03.07.202327.05.2017

Låt en verklig funktion uppfylla Dirichlet-villkoren på intervallet - L, L. Låt oss skriva dess expansion i den trigonometriska Fourier-serien:

Om vi i (10.1) uttrycker och genom det imaginära argumentets exponentialfunktion:

sen får vi serien

var på grund av (10.2)

De tre sista formlerna kan kombineras:

Serien (10.3) med koefficienter (10.4) kallas en trigonometrisk Fourierserie i komplex form.

Exempel 1. Expandera funktionen, där är ett komplext tal, till en Fourierserie på intervallet.

Lösning . Låt oss hitta Fourierkoefficienterna:

Sedan dess

Den nödvändiga expansionen kommer att ha formen

där det beaktas att

Tillämpa Parsevals jämställdhet på serien (10.5)

du kan hitta summan av en annan nummerserie. Ja, i vårt fall

Sedan från (10.6) följer det

Övning 1. Bevisa det

Notera. Lägg in (10.5) X= 0 och X = .

Övning 2. Bevisa att när

Fourierintegral

Konvergens av Fourierintegralen

Låt funktionen definieras på hela talraden. Om vi antar att på ett godtyckligt ändligt intervall - L, L den givna funktionen uppfyller Dirichlet-villkoren, låt oss representera den med en trigonometrisk Fourier-serie i komplex form:

Frekvens kövertoner; .

Genom att införa uttryck (11.2) i (11.1) får vi

I storlek. Den högra sidan av formeln (11.3) liknar integralsumman för en funktion över en variabel i intervallet. Därför kan vi förvänta oss att efter att ha passerat gränsen i (11.3) vid istället för serien får vi integralen

Formel (11.4) kallas Fourierintegralens formel, och dess högra sida kallas Fourierintegralen.

Resonemanget som används för att härleda formeln (11.4) är inte rigoröst och är bara suggestivt. Villkoren under vilka Fourier-integralformeln är giltig fastställs av ett teorem som vi accepterar utan bevis.

Sats. Låt funktionen för det första vara absolut integrerbar på intervallet, dvs. integralen konvergerar och, för det andra, uppfyller Dirichlet-villkoren på varje ändligt intervall (- L, L). Sedan konvergerar Fourierintegralen (i betydelsen av huvudvärdet) överallt till, d.v.s. jämlikhet (11.4) är tillfredsställt för alla X däremellan. Här, liksom tidigare, antas att vid diskontinuitetspunkten är värdet av funktionen lika med halva summan av dess ensidiga gränser vid denna punkt.

Fouriertransform

Vi transformerar Fourier-integralformeln (11.4) enligt följande. Låt oss sätta

Om en funktion är kontinuerlig och absolut integrerbar på hela axeln, så är funktionen kontinuerlig på intervallet. Verkligen, sedan dess

och eftersom integralen till höger konvergerar, konvergerar integralen till vänster. därför konvergerar integralen i (12.1) absolut. Jämlikhet (12.2) uppfylls samtidigt för alla, så integral (12.1) konvergerar enhetligt med avseende på. Det följer av detta att funktionen är kontinuerlig (precis som den enhetliga konvergensen av en serie sammansatt av kontinuerliga funktioner innebär kontinuiteten i dess summa).

Från (11.4) erhåller vi

Den komplexa funktionen som definieras av formel (12.1) kallas Fouriertransformen eller Fouriertransformen av funktionen. Formel (12.3) definierar i sin tur som den inversa Fouriertransformen, eller den inversa bilden av funktionen. Likhet (12.3) för en given funktion kan betraktas som en integralekvation med avseende på funktionen, vars lösning ges av formel (12.1). Och omvänt, lösningen till integralekvationen (12.1) för en given funktion ges av formeln (12.3).

I formel (12.3) specificerar uttrycket, relativt sett, ett paket av komplexa övertoner med frekvenser kontinuerligt fördelade över intervallet och en total komplex amplitud. Funktionen kallas spektral densitet. Formel (12.2), skriven i formen

kan tolkas som expansionen av en funktion till en summa av övertonspaket, vars frekvenser bildar ett kontinuerligt spektrum fördelat över intervallet.

Parsevals jämlikheter. Låta och vara Fourierbilderna av verkliga funktioner och resp. Sedan

de där. skalära produkter och funktionsnormer är invarianter av Fouriertransformen. Låt oss bevisa detta påstående. Per definition av den skalära produkt vi har. Genom att ersätta funktionen med dess uttryck (12.3) genom Fouriertransformen får vi

Med stöd av (12.1)

Därför, d.v.s. formel (12.4) är bevisad. Formel (12.5) erhålls från (12.4) kl.

Cosinus och sinus Fourier transformer. Om en verklig funktion är jämn, så är dess Fouriertransform, som vi betecknar här, också en verklig jämn funktion. Verkligen,

Den sista integralen, på grund av integrandens uddahet, försvinner. Således,

Här använder vi egenskap (7.1) för jämna funktioner.

Av (12.6) följer att funktionen är reell och jämnt beroende av, eftersom den kommer in (12.6) endast genom cosinus.

Formel (12.3) för den inversa Fouriertransformen i detta fall ger

Eftersom och är jämna respektive udda funktioner av variabeln, alltså

Formlerna (12.6) och (12.7) definierar Fouriercosinustransformen.

På liknande sätt, om en reell funktion är udda, så är dess Fourier-transform där är en reell udda funktion av. Vart i

Likheter (12.8), (12.9) definierar Fouriersinustransformen.

Observera att formlerna (12.6) och (12.8) endast inkluderar funktionsvärden för. Därför kan cosinus- och sinus-Fourier-transformerna också appliceras på en funktion definierad på ett semi-oändligt intervall. I detta fall konvergerar integralerna i formlerna (12.7) och (12.9) till den givna funktionen och till dess jämna respektive udda fortsättningar.

Som redan är ganska tråkiga. Och jag känner att ögonblicket har kommit då det är dags att utvinna nya konserver ur teorins strategiska reserver. Går det att utöka funktionen till en serie på något annat sätt? Till exempel, uttrycka ett rakt linjesegment i termer av sinus och cosinus? Det verkar otroligt, men sådana till synes avlägsna funktioner kan vara
"återförening". Utöver de välbekanta examina i teori och praktik finns det andra tillvägagångssätt för att utöka en funktion till en serie.

I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med den trigonometriska Fourier-serien, beröra frågan om dess konvergens och summa, och naturligtvis kommer vi att analysera många exempel på expansionen av funktioner i Fourier-serien. Jag ville uppriktigt kalla artikeln "Fourier-serien för dummies", men detta skulle vara oprigtigt, eftersom att lösa problemen skulle kräva kunskap om andra grenar av matematisk analys och viss praktisk erfarenhet. Därför kommer ingressen att likna astronaututbildning =)

För det första bör du närma dig studien av sidmaterial i utmärkt form. Sömnig, utvilad och nykter. Utan starka känslor om ett brutet hamsters ben och tvångstankar om livets svårigheter för akvariefiskar. Fourier-serien är inte svår att förstå, men praktiska uppgifter kräver helt enkelt ökad koncentration av uppmärksamhet - helst bör du helt frigöra dig från yttre stimuli. Situationen förvärras av att det inte finns något enkelt sätt att kontrollera lösningen och svara. Således, om din hälsa är under genomsnittet, är det bättre att göra något enklare. Är det sant.

För det andra, innan du flyger ut i rymden, är det nödvändigt att studera rymdfarkostens instrumentpanel. Låt oss börja med värdena för de funktioner som ska klickas på maskinen:

För alla naturvärden:

1) . Faktum är att sinusformen "häftar" x-axeln genom varje "pi":
. I fallet med negativa värden på argumentet blir resultatet naturligtvis detsamma: .

2) . Men alla visste inte detta. Cosinus "pi" är motsvarigheten till en "blinker":

Ett negativt argument förändrar inte saken: .

Kanske räcker det.

Och för det tredje, kära kosmonautkår, ni måste kunna... integrera.
Framför allt självsäkert subsumera funktionen under differentialtecknet, integrera bitvis och vara i fred med Newton-Leibniz formel. Låt oss börja de viktiga övningarna före flygningen. Jag rekommenderar absolut inte att du hoppar över det, för att inte klämma i viktlöshet senare:

Exempel 1

Beräkna bestämda integraler

där tar naturvärden.

Lösning: integration utförs över variabeln "x" och i detta skede anses den diskreta variabeln "en" vara en konstant. I alla integraler sätt funktionen under differentialtecknet:

En kort version av lösningen som skulle vara bra att rikta in sig på ser ut så här:

Låt oss vänja oss vid det:

De fyra återstående poängen är på egen hand. Försök att närma dig uppgiften samvetsgrant och skriv integralerna på ett kort sätt. Exempel på lösningar i slutet av lektionen.

Efter att ha utfört övningarna KVALITET tar vi på oss rymddräkter
och gör dig redo att börja!

Expansion av en funktion till en Fourier-serie på intervallet

Tänk på någon funktion som fast beslutenåtminstone under en tid (och eventuellt under en längre period). Om denna funktion är integrerbar på intervallet kan den utökas till trigonometrisk Fourier-serier:
, var är de sk Fourierkoefficienter.

I det här fallet anropas numret period av nedbrytning, och numret är halveringstid för nedbrytning.

Det är uppenbart att Fourier-serien i det allmänna fallet består av sinus och cosinus:

Låt oss faktiskt skriva ner det i detalj:

Seriens nollterm skrivs vanligtvis i formen .

Fourierkoefficienter beräknas med följande formler:

Jag förstår mycket väl att de som börjar studera ämnet fortfarande är oklara om de nya termerna: nedbrytningsperiod, halvcykel, Fourierkoefficienter etc. Få inte panik, det här är inte jämförbart med spänningen innan du går ut i rymden. Låt oss förstå allt i följande exempel, innan vi kör, vilket är logiskt att ställa pressande praktiska frågor:

Vad behöver du göra i följande uppgifter?

Expandera funktionen till en Fourierserie. Dessutom är det ofta nödvändigt att avbilda en graf av en funktion, en graf av summan av en serie, en delsumma, och i fallet med sofistikerade professorsfantasier, göra något annat.

Hur utökar man en funktion till en Fourier-serie?

I huvudsak måste du hitta Fourierkoefficienter, det vill säga komponera och beräkna tre bestämd integral.

Kopiera den allmänna formen för Fourier-serien och de tre arbetsformlerna till din anteckningsbok. Jag är väldigt glad att vissa besökare förverkligar sin barndomsdröm om att bli astronaut mitt framför mina ögon =)

Exempel 2

Expandera funktionen till en Fourierserie på intervallet. Konstruera en graf, en graf över summan av serien och delsumman.

Lösning: Den första delen av uppgiften är att utöka funktionen till en Fourierserie.

Början är standard, se till att skriva ner det:

I detta problem är expansionsperioden halvperiod.

Låt oss utöka funktionen till en Fourier-serie på intervallet:

Med hjälp av lämpliga formler hittar vi Fourierkoefficienter. Nu måste vi komponera och beräkna tre bestämd integral. För enkelhetens skull kommer jag att numrera punkterna:

1) Den första integralen är den enklaste, men den kräver också ögonglober:

2) Använd den andra formeln:

Denna integral är välkänd och han tar det bit för bit:

Används när den hittas metod för att subsumera en funktion under differentialtecknet.

I den aktuella uppgiften är det bekvämare att använda det omedelbart formel för integration av delar i en bestämd integral :

Ett par tekniska anteckningar. För det första, efter att ha applicerat formeln hela uttrycket måste omges av stora parenteser, eftersom det finns en konstant före den ursprungliga integralen. Låt oss inte förlora henne! Paranteserna kan utökas vid alla ytterligare steg, jag gjorde detta som en sista utväg. I den första "biten" Vi visar extrem omsorg i substitutionen; som du kan se används inte konstanten, och gränserna för integrationen ersätts i produkten. Denna åtgärd är markerad inom hakparenteser. Tja, du är bekant med integralen av den andra "biten" av formeln från träningsuppgiften;-)

Och viktigast av allt - extrem koncentration!

3) Vi letar efter den tredje Fourierkoefficienten:

En relativ till den tidigare integralen erhålls, vilket också är integrerar bitvis:

Denna instans är lite mer komplicerad, jag kommer att kommentera de ytterligare stegen steg för steg:

(1) Uttrycket är helt inneslutet i stora parenteser. Jag ville inte verka tråkig, de tappar konstanten för ofta.

(2) I det här fallet öppnade jag omedelbart dessa stora parenteser. Särskild uppmärksamhet Vi ägnar oss åt den första "biten": den konstanta röker på sidlinjen och deltar inte i ersättningen av gränserna för integration (och) i produkten. På grund av röran i posten är det återigen tillrådligt att markera denna åtgärd med hakparenteser. Med den andra "biten" allt är enklare: här dök bråket upp efter att ha öppnat stora parenteser, och konstanten - som ett resultat av att integrera den välbekanta integralen;-)

(3) Inom hakparenteser utför vi transformationer, och i rätt integral - substitution av integrationsgränser.

(4) Vi tar bort det "blinkande ljuset" från hakparenteserna: , och öppnar sedan de inre fästena: .

(5) Vi tar bort 1 och –1 inom parentes och gör slutliga förenklingar.

Slutligen hittas alla tre Fourierkoefficienter:

Låt oss ersätta dem i formeln :

Samtidigt, glöm inte att dela på mitten. I det sista steget tas konstanten ("minus två"), som inte beror på "en", utanför summan.

Således har vi erhållit expansionen av funktionen till en Fourier-serie på intervallet:

Låt oss studera frågan om Fourier-seriens konvergens. Jag kommer att förklara teorin, särskilt Dirichlets sats, bokstavligen "på fingrarna", så om du behöver strikta formuleringar, se läroboken om matematisk analys (till exempel 2:a volymen av Bohan; eller 3:e volymen av Fichtenholtz, men det är svårare).

Den andra delen av problemet kräver att man ritar en graf, en graf över summan av en serie och en graf över en delsumma.

Grafen för funktionen är den vanliga rak linje på ett plan, som är ritad med en svart prickad linje:

Låt oss räkna ut summan av serien. Som du vet konvergerar funktionsserier till funktioner. I vårt fall den konstruerade Fourier-serien för valfritt värde på "x" kommer att konvergera till funktionen, som visas i rött. Denna funktion tål bristningar av 1:a slaget vid punkter, men är också definierad vid dem (röda prickar i ritningen)

Således: . Det är lätt att se att den skiljer sig märkbart från den ursprungliga funktionen, varför i posten En tilde används snarare än ett likhetstecken.

Låt oss studera en algoritm som är bekväm för att konstruera summan av en serie.

På det centrala intervallet konvergerar Fourierserien till själva funktionen (det centrala röda segmentet sammanfaller med den linjära funktionens svarta streckade linje).

Låt oss nu prata lite om arten av den trigonometriska expansionen som övervägs. Fourier-serier innehåller endast periodiska funktioner (konstant, sinus och cosinus), alltså summan av serien är också en periodisk funktion.

Vad betyder detta i vårt specifika exempel? Och detta betyder att summan av serien –säkert periodvis och det röda segmentet av intervallet måste upprepas oändligt till vänster och höger.

Jag tror att innebörden av frasen "nedbrytningsperiod" äntligen har blivit tydlig. Enkelt uttryckt, varje gång upprepar situationen sig igen och igen.

I praktiken räcker det vanligtvis med att avbilda tre perioder av nedbrytning, som görs på ritningen. Jo, och även "stubbar" av angränsande perioder - så att det är tydligt att grafen fortsätter.

Av särskilt intresse är diskontinuitetspunkter av 1:a slaget. Vid sådana punkter konvergerar Fourier-serien till isolerade värden, som ligger exakt i mitten av "hoppet" av diskontinuiteten (röda prickar på ritningen). Hur tar man reda på ordinatan för dessa punkter? Låt oss först hitta ordinatan för "övre våningen": för att göra detta beräknar vi värdet på funktionen vid den högra punkten av expansionens centrala period: . För att beräkna ordinatan för den "nedre våningen" är det enklaste sättet att ta värdet längst till vänster för samma period: . Ordinatan för medelvärdet är det aritmetiska medelvärdet av summan av "topp och botten": . Ett trevligt faktum är att när du konstruerar en ritning kommer du omedelbart att se om mitten beräknas korrekt eller felaktigt.

Låt oss konstruera en delsumma av serien och samtidigt upprepa innebörden av termen "konvergens". Motivet är också känt från lektionen om summan av en nummerserie. Låt oss beskriva vår rikedom i detalj:

För att komponera en delsumma måste du skriva noll + ytterligare två termer i serien. Det är,

På ritningen visas grafen för funktionen i grönt, och som du kan se "lindar" den hela summan ganska tätt. Om vi betraktar en delsumma av fem termer i serien, så kommer grafen för denna funktion att approximera de röda linjerna ännu mer exakt; om det finns hundra termer, kommer den "gröna ormen" faktiskt helt att smälta samman med de röda segmenten, etc. Sålunda konvergerar Fourierserien till sin summa.

Det är intressant att notera att varje delbelopp är kontinuerlig funktion, dock är den totala summan av serien fortfarande diskontinuerlig.

I praktiken är det inte så ovanligt att man konstruerar en delsummegraf. Hur man gör det? I vårt fall är det nödvändigt att överväga funktionen på segmentet, beräkna dess värden i ändarna av segmentet och vid mellanliggande punkter (ju fler punkter du tänker på, desto mer exakt blir grafen). Sedan ska du markera dessa punkter på ritningen och försiktigt rita en graf på perioden och sedan "replicera" den i angränsande intervall. Hur annars? När allt kommer omkring är approximation också en periodisk funktion... ...på något sätt påminner dess graf mig om en jämn hjärtrytm på displayen på en medicinsk apparat.

Att utföra konstruktionen är naturligtvis inte särskilt bekvämt, eftersom du måste vara extremt försiktig och bibehålla en noggrannhet på inte mindre än en halv millimeter. Men jag kommer att glädja läsare som inte är bekväma med att rita - i ett "riktigt" problem är det inte alltid nödvändigt att utföra en ritning; i cirka 50% av fallen är det nödvändigt att utöka funktionen till en Fourier-serie och det är allt .

Efter att ha slutfört ritningen slutför vi uppgiften:

Svar:

I många uppgifter blir funktionen lidande bristning av 1:a slaget direkt under nedbrytningsperioden:

Exempel 3

Expandera funktionen som ges på intervallet till en Fourierserie. Rita en graf över funktionen och den totala summan av serien.

Den föreslagna funktionen specificeras bitvis (och observera bara på segmentet) och uthärdar bristning av 1:a slaget vid punkt. Är det möjligt att beräkna Fourierkoefficienter? Inga problem. Både vänster och höger sida av funktionen är integrerbara på sina intervall, därför bör integralerna i var och en av de tre formlerna representeras som summan av två integraler. Låt oss till exempel se hur detta görs för en nollkoefficient:

Den andra integralen visade sig vara lika med noll, vilket minskade arbetet, men så är inte alltid fallet.

De andra två Fourierkoefficienterna beskrivs på liknande sätt.

Hur visar man summan av en serie? På det vänstra intervallet ritar vi ett rakt linjesegment och på intervallet - ett rakt linjesegment (vi markerar delen av axeln i fetstil och fetstil). Det vill säga på expansionsintervallet sammanfaller summan av serien med funktionen överallt förutom tre "dåliga" punkter. Vid funktionens diskontinuitetspunkt kommer Fourierserien att konvergera till ett isolerat värde, som ligger exakt i mitten av "hoppet" av diskontinuiteten. Det är inte svårt att se det muntligt: vänstersidig gräns: , högersidig gräns: och uppenbarligen är ordinatan för mittpunkten 0,5.

På grund av summans periodicitet måste bilden "multipliceras" till angränsande perioder, i synnerhet måste samma sak avbildas på intervallen och . Samtidigt kommer Fourier-serien vid punkter att konvergera till medianvärdena.

Det är faktiskt inget nytt här.

Försök att klara av denna uppgift själv. Ett ungefärligt prov på den slutliga designen och en ritning i slutet av lektionen.

Expansion av en funktion till en Fourier-serie under en godtycklig period

För en godtycklig expansionsperiod, där "el" är ett positivt tal, särskiljs formlerna för Fourier-serien och Fourier-koefficienterna av ett något mer komplicerat argument för sinus och cosinus:

Om , då får vi intervallformlerna som vi började med.

Algoritmen och principerna för att lösa problemet är helt bevarade, men den tekniska komplexiteten i beräkningarna ökar:

Exempel 4

Expandera funktionen till en Fourierserie och rita summan.

Lösning: faktiskt en analog till exempel nr 3 med bristning av 1:a slaget vid punkt. I detta problem är expansionsperioden halvperiod. Funktionen definieras endast på halvintervallet, men detta ändrar inte saken - det är viktigt att båda delarna av funktionen är integrerbara.

Låt oss utöka funktionen till en Fourier-serie:

Eftersom funktionen är diskontinuerlig vid origo, bör varje Fourierkoefficient naturligtvis skrivas som summan av två integraler:

1) Jag kommer att skriva ut den första integralen så detaljerat som möjligt:

2) Vi tittar noggrant på månens yta:

Andra integralen ta det bit för bit:

Vad ska vi vara mycket uppmärksamma på efter att vi öppnat fortsättningen av lösningen med en asterisk?

För det första tappar vi inte den första integralen , där vi omedelbart verkställer prenumerera på differentialtecknet. För det andra, glöm inte den olyckliga konstanten innan de stora parenteserna och bli inte förvirrad av tecknen när du använder formeln. Stora fästen är fortfarande bekvämare att öppna direkt i nästa steg.

Resten är en fråga om teknik, svårigheter kan bara orsakas av otillräcklig erfarenhet av att lösa integraler.

Ja, det var inte för inte som den franske matematikern Fouriers eminenta kollegor blev upprörda – hur vågade han ordna funktioner i trigonometriska serier?! =) Förresten är nog alla intresserade av den praktiska innebörden av uppgiften i fråga. Fourier arbetade själv med en matematisk modell för värmeledningsförmåga, och därefter började serien uppkallad efter honom användas för att studera många periodiska processer, som är synliga och osynliga i omvärlden. Nu tog jag förresten mig på att tänka att det inte var av en slump jag jämförde grafen i det andra exemplet med hjärtats periodiska rytm. Den som är intresserad kan bekanta sig med den praktiska tillämpningen Fouriertransform i tredjepartskällor. ...Även om det är bättre att låta bli - det kommer att bli ihågkommen som First Love =)

3) Med hänsyn till de upprepade gånger nämnda svaga länkarna, låt oss titta på den tredje koefficienten:

Låt oss integrera med delar:

Låt oss ersätta de funna Fourierkoefficienterna i formeln , glöm inte att dela nollkoefficienten på mitten:

Låt oss plotta summan av serien. Låt oss kort upprepa proceduren: vi konstruerar en rät linje på ett intervall och en rät linje på ett intervall. Om "x"-värdet är noll, sätter vi en punkt i mitten av "hoppet" av gapet och "replicerar" grafen för angränsande perioder:

Vid "korsningar" av perioder kommer summan också att vara lika med mittpunkterna för "hoppet" av gapet.

Redo. Låt mig påminna dig om att funktionen i sig är av villkor definierad endast på ett halvt intervall och, uppenbarligen, sammanfaller med summan av serien på intervallen

Svar:

Ibland är en styckvis given funktion kontinuerlig över expansionsperioden. Det enklaste exemplet: . Lösning (se Bohan volym 2) samma som i de två föregående exemplen: trots kontinuitet i funktion vid punkt uttrycks varje Fourierkoefficient som summan av två integraler.

På nedbrytningsintervallet diskontinuitetspunkter av 1:a slaget och/eller det kan finnas fler "korsningspunkter" i grafen (två, tre och i allmänhet vilka som helst slutlig kvantitet). Om en funktion är integrerbar på varje del, så är den även expanderbar i en Fourier-serie. Men av praktisk erfarenhet kommer jag inte ihåg något så grymt. Det finns dock svårare uppgifter än de som just övervägts, och i slutet av artikeln finns länkar till Fourierserier med ökad komplexitet för alla.

Under tiden, låt oss slappna av, luta oss tillbaka i våra stolar och begrunda de oändliga vidderna av stjärnor:

Exempel 5

Expandera funktionen till en Fourierserie på intervallet och rita summan av serien.

I detta problem funktionen kontinuerlig på expansionshalvintervallet, vilket förenklar lösningen. Allt är väldigt likt exempel nr 2. Det finns ingen flykt från rymdskeppet - du måste bestämma dig =) Ett ungefärligt designexempel i slutet av lektionen, ett schema bifogas.

Fourierserieutbyggnad av jämna och udda funktioner

Med jämna och udda funktioner är processen för att lösa problemet märkbart förenklad. Och det är varför. Låt oss återgå till expansionen av en funktion i en Fourier-serie med en period på "två pi" och godtycklig period "två el" .

Låt oss anta att vår funktion är jämn. Seriens allmänna term, som du kan se, innehåller jämna cosinus och udda sinus. Och om vi utökar en JÄMN-funktion, varför behöver vi då udda sinus?! Låt oss återställa den onödiga koefficienten: .

Således, en jämn funktion kan utökas i en Fourier-serie endast i cosinus:

Eftersom den integraler av jämna funktioner längs ett integrationssegment som är symmetriskt med avseende på noll kan fördubblas, sedan förenklas de återstående Fourierkoefficienterna.

För gapet:

För ett godtyckligt intervall:

Läroboksexempel som kan hittas i nästan alla läroböcker om matematisk analys inkluderar utökningar av jämna funktioner . Dessutom har de stött på flera gånger i min personliga praktik:

Exempel 6

Funktionen är given. Nödvändig:

1) expandera funktionen till en Fourierserie med period , där är ett godtyckligt positivt tal;

2) skriv ner expansionen på intervallet, konstruera en funktion och rita den totala summan av serien.

Lösning: i första stycket föreslås det att lösa problemet i allmän form, och detta är mycket bekvämt! Om behovet uppstår, ersätt bara ditt värde.

1) I detta problem är expansionsperioden halvperiod. Under ytterligare åtgärder, särskilt under integration, anses "el" vara en konstant

Funktionen är jämn, vilket innebär att den kan utökas till en Fourier-serie endast i cosinus: .

Vi letar efter Fourierkoefficienter med hjälp av formlerna . Var uppmärksam på deras ovillkorliga fördelar. För det första utförs integrationen över det positiva segmentet av expansionen, vilket innebär att vi säkert blir av med modulen , endast med tanke på "X" av de två delarna. Och för det andra är integrationen märkbart förenklad.

Två:

Låt oss integrera med delar:

Således:
, medan konstanten , som inte beror på "en", tas utanför summan.

Svar:

2) Låt oss skriva ner expansionen på intervallet; För att göra detta ersätter vi det erforderliga halvperiodvärdet i den allmänna formeln:

Trigonometrisk Fourier-serie kallas en serie av formen

a0 /2 + a 1 cos x + b 1 synd x + a 2cos2 x + b 2 synd2 x + ... + a ncos nx + b n synd nx + ...

var är siffrorna a0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n, b n... - Fourierkoefficienter.

En mer komprimerad representation av Fourier-serien med symbolen "sigma":

Som vi nyss har fastställt, i motsats till effektserien, i Fourierserien, istället för de enklaste funktionerna trigonometriska funktioner tas

1/2, cos x,synd x,cos2 x, synd2 x, ..., cos nx,synd nx, ... .

Fourierkoefficienter beräknas med följande formler:

Alla ovanstående funktioner i Fourier-serien är periodiska funktioner med period 2 π . Varje term i den trigonometriska Fourierserien är en periodisk funktion med period 2 π .

Därför har varje delsumma av Fourier-serien en period på 2 π . Det följer att om Fourier-serien konvergerar på intervallet [- π , π ] , då konvergerar den på hela tallinjen och dess summa, som är gränsen för en sekvens av periodiska delsummor, är en periodisk funktion med period 2 π .

Konvergens av Fourierserier och summa av serier

Låt funktionen F(x) definieras på hela talraden och periodisk med period 2 π , är en periodisk fortsättning på funktionen f(x) om på segmentet [- π , π ] inträffar F(x) = f(x)

Om på segmentet [- π , π ] Fourierserien konvergerar till funktionen f(x) sedan konvergerar den på hela tallinjen till dess periodiska fortsättning.

Svaret på frågan under vilka förhållanden är Fourierserien för en funktion f(x) konvergerar till denna funktion, ger följande sats.

Sats. Låt funktionen f(x) och dess derivat f"(x) - kontinuerlig på segmentet [- π , π ] eller har ett ändligt antal diskontinuitetspunkter av 1:a slaget på sig. Sedan Fourier-serien av funktionen f(x) konvergerar på hela tallinjen och vid varje punkt x, som tillhör segmentet [- π , π ] , vart i f(x) är kontinuerlig, summan av serien är lika med f(x), och vid varje punkt x0 av funktionens diskontinuitet är summan av serien lika med det aritmetiska medelvärdet av funktionens gränser f(x) höger och vänster:

Var Och .

I slutet av segmentet [- π , π ] summan av serien är lika med det aritmetiska medelvärdet av funktionsvärdena vid punkterna längst till vänster och längst till höger i expansionsperioden:

När som helst x, som tillhör segmentet [- π , π ] , summan av Fourierserien är lika med F(x) , Om x- punkt för kontinuitet F(x), och är lika med det aritmetiska medelvärdet av gränserna F(x) vänster och höger:

Om x- brytpunkt F(x) , Var F(x) - periodisk fortsättning f(x) .

Exempel 1. Periodisk funktion f(x) med period 2 π definieras enligt följande:

Enklare är den här funktionen skriven som f(x) = |x| . Expandera funktionen till en Fourierserie, bestäm konvergensen av serien och summan av serien.

Lösning. Låt oss bestämma Fourierkoefficienterna för denna funktion:

Nu har vi allt för att få Fourier-serien av denna funktion:

Denna serie konvergerar vid alla punkter, och dess summa är lika med den givna funktionen.

Lös problemet med Fourierserien själv och titta sedan på lösningen

Fourierserie för jämna och udda funktioner

Låt funktionen f(x) definieras på segmentet [- π , π ] och är jämnt, dvs. f(- x) = f(x) . Sedan dess koefficienter bnär lika med noll. Och för koefficienterna an Följande formler är korrekta:

Låt nu funktionen f(x) definieras på segmentet [- π , π ] , udda, dvs. f(x) = -f(- x) . Sedan Fourierkoefficienterna anär lika med noll och koefficienterna bn bestäms av formeln

Som framgår av formlerna ovan, om funktion f(x) är jämn, så innehåller Fourier-serien endast cosinus, och om det är udda, då endast sinus.

Exempel 3.

Lösning. Detta är en udda funktion, så dess Fourier-koefficienter är , och för att hitta måste du beräkna den bestämda integralen:

Denna jämlikhet gäller för alla. Vid punkter sammanfaller summan av Fourierserien enligt satsen i andra stycket inte med funktionens värden utan är lika med . Utanför segmentet är summan av serien en periodisk fortsättning på funktionen, dess graf gavs ovan som en illustration av summan av serien.

Exempel 4. Expandera funktionen till en Fourierserie.

Lösning. Detta är en jämn funktion, så dess Fourier-koefficienter är , och för att hitta måste du beräkna bestämda integraler:

Vi får Fourier-serien av denna funktion:

Denna likhet är giltig för alla, eftersom summan av Fourier-serien i det här fallet vid punkter sammanfaller med funktionens värden, eftersom .

Fourierserie för alla ortogonala funktionssystem

Sekvens av funktioner kontinuerligt på intervallet [ a,b], kallas ortogonalt system av funktioner på segmentet[a,b], om alla funktioner i sekvensen är parvis ortogonala på detta segment, det vill säga if

Systemet kallas ortogonalt och normaliserat (ortonormalt) på segmentet,

om villkoret är uppfyllt

Låt det nu f(x) - vilken funktion som helst kontinuerligt under intervallet [ a,b]. Nära Fourier en sådan funktion f(x) på segmentet [ a,b] enligt det ortogonala systemet raden heter:

vars koefficienter bestäms av likheten:

N=1,2,...

Om ett ortogonalt system av funktioner på intervallet [ a,b] ortonormal, då i detta fall

Var n=1,2,...

Låt det nu f(x) - vilken funktion som helst som är kontinuerlig eller har ett ändligt antal diskontinuitetspunkter av det första slaget på segmentet [ a,b]. Fourierserier av en sådan funktion f(x) på samma segment

enligt det ortogonala systemet kallas serien:

Om Fourier-serien av funktionen f(x) enligt system (1) konvergerar till funktionen f(x) vid var och en av dess kontinuitetspunkter som hör till segmentet [ a,b]. I det här fallet säger de det f(x) på segmentet [ a,b] expanderas till en serie i det ortogonala systemet (1).

Komplex form av Fourier-serien

Uttrycket kallas den komplexa formen av Fourier-serien av funktionen f(x), om det definieras av jämlikhet

,Var

Övergången från Fourier-serien i komplex form till serien i verklig form och tillbaka utförs med hjälp av formlerna:

(n=1,2, . . .)

Strängvibrationsproblem

Låt en längdsträng sträckas i ett jämviktstillstånd l med ändar x= 0 och x=l. Låt oss anta att strängen förs ur jämvikt och vibrerar fritt. Vi kommer att överväga små vibrationer av strängen som uppstår i vertikalplanet.

Under de antaganden som gjorts ovan kan det visas att funktionen u(x,t) som karakteriserar strängens position vid varje tidpunkt t, uppfyller ekvationen

(1) , där a är ett positivt tal.

Vår uppgift är att hitta funktionen u(x,t) , vars graf visar formen på strängen när som helst t, dvs hitta en lösning till ekvation (1) med gräns:

och initiala villkor:

Först ska vi leta efter lösningar till ekvation (1) som uppfyller randvillkor (2). Det är inte svårt att se det u(x,t) 0 är en lösning till ekvation (1), som uppfyller gränsvillkor (2). Vi kommer att leta efter lösningar som inte är identiskt lika med 0, representerade som en produkt u(x,t)=X(x)T(t), (4) , där , .

Att ersätta uttryck (4) i ekvation (1) ger:

Från vilken vår uppgift går ut på att hitta lösningar på ekvationerna:

Använder detta tillstånd X(0)=0, X(l)=0, vi bevisar att det är ett negativt tal genom att undersöka alla fall.

a) Låt sedan X”=0 och dess allmänna lösning kommer att skrivas enligt följande:

varifrån och , vilket är omöjligt, eftersom vi överväger lösningar som inte på samma sätt försvinner.

b) Låt . Sedan löser vi ekvationen

vi får , och underordnade vi finner det

c) Om då

Ekvationerna har rötter:

Var -godtyckliga konstanter. Från det initiala tillståndet finner vi:

varifrån, dvs.

(n=1,2,...)

(n=1,2,...).

Med hänsyn till detta kan vi skriva:

(N=1,2,...).

och därför

, (n=1,2,...),

men eftersom A och B är olika för olika värden på n, har vi

, (n=1,2,...),

där och är godtyckliga konstanter, som vi ska försöka bestämma på ett sådant sätt att serien uppfyller ekvation (1), randvillkor (2) och initialvillkor (3).

Så låt oss underordna funktionen u(x,t) till de initiala villkoren, dvs vi kommer att välja så att villkoren är uppfyllda

Dessa likheter är utvidgningar av funktioner respektive till segment i en Fourier-serie i sinus. (Detta innebär att koefficienterna kommer att beräknas som för en udda funktion). Sålunda ges lösningen för att oscillera en sträng med givna gräns- och initialvillkor av formeln

(n=1,2,...)

Fourierintegral

Tillräckliga villkor för representabiliteten av en funktion i en Fourierintegral.

För att f(x) representerades av Fourier-integralen vid alla kontinuitetspunkter och regelbundna diskontinuitetspunkter, är det tillräckligt:

1) absolut integrerbarhet på

(dvs integralen konvergerar)

2) på valfritt ändligt segment [- L, L] funktionen skulle vara bitvis jämn

3) vid punkter med diskontinuitet för en funktion bestäms dess Fourier-integral av halvsumman av vänster och höger gränser vid dessa punkter, och vid punkter med kontinuitet till själva funktionen f(x)

Fourierintegralen för en funktion f(x) är en integral av formen: