Wzory i własności prostokąta. figury geometryczne

Prostokąt jest czworokątem, w którym każdy róg jest prosty.

Dowód

Własność ta jest wyjaśniona działaniem cechy 3 równoległoboku (tj. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Przeciwne strony są równe.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Przeciwne strony są równoległe.

AB \równolegle CD,\enspace BC \równolegle AD

4. Sąsiednie boki są do siebie prostopadłe.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. Przekątne prostokąta są równe.

AC=BD

Dowód

Według nieruchomość 1 prostokąt jest równoległobokiem, co oznacza, że ​​AB = CD.

Zatem \triangle ABD = \triangle DCA wzdłuż dwóch nóg (AB = CD i AD - staw).

Jeśli obie figury - ABC i DCA są identyczne, to ich przeciwprostokątne BD i AC są również identyczne.

Więc AC = BD .

Tylko prostokąt wszystkich figur (tylko z równoległoboków!) ma równe przekątne.

Udowodnijmy i to.

ABCD jest równoległobokiem \strzałka w prawo AB = CD , AC = BD według warunku. \strzałka w prawo \trójkąt ABD = \trójkąt DCA już z trzech stron.

Okazuje się, że \angle A = \angle D (jak wierzchołki równoległoboku). I \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Dedukujemy to \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Wszystkie mają 90^(\circ) . Suma wynosi 360^(\circ) .

Udowodniony!

6. Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów jej dwóch sąsiednich boków.

Ta właściwość jest ważna na mocy twierdzenia Pitagorasa.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Przekątna dzieli prostokąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Punkt przecięcia przekątnych przecina je na pół.

AO=BO=CO=ZROBIĆ

9. Punktem przecięcia przekątnych jest środek prostokąta i opisanego na nim koła.

10. Suma wszystkich kątów wynosi 360 stopni.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Wszystkie rogi prostokąta są prawidłowe.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Średnica okręgu opisanego wokół prostokąta jest równa przekątnej prostokąta.

13. Okrąg zawsze można opisać wokół prostokąta.

Właściwość ta jest poprawna, ponieważ suma przeciwległych rogów prostokąta wynosi 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. W prostokącie może znajdować się koło wpisane i tylko jedno, jeśli ma równe boki (jest to kwadrat).

jest równoległobokiem, w którym wszystkie kąty mają miarę 90°, a przeciwległe boki są parami równoległe i równe.

Prostokąt ma kilka niepodważalnych właściwości, które są wykorzystywane do rozwiązywania wielu problemów we wzorach na pole prostokąta i jego obwód. Tutaj są:

Długość nieznanego boku lub przekątnej prostokąta jest obliczana na podstawie twierdzenia Pitagorasa. Obszar prostokąta można znaleźć na dwa sposoby - na podstawie iloczynu jego boków lub wzoru na pole prostokąta przechodzącego przez przekątną. Pierwsza i najprostsza formuła wygląda następująco:

Przykład obliczenia powierzchni prostokąta za pomocą tego wzoru jest bardzo prosty. Znając dwa boki, np. a = 3 cm, b = 5 cm, możemy łatwo obliczyć pole prostokąta:
Otrzymujemy, że w takim prostokącie powierzchnia będzie równa 15 metrom kwadratowym. cm.

Powierzchnia prostokąta pod względem przekątnych

Czasami trzeba zastosować wzór na pole prostokąta pod względem przekątnych. Aby to zrobić, musisz znać nie tylko długość przekątnych, ale także kąt między nimi:

Rozważ przykład obliczania powierzchni prostokąta za pomocą przekątnych. Niech dany będzie prostokąt o przekątnej d = 6 cm i kącie = 30°. Podstawiamy dane w znanym już wzorze:

Tak więc przykład obliczenia obszaru prostokąta przez przekątną pokazał nam, że znalezienie obszaru w ten sposób, biorąc pod uwagę kąt, jest dość proste.
Rozważ inną interesującą łamigłówkę, która pomoże nam trochę rozciągnąć mózg.

Zadanie: Dany kwadrat. Jego powierzchnia to 36 mkw. cm Znajdź obwód prostokąta, którego jeden z boków ma długość 9 cm, a pole jest takie samo jak kwadrat podany powyżej.
Mamy więc kilka warunków. Dla jasności zapisujemy je, aby zobaczyć wszystkie znane i nieznane parametry:
Boki figury są parami równoległe i równe. Zatem obwód figury jest równy dwukrotności sumy długości boków:
Ze wzoru na pole prostokąta, które jest równe iloczynowi dwóch boków figury, znajdujemy długość boku b
Stąd:
Podstawiamy znane dane i znajdujemy długość boku b:
Oblicz obwód figury:
Tak więc, znając kilka prostych wzorów, możesz obliczyć obwód prostokąta, znając jego pole.

Definicja.

Prostokąt Jest to czworokąt z dwoma przeciwległymi bokami równymi i wszystkimi czterema kątami równymi.

Prostokąty różnią się od siebie tylko stosunkiem dłuższego boku do krótszego boku, ale wszystkie cztery mają rację, to znaczy po 90 stopni każdy.

Długi bok prostokąta nazywa się długość prostokąta i krótki szerokość prostokąta.

Boki prostokąta są jednocześnie jego wysokościami.

Podstawowe właściwości prostokąta

Prostokąt może być równoległobokiem, kwadratem lub rombem.

1. Przeciwległe boki prostokąta mają tę samą długość, to znaczy są równe:

AB=CD, BC=AD

2. Przeciwległe boki prostokąta są równoległe:

3. Sąsiednie boki prostokąta są zawsze prostopadłe:

AB ┴ pne, pne ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Wszystkie cztery rogi prostokąta są proste:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Suma kątów prostokąta wynosi 360 stopni:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Przekątne prostokąta mają tę samą długość:

7. Suma kwadratów przekątnej prostokąta jest równa sumie kwadratów boków:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Każda przekątna prostokąta dzieli prostokąt na dwie identyczne figury, czyli trójkąty prostokątne.

9. Przekątne prostokąta przecinają się i są podzielone na pół w punkcie przecięcia:

		AO=BO=CO=ZROBIĆ=	D
			2

10. Punkt przecięcia przekątnych nazywany jest środkiem prostokąta i jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego

11. Przekątna prostokąta jest średnicą opisanego koła

12. Okrąg można zawsze opisać wokół prostokąta, ponieważ suma przeciwległych kątów wynosi 180 stopni:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Okrąg nie może być wpisany w prostokąt, którego długość nie jest równa jego szerokości, ponieważ sumy przeciwległych boków nie są sobie równe (okrąg można wpisać tylko w szczególnym przypadku prostokąta - kwadracie).

Boki prostokąta

Definicja.

Długość prostokąta nazwij długość dłuższej pary jego boków. Szerokość prostokąta podaj długość krótszej pary jego boków.

Wzory do wyznaczania długości boków prostokąta

1. Wzór na bok prostokąta (długość i szerokość prostokąta) pod względem przekątnej i drugiego boku:

za = √ re 2 - b 2

b = √ re 2 - a 2

2. Wzór na bok prostokąta (długość i szerokość prostokąta) pod względem pola i drugiego boku:

b = dcos	β
	2

Prostokąt Przekątna

Definicja.

Przekątna prostokąta Nazywa się dowolny segment łączący dwa wierzchołki przeciwległych rogów prostokąta.

Wzory do wyznaczania długości przekątnej prostokąta

1. Wzór na przekątną prostokąta wyrażoną dwoma bokami prostokąta (z twierdzenia Pitagorasa):

re = √ za 2 + b 2

2. Wzór na przekątną prostokąta pod względem pola i dowolnego boku:

4. Wzór na przekątną prostokąta pod względem promienia opisanego koła:

d=2R

5. Wzór na przekątną prostokąta pod względem średnicy opisanego koła:

re = D o

6. Wzór na przekątną prostokąta pod względem sinusa kąta przylegającego do przekątnej i długości boku przeciwległego do tego kąta:

8. Formuła przekątnej prostokąta pod względem sinusa kąta ostrego między przekątnymi a polem prostokąta

re = √2S: grzechβ

Obwód prostokąta

Definicja.

Obwód prostokąta jest sumą długości wszystkich boków prostokąta.

Wzory do wyznaczania długości obwodu prostokąta

1. Wzór na obwód prostokąta pod względem dwóch boków prostokąta:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Wzór na obwód prostokąta pod względem pola i dowolnego boku:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	A		B

3. Wzór na obwód prostokąta pod względem przekątnej i dowolnego boku:

P = 2(a + √ re 2 - a 2) = 2(b + √ re 2 - b 2)

4. Wzór na obwód prostokąta pod względem promienia opisanego koła i dowolnego boku:

P = 2(a + √4R 2 - 2) = 2(b + √4R 2 - b2)

5. Wzór na obwód prostokąta pod względem średnicy opisanego koła i dowolnego boku:

P = 2(a + √D o 2 - 2) = 2(b + √D o 2 - b2)

Obszar prostokąta

Definicja.

Obszar prostokąta zwaną przestrzenią ograniczoną bokami prostokąta, czyli w obrębie obwodu prostokąta.

Wzory do określania pola prostokąta

1. Wzór na pole prostokąta pod względem dwóch boków:

S = ab

2. Wzór na pole prostokąta przez obwód i dowolny bok:

5. Wzór na pole prostokąta pod względem promienia opisanego koła i dowolnego boku:

S = za √4R 2 - 2= b √4R 2 - b2

6. Wzór na pole prostokąta pod względem średnicy opisanego koła i dowolnego boku:

S \u003d za √ re o 2 - 2= b √ re o 2 - b2

Okrąg opisany na prostokącie

Definicja.

Okrąg opisany na prostokącie Okrąg nazywa się okręgiem przechodzącym przez cztery wierzchołki prostokąta, którego środek leży na przecięciu przekątnych prostokąta.

Wzory do wyznaczania promienia okręgu opisanego na prostokącie

1. Wzór na promień okręgu opisanego wokół prostokąta z dwóch stron:

4. Wzór na promień koła opisanego na prostokącie przechodzącym przez przekątną kwadratu:

5. Wzór na promień koła, który jest opisany w pobliżu prostokąta przez średnicę koła (opisanego):

6. Wzór na promień koła opisanego w pobliżu prostokąta przez sinus kąta przylegającego do przekątnej i długość boku przeciwległego do tego kąta:

7. Wzór na promień koła opisanego wokół prostokąta za pomocą cosinusa kąta przylegającego do przekątnej i długości boku przy tym kącie:

8. Wzór na promień koła, który jest opisany w pobliżu prostokąta przez sinus kąta ostrego między przekątnymi a obszarem prostokąta:

Kąt między bokiem a przekątną prostokąta.

Wzory do wyznaczania kąta między bokiem a przekątną prostokąta:

1. Wzór na określenie kąta między bokiem a przekątną prostokąta przechodzącego przez przekątną i bok:

2. Wzór na określenie kąta między bokiem a przekątną prostokąta przez kąt między przekątnymi:

Kąt między przekątnymi prostokąta.

Wzory do określania kąta między przekątnymi prostokąta:

1. Wzór na określenie kąta między przekątnymi prostokąta przez kąt między bokiem a przekątną:

β = 2α

2. Wzór na określenie kąta między przekątnymi prostokąta przechodzącego przez pole i przekątną.

Treść:

Przekątna to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki prostokąta. Prostokąt ma dwie równe przekątne. Jeśli boki prostokąta są znane, przekątną można znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, ponieważ przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Jeśli boki nie są podane, ale znane są inne wielkości, na przykład pole i obwód lub stosunek boków, możesz znaleźć boki prostokąta, a następnie obliczyć przekątną za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Kroki

1 Obok siebie

1. 1 Zapisz twierdzenie Pitagorasa. Formuła: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Podstaw boki do wzoru. Są podane w zadaniu lub trzeba je zmierzyć. Wartości boczne są zastępowane przez 3
   • W naszym przykładzie:
     4 2 + 3 2 = do 2 4

     2 Według powierzchni i obwodu

     1. 1 Formuła: S \u003d l w (Na rysunku symbol A jest używany zamiast S.)
     2. 2 Ta wartość jest zastępowana przez S 3 Przepisz wzór tak, aby wyodrębnić w 4 Zapisz wzór na obliczenie obwodu prostokąta. Wzór: P = 2 (w + l)
     3. 5 Podstaw wartość obwodu prostokąta do wzoru. Ta wartość jest zastępowana przez P 6 Podziel obie strony równania przez 2. Otrzymasz sumę boków prostokąta, a mianowicie w + l 7 We wzorze zastąp wyrażenie, aby obliczyć w 8 Pozbądź się ułamków. Aby to zrobić, pomnóż obie części równania przez l 9 Ustaw równanie na 0. Aby to zrobić, odejmij wyraz ze zmienną pierwszego rzędu od obu stron równania.
        • W naszym przykładzie:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Uporządkuj warunki równania. Pierwszy element będzie drugim elementem zmiennym, następnie pierwszym elementem zmiennym, a następnie elementem wolnym. Jednocześnie nie zapomnij o znakach („plus” i „minus”), które znajdują się przed członkami. Zauważ, że równanie zostanie zapisane jako równanie kwadratowe.
          • W naszym przykładzie 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • W naszym przykładzie równanie 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Znajdź l 13 Zapisz twierdzenie Pitagorasa. Formuła: a 2 + b 2 = c 2
              • Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ każda przekątna prostokąta dzieli go na dwa równe trójkąty prostokątne. Ponadto boki prostokąta są nogami trójkąta, a przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną trójkąta.
            • 14 Te wartości są zastępowane przez 15 Podnieś długość i szerokość do kwadratu, a następnie dodaj wyniki. Pamiętaj, że podnosząc liczbę do kwadratu, mnożysz ją samą przez siebie.
              • W naszym przykładzie:
                5 2 + 7 2 = do 2 16 Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Użyj kalkulatora, aby szybko znaleźć pierwiastek kwadratowy. Możesz także skorzystać z kalkulatora online. znajdziesz C

                3 Według obszaru i proporcji

                1. 1 Zapisz równanie charakteryzujące stosunek boków. Izoluj l 2 Zapisz wzór na obliczenie pola prostokąta. Formuła: S = l w (na rysunku zastosowano oznaczenie A zamiast S).
                   • Ta metoda ma również zastosowanie, gdy znana jest wartość obwodu prostokąta, ale wtedy trzeba użyć wzoru do obliczenia obwodu, a nie pola. Wzór na obliczenie obwodu prostokąta: P = 2 (w + l)
                2. 3 Podstaw pole prostokąta do wzoru. Ta wartość jest zastępowana przez S 4 Podstaw wyrażenie charakteryzujące stosunek boków do wzoru. W przypadku prostokąta możesz zastąpić wyrażenie, aby obliczyć l 5 Zapisz równanie kwadratowe. Aby to zrobić, otwórz nawiasy i zrównaj równanie do zera.
                   • W naszym przykładzie:
                     35 = w (w + 2) 6 Rozłóż równanie kwadratowe na czynniki. Przeczytaj szczegółowe instrukcje.
                     • W naszym przykładzie równanie 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Znajdź w 8 Zastąp wartość szerokości (lub długości) znalezioną w równaniu charakteryzującym stosunek boków. Możesz więc znaleźć drugą stronę prostokąta.
                       • Na przykład, jeśli obliczyłeś, że szerokość prostokąta wynosi 5 cm, a współczynnik kształtu jest określony równaniem l = w + 2 9 Zapisz twierdzenie Pitagorasa. Formuła: a 2 + b 2 = c 2
                         • Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ każda przekątna prostokąta dzieli go na dwa równe trójkąty prostokątne. Ponadto boki prostokąta są nogami trójkąta, a przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną trójkąta.
                       • 10 Wstaw wartości długości i szerokości do wzoru. Te wartości są zastępowane przez 11 Podnieś długość i szerokość do kwadratu, a następnie dodaj wyniki. Pamiętaj, że podnosząc liczbę do kwadratu, mnożysz ją samą przez siebie.
                         • W naszym przykładzie:
                           5 2 + 7 2 = do 2 12 Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Użyj kalkulatora, aby szybko znaleźć pierwiastek kwadratowy. Możesz także skorzystać z kalkulatora online. Znajdziesz c (displaystyle c) , która jest przeciwprostokątną trójkąta, a więc przekątną prostokąta.
                           • W naszym przykładzie:
                             74 = c 2 (styl wyświetlania 74 = c^(2))
                             74 = c 2 (styl wyświetlania (sqrt (74)) = (sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (styl wyświetlania 8,6024 = c)
                             Zatem przekątna prostokąta, którego długość jest o 2 cm większa niż jego szerokość i którego pole wynosi 35 cm2, wynosi około 8,6 cm.