03.07.202327.05.2017

Niech funkcja rzeczywista spełnia warunki Dirichleta na przedziale - L, L. Zapiszmy jego rozwinięcie w trygonometryczny szereg Fouriera:

Jeśli w (10.1) wyrazimy i poprzez funkcję wykładniczą wyimaginowanego argumentu:

wtedy otrzymamy serię

gdzie z powodu (10.2)

Trzy ostatnie formuły można połączyć:

Szereg (10.3) ze współczynnikami (10.4) nazywany jest trygonometrycznym szeregiem Fouriera w postaci zespolonej.

Przykład 1. Rozwiń funkcję, gdzie jest liczbą zespoloną, na szereg Fouriera na przedziale.

Rozwiązanie . Znajdźmy współczynniki Fouriera:

Od tego czasu

Wymagane rozwinięcie będzie miało postać

gdzie jest to brane pod uwagę

Zastosowanie równości Parsevala do szeregu (10.5)

możesz znaleźć sumę innego szeregu liczbowego. Rzeczywiście, w naszym przypadku

Następnie z (10.6) wynika

Ćwiczenie 1. Udowodnij to

Notatka. Włóż (10.5) X= 0 i X = .

Ćwiczenie 2. Udowodnij, że kiedy

Całka Fouriera

Zbieżność całki Fouriera

Niech funkcja będzie zdefiniowana na całej osi liczbowej. Zakładając, że w dowolnym skończonym przedziale - L, L dana funkcja spełnia warunki Dirichleta, przedstawmy ją za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera w postaci zespolonej:

Częstotliwość k harmoniczne; .

Wprowadzając wyrażenia (11.2) do (11.1) otrzymujemy

W rozmiarze. Prawa strona wzoru (11.3) przypomina sumę całkowitą funkcji po zmiennej w przedziale. Zatem możemy się spodziewać, że po przejściu do granicy z (11.3) zamiast szeregu otrzymamy całkę

Wzór (11.4) nazywa się całką Fouriera, a jego prawa strona nazywa się całką Fouriera.

Rozumowanie użyte do wyprowadzenia wzoru (11.4) nie jest rygorystyczne i ma jedynie charakter sugestywny. Warunki, w jakich obowiązuje wzór na całkę Fouriera, określa twierdzenie, które przyjmujemy bez dowodu.

Twierdzenie. Niech po pierwsze, funkcja będzie całkowicie całkowalna na przedziale, tj. całka jest zbieżna, a po drugie spełnia warunki Dirichleta na każdym skończonym przedziale (- L, L). Wtedy całka Fouriera zbiega się (w sensie wartości głównej) wszędzie, tj. równość (11.4) jest spełniona dla wszystkich X pomiędzy. Tutaj, podobnie jak poprzednio, zakłada się, że w punkcie nieciągłości wartość funkcji jest równa połowie sumy jej jednostronnych granic w tym punkcie.

Transformata Fouriera

Przekształcamy wzór na całkę Fouriera (11.4) w następujący sposób. Włóżmy

Jeżeli funkcja jest ciągła i absolutnie całkowalna na całej osi, to jest ciągła na przedziale. Rzeczywiście, od tego czasu

a ponieważ całka po prawej stronie jest zbieżna, całka po lewej stronie jest zbieżna. zatem całka z (12.1) jest zbieżna absolutnie. Równość (12.2) jest spełniona jednocześnie dla wszystkich, więc całka (12.1) jest zbieżna równomiernie względem. Wynika z tego, że funkcja jest ciągła (tak jak jednostajna zbieżność szeregu złożonego z funkcji ciągłych implikuje ciągłość jego sumy).

Z (11.4) otrzymujemy

Funkcja zespolona zdefiniowana wzorem (12.1) nazywana jest transformatą Fouriera lub transformatą Fouriera tej funkcji. Z kolei wzór (12.3) definiuje jako odwrotną transformatę Fouriera, czyli odwrotny obraz funkcji. Równość (12.3) dla danej funkcji można uznać za równanie całkowe ze względu na funkcję, której rozwiązanie podaje wzór (12.1). I odwrotnie, rozwiązanie równania całkowego (12.1) dla danej funkcji podaje wzór (12.3).

We wzorze (12.3) wyrażenie określa, mówiąc relatywnie, pakiet złożonych harmonicznych o częstotliwościach stale rozłożonych w przedziale i całkowitej zespolonej amplitudzie. Funkcja nazywa się gęstością widmową. Wzór (12.2), zapisany w formularzu

można interpretować jako rozwinięcie funkcji na sumę pakietów harmonicznych, których częstotliwości tworzą ciągłe widmo rozłożone w przedziale.

Równości Parsevala. Niech i będą obrazami Fouriera funkcji rzeczywistych i odpowiednio. Następnie

te. Produkty skalarne i normy funkcji są niezmiennikami transformaty Fouriera. Udowodnijmy to stwierdzenie. Z definicji iloczynu skalarnego mamy. Zastępując funkcję jej wyrażeniem (12.3) poprzez transformatę Fouriera, otrzymujemy

Na mocy (12.1)

Dlatego, tj. wzór (12.4) został udowodniony. Wzór (12.5) otrzymuje się z (12.4) w.

Cosinus i sinus Transformaty Fouriera. Jeśli funkcja rzeczywista jest parzysta, to jej transformata Fouriera, którą tutaj oznaczamy, jest również funkcją rzeczywistą parzystą. Naprawdę,

Ostatnia całka, ze względu na nieparzystość całki, znika. Zatem,

Tutaj korzystamy z własności (7.1) funkcji parzystych.

Z (12.6) wynika, że funkcja jest rzeczywista i równomiernie zależna od, ponieważ wchodzi do (12.6) tylko przez cosinus.

Wzór (12.3) odwrotnej transformaty Fouriera w tym przypadku daje

Ponieważ i są odpowiednio parzystymi i nieparzystymi funkcjami zmiennej

Wzory (12.6) i (12.7) definiują transformatę kosinusową Fouriera.

Podobnie, jeśli funkcja rzeczywista jest nieparzysta, to jej transformata Fouriera to gdzie jest funkcja rzeczywista nieparzysta. W której

Równości (12.8), (12.9) definiują transformatę sinusoidalną Fouriera.

Należy pamiętać, że formuły (12.6) i (12.8) zawierają wartości funkcji tylko dla. Dlatego transformaty Fouriera cosinus i sinus można również zastosować do funkcji zdefiniowanej w przedziale półnieskończonym. W tym przypadku całki we wzorach (12.7) i (12.9) zbiegają się do danej funkcji, a co do jej parzystych i nieparzystych kontynuacji.

Które są już dość nudne. I czuję, że nadszedł moment, w którym ze strategicznych zasobów teorii należy wydobyć nowe konserwy. Czy można w jakiś inny sposób rozwinąć tę funkcję w szereg? Na przykład wyrazić odcinek linii prostej za pomocą sinusów i cosinusów? Wydaje się to niewiarygodne, ale tak pozornie odległe funkcje mogą być
„zjednoczenie”. Oprócz znanych stopni z teorii i praktyki istnieją inne podejścia do rozwijania funkcji w szereg.

Na tej lekcji zapoznamy się z trygonometrycznym szeregiem Fouriera, poruszymy kwestię jego zbieżności i sumy oraz oczywiście przeanalizujemy liczne przykłady rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera. Szczerze chciałem nazwać artykuł „Seria Fouriera dla opornych”, ale byłoby to nieszczere, ponieważ rozwiązanie problemów wymagałoby znajomości innych gałęzi analizy matematycznej i pewnego doświadczenia praktycznego. Dlatego preambuła będzie przypominać szkolenie astronautów =)

Po pierwsze, powinieneś podejść do badania materiałów stronicowych w doskonałej formie. Śpiący, wypoczęty i trzeźwy. Bez silnych emocji związanych ze złamaną nogą chomika i obsesyjnych myśli o trudach życia ryb akwariowych. Szereg Fouriera nie jest trudny do zrozumienia, ale praktyczne zadania wymagają po prostu wzmożonej koncentracji uwagi – idealnie byłoby, gdybyś całkowicie odciął się od bodźców zewnętrznych. Sytuację pogarsza fakt, że nie ma łatwego sposobu sprawdzenia rozwiązania i odpowiedzi. Dlatego jeśli Twoje zdrowie jest poniżej średniej, lepiej zrobić coś prostszego. Czy to prawda.

Po drugie, przed lotem w kosmos należy przestudiować tablicę przyrządów statku kosmicznego. Zacznijmy od wartości funkcji, które należy kliknąć na maszynie:

Dla dowolnej wartości przyrodniczej:

1) . Rzeczywiście, sinusoida „zszywa” oś x przez każde „pi”:
. W przypadku ujemnych wartości argumentu wynik będzie oczywiście taki sam: .

2) . Ale nie wszyscy o tym wiedzieli. Cosinus „pi” jest odpowiednikiem „migacza”:

Argument negatywny nie zmienia sprawy: .

Być może to wystarczy.

I po trzecie, kochany korpusie kosmonautów, musicie umieć... zintegrować.
W szczególności pewnie podważ funkcję pod znak różniczkowy, integrować fragmentarycznie i bądź spokojny Wzór Newtona-Leibniza. Rozpocznijmy ważne ćwiczenia przed lotem. Kategorycznie nie radzę go pomijać, aby później nie zgiąć się w nieważkości:

Przykład 1

Oblicz całki oznaczone

gdzie bierze walory przyrodnicze.

Rozwiązanie: całkowanie odbywa się po zmiennej „x” i na tym etapie zmienną dyskretną „en” uważa się za stałą. We wszystkich całkach umieść funkcję pod znakiem różniczkowym:

Krótka wersja rozwiązania, na którą warto celować, wygląda następująco:

Przyzwyczajmy się do tego:

Pozostałe cztery punkty robisz sam. Staraj się podejść do zadania sumiennie i zapisz całki w skrócie. Przykładowe rozwiązania na końcu lekcji.

Po wykonaniu ćwiczeń JAKOŚĆ zakładamy skafandry kosmiczne
i szykuję się do startu!

Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera na przedziale

Rozważmy jakąś funkcję określony przynajmniej na pewien okres czasu (a być może na dłuższy okres). Jeżeli funkcja ta jest całkowalna na przedziale, to można ją rozwinąć do funkcji trygonometrycznej Szereg Fouriera:
, gdzie znajdują się tzw Współczynniki Fouriera.

W tym przypadku numer jest wywoływany okres rozkładu, a liczba jest okres półtrwania rozkładu.

Jest oczywiste, że w ogólnym przypadku szereg Fouriera składa się z sinusów i cosinusów:

Rzeczywiście, napiszmy to szczegółowo:

Wyraz zerowy szeregu zwykle zapisuje się w postaci .

Współczynniki Fouriera oblicza się za pomocą następujących wzorów:

Doskonale rozumiem, że osoby rozpoczynające naukę tematu nadal nie są pewne nowych terminów: okres rozkładu, półcykl, Współczynniki Fouriera itp. Nie panikuj, to nie jest porównywalne z ekscytacją przed wyjazdem w przestrzeń kosmiczną. Rozumiemy wszystko w poniższym przykładzie, przed wykonaniem którego logiczne jest zadanie palących pytań praktycznych:

Co musisz zrobić w poniższych zadaniach?

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera. Dodatkowo często trzeba zobrazować wykres funkcji, wykres sumy szeregu, sumy częściowej, a w przypadku wyrafinowanych fantazji profesorskich zrobić coś innego.

Jak rozwinąć funkcję w szereg Fouriera?

Zasadniczo musisz znaleźć Współczynniki Fouriera, czyli skomponuj i oblicz trzy określona całka.

Proszę przepisać do zeszytu ogólną postać szeregu Fouriera i trzy działające wzory. Bardzo się cieszę, że niektórzy odwiedzający witrynę realizują swoje dziecięce marzenie o zostaniu astronautą na moich oczach =)

Przykład 2

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera na przedziale. Skonstruuj wykres, wykres sumy szeregu i sumy częściowej.

Rozwiązanie: Pierwsza część zadania polega na rozwinięciu funkcji w szereg Fouriera.

Początek jest standardowy, koniecznie zapisz, że:

W tym zadaniu okres ekspansji jest półokresowy.

Rozwińmy funkcję w szereg Fouriera na przedziale:

Stosując odpowiednie wzory, znajdujemy Współczynniki Fouriera. Teraz musimy skomponować i obliczyć trzy określona całka. Dla wygody ponumeruję punkty:

1) Pierwsza całka jest najprostsza, wymaga jednak również gałek ocznych:

2) Skorzystaj z drugiej formuły:

Całka ta jest dobrze znana i bierze to kawałek po kawałku:

Używane w przypadku znalezienia metoda podciągania funkcji pod znak różniczkowy.

W rozważanym zadaniu wygodniej jest natychmiast skorzystać wzór na całkowanie przez części w całce oznaczonej :

Kilka uwag technicznych. Po pierwsze, po zastosowaniu formuły całe wyrażenie należy ująć w duże nawiasy, ponieważ przed całką pierwotną znajduje się stała. Nie traćmy jej! Nawiasy można rozwinąć w dowolnym dalszym kroku; zrobiłem to w ostateczności. W pierwszym „kawałku” Przy podstawiewaniu zachowujemy szczególną ostrożność, jak widać, nie stosuje się stałej, a granice całkowania podstawia się do iloczynu. Ta czynność jest zaznaczona w nawiasach kwadratowych. No cóż, całkę z drugiego „fragmentu” wzoru z zadania szkoleniowego znasz ;-)

A co najważniejsze – ekstremalna koncentracja!

3) Szukamy trzeciego współczynnika Fouriera:

Otrzymuje się krewną poprzedniej całki, która również jest integruje się fragmentarycznie:

Ten przypadek jest trochę bardziej skomplikowany, dalsze kroki opiszę krok po kroku:

(1) Wyrażenie jest całkowicie ujęte w duże nawiasy. Nie chciałem wydawać się nudny, zbyt często tracą stałość.

(2) W tym przypadku natychmiast otworzyłem te duże nawiasy. Specjalna uwaga Poświęcamy się pierwszemu „kawałkowi”: ciągłemu dymieniu na uboczu i nie uczestniczeniu w zastępowaniu granic integracji ( i ) w produkcie. Ze względu na bałagan w zapisie ponownie wskazane jest podkreślenie tej akcji nawiasami kwadratowymi. Z drugim „kawałkiem” wszystko jest prostsze: tutaj ułamek pojawił się po otwarciu dużych nawiasów, a stała - w wyniku całkowania znanej całki ;-)

(3) W nawiasach kwadratowych przeprowadzamy przekształcenia, a w prawej całce - podstawienie granic całkowania.

(4) Z nawiasów kwadratowych usuwamy „migające światło”: , a następnie otwieramy nawiasy wewnętrzne: .

(5) Usuwamy 1 i –1 w nawiasach i dokonujemy ostatecznych uproszczeń.

Wreszcie znaleziono wszystkie trzy współczynniki Fouriera:

Podstawmy je do wzoru :

Jednocześnie nie zapomnij podzielić na pół. W ostatnim kroku stała („minus dwa”), która nie zależy od „en”, jest wyjmowana poza sumę.

W ten sposób otrzymaliśmy rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera na przedziale:

Przeanalizujmy zagadnienie zbieżności szeregu Fouriera. Wyjaśnię w szczególności teorię Twierdzenie Dirichleta, dosłownie „na palcach”, więc jeśli potrzebujesz ścisłych sformułowań, zapoznaj się z podręcznikiem analizy matematycznej (na przykład 2. tom Bohana lub 3. tom Fichtenholtza, ale jest to trudniejsze).

Druga część problemu wymaga narysowania wykresu, wykresu sumy szeregu i wykresu sumy częściowej.

Wykres funkcji jest zwykły linia prosta na płaszczyźnie, narysowane czarną przerywaną linią:

Obliczmy sumę szeregu. Jak wiadomo, szeregi funkcyjne zbiegają się do funkcji. W naszym przypadku skonstruowany szereg Fouriera dla dowolnej wartości „x” zbiegnie się do funkcji, która jest pokazana na czerwono. Ta funkcja toleruje pęknięcia I rodzaju w punktach, ale jest również w nich zdefiniowany (czerwone kropki na rysunku)

Zatem: . Łatwo zauważyć, że funkcja zauważalnie różni się od pierwotnej, dlatego we wpisie Zamiast znaku równości używana jest tylda.

Przeanalizujmy algorytm wygodny do konstruowania sumy szeregu.

W przedziale środkowym szereg Fouriera zbiega się z samą funkcją (środkowy czerwony segment pokrywa się z czarną przerywaną linią funkcji liniowej).

Porozmawiajmy teraz trochę o naturze rozważanego rozwinięcia trygonometrycznego. Szereg Fouriera zawiera tylko funkcje okresowe (stała, sinus i cosinus), a więc sumę szeregu jest także funkcją okresową.

Co to oznacza w naszym konkretnym przykładzie? A to oznacza, że suma szeregu –z pewnością okresowe a czerwony odcinek przedziału należy powtarzać w nieskończoność po lewej i prawej stronie.

Myślę, że znaczenie wyrażenia „okres rozkładu” stało się wreszcie jasne. Krótko mówiąc, za każdym razem sytuacja się powtarza.

W praktyce zwykle wystarczy przedstawić trzy okresy rozkładu, jak pokazano na rysunku. Cóż, a także „pniaki” sąsiednich okresów - aby było jasne, że wykres trwa.

Szczególnie interesujące są punkty nieciągłości pierwszego rodzaju. W takich punktach szereg Fouriera zbiega się do izolowanych wartości, które znajdują się dokładnie w środku „skoku” nieciągłości (czerwone kropki na rysunku). Jak znaleźć rzędne tych punktów? Najpierw znajdźmy rzędną „górnego piętra”: w tym celu obliczamy wartość funkcji w skrajnym na prawo punkcie środkowego okresu rozbudowy: . Aby obliczyć rzędną „dolnego piętra”, najłatwiej jest przyjąć skrajną lewą wartość z tego samego okresu: . Rzędną wartości średniej jest średnia arytmetyczna sumy „góry i dołu”: . Przyjemnym faktem jest to, że podczas konstruowania rysunku od razu zobaczysz, czy środek jest obliczony poprawnie, czy niepoprawnie.

Skonstruujmy sumę cząstkową szeregu i jednocześnie powtórzmy znaczenie terminu „zbieżność”. Motyw znany jest także z lekcji nt suma szeregu liczbowego. Opiszmy szczegółowo nasze bogactwo:

Aby utworzyć sumę częściową, musisz napisać zero + dwa kolejne wyrazy szeregu. To jest,

Na rysunku wykres funkcji jest pokazany na zielono i jak widać dość mocno „zawija” pełną sumę. Jeśli weźmiemy pod uwagę częściową sumę pięciu wyrazów szeregu, to wykres tej funkcji jeszcze dokładniej przybliży czerwone linie; jeśli jest sto wyrazów, wówczas „zielony wąż” faktycznie całkowicie połączy się z czerwonymi segmentami, itp. Zatem szereg Fouriera zbiega się do swojej sumy.

Warto zauważyć, że każda częściowa kwota jest funkcja ciągła, jednak całkowita suma szeregu jest nadal nieciągła.

W praktyce nie jest tak rzadkością konstruowanie wykresu sumy częściowej. Jak to zrobić? W naszym przypadku konieczne jest rozważenie funkcji na odcinku, obliczenie jej wartości na końcach odcinka i w punktach pośrednich (im więcej punktów uwzględnisz, tym dokładniejszy będzie wykres). Następnie należy zaznaczyć te punkty na rysunku i dokładnie narysować wykres na okresie, a następnie „odtworzyć” go na sąsiednie przedziały. Jak inaczej? Przecież aproksymacja to także funkcja okresowa... ...w pewnym sensie jej wykres przypomina mi równy rytm serca na wyświetlaczu urządzenia medycznego.

Wykonanie konstrukcji oczywiście nie jest zbyt wygodne, ponieważ trzeba zachować szczególną ostrożność, zachowując dokładność nie mniejszą niż pół milimetra. Zadowolę jednak czytelników, którzy nie czują się komfortowo z rysowaniem - w „prawdziwym” problemie nie zawsze konieczne jest wykonanie rysunku, w około 50% przypadków konieczne jest rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera i to wszystko .

Po ukończeniu rysunku wykonujemy zadanie:

Odpowiedź:

W wielu zadaniach funkcja cierpi pęknięcie I rodzaju bezpośrednio w okresie rozkładu:

Przykład 3

Rozwiń funkcję podaną na przedziale w szereg Fouriera. Narysuj wykres funkcji i sumy całkowitej szeregu.

Proponowana funkcja jest określona fragmentarycznie (i uwaga, tylko w segmencie) i wytrzymuje pęknięcie I rodzaju W punkcie . Czy można obliczyć współczynniki Fouriera? Bez problemu. Zarówno lewa, jak i prawa strona funkcji są całkowalne na swoich przedziałach, dlatego całki w każdym z trzech wzorów należy przedstawić jako sumę dwóch całek. Zobaczmy na przykład, jak to się robi dla zerowego współczynnika:

Druga całka okazała się równa zeru, co zmniejszyło pracę, ale nie zawsze tak jest.

Pozostałe dwa współczynniki Fouriera opisano podobnie.

Jak pokazać sumę szeregu? Na lewym przedziale rysujemy odcinek prosty, a na przedziale odcinek prosty (pogrubioną czcionką zaznaczamy odcinek osi). Oznacza to, że w przedziale rozwinięcia suma szeregu pokrywa się z funkcją wszędzie z wyjątkiem trzech „złych” punktów. W punkcie nieciągłości funkcji szereg Fouriera zbiega się do izolowanej wartości, która znajduje się dokładnie w środku „skoku” nieciągłości. Nietrudno to dostrzec ustnie: granica lewa: , granica prawa: i oczywiście współrzędna środka wynosi 0,5.

Ze względu na okresowość sumy obraz należy „pomnożyć” na sąsiednie okresy, w szczególności to samo należy przedstawić w odstępach i . Jednocześnie w punktach szereg Fouriera zbiegnie się do wartości mediany.

Tak naprawdę nie ma tu nic nowego.

Spróbuj sam poradzić sobie z tym zadaniem. Przybliżona próbka ostatecznego projektu i rysunek na końcu lekcji.

Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera w dowolnym okresie

Dla dowolnego okresu rozwinięcia, gdzie „el” jest dowolną liczbą dodatnią, wzory na szereg Fouriera i współczynniki Fouriera wyróżniają się nieco bardziej skomplikowanym argumentem dla sinusa i cosinusa:

Jeśli , to otrzymamy wzory przedziałów, od których zaczęliśmy.

Algorytm i zasady rozwiązywania problemu są całkowicie zachowane, ale zwiększa się złożoność techniczna obliczeń:

Przykład 4

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera i wykreśl sumę.

Rozwiązanie: właściwie analog przykładu nr 3 z pęknięcie I rodzaju W punkcie . W tym zadaniu okres ekspansji jest półokresowy. Funkcja jest zdefiniowana tylko na połowie przedziału, ale to nie zmienia sprawy - ważne jest, aby oba elementy funkcji były całkowalne.

Rozwińmy tę funkcję w szereg Fouriera:

Ponieważ funkcja jest nieciągła w początku, każdy współczynnik Fouriera należy oczywiście zapisać jako sumę dwóch całek:

1) Napiszę pierwszą całkę tak szczegółowo, jak to możliwe:

2) Uważnie przyglądamy się powierzchni Księżyca:

Druga całka weź to kawałek po kawałku:

Na co powinniśmy zwrócić szczególną uwagę po otwarciu kontynuacji rozwiązania gwiazdką?

Po pierwsze, nie tracimy pierwszej całki , gdzie natychmiast wykonujemy subskrybowanie znaku różniczkowego. Po drugie, nie zapomnij o niefortunnej stałej przed dużymi nawiasami i nie dajcie się zwieść znakom podczas korzystania ze wzoru. Duże zamki są nadal wygodniejsze do otwarcia od razu w następnym kroku.

Reszta to kwestia techniki, trudności może powodować jedynie niedostateczne doświadczenie w rozwiązywaniu całek.

Tak, nie bez powodu oburzyli się wybitni koledzy francuskiego matematyka Fouriera - jak on śmiał układać funkcje w szeregi trygonometryczne?! =) Nawiasem mówiąc, prawdopodobnie każdy jest zainteresowany praktycznym znaczeniem danego zadania. Sam Fourier pracował nad matematycznym modelem przewodności cieplnej, a następnie nazwane jego imieniem szeregi zaczęto wykorzystywać do badania wielu procesów okresowych, które są widoczne i niewidoczne w otaczającym świecie. Teraz, nawiasem mówiąc, złapałem się na myśli, że nieprzypadkowo porównałem wykres drugiego przykładu z okresowym rytmem serca. Zainteresowani mogą zapoznać się z praktycznym zastosowaniem Transformata Fouriera w źródłach zewnętrznych. ...Chociaż lepiej tego nie robić - zostanie zapamiętane jako Pierwsza Miłość =)

3) Biorąc pod uwagę wielokrotnie wspominane słabe ogniwa, spójrzmy na trzeci współczynnik:

Całkujmy przez części:

Podstawmy znalezione współczynniki Fouriera do wzoru , nie zapominając o podzieleniu współczynnika zerowego na pół:

Narysujmy sumę szeregu. Powtórzmy krótko procedurę: konstruujemy linię prostą na przedziale i prostą na przedziale. Jeżeli wartość „x” wynosi zero, stawiamy punkt w środku „skoku” luki i „replikujemy” wykres dla sąsiednich okresów:

Na „skrzyżowaniach” okresów suma będzie również równa punktom środkowym „skoku” luki.

Gotowy. Przypomnę, że sama funkcja jest pod warunkiem określonym tylko w połowie przedziału i oczywiście pokrywa się z sumą szeregu na przedziałach

Odpowiedź:

Czasami funkcja podana fragmentarycznie jest ciągła w okresie ekspansji. Najprostszy przykład: . Rozwiązanie (patrz Bohan tom 2) tak samo jak w dwóch poprzednich przykładach: pomimo ciągłość funkcji w punkcie każdy współczynnik Fouriera jest wyrażony jako suma dwóch całek.

O przedziale rozkładu punkty nieciągłości pierwszego rodzaju i/lub może być więcej punktów „połączenia” wykresu (dwa, trzy i ogólnie dowolne finał ilość). Jeśli funkcja jest całkowalna w każdej części, to można ją również rozwinąć w szereg Fouriera. Ale z praktycznego doświadczenia nie pamiętam tak okrutnej rzeczy. Istnieją jednak zadania trudniejsze niż te właśnie rozważone, a na końcu artykułu znajdują się linki do szeregów Fouriera o zwiększonej złożoności dla każdego.

Tymczasem zrelaksujmy się, odchylmy w fotelach i kontemplujmy niekończące się przestrzenie gwiazd:

Przykład 5

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera na przedziale i wykreśl sumę szeregu.

W tym zadaniu funkcja ciągły na półprzedziale rozwinięcia, co upraszcza rozwiązanie. Wszystko jest bardzo podobne do przykładu nr 2. Ze statku kosmicznego nie ma ucieczki - musisz zdecydować =) Przybliżony przykładowy projekt na końcu lekcji, w załączeniu harmonogram.

Rozwinięcie funkcji parzystych i nieparzystych w szereg Fouriera

W przypadku funkcji parzystych i nieparzystych proces rozwiązywania problemu jest zauważalnie uproszczony. I własnie dlatego. Wróćmy do rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera o okresie „dwa pi” i dowolny okres „dwa el” .

Załóżmy, że nasza funkcja jest parzysta. Jak widać, ogólny wyraz szeregu zawiera parzyste cosinusy i nieparzyste sinusy. A jeśli rozwijamy funkcję PARZYSTĄ, to po co nam nieparzyste sinusy?! Zresetujmy niepotrzebny współczynnik: .

Zatem, funkcję parzystą można rozwinąć w szereg Fouriera tylko w cosinusach:

Ponieważ całki funkcji parzystych wzdłuż segmentu całkowania symetrycznego względem zera można podwoić, wówczas pozostałe współczynniki Fouriera zostaną uproszczone.

Dla luki:

Dla dowolnego przedziału:

Przykłady podręczników, które można znaleźć w prawie każdym podręczniku analizy matematycznej, obejmują rozwinięcia funkcji parzystych . Ponadto spotkałem się z nimi kilka razy w mojej osobistej praktyce:

Przykład 6

Funkcja jest podana. Wymagany:

1) rozwiń funkcję w szereg Fouriera z kropką , gdzie jest dowolną liczbą dodatnią;

2) zapisz rozwinięcie przedziału, skonstruuj funkcję i wykreśl sumę całkowitą szeregu.

Rozwiązanie: w pierwszym akapicie zaproponowano rozwiązanie problemu w ogólnej formie i jest to bardzo wygodne! Jeśli zajdzie taka potrzeba, po prostu zastąp swoją wartość.

1) W tym zadaniu okres ekspansji jest półokresowy. Podczas dalszych działań, w szczególności podczas całkowania, „el” przyjmuje się za stałą

Funkcja jest parzysta, co oznacza, że można ją rozwinąć w szereg Fouriera tylko w cosinusach: .

Szukamy współczynników Fouriera za pomocą wzorów . Zwróć uwagę na ich bezwarunkowe zalety. Po pierwsze, integracja odbywa się po dodatnim segmencie rozbudowy, co oznacza, że bezpiecznie pozbywamy się modułu , biorąc pod uwagę tylko „X” z dwóch elementów. Po drugie, integracja jest zauważalnie uproszczona.

Dwa:

Całkujmy przez części:

Zatem:
, natomiast stała , która nie zależy od „en”, jest pobierana poza sumą.

Odpowiedź:

2) Zapiszmy rozwinięcie na przedziale, w tym celu podstawiamy wymaganą wartość półokresu do wzoru ogólnego:

Trygonometryczny szereg Fouriera nazywa się szeregiem postaci

A0 /2 + A 1 szt X + B 1 grzech X + A 2cos2 X + B 2 grzech2 X + ... + A podoficer nx + B grzech nx + ...

gdzie są liczby A0 , A 1 , B 1 , A 2 , B 2 , ..., A N, B N... - Współczynniki Fouriera.

Bardziej skondensowane przedstawienie szeregu Fouriera z symbolem „sigma”:

Jak właśnie ustaliliśmy, w przeciwieństwie do szeregu potęgowego, w szeregu Fouriera, zamiast w najprostszych funkcjach pobierane są funkcje trygonometryczne

1/2, koszt X,grzech X, cos2 X, grzech2 X, ..., bo nx,grzech nx, ... .

Współczynniki Fouriera oblicza się za pomocą następujących wzorów:

Wszystkie powyższe funkcje w szeregu Fouriera są funkcjami okresowymi z okresem 2 π . Każdy wyraz trygonometrycznego szeregu Fouriera jest funkcją okresową z okresem 2 π .

Dlatego każda suma częściowa szeregu Fouriera ma okres 2 π . Wynika z tego, że jeśli szereg Fouriera zbiega się na przedziale [- π , π ] , to zbiega się ona na całej osi liczbowej, a jej suma będąca granicą ciągu okresowych sum cząstkowych jest funkcją okresową o okresie 2 π .

Zbieżność szeregu Fouriera i suma szeregów

Niech funkcja F(X) zdefiniowany na całej osi liczbowej i okresowy z okresem 2 π , jest okresową kontynuacją funkcji F(X) jeśli w segmencie [- π , π ] występuje F(X) = F(X)

Jeśli w segmencie [- π , π ] szereg Fouriera zbiega się do funkcji F(X) to zbiega się na całej osi liczbowej do okresowej kontynuacji.

Odpowiedź na pytanie, w jakich warunkach powstaje szereg Fouriera funkcji F(X) zbiega się do tej funkcji, daje następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Niech funkcja F(X) i jego pochodna F"(X) - ciągły na odcinku [- π , π ] lub mieć na sobie skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju. Następnie szereg Fouriera funkcji F(X) zbiega się na całej osi liczbowej i w każdym punkcie X, należący do segmentu [- π , π ] , w której F(X) jest ciągła, suma szeregu jest równa F(X) i w każdym punkcie X0 nieciągłości funkcji, suma szeregu jest równa średniej arytmetycznej granic funkcji F(X) prawo i lewo:

Gdzie I .

Na końcach segmentu [- π , π ] suma szeregu jest równa średniej arytmetycznej wartości funkcji w skrajnie lewym i prawym punkcie okresu rozwinięcia:

W każdym punkcie X, należący do segmentu [- π , π ] , suma szeregu Fouriera jest równa F(X) , Jeśli X- punkt ciągłości F(X) i jest równa średniej arytmetycznej granic F(X) lewo i prawo:

Jeśli X- punkt przerwania F(X) , Gdzie F(X) - okresowa kontynuacja F(X) .

Przykład 1. Funkcja okresowa F(X) z okresem 2 π zdefiniowany w następujący sposób:

Mówiąc prościej, funkcja ta jest zapisana jako F(X) = |X| . Rozwiń funkcję w szereg Fouriera, określ zbieżność szeregu i sumę szeregu.

Rozwiązanie. Wyznaczmy współczynniki Fouriera tej funkcji:

Teraz mamy wszystko, aby otrzymać szereg Fouriera tej funkcji:

Szereg ten jest zbieżny we wszystkich punktach, a jego suma jest równa danej funkcji.

Rozwiąż samodzielnie problem szeregu Fouriera, a następnie spójrz na rozwiązanie

Szereg Fouriera dla funkcji parzystych i nieparzystych

Niech funkcja F(X) jest zdefiniowany w segmencie [- π , π ] i jest parzysty, tj. F(- X) = F(X) . Następnie jego współczynniki BN są równe zeru. A co do współczynników AN Poprawne są następujące formuły:

Niech teraz funkcja F(X) zdefiniowany w segmencie [- π , π ], dziwne, tj. F(X) = - F(- X) . Następnie współczynniki Fouriera AN są równe zeru oraz współczynniki BN określa się na podstawie wzoru

Jak widać z powyższych wzorów, jeśli funkcja F(X) jest parzysta, to szereg Fouriera zawiera tylko cosinusy, a jeśli nieparzyste, to tylko sinusy.

Przykład 3.

Rozwiązanie. Jest to funkcja nieparzysta, więc jej współczynniki Fouriera wynoszą , a aby znaleźć , należy obliczyć całkę oznaczoną:

Ta równość dotyczy każdego. W punktach suma szeregu Fouriera zgodnie z twierdzeniem podanym w akapicie drugim nie pokrywa się z wartościami funkcji, ale jest równa . Poza segmentem suma szeregu jest okresową kontynuacją funkcji, której wykres podano powyżej jako ilustrację sumy szeregu.

Przykład 4. Rozwiń funkcję w szereg Fouriera.

Rozwiązanie. Jest to funkcja parzysta, więc jej współczynniki Fouriera wynoszą , a aby znaleźć , należy obliczyć całki oznaczone:

Otrzymujemy szereg Fouriera tej funkcji:

Ta równość obowiązuje dla każdego, ponieważ w punktach suma szeregu Fouriera w tym przypadku pokrywa się z wartościami funkcji, ponieważ .

Szereg Fouriera dla dowolnego ortogonalnego układu funkcji

Ciąg funkcji ciągły na przedziale [ A,B], zwany ortogonalny układ funkcji na odcinku[A,B], jeśli wszystkie funkcje ciągu są parami ortogonalne w tym segmencie, to znaczy jeśli

Układ nazywa się ortogonalnym i znormalizowanym (ortonormalnym) na odcinku,

jeśli warunek jest spełniony

Niech to teraz F(X) - dowolna funkcja ciągła na przedziale [ A,B]. W pobliżu Fouriera taka funkcja F(X) w segmencie [ A,B] według układu ortogonalnego wiersz nazywa się:

których współczynniki są określone przez równość:

N=1,2,...

Jeżeli ortogonalny układ funkcji na przedziale [ A,B] ortonormalny, to w tym przypadku

Gdzie N=1,2,...

Niech to teraz F(X) - dowolna funkcja, która jest ciągła lub ma skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju na odcinku [ A,B] Szereg Fouriera takiej funkcji F(X) w tym samym segmencie

zgodnie z układem ortogonalnym szereg nazywa się:

Jeżeli szereg Fouriera funkcji F(X) według układu (1) zbiega się do funkcji F(X) w każdym z jego punktów ciągłości należących do odcinka [ A,B] W tym przypadku tak mówią F(X) w segmencie [ A,B] jest rozwijany w szereg w układzie ortogonalnym (1).

Złożona postać szeregu Fouriera

Wyrażenie nazywa się złożoną formą szeregu Fouriera funkcji F(X), jeśli jest zdefiniowany przez równość

,Gdzie

Przejście z szeregu Fouriera w postaci zespolonej do szeregu w postaci rzeczywistej i z powrotem odbywa się za pomocą wzorów:

(N=1,2, . . .)

Problem z wibracjami strun

Niech sznurek będzie rozciągnięty w stanie równowagi l z końcówkami x= 0 i X=l. Załóżmy, że struna jest wyprowadzona ze stanu równowagi i drga swobodnie. Rozważymy małe drgania struny występujące w płaszczyźnie pionowej.

Przyjmując powyższe założenia można wykazać, że funkcja ty(x, t) charakteryzujący położenie struny w każdym momencie T, spełnia równanie

(1) , gdzie a jest liczbą dodatnią.

Naszym zadaniem jest znalezienie funkcji ty(x, t), którego wykres podaje kształt struny w dowolnym momencie T, czyli znajdź rozwiązanie równania (1) z granicą:

i warunki początkowe:

Najpierw będziemy szukać rozwiązań równania (1), które spełniają warunki brzegowe (2). Nie jest trudno to zobaczyć ty(X,T) 0 jest rozwiązaniem równania (1), spełniającym warunki brzegowe (2). Będziemy szukać rozwiązań, które nie są identyczne i równe 0, dających się przedstawić jako iloczyn ty(x, t)=X(X)T(T), (4) , gdzie , .

Podstawiając wyrażenie (4) do równania (1) otrzymujemy:

Stąd nasze zadanie sprowadza się do znalezienia rozwiązań równań:

Używając tego warunku X(0)=0, X(l)=0, udowadniamy, że jest to liczba ujemna, sprawdzając wszystkie przypadki.

a) Niech wtedy X”=0 i jego rozwiązanie ogólne zapiszemy następująco:

skąd i , co jest niemożliwe, ponieważ rozważamy rozwiązania, które nie znikają identycznie.

b) Niech . Następnie rozwiązanie równania

otrzymujemy i, podporządkowując, znajdujemy to

c) Jeśli wtedy

Równania mają pierwiastki:

Gdzie -dowolne stałe. Z warunku początkowego znajdujemy:

skąd, tj.

(N=1,2,...)

(N=1,2,...).

Biorąc to pod uwagę, możemy napisać:

(N=1,2,...).

i dlatego

, (N=1,2,...),

ale ponieważ A i B są różne dla różnych wartości n, mamy

, (N=1,2,...),

gdzie i są dowolnymi stałymi, które będziemy starali się wyznaczyć w taki sposób, aby szereg spełniał równanie (1), warunki brzegowe (2) i warunki początkowe (3).

Podporządkujmy więc funkcję ty(x, t) do warunków początkowych, czyli będziemy wybierać tak, aby warunki były spełnione

Równości te są odpowiednio rozwinięciami funkcji i na segmenty szeregu Fouriera w sinusach. (Oznacza to, że współczynniki będą liczone jak dla funkcji nieparzystej). Zatem rozwiązanie drgań struny przy danych warunkach brzegowych i początkowych podaje wzór

(N=1,2,...)

Całka Fouriera

Warunki wystarczające do przedstawienia funkcji w całce Fouriera.

W celu F(X) była reprezentowana przez całkę Fouriera we wszystkich punktach ciągłości i regularnych punktach nieciągłości, wystarczy:

1) absolutna całkowalność włączona

(tzn. całka jest zbieżna)

2) na dowolnym skończonym segmencie [- L, L] funkcja byłaby częściowo gładka

3) w punktach nieciągłości funkcji jej całkę Fouriera wyznacza się jako połowę sumy lewej i prawej granicy w tych punktach, a w punktach ciągłości samej funkcji F(X)

Całka Fouriera funkcji f(x) jest całką postaci: