(\large\bf Pochodna funkcji)
Rozważ funkcję y=f(x), określony w przedziale (a, b). Pozwalać X- dowolny stały punkt przedziału (a, b), A Δx- dowolna liczba taka, że wartość x+Δx również należy do przedziału (a, b). Ten numer Δx zwany przyrostem argumentu.
Definicja. Przyrost funkcji y=f(x) w tym punkcie X, odpowiadający przyrostowi argumentu Δx, zadzwońmy pod numer
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Wierzymy, że Δx ≠ 0. Rozważmy w danym stałym punkcie X stosunek przyrostu funkcji w tym punkcie do odpowiedniego przyrostu argumentu Δx
Relację tę nazwiemy relacją różnicy. Ponieważ wartość X uważamy za stały, stosunek różnicy jest funkcją argumentu Δx. Funkcja ta jest zdefiniowana dla wszystkich wartości argumentów Δx, należące do jakiegoś wystarczająco małego otoczenia punktu Δx=0 poza samym punktem Δx=0. Mamy zatem prawo rozważyć kwestię istnienia granicy określonej funkcji w Δx → 0.
Definicja. Pochodna funkcji y=f(x) w danym stałym punkcie X zwany limitem o godz Δx → 0 współczynnik różnicy, tj
Pod warunkiem, że taki limit istnieje.
Przeznaczenie. y′(x) Lub f′(x).
Geometryczne znaczenie pochodnej: Pochodna funkcji k(x) w tym momencie X równy tangensowi kąta między osiami Wół oraz styczną do wykresu tej funkcji w odpowiednim punkcie:
f′(x 0) = \tgα.
Mechaniczne znaczenie pochodnej: Pochodna toru po czasie jest równa prędkości ruchu prostoliniowego punktu:
Równanie stycznej do prostej y=f(x) w tym punkcie M 0 (x 0, y 0) przyjmuje formę
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
Normalna do krzywej w pewnym punkcie jest prostopadłą do stycznej w tym samym punkcie. Jeśli f′(x 0)≠ 0, a następnie równanie normalnej do prostej y=f(x) w tym punkcie M 0 (x 0, y 0) jest napisane tak:
Pojęcie różniczkowalności funkcji
Niech funkcja y=f(x) zdefiniowane w pewnym przedziale (a, b), X- jakaś stała wartość argumentu z tego przedziału, Δx- dowolny przyrost argumentu taki, że wartość argumentu x+Δx ∈ (a, b).
Definicja. Funkcjonować y=f(x) nazywa się różniczkowalną w danym punkcie X, jeśli zwiększasz Δy tę funkcję w punkcie X, odpowiadający przyrostowi argumentu Δx, można przedstawić w postaci
Δy = A Δx +αΔx,
Gdzie A- pewna liczba niezależna od Δx, A α - funkcja argumentu Δx, co jest nieskończenie małe przy Δx → 0.
Ponieważ iloczyn dwóch nieskończenie małych funkcji αΔx jest nieskończoną liczbą wyższego rzędu Δx(właściwość 3 nieskończenie małych funkcji), wówczas możemy zapisać:
Δy = A Δx +o(Δx).
Twierdzenie. Aby spełnić funkcję y=f(x) była różniczkowalna w danym punkcie X, konieczne i wystarczające jest, aby miał on w tym punkcie skończoną pochodną. W której A=f′(x), to jest
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Operację znajdowania pochodnej nazywamy zwykle różniczkowaniem.
Twierdzenie. Jeśli funkcja y=f(x) X, to jest ciągły w tym punkcie.
Komentarz. Z ciągłości funkcji y=f(x) w tym momencie X, ogólnie rzecz biorąc, różniczkowalność funkcji nie wynika k(x) w tym momencie. Na przykład funkcja y=|x|- ciągły w punkcie x=0, ale nie ma pochodnej.
Pojęcie funkcji różniczkowej
Definicja. Funkcja różnicowa y=f(x) nazywa się iloczynem pochodnej tej funkcji i przyrostu zmiennej niezależnej X:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
Dla funkcji y=x dostajemy dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, to jest dx=Δx- różniczka zmiennej niezależnej jest równa przyrostowi tej zmiennej.
Dzięki temu możemy pisać
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Mechanizm różnicowy dy i przyrost Δy Funkcje y=f(x) w tym momencie X, oba odpowiadające temu samemu przyrostowi argumentu Δx ogólnie rzecz biorąc, nie są sobie równe.
Geometryczne znaczenie różniczki: Różniczka funkcji jest równa przyrostowi rzędnej stycznej do wykresu tej funkcji, gdy argument jest zwiększany Δx.
Zasady różnicowania
Twierdzenie. Jeśli każda z funkcji ty(x) I v(x) różniczkowalna w danym punkcie X, to suma, różnica, iloczyn i iloraz tych funkcji (iloraz pod warunkiem, że v(x)≠ 0) są również różniczkowalne w tym momencie, a wzory zachowują:
Rozważmy funkcję złożoną y=f(φ(x))≡ F(x), Gdzie y=f(u), u=φ(x). W tym przypadku ty zwany argument pośredni, X - zmienna niezależna.
Twierdzenie. Jeśli y=f(u) I u=φ(x) są różniczkowalnymi funkcjami ich argumentów, to pochodna funkcji zespolonej y=f(φ(x)) istnieje i jest równy iloczynowi tej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po zmiennej niezależnej, tj.
Komentarz. Dla funkcji złożonej będącej superpozycją trzech funkcji y=F(f(φ(x))), reguła różniczkowania ma postać
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
gdzie są funkcje v=φ(x), u=f(v) I y=F(u)- różniczkowalne funkcje ich argumentów.
Twierdzenie. Niech funkcja y=f(x) rośnie (lub maleje) i jest ciągła w pewnym sąsiedztwie punktu x 0. Niech dodatkowo funkcja ta będzie różniczkowalna we wskazanym punkcie x 0 i jego pochodna w tym momencie f′(x 0) ≠ 0. Następnie w pewnym sąsiedztwie odpowiedniego punktu y 0 = f(x 0) odwrotność jest zdefiniowana dla y=f(x) funkcjonować x=f -1 (y), a wskazana funkcja odwrotna jest różniczkowalna w odpowiednim punkcie y 0 = f(x 0) i dla jego pochodnej w tym momencie y formuła jest aktualna
Tabela instrumentów pochodnych
Niezmienniczość postaci pierwszej różniczki
Rozważmy różniczkę funkcji zespolonej. Jeśli y=f(x), x=φ(t)- funkcje ich argumentów są różniczkowalne, to pochodna funkcji y=f(φ(t)) wyrażone wzorem
y′ t = y′ x x′ t.
A-przeorat dy=y′ t dt, wtedy otrzymamy
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
Zatem udowodniliśmy
Własność niezmienności postaci pierwszej różniczki funkcji: jak w przypadku, gdy argument X jest zmienną niezależną, a w przypadku, gdy argumentem X sama w sobie jest różniczkowalną funkcją nowej zmiennej, różniczką dy Funkcje y=f(x) jest równa pochodnej tej funkcji pomnożonej przez różniczkę argumentu dx.
Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych
Pokazaliśmy, że różnica dy Funkcje y=f(x), ogólnie rzecz biorąc, nie jest równy przyrostowi Δy tę funkcję. Jednak aż do nieskończenie małej funkcji wyższego rzędu małości niż Δx, obowiązuje przybliżona równość
Δy ≈ dy.
Stosunek nazywa się błędem względnym równości tej równości. Ponieważ Δy-dy=o(Δx), wówczas błąd względny tej równości staje się tak mały, jak jest to pożądane w miarę zmniejszania się |Δх|.
Biorąc pod uwagę, że Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, otrzymujemy f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx Lub
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Ta przybliżona równość pozwala na błąd o(Δx) zastąpić funkcję k(x) w małym sąsiedztwie punktu X(tj. dla małych wartości Δx) funkcja liniowa argumentu Δx, stojący po prawej stronie.
Instrumenty pochodne wyższego rzędu
Definicja. Druga pochodna (lub pochodna drugiego rzędu) funkcji y=f(x) nazywa się pochodną swojej pierwszej pochodnej.
Zapis drugiej pochodnej funkcji y=f(x):
Mechaniczne znaczenie drugiej pochodnej. Jeśli funkcja y=f(x) opisuje prawo ruchu punktu materialnego po linii prostej, a następnie drugą pochodną f″(x) równe przyspieszeniu poruszającego się punktu w danym momencie X.
W podobny sposób wyznacza się trzecią i czwartą pochodną.
Definicja. N pochodna (lub pochodna N-tego rzędu) funkcje y=f(x) nazywa się jego pochodną n-1 ta pochodna:
y (n) =(y (n-1))′, fa (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Oznaczenia: y″′, i IV, i V itp.
Znajdź wyrażenie na pochodną funkcji wykładniczej \(y = (e^x)\), korzystając z definicji pochodnej.
Rozwiązanie.
Początkowe kroki są standardowe: najpierw zapisujemy przyrost funkcji \(\Delta y\), odpowiadający przyrostowi argumentu \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left(( x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^( \Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Pochodną oblicza się jako granicę stosunek przyrostów: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Funkcja \(y = (e^x)\) w liczniku nie zależy od Δ X i można go wynieść poza znak graniczny. Wtedy pochodna przyjmuje następującą postać: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limity_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Wynikową granicę oznaczmy przez \(L\) i oblicz to osobno.Nawiasem mówiąc, zauważ, że \((e^0) = 1\) i dlatego możemy napisać \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^ (\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0 )))((\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] oznacza to, że ta granica reprezentuje wartość pochodnej funkcji wykładniczej przy zera. W rezultacie \ Otrzymaliśmy zależność, w której pożądana pochodna jest wyrażona przez samą funkcję \(y = (e^x)\) i jej pochodną w punkcie \(x = 0\). Udowodnijmy, że \ Aby to zrobić, przypomnijmy, że liczba \(e\) jest zdefiniowana w postaci nieskończonej granicy jako \, a liczba \(e\) do potęgi \(\Delta x\) będzie odpowiednio , będzie równe \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right) ^n).\] Następnie stosujemy słynną formułę Dwumian Newtona i rozwiń wyrażenie pod limitem logowania szereg dwumianowy: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] Tutaj \((C_n^k)\) oznacza liczbę kombinacji \(n\) elementów przez \( k\). W podręcznikach europejskich i amerykańskich liczba kombinacji jest oznaczana jako \ Wróćmy do naszej granicy \(L\), co można teraz zapisać w następującej postaci: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0 ) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \ left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k) ) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Wygodnie jest nam wyodrębnić dwa pierwsze wyrazy szeregu dwumianowego: dla \(k = 0\) i \(k = 1 \). W rezultacie otrzymujemy \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0 )^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x) )(n )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n ) + \ suma\limity_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) \right] - 1 ))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\ limity_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n ( C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \ prawo)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right].) \] Oczywiście suma szeregu dąży do zera, ponieważ \(\Delta x \do 0\) . Dlatego \(L = 1\). Oznacza to, że pochodna funkcji wykładniczej \(y = (e^x)\) jest równa samej funkcji: \
Przy rozwiązywaniu różnych problemów geometrii, mechaniki, fizyki i innych dziedzin wiedzy pojawiła się potrzeba wykorzystania tego samego procesu analitycznego z tej funkcji y=f(x) uzyskać nową funkcję o nazwie funkcja pochodna(lub po prostu pochodna) danej funkcji f(x) i jest oznaczony symbolem
Proces, w wyniku którego z danej funkcji k(x) uzyskać nową funkcję f” (x), zwany różnicowanie i składa się z trzech następujących kroków: 1) podać argument X przyrost
X i wyznacz odpowiedni przyrost funkcji
y = f(x+
x) -f(x); 2) stworzyć relację 
3) liczenie X stałe i
X0, znajdujemy 
, które oznaczamy przez f” (x), jakby podkreślając, że wynikowa funkcja zależy tylko od wartości X, przy czym dochodzimy do limitu. Definicja:
Pochodna y " =f " (x)
dana funkcja y=f(x)
dla danego x nazywa się granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, pod warunkiem, że przyrost argumentu dąży do zera, jeśli oczywiście ta granica istnieje, tj. skończone. Zatem, 
, Lub 
Zauważ, że jeśli dla jakiejś wartości X, na przykład kiedy x=a, postawa 
Na
X0 nie dąży do granicy skończonej, wówczas w tym przypadku mówi się, że funkcja k(x) Na x=a(lub w punkcie x=a) nie ma pochodnej lub nie jest różniczkowalna w punkcie x=a.
2. Znaczenie geometryczne pochodnej.
Rozważmy wykres funkcji y = f (x), różniczkowalnej w pobliżu punktu x 0
k(x)
Rozważmy dowolną prostą przechodzącą przez punkt na wykresie funkcji - punkt A(x 0, f (x 0)) i przecinającą wykres w pewnym punkcie B(x;f(x)). Taka prosta (AB) nazywana jest sieczną. Z ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Od AC || Wół, następnie ALO = BAC = β (odpowiednio dla równoległości). Ale ALO jest kątem nachylenia siecznej AB do dodatniego kierunku osi Wół. Oznacza to, że tanβ = k jest nachyleniem prostej AB.
Teraz zmniejszymy ∆x, tj. ∆х → 0. W tym przypadku punkt B zbliży się do punktu A zgodnie z wykresem, a sieczna AB będzie się obracać. Położeniem granicznym siecznej AB w punkcie ∆x → 0 będzie prosta (a), zwana styczną do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie A.
Jeśli dojdziemy do granicy jako ∆x → 0 w równości tgβ =∆y/∆x, otrzymamy 
ortg =f "(x 0), ponieważ 
-kąt nachylenia stycznej do dodatniego kierunku osi Ox 
z definicji pochodnej. Ale tg = k jest współczynnikiem kątowym stycznej, co oznacza k = tg = f „(x 0).
Zatem geometryczne znaczenie pochodnej jest następujące:
Pochodna funkcji w punkcie x 0 równe nachyleniu stycznej do wykresu funkcji narysowanej w punkcie z odciętą x 0 .
3. Znaczenie fizyczne pochodnej.
Rozważmy ruch punktu po linii prostej. Niech będzie podana współrzędna punktu w dowolnym momencie x(t). Wiadomo (z zajęć z fizyki), że prędkość średnia w pewnym okresie czasu jest równa stosunkowi drogi przebytej w tym okresie do czasu, czyli tj.
Vav = ∆x/∆t. Przejdźmy do granicy w ostatniej równości jako ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - prędkość chwilowa w chwili t 0, ∆t → 0.
oraz lim = ∆x/∆t = x”(t 0) (z definicji pochodnej).
Zatem (t) =x"(t).
Fizyczne znaczenie pochodnej jest następujące: pochodna funkcjiy = F(X) W punkcieX 0 jest szybkością zmian funkcjiF(x) w punkcieX 0
Pochodną wykorzystuje się w fizyce do obliczania prędkości ze znanej funkcji współrzędnych w funkcji czasu oraz przyspieszenia ze znanej funkcji prędkości w funkcji czasu.
(t) = x"(t) - prędkość,
a(f) = "(t) - przyspieszenie, lub
Jeśli znane jest prawo ruchu punktu materialnego na okręgu, to można wyznaczyć prędkość kątową i przyspieszenie kątowe podczas ruchu obrotowego:
φ = φ(t) - zmiana kąta w czasie,
ω = φ"(t) - prędkość kątowa,
ε = φ"(t) - przyspieszenie kątowe, czyli ε = φ"(t).
Jeśli znane jest prawo rozkładu masy niejednorodnego pręta, można znaleźć gęstość liniową niejednorodnego pręta:
m = m(x) - masa,
x , l - długość pręta,
p = m"(x) - gęstość liniowa.
Stosując pochodną rozwiązuje się problemy z teorii sprężystości i drgań harmonicznych. Zatem zgodnie z prawem Hooke’a
F = -kx, x – współrzędna zmienna, k – współczynnik sprężystości sprężyny. Zakładając ω 2 = k/m, otrzymujemy równanie różniczkowe wahadła sprężystego x”(t) + ω 2 x(t) = 0,
gdzie ω = √k/√m częstotliwość oscylacji (l/c), k - sztywność sprężyny (H/m).
Równanie w postaci y" + ω 2 y = 0 nazywane jest równaniem oscylacji harmonicznych (mechanicznych, elektrycznych, elektromagnetycznych). Rozwiązaniem takich równań jest funkcja
y = Asin(ωt + φ 0) lub y = Acos(ωt + φ 0), gdzie
A – amplituda oscylacji, ω – częstotliwość cykliczna,
φ 0 - faza początkowa.
Rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów z matematyki jest całkowicie niemożliwe bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Postanowiliśmy poświęcić dzisiejszy artykuł temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej znaczenie fizyczne i geometryczne, jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?
Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej
Niech będzie funkcja k(x) , określone w określonym przedziale (a, b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Kiedy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica w jego wartościach x-x0 . Różnicę tę zapisuje się jako delta x i nazywa się to przyrostem argumentu. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:
Pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.
W przeciwnym razie można to zapisać w następujący sposób:
Jaki jest sens znajdowania takiej granicy? A oto co to jest:
pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta pomiędzy osią OX a styczną do wykresu funkcji w danym punkcie.
Znaczenie fizyczne pochodnej: pochodna drogi po czasie jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.
Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to szczególna ścieżka x=f(t) i czas T . Średnia prędkość w określonym przedziale czasu:
Aby poznać prędkość ruchu w danym momencie t0 musisz obliczyć limit:
Zasada pierwsza: ustaw stałą
Stałą można wyjąć ze znaku pochodnej. Co więcej, należy to zrobić. Rozwiązując przykłady z matematyki, przyjmuj to z reguły - Jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu go .
Przykład. Obliczmy pochodną:
Zasada druga: pochodna sumy funkcji
Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.
Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale raczej rozważymy praktyczny przykład.
Znajdź pochodną funkcji:
Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji
Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych obliczamy ze wzoru:
Przykład: znajdź pochodną funkcji:
Rozwiązanie: 
Ważne jest, aby porozmawiać tutaj o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po zmiennej niezależnej.
W powyższym przykładzie spotykamy się z wyrażeniem:
W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.
Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji
Wzór na wyznaczenie pochodnej ilorazu dwóch funkcji:
O instrumentach pochodnych próbowaliśmy od zera porozmawiać dla manekinów. Temat ten nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: przykłady często zawierają pułapki, dlatego należy zachować ostrożność przy obliczaniu pochodnych.
W przypadku jakichkolwiek pytań na ten i inne tematy, możesz skontaktować się z obsługą studencką. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejszy test i zrozumieć zadania, nawet jeśli nigdy wcześniej nie wykonywałeś obliczeń pochodnych.
Bardzo łatwe do zapamiętania.
Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:
W naszym przypadku podstawą jest liczba:
Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.
Czemu to jest równe? Oczywiście, .
Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:
Przykłady:
- Znajdź pochodną funkcji.
- Jaka jest pochodna funkcji?
Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.
Zasady różnicowania
Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...
Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.
To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.
Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:
W sumie jest 5 zasad.
Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.
Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.
Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .
Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.
Przykłady.
Znajdź pochodne funkcji:
- w pewnym momencie;
- w pewnym momencie;
- w pewnym momencie;
- w tym punkcie.
Rozwiązania:
- (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);
Pochodna produktu
Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:
Pochodna:
Przykłady:
- Znajdź pochodne funkcji i;
- Znajdź pochodną funkcji w punkcie.
Rozwiązania:
Pochodna funkcji wykładniczej
Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).
Więc gdzie jest jakaś liczba.
Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:
W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:
Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.
Stało się?
Tutaj sprawdź sam:
Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.
Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:
Odpowiedzi:
To po prostu liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, czyli nie da się jej zapisać w prostszej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.
Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:
W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:
Pochodna funkcji logarytmicznej
Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:
Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:
Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:
Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:
Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:
Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.
Pochodna funkcji zespolonej.
Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.
Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.
Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.
Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .
Dla naszego przykładu .
Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.
Drugi przykład: (to samo). .
Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).
Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:
Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji
- Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
A oryginalną funkcją jest ich skład: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: . - Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.
Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:
Inny przykład:
Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:
Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:
Wydaje się to proste, prawda?
Sprawdźmy na przykładach:
Rozwiązania:
1) Wewnętrzne: ;
Zewnętrzny: ;
2) Wewnętrzne: ;
(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)
3) Wewnętrzne: ;
Zewnętrzny: ;
Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wyodrębniamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.
Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.
W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:
Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:
Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.
1. Radykalne wyrażenie. .
2. Korzeń. .
3. Sinus. .
4. Kwadrat. .
5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:
POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:
Podstawowe pochodne:
Zasady różnicowania:
Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:
Pochodna sumy:
Pochodna produktu:
Pochodna ilorazu:
Pochodna funkcji złożonej:
Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:
- Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
- Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
- Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.
