Innehåll 4
Från översättningsredaktör 10
Förord ​​till tredje upplagan 13
Förord ​​till andra upplagan 15
Förord ​​till första upplagan 16
Beteckningar 20
Kapitel 1. Inledning 22
§ 1. Elasticitet 22
§ 2. Spänningar 23
§ 3. Beteckningar för krafter och påkänningar 24
§ 4. Stresskomponenter 25
§ 5. Komponenter av deformationer 26
§ 6. Hookes lag 28
7 §. Indexnotation 32
Problem 34
Kapitel 2. Planspänningstillstånd och planspänning 35
§ 8. Planspänningen bestod av 35
§ 9. Plandeformation 35
§ 10. Stress vid punkt 37
§ 11. Deformationer vid punkt 42
§ 12. Mätning av ytdeformationer 44
§ 13. Konstruktion av Mohr-deformationscirkeln för rosett 46
§ 14. Differentialekvationer 46
15 §. Avgränsningsvillkor 47
§ 16. Kompatibilitetsekvationer 48
§ 17. Stressfunktion 50
Problem 52
Kapitel 3. Tvådimensionella problem i rektangulära koordinater 54
18 § Lösning i polynom 54
§ 19. Sluteffekter. Saint-Venants princip 58
§ 20. Fastställande av förskjutningar 59
§ 21. Böjning av konsolen laddad i slutet 60
§ 22. Böjning av en balk med jämn belastning 64
23 § Övriga fall av balkar med kontinuerlig lastfördelning 69
§ 24. Lösning av ett tvådimensionellt problem med hjälp av Fourier-serien 71
§ 25. Andra tillämpningar av Fourier-serien. Egenviktsbelastning 77
§ 26. Kondomernas inverkan. Egna funktioner 78
Problem 80
Kapitel 4. Tvådimensionella problem i polära koordinater 83
§ 27. Allmänna ekvationer i polära koordinater 83
§ 28. Polarsymmetrisk spänningsfördelning 86
§ 29. Ren bockning av krökta balkar 89
§ 30. Komponenter av deformationer i polära koordinater 93
§ 31. Förskjutningar vid symmetriska spänningsnollor 94
§ 32. Roterande skivor 97
§ 33. Böjning av en krökt balk med en kraft anbringad i slutet av 100
§ 34. Kantförskjutningar 105
§ 35. Ett runt håls inverkan på spänningsfördelningen i plattan 106
§ 36. Koncentrerad kraft applicerad någon gång på en rätlinjig gräns 113
§ 37. Godtycklig vertikal belastning på en rak gräns 119
§ 38. Kraft som verkar på spetsen av kilen 125
§ 39. Böjmoment som verkar på spetsen av kilen 127
§ 40. Verkning på en stråle med koncentrerad kraft 128
§ 41. Spänning i en rund skiva 137
§ 42. Kraft som verkar vid en punkt på en oändlig platta 141
§ 43. Generaliserad lösning av ett tvådimensionellt problem i polära koordinater 146
§ 44. Tillämpningar av den generaliserade lösningen i polära koordinater 150
§ 45. Kil lastad längs kanterna 153
§ 46. Egna lösningar för kilar och utskärningar 155
Problem 158
Kapitel 5. Experimentella metoder. Fotoelasticitetsmetod och moirémetod 163
§ 47. Experimentella metoder och provning av teoretiska lösningar 163
§ 48. Mätning av spänningar med fotoelastisk metod 163
§ 49. Cirkulärt polariskop 169
50 § Exempel på bestämning av spänningar med fotoelastisk metod 171
§ 51. Bestämning av huvudspänningar 174
§ 52. Metoder för fotoelasticitet i det tredimensionella fallet 175
§ 53. Moiremetoden 177
Kapitel 6. Tvådimensionella problem i kurvlinjära koordinater 180
§ 54. Funktioner hos en komplex variabel 180
§ 55. Analytiska funktioner och Laplaces ekvation 182
§ 56. Stressfunktioner uttryckta genom harmoniska och komplexa funktioner 184
§ 57. Förskjutningar motsvarande en given spänningsfunktion 186
§ 58. Uttryck av spänningar och förskjutningar genom komplexa potentialer 188
§ 59. Resultatet av spänningar som verkar längs en viss kurva. Gränsvillkor 190
§ 60. Krökta koordinater 193
§ 61. Spänningskomponenter i kurvlinjära koordinater 196
Problem 198
§ 62. Lösningar i elliptiska koordinater. Elliptiskt hål i en platta med enhetligt spänningstillstånd 198
§ 63. Elliptiskt hål i en platta utsatt för enaxlig spänning 202
§ 64. Hyperboliska gränser. Utskärningar 206
§ 65. Bipolära koordinater 208
§ 66. Lösningar i bipolära koordinater 209
§ 67. Bestämning av komplexa potentialer utifrån givna randvillkor. Metoder av N. I. Muskhelishvili 214
68 § Formler för komplexa potentialer 217
§ 69. Egenskaper hos spänningar och töjningar som motsvarar komplexa potentialer analytiska i området för materialet beläget runt hålet 219
§ 70. Satser för gränsintegraler 221
§ 71. Kartläggningsfunktion ω(ξ) för ett elliptiskt hål. Andra gränsintegralen 224
§ 72. Elliptiskt hål. Formel för ψ(ζ) 225
§ 73. Elliptiskt hål. Särskilda problem 226
Problem 229
Kapitel 7. Spännings- och töjningsanalys i det rumsliga fallet 230
§ 74. Inledning 230
§ 75. Rektor betonar 232
§ 76. Spänningsellipsoid och spänningsstyryta 233
§ 77. Bestämning av huvudspänningar 234
§ 78. Stressinvarianter 235
§ 79. Bestämning av maximal skjuvspänning 236
§ 80. Homogen deformation 238
§ 81. Deformationer vid en punkt på kroppen 239
§ 82. Deformationers huvudaxlar 242
§ 83. Rotation 243
Problem 245
Kapitel 8. Allmänna satser 246
§ 84. Differentialjämviktsekvationer 246
§ 85. Villkor för förenlighet 247
§ 86. Bestämning av rörelser 250
§ 87. Jämviktsekvationer i förskjutningar 251
§ 88. Allmän lösning för rörelser 252
§ 89. Superpositionsprincip 253
§ 90. Deformationsenergi 254
§ 91. Töjningsenergi för en kantdislokation 259
92 §. Principen om virtuellt arbete 261
§ 93. Castiglianos sats 266
§ 94. Tillämpningar av principen om minimiarbete. Rektangulära plattor 270
§ 95. Effektiv bredd på breda balkflänsar 273
Problem 279
§ 96. Lösningens unikhet 280
§ 97. Reciprocitetssats 282
§ 98. Ungefärlig karaktär av lösningar för ett plant spänningstillstånd 285
Problem 287
Kapitel 9. Elasticitetsteorins elementära tredimensionella problem 289
§ 99. Homogent spänningstillstånd 289
§ 100. Spänning av en prismatisk stav under inverkan av sin egen vikt 290
§ 101. Vridning av runda axlar med konstant tvärsnitt 293
§ 102. Ren böjning av prismatiska stavar 294
§ 103. Ren böjning av plåtar 298
Kapitel 10. Torsion 300
§ 104. Torsion av raka stavar 300
§ 105. Elliptiskt tvärsnitt 305
§ 106. Andra elementära lösningar 307
§ 107. Membrananalogi 310
§ 108. Torsion av en stång med smalt rektangulärt tvärsnitt 314
§ 109. Torsion av rektangulära stavar 317
§ 110. Ytterligare resultat 320
§ 111. Lösa torsionsproblem med energimetoden 323
§ 112. Torsion av stänger av valsade profiler 329
§ 113. Experimentella analogier 331
§ 114. Hydrodynamiska analogier 332
§ 115. Torsion av ihåliga axlar 335
§ 116. Torsion av tunnväggiga rör 339
§ 117. Skruvdislokationer 343
§ 118. Vridning av en stång, vars ena tvärsnitt förblir platt 345
§ 119. Torsion av runda axlar med variabel diameter 347
Problem 355
Kapitel 11. Böjning av balkar 359
§ 120. Böjning av konsolen 359
§ 121. Stressfunktion 361
§ 122. Cirkulärt tvärsnitt 363
§ 123. Elliptiskt tvärsnitt 364
§ 124. Rektangulärt tvärsnitt 365
§ 125. Ytterligare resultat 371
§ 126. Asymmetriska tvärsnitt 373
§ 127. Krökens centrum 375
§ 128. Lösning av böjningsproblem med tvålfilmsmetoden 378
§ 129. Rörelser 381
§ 130. Ytterligare studier av böjning av balkar 382
Kapitel 12. Axisymmetriska spänningar och deformationer i rotationskroppar 384
§ 131. Allmänna ekvationer 384
§ 132. Lösning i polynom 387
§ 133. Böjning av en rund platta 388
§ 134. Tredimensionellt problem med en roterande skiva 391
§ 135. Kraft som appliceras någon gång i en oändlig kropp 393
§ 136. Sfäriskt kärl under inverkan av inre eller yttre enhetligt tryck 396
§ 137. Lokala spänningar kring ett sfäriskt hålrum 399
§ 138. Kraft som appliceras på gränsen av en halvoändlig kropp 401
§ 139. Last fördelad över en del av gränsen för en halvoändlig kropp 405
§ 140. Tryck mellan två vidrörande sfäriska kroppar 412
§ 141. Tryck mellan två kroppar i kontakt. Mer allmänt fall 417
§ 142. Kollision av bollar 422
§ 143. Symmetrisk deformation av en rund cylinder 424
§ 144. Rund cylinder under inverkan av omgivande tryck 428
§ 145. Boussinesqs lösning i form av två övertonsfunktioner 430
§ 146. Spänning av en spiralfjäder (skruvförskjutningar i ringen) 431
§ 147. Ren bockning av en del av en cirkulär ring 434
Kapitel 13. Temperaturspänningar 436
§ 148. De enklaste fallen av temperaturspänningsfördelning. Metod för eliminering av deformation 436
Problem 442
§ 149. Längsgående temperaturförändring i remsa 442
§ 150. Tunn rund skiva: temperaturfördelning symmetrisk om mitten 445
§ 151. Lång rund cylinder 447
Problem 455
§ 152. Sfär 455
§ 153. Allmänna ekvationer 459
§ 154. Reciprocitetssats i termoelasticitet 463
§ 155. Totala termoelastiska deformationer. Godtycklig temperaturfördelning 464
§ 156. Termoelastiska förskjutningar. Integrallösning av V. M. Maizel 466
Problem 469
§ 157. Inledande påfrestningar 469
§ 158. Allmän volymförändring i samband med initialspänningar 472
§ 159. Plantöjning och planspänningstillstånd. Metod för att eliminera deformationer 472
§ 160. Tvådimensionella problem med stationärt värmeflöde 474
§ 161. Plan termiskt belastat tillstånd orsakat av störning av ett homogent värmeflöde av ett isolerat hål 480
§ 162. Lösningar av allmänna ekvationer. Termoelastisk förskjutningspotential 481
§ 163. Allmänt tvådimensionellt problem för cirkulära områden 485
§ 164. Allmänt tvådimensionellt problem. Lösning i komplexa potentialer 487
Kapitel 14. Vågutbredning i ett elastiskt kontinuerligt medium 490
§ 165. Inledning 490
§ 166. Expansionsvågor och distorsionsvågor i ett isotropiskt elastiskt medium 491
§ 167. Plana vågor 492
§ 168. Längsgående vågor i stavar med konstant tvärsnitt. Elementär teori 497
§ 169. Längsgående kollision av stavar 502
§ 170. Rayleigh ytvågor 510
§ 171. Vågor med sfärisk symmetri i ett oändligt medium 513
§ 172. Explosivt tryck i en sfärisk kavitet 514
Ansökan. Tillämpning av finita differensekvationer i elasticitetsteorin 518
§ 1. Härledning av finita differensekvationer 518
§ 2. Metoder för successiva approximationer 522
§ 3. Avslappningsmetod 525
§ 4. Triangulära och sexkantiga maskor 530
§ 5. Block- och gruppavslappningar 535
§ 6. Torsion av stavar med flerfaldigt sammankopplade tvärsnitt 536
§ 7. Punkter belägna nära gränsen 538
§ 8. Biharmonisk ekvation 540
§ 9. Torsion av cirkulära axlar med variabel diameter 548
§ 10. Lösa problem med hjälp av dator 551
Namnindex 553
Ämnesregister 558

I kapitel 4-6 härleddes de grundläggande ekvationerna för elasticitetsteorin, som fastställer lagarna för förändringar i spänningar och deformationer i närheten av en godtycklig punkt i kroppen, samt relationer som förbinder spänningar med deformationer och deformationer med förskjutningar. Låt oss presentera det kompletta ekvationssystemet för elasticitetsteorin i kartesiska koordinater.

Naviers jämviktsekvationer:

Cauchy relationer:

Hookes lag (i direkta och omvända former):

Låt oss påminna dig om det här e = e x + e y + e z - relativ volymetrisk deformation, och enligt lagen om parning av tangentiella spänningar Xj. = Tj; och följaktligen y~ = ^ 7. Lame-konstanterna som ingår i (16.3a) bestäms av formlerna (6.13).

Från systemet ovan är det tydligt att det inkluderar 15 differentialekvationer och algebraiska ekvationer innehållande 15 okända funktioner (6 spänningstensorkomponenter, 6 töjningstensorkomponenter och 3 förskjutningsvektorkomponenter).

På grund av komplexiteten hos det kompletta ekvationssystemet är det omöjligt att hitta en generell lösning som skulle vara giltig för alla problem inom elasticitetsteorin som man stöter på i praktiken.

Det finns olika sätt att minska antalet ekvationer om till exempel bara spänningar eller förskjutningar tas som okända funktioner.

Om vi, när vi löser problemet med elasticitetsteorin, utesluter förskjutningar från beaktande, kan vi istället för Cauchy-relationerna (16.2) få ekvationer som förbinder komponenterna i töjningstensorn. Låt oss skilja på deformationen g x, definieras av den första jämställdheten (16.2), två gånger y, deformation g y - två gånger i x och lägg till de resulterande uttrycken. Som ett resultat får vi

Uttrycket inom parentes, enligt (16.2), bestämmer vinkeldeformationen y. Därmed kan den sista likheten skrivas i formen

På samma sätt kan vi få ytterligare två likheter, som tillsammans med den sista relationen utgör den första gruppen Saint-Venantioner:

Var och en av likheterna (16.4) upprättar ett samband mellan deformationer i ett plan. Från Cauchy-relationerna kan även kompatibilitetsvillkor erhållas som relaterar deformationer i olika plan. Låt oss skilja uttryck (16.2) för vinkeldeformationer enligt följande: y - enl. z y - av X;

Av y; Låt oss lägga till de två första likheterna och subtrahera den tredje. Som ett resultat får vi

Att differentiera denna jämställdhet med avseende på y och ta hänsyn till att,

vi kommer fram till följande relation:

Genom att använda cirkulär substitution får vi ytterligare två likheter, som tillsammans med den sista relationen utgör den andra gruppen av ekvationer för kompatibiliteten av Saint-Venant-deformationer:

Deformakallas också villkor kontinuitet eller kontinuitet. Dessa termer kännetecknar det faktum att när den deformeras förblir kroppen solid. Om vi ​​föreställer oss en kropp bestående av enskilda element och tar deformationerna ex, y i form av godtyckliga funktioner, så kommer det i ett deformerat tillstånd inte att vara möjligt att montera en solid kropp från dessa element. Om villkoren (16.4), (16.5) är uppfyllda, kommer förskjutningarna av gränserna för enskilda element att vara sådana att kroppen förblir solid även i ett deformerat tillstånd.

Således är ett av sätten att minska antalet okända när man löser problem i elasticitetsteorin att utesluta förskjutningar från hänsyn. Sedan, istället för Cauchy-relationerna, kommer det kompletta ekvationssystemet att inkludera kompatibilitetsekvationerna för Saint-Venant-deformationer.

Med tanke på det kompletta ekvationssystemet i elasticitetsteorin, bör man vara uppmärksam på det faktum att det praktiskt taget inte innehåller faktorer som bestämmer kroppens stress-belastningstillstånd. Sådana faktorer inkluderar kroppens form och storlek, metoder för att säkra den, belastningar som verkar på kroppen, med undantag för volymetriska krafter X, Y, Z.

Således etablerar det kompletta ekvationssystemet i elasticitetsteorin endast allmänna mönster av förändringar i spänningar, deformationer och förskjutningar i elastiska kroppar. Lösningen på ett specifikt problem kan erhållas om kroppens belastningsförhållanden specificeras. Detta ges i randvillkoren, som skiljer ett problem i elasticitetsteorin från ett annat.

Från en matematisk synvinkel är det också tydligt att den allmänna lösningen av ett system av differentialekvationer inkluderar godtyckliga funktioner och konstanter, som måste bestämmas utifrån randvillkoren.

4. JORDENS STRUKTUR ENLIGT SEISMOLOGISKA DATA

Grunderna i elasticitetsteorin: töjningstensor, spänningstensor, Hookes lag, elasticitetsmoduler, homogena deformationer, elastiska vågor i ett isotropiskt medium, Fermats, Huygens, Snells lagar. Seismiska vågor. Utveckling av seismometriska observationer: seismiska stationer och deras nätverk, hodografer, vågbanor inuti jorden. Bestämning av utbredningshastigheten för seismiska vågor med hjälp av Hertlots-Wiechert-ekvationen. Hastigheter för longitudinella och tvärgående vågor som en funktion av jordens radie. Tillståndet för jordens materia enligt seismologiska data. Jordskorpan. Litosfär och astenosfär. Seismologi och global tektonik.

Grunderna i elasticitetsteorin[Landau, Lifshits, 2003, sid. 9-25, 130-144]

Spänn tensor

Fasta ämnens mekanik, betraktad som kontinuerliga medier, är innehållet elasticitetsteori. Elasticitetsteorins grundläggande ekvationer fastställdes av O.L. Koshy och S.D. Poisson på 20-talet av 1800-talet (för mer information, se kapitel 15).

Under påverkan av applicerade krafter deformeras fasta kroppar i en eller annan grad, d.v.s. ändra sin form och volym. För att matematiskt beskriva deformationen av en kropp, fortsätt enligt följande. Positionen för varje punkt i kroppen bestäms av dess radievektor r (med komponenter x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) i ett visst koordinatsystem. När en kropp är deformerad, förskjuts alla dess punkter, generellt sett. Låt oss överväga någon specifik punkt i kroppen; om dess radievektor före deformation var r, så kommer den i den deformerade kroppen att ha någon annan

värde r / (med komponenter x i / ). Förskjutningen av en kroppspunkt under deformation kommer då att representeras av vektorn r / - r, som vi betecknar med bokstaven u:

u = x/ − x .

Vektorn u kallas deformationsvektor(eller förskjutningsvektor). Kunskap om vektorn u

som en funktion av x i bestämmer helt kroppens deformation.

När en kropp deformeras ändras avstånden mellan dess punkter. Om radievektorn mellan dem före deformation var dx i , då i den deformerade kroppen radien

vektorn mellan samma två punkter kommer att vara dx i / = dx i + du i. Avståndet mellan punkterna före deformation var lika med:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

och efter deformation:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Äntligen får vi:

dl / 2 = dl 2 + 2 u

∂u i

∂u k

∂u l

∂u l

∂xk

∂xk

∂x i

∂x i

Dessa uttryck bestämmer förändringen i längdelementet när kroppen deformeras. Tensoren u ik kallas spänningstensor; enligt dess definition är den symmetrisk:

u ik = u ki .

Som vilken symmetrisk tensor som helst kan tensorn u ik vid varje punkt reduceras till

huvudaxlarna och se till att i varje element i kroppens volym kan deformationen betraktas som en uppsättning av tre oberoende deformationer i tre vinkelräta riktningar - deformationstensorns huvudaxlar. I nästan alla fall av deformation av kroppar visar sig deformationerna vara små. Det betyder att förändringen av valfritt avstånd i kroppen visar sig vara liten jämfört med själva avståndet. Med andra ord är de relativa förlängningarna små jämfört med enhet.

Med undantag för vissa speciella fall, som vi inte kommer att beröra, om kroppen utsätts för liten deformation, är alla komponenter i deformationstensorn också små. Därför kan vi i uttryck (4.3) försumma den sista termen som en liten kvantitet av andra ordningen. Således, i fallet med små deformationer, bestäms deformationstensorn av uttrycket:

u = 1			∂u i	+ ∂ u k ) .
			∂xk	∂x i

Så krafter är orsaken till rörelser (rörelser) som uppstår i kroppen, och deformationer är resultatet av rörelser [Khaikin, 1963, sid. 176].

Huvudantagandet för den klassiska teorin om elasticitet

I en odeformerad kropp motsvarar arrangemanget av molekyler tillståndet för dess termiska jämvikt. Samtidigt är alla dess delar i mekanisk jämvikt med varandra. Detta betyder att om du väljer någon volym inuti kroppen, så är resultanten av alla krafter som verkar på denna volym från andra delar lika med noll.

När de deformeras ändras molekylernas arrangemang, och kroppen avlägsnas från det jämviktstillstånd som den ursprungligen befann sig i. Som ett resultat kommer krafter att uppstå i den, som strävar efter att återställa kroppen till ett tillstånd av balans. Dessa inre krafter som uppstår under deformation kallas inre spänningar. Om kroppen inte är deformerad, finns det inga inre spänningar i den.

Inre spänningar orsakas av molekylära bindningar, d.v.s. krafterna för interaktion mellan kroppsmolekyler med varandra. Mycket viktigt för elasticitetsteorin är det faktum att molekylära krafter har en mycket liten verkningsradie. Deras inflytande sträcker sig runt partikeln som skapar dem endast på ett avstånd av storleksordningen intermolekylära. Men i elasticitetsteorin, liksom i den makroskopiska teorin, beaktas bara avstånd som är stora jämfört med intermolekylära. Därför bör "verkansradien" för molekylära krafter i elasticitetsteorin anses vara lika med noll. Vi kan säga att de krafter som orsakar inre spänningar är "kortdistanskrafter" i elasticitetsteorin, som överförs från varje punkt endast till punkterna närmast den.

Sålunda, i den klassiska teorin om elasticitet, manifesterar krafter som verkar på någon del av kroppen från delarna som omger den denna effekt endast direkt genom ytan denna del av kroppen.

Faktum är att författaren till det grundläggande verket [Khaikin, 1963, sid. 484].

Stresstensor

Slutsatsen att alla krafter utövar sin verkan endast genom ytan är nyckeln till den klassiska teorin om elasticitet. Det tillåter vilken volym som helst av kroppen var och en av de tre komponenterna i resultatet av alla inre spänningar och krafter

∫ F i dV (där F i är kraften som verkar på en enhetsvolym dV) transformeras till en integral över ytan av denna volym. I detta fall, som följer av vektoranalys, måste vektorn Fi vara divergensen av någon tensor av andra rangen, dvs. ser ut som:

F i = ∂ σ ik . (4,6)

∂xk

Då kan kraften som verkar på en viss volym skrivas som en integral över en sluten yta som täcker denna volym:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= ∫ σ ik df k ,
där vektor d f = df 2			Df 2	riktad	längs den yttre normalen till ytan,

täcker volymen dV.

Tensorn σ ik kallas stresstensor. Som framgår av (4.7) är σ ik df k i:et

komponent av kraften som verkar på ytelementet d f. Genom att välja ytelement i xy-, yz-, xz-planen finner vi att komponenten σ ik av spänningstensorn

är den i:te komponenten av kraften som verkar på en enhetsyta vinkelrät mot x-axeln k. Så, på en enhetsarea vinkelrät mot x-axeln, normal mot

her (riktad längs x-axeln) kraft σ xx och tangentiell (riktad längs y- och z-axeln)

krafter σ yx och σ zx.

Observera att kraften som verkar från inre spänningar på hela kroppens yta, i motsats till (4.7), är:

− ∫ σ ik df k .

Att skriva ner kraftmomentet M ik som verkar på en viss volym av kroppen, i formen:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

och kräver att den uttrycks som en integral endast över ytan, får vi att spänningstensorn är symmetrisk:

σ ik = σ ki .

En liknande slutsats kan nås på ett enklare sätt [Sivukhin, 1974, sid. 383]. Nämligen. Momentet dM ik är direkt proportionellt mot elementärens tröghetsmoment

volym dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 och därför får vi (Fi x k − Fk x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0, vilket automatiskt innebär relation (4.8).

Symmetrin hos spänningstensorn gör att den kan föras till huvudaxlarna vid varje punkt, dvs. vid varje punkt kan spänningstensorn representeras som:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

I jämvikt måste de inre spänningskrafterna ömsesidigt kompenseras i varje element av kroppens volym, d.v.s. ska vara F i = 0 . Ekvationerna alltså

jämvikten hos en deformerad kropp har formen:

∂ σ ik = 0 .

∂xk

Om kroppen befinner sig i gravitationsfältet bör summan F + ρ g av interna spänningskrafter F och tyngdkraften ρ g som verkar per volymenhet försvinna, ρ -

kroppstäthet, g – accelerationsvektor för fritt fall. Jämviktsekvationerna i detta fall har formen:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂xk

Spänn energi

Låt oss betrakta någon deformerad kropp och anta att dess deformation förändras på ett sådant sätt att deformationsvektorn u i ändras med en liten mängd δ u i .

Låt oss bestämma det arbete som produceras av inre stresskrafter. Multiplicera kraften (4.6) med förskjutning δ u i och integrera över hela kroppens volym, får vi:

		∫ ∂ x k
	δ RdV =		∂σik	δ ui dV.

Symbolen δ R betecknar arbetet med inre spänningskrafter per volymenhet av kroppen. Integrering av delar, med tanke på ett obegränsat medium som inte deformeras i oändligheten, riktar integrationsytan till oändligheten, sedan på den σ ik = 0, får vi:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Så finner vi:

δ R = − σ ikδ u ik .

Den resulterande formeln bestämmer arbetet med att ändra deformationstensorn, vilket bestämmer förändringen i kroppens inre energi.

Ryska statsuniversitetet

olja och gas uppkallad efter. I.M.Gubkina

Institutionen för teknisk mekanik

ABSTRAKT

"Teorin om elasticitet"

Kompletterad av: Polyakov A.A.

Kontrolleras av: Evdokimov A.P.

Moskva 2011

teori elasticitetsekvation

1. Introduktion

Teori om stress-töjningstillstånd vid en punkt i en kropp

2.1 Stressteori

2 Deformationsteori

3 Samband mellan stress och deformation för elastiska kroppar

Grundläggande ekvationer av elasticitetsteorin. Typer av problem inom elasticitetsteori

1 Grundläggande ekvationer av elasticitetsteorin

2 Typer av problem inom elasticitetsteorin

4 Ekvationer av teorin om elasticitet i förskjutningar (Lama ekvationer)

Variationsprinciper för elasticitetsteorin

1 Principen för möjliga rörelser (Lagrange-principen)

2 Principen om möjliga tillstånd (Castillanos princip)

3 Förhållandet mellan den exakta lösningen och lösningar som erhållits baserade på Lagrange och Castiglianos principer

Lista över begagnad litteratur

1. Introduktion

Teorierna om stress och belastning skapades av O. Cauchy. De beskrivs i ett arbete som presenterades för vetenskapsakademin i Paris 1822, vars sammanfattning publicerades 1823 och ett antal efterföljande artiklar. O. Cauchy härledde tre jämviktsekvationer för en elementär tetraeder, bevisade lagen om parning av tangentiella spänningar, introducerade begreppen huvudaxlar och huvudspänningar, och härledde differentialjämviktsekvationer (vanligtvis härleds de inte i kursen om materialstyrka) . Han introducerade också ytan av normala spänningar (Cauchy quadric), på vilken radievektorernas ändar är belägna, vars riktningar sammanfaller med normalernas riktning mot områdena, och värdet är omvänt proportionellt mot kvadratroten av det absoluta värdet av normalspänningen i detta område, och det är bevisat att denna yta är en andra ordningens yta centrerad vid origo. Möjligheten att omvandla ytan av normalspänningar till huvudaxlarna indikerar att det vid varje punkt finns tre inbördes huvudsakliga vinkelräta områden.

En liknande yta av tangentiella spänningar introducerades av den ryska mekanikern G.V. Kolosov 1933

En geometrisk tolkning av spänningstillståndet i rymden i form av en spänningsellipsoid gavs av G. Lame och B. Clapeyron i sina memoarer som lämnades in till vetenskapsakademin i Paris 1828 och publicerades 1833.

En geometrisk representation av spänningstillståndet på ett plan för en serie områden som går genom huvudaxeln i form av en spänningscirkel föreslogs av K. Kuhlmann i sin bok 1866.

För det allmänna fallet med ett stressat tillstånd gavs en mycket tydlig geometrisk tolkning av det på ett plan av O. More (det så kallade Mohrs cirkulära diagrammet) 1882. Av det kan ett antal viktiga slutsatser dras om att huvudspänningarnas ytterlighet, läget för områden där tangentiella spänningar är maximala och ungefär storleken på dessa maximala skjuvspänningar.

O. Cauchy gav en definition av deformationer, härledde deras beroende av förskjutningar i det speciella fallet med små deformationer (dessa beroenden härleds som regel inte i kursen på materialstyrka), definierade begreppen huvudspänningar och huvudsakliga deformationer och erhöll spänningskomponenternas beroende av deformationskomponenter, såsom för isotrop och anisotrop elastisk kropp. I hållfastheten hos material fastställs vanligtvis töjningskomponenternas beroende av spänningskomponenterna för en isotrop kropp. De kallas Hookes generaliserade lag, även om detta namn naturligtvis är villkorat, eftersom R. Hooke inte kände till begreppet spänning.

I dessa beroenden introducerade Cauchy först två konstanter och skrev ner stressens beroende av deformation i formen

m, ,

Men senare accepterade O. Cauchy konceptet med L. Navier. Enligt den består elastiska kroppar av molekyler, mellan vilka det vid deformering uppstår krafter som verkar i riktningarna för räta linjer som förbinder molekylerna och är proportionella mot förändringen i avstånden mellan molekylerna. Då är antalet elastiska konstanter för det allmänna fallet med en anisotrop kropp 15, och för en isotrop kropp får vi en elastisk konstant. Denna hypotes hölls till av S. Poisson, och till en början av G. Lamé och B. Clapeyron. Baserat på den fastställde Poisson att den tvärgående deformationskoefficienten är 1/4.

D. Green 1839 härledde förhållandet mellan spänningar och spänningar utan att använda en hypotes om den molekylära strukturen hos elastiska kroppar. Han erhöll dem baserat på principen om energibevarande, introducerade begreppet elastisk potential, och visade att när man använder linjära beroenden av sex töjningskomponenter på sex spänningskomponenter, av 36 koefficienter, är 21 oberoende, dvs. i det allmänna fallet med en anisotrop kropp är antalet elastiska konstanter 21 För en isotrop kropp reduceras antalet elastiska konstanter till två. Teorin där antalet elastiska konstanter för en anisotrop kropp är lika med 15, och för en isotrop kropp 1, kallades ibland "rarikonstant" eller "unikonstant", och teorin där antalet elastiska konstanter för en anisotrop kropp är lika med 21, och för en isotrop kropp 2 - "flerkonstant" .

Tvisten mellan anhängare av dessa teorier fick fysiker att bedriva experimentell forskning.

G. Wertheim, baserat på mätningar av de inre volymerna av glas- och metallrör under axiell spänning, fastställde 1848 att den tvärgående deformationskoefficienten inte är lika med 1/4. Han ansåg att det var olika för olika material, men för många material nära 1/3.

OCH JAG. Kupfer, som testade metallstavar i spänning och vridning 1853, fann också att förhållandet mellan modulerna i skjuvning och spänning inte motsvarar det tvärgående deformationsvärdet, lika med 1/4.

År 1855 testade F. Neumann prover av rektangulärt tvärsnitt för böjning och mätte rotationsvinklarna för strålens två ytor (tvärsnittet har en trapetsform). Som ett resultat visade han att den tvärgående töjningskoefficienten inte är lika med 1/4. G. Kirchhoff, elev till F. Neumann, kom till samma slutsats på grundval av tester utförda 1859 på kombinerad böjning och vridning av runda mässingsstänger, inbäddade i ena änden och belastade i den andra med en koncentrerad kraft, mätning stavens vridningsvinkel och sektionens rotationsvinkel .

En stor experimentell studie av tvärgående deformationskoefficienter för olika typer av stål utfördes av en av G. Kirchhoffs studenter M.F. Okatov 1865 - 1866 Resultaten presenteras i hans doktorsavhandling Torsions- och böjtester av tunna prismor utskurna ur enkristaller, samt tester av kristallers kompressibilitet under enhetlig kompression utfördes av W. Voigt och beskrevs i hans talrika artiklar, senare sammanställda i en bok publicerad 1910. De bekräftade riktigheten av teorin om flera konstanter.

En fördjupad studie av den matematiska strukturen av Hookes lag för anisotropa kroppar utfördes av mekanikern och ingenjören Jan Rychlewski 1984 utifrån konceptet om ett elastiskt tillstånd som han introducerade. I synnerhet visade han att de 21 elastiska konstanterna representerar sex sanna styvhetsmoduler, 12 styvhetsfördelare och tre vinklar.

2. Teori om stress-töjningstillstånd vid en punkt i kroppen

1 Stressteori

Interna kraftfaktorer som uppstår när en elastisk kropp belastas karakteriserar tillståndet för en viss sektion av kroppen, men svarar inte på frågan om vilken punkt i tvärsnittet som är mest belastad, eller, som de säger, den farliga punkten. Därför är det nödvändigt att ta hänsyn till ytterligare en kvantitet som kännetecknar kroppens tillstånd vid en given punkt.

Om en kropp på vilken yttre krafter appliceras är i jämvikt, uppstår interna motståndskrafter i vilken sektion som helst av den. Låt oss beteckna med den inre kraften som verkar på ett elementärt område och normalen till detta område då kvantiteten

kallas totalspänning.

I det allmänna fallet sammanfaller inte den totala spänningen i riktning med normalen till det elementära området, så det är bekvämare att arbeta med dess komponenter längs koordinataxlarna -

Om den yttre normalen sammanfaller med någon koordinataxel, till exempel med X-axeln, kommer spänningskomponenterna att ta formen: komponenten visar sig vara vinkelrät mot sektionen och kallas normalspänning, och komponenterna kommer att ligga i sektionsplan och kallas tangentiella spänningar.

För att lätt kunna skilja mellan normal- och tangentialspänningar används vanligtvis andra beteckningar: - normalspänning, - tangentiell spänning.

Låt oss välja från en kropp under inverkan av yttre krafter en oändlig parallellepiped, vars kanter är parallella med koordinatplanen och kanterna har en längd av . På varje sida av en sådan elementär parallellepiped finns tre spänningskomponenter parallella med koordinataxlarna. Totalt får vi 18 stresskomponenter på sex ansikten.

Normala spänningar betecknas i formen , där indexet anger normalen till motsvarande yta (dvs det kan ta värden). Tangentialspänningar har formen; här motsvarar det första indexet normalen till det område på vilket denna skjuvspänning verkar, och det andra indikerar den axel som är parallell till vilken denna spänning är riktad (fig. 1).

Figur 1. Normal- och skjuvspänningar

För dessa spänningar används följande teckenregel. Normal stress anses vara positiv i spänningen, eller vad som är samma sak, när den sammanfaller med den yttre normalens riktning mot det område som den verkar på. Skjuvspänningen anses vara positiv om den på ett område vars normal sammanfaller med koordinataxelns parallella riktning riktas mot den positiva koordinataxeln som motsvarar denna spänning.

Spänningskomponenterna är funktioner av tre koordinater. Till exempel kan normalspänningen vid en punkt med koordinater betecknas

Vid en punkt som är på ett oändligt litet avstånd från punkten i fråga, kan spänningen expanderas till en Taylor-serie med noggrannhet upp till oändliga små av första ordningen:

För områden som är parallella med planet ändras endast x-koordinaten, och inkrementen. Därför, på parallellepipedens yta som sammanfaller med planet, kommer normalspänningen att vara , och på den parallella ytan, belägen på ett oändligt litet avstånd, - Spänningarna på de återstående parallella ytorna av parallellepipeden är relaterade på ett liknande sätt. Av 18 spänningskomponenter är därför endast nio okända.

I elasticitetsteorin är lagen om parning av tangentiella spänningar bevisad, enligt vilken komponenterna av tangentiella spänningar vinkelräta mot skärningslinjen för dessa områden över två ömsesidigt vinkelräta områden är lika med varandra:

Jämlikheter (2) leder till det faktum att av de nio stresskomponenter som kännetecknar det stressade tillståndet vid en punkt på kroppen, återstår endast sex:

Det kan visas att stress (3) inte bara kännetecknar kroppens stressade tillstånd vid en given punkt, utan definierar det unikt. Kombinationen av dessa spänningar bildar en symmetrisk matris, som kallas spänningstensor:

(4)

När en tensor multipliceras med en skalär kvantitet erhålls en ny tensor, vars alla komponenter är gånger större än komponenterna i den ursprungliga tensorn.

2 Deformationsteori

Under påverkan av yttre belastningar ändrar en elastisk kropp sin form och blir deformerad. I det här fallet tar kroppens punkter en ny position. För att bestämma deformationen av en elastisk kropp jämför vi positionerna för kroppens punkter före och efter applicering av belastningen.

Låt oss överväga punkten för den olastade kroppen och dess nya position efter att ha applicerat belastningen. Vektorn kallas punktförskjutningsvektorn (Fig. 2).

Fig.2. Punkt rörelse vektor

Två typer av rörelser är möjliga: rörelse av hela kroppen som en helhet utan deformation - sådana rörelser studeras av teoretisk mekanik som rörelser av en absolut stel kropp, och rörelse förknippad med deformation av kroppen - sådana rörelser studeras av teorin av elasticitet.

Låt oss beteckna projektionerna av punktens förskjutningsvektor på koordinataxlarna med resp. De är lika med skillnaden mellan motsvarande koordinater för punkterna och:

och är funktioner för koordinaterna:

Deformationen av en kropp orsakas av skillnader i rörelserna på dess olika punkter. En oändlig parallellepiped med kanter utskurna från en elastisk kropp nära en godtycklig punkt, på grund av olika rörelser av dess punkter, deformeras på ett sådant sätt att längden på dess kanter ändras och de initialt räta vinklarna mellan ytorna förvrängs.

Figur 3.3 visar två kanter av denna parallellepiped: och längden på kanten är lika med och längden på kanten är

Efter deformation tar punkterna en position. I detta fall kommer punkten att få en förskjutning, vars komponenter i ritningsplanet är lika, och en punkt som ligger på ett oändligt litet avstånd från punkten kommer att få en förskjutning, komponenterna av som kommer att skilja sig från komponenterna i punktens förskjutning med en oändlig mängd på grund av en förändring i koordinat

Fig.3. Linjära och vinkeldeformationer

Komponenterna i punktens rörelse kommer att skilja sig från komponenterna i punktens rörelse med en oändligt liten mängd på grund av en förändring i koordinaten

Längd på revbens utskjutning på axeln efter deformation:

Projektion av revbenets absoluta förlängning på axeln

Relativ förlängning längs axeln

(6)

kallas linjär töjning i axelns riktning.

Linjära deformationer längs axlarnas riktningar och

(7)

Låt oss överväga förändringen i vinklar mellan kanterna på parallellepipeden (fig. 3). Tangent av revbens rotationsvinkel i planet

På grund av att deformationerna a är små, kan den linjära deformationen försummas på grund av dess litenhet jämfört med enhet, och då

På ett liknande sätt kan du bestämma kantens rotationsvinkel i samma plan:

Förvrängningen av en rät vinkel kallas vinkeldeformation och definieras som summan av ribbornas rotationsvinklar och:

(8)

På samma sätt bestäms vinkeldeformationer i två andra koordinatplan:

(9)

Formlerna (6)-(9) ger sex huvudsakliga beroenden för linjära och vinkeldeformationer på förskjutningskomponenterna. Dessa beroenden kallas Cauchy-ekvationer:

(10)

I gränsen, när längderna på kanterna på parallellepipeden tenderar mot noll, bestämmer Cauchy-relationerna de linjära och vinkelformade deformationerna i närheten av punkten

Positiva linjära deformationer motsvarar förlängningar och negativa linjära deformationer motsvarar förkortningar. Skiftvinkeln anses vara positiv när vinkeln mellan de positiva riktningarna för motsvarande koordinataxlar minskar och negativ annars.

I likhet med spänningstensorn beskrivs det deformerade tillståndet hos en kropp vid en given punkt av töjningstensorn

(11)

Liksom spänningstensorn är töjningstensorn en symmetrisk matris som innehåller nio komponenter, varav sex är olika.

2.3 Samband mellan stress och deformation för elastiska kroppar

Relationerna mellan påfrestningar och påfrestningar är fysiska till sin natur. Om man begränsar sig till små töjningar kan förhållandet mellan spänning och töjning anses linjärt.

När man testar en stång för spänning (mekanisk provning av material kommer att diskuteras i detalj i nästa avsnitt), etableras ett proportionellt förhållande mellan normal spänning och linjär deformation i en riktning, vilket kallas Hookes lag:

där elasticitetskonstanten kallas longitudinell elasticitetsmodul.

Med samma experimentella metod etablerades ett samband mellan linjära deformationer i längsgående och tvärgående riktningar:

där är den linjära deformationen i tvärriktningen, är den andra elastiska konstanten, kallad Poissons förhållande.

I mekaniska tester för ren skjuvning fastställdes ett direkt proportionellt samband mellan skjuvspänning och vinkeldeformation i verkansplanet för denna spänning, vilket kallades Hookes lag i skjuvning:

där kvantiteten är den tredje elastiska konstanten och kallas skjuvmodulen. Denna elastiska konstant är dock inte oberoende, eftersom relaterade till de två första beroendena

För att fastställa sambandet mellan deformationer och spänningar väljer vi en infinitesimal parallellepiped från kroppen (fig. 1) och beaktar effekten av endast normala spänningar. Skillnaden i spänningar på motsatta ytor av parallellepipeden kan försummas, eftersom det leder till deformationer av högre storleksordning.

Låt oss bestämma förlängningen av ribban parallellt med spänningen. Under verkan av denna spänning, enligt Hookes lag (3.12), kommer en relativ töjning av ribban att inträffa

Spänningen orsakar en liknande förlängning i riktningen vinkelrät mot revbenet

och i kantens riktning - förkortning, vilket enligt (13) är

eller, med hänsyn till deformationsuttrycket

Den relativa förkortningen av revbenet under inverkan av påkänning bestäms på liknande sätt

Baserat på principen om oberoende av krafternas verkan kan den totala relativa förlängningen av revbenet bestämmas som summan av förlängningarna på grund av verkan av varje spänning:

På liknande sätt kan linjära deformationer bestämmas i riktningarna för de andra två axlarna:

I enlighet med Hookes lag i skjuvning (14) kan förhållandet mellan vinkeldeformationer och skjuvspänningar representeras oberoende för vart och ett av de tre planen parallella med koordinatplanen:

Således har sex formler erhållits som uttrycker det linjära förhållandet mellan komponenterna av deformation och spänning i en isotrop elastisk kropp och kallas generaliserade Hookes lag:

(16)

3. Grundläggande ekvationer av elasticitetsteorin. Typer av problem inom elasticitetsteori

Huvuduppgiften för elasticitetsteorin är att bestämma stress-töjningstillståndet enligt de givna förhållandena för belastning och fastsättning av kroppen.

Spännings-töjningstillståndet bestäms om komponenterna i spänningstensorn(erna) och förskjutningsvektorn, nio funktioner, hittas.

3.1 Grundläggande ekvationer för elasticitetsteorin

För att hitta dessa nio funktioner måste du skriva ner de grundläggande ekvationerna i elasticitetsteorin, eller:

Differential Cauchies

(17)

var är komponenterna i tensorn i den linjära delen av Cauchy-deformationerna;

komponenter i tensorn av derivatan av förskjutning längs radien.

Differentiella jämviktsekvationer

var är komponenterna i spänningstensorn; - projektion av kroppskraften på j-axeln.

Hookes lag för en linjärt elastisk isotrop kropp

var är de Lama konstanterna; för en isotrop kropp. Här är normal- och skjuvspänningar; deformationer respektive skjuvvinklar.

Ovanstående ekvationer måste uppfylla Saint-Venant-beroendena

I elasticitetsteorin är problemet löst om alla grundläggande ekvationer är uppfyllda.

2 Typer av problem inom elasticitetsteorin

Gränsvillkor på kroppens yta måste vara uppfyllda och beroende på typ av randvillkor urskiljs tre typer av problem inom elasticitetsteorin.

Första typen. Krafter ges på kroppens yta. Gränsförhållanden

Andra typen. Problem där förskjutning är specificerad på kroppens yta. Gränsförhållanden

Tredje typen. Blandade problem av elasticitetsteorin. Krafter anges på en del av kroppsytan och förskjutning anges på en del av kroppsytan. Gränsförhållanden

Problem där krafter eller förskjutningar specificeras på en kropps yta, och det krävs för att hitta spännings-töjningstillståndet inuti kroppen och vad som inte anges på ytan, kallas direkta problem. Om spänningar, deformationer, förskjutningar etc. anges inuti kroppen, och du måste bestämma vad som inte är specificerat inuti kroppen, samt förskjutningar och spänningar på kroppens yta (det vill säga hitta orsakerna som orsakade sådana ett stress-töjningstillstånd)), kallas sådana problem inversa.

4 Ekvationer av teorin om elasticitet i förskjutningar (Lama ekvationer)

För att bestämma ekvationerna för teorin om elasticitet i förskjutningar, skriver vi: differentialjämviktsekvationer (18) Hookes lag för en linjärt elastisk isotrop kropp (19)

Om vi ​​tar hänsyn till att deformationer uttrycks genom förskjutningar (17), skriver vi:

Det bör också erinras om att skjuvvinkeln är relaterad till förskjutningar av följande förhållande (17):

(23)

Genom att ersätta uttryck (22) i den första ekvationen av likheter (19), får vi att normala spänningar

(24)

Observera att att skriva itz i det här fallet inte innebär summering över i.

Genom att ersätta uttryck (23) i den andra ekvationen av likheter (19), får vi att skjuvspänningar

(25)

Låt oss skriva jämviktsekvationerna (18) i expanderad form för j = 1

(26)

Genom att ersätta uttryck för normala (24) och tangentiella (25) spänningar i ekvation (26), får vi

där λ är Lame-konstanten, som bestäms av uttrycket:

Låt oss ersätta uttryck (28) med ekvation (27) och skriva,

där bestäms av uttryck (22), eller i expanderad form

Låt oss dividera uttryck (29) med G och lägga till liknande termer och få den första Lame ekvationen:

(30)

var är Laplace-operatorn (övertonsoperator), som definieras som

(31)

På samma sätt kan du få:

(32)

Ekvationerna (30) och (32) kan skrivas på följande sätt:

(33)

Ekvationerna (33) eller (30) och (32) är Lamé-ekvationer. Om volymkrafterna är noll eller konstanta, då

(34)

Dessutom innebär notationen i detta fall inte summering över i. Här

Det kan visas att en sådan representation av förskjutningar genom en harmonisk funktion omvandlar Lame-ekvationen (33) till en identitet. De kallas ofta Popkovich-Grodsky-förhållandena. Fyra övertonsfunktioner är inte nödvändiga, eftersom φ0 kan nollställas.

4. Variationsprinciper för elasticitetsteorin.

1 Principen för möjliga rörelser (Lagrange-principen)

Lagranges princip. För en kropp i jämvikt är arbetet med yttre och inre krafter vid alla möjliga oändligt små förskjutningssteg noll.

Med hjälp av Clapeyrons teorem, som för en elastiskt deformerad kropp genom att variera förskjutningen, får vi Lagrangeprincipen

I mekaniken hos deformerbara kroppar är möjliga rörelser de som tillfredsställer de yttre och inre begränsningar som åläggs kroppen.

Externa anslutningar är villkoren för fastsättning, interna anslutningar är villkoret för kontinuitet.

För att tillfredsställa de interna anslutningarna är det nödvändigt att förskjutningsinkrementen är kontinuerliga envärdesfunktioner av koordinaterna.

I denna form är Lagranges princip giltig för alla deformerbara kroppar.

För elastiska kroppar fann man att

(41)

Då kommer (40), med hänsyn till (41), att skrivas som

(42)

där W är den specifika stammen, och

Här är U variationen av kroppens totala potentiella energi.

Låt oss ersätta uttryck (43) med (42), och eftersom krafterna inte varierar, skriver vi det

(44)

Ekvation (44) är Lagranges variationsekvation.

Om krafterna är konservativa representerar de två första integralerna förändringen i potentialen för yttre krafter under övergången från ett odeformerat tillstånd till ett deformerat.

Potential för yttre krafter

(45)

där - det möjliga arbetet av yttre krafter under övergången från ett odeformerat till ett deformerat tillstånd beräknas under antagandet att de yttre krafterna förblir oförändrade. Systemets totala energi

Sedan, med hänsyn till uttryck (44) - (46), kommer Lagrange-principen att skrivas:

det vill säga variationen av systemets totala energi vid jämviktspositionen på möjliga förskjutningar är noll. Uttryck (47) är Lagranges variationsekvation i fallet med inverkan av endast konservativa krafter.

I ett stabilt jämviktsläge är den totala energin P minimal,

Lagranges princip är principen om minimal energi.

2 Principen om möjliga tillstånd (Castillanos princip)

Vi kommer att kalla möjliga tillstånd de som är i överensstämmelse med yttre och inre krafter, det vill säga de som uppfyller jämviktsekvationerna.

Ekvation (57) skriver Castiglianos princip. Med möjliga förändringar i kroppens stressade tillstånd är variationen lika med integralen över den del av kroppens yta på vilken förskjutningar från produkterna av möjliga ytkrafter och förskjutningar är specificerade.

3 Förhållandet mellan den exakta lösningen och lösningar som erhållits baserade på Lagrange och Castiglianos principer

Baserat på Lagrange-principen, genom att välja några funktioner, eller en uppsättning av dem, och eftersom uppsättningen av funktioner är begränsad, får vi ett mindre antal frihetsgrader för systemet, vilket minskar designens frihetsgrader. Det vill säga, i energimässig mening visar sig lösningen vara tuffare än den exakta.

Om vi ​​tar integralegenskaper, är den ungefärliga lösningen mer styvt integrerad.

När man löser problemet med att belasta en enkelt uppburen balk med en tvärkraft i mitten av spännvidden (fig. 1) kommer den ungefärliga lösningen att ge mindre förskjutning under kraften än med den exakta lösningen.

exakt lösning

När man löser samma problem med hjälp av Castiglianos variationsprincip, eftersom kontinuitetsvillkoret inte är uppfyllt, får systemet större frihet än i verkligheten.

Den exakta lösningen ligger mellan dessa två ungefärliga metoder (Lagrange och Castigliano). Ibland är skillnaden liten mellan de erhållna lösningarna.

5. Lista över använd litteratur

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Grunderna i teorin om elasticitet och plasticitet. 400 s. Högre skola. 1990.

2. Veretimus D.K. Grunder i elasticitetsteorin Del I. Spänningsteori Metodhandbok för kursen "Grundläggande teori om elasticitet och plasticitet." 2005.-37s.

Veretimus D.K. Grunderna i elasticitetsteorin Del II Teori om deformationer. Samband mellan stressade och deformerade tillstånd Metodhandbok för kursen ”Grundläggande av teorin om elasticitet och plasticitet”, 2005.-53 sid.

Veretimus D.K. Grunder i elasticitetsteorin Del III Elasticitetsteorins grundekvationer Typer av problem i elasticitetsteorin Metodhandbok för kursen "Grundläggande teorin om elasticitet och plasticitet", 2005.-45 s.