. massa markazi haqida. Ular formulalar bo'yicha aniqlanadi ya'ni har qanday uchun qattiq jismning harakati, inertsiya kuchlarining asosiy vektori tana massasi va tananing massa markazining tezlashishi ko'paytmasiga minus belgisi bilan teng; ,Qaerda r kc -- radius vektori k-chi massa markazidan chizilgan nuqta. Ushbu formulalar, xususan, qattiq jismning harakatlanish holatlarida quyidagi shaklga ega:

1. Progressiv harakat.

2. Jismning massa markazidan o'tuvchi o'q atrofida aylanishi

3. Tekis-parallel harakat

Analitik mexanikaga kirish

Analitik mexanikaning asosiy tushunchalari

Analitik mexanika- mexanika sohasi (bo'limi), unda mexanik tizimlarning harakati yoki muvozanati har qanday mexanik tizimlar uchun qo'llaniladigan umumiy, yagona analitik usullar yordamida o'rganiladi.

Keling, analitik mexanikaning eng xarakterli tushunchalarini ko'rib chiqaylik.

1. Bog'lanishlar va ularning tasnifi.

Ulanishlar-- jismlar shaklidagi har qanday cheklovlar yoki mexanik tizim nuqtalarining harakatiga qo'yiladigan har qanday kinematik sharoitlar. Bu cheklovlar tenglamalar yoki tengsizliklar sifatida yozilishi mumkin.

Geometrik bog'lanishlar-- tenglamalari faqat nuqtalar koordinatalarini o'z ichiga olgan ulanishlar, ya'ni cheklovlar faqat nuqtalar koordinatalariga qo'yiladi. Bu jismlar, sirtlar, chiziqlar va boshqalar shaklidagi bog'lanishlardir.

Differensial ulanishlar-- nafaqat nuqtalar koordinatalariga, balki ularning tezligiga ham cheklovlar qo'yadigan ulanishlar.

Golonomik aloqalar - barcha geometrik bog'lanishlar va tenglamalari integrallanishi mumkin bo'lgan differensiallar.

Golonomik bo'lmagan cheklovlar-- differensial integrallanmaydigan ulanishlar.

Statsionar aloqa -- tenglamalari vaqtni aniq o'z ichiga olmaydigan ulanishlar.

Statsionar bo'lmagan kommunikatsiyalar- vaqt o'tishi bilan o'zgaruvchan, ya'ni tenglamalari vaqtni aniq o'z ichiga olgan bog'lanishlar.

Ikki tomonlama (tutish) aloqalari -- nuqtaning ikki qarama-qarshi yo‘nalishda harakatini cheklovchi zvenolar. Bunday bog'lanishlar tenglamalar bilan tavsiflanadi .

Bir tomonlama(saqlanmaydigan) zvenolar - faqat bitta yo'nalishda harakatni cheklaydigan bog'lanishlar. Bunday bog'lanishlar tengsizliklar bilan tavsiflanadi

2. Mumkin (virtual) va haqiqiy harakatlar.

Mumkin yoki virtual mexanik tizim nuqtalarining siljishlari - bu tizimga qo'yilgan cheklovlar bilan ruxsat etilgan xayoliy cheksiz kichik siljishlar.

Mumkin Mexanik tizimning siljishi - cheklashlarga mos keladigan tizim nuqtalarining bir vaqtning o'zida mumkin bo'lgan siljishlari to'plami. Mexanik tizim krank mexanizmi bo'lsin.

Mumkin bo'lgan harakat nuqtasi A siljish kichikligi tufayli to'g'ri chiziqli deb hisoblanadi va unga perpendikulyar yo'naltirilgan. O.A.

Mumkin bo'lgan harakat nuqtasi IN(slayder) yo'riqnomalarda harakatlanmoqda. Krankning mumkin bo'lgan harakati O.A burchak bilan aylanish va bog'lovchi novda AB -- MCS atrofida burchak ostida (nuqta R).

Yaroqli Tizim nuqtalarining siljishlari elementar siljishlar deb ham ataladi, ular bir-birining ustiga o'rnatilgan bog'lanishlarga imkon beradi, lekin harakatning boshlang'ich shartlari va tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarni hisobga oladi.

Darajalar soni erkinlik S Mexanik tizim - bu ma'lum bir vaqtning o'zida tizim nuqtalariga etkazilishi mumkin bo'lgan mustaqil mumkin bo'lgan siljishlar soni.

Mumkin bo'lgan siljishlar printsipi (Lagrange printsipi)

Mumkin bo'lgan siljishlar printsipi yoki Lagranj printsipi qo'llaniladigan faol kuchlar ta'sirida erkin bo'lmagan mexanik tizimning muvozanat holatini ifodalaydi. Printsipni shakllantirish.

Balans uchun Amaldagi faol kuchlar ta'sirida tinch holatda bo'lgan ikki tomonlama, statsionar, golonomik va ideal cheklovlarga ega bo'lgan erkin bo'lmagan mexanik tizim uchun barcha faol kuchlarning elementar ishlarining yig'indisi istalgan o'qga teng bo'lishi zarur va etarlidir. tizimning ko'rib chiqilgan muvozanat holatidan mumkin bo'lgan siljishi:

Dinamikaning umumiy tenglamasi (Lagranj-D'Alember printsipi)

Dinamikaning umumiy tenglamasi jismlari yoki nuqtalari maʼlum tezlanishlar bilan harakatlanadigan erkin boʻlmagan mexanik tizimlar harakatini oʻrganishda qoʻllaniladi.

D'Alember printsipiga ko'ra, mexanik tizimga qo'llaniladigan faol kuchlar, bog'lanishlarning reaktsiya kuchlari va tizimning barcha nuqtalarining inersiya kuchlari yig'indisi muvozanatli kuchlar tizimini tashkil qiladi.

Agar bunday tizimga mumkin bo'lgan siljishlar printsipi (Lagranj printsipi) qo'llanilsa, u holda biz birlashtirilgan Lagranj-D'Alember printsipini yoki dinamikaning umumiy tenglamasi.ushbu tamoyilni shakllantirish.

Erkin emas harakatlanayotganda Ikki tomonlama, ideal, statsionar va golonomik cheklovlarga ega mexanik tizimning barcha mumkin bo'lgan siljishida tizim nuqtalariga qo'llaniladigan barcha faol kuchlar va inersiya kuchlarining elementar ishlari yig'indisi nolga teng:

Ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari

Lagranj tenglamalari ikkinchi turga mexanik tizimning umumlashtirilgan koordinatalardagi harakatining differentsial tenglamalari kiradi.

bilan tizim uchun S erkinlik darajalari, bu tenglamalar shaklga ega

Farq sistemaning kinetik energiyasining umumlashtirilgan tezlikka nisbatan qisman hosilasining umumiy vaqt hosilasi va kinetik energiyasining umumlashtirilgan koordinataga nisbatan qisman hosilasi umumlashtirilgan kuchga teng.

Konservativ mexanik tizimlar uchun Lagranj tenglamalari. Siklik koordinatalar va integrallar

Konservativ sistema uchun umumlashgan kuchlar sistemaning potentsial energiyasi bo'yicha formula bo'yicha aniqlanadi

Keyin Lagranj tenglamalari ko'rinishda qayta yoziladi

Tizimning potentsial energiyasi faqat umumlashtirilgan koordinatalarning funktsiyasi bo'lganligi sababli, ya'ni buni hisobga olgan holda, biz uni quyidagi shaklda ifodalaymiz. T - P \u003d L - Lagrange funktsiyasi (kinetik potensial). Nihoyat, konservativ tizim uchun Lagranj tenglamalari

Mexanik tizimning muvozanat holatining barqarorligi

Mexanik tizimlarning muvozanat holatining barqarorligi masalasi tizimlarning tebranishlari nazariyasida bevosita ahamiyatga ega.

Muvozanat holati barqaror, beqaror va befarq bo'lishi mumkin.

barqaror muvozanat holati - bu holatdan kelib chiqqan mexanik tizimning nuqtalari keyinchalik muvozanat holatiga yaqin joyda kuchlar ta'sirida harakatlanadigan muvozanat holati.

Bu harakat vaqt o'tishi bilan turli darajadagi takrorlanishga ega bo'ladi, ya'ni tizim tebranish harakatini amalga oshiradi.

beqaror muvozanat holati - muvozanat pozitsiyasi, undan tizim nuqtalarining o'zboshimchalik bilan kichik og'ishi bilan kelajakda harakat qiluvchi kuchlar nuqtalarni muvozanat holatidan olib tashlaydi. .

befarq muvozanat holati - muvozanat holati, bunda tizim nuqtalarining yangi pozitsiyadan har qanday kichik boshlang'ich og'ishi uchun tizim ham muvozanatda qoladi. .

Mexanik tizimning barqaror muvozanat holatini aniqlashning turli usullari mavjud.

ga asoslangan barqaror muvozanat ta'rifini ko'rib chiqing Lagranj-Diriklet teoremalari

Agar pozitsiyada bo'lsa ideal va statsionar cheklovlarga ega bo'lgan konservativ mexanik tizimning muvozanati, uning potentsial energiyasi minimal bo'lsa, u holda bu muvozanat holati barqaror bo'ladi.

Ta'sir hodisasi. Ta'sir kuchi va zarba impulsi

Jismning nuqtalarining tezliklari arzimas darajada kichik vaqt oralig'ida cheklangan miqdorga o'zgarishi hodisasi deyiladi. puflamoq. Bu vaqt davri deyiladi ta'sir qilish vaqti. Ta'sir paytida zarba kuchi cheksiz kichik vaqt davomida ta'sir qiladi. zarba kuchi ta'sir paytidagi impulsi cheklangan qiymat bo'lgan kuch deb ataladi.

Agar modul cheklangan kuch bo'lsa vaqt o'tishi bilan harakat qiladi, bir vaqtning o'zida harakatini boshlaydi , keyin uning impulsi shaklga ega bo'ladi

Bundan tashqari, ta'sir kuchi moddiy nuqtaga ta'sir qilganda, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin:

ta'sir paytida oniy bo'lmagan kuchlarning ta'sirini e'tiborsiz qoldirish mumkin;

ta'sir paytida moddiy nuqtaning harakatiga e'tibor bermaslik mumkin;

ta'sir kuchining moddiy nuqtaga ta'siri natijasi uning tezligi vektorining ta'siri paytidagi yakuniy o'zgarishda ifodalanadi.

Mexanik tizim impulsining zarba ta'sirida o'zgarishi haqidagi teorema

ta'sir paytida mexanik tizim momentumining o'zgarishi tizim nuqtalariga qo'llaniladigan barcha tashqi zarba impulslarining geometrik yig'indisiga teng; Qayerda - ta'sir kuchlari ta'sirini tugatish paytida mexanik tizimning harakat miqdori, - ta'sir kuchlari harakat qila boshlagan paytdagi mexanik tizimning harakat miqdori, - tashqi zarba impulsi.

D'Alember printsipi mexanik tizimlar dinamikasi muammolarini statika muammolari sifatida shakllantirish imkonini beradi. Bunda harakatning dinamik differensial tenglamalari muvozanat tenglamalari ko'rinishida beriladi. Bunday usul deyiladi kinetostatik usul .

Moddiy nuqta uchun d'Alember printsipi: « Moddiy nuqta harakati vaqtining har bir lahzasida unga amalda taʼsir etuvchi faol kuchlar, bogʻlanishlar reaksiyalari va nuqtaga shartli ravishda qoʻllaniladigan inersiya kuchi muvozanatlashgan kuchlar tizimini hosil qiladi.»

nuqta inertsiya kuchi Kuchning oʻlchami mutlaq qiymatda nuqta massasi va uning tezlanishi koʻpaytmasiga teng boʻlgan va tezlanish vektoriga teskari yoʻnaltirilgan vektor kattalik deyiladi.

. (3.38)

Mexanik tizimni d'Alember printsipiga ko'ra, har biriga muvozanatli kuchlar tizimi ta'sir qiladigan moddiy nuqtalar to'plami sifatida ko'rib chiqsak, biz ushbu printsipdan tizimga nisbatan oqibatlarga egamiz. Tizimga qo'llaniladigan har qanday tashqi kuchlar markaziga nisbatan asosiy vektor va asosiy moment va uning barcha nuqtalarining inersiya kuchlari nolga teng:

(3.39)

Bu erda tashqi kuchlar faol kuchlar va aloqalarning reaktsiyalari.

Inersiya kuchlarining asosiy vektori Mexanik tizimning massasi tizim massasi va uning massa markazi tezlanishining mahsulotiga teng va bu tezlanishga teskari yo'nalishda yo'naltirilgan.

. (3.40)

Inersiya kuchlarining asosiy momenti ixtiyoriy markazga nisbatan tizim HAQIDA bir xil markazga nisbatan uning burchak momentumining vaqt hosilasiga teng

. (3.41)

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan qattiq jism uchun Oz, bu o'qqa nisbatan inersiya kuchlarining asosiy momentini topamiz

. (3.42)

3.8. Analitik mexanikaning elementlari

“Analitik mexanika” bo‘limida moddiy tizimlar mexanikasidagi masalalarni yechishning umumiy tamoyillari va analitik usullari ko‘rib chiqiladi.

3.8.1.Tizimning mumkin bo'lgan harakatlari. Tasniflash

ba'zi ulanishlar

Mumkin bo'lgan nuqta harakatlari
Ularning har qanday xayoliy, cheksiz kichik siljishlari, tizimga qo'yilgan cheklashlar tomonidan ruxsat etilgan vaqtning belgilangan nuqtasida mexanik tizimlar deyiladi. A-prior, erkinlik darajalari soni mexanik tizim - uning mustaqil mumkin bo'lgan siljishlari soni.

Tizimga yuklangan ulanishlar deyiladi ideal , agar tizim nuqtalarining har qanday mumkin bo'lgan siljishiga reaktsiyalarining elementar ishlarining yig'indisi nolga teng bo'lsa.

. (3. 43)

Tizimning istalgan pozitsiyasida ular tomonidan qo'yilgan cheklovlar saqlanib qolgan ulanishlar deyiladi ushlab turish . Vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydigan, tenglamalarida vaqt aniq bo'lmagan munosabatlar deyiladi statsionar . Tizim nuqtalarining faqat siljishlarini cheklaydigan ulanishlar deyiladi geometrik , va cheklovchi tezliklar kinematik . Kelajakda biz faqat geometrik munosabatlarni va integratsiya orqali geometrik munosabatlarga tushirilishi mumkin bo'lgan kinematik munosabatlarni ko'rib chiqamiz.

3.8.2. Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi

Cheklovchi ideal va statsionar cheklovlarga ega mexanik tizimning muvozanati uchun zarur va etarli.

tizimning har qanday mumkin bo'lgan siljishi bo'yicha unga ta'sir qiluvchi barcha faol kuchlarning elementar ishlarining yig'indisi nolga teng edi.

. (3.44)

Koordinata o'qlari bo'yicha proyeksiyalarda:

. (3.45)

Mumkin bo'lgan siljishlar printsipi har qanday mexanik tizimning alohida qismlarining muvozanatini hisobga olmasdan, uning muvozanati uchun shartlarni umumiy shaklda o'rnatishga imkon beradi. Bunday holda, faqat tizimga ta'sir qiluvchi faol kuchlar hisobga olinadi. Ideal bog'larning noma'lum reaktsiyalari bu shartlarga kiritilmagan. Shu bilan birga, bu printsip ideal bog'lanishlarning noma'lum reaktsiyalarini ushbu bog'larni tashlab, ularning reaktsiyalarini faol kuchlar soniga kiritish orqali aniqlash imkonini beradi. Reaktsiyalari aniqlanishi kerak bo'lgan bog'lanishlar bekor qilinganda, tizim qo'shimcha ravishda tegishli erkinlik darajalariga ega bo'ladi.

1-misol . Kuchlar orasidagi munosabatni toping Va jek, agar tutqichning har bir burilishi bilan ma'lum bo'lsa AB = l, vint BILAN darajada kengayadi h(3.3-rasm).

Yechim

Mexanizmning mumkin bo'lgan harakatlari - tutqichning aylanishi  va yukning harakati  h. Kuchlarning elementar ishining nolga tenglik sharti:

pl– Qh = 0;

Keyin
. beri h 0, keyin

3.8.3. Dinamikaning umumiy variatsion tenglamasi

dan tashkil topgan sistemaning harakatini ko'rib chiqaylik n ball. Unda faol kuchlar harakat qiladi va bog'lanish reaktsiyalari .(k = 1,…,n) Agar ta'sir etuvchi kuchlarga nuqtalarning inersiya kuchlarini qo'shsak
, u holda d'Alember printsipiga ko'ra, hosil bo'lgan kuchlar tizimi muvozanatda bo'ladi va shuning uchun mumkin bo'lgan siljishlar printsipi asosida yozilgan ifoda (3.44) o'rinli:

. (3.46)

Agar barcha ulanishlar ideal bo'lsa, u holda 2-summa nolga teng va koordinata o'qlari bo'yicha proyeksiyalarda tenglik (3.46) quyidagicha ko'rinadi:

Oxirgi tenglik koordinata o'qlaridagi proyeksiyalarda dinamikaning umumiy variatsion tenglamasi bo'lib, u mexanik tizim harakatining differentsial tenglamalarini tuzish imkonini beradi.

Dinamikaning umumiy variatsion tenglamasi matematik ifodadir d'Alembert-Lagrange printsipi: « Tizim harakatda bo'lganda, har qanday vaqt momentida statsionar, ideal, cheklovchi cheklovlar ostida, tizimga qo'llaniladigan barcha faol kuchlarning elementar ishlari va tizimning har qanday mumkin bo'lgan siljishidagi inersiya kuchlarining yig'indisi bo'ladi. nolga teng».

2-misol . Uch tanadan iborat mexanik tizim (3.4-rasm) uchun yuk 1 tezlashishini va kabelning 1-2 kuchlanishini aniqlang, agar: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; 2-blokning aylanish radiusi i = 1,5r 2. Rolik 3 uzluksiz bir hil diskdir.

Yechim

Mumkin bo'lgan siljish  ustida elementar ish bajaradigan kuchlarni tasvirlaymiz s yuk 1:

Biz barcha jismlarning mumkin bo'lgan siljishlarini 1 yukning mumkin bo'lgan siljishi orqali yozamiz:

Biz barcha jismlarning chiziqli va burchak tezlanishlarini 1-yukning kerakli tezlashishi bilan ifodalaymiz (nisbatlar mumkin bo'lgan siljishlar bilan bir xil):

.

Ushbu muammoning umumiy variatsion tenglamasi quyidagi shaklga ega:

Oldin olingan iboralarni faol kuchlar, inertial kuchlar va mumkin bo'lgan siljishlar o'rniga qo'yib, oddiy o'zgarishlardan so'ng, biz olamiz

 dan beri s 0, shuning uchun tezlanishni o'z ichiga olgan qavs ichidagi ifoda nolga teng A 1 , qayerda a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Yukni ushlab turadigan kabelning kuchlanishini aniqlash uchun biz yukni kabeldan chiqarib, uning harakatini kerakli reaktsiya bilan almashtiramiz. . Berilgan kuchlarning ta'siri ostida ,va yukga qo'llaniladigan inertial kuch
u muvozanatda. Shuning uchun, d'Alembert printsipi ko'rib chiqilgan yuk (nuqta) uchun qo'llaniladi, ya'ni. buni yozamiz
. Bu yerdan
.

3.8.4. 2-turdagi Lagranj tenglamasi

Umumlashtirilgan koordinatalar va umumlashtirilgan tezliklar. Kosmosdagi mexanik tizimning o'rnini yagona aniqlaydigan har qanday o'zaro mustaqil parametrlar deyiladi umumlashtirilgan koordinatalar . Bu koordinatalar belgilangan q 1 ,....q i , har qanday o'lchamga ega bo'lishi mumkin. Xususan, umumlashtirilgan koordinatalar siljishlar yoki aylanish burchaklari bo'lishi mumkin.

Ko'rib chiqilayotgan tizimlar uchun umumlashtirilgan koordinatalar soni erkinlik darajalari soniga teng. Tizimning har bir nuqtasining joylashuvi umumlashtirilgan koordinatalarning bir qiymatli funktsiyasidir

Shunday qilib, tizimning umumlashtirilgan koordinatalardagi harakati quyidagi bog'liqliklar bilan aniqlanadi:

Umumlashtirilgan koordinatalarning birinchi hosilalari deyiladi umumlashtirilgan tezliklar :
.

Umumiy kuchlar. Kuchning elementar ishi uchun ifoda mumkin bo'lgan harakatda
kabi ko'rinadi:

.

Kuchlar tizimining elementar ishi uchun biz yozamiz

Olingan bog'liqliklardan foydalanib, bu ifoda quyidagicha yozilishi mumkin:

,

umumlashgan kuch qayerga mos keladi i- umumlashtirilgan koordinata;

. (3.49)

Shunday qilib, mos keladigan umumiy kuch i-umumlashtirilgan koordinata - tizimning mumkin bo'lgan siljishi bo'yicha faol kuchlarning elementar ishlari yig'indisini ifodalashda ushbu koordinataning o'zgarish koeffitsienti. . Umumlashtirilgan kuchni hisoblash uchun tizimga mumkin bo'lgan siljish haqida xabar berish kerak, bunda faqat umumlashtirilgan koordinata o'zgaradi. q i. Koeffitsient at
va kerakli umumlashgan kuch bo'ladi.

Umumlashtirilgan koordinatalarda tizim harakati tenglamalari. Mexanik tizim bilan berilgan bo'lsin s erkinlik darajalari. Unga ta'sir qiluvchi kuchlarni bilib, umumlashtirilgan koordinatalarda harakatning differensial tenglamalarini tuzish kerak.
. Biz tizim harakatining differensial tenglamalarini tuzish tartibini - 2-turdagi Lagranj tenglamalarini - erkin moddiy nuqta uchun ushbu tenglamalarni chiqarishga o'xshash tarzda qo'llaymiz. Nyutonning 2-qonuniga asoslanib yozamiz

Biz ushbu tenglamalarning analogini moddiy nuqtaning kinetik energiyasi uchun yozuvdan foydalanib olamiz,

Tezlikning o'qdagi proyeksiyasiga nisbatan kinetik energiyaning qisman hosilasi
bu o'qdagi harakat miqdori proyeksiyasiga teng, ya'ni.

Kerakli tenglamalarni olish uchun hosilalarni vaqt bo'yicha hisoblaymiz:

Olingan tenglamalar sistemasi moddiy nuqta uchun 2-turdagi Lagranj tenglamalaridir.

Mexanik tizim uchun biz 2-turdagi Lagranj tenglamalarini faol kuchlar proektsiyalari o'rniga tenglamalar shaklida ifodalaymiz. P x , P y , P z umumlashgan kuchlardan foydalaning Q 1 , Q 2 ,...,Q i va umumiy holatda kinetik energiyaning umumlashtirilgan koordinatalarga bog'liqligini hisobga olish.

Mexanik tizim uchun 2-turdagi Lagranj tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega:

. (3.50)

Ular geometrik, ideal va cheklovchi cheklovlarga ega bo'lgan har qanday mexanik tizimning harakatini o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

3-misol . Oldingi misolda ma'lumotlar berilgan mexanik tizim uchun (3.5-rasm) 2-turdagi Lagranj tenglamasidan foydalangan holda harakatning differentsial tenglamasini tuzing,

Yechim

Mexanik tizim bir daraja erkinlikka ega. Umumlashtirilgan koordinata uchun biz yukning chiziqli harakatini olamiz q 1 = s; umumiy tezlik - . Shularni hisobga olib, 2-turdagi Lagranj tenglamasini yozamiz

.

Sistemaning kinetik energiyasi uchun ifoda tuzamiz

.

Biz barcha burchak va chiziqli tezliklarni umumlashtirilgan tezlik bilan ifodalaymiz:

Endi olamiz

Mumkin bo'lgan siljish  bo'yicha elementar ish ifodasini tuzib, umumlashtirilgan kuchni hisoblaymiz s barcha faol kuchlar. Ishqalanish kuchlarisiz tizimdagi ish faqat yukning og'irligi 1 bilan amalga oshiriladi
Umumlashgan kuchni  da yozamiz s, elementar ishda koeffitsient sifatida Q 1 = 5mg. Keyinchalik topamiz

Nihoyat, tizim harakatining differentsial tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: