Keling, Ostrogradskiyning ko'p integral ustidagi ishiga batafsil to'xtalib o'tamiz.
Ostrogradskiyning uch karrali integralni qo'sh integralga aylantirish formulasi, biz uni odatda shaklda yozamiz.
bu erda div A - A vektor maydonining divergensiyasi,
An - A vektorining skalyar ko'paytmasi va chegara sirtining tashqi normal n birlik vektori, matematik adabiyotlarda u ko'pincha Gauss va Green nomlari bilan bog'langan.
Aslida, Gaussning sferoidlarni jalb qilish bo'yicha ishida faqat (1) formulaning juda alohida holatlarini ko'rish mumkin, masalan, P=x, Q=R=0 va hokazo. J. Greenga kelsak, unda uning elektr nazariyasi bo'yicha ishi va formula (1) ning magnitlanishi umuman yo'q; u uchlik va ikkilamchi integrallar orasidagi boshqa munosabatni, ya'ni Laplas operatori uchun Grin formulasini keltirib chiqaradi, uni quyidagicha yozish mumkin.
Albatta, (1) formulani (2) dan ham olish mumkin
va formula (2) ni (1) formuladan aynan bir xil tarzda olish mumkin, lekin Green buni qilishni xayoliga ham keltirmagan.
bu erda chap tomonda - hajm ustidagi integral, o'ngda - chegara yuzasi ustidagi integral va bular tashqi normalning yo'nalish kosinuslari.
Ostrogradskiyning Parij qo'lyozmalari integral teoremaning (1) kashfiyoti ham, birinchi xabari ham unga tegishli ekanligiga to'liq ishonch bilan guvohlik beradi. U birinchi marta 1826 yil 13 fevralda Parij Fanlar akademiyasiga taqdim etilgan "Integral hisob teoremasining isboti" da aytilgan va isbotlangan, shundan so'ng u "Integral hisob teoremasining isboti" da aytilgan va isbotlangan, shundan so'ng u yana o'sha qismida shakllantirilgan Ostrogradskiy 1827 yil 6 avgustda taqdim etgan "Qattiq jismlarda issiqlik tarqalishi haqidagi xotiralar". "Xotira" Furye va Puassonga ko'rib chiqish uchun berilgan va ikkinchisi, albatta, uni birinchi sahifalardagi yozuv sifatida o'qib chiqdi. qo'lyozmaning har ikki qismi guvohlik beradi. Albatta, Puasson o'zining elastiklik nazariyasi bo'yicha ishini taqdim etishdan ikki yil oldin Ostrogradskiy ishida tanishgan teorema uchun kredit olishni xayoliga ham keltirmadi.
Ostrogradskiy va Grinning ko'p sonli integrallar bo'yicha ishlari o'rtasidagi munosabatga kelsak, biz "Issiqlik nazariyasi bo'yicha eslatma" da Grinning o'z formulasini juda alohida holat sifatida qamrab olgan formula olinganligini eslaymiz. Ostrogradskiy eslatmada ishlatgan Koshining hozirgacha notanish ramziy ma'nosi yaqin vaqtgacha ushbu muhim kashfiyotni tadqiqotchilardan yashirib kelgan. Albatta, kashfiyot sharafi va 1828 yilda uning nomi bilan atalgan Laplas operatorlari formulasining birinchi nashri Grin bilan qoladi.
Uch karrali integralni qo'sh integralga aylantirish formulasining ochilishi Ostrogradskiyga n-katta integralni o'zgartirish masalasini hal qilishga yordam berdi, ya'ni integralni n-o'lchovli bo'lgan divergensiya tipidagi ifodadan o'zgartirishning umumiy formulasini olish. domen va uni L(x, y, z,…)=0 tenglama bilan chegaralovchi S ustki sirt ustidagi integral. Agar oldingi belgiga yopishib olsak, formula shaklga ega
Biroq, Ostrogradskiy biz ishlatadigan geometrik tasvirlar va atamalarni ishlatmadi: ko'p o'lchovli bo'shliqlar geometriyasi o'sha paytda hali mavjud emas edi.
“Ko‘p integrallarning o‘zgarishini hisoblash to‘g‘risida”gi memuarda bunday integrallar nazariyasidagi yana ikkita muhim masala ko‘rib chiqiladi. Birinchidan, Ostrogradskiy ko'p o'lchovli integralda o'zgaruvchilarning o'zgarishi formulasini oladi; ikkinchidan, u birinchi marta tegishli chegaralar doirasida har bir o‘zgaruvchi ustidan ketma-ket n ta integrallash yordamida n-katta integralni hisoblash texnikasining to‘liq va aniq tavsifini beradi. Nihoyat, ushbu memuarda keltirilgan formulalardan ko'p o'lchovli integral parametriga nisbatan differensiallashning umumiy qoidasini chiqarish oson, bunda nafaqat integratsiya, balki integratsiya sohasining chegarasi ham ushbu parametrga bog'liq. Ushbu qoida memuarda mavjud bo'lgan formulalardan shunday tabiiy tarzda kelib chiqadiki, keyinchalik matematiklar uni hatto ushbu xotira formulalaridan biri bilan aniqladilar.
Ostrogradskiy ko'p integrallarda o'zgaruvchilarni o'zgartirishga maxsus ish bag'ishladi. Ikkilamchi integral uchun tegishli qoida Eyler tomonidan, uchlik uchun - Lagrange tomonidan rasmiy o'zgartirishlar yordamida olingan. Biroq, Lagranjning natijasi to'g'ri bo'lsa-da, uning mulohazalari to'g'ri emas edi: u eski va yangi o'zgaruvchilardagi hajm elementlari - koordinatalar bir-biriga teng ekanligidan kelib chiqqandek tuyuldi. Ostrogradskiy boshida xuddi shunday xatoga yo'l qo'ygan, o'zgaruvchilarni o'zgartirish qoidasining yuqorida aytib o'tilgan hosilasida. Ostrogradskiy "Ko'p integrallarda o'zgaruvchilarni o'zgartirish to'g'risida" maqolasida Lagranj xatosini ochib berdi, shuningdek, birinchi marta o'zgaruvchilarni qo'sh integralga aylantirishning illyustratsion geometrik usulini ko'rsatdi, u ham biroz qat'iyroq formatda taqdim etiladi. qo'llanmalarimizda. Aniqrog‘i, integraldagi o‘zgaruvchilar formulalar bo‘yicha o‘zgartirilganda, integrallash sohasi u=const, v=const ikkita sistemaning koordinata chiziqlari orqali cheksiz kichik egri chiziqli to‘rtburchaklarga bo‘linadi. Keyin integralni avval uning cheksiz tor egri chiziqli chiziqqa mos keladigan elementlarini qo'shib, so'ngra barcha elementlar tugaguncha chiziqlar bo'ylab yig'ishni davom ettirish orqali olish mumkin. Oddiy hisob-kitoblar kichik yuqori tartibligacha parallelogramm sifatida ko'rib chiqilishi mumkin bo'lgan maydonni beradi, bu erda ifoda maydon ijobiy bo'lishi uchun tanlangan. Natija hammaga ma'lum formuladir
Rossiya Federatsiyasi Ta'lim va fan vazirligi
Kurs ishi
Fan bo'yicha: Oliy matematika
(Chiziqli dasturlash asoslari)
Mavzu bo'yicha: KO'P INTEGRALLAR
Tomonidan qilingan: ______________
O'qituvchi:__________
Sana ___________________
Baho ________________
Imzo ________________
VORONEJ 2008 yil
1 Ko'paytmali integrallar
1.1 Ikki tomonlama integral
1.2 Uch karrali integral
1.3 Egri chiziqli koordinatalarda ko‘paytmali integrallar
1.4 Ko'p integrallarning geometrik va fizik qo'llanilishi
2 Egri chiziqli va sirt integrallari
2.1 Egri chiziqli integrallar
2.2 Yuzaki integrallar
2.3 Geometrik va fizik ilovalar
Bibliografiya
1 Ko'paytmali integrallar
1.1 Ikki tomonlama integral
L to'g'ri chiziq bilan chegaralangan Oksi tekisligidagi yopiq D hududni ko'rib chiqaylik. Bu mintaqani bir nechta chiziqlar bilan n qismga ajratamiz.
, va bu qismlarning har biridagi nuqtalar orasidagi mos keladigan eng katta masofalar d 1, d 2, ..., d n bilan belgilanadi. Har bir qismda R i nuqtani tanlaymiz.D sohada z = f(x, y) funksiya berilsin. Tanlangan nuqtalarda bu funksiyaning qiymatlarini f(P 1), f(P 2),…, f(P n) bilan belgilang va f(P i)DS i ko‘rinishdagi mahsulotlar yig‘indisini tuzing:
, (1)
D sohasidagi f(x, y) funksiyaning integral yig‘indisi deyiladi.
Agar integral yig'indilarning bir xil chegarasi mavjud bo'lsa (1) uchun
va , bu D sohasini qismlarga bo‘lish usuliga ham, ulardagi P i nuqtalarni tanlashga ham bog‘liq bo‘lmasa, u holda f(x, y) funksiyaning D sohasi bo‘yicha qo‘sh integrali deyiladi va bo‘ladi. belgilangan
. (2)
Chiziqlar bilan chegaralangan D maydoni bo'yicha qo'sh integralni hisoblash
x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
= 
(3)
1.2 Uch karra integral
Uch karrali integral tushunchasi qo'sh integral bilan o'xshashlik yo'li bilan kiritilgan.
Yopiq S sirt bilan chegaralangan qandaydir V sohasi fazoda berilgan bo'lsin.Bu yopiq sohada uzluksiz f(x, y, z) funksiyani aniqlaymiz. Keyin har bir qismning hajmini Dv i ga teng hisobga olgan holda V mintaqani ixtiyoriy qismlarga Dv i ga ajratamiz va shaklning integral yig‘indisini tuzamiz.
, (4)Cheklash vaqti
V sohani bo‘lish usuliga va ushbu sohaning har bir subdomenidagi P i nuqtalarni tanlashga bog‘liq bo‘lmagan integral yig‘indilar (11), f(x, y, z) funksiyaning uch karrali integrali deyiladi. V domen:
. (5)
f(x,y,z) funksiyaning V sohadagi uch karrali integrali bir xil sohadagi uch karrali integralga teng:
. (6)
1.3 Egri chiziqli koordinatalarda ko‘paytmali integrallar
Biz tekislikda egri chiziqli koordinatalarni kiritamiz, ular qutbli deb ataladi. Biz O nuqtani (qutb) va undan chiqadigan nurni (qutb o'qi) tanlaymiz.
Guruch. 2-rasm. 3
M nuqtaning koordinatalari (2-rasm) MO segmentining uzunligi - qutb radiusi r va MO va qutb o'qi orasidagi ph burchagi bo'ladi: M(r,ph). E'tibor bering, tekislikning barcha nuqtalari uchun, qutbdan tashqari, r > 0 va qutb burchagi ph soat miliga teskari yo'nalishda o'lchanganda ijobiy va teskari yo'nalishda o'lchanganda salbiy hisoblanadi.
M nuqtaning qutb va dekkart koordinatalari o'rtasidagi munosabatni o'rnatish mumkin, agar Dekart koordinatalar sistemasining kelib chiqishi qutbga, musbat yarim o'q Ox qutb o'qiga to'g'ri kelsa (3-rasm). Keyin x=rcosph, y=rsinph . Bu yerdan
, tg. r=P 1 (ph) va r=P 2 (ph) egri chiziqlar bilan chegaralangan D mintaqasiga o‘rnatamiz, bu yerda ph 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
(7)
Uch o'lchovli fazoda silindrsimon va sferik koordinatalar kiritiladi.
P(r,ph,z) nuqtaning silindrsimon koordinatalari bu nuqtaning Oksi tekisligiga proyeksiyasining r, ph qutb koordinatalari va shu nuqtaning z ilovasi (5-rasm).
5-rasm 6-rasm
Silindrdan dekart koordinatalariga o'tkazish formulalarini quyidagicha ko'rsatish mumkin:
x = rcosph, y = rsinph, z = z. (8)
Sferik koordinatalarda nuqtaning fazodagi o'rni chiziqli koordinata r - nuqtadan Dekart koordinata sistemasining (yoki sferik sistemaning qutbiga) masofasi, ph - musbat koordinatalar orasidagi qutb burchagi bilan aniqlanadi. Ox yarim o'qi va nuqtaning Oksi tekisligiga proyeksiyasi va th - Oz o'qining musbat yarim o'qi va OP segmenti orasidagi burchak (6-rasm). Qayerda
Sferik koordinatadan dekart koordinatalariga o'tish uchun formulalarni o'rnatamiz:
x = rsinthcosph, y = rsinthsinph, z = rcosth. (9)
Keyin uch karrali integralda silindrsimon yoki sferik koordinatalarga o'tish uchun formulalar quyidagicha ko'rinadi:
, (10)
Bu yerda F 1 va F 2 funksiyalarni silindrsimon (8) yoki sferik (9) koordinatalar bo‘yicha ifodalarini f funktsiyaga x, y, z o‘rniga qo‘yish orqali olinadi.
1.4 Ko'p integrallarning geometrik va fizik qo'llanilishi
1) S tekislik maydoni:
(11)1-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan D shaklining maydonini toping
Bu maydonni y ni tashqi o'zgaruvchi sifatida hisoblash orqali hisoblash qulay. Keyin mintaqaning chegaralari tenglamalar bilan beriladi
Va 
qismlar bo'yicha integratsiya yordamida hisoblanadi: 
Ilgari biz aniq integralning xossalarini uning ta'rifini yig'indilar chegarasi sifatida isbotlagan edik. Ko'p integrallarning asosiy xossalarini aynan bir xil tarzda isbotlash mumkin. Oddiylik uchun biz barcha funktsiyalar uzluksiz deb faraz qilamiz, shunda ularning integrallari albatta mantiqiy bo'ladi.
I. O'zgarmas omilni integral belgisidan chiqarish mumkin va funktsiyalarning chekli yig'indisining integrali hadlar integrallari yig'indisiga teng:
II. Agar maydon cheklangan miqdordagi qismlarga [masalan, ikki qismga bo'lingan bo'lsa, u holda butun maydon bo'yicha integral barcha qismlardagi integrallarning yig'indisiga teng bo'ladi:
III. Agar hududda bo'lsa, unda
Ayniqsa :
IV. Agar u (a) hududida belgini saqlaydigan bo'lsa, u holda formula bilan ifodalangan o'rtacha qiymat teoremasi bajariladi.
mintaqa (a) ichida qaysidir nuqta qaerda joylashgan.
Xususan, biz olganimizda
mintaqaning maydoni qayerda.
Xuddi shunday xususiyatlar uch karrali integral uchun ham amal qiladi. E'tibor bering, qo'sh va uch karrali integralni yig'indining chegarasi sifatida belgilashda har doim integrallash mintaqasi chekli va integratsiya har qanday holatda ham chegaralangan deb hisoblanadi, ya'ni shunday ijobiy A soni mavjudki, barcha nuqtalarda N bo'ladi. integratsiya hududi. Agar bu shartlar bajarilmasa, u holda integral oddiy aniq integral holatiga o'xshash tarzda noto'g'ri integral sifatida mavjud bo'lishi mumkin. Biz 8-§da noto'g'ri ko'p integrallarni ko'rib chiqamiz.
Ogoh bo'ling Integratsiya oralig'ida singulyar nuqtalari bo'lgan noto'g'ri integrallarni hisoblashda siz Nyuton-Leybnits formulasini mexanik ravishda qo'llay olmaysiz, chunki bu xatolarga olib kelishi mumkin.
Umumiy qoida: Nyuton-Leybnits formulasi to'g'ri bo'ladi, agar ning anti hosilasi bo'lsa f(x) ikkinchisining yagona nuqtasida uzluksiz.
2.11-misol.
X = 0 singulyar nuqtali noto'g'ri integralni ko'rib chiqing. Rasmiy ravishda qo'llaniladigan Nyuton-Leybnits formulasi
Biroq, bu erda umumiy qoida amal qilmaydi; f(x) = 1/x uchun antiderivativ ln |x| x = 0 da aniqlanmagan va bu nuqtada cheksiz katta, ya'ni. bu vaqtda uzluksiz emas. To'g'ridan-to'g'ri tekshirish orqali integralning farqlanishini tekshirish oson. Haqiqatan ham,
Olingan noaniqlikni turli yo'llar bilan hal qilish mumkin, chunki e va d mustaqil ravishda nolga intiladi. Xususan, e = d deb faraz qilsak, 0 ga teng noto'g'ri integralning asosiy qiymatini olamiz. Agar e = 1/n va d =1/n 2 bo'lsa, ya'ni. d e ga qaraganda 0 ga tezroq intiladi, biz olamiz
da va aksincha,
bular. integral ajralib chiqadi.n
2.12-misol.
X = 0 singulyar nuqtali noo'rin integralni ko'rib chiqaylik. Funktsiyaning anti hosilasi ko'rinishga ega va x = 0 nuqtada uzluksizdir. Shuning uchun biz Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashimiz mumkin:
Aniq Riman integrali tushunchasining bir necha o‘zgaruvchili funksiya holatiga tabiiy umumlashtirish ko‘p integral tushunchasidir. Ikki o'zgaruvchining holati uchun bunday integrallar deyiladi ikki barobar.
Ikki o'lchovli Evklid fazosida ko'rib chiqing R´R, ya'ni. Dekart koordinata tizimiga ega bo'lgan tekislikda, to'plam E tugatish maydoni S.
Belgilang ( i = 1, …, k) bo'limni o'rnatish E, ya'ni. uning kichik to'plamlarining bunday tizimi E i , i = 1,. . ., k bu Ø i ¹ j uchun va (2.5-rasm). Bu erda kichik to'plam bilan belgilanadi E i uning chegarasisiz, ya'ni. E i kichik to'plamning ichki nuqtalari, uning chegarasi bilan birga Gr E men yopiq kichik to'plamni hosil qilaman E men, . Hudud ekanligi aniq S(E i) kichik to'plamlar E men uning ichki qismining maydoniga to'g'ri keladi, chunki chegara maydoni GrE men nolga teng.
d(E i) bilan belgilang diametrini belgilang E i, ya'ni. uning ikkita nuqtasi orasidagi maksimal masofa. l(t) = d(E i) miqdori deyiladi bo'linishning nozikligi t. Agar f(x),x = (x, y) funksiya E da ikkita argument funksiyasi sifatida aniqlansa, shaklning istalgan yig‘indisi
X i O E i, i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),
f funktsiyaga ham, t bo'limiga ham va x i n nuqtalarni tanlashga qarab E i m t deyiladi. f funktsiyaning integral yig'indisi .
Agar f funksiya uchun t bo'limlariga yoki nuqtalarni tanlashga (i = 1, …, k) bog'liq bo'lmagan mavjud bo'lsa, bu chegara deyiladi. Riemann qo'sh integrali f(x,y) dan va belgilanadi
Bu holda f funksiyaning o'zi chaqiriladi Riemann integrallanishi mumkin.
Eslatib o'tamiz, to'plam sifatida bitta argumentning funktsiyasi bo'lsa E, qaysi ustidan integratsiya amalga oshiriladi, segment odatda olinadi , va uning t bo'limi sifatida biz segmentlardan iborat bo'limni ko'rib chiqamiz. Aks holda, ko'rish oson bo'lganidek, Riemann qo'sh integralining ta'rifi bir argumentning funktsiyasi uchun aniq Riemann integralining ta'rifini takrorlaydi.
Ikki o'zgaruvchining cheklangan funktsiyalarining Riemann qo'sh integrali bitta argumentli funktsiyalar uchun aniq integralning odatiy xususiyatlariga ega - chiziqlilik, qo'shimchalilik integratsiya amalga oshiriladigan to'plamlarga nisbatan, saqlash integratsiyalashganda qat'iy bo'lmagan tengsizliklar, mahsulotning integratsiyalashuvi integrallanadigan funktsiyalar va boshqalar.
Ko'p Riemann integrallarini hisoblash hisoblash uchun kamayadi takrorlangan integrallar. Ikki tomonlama Riman integrali misolini ko'rib chiqaylik. Funktsiyaga ruxsat bering f(x,y) X ´ Y, E Ì X ´ Y to'plamlarning dekart ko'paytmasida yotgan E to'plamda aniqlanadi.
Takrorlangan integral f(x, y) funksiyasining integral deyiladi, unda turli o‘zgaruvchilar ustidan integrasiya ketma-ket bajariladi, ya’ni. shaklning integrali
E(y) = (x:
Takrorlangan integral uchun quyidagi yozuv ham qo'llaniladi:
qaysi, oldingi kabi, birinchi, bir sobit uchun, degan ma'noni anglatadi y, y O E y, funksiya birlashtirilgan f(x, y) tomonidan x segment bo'ylab E(y), bu to'plamning bir qismidir E bunga mos keladi y. Natijada, ichki integral bitta o'zgaruvchining ba'zi funktsiyasini belgilaydi - y. Keyin bu funktsiya tashqi integral belgisi bilan ko'rsatilganidek, bitta o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida integrallanadi.
Integratsiya tartibini o'zgartirish shaklning takrorlangan integraliga olib keladi
bu erda ichki integratsiya amalga oshiriladi y, va tashqi - x. Ushbu takrorlangan integral yuqorida tavsiflangan takrorlangan integral bilan qanday taqqoslanadi?
Funktsiyaning qo'sh integrali bo'lsa f, ya'ni.
u holda ikkala takrorlangan integral ham mavjud bo'ladi va ular qiymat jihatidan bir xil va ikki barobarga teng, ya'ni.
Biz shuni ta'kidlaymizki, bu bayonotda takrorlangan integrallarda integrallash tartibini o'zgartirish imkoniyati uchun tuzilgan shart faqat yetarli lekin kerak emas.
Boshqa etarli shartlar takrorlangan integrallarda integrallash tartibini o'zgartirish imkoniyatlari quyidagicha ifodalanadi:
agar integrallardan kamida bittasi mavjud bo'lsa
keyin funksiya f(x, y) Riemann to'plamda integrallash mumkin E, uning ikkala takrorlangan integrali ham mavjud va qoʻsh integralga teng. n
Takrorlangan integrallar yozuvida proyeksiyalar va kesmalarning tasvirlarini konkretlashtiramiz.
Agar E to'rtburchak bo'lsa
Bu E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); unda E(y) = E x har qanday y, y n E y uchun. , A E(x) = E y har qanday x uchun , x O E x ..
Rasmiy belgi: " y y O E yÞ E(y) = E xÙ" x x O E xÞ E(x) = E y
Agar E to'plami mavjud bo'lsa egri chiziqli chegara va vakillik qilish imkonini beradi
Bu holda takrorlangan integrallar quyidagicha yoziladi:
2.13-misol.
Ikki tomonlama integralni to'rtburchaklar maydoni bo'ylab hisoblang, uni takrorlanganga kamaytiring.
Chunki sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, so'ngra takrorlangan integrallardan birortasining mavjudligi ko'rinishidagi qo'sh integral I mavjudligi uchun etarli shartlarning maqsadga muvofiqligini tekshirish.
Bu erda maxsus bajarish shart emas va siz darhol takrorlangan integralni hisoblashga o'tishingiz mumkin.
Agar u mavjud bo'lsa, u holda qo'sh integral ham mavjud va I = I 1 . Chunki
Shunday qilib, men = .n
2.14-misol.
Ikkilamchi integralni uchburchak mintaqa bo'ylab hisoblang (2.6-rasmga qarang), uni iteratsiyaga kamaytiring.
Gr(E) = (
Birinchidan, biz qo'sh integral I mavjudligini tekshiramiz. Buning uchun takrorlangan integralning mavjudligini tekshirish kifoya.
bular. integrallar integratsiya oraliqlarida uzluksizdir, chunki ularning barchasi quvvat funksiyalaridir. Demak, I 1 integrali mavjud. Bunday holda, qo'sh integral ham mavjud va har qanday takrorlanganga teng, ya'ni.
2.15-misol.
Ikkilamchi va takrorlangan integral tushunchalari o'rtasidagi bog'liqlikni yaxshiroq tushunish uchun birinchi o'qishda o'tkazib yuborilishi mumkin bo'lgan quyidagi misolni ko'rib chiqing. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi berilgan f(x, y)
E'tibor bering, bu funksiya qat'iy x uchun y da toq, sobit y uchun esa x da toq. Ushbu funktsiya integrallangan E to'plami sifatida biz E = ( kvadratini olamiz.
Avval takrorlangan integralni ko'rib chiqaylik
Ichki integral
qo'zg'almas y uchun olinadi, -1 £ y £ 1. Ruxsat etilgan y uchun integrasiya x da toq bo'lgani uchun va bu o'zgaruvchi ustidagi integrasiya [-1, 1] segmenti bo'yicha amalga oshiriladi, u nisbatan simmetrikdir. 0 nuqtaga, u holda ichki integral 0 ga teng. Shubhasiz, nol funksiyaning y o'zgaruvchisi ustidagi tashqi integral ham 0 ga teng, ya'ni.
Ikkinchi takrorlangan integral uchun shunga o'xshash fikr bir xil natijaga olib keladi:
Demak, ko'rib chiqilayotgan f(x, y) funksiya uchun takrorlangan integrallar mavjud va bir-biriga teng. Lekin f(x, y) funksiyaning qo'sh integrali mavjud emas. Buni tekshirish uchun takrorlangan integrallarni hisoblashning geometrik ma'nosiga murojaat qilaylik.
Takrorlangan integralni hisoblash uchun
maxsus shakldagi E kvadratining bo'limi, shuningdek integral yig'indilarning maxsus hisobi qo'llaniladi. Ya'ni, E kvadrat gorizontal chiziqlarga bo'linadi (2.7-rasmga qarang) va har bir chiziq kichik to'rtburchaklarga bo'linadi. Har bir satr y o'zgaruvchining qandaydir qiymatiga mos keladi; masalan, chiziqning gorizontal o'qining ordinatasi bo'lishi mumkin.
Integral summalar quyidagicha hisoblanadi: birinchidan, summalar har bir band uchun alohida hisoblanadi, ya'ni. har xil x uchun sobit y da, keyin esa bu oraliq summalar turli bandlar uchun yig'iladi, ya'ni. turli y uchun. Agar bo'limning nozikligi nolga moyil bo'lsa, u holda chegarada biz yuqorida ko'rsatilgan takrorlangan integralni olamiz.
Ikkinchi takrorlangan integral uchun bu aniq
E to'plami turli x ga mos keladigan vertikal chiziqlar bilan bo'linadi. Kichik to'rtburchaklar bilan har bir tarmoqli ichida kichik to'plamlar hisoblanadi, ya'ni. y dan ortiq, keyin esa ular turli bantlar uchun yig'iladi, ya'ni. x. Limitda, bo'limning nozikligi nolga teng bo'lsa, biz mos keladigan takrorlangan integralni olamiz.
Ikki tomonlama integral mavjud emasligini isbotlash uchun bo'limga bitta misol keltirish kifoya, uning ustida integral yig'indilarini hisoblash chegarada, bo'limning nozikligi nolga moyil bo'lgan holda, qiymatdan farqli natija beradi. takrorlangan integrallardan. Keling, qutb koordinata tizimiga (r, j) mos keladigan bunday bo'linishga misol keltiramiz (2.8-rasmga qarang).
Qutbli koordinatalar sistemasida M 0 (x 0, y 0) tekislikdagi istalgan nuqtaning holati, bunda x 0, y 0 M 0 nuqtaning dekart koordinatalari - radiusning r 0 uzunligi bilan aniqlanadi. uni koordinata boshiga ulash va bu tomonidan hosil qilingan burchak j 0 musbat x o'qi yo'nalishi bo'lgan radius (burchak soat sohasi farqli ravishda hisoblanadi). Dekart va qutb koordinatalari o'rtasidagi bog'liqlik aniq:
y 0 = r 0 × sinj 0 .
| |
Bo'lim quyidagi tarzda qurilgan. Birinchidan, E kvadrat koordinatalar markazidan chiqadigan radiuslar bo'yicha sektorlarga bo'linadi, so'ngra har bir sektor sektor o'qiga perpendikulyar chiziqlar orqali kichik trapetsiyalarga bo'linadi. Integral yig'indilarni hisoblash quyidagicha amalga oshiriladi: birinchi navbatda, har bir sektor ichidagi kichik trapezoidlar bo'ylab o'z o'qi bo'ylab (r bo'ylab), keyin esa - barcha sektorlar bo'ylab (j bo'ylab). Har bir sektorning joylashuvi uning o'qi j burchagi bilan tavsiflanadi va uning o'qining uzunligi r(j) bu burchakka bog'liq:
agar yoki , keyin ;
bo'lsa, keyin;
agar , keyin
bo'lsa, keyin.
Bo'limning nozikligi nolga moyil bo'lgan qutbli bo'linishning integral yig'indilarining chegarasiga o'tib, qutb koordinatalarida qo'sh integralni olamiz. Dekart koordinatalarini (x, y) qutbli (r, j) bilan almashtirib, bunday belgini sof formal usulda ham olish mumkin.
Integrallarni dekartdan qutb koordinatalariga o'tish qoidalariga ko'ra, ta'rif bo'yicha:
Qutbli koordinatalarda f(x, y) funksiyani quyidagicha yozish mumkin:
Nihoyat bizda bor
Oxirgi formulada ichki integral (noto'g'ri).
Bu erda yuqorida ko'rsatilgan r(j) funktsiya 0 £ j £ 2p , har qanday j uchun +¥ ga teng, chunki
Shuning uchun j ga qarab baholangan tashqi integraldagi integral hech qanday j uchun aniqlanmaydi. Ammo keyin tashqi integralning o'zi aniqlanmaydi, ya'ni. asl qo'sh integral aniqlanmagan.
E'tibor bering, f(x, y) funksiya E to'plam ustida qo'sh integral mavjudligi uchun etarli shartni qanoatlantirmaydi. Integral ekanligini ko'rsatamiz.
mavjud emas. Haqiqatan ham,
Xuddi shunday, integral uchun ham xuddi shunday natija o'rnatiladi
Ikki tomonlama integral tushunchasi
Qo‘sh integral (DI) bir o‘zgaruvchili funktsiyaning aniq integralini (DI) ikkita o‘zgaruvchili funksiya holatiga umumlashtirishdir.
$z=f\left(x,y\right)$ uzluksiz manfiy bo'lmagan funksiya $xOy$ koordinata tekisligida joylashgan $D$ yopiq domenida aniqlansin. $z=f\left(x,y\right)$ funksiyasi $D$ mintaqasiga proyeksiyalangan ba'zi sirtlarni tavsiflaydi. $D$ hududi $L$ yopiq chiziq bilan chegaralangan, uning chegara nuqtalari ham $D$ mintaqasiga tegishli. $L$ chizigʻi $y=\vartheta \left(x\right)$ yoki $x=\psi \left(y\right)$ koʻrinishdagi tenglamalar orqali berilgan chekli miqdordagi uzluksiz egri chiziqlardan hosil boʻladi, deb faraz qilamiz. .
$D$ domenini $\Delta S_(i) $ maydoni bo'lgan $n$ ixtiyoriy bo'limlarga ajratamiz. Har bir segmentda biz bitta ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Ushbu nuqtalarning har birida berilgan $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$ funksiyaning qiymatini hisoblaymiz. $z=f\left(x,y\right)$ sirtining $\Delta S_(i) $ segmentiga proyeksiyalangan qismi ostidagi hajmni ko'rib chiqamiz. Geometrik jihatdan bu hajmni taxminan asosi $\Delta S_(i) $ va balandligi $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$ boʻlgan silindrning hajmi sifatida ifodalash mumkin, yaʼni. $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $ mahsulotiga teng. Keyin $D$ mintaqasidagi butun sirt ostidagi hajm $z=f\left(x,y\right)$ taxminan barcha silindrlar hajmlarining yigʻindisi sifatida hisoblanishi mumkin $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Bu summa $D$ da $f\left(x,y\right)$ funksiyasi uchun integral yig'indi deb ataladi.
$\Delta S_(i) $ segmentining $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ diametrini ushbu segmentning chekka nuqtalari orasidagi eng katta masofa deb ataymiz. $D$ mintaqasidagi barcha boʻlimlarning diametrining eng kattasini $\lambda $ bilan belgilang. $D$ boʻlimini cheksiz $n\to \infty $ takomillashtirish tufayli $\lambda \to 0$ boʻlsin.
Ta'rif
Agar $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $ integral yigʻindisining chegarasi boʻlsa, bu son $f\left(x,y\) funksiyaning CI deb ataladi. o'ng)$ $D $ domeni ustida va $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ yoki $I=\iint \limits _(D)f\ deb belgilang. chap(x,y\o'ng) \cdot dx\cdot dy$.
$D$ hududi integratsiya hududi, $x$ va $y$ integratsiya oʻzgaruvchilari, $dS=dx\cdot dy$ esa hudud elementi deb ataladi.
Ta'rifdan CI ning geometrik ma'nosi kelib chiqadi: u qandaydir egri chiziqli silindr hajmining aniq qiymatini beradi.
Ikki tomonlama integrallarning qo'llanilishi
tana hajmi
DI geometrik ma'nosiga ko'ra, yuqoridan $z=f\left(x,y\right)\ge 0$ yuzasi bilan, pastdan $D$ yuzasi bilan chegaralangan ba'zi jismning hajmi $V$. Generatorlari $Oz$ oʻqiga parallel boʻlgan va yoʻnaltiruvchi chizigʻi $D$ ($L$ chiziq) konturi boʻlgan silindrsimon yuzaning yon tomonlarida $xOy$ tekislik $V formulasi bilan hisoblanadi. =\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Tana $z=f_(2) \left(x,y\right)$ sirtini yuqoridan, $z=f_(1) \left(x,y\right)$ sirtini pastdan bogʻlab tursin va $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. Har ikki sirtning $xOy$ tekisligiga proyeksiyasi bir xil $D$ domeni. Keyin bunday jismning hajmi $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y) formulasi bilan hisoblanadi. \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.
Faraz qilaylik, $D$ domenida $f\left(x,y\right)$ funksiyasi belgini o'zgartiradi. Keyin tegishli jismning hajmini hisoblash uchun $D$ hududini ikki qismga bo'lish kerak: qismi $D_(1) $, bu erda $f\left(x,y\right)\ge 0$ va qismi $D_(2) $, bu erda $f\left(x,y\o'ng)\le 0$. Bunday holda, $D_(1) $ mintaqasi ustidagi integral musbat bo'ladi va tananing $xOy$ tekisligidan yuqorida joylashgan qismining hajmiga teng bo'ladi. $D_(2)$ dan yuqori integral manfiy bo'ladi va mutlaq qiymatda tananing $xOy$ tekisligi ostida joylashgan qismining hajmiga teng bo'ladi.
Yassi figuraning maydoni
Agar $f\left(x,y\right)\equiv 1$ ni $D$ domenining hamma joyiga $xOy$ koordinata tekisligida qo‘ysak, DI son jihatdan $D integratsiya domenining maydoniga teng bo‘ladi. $, ya'ni $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. Qutbli koordinatalar tizimida xuddi shu formula $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $ ga aylanadi.
Erkin sirt maydoni
$z=f_(1) \left(x,y\right)$ tenglamasi bilan berilgan ba'zi $Q$ sirt $xOy$ koordinata tekisligiga $D_(1) $ mintaqasiga proyeksiyalansin. Bunda $Q$ sirt maydoni $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\qisman z)(\qisman x) formulasi yordamida hisoblanishi mumkin. \right)^ (2) +\left(\frac(\qisman z)(\qisman y) \o'ng)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.
Moddaning miqdori
Faraz qilaylik, sirt zichligi $\rho \left(x,y\right)$ boʻlgan baʼzi moddalar $xOy$ tekisligida $D$ domenida taqsimlangan. Bu shuni anglatadiki, sirt zichligi $\rho \left(x,y\right)$ $D$ ning $dx\cdot dy$ birlik maydonidagi materiya massasi. Bunday sharoitda moddalarning umumiy massasini $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $ formulasi yordamida hisoblash mumkin.
E'tibor bering, "modda" elektr zaryadi, issiqlik va boshqalar bo'lishi mumkin.
Tekislik figurasining massa markazining koordinatalari
Tekislik figurasining massa markazining koordinatalarini hisoblash formulalari: $$$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x,y\right) \cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy ) (M) $.
Numeratorlardagi qiymatlar mos ravishda $Oy$ va $Ox$ oʻqlari boʻyicha $D$ tekislik figurasining $M_(y)$ va $M_(x)$ statik momentlari deb ataladi.
Agar tekis figura bir hil bo'lsa, ya'ni $\rho =const$ bo'lsa, bu formulalar soddalashtiriladi va massa bo'yicha emas, balki $S$ tekis figurasining maydoni bo'yicha ifodalanadi: $x_(c) =\frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy ) (S) $.
Tekislik figurasi maydonining inersiya momentlari
$xOy$ tekisligidagi moddiy tekislik figurasini ko'rib chiqamiz. Uni ma'lum bir $D$ maydoni sifatida tasvirlaylik, uning ustida umumiy massasi $M$ o'zgaruvchan sirt zichligi $\rho \left(x,y\right)$ bo'lgan modda tarqalgan.
Yassi figura maydonining inersiya momentining o'qiga nisbatan qiymati $Oy$: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho(x,\;y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. $Ox$ o'qiga nisbatan inersiya momentining qiymati: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot \; dx\; \cdot dy $. Yassi figuraning koordinata o'qlariga nisbatan inersiya momenti yig'indisiga teng, ya'ni $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.
Uch o'zgaruvchining funktsiyalari uchun uch karrali integrallar kiritilgan.
Faraz qilaylik, $S$ yopiq sirt bilan chegaralangan, uch oʻlchamli fazoning baʼzi $V$ mintaqasi berilgan. Er yuzasida yotgan nuqtalar ham $V$ mintaqasiga tegishli deb faraz qilamiz. Faraz qilaylik, ba'zi uzluksiz $f\left(x,y,z\right)$ funksiyasi $V$ da berilgan. Masalan, $f\left(x,y,z\right)\ge 0$ shartida bunday funktsiya ba'zi moddalarning hajmli taqsimlanish zichligi, harorat taqsimoti va boshqalar bo'lishi mumkin.
$V$ domenini $n$ ixtiyoriy qismlarga ajratamiz, ularning hajmlari $\Delta V_(i) $. Har bir qismda biz bitta ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. Bu nuqtalarning har birida berilgan $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$ funksiyaning qiymatini hisoblaymiz.
$\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \ integral yig‘indisini hosil qilamiz. Delta V_ (i) $ va $\left(n\to \infty \o'ng)$ bo'linmasini cheksiz muddatga aniqlang, shunda $V$ ning barcha qismlarining eng katta diametri $\lambda $ $\Delta V_(i) $ cheksiz ravishda kamayadi. $ \left(\lambda \to 0\right)$.
Ta'rif
Yuqoridagi shartlarda ushbu integral yig‘indining $I$ chegarasi mavjud bo‘lib, $V$ domenidagi $f\left(x,y,z\right)$ funksiyasining uch karrali integrali deb ataladi va $I bilan belgilanadi. \; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV$ yoki $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz $.
