Låt oss uppehålla oss i detalj vid Ostrogradskys arbete med flera integraler.
Ostrogradskys formel för att omvandla en trippelintegral till en dubbel, som vi vanligtvis skriver i formen
där div A är divergensen av fältet för vektor A,
Аn är skalärprodukten av vektor A och enhetsvektorn för det yttre normala n av gränsytan; i den matematiska litteraturen var det ofta tidigare associerat med namnen Gauss och Green.
Faktum är att i Gauss arbete om attraktionen av sfäroider kan man bara se mycket speciella fall av formel (1), till exempel med P=x, Q=R=0, etc. När det gäller J. Green, i hans arbete på teorin om elektricitet och det finns ingen magnetism alls i formel (1); den härleder ett annat samband mellan trippel- och dubbelintegraler, nämligen Greens formel för Laplace-operatorn, som kan skrivas i formen
Naturligtvis kan vi härleda formel (1) från (2), om vi antar
och på samma sätt är det möjligt att få formel (2) från formel (1), men Green tänkte inte på att göra detta.
där till vänster är integralen över volymen, och till höger är integralen över gränsytan, och dessa är riktningscosinuserna för den yttre normalen.
Ostrogradskijs Parismanuskript vittnar med full säkerhet om att både upptäckten och det första budskapet i integralsatsen (1) tillhör honom. Det angavs och bevisades först, precis som de nu gör, i "Proof of a Theorem of the Integral Calculus", som presenterades för vetenskapsakademin i Paris den 13 februari 1826, varefter det formulerades igen i den delen av ”Memoir on the Diffusion of Heat in Solids.” ”, som Ostrogradsky presenterade den 6 augusti 1827. ”Memoir” gavs för granskning till Fourier och Poisson, och de senare läste den verkligen, vilket framgår av inlägget på den första sidor av båda delarna av manuskriptet. Naturligtvis kom idén att tillskriva sig själv teoremet, som han blev bekant med i Ostrogradskys arbete två år innan han presenterade sitt arbete om elasticitetsteorin, inte ens upp för Poisson.
När det gäller förhållandet mellan verken om multipla integraler av Ostrogradsky och Green, minns vi att i "Note on the Theory of Heat" härleddes en formel som omfattar Greens egen formel som ett mycket speciellt fall. Den nu ovanliga Cauchy-symboliken som användes av Ostrogradsky i "Anteckningen" tills nyligen gömde denna viktiga upptäckt för forskare. Naturligtvis behåller Greene äran av upptäckten och den första publiceringen 1828 av formeln för Laplace-operatörer som bär hans namn.
Upptäckten av en formel för att omvandla en trippelintegral till en dubbelintegral hjälpte Ostrogradsky att lösa problemet med att variera en n-faldig integral, nämligen att härleda den allmänna formeln för att transformera integralen från ett uttryck för typen av divergens över en n- dimensionell domän och integralen över överytan S som begränsar den med ekvationen L(x,y, z,...)=0. Om vi följer den föregående notationen, har formeln formen
Men Ostrogradsky använde inte de geometriska bilder och termer som vi använder: geometrin för flerdimensionella utrymmen existerade ännu inte vid den tiden.
I "Memoir on the Calculus of Variations of Multiple Integrals" behandlas ytterligare två viktiga frågor i teorin om sådana integraler. Först härleder Ostrogradsky en formel för att ändra variabler i en flerdimensionell integral; för det andra ger han för första gången en fullständig och korrekt beskrivning av metoden för att beräkna en n-faldig integral med användning av n successiva integrationer över var och en av variablerna inom lämpliga gränser. Slutligen, från formlerna i denna memoarbok, är den allmänna regeln för differentiering med avseende på parametern för en flerdimensionell integral lätt härledd, när inte bara integrandfunktionen utan också gränsen för integrationsdomänen beror på denna parameter. Den namngivna regeln följer av formlerna i memoarerna på ett så naturligt sätt att senare matematiker till och med identifierade den med en av formlerna i denna memoarbok.
