zasada d'Alemberta dla punktu materialnego. Postać równania ruchu zgodnie z prawami Newtona nie jest jedyna. Równania te można również zapisać w innych postaciach. Jedną z takich możliwości jest zasada d'Alemberta, co formalnie pozwala, aby równania różniczkowe ruchu przybrały postać równań równowagi.

Zasadę tę można uznać za niezależny aksjomat, zastępujący drugie prawo Newtona. Używamy go jako środka do rozwiązywania problemów i wyprowadzamy go z prawa Newtona.

Rozważ ruch punktu materialnego względem inercjalnego układu odniesienia. Za darmowy punkt materialny

mamy: To = = I.

Przenoszenie wektora To po prawej stronie równości stosunek ten można przedstawić jako równanie równowagi: ja - to - 0.

Przedstawiamy koncepcję siły bezwładności. Nazwijmy wektor skierowany przeciwnie do przyspieszenia i równy iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia siła bezwładności punktu materialnego: = -ta.

Korzystając z tej koncepcji, możemy napisać (ryc. 3.42):

• ? ^ + P. "n) = 0. (3.47)

Ryż. 3.42.

za punkt materialny

Równanie (3.47) jest zasadą d'Alemberta dla swobodnego punktu materialnego: jeśli do sił przyłożonych do punktu dodamy siłę bezwładności, to punkt będzie w stanie równowagi.

Ściśle rzecz ujmując, stanowisko to nie jest zasadą d'Alemberta w takiej postaci, w jakiej zostało sformułowane przez autora.

d'Alembert zastanowił się nieswobodny ruch punktu, bez stosowania zasady uwalniania z wiązań, bez wprowadzania reakcji wiązania. Zauważając, że w obecności połączenia przyspieszenie punktu nie pokrywa się w kierunku z siłą i ta FR, przedstawił koncepcję stracił moc p - To i stwierdził, że przyłożenie siły traconej do punktu nie zaburza jego stanu równowagi, ponieważ siła tracona jest równoważona reakcją połączenia.

Relacja (3.47) jest podstawowe równania kinetostatyki, Lub Równanie zasady petersburskiej Hermanna-Eulera. Metodę kinetostatyki można uznać za modyfikację zasady d'Alemberta, w tym dla swobodnego punktu materialnego, co jest wygodniejsze w praktycznym zastosowaniu. Dlatego w większości źródeł literackich równanie (3.47) nazywane jest zasadą d'Alemberta.

Jeśli punkt nie jest wolny, tj. nałożony jest na niego więz, wygodnie jest podzielić siły działające na punkt na aktywne 1 , R°(ustawienie-

podane) i reakcja wiązania CU: p(a) + n =

Technika ta jest wygodna, ponieważ dla niektórych rodzajów wiązań można ułożyć równanie ruchu w taki sposób, aby nie uwzględniać w nim reakcji tych wiązań. Zatem zasadę d'Alemberta dla punktu niewolnego można zapisać jako (ryc. 3.43):

R (a)+/V+ R W) = 0, (3.48)

tj. jeśli siła bezwładności zostanie przyłożona do nieswobodnego punktu materialnego, oprócz sił czynnych i reakcji sprzężenia, wówczas wynikowy układ sił będzie w każdej chwili w równowadze.

Ryż. 3.43.

materialny punkt

A- z angielskiego, aktywny- aktywny. Przypomnijmy, że siły nazywane są aktywnymi, jeśli zachowują swoje wartości po usunięciu wszystkich wiązań.

Rozważając ruch krzywoliniowy punktu, wskazane jest przedstawienie siły bezwładności w postaci dwóch składowych: Г "‘ n) \u003d -ta n- odśrodkowe i W, p) \u003d -ta x - styczna (ryc. 3.44).

Ryż. 3.44.

ruch punktu materialnego

Przypomnijmy, że wyrażenia na przyspieszenie normalne i styczne mają postać: a p -U 2 / p i ja t = s1U D/L

Następnie możesz napisać: P^ t) - -t-p Rp p) - -t-t, lub wreszcie: R

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3,49)

Równość (3.49) wyraża zasadę d'Alemberta dla ruchu krzywoliniowego nieswobodnego punktu.

Rozważmy nić o długości /, na końcu której zamocowany jest punkt masy T. Nić obraca się wokół osi pionowej, opisując stożkową powierzchnię o stałym kącie nachylenia tworzącej A. Wyznacz odpowiednią stałą prędkość ostrza i naprężenie nici T(ryc. 3.45).

Ryż. 3.45.

ruch nieswobodnego punktu materialnego

Tak, ale: /u, /, a = const. Znajdować: TELEWIZJA.

Przyłóżmy do punktu siły bezwładności skierowane przeciwnie do odpowiednich składowych przyspieszenia. Zauważ, że styczna siła bezwładności wynosi zero, ponieważ z warunku prędkość jest stała:

/1°") = -ta = -t-= Och

a siła odśrodkowa bezwładności jest określona przez wyrażenie P^ m) \u003d mU 2 /p, gdzie p = /Bta.

Zastosowanie zasady d'Alemberta do tego problemu pozwala zapisać równanie ruchu badanego punktu materialnego w postaci warunku równowagi sił zbieżnych: T? + T + Pp n) = 0.

W tym przypadku wszystkie równania równowagi obowiązują w rzucie na naturalne osie współrzędnych:

X^n=0, - FJ" 1+ Cyna = 0; ^ F godz = 0, - mg + T cosa = 0,

+ T grzech =

-mg + T cosa = 0,

gdzie znajdziemy T= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

Zasada d'Alemberta dla układu punktów materialnych. Rozważmy ruch mechanicznego układu punktów materialnych. Podobnie jak w przypadku wycofania OZMS, siły przyłożone do każdego punktu dzielimy na zewnętrzne i wewnętrzne (ryc. 3.46).

Ryż. 3.46.

Niech ' będzie wypadkową sił zewnętrznych przyłożonych do /-tego punktu, a /G (L - wypadkową sił wewnętrznych przyłożonych do tego samego punktu. Zgodnie z zasadą d'Alemberta siły bezwładności należy przyłożyć do każdego materiału punkt systemu: Рр n) = -т,а г

Wtedy siły przyłożone do każdego punktu układu spełniają zależność:

1?E) + pY) + p0n)

te. układ punktów materialnych będzie w równowadze, jeśli do każdego z jego punktów zostanie przyłożona dodatkowa siła bezwładności. Zatem za pomocą zasady d'Alemberta można nadać równaniom ruchu układu postać równań równowagi.

Wyraźmy kinetostatyczne warunki równowagi układu za pomocą statycznych odpowiedników sił bezwładności i sił zewnętrznych. W tym celu sumujemy wszystko P równania (A), opisujące siły przyłożone do poszczególnych punktów układu. Następnie obliczamy momenty wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych oraz sił bezwładności przyłożonych do poszczególnych punktów względem dowolnego punktu O:

g za X R "E> + g za X /*") + g a X Pt > =0. і = 1,2,..., ".

Następnie podsumowujemy, w wyniku czego otrzymujemy

// str. str

'(MI) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M ( 0 mi) + M ( 0 n + M% a) = 0.

Ponieważ K ja)= 0 i M 1 0 p = 0, ostatecznie mamy:

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M (a E) + M('n) = 0.

Z układu równań (3.50) widać, że główny wektor sił bezwładności jest równoważony przez główny wektor sił zewnętrznych, a główny moment sił bezwładności względem dowolnego punktu jest równoważony przez główny moment sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

Podczas rozwiązywania problemów konieczne jest posiadanie wyrażeń na główny wektor i główny moment sił bezwładności. Wielkości i kierunki tych wektorów zależą od rozkładu przyspieszeń poszczególnych punktów i ich mas. Z reguły bezpośrednia definicja ja (sz) I M ( "" ] sumowanie geometryczne można wykonać stosunkowo prosto tylko wtedy, gdy P - 2 lub P= 3. Jednocześnie w zadaniu ruchu bryły sztywnej można wyrazić statyczne równoważniki sił bezwładności w pewnych szczególnych przypadkach ruchu w zależności od charakterystyk kinematycznych.

Główny wektor i główny moment sił bezwładności ciała sztywnego w różnych przypadkach ruchu. Zgodnie z twierdzeniem o ruchu środka masy t z c \u003d I (E). Zgodnie z zasadą d'Alemberta mamy: ja (1P) + ja (e) = Och, gdzie znajdziemy: ja "1P) = -t z z. Tak więc przy każdym ruchu ciała główny wektor sił bezwładności jest równy iloczynowi masy ciała i przyspieszenia środka masy i jest skierowany przeciwnie do przyspieszenia środka masy(ryc. 3.47).

Ryż. 3.47.

Wyraźmy główny moment sił bezwładności podczas ruchu obrotowego ciała wokół ustalonej osi prostopadłej do płaszczyzny materialnej symetrii ciała (ryc. 3.48). Siły bezwładności przyłożone do / -punktu: R"! n) = m,x op; 2 i R? P)= /u,ep,.

Ponieważ wszystkie siły odśrodkowe bezwładności przecinają oś obrotu, główny moment tych sił bezwładności wynosi zero, a główny moment stycznych sił bezwładności wynosi:

m t =?_ C\u003e P. (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - J z (3.51)

Zatem moment główny stycznych sił bezwładności względem osi obrotu jest równy iloczynowi momentu bezwładności względem tej osi i przyspieszenia kątowego, a zwrot głównego momentu sił stycznych bezwładności jest przeciwny do kierunek przyspieszenia kątowego.

Ryż. 3.48.

o osi obrotu

Następnie wyrażamy siły bezwładności dla ruchu ciała w płaszczyźnie równoległej. Rozważając ruch płasko-równoległy ciała (ryc. 3.49) jako sumę ruchu postępowego razem ze środkiem masy i obracać się oś przechodząca przez środek masy prostopadle do płaszczyzny ruchu, można udowodnić, że w obecności płaszczyzny symetrii materiału pokrywającej się z płaszczyzną ruchu środka masy siły bezwładności w ruchu płasko-równoległym są równoważne wektorowi głównemu / ? (" p) przyłożony do środka masy jest przeciwny do przyspieszenia środka masy, a główny moment sił bezwładności M^ n) względem osi środkowej, prostopadłej do płaszczyzny ruchu, skierowanej w kierunku przeciwnym do przyspieszenia kątowego:

Ryż. 3.49.

Notatki.

• 1. Zauważ, że skoro pozwala na to zasada d’Alemberta wystarczy zapisać równanie ruchu w postaci równania równowagi, wtedy nie daje żadnych całek równania ruchu.
• 2. Podkreślamy to siła bezwładności w zasadzie d'Alemberta jest fikcyjna szarość, stosowane oprócz sił działających wyłącznie w celu uzyskania układu równowagi. Jednak w przyrodzie istnieją siły, które są geometrycznie równe siłom bezwładności, ale siły te są przyłożone do innych (przyspieszających) ciał, w interakcji z którymi powstaje siła przyspieszająca, przyłożona do rozważanego poruszającego się ciała. Na przykład, przesuwając punkt zamocowany na nitce obracającej się ze stałą prędkością wokół okręgu w płaszczyźnie poziomej, naprężenie nici jest dokładnie równe siła bezwładności, te. siła reakcji punktu na nitkę, podczas gdy punkt porusza się pod działaniem reakcji nici na niego.
• 3. Jak już wykazano, powyższa postać zasady d'Alemberta różni się od tej stosowanej przez samego d'Alemberta. Zastosowana tutaj metoda zestawiania równań różniczkowych ruchu układu została opracowana i rozszerzona przez wielu naukowców z Petersburga i otrzymała nazwę metoda kinetostatyczna.

Zastosowanie metod mechaniki do wybranych zagadnień dynamiki pojazdów szynowych:

? ruch pojazdu szynowego po zakrzywionym torze. Obecnie, dzięki możliwościom techniki komputerowej, analiza wszystkich zjawisk mechanicznych zachodzących podczas ruchu pojazdu szynowego po łuku prowadzona jest z wykorzystaniem dość złożonego modelu uwzględniającego cały zbiór poszczególnych brył układu oraz cechy połączeń między nimi. Takie podejście umożliwia uzyskanie wszystkich niezbędnych charakterystyk kinematycznych i dynamicznych ruchu.

Jednak analizując wyniki końcowe i dokonując wstępnych szacunków w literaturze technicznej dość często spotyka się pewne wypaczenia niektórych koncepcji mechaniki. Dlatego warto mówić o najbardziej „oryginalnych podstawach” stosowanych przy opisywaniu ruchu załogi po łuku.

Przedstawmy kilka opisów matematycznych rozpatrywanych procesów w elementarnym sformułowaniu.

Dla prawidłowego, spójnego wyjaśnienia cech stacjonarny ruch załogi na krzywej kołowej konieczne jest:

• wybrać metodę mechaniki zastosowaną do opisu tego ruchu;
• wychodzić z jasnego, z punktu widzenia mechaniki, pojęcia „siły”;
• nie zapomnij o prawie równości akcji i reakcji.

Proces poruszania się załogi po łuku nieuchronnie pociąga za sobą zmianę kierunku prędkości. Charakterystyką prędkości tej zmiany jest przyspieszenie normalne skierowane do środka krzywizny trajektorii krzywoliniowej środka masy: a p - V 2/p, gdzie p jest promieniem krzywej.

Podczas ruchu pojazd oddziałuje z torem kolejowym, w wyniku czego na zestawy kołowe działają siły reakcji normalne i styczne. Oczywiście na szyny działają równe i przeciwne siły nacisku. Zgodnie z powyższymi koncepcjami mechanicznymi siła jest rozumiana jako wynik oddziaływania ciał lub ciała i pola. W rozważanym problemie występują dwa układy fizyczne: wagon z zestawami kołowymi oraz tor kolejowy, dlatego sił należy szukać w miejscach ich styku. Ponadto interakcja załogi i ziemskiego pola grawitacyjnego tworzy grawitację.

Opis ruchu załogi na krzywej można wykonać za pomocą ogólne twierdzenia dynamiki, które są konsekwencją OZMS lub na podstawie zasady mechaniki(na przykład zasada d'Alemberta), która jest podstawą metoda kinetostatyczna.

Chcąc wyjaśnić równe cechy metod uwzględniania krzywizny osi toru na charakterystyce ruchu załogi, najpierw stosujemy najprostszy wyidealizowany model. Załoga będzie traktowana jako materialny samolot o masie równej masie tego układu.

Leżący w tej płaszczyźnie środek masy wykonuje zadany ruch po trajektorii zgodnej z osią toru z prędkością w. Kontakt z torem odbywa się w dwóch punktach przecięcia poruszającej się płaszczyzny z nitkami szyny. Dlatego mówiąc o oddziaływaniu pojazdu z torem, możemy mówić o siłach skupionych, które są wypadkową wszystkich reakcji szyn na poszczególne zestawy kołowe z każdej z szyn. Ponadto charakter występowania sił reakcji jest nieistotny;

? ruch wagonu po torze bez podniesienia szyny zewnętrznej. na ryc. 3.50 pokazuje schemat projektu załogi poruszającej się po zakrzywionej ścieżce. W tym przypadku szyny zewnętrzne i wewnętrzne znajdują się na tym samym poziomie. na ryc. 3.50 pokazuje siły działające na załogę i reakcje wiązań. Podkreślamy, że nie ma w tym schemacie nie ma rzeczywistych sił odśrodkowych.

W ramach mechaniki geometrycznej Newtona ruch pojazdu po krzywej opisują ogólne twierdzenia dynamiki układu.

W tym przypadku, zgodnie z twierdzeniem o ruchu środka masy,

t c a c - ja a), (a)

gdzie R) jest głównym wektorem sił zewnętrznych.

Rzutowanie obu części wypowiedzi (A) na towarzyszących naturalnych osiach współrzędnych, których środek znajduje się w środku masy pojazdu, o wektorach jednostkowych m, i, B i uwierz ts = T.

W projekcji na główną normalną otrzymujemy że n \u003d fa n, Lub

mV / p \u003d Fn (b)

Gdzie F przym - prawdziwa moc reakcje szyn na zestawy kołowe, które są sumą rzutów reakcji szyn na normalną do trajektorii. Mogą to być ukierunkowane siły nacisku szyn na obrzeża kół. W tym kierunku nie działają żadne inne siły zewnętrzne.

W projekcji ekspresyjnej (A) na dwunormalnym otrzymujemy:

O = -mg+Nout+N Zajazd. (Z)

Tutaj indeksy na zewnątrz 1 odpowiadają zewnętrznemu, a Zajazd- wewnętrzna szyna krzywej. Lewa strona w wyrażeniu (c) jest równa zeru, ponieważ rzut przyspieszenia na dwunormalną jest równy zeru.

Trzecie równanie otrzymujemy korzystając z twierdzenia o zmianie momentu pędu względem środka masy:

dK do /dt = ^M do . (D)

Projektowanie wypowiedzi D na osi t, gdzie t = nxb - iloczyn wektorowy wektorów jednostkowych P I B, biorąc pod uwagę, że KCl\u003d U St z t, U St - moment bezwładności załogi wokół osi stycznej do trajektorii środka masy, będziemy mieli

Ja za *i=NJS-N m S + F K H = 0, (mi)

ponieważ przyspieszenie kątowe wokół osi m w ruchu ustalonym wzdłuż krzywej kołowej wynosi zero.

wyrażenia ( B), (c) i (mi) są układem liniowych równań algebraicznych dla trzech nieznanych wielkości M-tp> rozwiązując które otrzymujemy:

Ryż. 3,50.

Konsekwentne stosowanie ogólnych twierdzeń dynamiki pozwala zatem na ustalenie w rozważanym problemie wszystkich zjawisk związanych z przejazdem załogi po krzywoliniowym odcinku toru.

W rzeczywistości na oba koła działają siły skierowane wewnątrz zakrętu. Wypadkowa tych sił tworzy moment wokół środka masy pojazdu, który może spowodować obrót, a nawet wychylenie się poza zakręt, jeśli V 2 N/p5" > G. Działanie tej siły prowadzi do zużycia kół. Oczywiście przeciwnie skierowana siła działająca na szynę -R str powoduje zużycie szyn.

Zauważ, że w powyższym stwierdzeniu można znaleźć tylko wypadkową poziomych reakcji dwóch szyn R. Aby określić rozkład tej siły między szynami wewnętrzną i zewnętrzną, konieczne jest rozwiązanie problemu statycznie niewyznaczalnego za pomocą dodatkowych warunków. Ponadto podczas ruchu wózka reakcje normalne szyny zewnętrznej i wewnętrznej mają różne wartości. Zewnętrzny gwint szyny jest bardziej obciążony.

Reakcja gwintu wewnętrznego na pojazd jest mniejsza i przy określonej prędkości może być nawet równa zeru.

W mechanice klasycznej stan ten nazywa się przewracanie się, chociaż tak naprawdę nie ma jeszcze żadnego najazdu. Aby dowiedzieć się, kiedy następuje rzeczywisty stan przewrócenia, należy rozważyć obrót samochodu wokół osi równoległej do m i przechodzącej przez punkt styku koła z szyną zewnętrzną w punkcie ? T F 0. Takie zadanie ma charakter czysto akademicki, ponieważ oczywiście niedopuszczalne jest doprowadzenie prawdziwego systemu do takiego stanu.

Jeszcze raz podkreślamy, że wyjaśniając wszystkie zjawiska, wychodziliśmy z faktu ruch samochodu pod działaniem tylko sił rzeczywistych.

Należy zauważyć, że równanie różniczkowe obrotu wokół osi m, nawet w punkcie = 0, jest zapisane względem osi centralnej m. Wybór tej osi w innym punkcie prowadzi do zmiany postaci lewej strony równania twierdzenie o momencie. Dlatego nie da się np. zapisać tego równania w tej samej postaci względem osi przechodzącej przez punkt styku koła z szyną, choć wydawałoby się, że łatwiej byłoby znaleźć wartość reakcji normalnych w tym przypadku. Jednak takie podejście doprowadzi do błędnego wyniku: Ja osz \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Można wykazać, że chodzi o to, że równanie obrotu wokół osi przechodzącej np. przez punkt DO, należy zapisać uwzględniając moment pędu ciała z translacyjnej części ruchu g x x ta s: J kl? t+ T(g ks xx d)=^ M Kh.

Dlatego zamiast równania (c) w rzucie na oś St otrzymujemy wyrażenie

(8 )

/ Św. t+ t[g ks X c) t = -teB + N ipp 25,

gdzie w nawiasach jest wartość rzutu na oś St iloczynu wektorowego ? ks ha s.

Pokażmy, że sukcesywne wdrażanie niezbędnych procedur pozwala nam znaleźć południowy zachód z otrzymanego równania). z ryc. 3,50 to pokazuje

g ks - bp + Hbr I a c =

Obliczmy iloczyn wektorowy:

Bierze się tutaj pod uwagę, że php = 0 I bxn = - t. Dlatego

tNU 2

2L g/l 5',

gdzie znajdujemy reakcję szyny wewnętrznej:

co jest tożsame z wynikiem uzyskanym w wyrażeniu (/).

Podsumowując prezentację problemu, zwracamy uwagę, że rozpatrzenie samochodu w ruch zastosowanie Newtonowskich metod mechaniki geometrycznej pozwala rozwiązać problem bez wprowadzania fikcyjności i tej inercji. Konieczne jest jedynie prawidłowe stosowanie wszystkich przepisów mechaniki. Należy jednak zaznaczyć, że zastosowanie tej metody może wiązać się z większą ilością obliczeń niż np. zastosowanie zasady d'Alemberta.

Pokażmy teraz, jak rozwiązuje się ten sam problem w oparciu o zastosowanie zasady d'Alemberta w ogólnie przyjętej postaci metody kinetostatycznej. W takim przypadku konieczne jest zastosowanie dodatkowego

gwintowanie fikcyjny siła bezwładności: G* = -ta sp = -T-P. i eki-

strona przystanki, tj. teraz przyspieszenie jego środka masy c= 0. Na ryc. 3.51 pokazuje takie układ spoczynkowy. Wszystkie przyłożone do niego siły, w tym siła bezwładności, muszą spełniać równania kinetostatyczne równowaga, a nie ruch, jak w poprzednim przypadku.

Ta okoliczność pozwala nam znaleźć wszystkie nieznane ilości z równanie równowagi. W tym przypadku wybór postaci równań równowagi i punktów, względem których obliczane są momenty, staje się dowolny. Ta ostatnia okoliczność pozwala nam znaleźć wszystkie niewiadome niezależnie od siebie:

I M. = o I M,_= och

-n = około.

1 Na poseł

Ryż. 3.51. Schemat konstrukcyjny sił działających na załogę w takich samych warunkach jak na rys. 3,50 przy zastosowaniu zasady d'Alemberta

Łatwo zauważyć, że rozwiązania tego układu równań pokrywają się z odpowiednimi wzorami otrzymanymi za pomocą teorii dynamiki. Zatem w rozważanym przykładzie zastosowanie zasady d'Alemberta pozwoliło nieco uprościć rozwiązanie problemu.

Jednak interpretując wyniki należy mieć na uwadze, że dodatkowo przyłożona siła bezwładności jest fikcją w tym sensie, że w rzeczywistości na załogę nie działa taka siła. Dodatkowo siła ta nie spełnia trzeciego prawa Newtona – nie ma „drugiego końca” tej siły, tj. brak opozycji.

Ogólnie rzecz biorąc, przy rozwiązywaniu wielu problemów mechaniki, w tym problemu poruszania się załogi po łuku, wygodnie jest zastosować zasadę d'Alemberta. Nie należy jednak kojarzyć z nim żadnych zjawisk działanie ta siła bezwładności. Na przykład powiedzieć, że ta siła odśrodkowa bezwładności dodatkowo obciąża szynę zewnętrzną i odciąża szynę wewnętrzną, a ponadto, że ta siła może spowodować przewrócenie się pojazdu. To jest nie tylko analfabetyzmem, ale i bez sensu.

Przypomnijmy jeszcze raz, że zewnętrznymi siłami przyłożonymi działającymi na wagon na łuku i zmieniającymi stan jego ruchu są grawitacyjne, pionowe i poziome reakcje szyn;

? ruch wózka po łuku z podniesieniem szyny zewnętrznej. Jak wykazano, procesy zachodzące podczas przejazdu pojazdu przez zakręty bez podniesienia szyny zewnętrznej wiążą się z niepożądanymi konsekwencjami – nierównomiernym obciążeniem pionowym szyn, znaczną normalną poziomą reakcją szyny na koło, której towarzyszy zwiększone zużycie zarówno kół, jak i szyn, możliwość wywrócenia się po przekroczeniu prędkości, ruch o określony limit itp.

W dużej mierze nieprzyjemnych zjawisk towarzyszących pokonywaniu zakrętów można uniknąć podnosząc szynę zewnętrzną nad wewnętrzną. W takim przypadku wózek będzie toczył się po powierzchni stożka pod kątem nachylenia tworzącej do osi poziomej (ryc. 3.52): f L \u003d arcsin (L / 25) lub pod małymi kątami

Fa * L/2 S.

Ryż. 3.52.

z elewacją poręczy zewnętrznej

W przypadku stacjonarnym, kiedy V- const i φ A = const, możemy rozpatrywać ruch płaskiego odcinka wózka we własnej płaszczyźnie w taki sam sposób, jak przy wpasowywaniu się w zakręt bez podnoszenia zewnętrznej szyny.

Rozważ technikę rozwiązania problemu za pomocą ogólnych twierdzeń o dynamice. Przyjmiemy, że środek masy pojazdu porusza się po łuku kołowym o promieniu p, chociaż w rozpatrywanym przypadku promień krzywizny osi toru jest różny od promienia krzywizny trajektorii środka masy o niewielką ilość:

H grzech por. L ~ H daleko.

Dlatego w porównaniu z p tę drugą wartość można pominąć. Ruch „płaskiego odcinka” załogi będzie przypisany osiom towarzyszącym SuSi x(patrz ryc. 3.52), gdzie oś Su] równolegle do płaszczyzny toru. Przy stałej prędkości ruchu rzut przyspieszenia środka masy na główną normalną trajektorii jego ruchu można zapisać w taki sam sposób, jak podczas poruszania się po krzywej bez elewacji, tj. str = V I/R.

Rzuty przyspieszenia na oś Su, i Cz^ są równe odpowiednio:

a ux = a p sovf,; I. \u003d a „smy h.

Równania ruchu przekroju płaskiego oparte na twierdzeniu o ruchu środka masy i twierdzeniu o zmianie momentu pędu względem osi Cx są następujące:

Biorąc pod uwagę, że = 0, po podstawieniu otrzymujemy układ trzech liniowych równań algebraicznych z trzema niewiadomymi F vi, N iw, N (zero:

/i-si Pf l = -mg cosV/ , + N min + N na zewnątrz; P

-z A = mgr ipf A + F ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Należy zwrócić uwagę, że nachylenie płaszczyzny osi toru spowodowane uniesieniem szyny zewnętrznej prowadzi do zmiany rzutu przyspieszenia środka masy na oś Cy i Cr, co wiąże się ze zmianą reakcje szyn w porównaniu z reakcjami przy braku wzniesienia, kiedy A. - 0, a l Te zmiany rzutów przyspieszeń można wyjaśnić, jeśli obrót pojazdu wokół dwunormalnej przechodzącej przez środek krzywizny krzywej uznamy za sumę geometryczną dwóch obrotów ω = ω (+ b) wokół osi?, y, przechodząc przez ten sam środek krzywej.

Podczas kompilowania układu równań (Do) nie przewidziano małej wartości kąta cp L. Jednak w praktycznym projekcie

wtf A ~ /g/25.

Zatem w przypadku małego f L układ równań do wyznaczania reakcji toru na pojazd ma postać:

= -g^+ LG,„ + M gsh,;

T- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Rozwiązując te równania, otrzymujemy:

N...... =

mg + TU/G

pt/77 k I /77 „

• - +--+-N
• 2r 25 25

W szczególnym przypadku, gdy nie ma wysokości (I= 0), wyrażenia te pokrywają się z uzyskanymi wcześniej (/).

Przejdźmy teraz do analizy wyników rozwiązania problemu dla JEŚLI 0.

Należy zauważyć, że w tym przypadku reakcja poprzeczna szyny skierowana w płaszczyźnie toru maleje. Wyjaśnia to fakt, że w powstawaniu przyspieszenia środka masy w kierunku osi Su bierze udział nie tylko siła //, ale także składowa grawitacji. Co więcej, za określoną wartość I\u003d 25 tys. 2 / p? siła R staje się zerem:

Mając na uwadze

t g - T,= X A,%>+ X A[

• (3.42)

Wartość w nawiasach nazywa się wybitne przyspieszenie. Stan kiedy P = 0 odpowiada przypadkowi, w którym przyspieszenie normalne A powstaje tylko przez rzut na oś d> siły grawitacji załogi.

Omawiając rozważany problem, czasami pojawia się sofistyczne rozumowanie, że przyspieszenie str jest skierowana poziomo, a grawitacja jest pionowa (patrz ryc. 3.52), a zatem nie może utworzyć rozważanego przyspieszenia str Na R= 0. To rozumowanie zawiera błąd, ponieważ w powstawaniu przyspieszenia poziomego oprócz siły R, uczestniczą również reakcje normalne D r w u i / V o r. Suma tych dwóch reakcji przy małej f A jest równa 1H tp + 1U oig \u003d mg. Dlatego grawitacja nadal uczestniczy w tworzeniu przyspieszenia poziomego p, ale poprzez działanie reakcji Nm I S oiG

Omówmy teraz, jak zmieniają się reakcje normalne szyn prostopadłych do powierzchni toru.

Zauważmy, że w przeciwieństwie do przypadku /7 = 0 reakcje rosną o tę samą wartość WT 2 I/2r28, który jest zaniedbany, ponieważ ///25 - wartość jest niewielka. Jednak w rygorystycznym rozumowaniu pomiń ten termin dla wyrażeń i Północny zachód nie rób tego.

Kiedy - > -2-, tj. z dodatnim wybitnym przyspieszeniem, s. 25

reakcja szyny wewnętrznej jest mniejsza niż zewnętrznej, jednak różnica między nimi nie jest tak znacząca jak w przypadku I = 0.

Jeśli wybitne przyspieszenie jest równe zeru, wartości reakcji stają się równe IV oSH = mg|2(dla małych I), te. podwyższenie szyny zewnętrznej pozwala nie tylko uzyskać RU= 0, ale także wyrównać nacisk na szynę zewnętrzną i zewnętrzną. Okoliczności te umożliwiają osiągnięcie bardziej równomiernych wartości zużycia dla obu szyn.

Jednak ze względu na podniesienie szyny zewnętrznej istnieje możliwość wartości ujemnej R”, co w rzeczywistym układzie z więzami nieoporowymi odpowiada procesowi przesuwania pojazdu wzdłuż osi y g te. wewnątrz krzywej. Z powodu tego samego nachylenia ścieżki może wystąpić redystrybucja reakcji Północny zachód I nie, och! dominujący M sh.

Tym samym badania ruchu pojazdu po łuku po torze z podniesieniem szyny zewnętrznej, prowadzone metodami mechaniki geometrycznej Newtona, umożliwiają analizę stanu układu bez dodatkowych hipotez terminologicznych. W rozumowaniu nie występują siły bezwładności.

Rozważmy teraz, jak opisuje się ruch wózka po tej samej krzywej za pomocą zasady d'Alemberta.

Stosując tę ​​zasadę przy formułowaniu metody kinetostatyki w taki sam sposób jak w poprzednim przypadku, konieczne jest przyłożenie normalnej (odśrodkowej) siły bezwładności do środka masy Є n), skierowany w kierunku przeciwnym do normalnego przyspieszenia (ryc. 3.53):

W której system Ponownie przystanki, tj. załoga nie porusza się po torze. Dlatego wszystkie równania równowagi kinetostatycznej są ważne:

I Do= °-X r* = O.

/L^ypf, - G'str sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Podstawiając tutaj wartość, otrzymujemy ten sam układ równań, co układ (/) dla dowolnego f / (lub (Do) przy małym I.

Zatem zastosowanie obu metod prowadzi do dokładnie takich samych wyników. Układ równań ( Do) i układ otrzymany na podstawie zasady d'Alemberta są identyczne.

Należy jednak pamiętać, że w ostateczne wyniki nie uwzględniają żadnych sił bezwładności. Jest to zrozumiałe, ponieważ zasada d'Alemberta, która leży u podstaw metody kinetostatyki, jest tylko sposób zestawiania różniczkowych równań ruchu układu. Jednocześnie widzimy, że w rozważanym problemie zastosowanie zasady d'Alemberta umożliwiło uproszczenie obliczeń i może być zalecane do obliczeń praktycznych.

Jednak jeszcze raz podkreślamy, że w rzeczywistości nie ma siły WT 2/p przyłożony do środka masy poruszającego się pojazdu. Dlatego wszystkie zjawiska związane z ruchem po krzywej należy wyjaśnić tak, jak to uczyniono na podstawie analizy wyników rozwiązania układu (/), czyli (Do).

Podsumowując, zwracamy uwagę, że „metoda Newtona” i „metoda D'Alemberta” w rozważanym problemie zostały użyte tylko w celu zestawiania różniczkowych równań ruchu. Jednocześnie w pierwszym etapie nie otrzymujemy żadnych informacji poza samymi równaniami różniczkowymi. Późniejsze rozwiązanie otrzymanych równań i przeprowadzona analiza nie są związane ze sposobem uzyskania samych równań.

Ryż. 3.53.

• na zewnątrz- z angielskiego, zewnętrzny- zewnętrzny.
• Zajazd- z angielskiego, wewnętrzny- wnętrze.
• Zajazd- z angielskiego, wewnętrzny- wnętrze.

zasada d'Alemberta

Główne dzieło Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Traktat o dynamice" - ukazał się w 1743 r.

Pierwsza część traktatu poświęcona jest konstrukcji statyki analitycznej. Tutaj d'Alembert formułuje „podstawowe zasady mechaniki”, wśród których są „zasada bezwładności”, „zasada dodawania ruchów” i „zasada równowagi”.

„Zasada bezwładności” jest sformułowana oddzielnie dla przypadku spoczynku i przypadku ruchu jednostajnego prostoliniowego. „Siła bezwładności — pisze d'Alembert — ja wraz z Newtonem nazywam właściwość ciała utrzymywania stanu, w jakim się ono znajduje”.

„Zasada dodawania ruchów” to prawo dodawania prędkości i sił zgodnie z zasadą równoległoboku. Opierając się na tej zasadzie, d'Alembert rozwiązuje problemy statyki.

