Wszystkie rozważane dotychczas metody rozwiązywania problemów dynamiki opierają się na równaniach, które wynikają albo bezpośrednio z praw Newtona, albo z twierdzeń ogólnych, będących konsekwencją tych praw. Jednak ta droga nie jest jedyna. Okazuje się, że równania ruchu lub warunki równowagi układu mechanicznego można otrzymać, przyjmując zamiast praw Newtona inne twierdzenia ogólne, zwane zasadami mechaniki. W wielu przypadkach zastosowanie tych zasad umożliwia, jak zobaczymy, znalezienie skuteczniejszych metod rozwiązywania odpowiednich problemów. W tym rozdziale rozważymy jedną z ogólnych zasad mechaniki, zwaną zasadą d'Alemberta.
Załóżmy, że mamy system składający się z N punkty materialne. Wyróżnijmy niektóre punkty układu o masie . Pod działaniem przyłożonych do niego sił zewnętrznych i wewnętrznych (które obejmują zarówno siły czynne, jak i reakcje sprzężenia), punkt otrzymuje pewne przyspieszenie względem bezwładnościowego układu odniesienia.
Weźmy pod uwagę ilość
mający wymiar siły. Wielkość wektora równa wartości bezwzględnej iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia, skierowana przeciwnie do tego przyspieszenia, nazywana jest siłą bezwładności punktu (czasem siłą bezwładności d'Alemberta).
Okazuje się wówczas, że ruch punktu ma następującą ogólną własność: jeśli w każdym momencie czasu dodamy siłę bezwładności do sił faktycznie działających na punkt, to wynikowy układ sił będzie się równoważył, tj. będzie
.
To wyrażenie wyraża zasadę d'Alemberta dla jednego punktu materialnego. Łatwo zauważyć, że jest to równoważne drugiemu prawu Newtona i odwrotnie. Rzeczywiście, drugie prawo Newtona dla omawianego punktu daje 
. Przenosząc tutaj wyraz na prawą stronę równości, dochodzimy do ostatniej relacji.
Powtarzając powyższe rozumowanie w odniesieniu do każdego z punktów układu, dochodzimy do następującego wyniku, który wyraża zasadę d'Alemberta dla układu: jeżeli w dowolnym momencie czasu do każdego z punktów układu, oprócz faktycznie działających na niego sił zewnętrznych i wewnętrznych, zostaną przyłożone odpowiednie siły bezwładności, to wynikowy układ sił będzie w równowadze i wszystkie równania można do niego zastosować statykę.
Znaczenie zasady d'Alemberta polega na tym, że gdy stosuje się ją bezpośrednio do zagadnień dynamiki, równania ruchu układu układają się w dobrze znane równania równowagi; co zapewnia jednolite podejście do rozwiązywania problemów i zwykle znacznie upraszcza odpowiednie obliczenia. Ponadto, w połączeniu z zasadą możliwych przemieszczeń, która zostanie omówiona w następnym rozdziale, zasada d'Alemberta pozwala nam otrzymać nową ogólną metodę rozwiązywania problemów dynamiki.
Stosując zasadę d'Alemberta należy pamiętać, że na punkt układu mechanicznego, którego ruch badany jest ruch, działają tylko siły zewnętrzne i wewnętrzne, a powstające w wyniku wzajemnego oddziaływania punktów systemem między sobą oraz z podmiotami nieuwzględnionymi w systemie; pod działaniem tych sił punkty układu poruszają się z odpowiednimi przyspieszeniami. Siły bezwładności, o których mowa w zasadzie d'Alemberta, nie działają na poruszające się punkty (w przeciwnym razie punkty te spoczywałyby lub poruszałyby się bez przyspieszenia, a wtedy same siły bezwładności by nie istniały). Wprowadzenie sił bezwładności to tylko technika pozwalająca na układanie równań dynamiki przy użyciu prostszych metod statyki.
Ze statyki wiadomo, że suma geometryczna sił w równowadze i suma ich momentów względem dowolnego środka O są równe zeru i zgodnie z zasadą krzepnięcia dotyczy to sił działających nie tylko na ciało sztywne, ale także na dowolny układ zmienny. Wtedy, w oparciu o zasadę d'Alemberta, powinno być.
Początkowo ideę tej zasady wyraził Jacob Bernoulli (1654-1705), rozważając problem środka oscylacji ciał o dowolnym kształcie. W 1716 r. Petersburski akademik Ya German (1678–1733) przedstawił zasadę statycznej równoważności ruchów „swobodnych” i ruchów „rzeczywistych”, to znaczy ruchów wykonywanych w obecności połączeń. Później zasadę tę zastosował L. Euler (1707-1783) do zagadnienia drgań ciał giętkich (praca została opublikowana w 1740 r.) i nazwano ją „zasadą petersburską”. Jednak pierwszym, który sformułował rozważaną zasadę w formie ogólnej, choć nie nadał jej właściwego analitycznego wyrazu, był d'Alembert (1717-1783). W wydanej w 1743 r. „Dynamice” wskazał ogólną metodę podejścia do rozwiązywania problemów dynamiki układów niewolnych. Analityczne wyrażenie tej zasady zostało później podane przez Lagrange'a w Mechanice analitycznej.
Rozważmy pewien niewolny system mechaniczny. Oznaczmy wypadkową wszystkich sił czynnych działających na dowolny punkt układu przez i wypadkową reakcji wiązań - przez Wtedy równanie ruchu punktu będzie miało postać
gdzie jest wektorem przyspieszenia punktu, a jest masą tego punktu.
Jeśli weźmiemy pod uwagę siłę zwaną siłą bezwładności d'Alemberta, to równanie ruchu (2.9) można zapisać w postaci równania równowagi trzech sił:
Równanie (2.10) jest esencją zasady d'Alemberta dla punktu, a to samo równanie, rozciągnięte na układ, jest esencją zasady d'Alemberta dla układu.
Równanie ruchu zapisane w postaci (2.10) pozwala nam nadać zasadzie d'Alemberta następujące sformułowanie: jeżeli układ jest w ruchu, w pewnym momencie, natychmiast się zatrzymaj i zastosuj do każdego materialnego punktu tego układu działające na niego czynne siły reakcji w momencie zatrzymania i siły bezwładności d'Alemberta, to układ pozostanie w równowadze.
Zasada d'Alemberta jest wygodną metodą metodyczną rozwiązywania problemów dynamicznych, ponieważ umożliwia zapisanie równań ruchu układów niewolnych w postaci równań statycznych.
W ten sposób oczywiście problem dynamiki nie zostaje zredukowany do problemu statyki, ponieważ problem całkowania równań ruchu jest nadal zachowany, ale zasada d'Alemberta zapewnia ujednoliconą metodę zestawiania równań ruchu nie -wolne systemy i to jest jego główna zaleta.
Jeśli weźmiemy pod uwagę, że reakcje to działanie wiązań na punkty układu, to zasadzie d'Alemberta można nadać również następującą postać: jeśli do sił czynnych działających na układ dodamy siły bezwładności d'Alemberta punktów układu niewolnego, to wypadkowe siły tych sił zostaną zrównoważone reakcjami wiązań. Należy podkreślić, że sformułowanie to jest arbitralne, gdyż w rzeczywistości
kiedy układ się porusza, nie ma równowagi, ponieważ siły bezwładności nie są przykładane do punktów układu.
Na koniec zasadzie d'Alemberta można podać jeszcze jedno równoważne sformułowanie, dla którego przepisujemy równanie (2.9) w następującej postaci:
Zasada d'Alemberta ustanawia jednolite podejście do badania ruchu obiektu materialnego, niezależnie od natury warunków nałożonych na ten ruch. W tym przypadku dynamiczne równania ruchu mają postać równań równowagi. Stąd druga nazwa zasady d'Alemberta to metoda kinetostatyki.
Dla punktu materialnego w dowolnym momencie ruchu suma geometryczna przyłożonych sił czynnych, reakcji wiązań i warunkowo przyłączonej siły bezwładności wynosi zero (ryc. 48).
Gdzie Ф jest siłą bezwładności punktu materialnego, równą:
.
(15.2)
Rysunek 48
Rysunek 49
Siła bezwładności jest przykładana nie do poruszającego się obiektu, ale do wiązań, które determinują jego ruch. Mężczyzna zgłasza przyspieszenie 
wózek (Rys. 49), popychając go siłą 
Siła bezwładności to przeciwdziałanie działaniu osoby na wózku, tj. modulo równe sile 
i skierowane w przeciwnym kierunku.
Jeśli punkt porusza się po zakrzywionej ścieżce, wówczas siłę bezwładności można rzutować na naturalne osie współrzędnych.
Rysunek 50
;
(15.3)
, (15.4) gdzie 
-- promień krzywizny trajektorii.
Przy rozwiązywaniu zadań metodą kinetostatyki należy:
1. wybierz układ współrzędnych;
2. pokazać wszystkie siły czynne przyłożone do każdego punktu;
3. odrzucić połączenia, zastępując je odpowiednimi reakcjami;
4. dodać siłę bezwładności do sił czynnych i reakcji połączeń;
5. ułożyć równania kinetostatyki, z których wyznaczyć pożądane wartości.
PRZYKŁAD 21.
O
ROZWIĄZANIE. 1. Rozważmy samochód na szczycie wypukłego mostu. Rozważ samochód jako punkt materialny, na który działa dana siła 2. Ponieważ samochód porusza się ze stałą prędkością, zapisujemy zasadę d'Alemberta dla punktu materialnego w rzucie na normalną 
i reakcja komunikacyjna 
.
. (1) Wyrażamy siłę bezwładności: 
; wyznaczamy ciśnienie normalne samochodu z równania (1): N.
\u003d 20m i porusza się ze stałą prędkością V \u003d 36 km / h (ryc. 51).
16. Zasada d'Alemberta dla układu mechanicznego. Główny wektor i główny moment sił bezwładności.
Jeżeli do każdego punktu układu mechanicznego w dowolnym momencie ruchu są warunkowo przyłożone odpowiednie siły bezwładności, to w dowolnym momencie ruchu suma geometryczna sił czynnych działających na punkt, reakcji wiązań i siły bezwładności wynosi równa zeru.
Równanie wyrażające zasadę d'Alemberta dla układu mechanicznego ma postać 
. (16.1) Suma momentów tych równoważących się sił względem dowolnego środka jest również równa zeru 
. (16.2) Stosując zasadę d'Alemberta, równania ruchu układu zestawiamy w postaci równań równowagi. Równania (16.1) i (16.2) można wykorzystać do wyznaczenia odpowiedzi dynamicznych.
PRZYKŁAD 22.
Pionowy wał AK, obracający się ze stałą prędkością kątową 
\u003d 10s -1, zamocowany łożyskiem oporowym w punkcie A i łożyskiem walcowym w punkcie K (ryc. 52). Cienki jednorodny pręt łamany o masie m=10kg i długości 10b jest przymocowany do wału w punkcie E, składającym się z części 1 i 2, gdzie b=0,1m, a ich masy m 1 i m 2 są proporcjonalne do długości . Pręt jest przymocowany do wału zawiasem w punkcie E i nieważkim prętem 4 sztywno zamocowanym w punkcie B. Wyznacz reakcję zawiasu E i pręta 4.
ROZWIĄZANIE.
1. Długość złamanego pręta wynosi 10b. Wyraźmy masy części pręta proporcjonalne do długości: m 1 = 0,4 m; m2 =0,3m; m3 \u003d 0,3 m.
Rysunek 42
2. Aby określić pożądane reakcje, rozważ ruch złamanego pręta i zastosuj zasadę d'Alemberta. Ustawmy pręt w płaszczyźnie xy, przedstawmy działające na niego siły zewnętrzne: 
,
,
, reakcje zawiasowe 
I 
i reakcja 
pręt 4. Do tych sił dodajemy siły bezwładności części pręta: 
;
;
,
Gdzie 
;
;
.
potem N.N.N.
Linia działania wypadkowych sił bezwładności 
,
I 
przechodzi w odległościach h 1 , h 2 i h 3 od osi x: m;
3. Zgodnie z zasadą d'Alemberta przyłożone siły czynne, reakcje wiązań i siły bezwładności tworzą zrównoważony układ sił. Ułóżmy trzy równania równowagi dla płaskiego układu sił:
;
;
(1)
;;
(2)
;.(3)
Rozwiązując układ równań (1) + (3), zastępując podane wartości odpowiednimi wielkościami, znajdujemy pożądane reakcje:
N= yE=xE=
Jeśli wszystkie siły działające na punkty układu mechanicznego są podzielone na zewnętrzne 
i domowe 
, (ryc. 53), to dla dowolnego punktu układu mechanicznego można zapisać dwie równości wektorowe:
;
(16.3)
.
Rysunek 53
Uwzględniając własności sił wewnętrznych, otrzymujemy zasadę d'Alemberta dla układu mechanicznego w postaci: 
;
(16.4)
, (16,5) gdzie 
,
-- odpowiednio główne wektory sił zewnętrznych i siły bezwładności;
,
- odpowiednio momenty główne sił zewnętrznych i sił bezwładności względem dowolnego środka O.
Główny wektor 
i główny punkt 
zastąpić siły bezwładności wszystkich punktów układu, ponieważ konieczne jest przyłożenie własnej siły bezwładności do każdego punktu układu, w zależności od przyspieszenia punktu. Korzystając z twierdzenia o ruchu środka masy i zmianie momentu pędu układu względem dowolnego środka, otrzymujemy: 
,
(16.6)
. (16.7) Dla bryły sztywnej obracającej się wokół stałej osi z główny moment bezwładności względem tej osi jest równy 
, (16.8) gdzie 
jest przyspieszeniem kątowym ciała.
Podczas ruchu postępowego ciała siły bezwładności wszystkich jego punktów są redukowane do wypadkowej, równej głównemu wektorowi sił bezwładności, tj. 
.
P
Rysunek 54
, (16.9) gdzie 
- moment bezwładności ciała względem osi obrotu.
Jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii i obraca się wokół stałej osi z, prostopadłej do płaszczyzny symetrii i nieprzechodzącej przez środek masy ciała, to siła bezwładności wszystkich punktów ciała sprowadza się do wypadkowej, równy głównemu wektorowi sił bezwładności układu, ale przyłożony do pewnego punktu K (ryc. 54) . Linia działania wypadkowej 
oddalone od punktu O na odległość 
.
(16.10)
Przy ruchu płaskim ciała mającego płaszczyznę symetrii ciało porusza się wzdłuż tej płaszczyzny (ryc. 55). Główny wektor i główny moment sił bezwładności również leżą w tej płaszczyźnie i są określone wzorami:
Rysunek 55
;
.
Znak minus wskazuje, że kierunek chwili 
przeciwnie do kierunku przyspieszenia kątowego ciała.
PRZYKŁAD 23.
Wyznacz siłę, która ma tendencję do złamania równomiernie obracającego się koła zamachowego o masie m, biorąc pod uwagę jego masę rozłożoną na obręczy. Promień koła zamachowego r, prędkość kątowa 
(Rys. 56).
ROZWIĄZANIE.
1. Poszukiwanie siły 
jest wewnętrzny. 
-- wypadkowa sił bezwładności elementów obręczy. 
. Współrzędną x wyrażamy od środka masy łuku obręczy do kąta środkowego 
:
, Następnie 
.
2. Aby określić siłę 
zastosuj zasadę d'Alemberta w rzucie na oś x: 
;
, Gdzie 
.
3. Jeśli koło zamachowe jest stałym jednorodnym dyskiem, to 
, Następnie 
.
Zakres zasady d'Alemberta obejmuje dynamikę nieswobodnych układów mechanicznych. d'Alembert zaproponował oryginalną metodę rozwiązywania problemów dynamiki, która umożliwia stosowanie dość prostych równań statyki. Napisał: „Zasada ta sprowadza wszystkie problemy związane z ruchem ciał do prostszych problemów równowagi”.
Ta metoda opiera się na siłach bezwładności. Wprowadźmy to pojęcie.
Siła bezwładności nazywana jest sumą geometryczną sił przeciwdziałających poruszającej się cząstce materiału na ciała, które nadają jej przyspieszenie.
Wyjaśnijmy tę definicję. na ryc. 15.1 przedstawia cząstkę materiału M , oddziaływać z N obiekty materialne. na ryc. 15.1 pokazuje siły oddziaływania: bez
które w rzeczywistości nie są na cząsteczkę, ale na ciałach o masach m 1 , …, m n . Jest oczywiste, że wypadkowa tego układu zbieżnych sił reakcji, R'=ΣF'k , modulo równe R i jest skierowana przeciwnie do przyspieszenia, tj.: R' = -ma. Siła ta jest siłą bezwładności, o której mowa w definicji. W dalszej części będziemy to oznaczać literą F , tj.:
W ogólnym przypadku ruchu krzywoliniowego punktu przyspieszenie jest sumą dwóch składowych:
Z (15.4) widać, że składowe siły bezwładności są skierowane przeciwnie do kierunków odpowiednich składowych przyspieszenia punktu. Moduły składowych siły bezwładności określają następujące wzory:
Gdzie ρ jest promieniem krzywizny trajektorii punktu.
Po określeniu siły bezwładności rozważ zasada d'Alemberta.
Niech układ mechaniczny składający się z N punkty materialne (ryc. 15.2). Weźmy jedną z nich. Wszystkie siły działające na k -ty punkt, dzielimy na grupy:
Wyrażenie (15.6) oddaje istotę zasady d'Alemberta, napisanej dla jednego istotnego punktu. Powtarzając powyższe kroki w odniesieniu do każdego punktu układu mechanicznego, możemy napisać układ N równania podobne do (15.6), które będą matematycznym zapisem zasady d'Alemberta zastosowanej do układu mechanicznego. W ten sposób formułujemy Zasada d'Alemberta dla układu mechanicznego:
Jeżeli w dowolnym momencie czasu, oprócz działających na niego sił zewnętrznych i wewnętrznych, do każdego punktu układu mechanicznego zostanie przyłożona odpowiednia siła bezwładności, to cały układ sił zostanie doprowadzony do równowagi i wszystkie równania można do niego zastosować statykę.
Pamiętać:
Zasadę d'Alemberta można zastosować do procesów dynamicznych zachodzących w
inercyjne układy odniesienia. Ten sam wymóg, jak wspomniano wcześniej, powinien być przestrzegany przy stosowaniu praw dynamiki;
Siły bezwładności, które zgodnie z metodologią zasady d'Alemberta należy zastosować
żyć do punktów systemu, w rzeczywistości nie są one naruszone. Rzeczywiście, gdyby istniały, cały zestaw sił przyłożonych do każdego punktu byłby w równowadze, a sformułowanie samego problemu dynamiki byłoby nieobecne.
Dla równowagi układu sił można zapisać następujące równania:
te. suma geometryczna wszystkich sił układu, w tym sił bezwładności, oraz suma geometryczna momentów wszystkich sił wokół dowolnego środka są równe zeru.
Biorąc pod uwagę właściwości sił wewnętrznych układu:
wyrażenia (15.7) można znacznie uprościć.
Przedstawiamy główną notację wektorową
i główny punkt
wyrażenia (15.7) pojawią się w postaci:
Równania (15.11) są bezpośrednią kontynuacją zasady d'Alemberta, ale nie zawierają sił wewnętrznych, co jest ich niewątpliwą zaletą. Ich zastosowanie jest najskuteczniejsze w badaniu dynamiki układów mechanicznych składających się z brył sztywnych.
Jeśli weźmiemy pod uwagę układ, który składa się z kilku punktów materialnych, podkreślając jeden konkretny punkt o znanej masie, to pod działaniem przyłożonych do niego sił zewnętrznych i wewnętrznych otrzymuje on pewne przyspieszenie względem bezwładnościowego układu odniesienia. Wśród takich sił mogą być zarówno siły czynne, jak i reakcje sprzężenia.
Siła bezwładności punktu jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna jest równa iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia. Wartość ta jest czasami określana jako siła bezwładności d'Alemberta, jest skierowana przeciwnie do przyspieszenia. W tym przypadku ujawnia się następująca właściwość poruszającego się punktu: jeśli w każdym momencie czasu dodamy siłę bezwładności do sił faktycznie działających na punkt, to wynikowy układ sił będzie zrównoważony. Można więc sformułować zasadę d'Alemberta dla jednego istotnego punktu. To stwierdzenie jest w pełni zgodne z drugim prawem Newtona.
zasady d'Alemberta dla systemu
Jeśli powtórzymy wszystkie argumenty dla każdego punktu w systemie, to prowadzą one do następującego wniosku, który wyraża sformułowaną dla systemu zasadę d'Alemberta: jeżeli w dowolnym momencie zastosujemy się do każdego z punktów w systemie, oprócz faktycznie działające siły zewnętrzne i wewnętrzne, to ten układ będzie w równowadze, więc można do niego zastosować wszystkie równania stosowane w statyce.
Jeżeli zastosujemy zasadę d'Alemberta do rozwiązywania problemów dynamiki, to równania ruchu układu można zestawić w postaci znanych nam równań równowagi. Zasada ta znacznie upraszcza obliczenia i ujednolica podejście do rozwiązywania problemów.
Zastosowanie zasady d'Alemberta
Należy wziąć pod uwagę, że na ruchomy punkt w układzie mechanicznym działają tylko siły zewnętrzne i wewnętrzne, które powstają w wyniku oddziaływania punktów między sobą, jak również z ciałami, które nie wchodzą w skład tego układu. Punkty poruszają się z pewnymi przyspieszeniami pod wpływem wszystkich tych sił. Siły bezwładności nie działają na poruszające się punkty, w przeciwnym razie poruszałyby się one bez przyspieszenia lub pozostawały w spoczynku.
Siły bezwładności są wprowadzane tylko w celu ułożenia równań dynamiki prostszymi i wygodniejszymi metodami statyki. Uwzględnia się również, że suma geometryczna sił wewnętrznych i suma ich momentów jest równa zeru. Zastosowanie równań wynikających z zasady d'Alemberta ułatwia rozwiązywanie problemów, ponieważ równania te nie zawierają już sił wewnętrznych.