Ostrogradsky ägnade ett speciellt arbete åt att ändra variabler i flera integraler. För dubbelintegralen härledde Euler motsvarande regel med formella transformationer; för trippelintegralen härledde Lagrange den. Men även om Lagranges resultat är korrekt, var hans resonemang inte korrekt: han verkade utgå från det faktum att volymelementen i de gamla och nya variablerna - koordinater - är lika med varandra. Ostrogradsky gjorde ett liknande misstag i början i den nyss nämnda härledningen av regeln för att ersätta variabler. I artikeln "On the Transformation of Variables in Multiple Integrals" avslöjade Ostrogradsky Lagranges fel och beskrev också för första gången den visuella geometriska metoden för att transformera variabler i en dubbelintegral, som, i en något mer rigorös form, också presenteras i våra manualer. När variabler i integralen ersätts med hjälp av formler delas nämligen integrationsdomänen av koordinatlinjerna för två system u=const, v=const i infinitesimala kurvlinjära fyrkanter. Sedan kan integralen erhållas genom att först lägga ihop de av dess element som motsvarar en oändligt smal böjd remsa, och sedan fortsätta att summera elementen i ränder tills alla är slut. En enkel beräkning ger för arean, som, upp till små högre ordningen, kan betraktas som ett parallellogram, uttrycket där, väljs så att arean blir positiv. Resultatet är den välkända formeln
Ministeriet för utbildning och vetenskap i Ryska federationen
Kursarbete
Disciplin: Högre matematik
(Grundläggande för linjär programmering)
På ämnet: MULTIPLA INTEGRALER
Fullgjord av: ______________
Lärare:___________
Datum ___________________
Betyg _________________
Signatur ________________
VORONEZH 2008
1 Flera integraler
1.1 Dubbel integral
1.2 Trippelintegral
1.3 Flera integraler i kurvlinjära koordinater
1.4 Geometriska och fysiska tillämpningar av flera integraler
2 krökta och ytliga integraler
2.1 Krökta integraler
2.2 Ytintegraler
2.3 Geometriska och fysiska tillämpningar
Bibliografi
1 Flera integraler
1.1 Dubbel integral
Låt oss betrakta ett slutet område D i Oxy-planet, avgränsat av linjen L. Låt oss dela upp detta område i n delar av några linjer
, och motsvarande största avstånd mellan punkter i var och en av dessa delar kommer att betecknas med d 1, d 2, ..., d n. Låt oss välja en punkt Pi i varje del.Låt en funktion z = f(x, y) ges i domän D. Låt oss beteckna med f(P 1), f(P 2),..., f(P n) värdena för denna funktion vid valda punkter och komponera en summa av produkter av formen f(P i)ΔS i:
, (1)
kallas integralsumman för funktionen f(x, y) i domänen D.
Om det finns samma gräns för integral summor (1) för
och , som inte beror vare sig på metoden att dela upp regionen D i delar eller på valet av punkter Pi i dem, då kallas det dubbelintegralen av funktionen f(x, y) över regionen D och betecknas
. (2)
Beräkning av dubbelintegralen över området D som begränsas av linjer
x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
= 
(3)
1.2 Trippelintegral
Begreppet en trippelintegral introduceras i analogi med en dubbelintegral.
Låt ett visst område V ges i rymden, avgränsat av en sluten yta S. Låt oss definiera en kontinuerlig funktion f(x, y, z) i detta slutna område. Sedan delar vi upp regionen V i godtyckliga delar Δv i, med tanke på volymen av varje del lika med Δv i, och sammanställer en integral summa av formen
, (4)Gräns vid
integralsummor (11), oberoende av metoden för att partitionera domänen V och valet av punkter Pi i varje underdomän av denna domän, kallas trippelintegralen av funktionen f(x, y, z) över domänen V:
. (5)
Trippelintegralen för funktionen f(x,y,z) över regionen V är lika med trippelintegralen över samma region:
. (6)
1.3 Flera integraler i kurvlinjära koordinater
Låt oss introducera kurvlinjära koordinater på planet, kallade polära. Låt oss välja punkt O (pol) och strålen som utgår från den (polär axel).
Ris. 2 Fig. 3
Koordinaterna för punkten M (fig. 2) kommer att vara längden av segmentet MO - polradien ρ och vinkeln φ mellan MO och polaxeln: M(ρ,φ). Observera att för alla punkter i planet, förutom polen, kommer ρ > 0, och den polära vinkeln φ att betraktas som positiva när de mäts moturs och negativa när de mäts i motsatt riktning.
Förhållandet mellan de polära och kartesiska koordinaterna för punkt M kan ställas in genom att orientera ursprunget för det kartesiska koordinatsystemet med polen och den positiva halvaxeln Ox med polaxeln (fig. 3). Då x=ρcosφ, y=ρsinφ. Härifrån
, tg. Låt oss definiera i området D som begränsas av kurvorna ρ=Φ 1 (φ) och ρ=Φ 2 (φ), där φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
(7)
I det tredimensionella rummet introduceras cylindriska och sfäriska koordinater.
De cylindriska koordinaterna för punkten P(ρ,φ,z) är de polära koordinaterna ρ, φ för projektionen av denna punkt på Oxy-planet och tillämpningen av denna punkt z (fig. 5).
Fig.5 Fig.6
Formler för övergången från cylindriska till kartesiska koordinater kan specificeras enligt följande:
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)
I sfäriska koordinater bestäms positionen för en punkt i rymden av den linjära koordinaten r - avståndet från punkten till origo för det kartesiska koordinatsystemet (eller det sfäriska systemets pol), φ - den polära vinkeln mellan den positiva halvaxel Ox och projektionen av punkten på Ox-planet, och θ - vinkeln mellan den positiva halvaxeln för axeln Oz och segmentet OP (fig. 6). Vart i
Låt oss ställa in formlerna för övergången från sfäriska till kartesiska koordinater:
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)
Då kommer formlerna för övergång till cylindriska eller sfäriska koordinater i trippelintegralen att se ut så här:
, (10)
där F 1 och F 2 är funktioner erhållna genom att ersätta deras uttryck med cylindriska (8) eller sfäriska (9) koordinater i funktionen f istället för x, y, z.
1.4 Geometriska och fysiska tillämpningar av flera integraler
1) Arean av den platta regionen S:
(11)Exempel 1.
Hitta området i figur D avgränsat av linjer
Det är bekvämt att beräkna denna area genom att räkna y som en extern variabel. Sedan ges gränserna för regionen av ekvationerna
Och 
beräknas med hjälp av integrering av delar: 
Tidigare har vi bevisat egenskaperna hos en bestämd integral med dess definition som summagräns. De grundläggande egenskaperna hos flera integraler kan bevisas på exakt samma sätt. För enkelhetens skull kommer vi att betrakta alla funktioner som kontinuerliga, så integralerna av dem är verkligen vettiga.
I. Den konstanta faktorn kan tas ut ur integraltecknet, och integralen av den ändliga summan av funktioner är lika med summan av termernas integraler:
II. Om en region delas upp i ett ändligt antal delar [till exempel i två delar, då är integralen över hela regionen lika med summan av integralerna över alla delar:
III. Om i området, då
Särskilt :
IV. Om tecknet i region (a) bevaras, gäller medelvärdessatsen, uttryckt med formeln
var ligger någon punkt i området (a).
I synnerhet när vi får
var är området i regionen.
Liknande egenskaper gäller för trippelintegralen. Observera att när man definierar en dubbel- och trippelintegral som gränsen för en summa, antas det alltid att integrationsregionen är finit och integrandfunktionen är i alla fall begränsad, det vill säga att det finns ett positivt tal A som överhuvudtaget punkterna N i integrationsregionen. Om dessa villkor inte är uppfyllda kan integralen existera som en olämplig integral på samma sätt som var fallet för en enkel bestämd integral. Vi kommer att ta itu med felaktiga multipelintegraler i §8.
Varning: När du beräknar felaktiga integraler med singulära punkter inom integrationsintervallet kan du inte mekaniskt tillämpa Newton–Leibniz-formeln, eftersom detta kan leda till fel.
Allmän regel: Newton–Leibniz-formeln är korrekt om antiderivatet av f(x) vid singularpunkten för den senare är kontinuerlig.
Exempel 2.11.
Låt oss betrakta en felaktig integral med en singularpunkt x = 0. Newton–Leibniz-formeln, formellt tillämpad, ger
Den allmänna regeln gäller dock inte här; för f(x) = 1/x antiderivatan ln |x| är inte definierad vid x = 0 och är oändligt stor vid denna punkt, dvs. är inte kontinuerlig vid denna tidpunkt. Det är lätt att genom direkt verifiering verifiera att integralen divergerar. Verkligen,
Den resulterande osäkerheten kan avslöjas på olika sätt eftersom e och d tenderar att nollställas oberoende av varandra. I synnerhet, om vi ställer in e = d, erhåller vi huvudvärdet för den felaktiga integralen lika med 0. Om e = 1/n, och d =1/n 2, dvs. d tenderar till 0 snabbare än e, då får vi
när och vice versa,
de där. integralen divergerar.n
Exempel 2.12.
Låt oss betrakta en oegentlig integral med en singularpunkt x = 0. Funktionens antiderivata har formen och är kontinuerlig i punkten x = 0. Därför kan vi tillämpa Newton–Leibniz-formeln:
En naturlig generalisering av begreppet en bestämd Riemann-integral till fallet med en funktion av flera variabler är begreppet en multipelintegral. För fallet med två variabler kallas sådana integraler dubbel.
Tänk i tvådimensionellt euklidiskt rum R´R, dvs. på ett plan med ett kartesiskt koordinatsystem, en uppsättning E sista området S.
Låt oss beteckna med ( i = 1, …, k) ställ in partition E, dvs. ett sådant system av dess delmängder E i, i = 1,. . ., k, att Ø för i ¹ j och (Fig. 2.5). Här betecknar vi delmängden E i utan dess gräns, dvs. interna punkter i delmängden Ei, som tillsammans med sin gräns Gr E Jag bildar en sluten delmängd E jag, . Det är tydligt att området S(E i) delmängder E i sammanfaller med området för dess inre, eftersom området för gränsen GrE i är lika med noll.
Låt d(E i) beteckna inställd diameter E i, dvs. det maximala avståndet mellan två av dess punkter. Kvantiteten l(t) = d(E i) kommer att anropas finheten hos skiljeväggen t. Om funktionen f(x),x = (x, y), definieras på E som en funktion av två argument, då vilken summa av formen som helst
Xi О Ei, i = 1, . . . , k, x i = (xi , y i),
beroende både på funktionen f och partitionen t, och på valet av punkter x i О E i М t, kallas integral summa av funktionen f .
Om det för en funktion f finns ett värde som inte beror på vare sig partitionerna t eller valet av punkter (i = 1, ..., k), så kallas denna gräns dubbel Riemann integral från f(x,y) och betecknas
Själva funktionen f anropas i detta fall Riemann integrerbar.
Kom ihåg att i fallet med en funktion med ett argument som en uppsättning Eöver vilken integration utförs, tas vanligtvis segmentet , och dess partition t anses vara en partition som består av segment. I andra avseenden, som är lätt att se, upprepar definitionen av den dubbla Riemann-integralen definitionen av den bestämda Riemann-integralen för en funktion av ett argument.
Den dubbla Riemann-integralen av begränsade funktioner av två variabler har de vanliga egenskaperna hos en bestämd integral för funktioner av ett argument – linjäritet, additivitet med avseende på de uppsättningar över vilka integrationen utförs, bevarande vid integration icke strikta ojämlikheter, produktintegrerbarhet integrerade funktioner etc.
Beräkningen av flera Riemann-integraler minskar till beräkningen itererade integraler. Låt oss betrakta fallet med den dubbla Riemann-integralen. Låt funktionen f(x,y) definieras på uppsättningen E som ligger i den kartesiska produkten av uppsättningarna X ´ Y, E М X ´ Y.
Genom upprepad integral av funktionen f(x, y) kallas en integral där integrationen utförs sekventiellt över olika variabler, dvs. integral av formen
Ställ in E(y) = (x:
För den itererade integralen används även följande notation:
vilket, liksom den föregående, betyder att först, för en fast y, y О E y , funktionen är integrerad f(x, y) Förbi x längs segmentet E(y), som är en del av uppsättningen E motsvarande detta y. Som ett resultat definierar den inre integralen någon funktion av en variabel - y. Denna funktion integreras sedan som en funktion av en variabel, vilket indikeras av den yttre integralsymbolen.
När vi ändrar integrationsordningen får vi en upprepad integral av formen
där intern integration genomförs över y, och extern - av x. Hur förhåller sig denna itererade integral till den itererade integralen definierad ovan?
Om det finns en dubbel integral av funktionen f, dvs.
då existerar båda upprepade integralerna, och de är identiska i storlek och lika med dubbelt, d.v.s.
Vi betonar att villkoret som formulerats i detta uttalande för möjligheten att ändra integrationsordningen i itererade integraler endast är tillräcklig, men inte nödvändigt.
Andra tillräckliga villkor möjligheterna att ändra integrationsordningen i itererade integraler formuleras enligt följande:
om minst en av integralerna finns
sedan funktionen f(x, y) Riemann integrerbar på setet E, båda upprepade integraler av den existerar och är lika med dubbelintegralen. n
Låt oss specificera notationen för projektioner och sektioner i notationen av itererade integraler.
Om mängden E är en rektangel
Den där Ex = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); vart i E(y) = E x för valfritt y, y О E y . , A E(x) = Ey för alla x , x О E x ..
Formell post: " y y О E yÞ E(y) = ExÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey
Om uppsättningen E har böjd kant och tillåter representationer
I det här fallet skrivs de upprepade integralerna enligt följande:
Exempel 2.13.
Beräkna dubbelintegralen över ett rektangulärt område, reducera det till iterativt.
Eftersom villkoret sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, kontrollera sedan tillfredsställelsen av tillräckliga villkor för existensen av dubbelintegralen I i form av förekomsten av någon av de upprepade integralerna
det finns inget behov av att utföra detta specifikt och du kan omedelbart fortsätta med att beräkna den upprepade integralen
Om den existerar, så existerar den dubbla integralen också, och I = I 1 . Eftersom den
Så jag = .n
Exempel 2.14.
Beräkna dubbelintegralen över det triangulära området (se fig. 2.6) och reducera det till upprepat
Gr(E) = (
Låt oss först verifiera existensen av dubbelintegralen I. För att göra detta räcker det med att verifiera existensen av den upprepade integralen
de där. integranderna är kontinuerliga på integrationsintervallen, eftersom de alla är maktfunktioner. Därför existerar integralen I 1. I detta fall existerar även dubbelintegralen och är lika med vilken som helst upprepad, dvs.
Exempel 2.15.
För att bättre förstå sambandet mellan begreppen dubbla och itererade integraler, överväg följande exempel, som kan utelämnas vid första behandlingen. En funktion av två variabler f(x, y) ges
Observera att för fast x är denna funktion udda i y, och för fast y är den udda i x. Som mängden E över vilken denna funktion är integrerad tar vi kvadraten E = (
Först betraktar vi den itererade integralen
Inre integral
tas för fast y, -1 £ y £ 1. Eftersom integranden för fix y är udda i x, och integration över denna variabel utförs över segmentet [-1, 1], symmetrisk med avseende på punkt 0, så den inre integralen är lika med 0. Uppenbarligen är att den yttre integralen över variabeln y för nollfunktionen också är lika med 0, dvs.
Liknande resonemang för den andra itererade integralen leder till samma resultat:
Så för den aktuella funktionen f(x, y) finns upprepade integraler och är lika med varandra. Det finns dock ingen dubbelintegral av funktionen f(x, y). För att se detta, låt oss vända oss till den geometriska betydelsen av att beräkna upprepade integraler.
För att beräkna den itererade integralen
en speciell typ av partition av kvadraten E används, såväl som en speciell beräkning av integralsummor. Ruta E är nämligen uppdelad i horisontella ränder (se fig. 2.7), och varje remsa är uppdelad i små rektanglar. Varje remsa motsvarar ett visst värde på variabeln y; till exempel kan detta vara ordinatan för remsans horisontella axel.
Beräkningen av integralsummor utförs enligt följande: först beräknas summorna för varje band separat, d.v.s. vid fast y för olika x, och sedan summeras dessa mellansummor för olika band, d.v.s. för olika y. Om finheten hos partitionen tenderar till noll, får vi i gränsen den ovan nämnda upprepade integralen.
Det är tydligt att för den andra itererade integralen
uppsättningen E är uppdelad i vertikala ränder som motsvarar olika x. Mellansummor beräknas inom varje band i små rektanglar, d.v.s. längs y, och sedan summeras de för olika band, d.v.s. av x. I gränsen, när finheten hos partitionen tenderar till noll, får vi motsvarande itererade integral.
För att bevisa att en dubbelintegral inte existerar räcker det att ge ett exempel på en partition, beräkningen av integralsummorna för vilka, i gränsen när partitionens finhet tenderar mot noll, ger ett resultat som skiljer sig från värdet av de upprepade integralerna. Låt oss ge ett exempel på en sådan partition som motsvarar det polära koordinatsystemet (r, j) (se fig. 2.8).
I det polära koordinatsystemet bestäms positionen för vilken punkt som helst på planet M 0 (x 0 , y 0), där x 0 , y 0 är de kartesiska koordinaterna för punkten M 0, av längden r 0 av radien kopplar den till origo och vinkeln j 0 som bildas av denna radie med en positiv x-axelriktning (vinkeln räknas moturs). Kopplingen mellan kartesiska och polära koordinater är uppenbar:
y 0 = r 0 × sinj 0 .
| |
Partitionen är konstruerad enligt följande. Först delas kvadraten E in i sektorer med radier som utgår från koordinatcentrum, och sedan delas varje sektor in i små trapetser med linjer vinkelräta mot sektoraxeln. Beräkningen av integralsummor utförs enligt följande: först längs små trapetser inuti varje sektor längs dess axel (längs r), och sedan över alla sektorer (längs j). Positionen för varje sektor kännetecknas av vinkeln på dess axel j, och längden på dess axel r(j) beror på denna vinkel:
om eller , då ;
om då ;
om då
om då .
När vi passerar till gränsen för integralsummorna för en polär partition när finheten hos partitionen tenderar till noll, får vi en representation av dubbelintegralen i polära koordinater. En sådan notation kan erhållas på ett rent formellt sätt, genom att ersätta de kartesiska koordinaterna (x, y) med polära (r, j).
Enligt reglerna för övergång i integraler från kartesiska till polära koordinater bör man per definition skriva:
I polära koordinater kommer funktionen f(x, y) att skrivas på följande sätt:
Äntligen har vi
Inre integral (olämplig) i den sista formeln
där funktionen r(j) indikeras ovan, 0 £ j £ 2p , är lika med +¥ för varje j, eftersom
Därför är integranden i den yttre integralen utvärderad över j inte definierad för någon j. Men då är inte själva den yttre integralen definierad, d.v.s. den ursprungliga dubbelintegralen är inte definierad.
Observera att funktionen f(x, y) inte uppfyller det tillräckliga villkoret för att det ska finnas en dubbelintegral över mängden E. Låt oss visa att integralen
existerar inte. Verkligen,
På samma sätt etableras samma resultat för integralen
Begreppet dubbel integral
En dubbelintegral (DI) är en generalisering av en bestämd integral (DI) av en funktion av en variabel till fallet med en funktion av två variabler.
Låt en kontinuerlig icke-negativ funktion $z=f\left(x,y\right)$ definieras i en sluten domän $D$ belägen i koordinatplanet $xOy$. Funktionen $z=f\left(x,y\right)$ beskriver en viss yta som projiceras in i domänen $D$. Området $D$ avgränsas av en sluten linje $L$, vars gränspunkter också tillhör området $D$. Vi antar att linjen $L$ bildas av ett ändligt antal kontinuerliga kurvor definierade av ekvationer av formen $y=\vartheta \left(x\right)$ eller $x=\psi \left(y\right)$ .
Låt oss dela upp regionen $D$ i $n$ godtyckliga sektioner av området $\Delta S_(i) $. I vart och ett av avsnitten väljer vi en godtycklig punkt $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Vid var och en av dessa punkter beräknar vi värdet av den givna funktionen $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Låt oss betrakta volymen under den delen av ytan $z=f\left(x,y\right)$ som projiceras in i området $\Delta S_(i) $. Geometriskt kan denna volym ungefärligen representeras som volymen av en cylinder med basen $\Delta S_(i) $ och höjden $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$, det vill säga lika med produkten $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Då kan volymen under hela ytan $z=f\left(x,y\right)$ inom området $D$ ungefär beräknas som summan av volymerna för alla cylindrar $\sigma =\summa \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Denna summa kallas integralsumman för funktionen $f\left(x,y\right)$ i domänen $D$.
Låt oss kalla diametern $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ för en sektion $\Delta S_(i) $ det största avståndet mellan ytterpunkterna i denna sektion. Låt $\lambda $ beteckna den största av diametrarna för alla sektioner från området $D$. Låt $\lambda \to 0$ på grund av obegränsad $n\to \infty $ förfining av partitioneringen av domänen $D$.
Definition
Om det finns en gräns för integralsumman $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $, så kallas detta tal CI för funktionen $f\left(x,y\ höger)$ över domänen $D $ och beteckna $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ eller $I=\iint \limits _(D)f\ vänster(x,y\höger) \cdot dx\cdot dy $.
I det här fallet kallas regionen $D$ för integrationsregionen, $x$ och $y$ är integrationsvariablerna och $dS=dx\cdot dy$ är areaelementet.
Från definitionen följer den geometriska betydelsen av DI: den ger det exakta värdet av volymen av en viss krökt cylinder.
Tillämpning av dubbla integraler
Kroppsvolym
I enlighet med den geometriska betydelsen av DI, volymen $V$ för någon kropp avgränsad ovanför av ytan $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, under av området $D$ på planet $xOy$, på sidorna av en cylindrisk yta, vars generatorer är parallella med $Oz$-axeln, och guiden är konturen av området $D$ (linje $L$), beräknas med formeln $ V=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Låt kroppen begränsa ytan $z=f_(2) \left(x,y\right)$ från ovan, och ytan $z=f_(1) \left(x,y\right)$ underifrån, och $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. Projektionen av båda ytorna på planet $xOy$ är samma region $D$. Sedan beräknas volymen av en sådan kropp med formeln $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y) \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.
Antag att i domänen $D$ ändrar funktionen $f\left(x,y\right)$ tecken. Sedan, för att beräkna volymen av motsvarande kropp, måste regionen $D$ delas upp i två delar: del $D_(1) $, där $f\left(x,y\right)\ge 0$, och del $D_(2) $, där $f\left(x,y\right)\le 0$. I detta fall kommer integralen över området $D_(1) $ att vara positiv och lika med volymen av den del av kroppen som ligger ovanför planet $xOy$. Integralen över området $D_(2) $ kommer att vara negativ och i absolut värde lika med volymen av den del av kroppen som ligger under planet $xOy$.
Arean av en platt figur
Om vi sätter $f\left(x,y\right)\equiv 1$ överallt i regionen $D$ på koordinatplanet $xOy$, så är CI numeriskt lika med arean för integrationsregionen $D $, det vill säga $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. I det polära koordinatsystemet har samma formel formen $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.
Arean av en godtycklig yta
Låt någon yta $Q$, given av ekvationen $z=f_(1) \left(x,y\right)$, projiceras på koordinatplanet $xOy$ in i domänen $D_(1)$. I detta fall kan ytan $Q$ beräknas med formeln $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.
Mängd ämne
Låt oss anta att i området $D$ är någon substans med ytdensitet $\rho \left(x,y\right)$ fördelad på planet $xOy$. Detta betyder att ytdensiteten $\rho \left(x,y\right)$ är massan av materia per elementär area $dx\cdot dy$ av $D$-regionen. Under dessa förhållanden kan ämnets totala massa beräknas med formeln $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Observera att "ämnet" kan vara en elektrisk laddning, värme, etc.
Koordinater för en platt figurs masscentrum
Formlerna för att beräkna koordinatvärdena för en platt figurs masscentrum är följande:$ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x) ,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.
Storheterna i täljarna kallas de statiska momenten $M_(y) $ och $M_(x) $ av planfiguren $D$ kring axlarna $Oy$ respektive $Ox$.
Om den platta figuren är homogen, det vill säga $\rho =const$, är dessa formler förenklade och uttrycks inte genom massan, utan genom arean av den platta figuren $S$: $x_(c) = \frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )( S) $.
Tröghetsmoment för arean av en plan figur
Låt oss betrakta en materiell platt figur på planet $xOy$. Låt oss föreställa oss det som ett visst område $D$, över vilket ett ämne med en total massa $M$ är fördelat med en variabel ytdensitet $\rho \left(x,y\right)$.
Värdet på tröghetsmomentet för arean av en platt figur i förhållande till $Oy$-axeln: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Värdet på tröghetsmomentet kring $Ox$-axeln: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot\; dx\; \cdot dy $. Tröghetsmomentet för en platt figur relativt origo är lika med summan av tröghetsmomenten relativt koordinataxlarna, det vill säga $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.
Trippelintegraler introduceras för funktioner av tre variabler.
Låt oss anta att ett visst område $V$ av tredimensionellt utrymme är givet, avgränsat av en sluten yta $S$. Vi antar att punkterna som ligger på ytan också tillhör regionen $V$. Antag att någon kontinuerlig funktion $f\left(x,y,z\right)$ ges i domänen $V$. Till exempel kan en sådan funktion, förutsatt $f\left(x,y,z\right)\ge 0$, vara den volymetriska distributionstätheten för något ämne, temperaturfördelning, etc.
Låt oss dela upp regionen $V$ i $n$ godtyckliga delar, vars volymer är $\Delta V_(i) $. I varje del väljer vi en godtycklig punkt $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. Vid var och en av dessa punkter beräknar vi värdet av den givna funktionen $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$.
Låt oss bilda integralsumman $\summa \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \Delta V_ (i) $ och vi kommer på obestämd tid förfina $\left(n\to \infty \right)$ divisionen av regionen $V$ så att den största av diametrarna $\lambda $ av alla delar $\Delta V_(i) $ minskar oändligt $ \left(\lambda \to 0\right)$.
Definition
Under ovanstående förhållanden existerar gränsen $I$ för denna integral summa, kallas trippelintegralen av funktionen $f\left(x,y,z\right)$ över domänen $V$ och betecknas $I\ ; =\; \iiiint \limits _(V)f\vänster(x,y,z\höger)\; \cdot dV $ eller $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\vänster(x,y,z\höger)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz$.
