Zatrzymajmy się bardziej szczegółowo na pracy Ostrogradskiego nad całkami wielokrotnymi.
Wzór Ostrogradskiego na przekształcenie całki potrójnej w podwójną, którą zwykle zapisujemy w formie
gdzie div A jest rozbieżnością pola wektora A,
Аn jest iloczynem skalarnym wektora A i wektora jednostkowego normalnej zewnętrznej n powierzchni granicznej, w literaturze matematycznej często kojarzono go wcześniej z nazwami Gaussa i Greena.
Tak naprawdę w pracach Gaussa na temat przyciągania sferoid można spotkać jedynie bardzo szczególne przypadki wzoru (1), np. z P=x, Q=R=0 itd. Co do J. Greena w jego pracy na teorii elektryczności, a we wzorze (1) w ogóle nie ma magnetyzmu; wyprowadza inną zależność między całkami potrójnymi i podwójnymi, a mianowicie wzór Greena na operator Laplace'a, który można zapisać w postaci
Oczywiście możemy wyprowadzić wzór (1) z (2), zakładając
i w ten sam sposób można otrzymać wzór (2) ze wzoru (1), ale Greenowi nie przyszło to do głowy.
gdzie po lewej stronie jest całka po objętości, a po prawej całka po powierzchni granicznej, a to są cosinusy kierunkowe normalnej zewnętrznej.
Manuskrypty paryskie Ostrogradskiego poświadczają z całą pewnością, że zarówno odkrycie, jak i pierwsze przesłanie twierdzenia całkowego (1) należą do niego. Po raz pierwszy zostało to stwierdzone i udowodnione, dokładnie tak, jak to się dzieje obecnie, w „Dowodzie twierdzenia rachunku całkowego” przedstawionym Akademii Nauk w Paryżu 13 lutego 1826 r., po czym zostało ponownie sformułowane w tej części „Pamiętnik o dyfuzji ciepła w ciałach stałych”. ”, który Ostrogradski przedstawił 6 sierpnia 1827 r. „Pamiętnik” został przekazany do recenzji Fourierowi i Poissonowi, a ten z pewnością go przeczytał, o czym świadczy wpis na pierwszym stron obu części rękopisu. Oczywiście pomysł przypisania sobie twierdzenia, z którym zapoznał się w pracy Ostrogradskiego dwa lata przed przedstawieniem swojej pracy nad teorią sprężystości, nawet nie przyszedł do głowy Poissonowi.
Jeśli chodzi o związek między pracami nad całkami wielokrotnymi Ostrogradskiego i Greena, przypominamy, że w „Nocie o teorii ciepła” wyprowadzono wzór, który uwzględnia własny wzór Greena jako bardzo szczególny przypadek. Niezwykła obecnie symbolika Cauchy'ego używana przez Ostrogradskiego w „Notatce” do niedawna ukrywała to ważne odkrycie przed badaczami. Oczywiście Greene zaszczycił się odkryciem i pierwszą publikacją w 1828 roku wzoru na operatory Laplace'a noszącego jego imię.
Odkrycie wzoru na przekształcenie całki potrójnej w całkę podwójną pomogło Ostrogradskiemu rozwiązać problem różnicowania całki n-krotnej, a mianowicie wyprowadzić ogólny wzór na przekształcenie całki z wyrażenia typu rozbieżności po n- dziedzina wymiarowa i całka po powierzchni S ograniczająca ją równaniem L(x,y, z,…)=0. Jeśli zastosujemy się do poprzedniego zapisu, wówczas formuła ma postać
Jednak Ostrogradski nie posługiwał się geometrycznymi obrazami i terminami, których używamy: geometria przestrzeni wielowymiarowych jeszcze wówczas nie istniała.
W „Pamiętniku o rachunku wariacyjnym całek wielokrotnych” rozważane są jeszcze dwa ważne zagadnienia z teorii takich całek. Najpierw Ostrogradski wyprowadza wzór na zmianę zmiennych w całce wielowymiarowej; po drugie, po raz pierwszy podaje pełny i dokładny opis metody obliczania całki n-krotnej przy użyciu n kolejnych całkowania po każdej ze zmiennych w odpowiednich granicach. Wreszcie ze wzorów zawartych w tym pamiętniku można łatwo wyprowadzić ogólną zasadę różniczkowania ze względu na parametr całki wielowymiarowej, gdy od tego parametru zależy nie tylko funkcja całki, ale także granica dziedziny całkowania. Nazwana reguła wynika ze wzorów zawartych w pamiętniku w tak naturalny sposób, że późniejsi matematycy utożsamiali ją nawet z jedną z formuł tego pamiętnika.
Ostrogradsky poświęcił specjalną pracę zmianie zmiennych w całekach wielokrotnych. Dla całki podwójnej Euler wyprowadził odpowiednią regułę za pomocą przekształceń formalnych, a dla całki potrójnej wyprowadził ją Lagrange. Jednakże, choć wynik Lagrange'a jest poprawny, jego rozumowanie nie było trafne: zdawał się wychodzić z faktu, że elementy objętości w starej i nowej zmiennej - współrzędne - są sobie równe. Podobny błąd popełnił Ostrogradski na początku przy wspomnianym właśnie wyprowadzeniu reguły zastępowania zmiennych. W artykule „O transformacji zmiennych w całki wielokrotne” Ostrogradsky ujawnił błąd Lagrange'a, a także po raz pierwszy nakreślił tę wizualną metodę geometryczną przekształcania zmiennych w całkę podwójną, która w nieco bardziej rygorystycznej formie jest również przedstawiona w naszych podręcznikach. Mianowicie, przy zastępowaniu zmiennych w całce za pomocą wzorów, dziedzina całkowania jest dzielona przez linie współrzędnych dwóch układów u=const, v=const na nieskończenie małe krzywoliniowe czworokąty. Następnie całkę można otrzymać, dodając najpierw te jej elementy, które odpowiadają nieskończenie wąskiemu zakrzywionemu pasowi, a następnie kontynuując sumowanie elementów w paskach, aż wszystkie zostaną wyczerpane. Z prostego obliczenia wynika, że dla powierzchni, które aż do małych powierzchni wyższego rzędu można uznać za równoległobok, wyrażenie gdzie, dobiera się tak, aby pole było dodatnie. Rezultatem jest dobrze znana formuła
Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej
Praca na kursie
Dyscyplina: Matematyka wyższa
(Podstawy programowania liniowego)
Na temat: WIELE CAŁEK
Ukończony przez: ______________
Nauczyciel:___________
Data ___________________
Stopień _________________
Podpis ________________
WORONEŻ 2008
1 Całki wielokrotne
1.1 Całka podwójna
1.2 Całka potrójna
1.3 Całki wielokrotne we współrzędnych krzywoliniowych
1.4 Geometryczne i fizyczne zastosowania całek wielokrotnych
2 Całki krzywoliniowe i powierzchniowe
2.1 Całki krzywoliniowe
2.2 Całki powierzchniowe
2.3 Zastosowania geometryczne i fizyczne
Bibliografia
1 Całki wielokrotne
1.1 Całka podwójna
Rozważmy zamknięty obszar D w płaszczyźnie Oxy, ograniczony linią L. Podzielmy ten obszar na n części pewnymi liniami
, a odpowiadające im największe odległości między punktami w każdej z tych części zostaną oznaczone przez d 1, d 2, ..., d n. Wybierzmy punkt P i w każdej części.Niech funkcja z = f(x, y) będzie dana w dziedzinie D. Oznaczmy przez f(P 1), f(P 2),…, f(P n) wartości tej funkcji w wybranych punktach i ułóżmy sumę iloczynów postaci f(P i)ΔS i:
, (1)
nazywana sumą całkowitą funkcji f(x, y) w dziedzinie D.
Jeśli istnieje ten sam limit sum całkowitych (1) dla
i , która nie zależy ani od sposobu podziału obszaru D na części, ani od wyboru w nich punktów Pi, wówczas nazywa się to całką podwójną funkcji f(x, y) po obszarze D i oznacza się
. (2)
Obliczenie całki podwójnej po obszarze D ograniczonym liniami
x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
= 
(3)
1.2 Całka potrójna
Pojęcie całki potrójnej wprowadza się analogicznie do całki podwójnej.
Niech w przestrzeni będzie dany pewien obszar V, ograniczony zamkniętą powierzchnią S. Zdefiniujmy w tym zamkniętym obszarze funkcję ciągłą f(x, y, z). Następnie dzielimy obszar V na dowolne części Δv i, biorąc pod uwagę objętość każdej części równą Δv i i tworzymy sumę całkowitą postaci
, (4)Ogranicz o godz
sumy całkowite (11), niezależne od sposobu podziału dziedziny V i wyboru punktów Pi w każdej subdziedzinie tej dziedziny, nazywane są całką potrójną funkcji f(x, y, z) po dziedzinie V:
. (5)
Całka potrójna funkcji f(x,y,z) po obszarze V jest równa całce potrójnej po tym samym obszarze:
. (6)
1.3 Całki wielokrotne we współrzędnych krzywoliniowych
Wprowadźmy na płaszczyźnie współrzędne krzywoliniowe, zwane biegunowymi. Wybierzmy punkt O (biegun) i wychodzący z niego promień (oś biegunowa).
Ryż. 2 rys. 3
Współrzędnymi punktu M (rys. 2) będzie długość odcinka MO – promień biegunowy ρ oraz kąt φ pomiędzy MO a osią biegunową: M(ρ,φ). Należy zauważyć, że dla wszystkich punktów płaszczyzny, z wyjątkiem bieguna, ρ > 0 i kąta biegunowego φ, będą uznawane za dodatnie, gdy mierzone będą w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, i ujemne, gdy mierzone będą w przeciwnym kierunku.
Zależność pomiędzy współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi punktu M można wyznaczyć poprzez zrównanie początku kartezjańskiego układu współrzędnych z biegunem, a dodatniej półosi Ox z osią biegunową (rys. 3). Wtedy x=ρcosφ, y=ρsinφ. Stąd
, tg. Zdefiniujmy w obszarze D ograniczonym krzywymi ρ=Φ 1 (φ) i ρ=Φ 2 (φ), gdzie φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
(7)
W przestrzeni trójwymiarowej wprowadza się współrzędne cylindryczne i sferyczne.
Współrzędne cylindryczne punktu P(ρ,φ,z) są współrzędnymi biegunowymi ρ, φ rzutu tego punktu na płaszczyznę Oxy i aplikacją tego punktu z (rys. 5).
Ryc.5 Ryc.6
Wzory na przejście od współrzędnych cylindrycznych do kartezjańskich można określić w następujący sposób:
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)
We współrzędnych sferycznych położenie punktu w przestrzeni określa współrzędna liniowa r - odległość punktu od początku kartezjańskiego układu współrzędnych (lub bieguna układu sferycznego), φ - kąt biegunowy między dodatnim półosi Ox i rzut punktu na płaszczyznę Ox, a θ - kąt pomiędzy dodatnią półosią osi Oz a odcinkiem OP (rys. 6). W której
Ustalmy wzory na przejście ze współrzędnych sferycznych na kartezjańskie:
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)
Wtedy wzory na przejście do współrzędnych cylindrycznych lub sferycznych w całce potrójnej będą wyglądać następująco:
, (10)
gdzie F 1 i F 2 są funkcjami otrzymanymi przez podstawienie ich wyrażeń poprzez współrzędne cylindryczne (8) lub sferyczne (9) do funkcji f zamiast x, y, z.
1.4 Geometryczne i fizyczne zastosowania całek wielokrotnych
1) Powierzchnia obszaru płaskiego S:
(11)Przykład 1.
Znajdź obszar figury D ograniczony liniami
Wygodnie jest obliczyć tę powierzchnię, licząc y jako zmienną zewnętrzną. Następnie granice regionu wyznaczają równania
I 
obliczone przy użyciu całkowania przez części: 
Poprzednio udowodniliśmy właściwości całki oznaczonej, wykorzystując jej definicję jako granicę sum. Podstawowe własności całek wielokrotnych można udowodnić dokładnie w ten sam sposób. Dla uproszczenia uznamy, że wszystkie funkcje są ciągłe, więc ich całki z pewnością mają sens.
I. Ze znaku całki można wyjąć stały współczynnik, a całka skończonej sumy funkcji jest równa sumie całek wyrazów:
II. Jeśli obszar zostanie rozłożony na skończoną liczbę części [na przykład na dwie części, wówczas całka po całym obszarze będzie równa sumie całek po wszystkich częściach:
III. Jeśli w okolicy to
W szczególności :
IV. Jeżeli znak w obszarze (a) jest zachowany, to obowiązuje twierdzenie o wartości średniej, wyrażone wzorem
gdzie jest pewien punkt leżący wewnątrz obszaru (a).
W szczególności, kiedy dotrzemy
gdzie jest obszar regionu.
Podobne właściwości obowiązują dla całki potrójnej. Należy zauważyć, że definiując całkę podwójną i potrójną jako granicę sumy, zawsze zakłada się, że obszar całkowania jest skończony, a funkcja całki i tak jest ograniczona, czyli istnieje liczba dodatnia A taka, że w ogóle punkty N obszaru integracji. Jeżeli te warunki nie są spełnione, to całka może istnieć jako całka niewłaściwa w taki sam sposób, jak miało to miejsce w przypadku prostej całki oznaczonej. Całkami wielokrotnymi niewłaściwymi zajmiemy się w §8.
Uwaga: Przy obliczaniu całek niewłaściwych z punktami osobliwymi wewnątrz przedziału całkowania nie można mechanicznie zastosować wzoru Newtona – Leibniza, ponieważ może to prowadzić do błędów.
Główna zasada: Wzór Newtona – Leibniza jest poprawny, jeśli funkcja pierwotna jest pierwotna k(x) w punkcie osobliwym tego ostatniego jest ciągła.
Przykład 2.11.
Rozważmy całkę niewłaściwą z punktem osobliwym x = 0. Zastosowany formalnie wzór Newtona-Leibniza daje
Jednak ogólna zasada nie ma tu zastosowania; dla f(x) = 1/x funkcja pierwotna ln |x| nie jest zdefiniowany w x = 0 i jest nieskończenie duży w tym punkcie, tj. w tym momencie nie jest ciągły. Łatwo jest sprawdzić poprzez bezpośrednią weryfikację, że całka jest rozbieżna. Naprawdę,
Wynikową niepewność można ujawnić na różne sposoby, ponieważ e i d niezależnie dążą do zera. W szczególności, ustawiając e = d, otrzymujemy wartość główną całki niewłaściwej równą 0. Jeżeli e = 1/n i d =1/n 2, tj. d dąży do 0 szybciej niż e, wtedy otrzymujemy
kiedy i odwrotnie,
te. całka jest rozbieżna.n
Przykład 2.12.
Rozważmy całkę niewłaściwą z punktem osobliwym x = 0. Funkcja pierwotna funkcji ma postać i jest ciągła w punkcie x = 0. Można zatem zastosować wzór Newtona – Leibniza:
Naturalnym uogólnieniem pojęcia całki Riemanna oznaczonej na przypadek funkcji kilku zmiennych jest koncepcja całki wielokrotnej. W przypadku dwóch zmiennych takie całki nazywa się podwójnie.
Rozważmy w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej R'R, tj. na płaszczyźnie o kartezjańskim układzie współrzędnych, zbiór mi końcowy obszar S.
Oznaczmy przez ( I = 1, …, k) ustaw partycję mi, tj. taki układ jego podzbiorów mi ja, ja = 1,. . ., k, że Ø dla i ¹ j oraz (ryc. 2.5). Tutaj oznaczamy podzbiór mi i bez jego granicy, tj. punkty wewnętrzne podzbioru E i , które wraz z jego brzegiem GR E tworzę zamknięty podzbiór mi I, . Oczywiste jest, że obszar S(mi i) podzbiory mi i pokrywa się z obszarem jego wnętrza, ponieważ obszar granicy GRE i jest równe zeru.
Niech d(E i) oznacza ustawiona średnica E ja, tj. maksymalna odległość między dwoma jego punktami. Zostanie wywołana wielkość l(t) = d(E i). dokładność podziału T. Jeśli funkcja f(x),x = (x, y) jest zdefiniowana na E jako funkcja dwóch argumentów, to dowolna suma postaci
X ja О mi ja , ja = 1, . . . , k, x ja = (x ja, y ja),
w zależności zarówno od funkcji f, jak i podziału t oraz od wyboru punktów x i О E i М t, nazywa się suma całkowa funkcji f .
Jeżeli dla funkcji f istnieje wartość niezależna ani od podziałów t, ani od wyboru punktów (i = 1, ..., k), to granicę tę nazywamy podwójna całka Riemanna z f(x,y) i jest oznaczone
W tym przypadku wywoływana jest sama funkcja f Całkowalne Riemanna.
Przypomnijmy to w przypadku funkcji z jednym argumentem jako zbiorem mi po którym przeprowadzana jest integracja, zwykle przyjmuje się segment , a jego podział t uważany jest za podział składający się z segmentów. Pod innymi względami, jak łatwo zauważyć, definicja podwójnej całki Riemanna powtarza definicję całki oznaczonej Riemanna dla funkcji jednego argumentu.
Podwójna całka Riemanna z ograniczonych funkcji dwóch zmiennych ma zwykłe właściwości całki oznaczonej dla funkcji jednego argumentu – liniowość, addytywność w odniesieniu do zbiorów, po których dokonuje się całkowania, ochrona podczas integracji nierówności nieścisłe, integrowalność produktu zintegrowane funkcje itp.
Obliczenie wielokrotnych całek Riemanna sprowadza się do obliczeń iterowane całki. Rozważmy przypadek podwójnej całki Riemanna. Niech funkcja f(x, y) jest zdefiniowany na zbiorze E leżącym w iloczynie kartezjańskim zbiorów X ´ Y, E Ü X ´ Y.
Przez powtarzaną całkę funkcji f(x, y) nazywa się całką, w której całkowanie odbywa się sekwencyjnie po różnych zmiennych, tj. całka formy
Zbiór E(y) = (x:
W przypadku całki iterowanej stosuje się również następującą notację:
co, podobnie jak poprzednie, oznacza, że najpierw, dla ustalonego y, y О E y, funkcja jest zintegrowana f(x, y) Przez X wzdłuż odcinka mi(y), który jest częścią zestawu mi odpowiadające temu y. W rezultacie całka wewnętrzna definiuje jakąś funkcję jednej zmiennej - y. Funkcja ta jest następnie całkowana jako funkcja jednej zmiennej, jak wskazuje zewnętrzny symbol całki.
Zmieniając porządek całkowania, otrzymujemy powtarzającą się całkę postaci
gdzie przeprowadzana jest integracja wewnętrzna y, i zewnętrzne - wg X. Jak ta iterowana całka ma się do iterowanej całki zdefiniowanej powyżej?
Jeśli istnieje całka podwójna funkcji F, tj.
wówczas istnieją obie całki powtarzające się i są one identyczne pod względem wielkości i równe podwójnemu, tj.
Podkreślamy, że sformułowany w tym stwierdzeniu warunek możliwości zmiany porządku całkowania w całkach iterowanych ma charakter jedynie wystarczający, ale nie jest to konieczne.
Inne wystarczające warunki możliwości zmiany porządku całkowania w całkach iterowanych formułuje się następująco:
jeśli istnieje co najmniej jedna z całek
następnie funkcja f(x, y) Możliwość integracji Riemanna na zestawie mi, istnieją obie jego całki powtarzalne i są równe całce podwójnej. N
Określmy zapis rzutów i przekrojów w zapisie całek iterowanych.
Jeśli zbiór E jest prostokątem
To E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); w której E(y) = E x dla dowolnego y, y О E y . , A E(x) = Ey dla dowolnego x , x О Ex ..
Wpis formalny: „ y О E yÞ E(y) = mi xÙ" x x О NpÞ E(x) = Ey
Jeśli zbiór E ma zakrzywiona granica i umożliwia reprezentację
W tym przypadku powtarzające się całki zapisuje się w następujący sposób:
Przykład 2.13.
Oblicz całkę podwójną po obszarze prostokątnym, redukując ją do metody iteracyjnej.
Ponieważ warunek sin 2 (x+ y) =| grzech 2 (x + y)|, następnie sprawdzenie spełnialności warunków wystarczających na istnienie całki podwójnej I w postaci istnienia którejkolwiek z całek powtarzalnych
nie ma potrzeby wykonywania tego specjalnie i można od razu przystąpić do obliczania powtarzanej całki
Jeśli istnieje, to istnieje również całka podwójna i I = I 1 . Ponieważ
Zatem ja = .n
Przykład 2.14.
Oblicz całkę podwójną po obszarze trójkąta (patrz ryc. 2.6), redukując ją do powtórzenia
Gr(E) = (
Najpierw zweryfikujmy istnienie całki podwójnej I. W tym celu wystarczy sprawdzić istnienie całki powtarzanej
te. całki są ciągłe w przedziałach całkowania, ponieważ wszystkie są funkcjami potęgowymi. Zatem całka I 1 istnieje. W tym przypadku całka podwójna również istnieje i jest równa dowolnej powtarzanej, tj.
Przykład 2.15.
Aby lepiej zrozumieć związek pomiędzy pojęciami całki podwójnej i iterowanej, rozważmy następujący przykład, który można pominąć przy pierwszym czytaniu. Podana jest funkcja dwóch zmiennych f(x, y).
Zauważ, że dla ustalonego x ta funkcja jest nieparzysta w y, a dla ustalonego y jest nieparzysta w x. Jako zbiór E, po którym funkcja ta jest całkowana, bierzemy kwadrat E = (
Najpierw rozważamy całkę iterowaną
Całka wewnętrzna
przyjmuje się dla ustalonego y, -1 £ y £ 1. Ponieważ całka dla ustalonego y jest nieparzysta w x, a całkowanie po tej zmiennej odbywa się po odcinku [-1, 1], symetrycznym względem punktu 0, to całka wewnętrzna jest równa 0. Oczywiście całka zewnętrzna po zmiennej y funkcji zerowej jest również równa 0, tj.
Podobne rozumowanie dla drugiej iterowanej całki prowadzi do tego samego wyniku:
Zatem dla rozważanej funkcji f(x, y) całki powtarzające się istnieją i są sobie równe. Nie ma jednak całki podwójnej funkcji f(x, y). Aby to zobaczyć, przejdźmy do geometrycznego znaczenia obliczania powtarzających się całek.
Aby obliczyć iterowaną całkę
stosuje się specjalny rodzaj podziału kwadratu E, a także specjalne obliczanie sum całkowitych. Mianowicie kwadrat E jest podzielony na poziome paski (patrz ryc. 2.7), a każdy pasek na małe prostokąty. Każdy pasek odpowiada określonej wartości zmiennej y; może to być na przykład współrzędna poziomej osi paska.
Obliczanie sum całkowitych przeprowadza się w następujący sposób: w pierwszej kolejności sumy oblicza się dla każdego pasma osobno, tj. przy ustalonym y dla różnych x, a następnie te sumy pośrednie sumuje się dla różnych pasm, tj. dla różnych y. Jeśli dokładność podziału dąży do zera, to w granicy otrzymujemy wspomnianą powyżej całkę powtarzaną.
Jest oczywiste, że dla drugiej całki iterowanej
zbiór E jest podzielony na pionowe paski odpowiadające różnym x. Sumy pośrednie obliczane są w obrębie każdego pasma w małych prostokątach, tj. wzdłuż y, a następnie sumuje się je dla różnych pasm, tj. przez x. W granicy, gdy stopień rozdrobnienia dąży do zera, otrzymujemy odpowiednią iterowaną całkę.
Aby udowodnić, że całka podwójna nie istnieje, wystarczy podać jeden przykład podziału, którego obliczenie sum całkowitych dla którego w granicy, gdy stopień rozdrobnienia dąży do zera, daje wynik różny od wartości powtarzających się całek. Podajmy przykład takiego podziału odpowiadającego biegunowemu układowi współrzędnych (r, j) (patrz ryc. 2.8).
W układzie współrzędnych biegunowych położenie dowolnego punktu na płaszczyźnie M 0 (x 0 , y 0), gdzie x 0 , y 0 są współrzędnymi kartezjańskimi punktu M 0, jest określone przez długość r 0 promienia łącząc go z początkiem i kątem j 0 utworzonym przez ten promień z dodatnim kierunkiem osi x (kąt jest liczony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara). Związek między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi jest oczywisty:
y 0 = r 0 × sinj 0 .
| |
Przegroda jest zbudowana w następujący sposób. Najpierw kwadrat E dzieli się na sektory o promieniach wychodzących ze środka współrzędnych, a następnie każdy sektor dzieli się na małe trapezy liniami prostopadłymi do osi sektora. Obliczanie sum całkowitych przeprowadza się w następujący sposób: najpierw wzdłuż małych trapezów wewnątrz każdego sektora wzdłuż jego osi (wzdłuż r), a następnie po wszystkich sektorach (wzdłuż j). Położenie każdego sektora charakteryzuje kąt jego osi j, a długość jego osi r(j) zależy od tego kąta:
jeśli lub , to ;
Jeśli następnie ;
Jeśli następnie
Jeśli następnie .
Przechodząc do granicy sum całkowitych podziału biegunowego, gdy stopień rozdrobnienia dąży do zera, otrzymujemy reprezentację całki podwójnej we współrzędnych biegunowych. Zapis taki można uzyskać w sposób czysto formalny, zastępując współrzędne kartezjańskie (x, y) współrzędnymi biegunowymi (r, j).
Zgodnie z zasadami przejścia całek ze współrzędnych kartezjańskich na biegunowe należy z definicji napisać:
We współrzędnych biegunowych funkcję f(x, y) zapiszemy następująco:
Wreszcie mamy
Całka wewnętrzna (niewłaściwa) w ostatnim wzorze
gdzie funkcja r(j) jest wskazana powyżej, 0 £ j £ 2p , jest równe +¥ dla dowolnego j, ponieważ
Dlatego całka zewnętrzna oceniana po j nie jest zdefiniowana dla żadnego j. Ale wtedy sama całka zewnętrzna nie jest zdefiniowana, tj. pierwotna całka podwójna nie jest zdefiniowana.
Zauważmy, że funkcja f(x, y) nie spełnia warunku wystarczającego na istnienie całki podwójnej po zbiorze E. Pokażmy, że całka
nie istnieje. Naprawdę,
Podobnie ten sam wynik ustala się dla całki
Pojęcie całki podwójnej
Całka podwójna (DI) to uogólnienie całki oznaczonej (DI) funkcji jednej zmiennej na przypadek funkcji dwóch zmiennych.
Niech ciągła nieujemna funkcja $z=f\left(x,y\right)$ zostanie zdefiniowana w domenie zamkniętej $D$ położonej w płaszczyźnie współrzędnych $xOy$. Funkcja $z=f\left(x,y\right)$ opisuje pewną powierzchnię, która jest rzutowana na dziedzinę $D$. Obszar $D$ jest ograniczony linią zamkniętą $L$, której punkty graniczne również należą do obszaru $D$. Zakładamy, że prostą $L$ tworzy skończona liczba ciągłych krzywych zdefiniowanych równaniami postaci $y=\vartheta \left(x\right)$ lub $x=\psi \left(y\right)$ .
Podzielmy obszar $D$ na $n$ dowolnych odcinków pola $\Delta S_(i) $. W każdym z odcinków wybieramy jeden dowolny punkt $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. W każdym z tych punktów obliczamy wartość danej funkcji $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Rozważmy objętość pod tą częścią powierzchni $z=f\left(x,y\right)$ rzuconą na obszar $\Delta S_(i) $. Geometrycznie objętość tę można w przybliżeniu przedstawić jako objętość walca o podstawie $\Delta S_(i) $ i wysokości $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$ , czyli równy iloczynowi $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Następnie objętość pod całą powierzchnią $z=f\left(x,y\right)$ w obszarze $D$ można w przybliżeniu obliczyć jako sumę objętości wszystkich cylindrów $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Suma ta nazywana jest sumą całkowitą funkcji $f\left(x,y\right)$ w dziedzinie $D$.
Nazwijmy średnicą $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ przekroju $\Delta S_(i) $ największą odległością pomiędzy skrajnymi punktami tego przekroju. Niech $\lambda $ oznacza największą ze średnic wszystkich przekrojów z obszaru $D$. Niech $\lambda \to 0$ ze względu na nieograniczone $n\to \infty $ udoskonalenia podziału domeny $D$.
Definicja
Jeśli istnieje granica sumy całkowitej $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $, to liczbę tę nazywamy CI funkcji $f\left(x,y\ prawo)$ nad domeną $D $ i oznacz $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ lub $I=\iint \limits _(D)f\ lewo(x,y\prawo) \cdot dx\cdot dy $.
W tym przypadku obszar $D$ nazywany jest obszarem integracji, $x$ i $y$ są zmiennymi całkującymi, a $dS=dx\cdot dy$ jest elementem obszaru.
Z definicji wynika geometryczne znaczenie DI: podaje ona dokładną wartość objętości pewnego krzywoliniowego cylindra.
Zastosowanie całek podwójnych
Objętość ciała
Zgodnie z geometrycznym znaczeniem DI, objętość $V$ jakiegoś ciała ograniczona powyżej powierzchnią $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, poniżej obszarem $D$ na płaszczyźnie $xOy$, po bokach powierzchnią cylindryczną , której generatory są równoległe do osi $Oz$, a prowadnicą jest kontur obszaru $D$ (linia $L$), oblicza się ze wzoru $ V=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Niech ciało ogranicza powierzchnię $z=f_(2) \left(x,y\right)$ od góry, a powierzchnię $z=f_(1) \left(x,y\right)$ od dołu, oraz $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. Rzut obu powierzchni na płaszczyznę $xOy$ to ten sam obszar $D$. Następnie objętość takiego ciała oblicza się ze wzoru $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.
Załóżmy, że w dziedzinie $D$ funkcja $f\left(x,y\right)$ zmienia znak. Następnie, aby obliczyć objętość odpowiedniego ciała, obszar $D$ należy podzielić na dwie części: część $D_(1) $, gdzie $f\left(x,y\right)\ge 0$ i część $D_(2) $, gdzie $f\lewo(x,y\prawo)\le 0$. W tym przypadku całka po obszarze $D_(1) $ będzie dodatnia i równa objętości tej części ciała, która leży nad płaszczyzną $xOy$. Całka po polu $D_(2) $ będzie ujemna i będzie mieć wartość bezwzględną równą objętości tej części ciała, która leży poniżej płaszczyzny $xOy$.
Powierzchnia płaskiej figury
Jeśli umieścimy $f\left(x,y\right)\equiv 1$ wszędzie w obszarze $D$ na płaszczyźnie współrzędnych $xOy$, to CI będzie liczbowo równe polu obszaru integracji $D $, czyli $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. W układzie współrzędnych biegunowych ta sama formuła ma postać $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.
Obszar dowolnej powierzchni
Niech część powierzchni $Q$, dana równaniem $z=f_(1) \left(x,y\right)$, zostanie rzucona na płaszczyznę współrzędnych $xOy$ w obszarze $D_(1)$. W tym przypadku pole powierzchni $Q$ można obliczyć ze wzoru $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \right)^ (2) +\left(\frac(\częściowe z)(\częściowe y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.
Ilość substancji
Załóżmy, że w obszarze $D$ pewna substancja o gęstości powierzchniowej $\rho \left(x,y\right)$ jest rozłożona na płaszczyźnie $xOy$. Oznacza to, że gęstość powierzchniowa $\rho \left(x,y\right)$ jest masą materii na powierzchnię elementarną $dx\cdot dy$ obszaru $D$. W tych warunkach całkowitą masę substancji można obliczyć ze wzoru $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Należy pamiętać, że „substancją” może być ładunek elektryczny, ciepło itp.
Współrzędne środka masy płaskiej figury
Wzory do obliczania wartości współrzędnych środka masy płaskiej figury są następujące:$ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x ,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.
Wielkości w licznikach nazywane są momentami statycznymi $M_(y) $ i $M_(x) $ figury płaskiej $D$ względem osi odpowiednio $Oy$ i $Ox$.
Jeżeli figura płaska jest jednorodna, czyli $\rho =const$, to wzory te są uproszczone i wyrażane nie poprzez masę, ale poprzez powierzchnię figury płaskiej $S$: $x_(c) = \frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )( S) $.
Momenty bezwładności obszaru figury płaskiej
Rozważmy materialną płaską figurę na płaszczyźnie $xOy$. Wyobraźmy sobie to jako pewien obszar $D$, na którym rozmieszczona jest substancja o masie całkowitej $M$ i zmiennej gęstości powierzchniowej $\rho \left(x,y\right)$.
Wartość momentu bezwładności powierzchni płaskiej figury względem osi $Oy$: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Wartość momentu bezwładności względem osi $Ox$: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot\; dx\; \cdot dy $. Moment bezwładności figury płaskiej względem początku jest równy sumie momentów bezwładności względem osi współrzędnych, czyli $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.
Wprowadzono całki potrójne dla funkcji trzech zmiennych.
Załóżmy, że dany jest pewien obszar $V$ przestrzeni trójwymiarowej, ograniczony zamkniętą powierzchnią $S$. Zakładamy, że punkty leżące na powierzchni również należą do obszaru $V$. Załóżmy, że w dziedzinie $V$ dana jest funkcja ciągła $f\left(x,y,z\right)$. Na przykład taką funkcją, pod warunkiem, że $f\left(x,y,z\right)\ge 0$, może być gęstość rozkładu objętościowego jakiejś substancji, rozkład temperatury itp.
Podzielmy obszar $V$ na $n$ dowolne części, których objętości wynoszą $\Delta V_(i) $. W każdej części wybieramy jeden dowolny punkt $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. W każdym z tych punktów obliczamy wartość danej funkcji $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$.
Stwórzmy sumę całkowitą $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \Delta V_ (i) $ i będziemy w nieskończoność udoskonalać $\left(n\to \infty \right)$ podział obszaru $V$ tak, aby największa ze średnic $\lambda $ wszystkich części $\Delta V_(i) $ maleje w nieskończoność $ \left(\lambda \to 0\right)$.
Definicja
W powyższych warunkach istnieje granica $I$ tej sumy całkowej, nazywana jest całką potrójną funkcji $f\left(x,y,z\right)$ po obszarze $V$ i oznaczana $I\ ; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV $ lub $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz$.
