Ansamling av fel. Matematisk uppslagsverk vad är ackumuleringen av fel, vad betyder det och hur man stavar det korrekt

Analytisk kemi

UDC 543.08+543.422.7

FÖRUTSÄTTNING AV FOTOMETRI FEL MED ANVÄNDNING AV LAGEN OM FEL ACCUMULERING OCH MONTE CARLO-METODEN

IN OCH. Golovanov, EM Danilina

I ett beräkningsexperiment, med en kombination av lagen om utbredning av fel och Monte Carlo-metoden, studerades inverkan av fel vid beredning av lösningar, fel i ett blankexperiment och transmissionsmätningsfel på de metrologiska egenskaperna för fotometrisk analys . Det har visat sig att resultaten av att förutsäga fel med analytiska och statistiska metoder är ömsesidigt konsekventa. Det visas att en egenskap hos Monte Carlo-metoden är möjligheten att förutsäga distributionslagen för fel i fotometri. I exemplet med ett rutinanalysscenario beaktas inverkan av spridningens heteroskedasticitet längs kalibreringskurvan på analysens kvalitet.

Nyckelord: fotometrisk analys, felackumuleringslag, kalibreringsgraf, metrologiska egenskaper, Monte Carlo-metod, stokastisk simulering.

Introduktion

Förutsägelse av fotometriska analysfel baseras huvudsakligen på användningen av felackumulationslagen (ELL). För fallet med en linjär form av lagen om ljusabsorption: - 1§T \u003d A \u003d b1s, skrivs ZNO vanligtvis av ekvationen:

8A _ 8C _ 0,434-10^

En '8T-

I detta fall antas standardavvikelsen för mätningen av transmissionsgraden vara konstant över hela fotometerns dynamiska område. Samtidigt, som noterats i , påverkas analysens noggrannhet, förutom instrumentella fel, av felet i ett blankexperiment, felet vid inställning av instrumentets skalgränser, kyvettfelet, kemiska faktorer och felet i ställa in den analytiska våglängden. Dessa faktorer anses vara de främsta felkällorna i analysresultatet. Bidrag till det ackumulerade felet i noggrannheten vid beredningen av kalibreringslösningar försummas vanligtvis.

Av detta ser vi att ekvation (1) inte har signifikant prognostisk kraft, eftersom den tar hänsyn till inflytandet av endast en faktor. Dessutom är ekvation (1) en konsekvens av den ungefärliga expansionen av lagen om ljusabsorption i en Taylor-serie. Detta väcker frågan om dess noggrannhet, på grund av försummelsen av expansionsvillkoren ovanför den första ordningen. Matematisk analys av nedbrytningsrester är förknippad med beräkningssvårigheter och används inte i praktiken för kemisk analys.

Syftet med detta arbete är att studera möjligheten att använda Monte Carlo-metoden (metod för statistiska tester) som en oberoende metod för att studera och förutsäga ackumulering av fel i fotometrisk analys, vilket kompletterar och fördjupar förmågan hos ZNO.

Teoretisk del

I detta arbete kommer vi att anta att det slutliga slumpmässiga felet i kalibreringsfunktionen inte bara beror på instrumentella fel vid mätning av optisk densitet, utan också på fel vid inställning av instrumentskalan till 0 och 100 % transmission (felet för

enkelt experiment), samt fel vid beredningen av kalibreringslösningar. Vi försummar de andra felkällorna som nämns ovan. Sedan skriver vi om ekvationen för Bouguer-Lambert-Beer-lagen i en form som är lämplig för vidare konstruktion:

Ay \u003d ks " + A

I denna ekvation är c51 koncentrationen av huvudstandardlösningen av ett färgat ämne, vars alikvoter (Ya) späds i kolvar med en nominell volym av Vsp för att erhålla en kalibreringsserie av lösningar, Ay är den optiska densiteten för ett blankprov. experimentlösning. Eftersom den optiska densiteten för de testade lösningarna under fotometri mäts i förhållande till blanklösningen, dvs. Ay tas som villkorlig noll, då Ay = 0. (Observera att värdet på den optiska densiteten uppmätt i detta fall kan kallas villkorligt extinktion.) I ekvation (2) har den dimensionslösa kvantiteten c" betydelsen av koncentrationen av arbetslösningen, uttryckt i enheter av koncentrationen av moderstandarden. Vi kallar koefficienten k för extinktion av standarden, eftersom Ag1 = e1c81 vid c" = 1.

Låt oss tillämpa på uttryck (2) operatorn för lagen om ackumulering av slumpmässiga fel, med antagande av att Va, Yd och Ay är slumpvariabler. Vi får:

En annan oberoende slumpmässig variabel som påverkar spridningen av A-värden är graden av överföring, eftersom

A = -1§T, (4)

därför lägger vi till ytterligare en term till dispersionerna på vänster sida av ekv. (3):

52a \u003d (0,434-10a) H + 8Іbі +

I denna slutliga registrering av lagen för ackumulering av fel är de absoluta standardavvikelserna för T, Ay och Yd konstanta, och för Va är det relativa standardfelet konstant.

När vi konstruerar en stokastisk modell av kalibreringsfunktionen baserad på Monte Carlo-metoden, anser vi att de möjliga värdena x * för de slumpmässiga variablerna T, Ay, Ua och Yd är fördelade enligt normallagen. Enligt Monte Carlo-principen kommer vi att spela de möjliga värdena med den inversa funktionsmetoden:

x; \u003d M (x1) + p-1 (r]) - inX |, (6)

där M(x) är variabelns förväntade (verkliga värde), ¥(r^) är Laplace-Gauss-funktionen, q är de möjliga värdena för den slumpmässiga variabeln R jämnt fördelade över intervallet (0,1) , dvs slumptal, sx - standardavvikelse för motsvarande variabel, \ = 1...m - ordningsnummer för en oberoende slumpvariabel. Efter att ha ersatt uttryck (6) i ekvationerna (4) och (2), har vi:

A" \u003d -18Xi \u003d -1810-a + P-1 (g]) 8t,

där A" = "k-+ x2

Beräkningar enligt ekvation (7) returnerar en separat implementering av kalibreringsfunktionen, dvs. beroende A" av den matematiska förväntan M(s") (nominellt värde c"). Därför är posten (7) ett analytiskt uttryck för en slumpmässig funktion. Tvärsnitten av denna funktion erhålls genom att upprepade gånger spela slumptal vid varje punkt för kalibreringsberoendet statistik i syfte att uppskatta de allmänna parametrarna för kalibrering och testa hypoteser om egenskaperna hos den allmänna befolkningen.

Uppenbarligen bör de två tillvägagångssätt som vi överväger till problemet med att förutsäga metrologiska egenskaper inom fotometri - baserade på ZNO, å ena sidan, och baserade på Monte Carlo-metoden, å andra sidan, komplettera varandra. I synnerhet från ekvation (5) kan man få ett resultat med en mycket mindre mängd beräkningar jämfört med (7), samt rangordning

beräkna slumpvariabler genom signifikansen av deras bidrag till det resulterande felet. Rankning gör att du kan överge screeningexperimentet i statistiska tester och på förhand utesluta obetydliga variabler från övervägande. Ekvation (5) är lätt att analysera matematiskt för att bedöma arten av faktorers bidrag till den totala variansen. Partiella bidrag av faktorer kan delas in i oberoende av A, eller öka med ökande optisk densitet. Därför måste sA som funktion av A vara ett monotont ökande beroende utan ett minimum. När man approximerar experimentdata med ekvation (5), kommer partiella bidrag av samma karaktär att blandas, till exempel kan det enstaka felet blandas med felet i ett blankexperiment. Å andra sidan, när man statistiskt testar modellen med Monte Carlo-metoden, är det möjligt att identifiera sådana viktiga egenskaper hos kalibreringsgrafen som lagen (lagarna) för fördelningen av fel, samt att utvärdera konvergenshastigheten för provuppskattningar till allmänna. På basis av ZNO är en sådan analys omöjlig.

Beskrivning av beräkningsexperimentet

När vi konstruerar en simuleringsmodell för kalibrering antar vi att kalibreringsserien av lösningar förbereddes i mätkolvar med en nominell kapacitet på 50 ml och ett maximalt fel på +0,05 ml. Till en serie kolvar, tillsätt från 1 till 17 ml stamstandardlösning med ett pipetteringsfel på > 1 %. Volymmätningsfel utvärderades enligt referensboken. Alikvoter tillsätts i steg om 1 ml. Totalt finns det 17 lösningar i serien, vars optiska densitet täcker intervallet från 0,1 till 1,7 enheter. Sedan i ekvation (2) är koefficienten k = 5. Felet för ett blankexperiment tas på nivån 0,01 enheter. optisk densitet. Felen vid mätning av överföringsgraden beror enligt , endast på enhetens klass och ligger i intervallet från 0,1 till 0,5% T.

För större bindning av villkoren för beräkningsexperimentet till laboratorieexperimentet använde vi data om reproducerbarheten av mätningar av de optiska densiteterna för K2Cr2O7-lösningar i närvaro av 0,05 M H2SO4 på en SF-26 spektrofotometer. Författarna approximerar experimentella data för intervallet A = 0,1 ... 1,5 med parabelekvationen:

sBOCn*103 = 7,9-3,53A + 10,3A2. (8)

Vi lyckades anpassa beräkningarna enligt den teoretiska ekvationen (5) till beräkningarna enligt den empiriska ekvationen (8) med hjälp av Newtons optimeringsmetod. Vi fann att ekvation (5) på ett tillfredsställande sätt beskriver experimentet vid s(T) = 0,12 %, s(Abi) = 0,007 och s r(Va) = 1,1 %.

De oberoende feluppskattningarna som ges i föregående stycke överensstämmer väl med de som upptäcktes under monteringen. För beräkningar enligt ekvation (7) skapades ett program i form av ett ark med MS Excel-kalkylblad. Den viktigaste egenskapen i vårt Excel-program är användningen av NORMINV(RAND()) för att generera normalfördelade fel, se ekvation (6). I speciallitteraturen om statistiska beräkningar i Excel beskrivs verktyget Random Number Generation i detalj, som i många fall är att föredra att ersätta med funktioner av typen NORMINV(RAND()). En sådan ersättning är särskilt bekväm när du skapar dina egna Monte Carlo-simuleringsprogram.

Resultat och dess diskussion

Innan vi går vidare till statistiska tester, låt oss uppskatta bidragen från termerna på vänster sida av ekvation (5) till den totala optiska densitetsspridningen. För att göra detta normaliseras varje term till den totala variansen. Beräkningarna utfördes vid s(T) = 0,12 %, s(Aw) = 0,007, Sr(Va)=1,1 % och s(Vfi) = 0,05. Beräkningsresultaten visas i fig. 1. Vi ser att bidragen till den totala variansen av mätfel Vfl kan försummas.

Medan bidragen av ett annat värde Va

dominerar inom området för optiska densiteter 0,8__1,2. Denna slutsats är dock inte generell.

natur, eftersom vid mätning på en fotometer med s(T) = 0,5 %, bestäms kalibreringsfelen, enligt beräkningen, huvudsakligen av spridningen av Ay och spridningen av T. I fig. 2 jämför de relativa felen för de optiska densitetsmätningarna som förutspåtts av CLN (heldragen linje) och Monte Carlo-metoden (ikoner). I statistiska tester, kurvan

fel rekonstruerades från 100 realiseringar av kalibreringsberoendet (1700 värden av optiska densiteter). Vi ser att båda förutsägelserna är inbördes konsekventa. Punkterna är enhetligt grupperade runt den teoretiska kurvan. Men även med ett sådant ganska imponerande statistiskt material observeras inte fullständig konvergens. I vilket fall som helst tillåter inte spridningen att avslöja den ungefärliga karaktären av STD, se introduktionen.

0 0.4 0.8 1.2 1.6

Ris. 1. Viktade bidrag från termerna i ekvation (5) till variansen A: 1 - för Ay; 2 - för Wah; 3 - för T; 4 - för

Ris. 2. Felkurva för kalibreringsgrafen

Det är känt från teorin om matematisk statistik att med intervalluppskattning av den matematiska förväntan av en slumpvariabel, ökar skattningens tillförlitlighet om fördelningslagen för denna variabel är känd. Vid normalfördelning är uppskattningen dessutom den mest effektiva. Därför är studiet av lagen för distribution av fel i kalibreringsgrafen en viktig uppgift. I en sådan studie testas först och främst hypotesen om normaliteten för spridningen av optiska densiteter vid enskilda punkter i grafen.

Ett enkelt sätt att testa huvudhypotesen är att beräkna skevhetskoefficienterna (a) och kurtoskoefficienterna (e) för empiriska fördelningar, samt deras jämförelse med kriteriumvärden. Tillförlitligheten av statistisk slutledning ökar med en ökning av volymen av provdata. På fig. 3 visar sekvenser av koefficienter för 17 sektioner av kalibreringsfunktionen. Koefficienterna beräknas från resultaten av 100 tester vid varje punkt. De kritiska värdena för koefficienterna för vårt exempel är |a| = 0,72 och |e| = 0,23.

Från fig. 3, kan vi dra slutsatsen att spridningen av värden vid punkterna i grafen i allmänhet inte

motsäger normalitetshypotesen, eftersom koefficientsekvenserna nästan inte har någon föredragen riktning. Koefficienterna är slumpmässigt lokaliserade nära nolllinjen (visas med den prickade linjen). För en normalfördelning är, som bekant, förväntan på skevhetskoefficienten och kurtoskoefficienten noll. Att döma av det faktum att asymmetrikoefficienterna för alla sektioner är betydligt lägre än det kritiska värdet, kan vi med säkerhet tala om symmetrin i fördelningen av kalibreringsfel. Det är möjligt att felfördelningarna är något spetsiga jämfört med normalfördelningskurvan. Denna slutsats följer av vad som observeras i fig. 3 små stolpar

Ris. 3. Kurtos-koefficienter (1) och skevhetskoefficienter (2) vid punkterna i kalibreringsgrafen

levande förskjutning av den centrala linjen av spridningskoefficienter för kurtos. Från studiet av modellen för den generaliserade kalibreringsfunktionen för fotometrisk analys med Monte Carlo-metoden (2) kan vi således dra slutsatsen att fördelningen av kalibreringsfel är nära det normala. Därför kan beräkningen av konfidensintervall för resultaten av fotometrisk analys med hjälp av Students koefficienter anses vara ganska motiverad.

När man utförde stokastisk modellering uppskattades graden av konvergens av provfelskurvor (se fig. 2) till kurvans matematiska förväntan. För den matematiska förväntan av felkurvan tar vi kurvan beräknad från ZNO. Närheten av resultaten av statistiska tester med ett annat antal implementeringar av kalibreringen n till den teoretiska kurvan kommer att uppskattas av osäkerhetskoefficienten 1 - R2. Denna koefficient kännetecknar andelen variation i urvalet, som inte kunde beskrivas teoretiskt. Vi har konstaterat att osäkerhetskoefficientens beroende av antalet implementeringar av kalibreringsfunktionen kan beskrivas med den empiriska ekvationen I - K2 = -2,3n-1 + 1,6n~/a -0,1. Från ekvationen får vi att vid n = 213 bör man förvänta sig nästan fullständig sammanträffande av de teoretiska och empiriska felkurvorna. En konsekvent uppskattning av felen i fotometrisk analys kan således endast erhållas på ett ganska stort statistiskt material.

Låt oss överväga möjligheterna med den statistiska testmetoden för att förutsäga resultaten av regressionsanalys av en kalibreringskurva och använda kurvan för att bestämma koncentrationerna av fotomätade lösningar. För att göra detta väljer vi mätsituationen för rutinanalys som scenario. Konstruktionen av grafen utförs med enstaka mätningar av de optiska densiteterna för en serie standardlösningar. Koncentrationen av den analyserade lösningen hittas från grafen enligt 3-4 resultat av parallella mätningar. Vid val av regressionsmodell bör man ta hänsyn till att spridningen av optiska densiteter vid olika punkter i kalibreringskurvan inte är densamma, se ekvation (8). I fallet med heterocedastisk spridning, rekommenderas att använda ett viktat minsta kvadraters (LLS)-schema. I litteraturen hittade vi dock inga tydliga indikationer på orsakerna till att det klassiska LSM-schemat, som ett av villkoren för vars tillämplighet är kravet på att spridningen ska vara homoskedastisk, är mindre att föredra. Dessa skäl kan fastställas när man bearbetar samma statistiska material som erhållits med Monte Carlo-metoden enligt scenariot för rutinanalys, med två versioner av minsta kvadrater - klassisk och viktad.

Som ett resultat av regressionsanalysen av endast en implementering av kalibreringsfunktionen erhölls följande minsta kvadratiska uppskattningar: k = 4,979 med Bk = 0,023. När vi utvärderar samma egenskaper hos HMNC får vi k = 5,000 med Bk = 0,016. Regressionerna återställdes med hjälp av 17 standardlösningar. Koncentrationerna i kalibreringsserien ökade i aritmetisk progression, och de optiska densiteterna ändrades lika likformigt i intervallet från 0,1 till 1,7 enheter. I fallet med HMLC hittades de statistiska vikterna av punkterna i kalibreringskurvan med användning av dispersionerna beräknade med ekvation (5).

Varianserna av uppskattningar för båda metoderna är statistiskt omöjliga att särskilja med Fishers test vid en signifikansnivå på 1 %. På samma nivå av signifikans skiljer sig emellertid LLS-uppskattningen av k från LLS-uppskattningen med 1j-kriteriet. Minsta kvadratens uppskattning av koefficienten för kalibreringskurvan är förspänd i förhållande till det faktiska värdet av M(k) = 5 000, att döma av 1>-testet vid en 5 % signifikansnivå. Medan de viktade minsta kvadraterna ger en uppskattning som inte innehåller ett systematiskt fel.

Låt oss nu ta reda på hur försummelsen av heteroskedasticitet kan påverka kvaliteten på kemisk analys. Tabellen visar resultaten av ett simuleringsexperiment på analys av 17 kontrollprover av en färgad substans med olika koncentrationer. Dessutom inkluderade varje analysserie fyra lösningar, dvs. för varje prov gjordes fyra parallella bestämningar. För att bearbeta resultaten användes två olika kalibreringsberoenden: en återställdes med en enkel minsta kvadratmetod och den andra med en viktad. Vi tror att kontrolllösningar förbereddes för analys på exakt samma sätt som kalibreringslösningar.

Från tabellen kan vi se att de faktiska värdena för koncentrationerna av kontrolllösningar både i fallet med HMNC och i fallet med MNC inte går utöver konfidensintervallen, dvs. analysresultaten innehåller inte signifikanta systematiska fel. De marginella felen för båda metoderna skiljer sig inte statistiskt åt, med andra ord båda skattningarna

Jämförelse av resultaten av bestämning av koncentrationer har samma effektivitet. Från-

styrlösningar med två metoder, här kan vi dra slutsatsen att när

I rutinanalyser är användningen av ett enkelt ovägt minsta kvadratsystem fullt motiverat. Användningen av WMNC är att föredra om forskningsuppgiften endast är att fastställa molar extinktion. Å andra sidan bör man komma ihåg att våra slutsatser är av statistisk karaktär. Det är troligt att med en ökning av antalet parallella bestämningar, kommer hypotesen om objektiva minsta kvadraters koncentrationsuppskattningar inte att bekräftas, även om systematiska fel är obetydliga ur praktisk synvinkel.

Den tillräckligt höga analyskvaliteten baserad på ett enkelt klassiskt minsta kvadraters schema som vi hittade verkar särskilt oväntat om vi tar hänsyn till det faktum att mycket stark heteroskedasticitet observeras i det optiska densitetsintervallet 0,1 h - 1,7. Graden av dataheterogenitet kan bedömas av viktfunktionen, som är väl approximerad av polynomet w = 0,057A2 - 0,193A + 0,173. Det följer av denna ekvation att vid kalibreringens extrempunkter skiljer sig de statistiska vikterna med mer än 20 gånger. Låt oss dock vara uppmärksamma på det faktum att kalibreringsfunktionerna rekonstruerades från 17 punkter i grafen, medan endast 4 parallella bestämningar utfördes under analysen. Därför kan den signifikanta skillnaden mellan de minsta kvadraternas och HLLS-kalibreringsfunktionerna som vi hittade och den lilla skillnaden i resultaten av analys med dessa funktioner förklaras av det signifikant olika antalet frihetsgrader som var tillgängliga när man konstruerade statistiska slutsatser.

Slutsats

1. Ett nytt tillvägagångssätt för stokastisk modellering i fotometrisk analys föreslås baserat på Monte Carlo-metoden och felackumulationslagen med hjälp av ett Excel-kalkylblad.

2. Baserat på 100 implementeringar av kalibreringsberoendet har det visat sig att förutsägelsen av fel med de analytiska och statistiska metoderna är ömsesidigt konsekventa.

3. Koefficienterna för asymmetri och kurtos längs kalibreringskurvan studerades. Det visar sig att variationerna i kalibreringsfel följer en distributionslag nära normal.

4. Effekten av heteroskedasticitet av spridningen av optiska densiteter under kalibrering på analysens kvalitet beaktas. Det visade sig att i rutinanalyser leder användningen av ett enkelt ovägt minsta kvadratsystem inte till en märkbar minskning av analysresultatens noggrannhet.

Litteratur

1. Bernstein, I.Ya. Spektrofotometrisk analys i organisk kemi / I.Ya. Bernstein, Yu.L. Kaminsky. - L.: Kemi, 1986. - 200 sid.

2. Bulatov, M.I. En praktisk guide till fotometriska analysmetoder / M.I. Bulatov, I.P. Kalinkin. - L.: Kemi, 1986. - 432 sid.

3. Gmurman, V.E. Sannolikhetsteori och matematisk statistik / V.E. Gmurman. - M.: Högre skola, 1977. - 470 sid.

Nr. s", s", hittat (P = 95%)

n/i satt av OLS VMNK

1 0,020 0,021±0,002 0,021±0,002

2 0,040 0,041±0,001 0,041±0,001

3 0,060 0,061±0,003 0,061±0,003

4 0,080 0,080±0,004 0,080±0,004

5 0,100 0,098±0,004 0,098±0,004

6 0,120 0,122±0,006 0,121±0,006

7 0,140 0,140±0,006 0,139±0,006

8 0,160 0,163±0,003 0,162±0,003

9 0,180 0,181±0,006 0,180±0,006

10 0,200 0,201±0,002 0,200±0,002

11 0,220 0,219±0,008 0,218±0,008

12 0,240 0,242±0,002 0,241±0,002

13 0,260 0,262±0,008 0,261±0,008

14 0,280 0,281±0,010 0,280±0,010

15 0,300 0,307±0,015 0,306±0,015

16 0,320 0,325±0,013 0,323±0,013

17 0,340 0,340±0,026 0,339±0,026

4. Pravdin, P.V. Laboratorieinstrument och utrustning av glas / P.V. Pravdin. - M.: Kemi, 1988.-336 sid.

5. Makarova, N.V. Statistik i Excel / N.V. Makarova, V.Ya. Trofimets. - M.: Finans och statistik, 2002. - 368 sid.

FÖRUTSÄTTNING AV FEL I FOTOMETRI MED ANVÄNDNING AV ACCUMULERING AV FEL LAGEN OCH MONTE CARLO METOD

Under beräkningsexperiment, i kombination av ackumulering av fellag och Monte Carlo-metoden, har inverkan av lösningsskapande fel, blankexperimentfel och optiska transmissionsmätfel på metrologisk prestanda av fotometrisk analys studerats. Det har visat sig att resultaten av förutsägelser med analytiska och statistiska metoder är interkonsistenta. Den unika egenskapen hos Monte Carlo-metoden har visat sig möjliggöra förutsägelse av ackumulering av fellag inom fotometri. För versionen av rutinanalys har påverkan av heteroskedasticitet av dispersionen längs kalibreringskurvan på analys av kvalitet studerats.

Nyckelord: fotometrisk analys, ackumulering av fellag, kalibreringskurva, metrologisk prestanda, Monte Carlo-metoden, stokastisk modellering.

Golovanov Vladimir Ivanovich - Dr. Sc. (Kemi), professor, chef för underavdelningen för analytisk kemi, South Ural State University.

Golovanov Vladimir Ivanovich - Doktor i kemivetenskap, professor, chef för institutionen för analytisk kemi, South Ural State University.

E-post: [e-postskyddad]

Danilina Elena Ivanovna - PhD (kemi), docent, underavdelningen för analytisk kemi, South Ural State University.

Danilina Elena Ivanovna - PhD (kemi), docent, Institutionen för analytisk kemi, South Ural State University.

i den numeriska lösningen av algebraiska ekvationer - den totala effekten av avrundningar gjorda vid enskilda steg i beräkningsprocessen på noggrannheten hos den resulterande lösningen av en linjär algebraisk ekvation. system. Den vanligaste metoden för a priori uppskattning av den totala påverkan av avrundningsfel i numeriska metoder för linjär algebra är det så kallade schemat. omvänd analys. Som tillämpas på lösningen av ett system av linjär algebraisk ekvationer

det omvända analysschemat är som följer. Xui-lösningen beräknad med den direkta metoden uppfyller inte (1), men kan representeras som en exakt lösning av det störda systemet

Kvaliteten på den direkta metoden uppskattas av den bästa a priori uppskattning som kan ges för normerna för matrisen och vektorn. Sådan "bäst" och kallas. matrisen och vektorn för den ekvivalenta störningen för metoden M.

Om uppskattningar för och finns tillgängliga, så kan teoretiskt felet för den ungefärliga lösningen uppskattas av olikheten

Här är villkorsnumret för matrisen A, och matrisnormen i (3) antas vara underordnad vektornormen

I verkligheten är skattningen för sällan känd, och den huvudsakliga innebörden av (2) är förmågan att jämföra kvaliteten på olika metoder. Nedan är formen av några typiska uppskattningar för matrisen. För metoder med ortogonala transformationer och flyttalsaritmetik (i system (1) anses A och b vara giltiga)

I denna uppskattning, den relativa noggrannheten för aritmetik. datordrift, är den euklidiska matrisnormen, f(n) är en funktion av formen, där n är systemets ordning. De exakta värdena för konstanten C för exponenten k bestäms av sådana detaljer i beräkningsprocessen som metoden för avrundning, användningen av ackumulering av skalära produkter, etc. Oftast är k=1 eller 3/2.

I fallet med metoder av Gauss-typ inkluderar den högra sidan av uppskattningen (4) också faktorn , som återspeglar möjligheten för tillväxt av elementen i matrisen Ana vid mellanliggande steg av metoden jämfört med den initiala nivån (sådan tillväxt är frånvarande i ortogonala metoder). För att minska värdet på används olika metoder för att välja det ledande elementet, vilket förhindrar ökningen av elementen i matrisen.

För kvadratrotsmetod, som vanligtvis används i fallet med en positiv-definitiv matris A, erhålls den starkaste skattningen

Det finns direkta metoder (Jordan, gränsande, konjugerade gradienter) för vilka den direkta tillämpningen av det omvända analysschemat inte leder till effektiva uppskattningar. I dessa fall görs vid studiet av N. p. även andra hänsyn (se -).

Belyst.: Givens W., "TJ. S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL", 1954, nr 1574; Wilkinson, J. H., Rounding errors in algebraic processes, L., 1963; Wilkinson J.

X.D. Ikramov.

N. p. avrundning eller metodfel uppstår vid lösning av problem där lösningen är resultatet av ett stort antal sekventiellt utförda aritmetiker. operationer.

En betydande del av sådana problem är kopplade till lösningen av algebraiska problem. problem, linjära eller icke-linjära (se ovan). I sin tur bland de algebraiska problem uppstår de vanligaste problemen när man approximerar differentialekvationer. Dessa uppgifter kännetecknas av vissa specifika egenskaper. egenheter.

N. P. för metoden för att lösa ett problem följer samma eller enklare lagar som N. P. för beräkningsfel; N., sid. metod undersöks vid utvärdering av metoden för att lösa problemet.

När man studerar ackumuleringen av beräkningsfel särskiljs två tillvägagångssätt. I det första fallet anses det att beräkningsfelen vid varje steg introduceras på det mest ogynnsamma sättet och en uppskattning av större fel erhålls. I det andra fallet anses dessa fel vara slumpmässiga med en viss distributionslag.

N. p.s beskaffenhet beror på det problem som löses, lösningssättet och en rad andra faktorer som vid första anblicken kan tyckas obetydliga; detta inkluderar formen av att skriva siffror i en dator (fast punkt eller flyttal), ordningsföljden för utförande av aritmetik. operationer etc. Till exempel i problemet med att beräkna summan av N tal

ordningen i vilken operationerna utförs är viktig. Låt beräkningarna utföras på en flyttalsmaskin med t bitar och alla tal ligger inom . När den beräknas direkt med hjälp av den rekursiva formeln är uppskattningen av det största felet av storleksordningen 2-tN. Du kan göra annat (se). Vid beräkning av parvisa summor (Om N=21+1 udda) anta . Därefter beräknas deras parvisa summor, och så vidare.

få en uppskattning av större fel av ordern

I typiska problem, kvantiteterna ett t beräknas enligt formler, särskilt återkommande sådana, eller läggs in sekventiellt i datorns huvudminne; i dessa fall leder tillämpningen av den beskrivna tekniken till en ökning av belastningen på datorns minne. Det är dock möjligt att organisera sekvensen av beräkningar på ett sådant sätt att RAM-belastningen inte överstiger -log 2 N celler.

I den numeriska lösningen av differentialekvationer är följande fall möjliga. När rutnätsteget h tenderar till noll, växer felet som var . Sådana metoder för att lösa problem klassificeras som instabila. Deras användning är episodisk. karaktär.

Stabila metoder kännetecknas av en ökning av fel eftersom felet för sådana metoder vanligtvis uppskattas enligt följande. En ekvation konstrueras med avseende på den störning som införs antingen genom avrundning eller av metodens fel, och sedan undersöks lösningen av denna ekvation (se , ).

I mer komplexa fall används metoden för ekvivalenta störningar (se , ), utvecklad i relation till problemet med att studera ackumuleringen av beräkningsfel vid lösning av differentialekvationer (se , , ). Beräkningar enligt något beräkningsschema med avrundningar betraktas som beräkningar utan avrundningar, men för en ekvation med störda koefficienter. Genom att jämföra lösningen av den ursprungliga rutnätsekvationen med lösningen av ekvationen med störda koefficienter erhålls en feluppskattning.

Stor uppmärksamhet ägnas åt valet av en metod, om möjligt, med mindre värden på q och A(h) . Med en fast metod för att lösa problemet kan beräkningsformlerna vanligtvis konverteras till formen där (se , ). Detta är särskilt viktigt i fallet med vanliga differentialekvationer, där antalet steg i vissa fall visar sig vara mycket stort.

Värdet på (h) kan växa kraftigt med en ökning av integrationsintervallet. Därför försöker de tillämpa metoder, om möjligt, med ett mindre värde på A(h) . I fallet med Cauchy-problemet kan avrundningsfelet vid varje specifikt steg med avseende på efterföljande steg betraktas som ett fel i initialtillståndet. Därför beror infimum (h) på egenskapen för divergensen av nära lösningar av differentialekvationen definierad av variationsekvationen.

I fallet med en numerisk lösning av en vanlig differentialekvation ekvationen i variationer har formen

och därför, när du löser problemet på segmentet ( x 0, X) man kan inte lita på att konstanten A(h) i majorantuppskattningen av beräkningsfelet är betydligt bättre än

När man löser detta problem används oftast enstegsmetoder av typen Runge-Kutta eller metoder av typen Adams (se , ), där N.p. huvudsakligen bestäms av lösningen av ekvationen i variationer.

För ett antal metoder ackumuleras huvudtermen för metodfelet enligt en liknande lag, medan beräkningsfelet ackumuleras mycket snabbare (se ). Praktiskt område tillämpligheten av sådana metoder visar sig vara betydligt snävare.

Ackumuleringen av beräkningsfelet beror i huvudsak på metoden som används för att lösa nätproblemet. Till exempel, när man löser problem med rutnätsgränsvärden som motsvarar vanliga differentialekvationer genom skjutning och svepningsmetoder, har N. p. tecknet A(h) h-q, där q är detsamma. Värdena på A(h) för dessa metoder kan skilja sig så mycket att i en viss situation blir en av metoderna otillämplig. När man löser rutnätets gränsvärdesproblem för Laplace-ekvationen med skjutmetoden, har N. p. karaktären s 1/h, s>1, och i fallet med svepmetoden Ah-q. I ett probabilistiskt tillvägagångssätt för studiet av N. p. antas i vissa fall någon lag om felfördelning a priori (se ), i andra fall införs ett mått på utrymmet för de problem som behandlas, och baserat på på detta mått erhålls avrundningsfelsfördelningslagen (se , ).

Med måttlig noggrannhet i lösningen av problemet ger stora och probabilistiska tillvägagångssätt för att uppskatta ackumuleringen av beräkningsfel vanligtvis kvalitativt samma resultat: antingen i båda fallen inträffar N.P. inom acceptabla gränser, eller i båda fallen överskrider N.P. sådana gränser .

Belyst.: Voevodin V. V., Computational foundations of linear algebra, M., 1977; Shura-Bura M.R., "Applied Mathematics and Mechanics", 1952, vol. 16, nr 5, sid. 575-88; Bakhvalov N. S., Numerical methods, 2nd ed., M., 1975; Wilkinson J. X., Algebraiskt egenvärdeproblem, trans. från engelska, M.. 1970; Bakhvalov N. S., i boken: Computational methods and programmering, v. 1, M., 1962, sid. 69-79; Godunov S. K., Ryaben'kiy V. S., Difference schemes, 2nd ed., M., 1977; Bakhvalov N. S., "Reports of the Academy of Sciences of the USSR", 1955, vol. 104, nr 5, sid. 683-86; hans egen, "J. Calculate, Mathematics and Mathematics of Physics", 1964; vol. 4, nr 3, sid. 399-404; Lapshin E.A., ibid., 1971, vol 11, nr 6, sid 1425-36.

• - avvikelser från mätresultaten för de verkliga värdena för den uppmätta kvantiteten. Systematisk...
• - metrologiska avvikelser. egenskaper eller parametrar för mätinstrument från begravningsinstrument, som påverkar felen i mätresultaten ...

  Naturvetenskap. encyklopedisk ordbok

• - avvikelser i mätresultaten från de verkliga värdena för den uppmätta kvantiteten. De spelar en betydande roll i produktionen av ett antal rättsmedicinska undersökningar ...

  Forensic Encyclopedia

• - : Se även: - fel i mätinstrument - fel i mätningar...
• - Se...

  Encyclopedic Dictionary of Metallurgy

• - avvikelser av de metrologiska parametrarna för mätinstrument från de nominella, vilket påverkar felen i mätresultaten ...

  Encyclopedic Dictionary of Metallurgy

• - "... Periodiska fel - fel, vars värde är en periodisk funktion av tiden eller rörelsen av mätinstrumentets pekare .....

  Officiell terminologi

• - "... Konstanta fel är fel som behåller sitt värde under lång tid, till exempel under hela mätserien. De är vanligast.....

  Officiell terminologi

• - "... Progressiva fel - kontinuerligt ökande eller minskande fel ...

  Officiell terminologi

• - se Observationsfel...

  Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Euphron

• - mätfel, avvikelser av mätresultat från de sanna värdena för de uppmätta storheterna. Särskilj systematisk, avslappnad och grov P. och. ...
• - avvikelser i mätinstrumentens metrologiska egenskaper eller parametrar från de nominella, vilket påverkar felen i mätresultaten som erhålls med dessa instrument ...

  Stora sovjetiska encyklopedien

• - skillnaden mellan mätresultaten och det verkliga värdet av den uppmätta kvantiteten. Det relativa mätfelet är förhållandet mellan det absoluta mätfelet och det sanna värdet ...

  Modern Encyclopedia

• - avvikelser av mätresultat från de sanna värdena för den uppmätta kvantiteten ...

  Stor encyklopedisk ordbok

• - adj., antal synonymer: 3 korrigerade eliminerade felaktigheter eliminerade fel ...

  Synonym ordbok

• - adj., antal synonymer: 4 korrigerar, eliminerar brister, eliminerar felaktigheter, eliminerar fel ...

  Synonym ordbok

"ACKUMULERING AV FEL" i böcker

Tekniska fel

Från boken Stjärnor och lite nervös författare

Tekniska fel

Från boken Vain Perfections and Other Vignettes författare Zholkovsky Alexander Konstantinovich

Tekniska felaktigheter Berättelser om framgångsrikt motstånd mot kraft är inte så långsökta som vi implicit fruktar. Att slå antar vanligtvis offrets passivitet, och därför är det genomtänkt bara ett steg framåt och tål inte en motattack. Pappa berättade om en

Synder och misstag

Från boken How NASA Showed America the Moon författaren Rene Ralph

Synder och felaktigheter Trots den fiktiva karaktären hos deras rymdnavigering, skröt NASA med otrolig noggrannhet i allt den gjorde. Nio gånger i rad landade Apollo-kapslarna perfekt i månbanan utan behov av större kurskorrigeringar. Lunar modul,

initial ackumulering av kapital. Tvångsfördrivning av bönder. Ansamling av välstånd.

författare

initial ackumulering av kapital. Tvångsfördrivning av bönder. Ansamling av välstånd. Den kapitalistiska produktionen förutsätter två grundläggande villkor: 1) närvaron av en massa fattiga människor, personligen fria och samtidigt berövade produktionsmedlen, och

Socialistisk ackumulation. Ackumulering och konsumtion i ett socialistiskt samhälle.

Från boken Politisk ekonomi författare Ostrovityanov Konstantin Vasilievich

Socialistisk ackumulation. Ackumulering och konsumtion i ett socialistiskt samhälle. Källan till utökad socialistisk reproduktion är socialistisk ackumulation. Socialistisk ackumulation är användningen av en del av samhällets nettoinkomst,

Mätfel

TSB

Fel på mätinstrument

Från boken Great Soviet Encyclopedia (PO) av författaren TSB

Ultraljudsfel

Från boken Thyroid Recovery A Guide for Patients författare Ushakov Andrey Valerievich

Ultraljudsfel När en patient kom till mig från St Petersburg för en konsultation såg jag tre protokoll för ultraljudsundersökning på en gång. Alla gjordes av olika specialister. Beskrivs annorlunda. Samtidigt skilde sig datumen för studierna nästan från varandra

Bilaga 13 Talfel

Från boken The Art of Get Your Own författare Stepanov Sergey Sergeevich

Bilaga 13 Talfel Även till synes harmlösa fraser kan ofta bli ett allvarligt hinder för marknadsföring. Den berömda amerikanske marknadsföringsspecialisten John R. Graham sammanställde en lista över uttryck, vars användning, enligt hans observationer,

Talfel

Från boken Hur mycket är du värd [Teknik för en framgångsrik karriär] författare Stepanov Sergey Sergeevich

Talfel Även till synes ofarliga fraser kan ofta bli ett allvarligt hinder för marknadsföring. Den berömda amerikanske marknadsföringsspecialisten John R. Graham sammanställde en lista över uttryck, vars användning, enligt hans observationer, inte tillät

ödesdigra fel

Från boken Den svarta svanen [Under oförutsägbarhetens tecken] författare Taleb Nassim Nicholas

Dödliga fel Fel har en sådan destruktiv egenskap: ju mer betydelsefulla de är, desto större maskeringseffekt. Ingen ser döda råttor, och därför är den dödligare risken, desto mindre uppenbar är den, eftersom offren är uteslutna från antalet vittnen . Hur

Orienteringsfel

Från boken Turismens ABC författare Bardin Kirill Vasilievich

Orienteringsfel Så, ett vanligt orienteringsproblem som en turist måste lösa är att ta sig från en punkt till en annan med enbart en kompass och en karta. Området är obekant och dessutom stängt, det vill säga saknar ev

Fel: Filosofi

Från författarens bok

Fel: filosofi På en intuitiv nivå förstår vi att vår kunskap i många fall inte är korrekt. Vi kan försiktigt anta att vår kunskap i allmänhet endast kan vara korrekt på en diskret skala. Du kan veta exakt hur många bollar som finns i påsen, men du kan inte veta vad deras vikt är,

Osäkerheter: Modeller

Från författarens bok

Fel: Modeller När vi mäter något är det bekvämt att representera den information (både medveten och omedveten) som var tillgänglig vid den tidpunkt då mätningarna började i form av modeller av ett objekt eller fenomen. "Nollnivå"-modellen är modellen för att ha en kvantitet. Vi tror att hon är -

Fel: vad och hur man kontrollerar

Från författarens bok

Fel: vad och hur man kontrollerar Valet av kontrollerade parametrar, mätschema, metod och kontrollomfattning görs med hänsyn till produktens outputparametrar, dess design och teknik, kraven och behoven hos den som använder de kontrollerade produkterna . Återigen,

Under mätfel menar vi summan av alla mätfel.

Mätfel kan delas in i följande typer:

absolut och relativ,

positiv och negativ,

konstant och proportionell,

Slumpmässigt och systematiskt

Absolut fel A y) definieras som skillnaden mellan följande kvantiteter:

A y = y jag- y ist.  y i- y,

Var: y i är ett enda mätresultat; y ist. – sant mätresultat; y– aritmetiskt medelvärde för mätresultatet (hädanefter medelvärdet).

Permanent kallas det absoluta felet, vilket inte beror på värdet av den uppmätta storheten ( y y).

Fel proportionell , om det namngivna beroendet finns. Mätfelets karaktär (konstant eller proportionellt) bestäms efter särskilda studier.

Relativt fel enstaka mätresultat ( I y) beräknas som förhållandet mellan följande kvantiteter:

Det följer av denna formel att storleken på det relativa felet beror inte bara på storleken på det absoluta felet, utan också på värdet av den uppmätta kvantiteten. När det uppmätta värdet förblir oförändrat ( y) det relativa mätfelet kan endast reduceras genom att minska det absoluta felet ( A y). När det absoluta mätfelet är konstant, för att minska det relativa mätfelet, kan du använda metoden för att öka värdet på den uppmätta kvantiteten.

Tecknet på felet (positivt eller negativt) bestäms av skillnaden mellan det enstaka och det erhållna (arithmetiska medelvärdet) mätresultatet:

y i- y> 0 (felet är positivt );

y i- y< 0 (felet är negativt ).

Grovt misstag mätning (miss) inträffar när mätproceduren överträds. Ett mätresultat som innehåller ett grovt fel skiljer sig vanligtvis avsevärt i storleksordning från andra resultat. Förekomsten av grova mätfel i urvalet fastställs endast genom metoder för matematisk statistik (med antalet mätrepetitioner n>2). Bekanta dig med metoderna för att själv upptäcka grova fel i.

TILL slumpmässiga fel inkludera fel som inte har ett konstant värde och tecken. Sådana fel uppstår under påverkan av följande faktorer: okända för forskaren; känd men oreglerad; ständigt förändras.

Slumpmässiga fel kan endast uppskattas efter att mätningar har gjorts.

Följande parametrar kan användas som en kvantitativ uppskattning av modulen för storleken på ett slumpmässigt mätfel: urvalsvariansen för enskilda värden och medelvärdet; ta ett urval av absoluta standardavvikelser för enskilda värden och medelvärdet; prov relativa standardavvikelser för enskilda värden och medelvärdet; generell varians av enhetsvärden), respektive, etc.

Slumpmässiga mätfel kan inte uteslutas, de kan bara reduceras. Ett av de viktigaste sätten att minska mängden slumpmässiga mätfel är att öka antalet (provstorlek) av enstaka mätningar (ökning av värdet n). Detta förklaras av det faktum att storleken på slumpmässiga fel är omvänt proportionell mot storleken n, Till exempel:

.

Systematiska fel är fel med konstant storlek och tecken eller varierande enligt en känd lag. Dessa fel orsakas av konstanta faktorer. Systematiska fel kan kvantifieras, reduceras och till och med elimineras.

Systematiska fel klassificeras i typ I, II och III fel.

TILL systematiska feljagtyp avser fel av känt ursprung, som kan uppskattas genom beräkning före mätningen. Dessa fel kan elimineras genom att införa dem i mätresultatet i form av korrigeringar. Ett exempel på denna typ av fel är felet i den titrimetriska bestämningen av volymkoncentrationen av en lösning om titranten framställdes vid en temperatur och koncentrationen mättes vid en annan. Genom att känna till beroendet av titrantens densitet på temperaturen är det möjligt att beräkna förändringen i volymkoncentrationen av titranten som är förknippad med en förändring av dess temperatur före mätningen, och ta hänsyn till denna skillnad som en korrigering som ett resultat av måttet.

SystematiskmisstagIItypär fel av känt ursprung som endast kan bedömas under ett experiment eller som ett resultat av särskilda studier. Denna typ av fel inkluderar instrumentella (instrumentella), reaktiva, referens- och andra fel. Bekanta dig med funktionerna i sådana fel själv i.

Varje enhet, när den används i mätproceduren, introducerar sina instrumentella fel i mätresultatet. Samtidigt är vissa av dessa fel slumpmässiga, och den andra delen är systematisk. Slumpmässiga instrumentfel utvärderas inte separat, de utvärderas tillsammans med alla andra slumpmässiga mätfel.

Varje instans av något instrument har sitt eget personliga systematiska fel. För att utvärdera detta fel är det nödvändigt att utföra speciella studier.

Det mest tillförlitliga sättet att bedöma typ II instrumentella systematiska fel är att kontrollera instrumentets prestanda mot standarder. För att mäta redskap (pipett, byrett, cylindrar, etc.) utförs en speciell procedur - kalibrering.

I praktiken krävs oftast att man inte uppskattar, utan minskar eller eliminerar systematiska fel av typ II. De vanligaste metoderna för att minska systematiska fel är relativiserings- och randomiseringsmetoder.Kolla in dessa metoder själv på .

TILL misstagIIItyp inkluderar fel av okänt ursprung. Dessa fel kan endast upptäckas efter att alla systematiska fel av typ I och II har eliminerats.

TILL andra misstag vi kommer att inkludera alla andra typer av fel som inte beaktas ovan (tillåtna, möjliga marginella fel, etc.).

Begreppet möjliga marginalfel används vid användning av mätinstrument och förutsätter det största möjliga instrumentella mätfelet (det faktiska värdet av felet kan vara mindre än värdet på det möjliga marginalfelet).

Vid användning av mätinstrument är det möjligt att beräkna den möjliga absoluta gränsen (
) eller släkting (
) mätfel. Så till exempel hittas det möjliga begränsande absoluta mätfelet som summan av möjliga begränsande slumpmässiga (
) och icke-uteslutna systematiska (
) fel:

=
+

För små prover ( n20) av en okänd allmän befolkning som följer normalfördelningslagen, kan slumpmässiga möjliga marginella mätfel uppskattas enligt följande:

= =
,

Var: är konfidensintervallet för motsvarande sannolikhet R;

är kvantilen av studentfördelningen för sannolikheten R och provstorlek n eller med antalet frihetsgrader f = n – 1.

Det absoluta möjliga begränsande mätfelet i detta fall kommer att vara lika med:

=
+
.

Om mätresultaten inte följer normalfördelningslagen, uppskattas felet med andra formler.

Kvantitetsdefinition
beror på om mätinstrumentet har en noggrannhetsklass. Om mätinstrumentet inte har en noggrannhetsklass, då för värdet
du kan ta skalans minimiprisuppdelning(eller hälften av det) mätmedel. För ett mätinstrument med en känd noggrannhetsklass för värdet
kan tas som ett absolut tillåten systematiskt fel i mätinstrumentet (
):


.

Värde
beräknas utifrån formlerna i tabellen. 2.

För många mätinstrument anges noggrannhetsklassen i form av siffror A10 n, Var Aär lika med 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 och när lika med 1; 0; -1; -2, etc., som visar värdet på det möjliga maximalt tillåtna systematiska felet (E y , Lägg till.) och speciella tecken som anger dess typ (relativ, reducerad, konstant, proportionell).

Om komponenterna i det absoluta systematiska felet i det aritmetiska medelvärdet av mätresultatet är kända (till exempel instrumentfel, metodfel, etc.), kan det uppskattas med formeln

,

Var: mär antalet komponenter i det systematiska felet för det genomsnittliga mätresultatet;

k- koefficient bestäms av sannolikheten R och antal m;

är det absoluta systematiska felet för en enskild komponent.

Enskilda komponenter i felet kan försummas om lämpliga villkor är uppfyllda.

Tabell 2

Exempel på beteckning av noggrannhetsklasser för mätinstrument

Klassbeteckning noggrannhet		Beräkningsformel och värde för det maximalt tillåtna systematiska felet	Utmärkande för systematiska fel
i dokumentation	på mätinstrumentet
			Reducerat tillåtet systematiskt fel i procent av det nominella värdet av den uppmätta mängden, vilket bestäms av mätinstrumentets skala
			Det givna tillåtna systematiska felet i procent av längden på mätinstrumentets använda skala (A) vid erhållande av enstaka värden av den uppmätta kvantiteten
			Konstant relativ tillåtet systematiskt fel i procent av det erhållna enhetsvärdet för den uppmätta storheten
		c = 0,02; d = 0,01	Proportionellt relativt tillåtet systematiskt fel i bråkdelar av det erhållna enhetsvärdet för den uppmätta kvantiteten, vilket ökar med en ökning av det slutliga värdet för mätområdet med detta mätinstrument ( y k) eller en minskning av enhetsvärdet för den uppmätta kvantiteten ( y i)

Systematiska fel kan försummas om ojämlikheten

0,8.

I det här fallet, ta


 
.

Slumpmässiga fel kan försummas förutsatt

8.

Ad hoc

.

För att det totala mätfelet endast ska kunna bestämmas genom systematiska fel, utökas antalet upprepade mätningar. Minsta antal upprepade mätningar som krävs för detta ( n min) kan endast beräknas med ett känt värde för den allmänna populationen av enstaka resultat med hjälp av formeln

.

Utvärderingen av mätfel beror inte bara på mätförhållandena utan också på typen av mätning (direkt eller indirekt).

Uppdelningen av mätningar i direkta och indirekta är ganska villkorad. Senare, under direkta mätningar vi kommer att förstå mätningar, vars värden tas direkt från experimentella data, till exempel läses de från enhetens skala (ett välkänt exempel på direkt mätning är temperaturmätning med en termometer). TILL indirekta mätningar vi kommer att tillskriva dem, vars resultat erhålls på grundval av ett känt förhållande mellan det önskade värdet och de värden som bestäms som ett resultat av direkta mätningar. Vart i resultat indirekt mätning erhållits genom beräkning som funktionsvärde  , vars argument är resultat av direkta mätningar ( x 1 ,x 2 , …,x j,. …, x k).

Det är nödvändigt att veta att felen för indirekta mätningar alltid är större än felen för individuella direkta mätningar.

Fel vid indirekta mätningar uppskattas enligt motsvarande lagar för felackumulering (med k2).

Lagen om ackumulering av slumpmässiga fel indirekta mätningar är som följer:

.

Lagen om ackumulering av möjliga begränsande absoluta systematiska fel indirekta mätningar representeras av följande beroenden:

;
.

Lagen om ackumulering av möjliga begränsande relativa systematiska fel indirekta mätningar har följande form:

;

.

I de fall det önskade värdet ( y) beräknas som en funktion av resultaten av flera oberoende direkta mätningar av formen
, lagen om ackumulering för att begränsa relativa systematiska fel av indirekta mätningar tar en enklare form:

;
.

Mätfel och fel avgör deras noggrannhet, reproducerbarhet och korrekthet.

Noggrannhet ju högre desto mindre mätfel.

Reproducerbarhet mätresultaten förbättras med en minskning av slumpmässiga mätfel.

Höger av mätresultatet ökar med en minskning av de återstående systematiska mätfelen.

Lär dig mer om teorin om mätfel och deras egenskaper själv. Jag uppmärksammar er på det faktum att moderna former för presentation av slutresultaten av mätningar nödvändigtvis kräver minskning av fel eller mätfel (sekundära data). I detta fall bör mätfel och fel presenteras tal som inte innehåller mer två signifikanta siffror .

1.2.10. Bearbetning av indirekta mätningar.

Med indirekta mätningar, önskat värde på den fysiska kvantiteten Y hittas baserat på resultaten X 1 , X 2 , … X i , … X n, direkta mätningar av andra fysiska storheter associerade med det önskade kända funktionella beroendet φ:

Y= φ( X 1 , X 2 , … X i , … X n). (1.43)

Antar det X 1 , X 2 , … X i , … X när de korrigerade resultaten av direkta mätningar, och metodfelen för indirekta mätningar kan försummas, kan resultatet av indirekta mätningar hittas direkt med formeln (1.43).

Om Δ X 1 , Δ X 2 , … Δ X i , … Δ X n– Fel i resultaten av direkta mätningar av kvantiteter X 1 , X 2 , … X i , … X n, sedan felet Δ för resultatet Y indirekt mätning i den linjära approximationen kan hittas av formeln

Δ = . (1.44)

termin

(1.45)

är felkomponenten i det indirekta mätresultatet, orsakat av felet Δ X i resultat X i direkt mätning - kallas ett partiellt fel, och den ungefärliga formeln (1,44) - lagen om ackumulering av partiella fel. (1K22)

För att uppskatta felet Δ för resultatet av en indirekt mätning är det nödvändigt att ha lite information om felen Δ X 1 , Δ X 2 , … Δ X i , … Δ X n resultat av direkta mätningar.

Vanligtvis är gränsvärdena för felkomponenterna för direkta mätningar kända. Till exempel för felet Δ X i kända: gränsen för grundfelet, gränserna för ytterligare fel, gränsen för icke-exkluderade rester av det systematiska felet, etc. Fel Δ X iär lika med summan av dessa fel:

,

och gränsvärdet för detta fel ΔX i,p - summan av gränserna:

. (1.46)

Därefter gränsvärdet Δ p för felet av resultatet av indirekt mätning P = 1 kan hittas av formeln

Δ sid =
. (1.47)

Gränsvärde Δ g för felet för resultatet av indirekt mätning för konfidensnivån P = 0,95 kan hittas med den ungefärliga formeln (1,41). Med hänsyn till (1.44) och (1.46) får vi:

. (1.48)

Efter beräkning av Δ p eller Δ g ska resultatet av indirekt mätning skrivas i standardform (respektive (1.40) eller (1.42)). (1P3)

FRÅGOR:

1. För vilka uppgifter används mätinstrument? Som metrologiska egenskaper Mätutrustning vet du?

2. Efter vilka kriterier klassificeras de metrologiska egenskaper mätinstrument?

3. Vilken komponent av felet på mätinstrumentet kallas grundläggande?

4. Vilken komponent av felet på mätinstrumentet kallas ytterligare?

5. Definiera absoluta, relativa och reducerade fel mätinstrument.

6. Definiera absolut fel hos mätgivaren vid ingång och utgång.

7. Hur skulle du experimentellt bestämma mätning av givarfel för ingång och utgång?

8. Hur sammankopplade absoluta fel hos mätgivaren för ingång och utgång?

9. Definiera additiva, multiplikativa och icke-linjära felkomponenter i mätutrustning.

10. Varför olinjär komponent av felet i mätutrustningen ibland kallas linjäritetsfel? För vilka givarens omvandlingsfunktioner det är vettigt?

11. Vilken information om felet på mätinstrumentet ger det noggrannhetsklass?

12. Formulera lagen om ackumulering av partiella fel.

13. Formulera felsummeringsproblem.

15. Vad är korrigerat värde på mätresultatet?

16. Vad är syftet bearbetning av mätresultat?

17. Hur man räknar gränsvärdeΔ sid fel direkt mätresultat för konfidensnivån P= 1 och dess gränsvärdeΔ g för P = 0,95?

18. Vad mätning kallas indirekt? Hur hitta resultatet av en indirekt mätning?

19. Hur man räknar gränsvärdeΔ sid fel indirekt mätresultat för konfidensnivån P= 1 och dess gränsvärdeΔ g för P = 0,95?

20. Ge exempel på metodiska fel vid direkta och indirekta mätningar.

Kontrollarbeten på underavsnitt 1.2 ges i (1KR1).

REFERENSER för avsnitt 1.

2. METODER FÖR MÄTNING AV ELEKTRISKA MÄNGD

2.1. Mätning av spänningar och strömmar.

2.1.1. Allmän information.

När du väljer ett sätt att mäta elektriska spänningar och strömmar är det först och främst nödvändigt att ta hänsyn till:

Typ av uppmätt fysisk storhet (spänning eller ström);

Närvaron och arten av det uppmätta värdets beroende av tid i observationsintervallet (beror eller inte, beroendet är en periodisk eller icke-periodisk funktion, etc.);

Omfånget av möjliga värden för det uppmätta värdet;

Uppmätt parameter (medelvärde, effektivt värde, maximalt värde i observationsintervallet, uppsättning momentana värden i observationsintervallet, etc.);

Frekvensomfång;

Nödvändig mätnoggrannhet;

Det maximala observationstidsintervallet.

Dessutom är det nödvändigt att ta hänsyn till värdeintervallen för de påverkande kvantiteterna (omgivande lufttemperatur, mätinstrumentets matningsspänning, signalkällans utgångsimpedans, elektromagnetisk störning, vibration, fuktighet, etc.), beroende på förhållandena för mätexperimentet.

Områdena för möjliga värden för spänningar och strömmar är mycket breda. Till exempel kan strömmar vara i storleksordningen 10 -16 A när de mäts i rymden och i storleksordningen 10 5 A - i kretsarna i kraftfulla kraftverk. Detta avsnitt behandlar huvudsakligen spännings- och strömmätningar i de vanligaste områdena i praktiken: från 10 -6 till 10 3 V och från 10 -6 till 10 4 A.

För att mäta spänningar, analoga (elektromekaniska och elektroniska) och digitala voltmetrar(2K1), DC- och AC-kompensatorer (potentiometrar), analoga och digitala oscilloskop och mätsystem.

För mätning av strömmar, elektromekanisk amperemeter(2K2), och multimetrar och mätsystem i vilka den uppmätta strömmen först omvandlas till en spänning som är proportionell mot den. Dessutom används en indirekt metod för att experimentellt bestämma strömmar, genom att mäta spänningen som orsakas av att ström passerar genom ett motstånd med en känd resistans.

2.1.2. Mätning av konstanta spänningar med elektromekaniska anordningar.

Använd följande för att skapa voltmetrar mätmekanismer(2K3): magnetoelektrisk(2K4), elektromagnetiska(2K5), elektrodynamisk(2K6), ferrodynamisk(2K7) Och elektrostatisk(2K8).

I en magnetoelektrisk mätmekanism är vridmomentet proportionellt mot strömmen i den rörliga spolen. För att bygga en voltmeter i serie med spollindningen ingår ett extra motstånd. Den uppmätta spänningen som appliceras på denna seriekoppling är proportionell mot strömmen i lindningen; därför kan instrumentets skala graderas i spänningsenheter. Vridmomentets riktning beror på strömmens riktning, så var uppmärksam på polariteten hos spänningen som appliceras på voltmetern.

Ingångsimpedans R ingången på den magnetoelektriska voltmetern beror på slutvärdet U till mätområde och total avböjningsström jag på - ström i spollindningen, vid vilken enhetens pil avviker till full skala (den kommer att ställas in på märket U Till). Det är uppenbart

R i = U Till / jag Förbi. (2.1)

I multi-limit-instrument är värdet ofta normaliserat R in och aktuell jag Förbi. Att känna till spänningen U k för mätområdet som används i detta experiment, värdet R in kan beräknas med formeln (2.1). Till exempel för en voltmeter med U k = 100 V och jag po = 1 mA R in = 105 ohm.

För att bygga elektromagnetiska, elektrodynamiska och ferrodynamiska voltmetrar används en liknande krets, endast den extra resistansen är kopplad i serie med lindningen av den fasta spolen i den elektromagnetiska mätmekanismen eller med lindningarna av de rörliga och fasta spolarna i den elektrodynamiska eller ferrodynamiska mätmekanismer som tidigare var seriekopplade. De totala avböjningsströmmarna för dessa mätmekanismer är vanligtvis betydligt högre än för magnetoelektriska, så ingångsresistanserna för voltmetrar är mindre.

Elektrostatiska voltmetrar använder en elektrostatisk mätmekanism. Den uppmätta spänningen appliceras mellan fasta och rörliga plattor isolerade från varandra. Ingångsresistansen bestäms av isolationsresistansen (cirka 10 9 ohm).

De vanligaste elektromekaniska voltmetrarna med noggrannhetsklasser på 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 låter dig mäta DC-spänningar i området från 0,1 till 10 4 V. För att mäta stora spänningar (vanligtvis mer än 10 3 V), använd spänningsdelare(2K9). För att mäta spänningar mindre än 0,1 V, magnetoelektrisk galvanometrar(2K10) och enheter baserade på dem (till exempel fotogalvanometriska enheter), men det är mer ändamålsenligt att använda digitala voltmetrar.

2.1.3. Mätning av likström med elektromekaniska anordningar.

Använd följande för att skapa amperemetrar mätmekanismer(2K3): magnetoelektrisk(2K4), elektromagnetiska(2K5), elektrodynamisk(2K6) Och ferrodynamisk(2K7).

I de enklaste enkelgränsamperemetrarna består den uppmätta strömkretsen av en rörlig spolelindning (för en magnetoelektrisk mätmekanism), en fast spolelindning (för en elektromagnetisk mätmekanism) eller rörliga och fasta spolelindningar kopplade i serie (för elektrodynamiska och ferrodynamiska mätmekanismer). Till skillnad från voltmeterkretsar har de alltså inte ytterligare motstånd.

Multi-limit amperemetrar är byggda på basis av single-limit sådana, med olika tekniker för att minska känsligheten. Till exempel genom att leda den uppmätta strömmen genom en del av spollindningen eller inkludera spollindningarna parallellt. Shuntar används också - motstånd med relativt låga motstånd, parallellkopplade med lindningarna.

De vanligaste elektromekaniska amperemetrarna med noggrannhetsklasser 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 låter dig mäta likströmmar i området från 10 -6 till 10 4 A. För att mäta strömmar mindre än 10 -6 A kan du använda magnetoelektrisk galvanometrar(2K10) och enheter baserade på dem (till exempel fotogalvanometriska enheter).

2.1.4. Mätning av växelströmmar och spänningar

elektromekaniska anordningar.

Elektromekaniska amperemetrar och voltmetrar används för att mäta de effektiva värdena för periodiska strömmar och spänningar. För att skapa dem används elektromagnetiska, elektrodynamiska och ferrodynamiska, såväl som elektrostatiska (endast för voltmetrar) mätmekanismer. Dessutom omfattar elektromekaniska amperemetrar och voltmetrar även enheter baserade på en magnetoelektrisk mätmekanism med AC- eller spänning till DC-omvandlare (likriktare och termoelektriska enheter).

Mätkretsarna för elektromagnetiska, elektrodynamiska och ferrodynamiska amperemetrar och AC-voltmetrar skiljer sig praktiskt taget inte från kretsarna för liknande DC-enheter. Alla dessa enheter kan användas för att mäta både lik- och växelström och spänning.

Det momentana värdet på vridmomentet i dessa enheter bestäms av kvadraten på det momentana värdet av strömmen i spollindningarna, och pekarens position beror på vridmomentets medelvärde. Därför mäter enheten det effektiva (rms) värdet för den uppmätta periodiska strömmen eller spänningen, oavsett formen på kurvan. De vanligaste amperemetrarna och voltmetrarna med noggrannhetsklasser på 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 låter dig mäta växelströmmar från 10 -4 till 10 2 A och spänningar från 0,1 till 600 V i frekvensområdet från 45 Hz till 5 kHz.

Elektrostatiska voltmetrar kan också användas för att mäta både konstanta och effektiva värden på växelspänningar, oavsett formen på kurvan, eftersom det momentana värdet på vridmomentet i dessa enheter bestäms av kvadraten på det momentana värdet på den uppmätta spänningen . De vanligaste voltmetrarna med noggrannhetsklasserna 0,5, 1,0, 1,5 låter dig mäta växelspänningar från 1 till 10 5 V i frekvensområdet från 20 Hz till 10 MHz.

Magnetoelektriska amperemetrar och voltmetrar konstruerade för drift i DC-kretsar kan inte mäta de effektiva värdena för växelströmmar och spänningar. Det momentana värdet av vridmomentet i dessa enheter är faktiskt proportionellt mot det momentana värdet av strömmen i spolen. Med en sinusformad ström är medelvärdet för vridmomentet och följaktligen instrumentets avläsning noll. Om strömmen i spolen har en konstant komponent, är avläsningen av enheten proportionell mot medelvärdet av strömmen i spolen.

För att skapa AC-amperemetrar och voltmetrar baserade på en magnetoelektrisk mätmekanism används AC-till-DC-omvandlare baserade på halvledardioder eller termiska omvandlare. På fig. 2.1 visar en av de möjliga kretsarna för likriktarsystemets amperemeter, och i fig. 2.2 - termoelektrisk.

I likriktarsystemets amperemeter, den uppmätta strömmen i(t) rätar ut och passerar genom spollindningen i den magnetoelektriska mätmekanismen IM. Avläsningen av enheten är proportionell mot den genomsnittliga modulo för perioden T nuvarande värde:

. (2.2)

Menande jag cp är proportionell mot strömmens effektiva värde, dock beror proportionalitetsfaktorn på typen av funktion i(t). Alla enheter i likriktarsystemet är kalibrerade i de effektiva värdena för strömmar (eller spänningar) i sinusform och är inte avsedda för mätningar i kretsar med strömmar av godtycklig form.

I amperemetern på ett termoelektriskt system, den uppmätta strömmen i(t) passerar genom värmeomvandlaren TP:s värmare. När den värms upp, uppstår termo-EMF vid de fria ändarna av termoelementet, vilket orsakar en likström genom spollindningen av den magnetoelektriska mätmekanismen hos IM. Värdet på denna ström beror icke-linjärt på det effektiva värdet jag uppmätt ström i(t) och lite beror på dess form och spektrum.

Voltmeterkretsar för likriktare och termoelektriska system skiljer sig från amperemeterkretsar genom närvaron av ett extra motstånd kopplat i serie till kretsen för den uppmätta strömmen i(t) och fungerar som en omvandlare av den uppmätta spänningen till ström.

De vanligaste amperemetrarna och voltmetrarna i likriktarsystemet med noggrannhetsklasserna 1.0 och 1.5 låter dig mäta växelströmmar från 10 -3 till 10 A och spänningar från 1 till 600 V i frekvensområdet från 45 Hz till 10 kHz.

De vanligaste termoelektriska systemamperemetrarna och voltmetrarna med noggrannhetsklasserna 1,0 och 1,5 tillåter mätning av växelströmmar från 10 -4 till 10 2 A och spänningar från 0,1 till 600 V i frekvensområdet från 1 Hz till 50 MHz.

Vanligtvis görs enheter av likriktare och termoelektriska system multi-range och kombineras, vilket gör att de kan användas för att mäta både växel- och likströmmar och spänningar.

2.1.5. DC-spänningsmätning

Till skillnad från elektromekaniska analoga voltmetrar(2K11) elektroniska voltmetrar innehåller spänningsförstärkare. Den informativa parametern för den uppmätta spänningen omvandlas i dessa enheter till likström i spollindningen av den magnetoelektriska mätmekanismen (2K4), vars skala är kalibrerad i spänningsenheter.

Den elektroniska voltmeterförstärkaren måste ha en stabil förstärkning i ett visst frekvensområde från någon lägre frekvens f n till toppen f V. Om f n = 0, då brukar en sådan förstärkare kallas DC förstärkare, och om f n > 0 och förstärkningen är noll vid f = 0 – AC förstärkare.

En förenklad krets av en elektronisk DC-voltmeter består av tre huvudkomponenter: en inspänningsdelare (2K9), en DC-förstärkare ansluten till dess utgång, och en magnetoelektrisk voltmeter. En högresistans spänningsdelare och en DC-förstärkare ger en hög ingångsimpedans för den elektroniska voltmetern (i storleksordningen 1 MΩ). Divisions- och förstärkningsfaktorerna kan justeras diskret, vilket gör det möjligt att tillverka flerområdesvoltmetrar. På grund av den höga förstärkningen hos elektroniska voltmetrar tillhandahålls en högre känslighet jämfört med elektromekaniska.

En egenskap hos DC elektroniska voltmetrar är drift- långsamma förändringar i voltmeteravläsningar vid en konstant uppmätt spänning (1Q14), orsakad av förändringar i parametrarna för elementen i DC-förstärkarkretsarna. Avvikelsen av avläsningar är mest signifikant vid mätning av låga spänningar. Därför, innan mätningar påbörjas, är det nödvändigt att använda speciella justeringselement för att ställa in nollavläsningen av voltmetern med en kortsluten ingång.

Om en periodisk växelspänning appliceras på voltmetern i fråga, kommer den, på grund av egenskaperna hos den magnetoelektriska mätmekanismen, att mäta den konstanta komponenten av denna spänning, såvida inte växelkomponenten är för stor och voltmeterförstärkaren arbetar linjärt. läge.

De vanligaste analoga elektroniska DC-voltmetrarna låter dig mäta spänningar i intervallet från 10 -6 till 10 3 V. Värdena för gränserna för det grundläggande reducerade felet beror på mätområdet och är vanligtvis ± (0,5 - 5,0)%.

2.1.6. Mätning av växelspänningar

analoga elektroniska voltmetrar.

Analoga elektroniska voltmetrar används huvudsakligen för att mäta de effektiva värdena för periodiska spänningar i ett brett frekvensområde.

Huvudskillnaden mellan kretsen för en elektronisk växelströmsvoltmeter och kretsen för en likströmsvoltmeter som betraktas ovan beror på närvaron av en extra nod i den - en omvandlare av den informativa parametern växelspänning till likström. Sådana omvandlare benämns ofta "detektorer".

Det finns detektorer för amplitud, modulo medelvärde och effektiva spänningsvärden. Den konstanta spänningen vid utgången av den första är proportionell mot amplituden av spänningen vid dess ingång, den konstanta spänningen vid utgången av den andra är proportionell mot modulo-medelvärdet för inspänningen, och den tredje är den effektiva.

Var och en av de tre indikerade grupperna av detektorer kan i sin tur delas in i två grupper: detektorer med öppen ingång och detektorer med stängd ingång. För detektorer med öppen ingång beror utspänningen på ingångsspänningens DC-komponent, och för detektorer med sluten ingång gör den det inte. Uppenbarligen, om kretsen för en elektronisk voltmeter har en detektor med en sluten ingång eller en AC-förstärkare, beror avläsningarna av en sådan voltmeter inte på den konstanta komponenten av den uppmätta spänningen. En sådan voltmeter är fördelaktig att använda i fall där endast den variabla komponenten av den uppmätta spänningen bär användbar information.

Förenklade diagram över amplituddetektorer med öppna och slutna ingångar visas i fig. 2.3 och 2.4.

När den appliceras på ingången till en amplituddetektor med en öppen spänningsingång u(t) = U m sinωt kondensatorn laddas till spänning U m, som stänger av dioden. Samtidigt upprätthålls en konstant spänning vid detektorns utgång. U m. Om du applicerar en godtycklig spänning på ingången, kommer kondensatorn att laddas till det maximala positiva värdet för denna spänning.

Vid applicering på ingången till en amplituddetektor med sluten spänningsingång u(t) = U m sinωt kondensatorn laddas också till spänning U m och utspänningen u(t) = U m + U m sinωt. Om en sådan spänning eller en ström som är proportionell mot den appliceras på spollindningen av en magnetoelektrisk mätmekanism, kommer instrumentets avläsningar att bero på den konstanta komponenten av denna spänning, lika med U m (2K4). När spänning läggs på ingången u(t) = U ons + U m sinωt, Var U ons– medelspänningsvärde u(t) , är kondensatorn laddad till en spänning U m + U ons, och utspänningen är inställd u(t) = U m + U m sinωt, oberoende av U ons .

Exempel på modulo medelvärde och effektiva spänningsdetektorer behandlades i underavsnitt 2.1.4 (fig. 2.1 respektive 2.2).

Amplitud- och modulomedeldetektorer är enklare än RMS-detektorer, men voltmetrar baserade på dem kan endast användas för att mäta sinusformade spänningar. Faktum är att deras avläsningar, beroende på typen av detektor, är proportionella mot de genomsnittliga modulo- eller amplitudvärdena för den uppmätta spänningen. Därför kan de övervägda analoga elektroniska voltmetrarna kalibreras i effektiva värden endast för en viss form av den uppmätta spänningen. Detta görs för den vanligaste - sinusformade spänningen.

De vanligaste analoga elektroniska voltmetrarna låter dig mäta spänningar från 10 -6 till 10 3 V i frekvensområdet från 10 till 10 9 Hz. Värdena för gränserna för det grundläggande reducerade felet beror på mätområdet och frekvensen för den uppmätta spänningen och är vanligtvis ± (0,5 - 5,0)%.

Metoden för mätning med elektroniska voltmetrar skiljer sig från metoden för att använda elektromekaniska voltmetrar. Detta beror på förekomsten i dem av elektroniska förstärkare med DC-strömförsörjning, som vanligtvis drivs från AC-nätet.

Om däremot plint 6 ansluts till voltmeterns ingångsplint 1 och t.ex. spänningen mäts U 65 , då kommer mätresultatet att förvrängas av störspänningen, vars värde beror på parametrarna för de ekvivalenta kretsarna i fig. 2,5 och 2,6.

Med likspänningsmätning U 54 störningar kommer att förvränga mätresultatet, oavsett hur voltmetern är ansluten. Detta kan undvikas genom indirekt mätning genom att mäta spänningarna U 64 och U 65 och beräknat U 54 = U 64 - U 65 . Men noggrannheten för en sådan mätning kanske inte är tillräckligt hög, särskilt om U 64 ≈ U 65 . (2K12)