Teoria funkcji jednej zmiennej. Analiza matematyczna

Pytania do egzaminu z "Analizy matematycznej", I rok, I semestr.

1. Zestawy. Podstawowe działania na zbiorach. Przestrzenie metryczne i arytmetyczne.

2. Zestawy numeryczne. Zbiory na osi liczbowej: odcinki, przedziały, półosie, sąsiedztwa.

3. Definicja zbioru ograniczonego. Granice górne i dolne zbiorów liczbowych. Postulaty dotyczące górnych i dolnych granic zbiorów liczbowych.

4. Metoda indukcji matematycznej. Nierówności Bernoulliego i Cauchy'ego.

5. Definicja funkcji. Wykres funkcji. Funkcje parzyste i nieparzyste. Funkcje okresowe. Sposoby ustawiania funkcji.

6. Granica sekwencji. Własności ciągów zbieżnych.

7. ograniczone sekwencje. Twierdzenie o warunku wystarczającym dla rozbieżności ciągu.

8. Definicja ciągu monotonicznego. Twierdzenie o ciągach monotonicznych Weierstrassa.

9. Numer mi.

10. Granica funkcji w punkcie. Granica funkcji w nieskończoności. Ograniczenia jednostronne.

11. Nieskończenie małe funkcje. Granica funkcji sumy, iloczynu i ilorazu.

12. Twierdzenia o stabilności nierówności. Przejście do granicy nierówności. Twierdzenie o trzech funkcjach.

13. Pierwsza i druga cudowna granica.

14. Funkcje nieskończenie duże i ich związek z funkcjami nieskończenie małymi.

15. Porównanie funkcji nieskończenie małych. Własności równoważnych nieskończenie małych. Twierdzenie o zamianie nieskończenie małych na równoważne. Podstawowe równoważności.

16. Ciągłość funkcji w punkcie. Akcje z funkcjami ciągłymi. Ciągłość podstawowych funkcji elementarnych.

17. Klasyfikacja punktów przerwania funkcji. Przedłużenie przez ciągłość

18. Definicja funkcji zespolonej. Granica funkcji zespolonej. Ciągłość funkcji zespolonej. Funkcje hiperboliczne

19. Ciągłość funkcji na odcinku. Twierdzenia Cauchy'ego o zaniku funkcji ciągłej na przedziale io wartości pośredniej funkcji.

20. Własności funkcji ciągłych na odcinku. Twierdzenie Weierstrassa o ograniczoności funkcji ciągłej. Twierdzenie Weierstrassa o największej i najmniejszej wartości funkcji.

21. Definicja funkcji monotonicznej. Twierdzenie Weierstrassa o granicy funkcji monotonicznej. Twierdzenie o zbiorze wartości funkcji, która jest monotoniczna i ciągła w przedziale.

22. Funkcja odwrotna. Wykres funkcji odwrotnej. Twierdzenie o istnieniu i ciągłości funkcji odwrotnej.

23. Odwrotne funkcje trygonometryczne i hiperboliczne.

24. Definicja pochodnej funkcji. Pochodne podstawowych funkcji elementarnych.

25. Definicja funkcji różniczkowalnej. Warunek konieczny i wystarczający dla różniczkowalności funkcji. Ciągłość funkcji różniczkowalnej.

26. Geometryczne znaczenie pochodnej. Równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji.

27. Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji

28. Pochodna funkcji złożonej i funkcji odwrotnej.

29. Różniczkowanie logarytmiczne. Pochodna funkcji podanej parametrycznie.

30. Główna część przyrostu funkcji. Formuła linearyzacji funkcji. Geometryczne znaczenie różniczki.

31. Różniczka funkcji złożonej. Niezmienniczość postaci różniczkowej.

32. Twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego o własnościach funkcji różniczkowalnych. Formuła przyrostów skończonych.

33. Zastosowanie pochodnej do ujawnienia niepewności w ramach. reguła de l'Hospitala.

34. Definicja pochodnej n-te zamówienie. Zasady znajdowania pochodnej n-tego rzędu. Formuła Leibniza. Różnice wyższego rzędu.

35. Formuła Taylora z resztą w postaci Peano. Wyrażenia resztkowe w postaci Lagrange'a i Cauchy'ego.

36. Funkcje rosnące i malejące. punkty ekstremalne.

37. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia.

38. Niekończące się przerwy w funkcjach. Asymptoty.

39. Schemat kreślenia wykresu funkcji.

40. Definicja funkcji pierwotnej. Główne właściwości funkcji pierwotnej. Najprostsze zasady integracji. Tablica całek prostych.

41. Całkowanie przez zmianę zmiennej i wzór na całkowanie przez części w całce nieoznaczonej.

42. Integracja wyrażeń formy e ax cos bx i e ax sin bx przy użyciu relacji rekurencyjnych.

	43. Całkowanie ułamka			przy użyciu relacji rekurencyjnych.
			a 2 rz

44. Całka nieoznaczona funkcji wymiernej. Całkowanie ułamków prostych.

45. Całka nieoznaczona funkcji wymiernej. Rozkład ułamków właściwych na proste.

46. Całka nieoznaczona funkcji niewymiernej. Integracja wyrażeń

	Rx, m

47. Całka nieoznaczona funkcji niewymiernej. Całkowanie wyrażeń postaci R x , ax 2 bx c . podstawienia Eulera.

48. Całkowanie wyrażeń formy

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Całka nieoznaczona funkcji niewymiernej. Całkowanie różniczek dwumianowych.

50. Całkowanie wyrażeń trygonometrycznych. Uniwersalne podstawienie trygonometryczne.

51. Całkowanie wymiernych wyrażeń trygonometrycznych w przypadku, gdy całka jest nieparzysta ze względu na grzech x (lub cos x ) lub nawet w odniesieniu do grzechu x i cos x .

52. Integracja wyrażeń grzech n x cos m x i grzech n x cos mx .

53. Integracja wyrażeń tg m x i ctg m x .

54. Integracja wyrażeń R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 i R x , x 2 a 2 za pomocą podstawień trygonometrycznych.

55. Określona całka. Problem obliczania pola trapezu krzywoliniowego.

56. sumy całkowite. Sumy Darboux. Twierdzenie o warunku istnienia całki oznaczonej. Klasy funkcji całkowalnych.

57. Własności całki oznaczonej. Twierdzenia o wartości średniej.

58. Całka oznaczona jako funkcja górnej granicy. Formuła Newton-Leibniz.

59. Zamiana wzoru na zmienną i wzór na całkowanie przez części w całce oznaczonej.

60. Zastosowanie rachunku całkowego do geometrii. Objętość figury. Objętość figur obrotowych.

61. Zastosowanie rachunku całkowego do geometrii. Pole figury płaskiej. Obszar sektora krzywoliniowego. Długość krzywej.

62. Definicja całki niewłaściwej pierwszego rodzaju. Formuła Newtona-Leibniza dla całek niewłaściwych pierwszego rodzaju. Najprostsze właściwości.

63. Zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju dla funkcji dodatniej. Pierwsze i drugie twierdzenie porównawcze.

64. Zbieżność bezwzględna i warunkowa całek niewłaściwych pierwszego rodzaju funkcji przemiennej. Kryteria zbieżności dla Abela i Dirichleta.

65. Definicja całki niewłaściwej drugiego rodzaju. Formuła Newtona-Leibniza dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju.

66. Łączenie całek niewłaściwych I i II rodzaj. Całki niewłaściwe w sensie wartości głównej.

Niech zmienna X N przyjmuje nieskończony ciąg wartości

X 1 , X 2 , ..., X N , ..., (1)

i znane jest prawo zmiany zmiennej X N, tj. dla każdej liczby naturalnej N możesz określić odpowiednią wartość X N. Przyjmuje się więc, że zmienna X N jest funkcją N:

X N = f(n)

Zdefiniujmy jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej - granicę ciągu, czyli co to samo, granicę zmiennej X N sekwencja biegowa X 1 , X 2 , ..., X N , ... . .

Definicja. stała liczba A zwany granica sekwencji X 1 , X 2 , ..., X N , ... . lub granica zmiennej X N, jeśli dla dowolnie małej liczby dodatniej e istnieje taka liczba naturalna N(czyli numer N), że wszystkie wartości zmiennej X N, zaczynając od X N, różnią A mniej w wartości bezwzględnej niż e . Definicja ta jest w skrócie zapisana w następujący sposób:

| X N - A |< (2)

dla wszystkich N  N lub, co jest tym samym,

Definicja granicy Cauchy'ego. Liczbę A nazywamy granicą funkcji f (x) w punkcie a, jeśli ta funkcja jest zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu a, być może z wyjątkiem samego punktu a, i dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla wszystkich x spełniających warunek |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definicja granicy Heinego. Liczbę A nazywamy granicą funkcji f(x) w punkcie a, jeśli ta funkcja jest zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu a, być może z wyjątkiem samego punktu a i dowolnej sekwencji takiej, że zbiegając się do liczby a, odpowiednia sekwencja wartości funkcji zbiega się do liczby A.

Jeśli funkcja f(x) ma granicę w punkcie a, to ta granica jest jednoznaczna.

Liczbę A 1 nazywamy lewą granicą funkcji f (x) w punkcie a, jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje δ >

Liczbę A 2 nazywamy granicą właściwą funkcji f (x) w punkcie a, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że nierówność

Granica po lewej stronie jest oznaczona jako granica po prawej stronie - Granice te charakteryzują zachowanie funkcji po lewej i po prawej stronie punktu a. Są one często określane jako limity jednokierunkowe. W zapisie granic jednostronnych jako x → 0 pierwsze zero jest zwykle pomijane: i . A więc dla funkcji

Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje δ-sąsiedztwo punktu a takie, że dla wszystkich x spełniających warunek |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, to mówimy, że funkcja f (x) ma nieskończoną granicę w punkcie a:

Zatem funkcja ma nieskończoną granicę w punkcie x = 0. Często rozróżnia się granice równe +∞ i –∞. Więc,

Jeśli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla dowolnego x > δ nierówność |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Twierdzenie o istnieniu dla najmniejszej górnej granicy

Definicja: AR mR, m - górna (dolna) ściana A, jeżeli аА аm (аm).

Definicja: Zbiór A jest ograniczony z góry (od dołu), jeśli istnieje m takie, że аА, to аm (аm) jest spełnione.

Definicja: SupA=m, jeśli 1) m - górna granica A

2) m’: m’ m' nie jest górną ścianą A

InfA = n jeśli 1) n jest dolną wartością A

2) n’: n’>n => n’ nie jest infimum A

Definicja: SupA=m jest taką liczbą, że: 1)  aA am

2) >0 a  A, takie, że a  a-

InfA = n nazywamy taką liczbą, że:

2) >0 a  A, takie, że a E a+

Twierdzenie: Każdy niepusty zbiór AR ograniczony z góry ma najlepsze górne ograniczenie i to jedyne.

Dowód:

Konstruujemy liczbę m na prostej rzeczywistej i udowadniamy, że jest to najmniejsza górna granica A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - górna ściana A

Segment [[m],[m]+1] - podzielony na 10 części

m 1 =maks.:aA)]

m 2 =maks,m 1:aA)]

m do =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - górna ściana A

Udowodnijmy, że m=[m],m 1 ...m K jest najmniejszą górną granicą i że jest jednoznaczna:

do: .

Ryż. 11. Wykres funkcji y arcsin x.

Wprowadźmy teraz pojęcie funkcji zespolonej ( wyświetlać kompozycje). Niech dane będą trzy zbiory D, E, M i niech f: D→E, g: E→M. Oczywiście możliwe jest skonstruowanie nowego odwzorowania h: D→M, zwanego złożeniem odwzorowań f i g lub funkcją zespoloną (rys. 12).

Funkcja zespolona jest oznaczana następująco: z =h(x)=g(f(x)) lub h = f o g.

Ryż. 12. Ilustracja do pojęcia funkcji zespolonej.

Funkcja f(x) jest wywoływana funkcja wewnętrzna, a funkcja g ( y ) - funkcja zewnętrzna.

1. Funkcja wewnętrzna f (x) = x², zewnętrzna g (y) sin y. Funkcja zespolona z= g(f(x))=sin(x²)

2. Teraz odwrotnie. Wewnętrzna funkcja f (x)= sinx, zewnętrzna g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Kurs skierowany jest do studentów studiów licencjackich i magisterskich specjalizujących się w matematyce, ekonomii lub naukach przyrodniczych, a także nauczycieli matematyki szkół średnich i profesorów wyższych uczelni. Przyda się również uczniom, którzy są głęboko zaangażowani w matematykę.

Struktura kursu jest tradycyjna. Kurs obejmuje klasyczny materiał z analizy matematycznej, przerabiany na pierwszym roku studiów w pierwszym semestrze. Przedstawione zostaną działy "Elementy teorii zbiorów i liczb rzeczywistych", "Teoria ciągów liczbowych", "Granica i ciągłość funkcji", "Różniczkowalność funkcji", "Zastosowania różniczkowalności". Zapoznamy się z pojęciem zbioru, podamy ścisłą definicję liczby rzeczywistej i zbadamy własności liczb rzeczywistych. Następnie porozmawiamy o ciągach liczb i ich właściwościach. To pozwoli nam rozważyć koncepcję funkcji numerycznej, która jest dobrze znana uczniom, na nowym, bardziej rygorystycznym poziomie. Wprowadzamy pojęcie granicy i ciągłości funkcji, omawiamy własności funkcji ciągłych i ich zastosowanie do rozwiązywania problemów.

W drugiej części kursu zdefiniujemy pochodną i różniczkowalność funkcji jednej zmiennej oraz zbadamy własności funkcji różniczkowalnych. Dzięki temu nauczysz się rozwiązywać tak ważne problemy aplikacyjne, jak przybliżone obliczanie wartości funkcji i rozwiązywanie równań, obliczanie granic, badanie właściwości funkcji i budowa jej wykresu .

Format

Forma kształcenia jest niestacjonarna (na odległość).
Cotygodniowe zajęcia będą obejmowały oglądanie tematycznych wykładów wideo oraz rozwiązywanie zadań testowych z automatyczną weryfikacją wyników.
Ważnym elementem studiowania dyscypliny jest samodzielne rozwiązywanie problemów obliczeniowych i problemów dowodowych. Rozwiązanie będzie musiało zawierać rygorystyczne i poprawne logicznie rozumowanie prowadzące do poprawnej odpowiedzi (w przypadku problemu obliczeniowego) lub całkowicie udowadniające niezbędne stwierdzenie (w przypadku problemów teoretycznych).

Wymagania

Kurs przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów. Wymagana znajomość matematyki na poziomie podstawowym w zakresie szkoły średniej (11 klas).

Program kursu

Wykład 1 Elementy teorii mnogości.
Wykład 2 Pojęcie liczby rzeczywistej. Dokładne ściany zbiorów numerycznych.
Wykład 3 Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych. Własności liczb rzeczywistych.
Wykład 4 Ciągi liczbowe i ich własności.
Wykład 5 ciągi monotonne. Kryterium Cauchy'ego dla zbieżności sekwencji.
Wykład 6 Pojęcie funkcji jednej zmiennej. Granica funkcji. Funkcje nieskończenie małe i nieskończenie duże.
Wykład 7 Ciągłość funkcji. Klasyfikacja punktu przerwania. Lokalne i globalne własności funkcji ciągłych.
Wykład 8 Funkcje monotoniczne. Funkcja odwrotna.
Wykład 9 Najprostsze funkcje elementarne i ich własności: funkcje wykładnicze, logarytmiczne i potęgowe.
Wykład 10 Funkcje trygonometryczne i odwrotne funkcje trygonometryczne. Niezwykłe limity. Jednostajna ciągłość funkcji.
Wykład 11 Pojęcie pochodnej i różniczki. Geometryczne znaczenie pochodnej. Reguły różniczkowania.
Wykład 12 Pochodne podstawowych funkcji elementarnych. Różniczka funkcji.
Wykład 13 Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Formuła Leibniza. Pochodne funkcji danych parametrycznie.
Wykład 14 Podstawowe własności funkcji różniczkowalnych. Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a.
Wykład 15 Twierdzenie Cauchy'ego. Pierwsza zasada de l'Hospitala dotycząca ujawniania niepewności.
Wykład 16 Druga zasada de l’Hospitala dotycząca ujawniania niepewności. Formuła Taylora z resztą w postaci Peano.
Wykład 17 Wzór Taylora z resztą w postaci ogólnej, w postaci Lagrange'a i Cauchy'ego. Rozwinięcie podstawowych funkcji elementarnych przez Maclaurina. Zastosowania wzoru Taylora.
Wykład 18 Warunki wystarczające na ekstremum. Asymptoty wykresu funkcji. Wypukły.
Wykład 19 Punkty przegięcia. Ogólny schemat badania funkcji. Przykłady kreślenia.

Wyniki nauki

W wyniku opanowania przedmiotu student uzyska pojęcie o podstawowych pojęciach analizy matematycznej: zbiorze, liczbie, ciągu i funkcji, zapozna się z ich właściwościami i nauczy się jak zastosować te własności w rozwiązywaniu problemów.

Kurs jest studyjnym nagraniem wideo pierwszej połowy pierwszego semestru wykładów z analizy matematycznej w formie, w jakiej są one odczytywane w Akademii. Przez 4 moduły studenci zapoznają się z podstawowymi pojęciami analizy matematycznej: ciągami, granicami i ciągłością. Ograniczamy się do liczb rzeczywistych i funkcji jednej zmiennej. Prezentacja zostanie przeprowadzona na dość elementarnym poziomie bez ewentualnych uogólnień, które nie zmieniają głównych idei dowodów, ale zauważalnie komplikują percepcję. Wszystkie twierdzenia (poza nudnymi formalnymi uzasadnieniami na samym początku kursu iw definicji funkcji elementarnych) zostaną rygorystycznie udowodnione. Nagraniom wideo towarzyszy duża liczba zadań do samodzielnej pracy uczniów.

Dla kogo jest ten kurs

Studenci kierunków technicznych

Studenci muszą dobrze znać program szkolny z matematyki. Mianowicie, trzeba wiedzieć, jak wyglądają wykresy głównych funkcji elementarnych, znać podstawowe wzory funkcji trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych, postępów arytmetycznych i geometrycznych, a także umieć pewnie dokonywać przekształceń algebraicznych z równościami i nierówności. W przypadku kilku problemów trzeba również znać najprostsze własności liczb wymiernych i niewymiernych.