„Zasada równowagi” jest sformułowana w postaci następującego twierdzenia: „Jeżeli dwa ciała poruszające się z prędkościami odwrotnie proporcjonalnymi do ich mas mają przeciwne kierunki, tak że jedno ciało nie może się poruszać bez przesunięcia z miejsca na drugie, to ciała te będą w równowadze ". W drugiej części Traktatu d'Alembert zaproponował ogólną metodę zestawiania różniczkowych równań ruchu dla dowolnych układów materialnych, opartą na sprowadzeniu zagadnienia dynamiki do statyki. Sformułował on dla dowolnego układu punktów materialnych regułę, zwaną później „zasadą d'Alemberta”, zgodnie z którą siły przyłożone do punktów układu można rozłożyć na „działające”, to znaczy takie, które powodują przyspieszenie systemu i „stracone”, niezbędne dla równowagi systemu. d'Alembert uważa, że ​​siły odpowiadające „utraconemu” przyspieszeniu tworzą taką kombinację, która nie wpływa na rzeczywiste zachowanie układu. Innymi słowy, jeśli do układu zostanie przyłożony tylko zestaw „utraconych” sił, wówczas układ pozostanie w spoczynku. Współczesne sformułowanie zasady d'Alemberta zostało podane przez ME Żukowskiego w jego „Kursie mechaniki teoretycznej”: „Jeśli w dowolnym momencie system jest zatrzymany, porusza się, a my dodajemy do niego oprócz jego jazdy sił bezwładności, czyli wszystkich sił bezwładności odpowiadających danemu punktowi w czasie, to zostanie zachowana równowaga, natomiast wszystkie siły nacisku, napięcia itp. rozwijające się między częściami układu w takiej równowadze, będą siłami rzeczywistymi ciśnienie, napięcie itp., gdy układ porusza się w rozważanym momencie czasu”. Należy zauważyć, że sam d'Alembert, przedstawiając swoją zasadę, nie odwołał się ani do pojęcia siły (zważywszy, że nie jest ono na tyle jasne, aby znaleźć się w wykazie podstawowych pojęć mechaniki), a tym bardziej do pojęcia siły bezwładności. Przedstawienie zasady d'Alemberta za pomocą terminu „siła" należy do Lagrange'a, który w swojej „Mechanice analitycznej" dał jej analityczny wyraz w postaci zasady możliwych przemieszczeń. Był to Joseph Louis Lagrange (1736-1813) i zwłaszcza Leonardo Euler (1707-1783), który odegrał zasadniczą rolę w ostatecznym przekształceniu mechaniki w mechanikę analityczną.

Mechanika analityczna punktu materialnego i dynamika ciała sztywnego Eulera

Leonarda Eulera- jeden z najwybitniejszych uczonych, którzy w XVIII wieku wnieśli wielki wkład w rozwój nauk fizycznych i matematycznych. Jego prace uderzają wnikliwością myśli badawczej, uniwersalnością talentu i ogromną ilością pozostawionego dziedzictwa naukowego.

Już w pierwszych latach swojej działalności naukowej w Petersburgu (Euler przybył do Rosji w 1727 r.) opracował program wielkiego i wszechstronnego cyklu prac w dziedzinie mechaniki. Dodatek ten znajduje się w jego dwutomowej pracy „Mechanika lub nauka o ruchu, podana analitycznie” (1736). Mechanika Eulera była pierwszym systematycznym kursem mechaniki Newtona. Zawierała ona podstawy dynamiki punktu – przez mechanikę Euler rozumiał naukę o ruchu, w przeciwieństwie do nauki o równowadze sił, czyli statyce. Cechą charakterystyczną „Mechaniki” Eulera było szerokie zastosowanie nowego aparatu matematycznego – rachunku różniczkowego i całkowego. Charakteryzując krótko główne prace z mechaniki, które pojawiły się na przełomie XVII i XVIII wieku, Euler zwrócił uwagę na syn-tethiko-geometryczny styl ich pracy, który stworzył wiele pracy dla czytelników. W ten sposób powstały Elementy Newtona i późniejsza Foronomia (1716) J. Hermana. Euler zwraca uwagę, że dzieła Hermanna i Newtona są stwierdzone „zgodnie ze zwyczajem starożytnych za pomocą syntetycznych dowodów geometrycznych” bez użycia analizy, „tylko dzięki którym można osiągnąć pełne zrozumienie tych rzeczy”.

Metoda syntetyczno-geometryczna nie miała charakteru uogólniającego, lecz wymagała z reguły konstrukcji indywidualnych dotyczących każdego zadania z osobna. Euler przyznaje, że po przestudiowaniu „Foronomii” i „Początków”, jak mu się wydawało, „dość jasno rozumiał rozwiązania wielu problemów, ale nie mógł już rozwiązywać problemów, które w pewnym stopniu od nich odbiegały”. Następnie próbował „wyizolować analizę tej metody syntetycznej i analitycznie wykonać te same propozycje dla własnej korzyści”. Euler zauważa, że ​​dzięki temu znacznie lepiej zrozumiał istotę zagadnienia. Opracował całkowicie nowe metody badania problemów mechaniki, stworzył jej aparat matematyczny i znakomicie zastosował go do wielu złożonych problemów. Dzięki Eulera geometria różniczkowa, równania różniczkowe i rachunek wariacyjny stały się narzędziami mechaniki. Metoda Eulera, rozwinięta później przez jego następców, była jednoznaczna i adekwatna do tematu.

Praca Eulera nad dynamiką ciała sztywnego „Teoria ruchu ciał sztywnych” ma obszerne wprowadzenie do sześciu sekcji, w których ponownie zarysowano dynamikę punktu. We wstępie wprowadzono szereg zmian: w szczególności równania ruchu punktu są zapisywane za pomocą rzutu na oś ustalonych współrzędnych prostokątnych (a nie na styczną, główną normalną i normalną, czyli oś nieruchomego naturalnego trójścianu związanego z punktami trajektorii, jak w „Mechanice”).

„Traktat o ruchu ciał sztywnych” po wstępie składa się z 19 rozdziałów. Traktat oparty jest na zasadzie d'Alemberta. Krótko omawiając ruch postępowy ciała sztywnego i wprowadzając pojęcie środka bezwładności, Euler uwzględnia obroty wokół ustalonej osi i wokół ustalonego punktu Oto wzory na rzuty chwilowej prędkości kątowej, przyspieszenia kątowego na osie współrzędnych, stosuje się tzw. opisano bezwładność, po czym Euler przechodzi do dynamiki ciała sztywnego właściwego. Wyprowadza równania różniczkowe dla obrotu ciała ciężkiego wokół jego nieruchomego środka ciężkości w przy braku sił zewnętrznych i rozwiązuje je dla prostego szczególnego przypadku. W ten sposób powstał dobrze znany i równie ważny w teorii żyroskopu problem dotyczący obrotu bryły sztywnej wokół stałego punktu. Euler zajmował się także teorią budowy statków, w ujęciu hydro- i aeromechaniki, balistyki, teoria stabilności i teoria małych drgań, mechanika nieba itd.

Osiem lat po opublikowaniu Mechaniki Euler wzbogacił naukę o pierwsze precyzyjne sformułowanie zasady najmniejszego działania. Sformułowanie zasady najmniejszego działania, które należało do Maupertuisa, było jeszcze bardzo niedoskonałe. Pierwsze naukowe sformułowanie tej zasady należy do Eulera. Sformułował swoją zasadę w następujący sposób: całka ma najmniejszą wartość dla rzeczywistej trajektorii, jeśli weźmiemy pod uwagę

ostatnia z grupy możliwych trajektorii, które mają wspólną pozycję początkową i końcową i są realizowane z tą samą wartością energii. Euler dostarcza swojej zasadzie dokładnego wyrażenia matematycznego i rygorystycznego uzasadnienia jednego punktu materialnego, testuje działanie sił centralnych. W latach 1746-1749 s. Euler napisał kilka artykułów na temat figur równowagi elastycznej nici, w których zasadę najmniejszego działania zastosowano do problemów, w których działają siły sprężyste.

W ten sposób do 1744 roku mechanika została wzbogacona o dwie ważne zasady: zasadę d'Alemberta i zasadę najmniejszego działania Maupertuisa-Eulera. W oparciu o te zasady Lagrange zbudował system mechaniki analitycznej.

Gdy punkt materialny się porusza, jego przyspieszenie w każdej chwili jest takie, że dane (aktywne) siły działające na punkt, reakcje wiązań i fikcyjna siła d'Alemberta Ф = - tworzą zrównoważony układ sił.

Dowód. Rozważmy ruch nieswobodnego punktu materialnego z masą T w inercjalnym układzie odniesienia. Zgodnie z podstawową zasadą dynamiki i zasadą uwalniania z więzów mamy:

gdzie F jest wypadkową danych (czynnych) sił; N jest wypadkową reakcji wszystkich wiązań nałożonych na punkt.

Łatwo jest przekształcić (13.1) do postaci:

Wektor Ф = - To nazywana siłą bezwładności d'Alemberta, siłą bezwładności lub po prostu moc d'Alemberta. W dalszej części będziemy posługiwać się tylko ostatnim terminem.

Nazywa się równanie (13.3), wyrażające w symbolicznej formie zasadę d'Alemberta równanie kinetostatyki materialny punkt.

Łatwo jest uzyskać uogólnienie zasady d'Alemberta dla układu mechanicznego (system P punkty materialne).

Dla każdego Do punktu układu mechanicznego, równość (13.3) jest spełniona:

Gdzie ? Do - wypadkowa danych (czynnych) sił działających na Do-ty punkt; N Do - wypadkowa reakcji nałożonych wiązań k-ty punkt; F k \u003d - to k- siła d'Alemberta Do-ty punkt.

Oczywiście, jeśli warunki równowagi (13.4) są spełnione dla każdej potrójnej siły F*, N* : , Ф* (Do = 1,. .., P), następnie cały system 3 P siły

jest zrównoważony.

W konsekwencji, podczas ruchu układu mechanicznego w każdym momencie czasu, przyłożone do niego siły czynne, reakcje wiązań i siły d'Alemberta punktów układu tworzą zrównoważony układ sił.

Siły układu (13.5) nie są już zbieżne, dlatego jak wiadomo ze statyki (rozdział 3.4) warunki konieczne i wystarczające dla jego równowagi mają postać:

Równania (13.6) nazywane są równaniami kinetostatyki układu mechanicznego. Do obliczeń wykorzystuje się rzuty tych równań wektorowych na osie przechodzące przez punkt momentu O.

Uwaga 1. Ponieważ suma wszystkich sił wewnętrznych układu oraz suma ich momentów względem dowolnego punktu są równe zeru, to w równaniach (13.6) wystarczy uwzględnić tylko reakcje zewnętrzny znajomości.

Równania kinetostatyki (13.6) są zwykle używane do wyznaczania reakcji wiązań układu mechanicznego, gdy dany jest ruch układu, a zatem przyspieszeń punktów układu i zależnych od nich sił d'Alemberta są znane.

Przykład 1 Znajdź reakcje wsparcia A I W wał z jego równomiernym obrotem z częstotliwością 5000 obr./min.

Masy punktowe są sztywno połączone z wałem gp= 0,1 kg, t 2 = 0,2 kg. Rozmiary znane AC - CD - DB = 0,4m H= 0,01 m. Przyjmij, że masa wału jest pomijalna.

Rozwiązanie. Aby zastosować zasadę d'Alemberta dla układu mechanicznego składającego się z dwóch mas punktowych, wskazujemy na diagramie (ryc. 13.2) dane siły (grawitacji) Gi, G 2, reakcję wiązań N4, N # i d „Siły Alemberta Ф|, Ф 2.

Kierunki sił Dalambres są przeciwne do przyspieszeń mas punktowych T B t 2 lata które jednakowo opisują okręgi o promieniu H wokół osi AB wał.

Znajdujemy wielkości sił grawitacji i sił Dalambresa:

Tutaj prędkość kątowa wału współ- 5000* l/30 = 523,6 sek Ach, ach, Az, otrzymujemy warunki równowagi dla płaskiego układu równoległych sił Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2:

Z równania momentów znajdujemy N w = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N i z równania rzutu dalej

oś Aj: Nza \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Równania kinetostatyki (13.6) można również wykorzystać do uzyskania różniczkowych równań ruchu układu, jeśli są one ułożone w taki sposób, że wyklucza się reakcje wiązań iw rezultacie możliwe staje się uzyskanie zależności przyspieszeń działających na dane siły.

Siły bezwładności w dynamice punktu materialnego i układu mechanicznego

Siłą bezwładności punktu materialnego to iloczyn masy punktu i jego przyspieszenia, brane ze znakiem minus, czyli siły bezwładności w dynamice stosuje się w następujących przypadkach:

• 1. Podczas badania ruchu punktu materialnego w nieinercyjne(ruchomy) układ współrzędnych, tj. ruch względny. Są to siły bezwładności translacyjnej i siły Coriolisa, często nazywane siłami Eulera.
• 2. Przy rozwiązywaniu problemów dynamiki metodą kinetostatyki. Metoda ta opiera się na zasadzie d'Alemberta, zgodnie z którą siły bezwładności punktu materialnego lub układu punktów materialnych poruszających się z pewnym przyspieszeniem w inercyjny układ odniesienia. Te siły bezwładności nazywane są siłami d'Alemberta.
• 3. Siły bezwładności d'Alemberta są również wykorzystywane w rozwiązywaniu problemów dynamiki z wykorzystaniem zasady Lagrange'a-D'Alemberta lub ogólnego równania dynamiki.

Wyrażenie w rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich

Gdzie - moduły rzutów przyspieszeń punktowych na kartezjańską oś współrzędnych.

Przy ruchu krzywoliniowym punktu siłę bezwładności można rozłożyć na styczną i normalną:; , - moduł przyspieszeń stycznych i normalnych; - promień krzywizny trajektorii;

V- prędkość punktowa.

zasada d'Alemberta dla punktu materialnego

Jeśli nie za darmo do punktu materialnego poruszającego się pod działaniem przyłożonych sił czynnych i sił reakcji wiązań, przyłożyć jego siłę bezwładności, to w dowolnym momencie wynikowy układ sił będzie się równoważył, tj. suma geometryczna tych sił będzie równa zeru.

mechaniczny materiał korpusu punktu

Gdzie - wypadkowa sił czynnych przyłożonych do punktu; - wypadkowa reakcji wiązań nałożonych na punkt; siła bezwładności punktu materialnego. Uwaga: W rzeczywistości siła bezwładności punktu materialnego nie jest przyłożona do samego punktu, ale do ciała, które nadaje temu punktowi przyspieszenie.

Zasada d'Alemberta dla układu mechanicznego

suma geometryczna wektory główne sił zewnętrznych działających na układ oraz siły bezwładności wszystkich punktów układu, a także suma geometryczna momentów głównych tych sił względem pewnego środka nieswobodnego układu mechanicznego w dowolnym momencie są równe zeru, tj.

Główny wektor i główny moment sił bezwładności ciała sztywnego

Główny wektor i główny moment sił bezwładności punktów układu wyznacza się oddzielnie dla każdego ciała sztywnego wchodzącego w skład tego układu mechanicznego. Ich definicja opiera się na znanej ze statyki metodzie Poinsota polegającej na sprowadzaniu dowolnego układu sił do danego centrum.

W oparciu o tę metodę siły bezwładności wszystkich punktów ciała w ogólnym przypadku jego ruchu można sprowadzić do środka masy i zastąpić wektorem głównym * i momentem głównym o środku masy. Są one określone przez formuły czyli dla dowolnego ruch ciała sztywnego, główny wektor sił bezwładności jest równy ze znakiem minus iloczynowi masy ciała i przyspieszenia środka masy ciała; ,Gdzie R kc -- wektor promienia k-ty punkt poprowadzony ze środka masy. Wzory te w poszczególnych przypadkach ruchu bryły sztywnej mają postać:

1. Ruch progresywny.

2. Obrót ciała wokół osi przechodzącej przez środek masy

3. Ruch płasko-równoległy

Wprowadzenie do mechaniki analitycznej

Podstawowe pojęcia mechaniki analitycznej

Mechanika analityczna- dziedzina (sekcja) mechaniki, w której ruch lub równowaga układów mechanicznych jest badana przy użyciu ogólnych, ujednoliconych metod analitycznych stosowanych dla dowolnych układów mechanicznych.

Rozważmy najbardziej charakterystyczne pojęcia mechaniki analitycznej.

1. Połączenia i ich klasyfikacja.

Znajomości- wszelkie ograniczenia w postaci ciał lub warunków kinematycznych nałożonych na ruch punktów układu mechanicznego. Więzy te można zapisać w postaci równań lub nierówności.

Linki geometryczne-- połączenia, których równania zawierają tylko współrzędne punktów, czyli ograniczenia dotyczą tylko współrzędnych punktów. Są to połączenia w postaci brył, powierzchni, linii itp.

Połączenia różnicowe-- połączenia nakładające ograniczenia nie tylko na współrzędne punktów, ale także na ich prędkość.

Połączenia holonomiczne -- wszystkie połączenia geometryczne i te różniczkowe, których równania można całkować.

Więzy nieholonomiczne-- różniczkowe połączenia niecałkowalne.

Łączność stacjonarna -- połączeń, których równania nie uwzględniają wprost czasu.

Łączność niestacjonarna- połączenia zmieniające się w czasie, tj. których równania wyraźnie uwzględniają czas.

Powiązania dwustronne (trzymające) -- ogniwa ograniczające ruch punktu w dwóch przeciwnych kierunkach. Takie połączenia opisują równania .

Jednostronny(non-retaining) links - linki, które ograniczają ruch tylko w jednym kierunku. Takie powiązania opisują nierówności

2. Ruchy możliwe (wirtualne) i rzeczywiste.

Możliwy Lub wirtualny przemieszczenia punktów układu mechanicznego to wyimaginowane nieskończenie małe przemieszczenia, na które pozwalają ograniczenia nałożone na układ.

Możliwy Przemieszczenie układu mechanicznego to zbiór jednoczesnych możliwych przemieszczeń punktów układu, które są zgodne z ograniczeniami. Niech układ mechaniczny będzie mechanizmem korbowym.

Możliwy ruchomy punkt A jest przemieszczeniem, które ze względu na swoją małą wielkość jest uważane za prostoliniowe i skierowane prostopadle do niego OO.

Możliwy ruchomy punkt W(suwak) porusza się w prowadnicach. Możliwy ruch korby OO to obrót o kąt, a korbowód AB -- pod kątem wokół MCS (pkt R).

Ważny Przemieszczenia punktów układu nazywane są również przemieszczeniami elementarnymi, które umożliwiają nakładanie się połączeń, ale z uwzględnieniem początkowych warunków ruchu i sił działających na układ.

Liczba stopni wolność S układu mechanicznego to liczba jego niezależnych możliwych przemieszczeń, które mogą być przekazane punktom układu w ustalonym punkcie w czasie.

Zasada możliwych przemieszczeń (zasada Lagrange'a)

Zasada możliwych przemieszczeń lub zasada Lagrange'a wyraża warunek równowagi dla nieswobodnego układu mechanicznego pod działaniem przyłożonych sił czynnych. Sformułowanie zasady.

Dla równowagi Dla nieswobodnego układu mechanicznego z ograniczeniami dwustronnymi, stacjonarnymi, holonomicznymi i idealnymi, który znajduje się w spoczynku pod działaniem przyłożonych sił czynnych, konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych była równa pociskowi na dowolnym możliwe przemieszczenie układu z rozważanego położenia równowagi:

Ogólne równanie dynamiki (zasada Lagrange'a-D'Alemberta)

Ogólne równanie dynamiki stosuje się do badania ruchu nieswobodnych układów mechanicznych, których ciała lub punkty poruszają się z pewnymi przyspieszeniami.

Zgodnie z zasadą d'Alemberta suma sił czynnych przyłożonych do układu mechanicznego, sił reakcji wiązań oraz sił bezwładności wszystkich punktów układu tworzy zrównoważony układ sił.

Jeśli do takiego układu zastosujemy zasadę możliwych przemieszczeń (zasadę Lagrange'a), to otrzymamy połączoną zasadę Lagrange'a-D'Alemberta lub ogólne równanie dynamiki.sformułowanie tej zasady.

Podczas przenoszenia nie za darmo układu mechanicznego z więzami dwukierunkowymi, idealnymi, stacjonarnymi i holonomicznymi, suma elementarnych prac wszystkich sił czynnych i sił bezwładności przyłożonych do punktów układu na dowolnym możliwym przemieszczeniu układu jest równa zeru:

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju są równania różniczkowe ruchu układu mechanicznego we współrzędnych uogólnionych.

Dla systemu z S stopni swobody, równania te mają postać

Różnica całkowita pochodna po czasie pochodnej cząstkowej energii kinetycznej układu względem uogólnionej prędkości i pochodna cząstkowa energii kinetycznej względem uogólnionej współrzędnej jest równa sile uogólnionej.

Równania Lagrange'a dla konserwatywnych układów mechanicznych. Współrzędne cykliczne i całki

W przypadku systemu konserwatywnego uogólnione siły są określane w kategoriach energii potencjalnej układu za pomocą wzoru

Następnie równania Lagrange'a są przepisywane w postaci

Ponieważ energia potencjalna układu jest funkcją tylko współrzędnych uogólnionych, tj. Biorąc to pod uwagę, przedstawiamy ją w postaci gdzie T - P \u003d L - Funkcja Lagrange'a (potencjał kinetyczny). Wreszcie równania Lagrange'a dla systemu konserwatywnego

Stabilność położenia równowagi układu mechanicznego

Zagadnienie stabilności położenia równowagi układów mechanicznych ma bezpośrednie znaczenie w teorii oscylacji układów.

Położenie równowagi może być stabilne, niestabilne i obojętne.

zrównoważony położenie równowagi – położenie równowagi, w którym wyprowadzone z tego położenia punkty układu mechanicznego poruszają się następnie pod działaniem sił znajdujących się w bezpośrednim sąsiedztwie ich położenia równowagi.

Ruch ten będzie się powtarzał w różnym stopniu w czasie, tj. układ wykona ruch oscylacyjny.

nietrwały położenie równowagi - położenie równowagi, od którego przy dowolnie małym odchyleniu punktów układu w przyszłości działające siły będą dalej usuwać punkty z ich położenia równowagi .

obojętny położenie równowagi - położenie równowagi, w którym przy jakimkolwiek niewielkim początkowym odchyleniu punktów układu od tego położenia w nowym położeniu układ również pozostaje w równowadze. .

Istnieją różne metody określania stabilnej pozycji równowagi układu mechanicznego.

Rozważ definicję stabilnej równowagi opartą na Twierdzenia Lagrange'a-Dirichleta

Jeśli na pozycji równowaga konserwatywnego układu mechanicznego z ograniczeniami idealnymi i stacjonarnymi, jego energia potencjalna ma minimum, to położenie równowagi jest stabilne.

Zjawisko uderzenia. Siła uderzenia i impuls uderzenia

Zjawisko, w którym prędkości punktów ciała zmieniają się o skończoną wartość w pomijalnie małym okresie czasu, nazywamy cios. Ten okres czasu nazywa się czas uderzenia. Podczas uderzenia siła uderzenia działa przez nieskończenie mały okres czasu. siła uderzenia nazywamy siłą, której pęd podczas uderzenia jest skończoną wartością.

Jeśli siła skończona modulo działa w czasie, rozpoczynając swoje działanie w określonym momencie , wtedy jego pęd ma postać

Ponadto, gdy siła uderzenia działa na punkt materialny, możemy powiedzieć, że:

działanie sił niechwilowych podczas zderzenia można pominąć;

ruch punktu materialnego podczas uderzenia można zignorować;

wynik działania siły uderzenia na punkt materialny wyraża się w końcowej zmianie podczas uderzenia jego wektora prędkości.

Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego po zderzeniu

zmiana pędu układu mechanicznego podczas uderzenia jest równa sumie geometrycznej wszystkich zewnętrznych impulsów uderzeniowych przyłożonych do punktów układów, Gdzie - wielkość ruchu układu mechanicznego w momencie ustania działania sił uderzenia, - wielkość ruchu układu mechanicznego w momencie, gdy zaczynają działać siły uderzenia, - zewnętrzny impuls uderzeniowy.

Zasada d'Alemberta umożliwia sformułowanie zagadnień dynamiki układów mechanicznych jako zagadnień statyki. W tym przypadku dynamiczne równania różniczkowe ruchu mają postać równań równowagi. Taką metodę nazywa się metoda kinetostatyczna .

Zasada d'Alemberta dla punktu materialnego: « W każdym momencie ruchu punktu materialnego faktycznie działające na niego siły czynne, reakcje wiązań i siła bezwładności warunkowo przyłożona do punktu tworzą zrównoważony układ sił»

punktowa siła bezwładności nazywana wielkością wektorową, która ma wymiar siły równej wartości bezwzględnej iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia i skierowanej przeciwnie do wektora przyspieszenia

. (3.38)

Rozpatrując układ mechaniczny jako zbiór punktów materialnych, z których każdy podlega, zgodnie z zasadą d'Alemberta, zrównoważonym układom sił, mamy konsekwencje tej zasady w stosunku do układu. Wektor główny i moment główny względem dowolnego środka sił zewnętrznych przyłożonych do układu oraz siły bezwładności wszystkich jego punktów są równe zeru:

(3.39)

Tutaj siły zewnętrzne są siłami czynnymi i reakcjami wiązań.

Główny wektor sił bezwładności układu mechanicznego jest równy iloczynowi masy układu i przyspieszenia jego środka masy i jest skierowany w kierunku przeciwnym do tego przyspieszenia

. (3.40)

Główny moment sił bezwładności układ względem dowolnego centrum O równa pochodnej czasu jego momentu pędu względem tego samego środka

. (3.41)

Dla ciała sztywnego obracającego się wokół stałej osi Oz, znajdujemy główny moment sił bezwładności wokół tej osi

. (3.42)

3.8. Elementy mechaniki analitycznej

Sekcja „Mechanika analityczna” dotyczy ogólnych zasad i metod analitycznych rozwiązywania problemów w mechanice układów materiałowych.

3.8.1 Możliwe ruchy systemu. Klasyfikacja

kilka linków

Możliwe ruchy punktów
wszelkie wyimaginowane, nieskończenie małe ich przemieszczenia, na które pozwalają ograniczenia nałożone na system, w ustalonym punkcie w czasie, nazywane są układami mechanicznymi. a-priorytet, liczba stopni swobody układu mechanicznego to liczba jego niezależnych możliwych przemieszczeń.

Połączenia nałożone na system to tzw ideał , jeśli suma elementarnych prac ich reakcji na dowolne z możliwych przemieszczeń punktów układu jest równa zeru

. (3. 43)

Połączenia, dla których narzucone przez nie ograniczenia są zachowane na dowolnej pozycji systemu, nazywane są połączeniami powstrzymując . Nazywa się relacje, które nie zmieniają się w czasie, których równania wyraźnie nie obejmują czasu stacjonarny . Nazywamy połączenia, które ograniczają tylko przemieszczenia punktów układu geometryczny , a prędkości graniczne to kinematyczny . W przyszłości będziemy rozważać tylko zależności geometryczne i te kinematyczne, które można sprowadzić do geometrycznych przez całkowanie.

3.8.2. Zasada możliwych ruchów

Dla równowagi układu mechanicznego z ograniczeniami idealnymi i stacjonarnymi jest to konieczne i wystarczające

suma elementarnych prac wszystkich działających na niego sił czynnych, na dowolne możliwe przemieszczenia układu, była równa zeru

. (3.44)

W rzutach na osie współrzędnych:

. (3.45)

Zasada możliwych przemieszczeń pozwala nam ustalić w ogólnej formie warunki równowagi dowolnego układu mechanicznego, bez uwzględnienia równowagi jego poszczególnych części. W tym przypadku uwzględniane są tylko siły czynne działające na układ. Nieznane reakcje idealnych wiązań nie są uwzględnione w tych warunkach. Jednocześnie zasada ta umożliwia wyznaczenie nieznanych reakcji wiązań idealnych poprzez odrzucenie tych wiązań i wprowadzenie ich reakcji do liczby sił czynnych. Po odrzuceniu wiązań, których reakcje należy wyznaczyć, układ uzyskuje dodatkowo odpowiednią liczbę stopni swobody.

Przykład 1 . Znajdź związek między siłami I podnośnika, jeśli wiadomo, że przy każdym obrocie klamki AB = l, śruba Z rozciąga się do granic H(Rys. 3.3).

Rozwiązanie

Możliwe ruchy mechanizmu to obrót klamki  i ruch ładunku  H. Warunek równości do zera elementarnej pracy sił:

pl- Qh = 0;

Następnie
. Od H 0, więc

3.8.3. Ogólne równanie wariacyjne dynamiki

Rozważmy ruch układu składającego się z N zwrotnica. Działają na nią siły czynne i reakcje wiązań .(k = 1,…,N) Jeśli do sił działających dodamy siły bezwładności punktów
, to zgodnie z zasadą d'Alemberta wypadkowy układ sił będzie w równowadze i dlatego obowiązuje wyrażenie napisane na podstawie zasady możliwych przemieszczeń (3.44):

. (3.46)

Jeżeli wszystkie połączenia są idealne, to druga suma jest równa zeru iw rzutach na osie współrzędnych równość (3,46) będzie wyglądać następująco:

Ostatnia równość to ogólne równanie wariacyjne dynamiki w rzutach na osie współrzędnych, które pozwala ułożyć równania różniczkowe ruchu układu mechanicznego.

Ogólne równanie wariacyjne dynamiki jest wyrażeniem matematycznym zasada d'Alemberta-Lagrange'a: « Gdy układ jest w ruchu, podlegając stacjonarnym, idealnym, ograniczającym ograniczeniom, w dowolnym momencie suma elementarnych prac wszystkich sił czynnych przyłożonych do układu oraz sił bezwładności na każdym możliwym przemieszczeniu układu wynosi równa zeru».

Przykład 2 . W przypadku układu mechanicznego (ryc. 3.4), składającego się z trzech ciał, określ przyspieszenie obciążenia 1 i naprężenie kabla 1-2, jeżeli: M 1 = 5M; M 2 = 4M; M 3 = 8M; R 2 = 0,5R 2; promień bezwładności bloku 2 I = 1,5R 2. Wałek 3 jest ciągłym jednorodnym dyskiem.

Rozwiązanie

Przedstawmy siły, które wykonują elementarną pracę nad możliwym przemieszczeniem  Sładunek 1:

Piszemy możliwe przemieszczenia wszystkich ciał poprzez możliwe przemieszczenie obciążenia 1:

Przyspieszenia liniowe i kątowe wszystkich ciał wyrażamy jako pożądane przyspieszenie obciążenia 1 (stosunki są takie same jak w przypadku przemieszczeń możliwych):

.

Ogólne równanie wariacyjne dla tego problemu ma postać:

Podstawiając otrzymane wcześniej wyrażenia na siły czynne, siły bezwładności i możliwe przemieszczenia, po prostych przekształceniach otrzymujemy

Od  S 0, więc wyrażenie w nawiasie zawierające przyspieszenie jest równe zeru A 1 , Gdzie A 1 = 5G/8,25 = 0,606G.

Aby określić napięcie linki trzymającej ładunek, zwalniamy ładunek z linki, zastępując jego działanie pożądaną reakcją . Pod wpływem danych sił ,i siły bezwładności przyłożonej do ładunku
on jest w równowadze. Zatem zasada d’Alemberta ma zastosowanie do rozpatrywanego obciążenia (punktu), tj. to piszemy
. Stąd
.

3.8.4. Równanie Lagrange'a II rodzaju

Uogólnione współrzędne i uogólnione prędkości. Nazywa się dowolne wzajemnie niezależne parametry, które jednoznacznie określają położenie układu mechanicznego w przestrzeni uogólnione współrzędne . Te współrzędne, oznaczone Q 1 ,....Q i , może mieć dowolny wymiar. W szczególności uogólnionymi współrzędnymi mogą być przemieszczenia lub kąty obrotu.

Dla rozważanych układów liczba współrzędnych uogólnionych jest równa liczbie stopni swobody. Położenie każdego punktu układu jest jednowartościową funkcją współrzędnych uogólnionych

Zatem ruch układu we współrzędnych uogólnionych jest określony przez następujące zależności:

Nazywa się pierwsze pochodne współrzędnych uogólnionych uogólnione prędkości :
.

Siły uogólnione. Wyrażenie na elementarną pracę siły w ewentualnym ruchu
wygląda jak:

.

Dla elementarnej pracy układu sił piszemy

Wykorzystując otrzymane zależności wyrażenie to można zapisać jako:

,

gdzie odpowiada uogólniona siła I-ta współrzędna uogólniona,

. (3.49)

Zatem, uogólniona siła odpowiadająca I-ta współrzędna uogólniona, jest współczynnikiem zmienności tej współrzędnej w wyrażeniu sumy elementarnych prac sił czynnych na możliwe przemieszczenie układu . Aby obliczyć siłę uogólnioną, należy poinformować układ o możliwym przemieszczeniu, w którym zmienia się tylko współrzędna uogólniona Q I. Współczynnik przy
i będzie pożądaną siłą uogólnioną.

Równania ruchu układu we współrzędnych uogólnionych. Niech dany będzie system mechaniczny S stopnie swobody. Znając działające na nią siły, należy ułożyć różniczkowe równania ruchu we współrzędnych uogólnionych
. Procedurę zestawiania różniczkowych równań ruchu układu - równań Lagrange'a II rodzaju - stosujemy analogicznie do wyprowadzania tych równań dla swobodnego punktu materialnego. Na podstawie drugiego prawa Newtona piszemy

Otrzymujemy odpowiednik tych równań, korzystając z zapisu energii kinetycznej punktu materialnego,

Pochodna cząstkowa energii kinetycznej względem rzutu prędkości na oś
jest równa rzutowi wielkości ruchu na tę oś, tj.

Aby otrzymać niezbędne równania, obliczamy pochodne względem czasu:

Otrzymany układ równań to równania Lagrange'a II rodzaju dla punktu materialnego.

Dla układu mechanicznego równania Lagrange'a II rodzaju reprezentujemy w postaci równań, w których zamiast rzutów sił czynnych P X , P y , P z używać sił uogólnionych Q 1 , Q 2 ,...,Q i i weź pod uwagę w ogólnym przypadku zależność energii kinetycznej od współrzędnych uogólnionych.

Równania Lagrange'a II rodzaju dla układu mechanicznego mają postać:

. (3.50)

Można ich używać do badania ruchu dowolnego układu mechanicznego z ograniczeniami geometrycznymi, idealnymi i ograniczającymi.

Przykład 3 . Dla układu mechanicznego (ryc. 3.5), dla którego dane podano w poprzednim przykładzie, sporządzić różniczkowe równanie ruchu, korzystając z równania Lagrange'a drugiego rodzaju,

Rozwiązanie

Układ mechaniczny ma jeden stopień swobody. Jako współrzędną uogólnioną przyjmujemy liniowy ruch ładunku Q 1 = s; uogólniona prędkość - . Mając to na uwadze, piszemy równanie Lagrange'a drugiego rodzaju

.

Ułóżmy wyrażenie na energię kinetyczną układu

.

Wszystkie prędkości kątowe i liniowe wyrażamy w kategoriach prędkości uogólnionej:

Teraz dostajemy

Obliczmy siłę uogólnioną, tworząc wyrażenie na pracę elementarną nad możliwym przemieszczeniem  S wszystkie czynne siły. Bez sił tarcia praca w układzie jest wykonywana tylko przez grawitację ładunku 1
Piszemy uogólnioną siłę w  S, jako współczynnik w pracy elementarnej Q 1 = 5mg. Dalej znajdujemy

Ostatecznie równanie różniczkowe ruchu układu będzie miało postać: