Pojęcie rozmyte wnioskowanie zajmuje ważne miejsce w logice rozmytej Algorytm Mamdaniego, algorytm Tsukamoto, algorytm Sugeno, algorytm Larsena, uproszczony algorytm wnioskowania rozmytego, metody przejrzystości.
Mechanizm wnioskowania rozmytego stosowany w różnego rodzaju systemach ekspertowych i kontrolnych opiera się na bazie wiedzy tworzonej przez specjalistów z danej dziedziny w postaci zbioru rozmytych reguł predykatów w postaci:
P1: jeśli X istnieje zatem A 1 Na jest B1,
P2: jeśli X jest zatem A 2 Na jest B2,
·················································
P N: Jeśli X Jest AN, Następnie Na jest B N, Gdzie X— zmienna wejściowa (nazwa znanych wartości danych), Na— zmienna wyjściowa (nazwa wartości danych, która będzie obliczana); A i B są funkcjami przynależności zdefiniowanymi odpowiednio na X I Na.
Przykład takiej reguły
Jeśli X- zatem nisko Na- wysoki.
Podajmy bardziej szczegółowe wyjaśnienie. Wiedza ekspercka A → B odzwierciedla rozmyty związek przyczynowy pomiędzy przesłankami a wnioskiem, dlatego można go nazwać zależnością rozmytą i oznaczyć przez R:
R= A → B,
gdzie „→” nazywa się implikacją rozmytą.
Postawa R można uznać za rozmyty podzbiór iloczynu bezpośredniego X×Y pełen zestaw wymagań wstępnych X i wnioski Y. Zatem proces uzyskiwania (rozmytego) wyniku wyjściowego B” przy użyciu danej obserwacji A" a wiedzę A → B można przedstawić w postaci wzoru
B” = A”ᵒ R= A”ᵒ (A → B),
gdzie „o” jest przedstawioną powyżej operacją splotu.
Zarówno operację składania, jak i operację implikacji w algebrze zbiorów rozmytych można zrealizować na różne sposoby (w tym przypadku oczywiście uzyskany wynik końcowy również będzie się różnił), ale w każdym przypadku ogólny wniosek logiczny przeprowadza się w po czterech etapach.
1. Zamazany(wprowadzenie rozmycia, fazyfikacji, rozmycia). Funkcje przynależności zdefiniowane na zmiennych wejściowych są stosowane do ich rzeczywistych wartości w celu określenia stopnia prawdziwości każdej przesłanki każdej reguły.
2. Logiczny wniosek. Obliczona wartość prawdziwości przesłanek każdej reguły jest stosowana do wniosków z każdej reguły. W rezultacie powstaje jeden rozmyty podzbiór, który zostanie przypisany do każdej zmiennej wyjściowej dla każdej reguły. Jako reguły wnioskowania logicznego stosuje się zwykle tylko operacje min(MINIMUM) lub prod(MNOŻENIE). W wnioskowaniu logicznym MINIMUM funkcja przynależności wnioskowania jest „odcinana” na wysokości odpowiadającej obliczonemu stopniowi prawdziwości przesłanki reguły (logika rozmyta „AND”). W wnioskowaniu MULTIPLY wyjściowa funkcja przynależności jest skalowana według obliczonego stopnia prawdziwości przesłanek reguły.
3. Kompozycja. Wszystkie podzbiory rozmyte przypisane do każdej zmiennej wyjściowej (we wszystkich regułach) są łączone razem w celu utworzenia jednego podzbioru rozmytego dla każdej zmiennej wyjściowej. Łącząc taką kombinację, zwykle stosuje się operacje max(MAXIMUM) lub suma(SUMA). Przy złożeniu MAXIMUM, łączny wynik podzbioru rozmytego jest konstruowany jako punktowe maksimum dla wszystkich podzbiorów rozmytych (logika rozmyta „LUB”). W kompozycji SUM łączny wynik podzbioru rozmytego jest konstruowany jako suma punktowa wszystkich podzbiorów rozmytych przypisanych do zmiennej wyjściowej na podstawie reguł wnioskowania.
4. Podsumowując (opcjonalnie) - doprowadzając do jasności(defuzzyfikacja), która jest używana, gdy przydatne jest przekształcenie rozmytego zestawu wyników na jasną liczbę. Istnieje wiele metod zapewnienia przejrzystości, a niektóre z nich omówiono poniżej.
Przykład.Niech jakiś system będzie opisany następującymi regułami rozmytymi:
P1: jeśli X jest zatem A ω jest D,
P2: jeśli Na to zatem B ω jest E,
P3: jeśli z to zatem C ω to F, gdzie x, y I z— nazwy zmiennych wejściowych, ω to nazwa zmiennej wyjściowej, a A, B, C, D, E, F to określone funkcje przynależności (w kształcie trójkąta).
Procedurę uzyskiwania wnioskowania logicznego przedstawiono na ryc. 1.9.
Zakłada się, że zmienne wejściowe przyjęły pewne określone (wyraźne) wartości - xo,yO I z O.
Zgodnie z powyższymi etapami, w etapie 1, dla zadanych wartości i na podstawie funkcji przynależności A, B, C, wyznaczane są stopnie prawdy α (x o), α (Siema)I α (z oo) dla przesłanek każdej z trzech podanych reguł (patrz rys. 1.9).
Na etapie 2 funkcje przynależności wniosków z reguły (tj. D, E, F) są „odcinane” na poziomach α (x o), α (Siema) I α (z oo).
Na etapie 3 uwzględniane są funkcje przynależności obcięte w drugim etapie i łączone za pomocą operacji max, w wyniku czego powstaje połączony podzbiór rozmyty opisany funkcją przynależności μ ∑ (ω) i odpowiadający logicznemu wnioskowi dla zmiennej wyjściowej ω .
Wreszcie na etapie 4 - jeśli zajdzie taka potrzeba - znajduje się wyraźną wartość zmiennej wyjściowej, na przykład metodą centroidy: wartość wyraźną zmiennej wyjściowej definiuje się jako środek ciężkości dla krzywej μ ∑ (ω) , tj.
Rozważmy następujące najczęściej stosowane modyfikacje algorytmu wnioskowania rozmytego, zakładając dla uproszczenia, że baza wiedzy zorganizowana jest za pomocą dwóch reguł rozmytych postaci:
P1: jeśli X jest A 1 i Na jest zatem B 1 z jest C1,
P2: jeśli X jest A 2 i Na jest zatem B2 z oznacza C2, gdzie X I Na— nazwy zmiennych wejściowych, z- nazwa zmiennej wyjściowej, A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2 - niektóre określone funkcje dodatkowe, z jasnym znaczeniem z 0 należy ustalić na podstawie podanych informacji i wyraźnych wartości X 0 i Na 0 .
Ryż. 1.9. Ilustracja procedury wnioskowania
Algorytm Mamdaniego
Algorytm ten odpowiada rozważanemu przykładowi i rys. 1.9. W rozpatrywanej sytuacji można to matematycznie opisać w następujący sposób.
1. Rozmyte: dla przesłanek każdej reguły można znaleźć stopnie prawdy: A 1 ( X 0), A 2 ( X 0), B 1 ( y 0), B 2 ( y 0).
2. Wnioskowanie rozmyte: wyznaczane są poziomy „odcięcia” dla warunków wstępnych każdej z reguł (za pomocą operacji MINIMUM)
α 1 = ZA 1 ( X 0) ˄ B 1 ( y 0)
α 2 = ZA 2 ( X 0) ˄ B 2 ( y 0)
gdzie „˄” oznacza minimalną operację logiczną (min), wówczas znaleziono „obcięte” funkcje przynależności
3. Kompozycja: stosując operację MAXIMUM (max, oznaczoną dalej jako „˅”), znalezione funkcje obcięte są łączone, co prowadzi do otrzymania finał podzbiór rozmyty zmiennej wyjściowej z funkcją przynależności
4. Na koniec dla jasności (znaleźć z 0 ) przeprowadza się na przykład metodą centroidową.
Algorytm Tsukamoto
Założenia początkowe są takie same jak w poprzednim algorytmie, jednak w tym przypadku zakłada się, że funkcje C 1 ( z), C2 ( z) są monotoniczne.
1. Pierwszy etap przebiega analogicznie jak w algorytmie Mamdaniego.
2. W drugim etapie najpierw znajduje się poziomy „odcięcia” α 1 i α 2 (jak w algorytmie Mam-dani), a następnie rozwiązując równania
α 1 = C 1 ( z 1), α2 = C2( z 2)
- wyczyść wartości ( z 1 I z 2 ) dla każdej z oryginalnych reguł.
3. Wyznacza się wyraźną wartość zmiennej wyjściowej (jako średnią ważoną). z 1 I z 2 ):
w ogólnym przypadku (dyskretna wersja metody centroidu)
Przykład. Miejmy A 1 ( X 0) = 0,7, ZA 2 ( X 0) = 0,6, B 1 ( y 0) = 0,3, V 2 ( y 0) = 0,8, odpowiednie poziomy odcięcia
1 = min (A 1 ( X 0), B 1 ( y 0)) = min(0,7; 0,3) = 0,3,
za 2 = min (A 2 ( X 0), B 2 ( y 0)) = min (0,6; 0,8) = 0,6
i znaczenia z 1 = 8 i z 2 = 4 znalezione poprzez rozwiązanie równań
C1 ( z 1) = 0,3, C 2 ( z 2) = 0,6.
Ryż. 1.10. Ilustracje algorytmu Tsukamoto
W tym przypadku wyczyszczona wartość zmiennej wyjściowej (patrz rys. 1.10)
z 0 = (8 0,3 + 4 0,6) / (0,3 + 0,6) = 6.
Algorytm Sugeno
Sugeno i Takagi zastosowali zestaw reguł w następującej formie (tak jak poprzednio, tutaj jest przykład dwóch reguł):
P 1: jeśli X jest A 1 i Na jest zatem B 1 z 1 = A 1 X + B 1 y,
P 2: jeśli X jest A 2 i Na jest zatem B2 z 2 = A 2 X+ B 2 y.
Prezentacja algorytmu
2. Na drugim etapie są α 1 = ZA 1 ( X 0) ˄ B 1 ( y 0), α 2 = ZA 2 ( X 0) ˄ V 2 ( Na 0) i indywidualne wyjścia reguł:
H. W trzecim etapie wyznaczana jest jasna wartość zmiennej wyjściowej:
Algorytm przedstawiono na rys. 1.11.
Ryż. 1.11. Ilustracja dla algorytmu Sugeno
Algorytm Larsena
W algorytmie Larsena implikację rozmytą modeluje się za pomocą operatora mnożenia.
Opis algorytmu
1. Pierwszy etap przebiega jak w algorytmie Mamdaniego.
2. W drugim etapie, podobnie jak w algorytmie Mamdaniego, najpierw znajdują się wartości
α 1 = ZA 1 ( X 0) ˄ B 1 ( y 0),
α 2 = ZA 2 ( X 0) ˄ V 2 ( y 0),
a następnie - prywatne podzbiory rozmyte
α 1 do 1 ( z), A 2 C 2 (z).
3. Znajdź końcowy podzbiór rozmyty za pomocą funkcji przynależności
μs(z)= Z(z)= (a 1 do 1 ( z)) ˅ ( 2 C 2(z))
(ogólnie N zasady).
4. W razie potrzeby przeprowadza się redukcję do przejrzystości (jak w omówionych wcześniej algorytmach).
Algorytm Larsena przedstawiono na ryc. 1.12.
Ryż. 1.12. Ilustracja algorytmu Larsena
Uproszczony algorytm wnioskowania rozmytego
Początkowe zasady w tym przypadku są podane w postaci:
P 1: jeśli X jest A 1 i Na jest zatem B 1 z 1 = C 1 ,
P 2: jeśli X jest A 2 i Na jest zatem B2 z 2 = Z 2 , Gdzie C 1 i od 2- niektóre zwykłe (wyraźne) liczby.
Opis algorytmu
1. Pierwszy etap przebiega jak w algorytmie Mamdaniego.
2. W drugim etapie liczby α 1 = A 1 ( X 0) ˄ B 1 ( y 0), α 2 = ZA 2 ( X 0) ˄ B 2 ( y 0).
3. W trzecim etapie za pomocą wzoru ustala się wyraźną wartość zmiennej wyjściowej
lub - w ogólnym przypadku dostępności N zasady – zgodnie ze wzorem
Ilustrację algorytmu pokazano na rys. 1.13.
Ryż. 1.13. Ilustracja uproszczonego algorytmu wnioskowania rozmytego
Metody przejrzystości
1. Jedna z tych metod została już omówiona powyżej – troid. Przedstawmy jeszcze raz odpowiednie wzory.
Dla opcji ciągłej:
dla opcji dyskretnej:
2. Pierwsza z Maxima. Wartość jasną zmiennej wyjściowej przyjmuje się jako najmniejszą wartość, przy której osiągane jest maksimum końcowego zbioru rozmytego, tj. (patrz rys. 1.14a)
Ryż. 1.14. Ilustracja metod zapewnienia przejrzystości: α - pierwsze maksimum; b - średnie maksimum
3. Środek Maximy. Dokładną wartość można znaleźć ze wzoru
gdzie G jest podzbiorem elementów maksymalizujących C (patrz rys. 1.14 B).
Opcja dyskretna (jeśli C jest dyskretna):
4. Kryterium maksymalne (Kryterium maksymalne). Wartość wyraźna jest wybierana arbitralnie spośród zbioru elementów zapewniających maksimum C, tj.
5. Defuzyfikacja wysokości. Elementy dziedziny definicji Ω, dla których wartości funkcji przynależności są mniejsze od pewnego poziomu α nie są brane pod uwagę, a dokładną wartość oblicza się ze wzoru
gdzie Сα jest zbiorem rozmytym α -poziom (patrz wyżej).
Wnioskowanie rozmyte z góry na dół
Omówione dotychczas wnioski rozmyte to wnioski oddolne, prowadzące od przesłanek do wniosków. W ostatnich latach w diagnostycznych systemach rozmytych zaczęto stosować wnioskowanie odgórne. Przyjrzyjmy się mechanizmowi takiego wnioskowania na przykładzie.
Weźmy uproszczony model diagnozowania awarii samochodu o nazwach zmiennych:
X 1 – awaria akumulatora;
X 2 - odpady oleju silnikowego;
y 1 - trudności z uruchomieniem;
y 2 — pogorszenie barwy spalin;
y 3 - brak mocy.
Między x ja I y j istnieją niejasne związki przyczynowe r ij= x ja→ y j, co można przedstawić w postaci macierzy R z elementami r ijϵ. Konkretne dane wejściowe (przesłanki) i wyniki (wnioski) można uznać za zbiory rozmyte A i B w przestrzeniach X I Y. Relacje tych zbiorów można oznaczyć jako
W= A ᵒ R,
gdzie, jak poprzednio, znak „o” oznacza regułę tworzenia wniosków rozmytych.
W tym przypadku kierunek wniosków jest odwrotny do kierunku wniosków dla reguł, tj. w przypadku diagnostyki istnieje (określona) macierz R(wiedza ekspercka), wyniki są obserwowane W(lub objawy) i dane wejściowe są określane A(lub czynniki).
Niech wiedza doświadczonego mechanika samochodowego przybierze formę
i w wyniku oględzin samochodu można ocenić jego stan
W= 0,9/y 1 + 0,1/Na 2 + 0,2/Na 3 .
Konieczne jest ustalenie przyczyny tego stanu:
A =A 1 /X 1 + A 2 /X 2 .
Relację wprowadzonych zbiorów rozmytych można przedstawić jako
lub, transponując, w postaci rozmytych wektorów kolumnowych:
W przypadku stosowania kompozycji (max-mix) ostatnia relacja jest konwertowana do formy
0,9 = (0,9 ˄ α 1) ˅ (0,6 ˄ α 2),
0,1 = (0,1 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2),
0,2 = (0,2 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2).
Rozwiązując ten układ, zauważamy przede wszystkim, że w pierwszym równaniu drugi wyraz po prawej stronie nie wpływa na prawą stronę, dlatego
0,9 = 0,9 ˄ α 1 , α 1 ≥ 0,9.
Z drugiego równania otrzymujemy:
0,1 ≥ 0,5 ˄ α 2 , α 2 ≤ 0,1.
Otrzymane rozwiązanie spełnia trzecie równanie, więc mamy:
0,9 ≤ α 1 ≤ 1,0, 0 ≤ α 2 ≤ 0,1,
te. lepiej wymienić akumulator (α 1 to parametr nieprawidłowego działania akumulatora, α 2 to parametr zużycia oleju silnikowego).
W praktyce w problemach podobnych do rozpatrywanego liczba zmiennych może być znaczna, można jednocześnie stosować różne kompozycje wniosków rozmytych, a sam obwód wnioskowania może być wielostopniowy. Obecnie najwyraźniej nie ma ogólnych metod rozwiązywania takich problemów.
Projektuj i symuluj systemy logiki rozmytej
Fuzzy Logic Toolbox™ udostępnia funkcje, aplikacje MATLAB® i blok Simulink® do analizy, projektowania i symulacji systemów logiki rozmytej. Podręczniki produktów przeprowadzą Cię przez kolejne etapy opracowywania systemów wnioskowania rozmytego. Dostępne są funkcje dla wielu popularnych technik, w tym grupowania rozmytego i adaptacyjnego uczenia się neurorozmytego.
Zestaw narzędzi pozwala modelować złożone zachowanie systemu przy użyciu prostych reguł logicznych, a następnie implementować te reguły w systemie wnioskowania rozmytego. Może być używany jako samodzielny silnik wnioskowania rozmytego. Można także używać rozmytych bloków wyjściowych w Simulink i modelować systemy rozmyte w kompleksowym modelu całego układu dynamicznego.
Początek pracy
Naucz się podstaw Fuzzy Logic Toolbox
Rozmyte modelowanie wyników systemu
Twórz rozmyte systemy wnioskowania i rozmyte drzewa
Rozmyte ustawienie wyjścia systemowego
Skonfiguruj funkcje członkostwa i rozmyte reguły systemowe
Klastrowanie danych
Znajdź skupienia w danych wejściowych/wyjściowych za pomocą rozmytych średnich c lub grupowania subtraktywnego
16.Procedura (schemat) rozmytego wnioskowania logicznego. Przykład wnioskowania rozmytego przy wykonywaniu wielu reguł. Zalety i wady systemów opartych na logice rozmytej.
Fuzzyfikacja to proces przejścia ze zbioru przejrzystego do zbioru rozmytego.
Agregacja wymagań wstępnych - dla każdej reguły jest tworzona 
-poziomy cięcia i przycinania.
Aktywacja reguł - aktywacja opiera się na każdej z ich reguł w oparciu o min-aktywację (Mamdani), prod-aktywację (Larsen)
Akumulacja wyników – skład, suma znalezionych obciętych zbiorów rozmytych za pomocą operacji maksymalnej dysjunkcji.
Zmienna językowa to zmienna, której wartościami są terminy (słowa, frazy w języku naturalnym).
Każda wartość zmiennej językowej odpowiada konkretnemu zbiorowi rozmytemu z własną funkcją przynależności.
Zakres zastosowania logiki rozmytej:
1) Nieadekwatność lub niepewność wiedzy, gdy uzyskanie informacji jest zadaniem trudnym lub niemożliwym.
2) Kiedy występują trudności w przetwarzaniu niepewnych informacji.
3) Przejrzystość modelowania (w przeciwieństwie do sieci neuronowych).
Zakres zastosowania logiki rozmytej:
1) Przy projektowaniu systemów wsparcia i podejmowaniu decyzji w oparciu o systemy ekspertowe.
2) Przy opracowywaniu regulatorów rozmytych stosowanych w sterowaniu systemami technicznymi.
„+”:1) Rozwiązywanie słabo sformalizowanych problemów.
2) Zastosowanie w obszarach, w których pożądane jest wyrażenie wartości zmiennych w formie językowej.
„–”: 1) Problem wyboru funkcji przynależności (rozwiązywany przy tworzeniu hybrydowych inteligentnych systemów)
2) Sformułowany zbiór zasad może okazać się niekompletny i sprzeczny.
*16.Procedura (schemat) rozmytego wnioskowania logicznego. Przykład wnioskowania rozmytego przy wykonywaniu wielu reguł. Zalety i wady systemów opartych na logice rozmytej.
Ostateczny wynik zależy od wyboru NLV i metody defuzyfikacji.
P1: Jeśli temperatura (T) jest niska ORAZ wilgotność (F) jest średnia, wówczas zawór jest w połowie otwarty.
P2: Jeśli temperatura (T) jest niska ORAZ wilgotność (F) jest wysoka, wówczas zawór jest zamknięty.
NLV: metoda max-min (Mamdani);
Defuzzyfikacja: Metoda Średnia z Maksymalnej.
17.Sztuczne sieci neuronowe. Cechy neuronu biologicznego. Model sztucznego neuronu.
Sieci neuronowe odnoszą się do struktur obliczeniowych modelujących proste procesy biologiczne powszechnie kojarzone z procesami zachodzącymi w ludzkim mózgu. Ludzki układ nerwowy i mózg składają się z neuronów połączonych włóknami nerwowymi, które są zdolne do przekazywania impulsów elektrycznych między neuronami.
Neuron to komórka nerwowa przetwarzająca informacje. Składa się z ciała (jądra i plazmy) oraz procesów dwóch rodzajów włókien nerwowych - dendrytów, przez które odbierane są impulsy z aksonów innych neuronów, oraz własnego aksonu (na końcu rozgałęzia się we włókna), przez który może przekazywać impuls generowany przez ciało komórki. Na końcach włókien znajdują się synapsy, które wpływają na siłę impulsu. Kiedy impuls dociera do zakończenia synaptycznego, uwalniane są pewne substancje chemiczne zwane nieproprzekaźnikami, które pobudzają lub hamują zdolność neuronu odbiorczego do generowania impulsów elektrycznych. Synapsy mogą się uczyć w zależności od aktywności procesów, w których uczestniczą. Wagi synaps mogą zmieniać się w czasie, co zmienia zachowanie odpowiedniego neuronu.
Model sztucznego neuronu
x 1 …x n – sygnały wejściowe neuronów pochodzące z innych neuronów. W 1 ...W n – wagi synaptyczne.
Mnożniki (synapsy) – komunikować się pomiędzy neuronami, pomnożyć sygnał wejściowy przez liczbę charakteryzującą siłę połączenia.
Dodatek – dodanie sygnałów docierających poprzez połączenia synaptyczne z innych neuronów.
*17.Sztuczne sieci neuronowe. Cechy neuronu biologicznego. Model sztucznego neuronu.
Przetwornik nieliniowy
– implementuje nieliniową funkcję jednego argumentu – wyjścia sumatora. Ta funkcja nazywa się funkcja aktywacji
Lub funkcja przenoszenia
neuronu. 
;
Model neuronu:
1) Oblicza ważoną sumę sygnałów wejściowych z innych neuronów.
2) Na wejściach neuronów znajdują się synapsy pobudzające i hamujące
3) Gdy suma wejść przekroczy próg neuronu, generowany jest sygnał wyjściowy.
Rodzaje funkcji aktywacji:
1) funkcja progowa: zakres (0;1)
„+”: łatwość wdrożenia i duża szybkość obliczeń
2) Sigmoidalny (funkcja logistyczna)
W miarę zmniejszania się segment staje się bardziej płaski, a gdy a=0 staje się linią prostą.
„+”: proste wyrażenie jego pochodnej, a także zdolność do wzmacniania słabych sygnałów lepiej niż duże i zapobiegania nasyceniu dużymi sygnałami.
„-”: zakres wartości jest mały (0,1).
3) Tangens hiperboliczny: zakres (-1,1)
Za pomocą zbiorów rozmytych można formalnie zdefiniować nieprecyzyjne i niejednoznaczne pojęcia, takie jak „wysoka temperatura” czy „duże miasto”. Aby sformułować definicję zbioru rozmytego, należy określić tzw. zakres rozumowania. Przykładowo, szacując prędkość samochodu, ograniczamy się do zakresu X = , gdzie Vmax jest maksymalną prędkością, jaką może osiągnąć samochód. Należy pamiętać, że X jest zbiorem odrębnym.
Podstawowe koncepcje
Rozmyty zestaw A w jakiejś niepustej przestrzeni X jest zbiorem parGdzie 
jest funkcją przynależności do zbioru rozmytego A. Funkcja ta przypisuje każdemu elementowi x stopień jego przynależności do zbioru rozmytego A.
Kontynuując poprzedni przykład, rozważmy trzy nieprecyzyjne sformułowania:
- „Niska prędkość pojazdu”;
- „Średnia prędkość pojazdu”;
- „Wysoka prędkość pojazdu”.
Rysunek przedstawia zbiory rozmyte odpowiadające powyższym sformułowaniom przy użyciu funkcji przynależności. 
W stałym punkcie X=40km/h. Funkcja przynależności zbioru rozmytego „niska prędkość samochodu” przyjmuje wartość 0,5. Funkcja przynależności do zbioru rozmytego „średnia prędkość samochodu” przyjmuje tę samą wartość, natomiast dla zbioru „duża prędkość samochodu” wartość funkcji w tym punkcie wynosi 0.
Wywołuje się funkcję T dwóch zmiennych T: x -> Norma T, Jeśli:
- jest nierosnący w odniesieniu do obu argumentów: T(a, c)< T(b, d) для a < b, c < d;
- jest przemienna: T(a, b) = T(b, a);
- spełnia warunek połączenia: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c));
- spełnia warunki brzegowe: T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.
Bezpośrednie wnioskowanie rozmyte
Pod niejasny wniosek rozumiany jest jako proces, w którym z rozmytych przesłanek uzyskuje się pewne konsekwencje, być może także rozmyte. Przybliżone rozumowanie leży u podstaw ludzkiej zdolności do rozumienia języka naturalnego, odszyfrowywania pisma ręcznego, grania w gry wymagające wysiłku umysłowego i, ogólnie rzecz biorąc, podejmowania decyzji w złożonych i niedokładnie określonych środowiskach. Ta umiejętność rozumowania w kategoriach jakościowych i nieprecyzyjnych odróżnia inteligencję ludzką od inteligencji komputerowej.Podstawową zasadą wnioskowania w logice tradycyjnej jest zasada modus ponens, zgodnie z którą prawdziwość zdania B oceniamy na podstawie prawdziwości zdań A i A -> B. Przykładowo, jeśli A jest stwierdzeniem „Stepan jest astronautą ”, B jest stwierdzeniem „Stepan leci w kosmos” , to jeśli stwierdzenia „Stepan jest astronautą” i „Jeśli Stepan jest astronautą, to leci w kosmos” to stwierdzenie „Stepan leci w kosmos” jest prawdziwe też prawda.
Jednak w odróżnieniu od tradycyjnej logiki, głównym narzędziem logiki rozmytej nie będzie reguła modus ponens, lecz tzw. reguła wnioskowania kompozycyjnego, której szczególnym przypadkiem jest reguła modus ponens.
Załóżmy, że istnieje krzywa y=f(x) i podana jest wartość x=a. Zatem z faktu, że y=f(x) i x=a, możemy wywnioskować, że y=b=f(a). 
Uogólnijmy teraz ten proces zakładając, że a jest przedziałem, a f(x) jest funkcją, której wartościami są przedziały. W tym przypadku, aby znaleźć przedział y=b odpowiadający przedziałowi a, najpierw konstruujemy zbiór a" o podstawie a i znajdujemy jego przecięcie I z krzywą, której wartości są przedziałami. Następnie rzutujemy to przecięcie na OY osi i otrzymujemy żądaną wartość y w postaci przedziału b. Zatem z faktu, że y=f(x) i x=A jest rozmytym podzbiorem osi OX, otrzymujemy wartość y w postać rozmytego podzbioru B osi OY.
Niech U i V będą dwoma zbiorami uniwersalnymi ze zmiennymi bazowymi odpowiednio u i v. Niech A i F będą rozmytymi podzbiorami zbiorów U i U x V. Wtedy reguła wnioskowania kompozycyjnego stwierdza, że zbiór rozmyty B = A * F wynika ze zbiorów rozmytych A i F.
Niech A i B będą stwierdzeniami rozmytymi, a m(A), m(B) odpowiadającymi im funkcjami przynależności. Wtedy implikacja A -> B będzie odpowiadać jakiejś funkcji przynależności m(A -> B). Można to przyjąć analogicznie do tradycyjnej logiki
Następnie
Nie jest to jednak jedyne uogólnienie operatora implikacji; są też inne.
Realizacja
Aby zaimplementować metodę bezpośredniego wnioskowania rozmytego, będziemy musieli wybrać operator implikacji i normę T.Niech T-norma będzie funkcją minimalną:
a operatorem implikacji będzie funkcja Gödla:
Dane wejściowe będą zawierać wiedzę (zbiory rozmyte) i reguły (implikacje), na przykład:
A = ((x1, 0,0), (x2, 0,2), (x3, 0,7), (x4, 1,0)).
B = ((x1, 0,7), (x2, 0,4), (x3, 1,0), (x4, 0,1)).
A => B.
Implikacja zostanie przedstawiona w postaci macierzy kartezjańskiej, której każdy element obliczany jest za pomocą wybranego operatora implikacji (w tym przykładzie funkcji Gödla):
- def compute_impl(set1, set2):
- """
Obliczanie implikacji
"""- relacja = ()
- dla i w set1.items():
- relacja[i] = ()
- dla j w set2.items():
- v1 = zestaw1.wartość(i)
- v2 = set2.value(j)
- relacja[i][j] = impl(v1, v2)
- relacja zwrotna
Dla powyższych danych będzie to:
Wniosek:
A => B.
x1 x2 x3 x4
x1 1,0 1,0 1,0 1,0
x2 1,0 1,0 1,0 0,1
x3 1,0 0,4 1,0 0,1
x4 0,7 0,4 1,0 0,1
- def konkluzja (zbiór, relacja):
- """
Wniosek
"""- conl_set =
- dla mnie w związku:
- l =
- dla j w relacji [i]:
- v_set = ustawić.wartość(i)
- v_impl = relacja[i][j]
- l.append(t_norm(v_set, v_impl))
- wartość = maks(l)
- conl_set.append((i, wartość))
- zwróć zestaw_konl
Wynik:
B” = ((x1, 1,0), (x2, 0,7), (x3, 1,0), (x4, 0,7)).
Źródła
- Rutkovskaya D., Pilinsky M., Rutkovsky L. Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte: Tłum. z polskiego I. D. Rudinsky. - M.: Infolinia - Telekomunikacja, 2006. - 452 s.: il.
- Zadeh LA Zbiory rozmyte, informacja i kontrola, 1965, tom. 8, s. 338-353
Koncepcja wnioskowania rozmytego zajmuje centralne miejsce w logice rozmytej i teorii sterowania rozmytego. Mówiąc o logice rozmytej w układach sterowania, możemy podać następującą definicję rozmytego systemu wnioskowania.
Rozmyty system wnioskowania to proces uzyskiwania rozmytych wniosków na temat wymaganej kontroli obiektu na podstawie rozmytych warunków lub przesłanek, które reprezentują informację o aktualnym stanie obiektu.
Proces ten łączy w sobie wszystkie podstawowe pojęcia teorii zbiorów rozmytych: funkcje przynależności, zmienne językowe, metody implikacji rozmytych itp. Rozwój i zastosowanie systemów wnioskowania rozmytego obejmuje szereg etapów, których realizacja odbywa się w oparciu o omówione wcześniej zapisy logiki rozmytej (rys. 2.18).
Ryc.2.18. Schemat procesu wnioskowania rozmytego w rozmytych układach automatyki
Baza reguł systemów wnioskowania rozmytego ma na celu formalne przedstawienie wiedzy empirycznej ekspertów w określonej dziedzinie w postaci niejasne zasady produkcji. Zatem podstawą rozmytych reguł produkcji rozmytego systemu wnioskowania jest system rozmytych reguł produkcji, który odzwierciedla wiedzę ekspertów na temat sposobów sterowania obiektem w różnych sytuacjach, charakteru jego funkcjonowania w różnych warunkach itp., tj. zawierające sformalizowaną wiedzę ludzką.
Rozmyta reguła produkcji jest wyrażeniem postaci:
(i):Q;P;A═>B;S,F,N,
Gdzie (i) to nazwa produktu rozmytego, Q to zakres zastosowania produktu rozmytego, P to warunek stosowalności rdzenia produktu rozmytego, A═>B to rdzeń produktu rozmytego, w gdzie A jest warunkiem rdzenia (lub poprzednika), B jest konkluzją rdzenia (lub następnika), ═> - znak logicznej sekwencji lub implikacji, S - metoda lub metoda określania ilościowej wartości stopnia prawdziwości zakończenia jądra, F – współczynnik pewności lub ufności produktów rozmytych, N – końcowe warunki produkcji.
Zakres produktów rozmytych Q opisuje w sposób jawny lub dorozumiany przedmiotowy obszar wiedzy, jaki reprezentuje dany produkt.
Warunkiem stosowalności jądra produkcyjnego P jest wyrażenie logiczne, zwykle predykat. Jeśli jest obecny w produkcie, aktywacja rdzenia produktu staje się możliwa tylko wtedy, gdy ten warunek jest spełniony. W wielu przypadkach ten element produktu można pominąć lub włączyć do rdzenia produktu.
Jądro A═>B jest centralnym składnikiem produktu rozmytego. Można to przedstawić w jednej z bardziej powszechnych form: „JEŚLI A, TO B”, „JEŚLI A, TO B”; gdzie A i B to pewne wyrażenia logiki rozmytej, które najczęściej są reprezentowane w postaci instrukcji rozmytych. Złożone logiczne instrukcje rozmyte mogą być również używane jako wyrażenia, tj. elementarne zdania rozmyte połączone rozmytymi spójnikami logicznymi, takimi jak negacja rozmyta, koniunkcja rozmyta, alternatywna rozmyta.
S – metoda lub metoda określania ilościowej wartości stopnia prawdziwości wniosku B w oparciu o znaną wartość stopnia prawdziwości warunku A. Metoda ta definiuje schemat lub algorytm wnioskowania rozmytego w produkcyjnych systemach rozmytych i nazywa się metoda kompozycji Lub metoda aktywacji.
Współczynnik ufności F wyraża ilościową ocenę stopnia prawdziwości lub względnej wagi iloczynu rozmytego. Współczynnik ufności przyjmuje swoją wartość z przedziału i często nazywany jest współczynnikiem ważenia reguły iloczynu rozmytego.
Warunek końcowy produktu rozmytego N opisuje działania i procedury, które należy wykonać w przypadku wdrożenia rdzenia produktu, tj. uzyskanie informacji o prawdziwości B. Charakter tych działań może być bardzo różny i odzwierciedlać obliczeniowy lub inny aspekt systemu produkcyjnego.
Formularze spójnego zestawu rozmytych reguł produkcji rozmyty system produkcji. Zatem rozmyty system produkcji to lista rozmytych reguł produkcji „JEŚLI A TO B” związanych z określonym obszarem tematycznym.
Najprostsza wersja reguły produkcji rozmytej:
REGUŁA<#>: JEŚLI β 1 „IS ά 1” WTEDY „β 2 IS ά 2”
REGUŁA<#>: JEŚLI „β 1 IS ά 1” WTEDY „β 2 wyświetlacz:blok IS ά 2”.
Poprzednik i następnik rdzenia iloczynu rozmytego może być złożony i składać się ze spójników „AND”, „OR”, „NOT”, na przykład:
REGUŁA<#>: JEŚLI „β 1 JEST ά” ORAZ „β 2 NIE JEST ά”, TO „β 1 NIE JEST β 2”
REGUŁA<#>: JEŚLI „β 1 JEST ά” ORAZ „β 2 NIE JEST ά”, WTEDY „β 1 NIE JEST β 2”.
Najczęściej baza reguł produkcji rozmytej jest prezentowana w formie ustrukturyzowanego tekstu, spójnego pod względem zastosowanych zmiennych językowych:
ZASADA_1: JEŚLI „Warunek_1” TO „Wniosek_1” (F 1 t),
REGUŁA_n: JEŚLI „Warunek_n” TO „Wniosek_n” (F n),
gdzie F i ∈ jest współczynnikiem pewności lub współczynnikiem ważenia odpowiedniej reguły. Spójność listy oznacza, że jako warunki i wnioski reguł można używać jedynie prostych i złożonych instrukcji rozmytych połączonych operacjami binarnymi „AND” i „OR”, natomiast w każdym z wyrażeń rozmytych funkcje przynależności wartości należy zdefiniować termin dla każdej zmiennej językowej. Z reguły funkcje przynależności poszczególnych terminów są reprezentowane przez funkcje trójkątne lub trapezowe. Poniższe skróty są powszechnie używane do nazywania poszczególnych terminów.
Tabela 2.3.
Przykład. Wyróżnia się zbiornik napełniający (zbiornik) z ciągłym kontrolowanym przepływem cieczy i ciągłym niekontrolowanym przepływem cieczy. Baza reguł systemu wnioskowania rozmytego, odpowiadająca wiedzy eksperta o tym, jaki rodzaj dopływu cieczy należy dobrać, aby poziom cieczy w zbiorniku pozostał średni, będzie wyglądać następująco:
| REGUŁA<1>: | A „zużycie płynów jest wysokie” | DO „napływu płynów” | duży średni mały | »; | |
| REGUŁA<2>: | JEŚLI „poziom cieczy jest niski” | A „zużycie płynów jest średnie” | DO „napływu płynów” | duży średni mały | »; |
| REGUŁA<3>: | JEŚLI „poziom cieczy jest niski” | A „zużycie płynów jest niskie” | DO „napływu płynów” | duży średni mały | »; |
| REGUŁA<4>: | A „zużycie płynów jest wysokie” | DO „napływu płynów” | duży średni mały | »; | |
| REGUŁA<5>: | JEŚLI „poziom płynu jest średni” | A „zużycie płynów jest średnie” | DO „napływu płynów” | duży średni mały | »; |
| REGUŁA<6>: | JEŚLI „poziom płynu jest średni” | A „zużycie płynów jest niskie” | DO „napływu płynów” | duży średni mały | »; |
| REGUŁA<7>: | A „zużycie płynów jest wysokie” | DO „napływu płynów” | duży średni mały | »; | |
| REGUŁA<8>: | JEŚLI „poziom płynu jest wysoki” | A „zużycie płynów jest średnie” | DO „napływu płynów” | duży średni mały | »; |
| REGUŁA<9>: | JEŚLI „poziom płynu jest wysoki” | A „zużycie płynów jest niskie” | DO „napływu płynów” | duży średni mały | ». |
Używając oznaczeń ZP – „mały”, PM – „średni”, PB – „duży”, tę bazę rozmytych reguł produkcji można przedstawić w postaci tabeli, której węzły zawierają odpowiednie wnioski dotyczące wymaganego dopływu płynu :
Tabela 2.4.
|
||||||||||||||||||||
Przykład. Formalizacja opisu poziomu cieczy w zbiorniku i natężenia przepływu cieczy odbywa się za pomocą zmiennych językowych, których krotka zawiera trzy zmienne rozmyte odpowiadające pojęciom małych, średnich i dużych wartości odpowiednich wielkości fizycznych, których funkcje przynależności przedstawiono na rys. 2.19.
Trójkątny Trapezowy Z-liniowy S-liniowy
Trójkątny Trapezowy Z-liniowy S-liniowy
Aktualny poziom:
Trójkątny Trapezowy Z-liniowy S-liniowy
Trójkątny Trapezowy Z-liniowy S-liniowy
Trójkątny Trapezowy Z-liniowy S-liniowy
Obecne zużycie:
Ryc.2.19. Funkcje przynależności krotek zmiennych językowych odpowiadające rozmytym pojęciom odpowiednio małego, średniego, dużego poziomu i przepływu płynu
Jeżeli aktualny poziom i natężenie przepływu cieczy wynoszą odpowiednio 2,5 m i 0,4 m 3 /s, to w wyniku rozmycia otrzymujemy stopnie prawdziwości elementarnych twierdzeń rozmytych:
- „niski poziom cieczy” – 0,75;
- „średni poziom cieczy” – 0,25;
- „poziom cieczy jest wysoki” – 0,00;
- „zużycie cieczy jest niskie” – 0,00;
- „średnie zużycie płynów” – 0,50;
- „zużycie płynów jest wysokie” – 1,00.
Zbiór– jest to procedura wyznaczania stopnia prawdziwości warunków dla każdej z reguł rozmytego systemu wnioskowania. W tym przypadku wykorzystuje się wartości funkcji przynależności terminów zmiennych językowych tworzących ww. warunki (poprzedniki) jądra reguł produkcji rozmytej, uzyskane na etapie fuzzyfikacji.
Jeżeli warunkiem rozmytej reguły tworzenia jest proste stwierdzenie rozmyte, wówczas stopień jej prawdziwości odpowiada wartości funkcji przynależności odpowiedniego terminu zmiennej językowej.
Jeżeli warunek reprezentuje zdanie złożone, wówczas stopień prawdziwości zdania złożonego określa się na podstawie znanych wartości logicznych jego zdań elementarnych, stosując wcześniej wprowadzone operacje logiczne rozmyte w jednej z określonych wcześniej podstaw.
Na przykład, biorąc pod uwagę wartości prawdziwości zdań elementarnych uzyskane w wyniku rozmycia, stopień prawdziwości warunków dla każdej reguły złożonej systemu wnioskowania rozmytego do kontrolowania poziomu cieczy w zbiorniku, zgodnie z definicją Zadeha rozmyte logiczne „AND” dwóch elementarnych instrukcji A, B: T(A ∩ B)=min(T(A);T(B)) będzie następne.
REGUŁA<1>: poprzednik – „poziom cieczy jest niski” ORAZ „przepływ płynu jest wysoki”; stopień prawdy
poprzednik min(0,75 ;1,00 )=0,00 .
REGUŁA<2>: poprzednik – „poziom cieczy jest niski” ORAZ „przepływ płynu jest średni”; stopień prawdy
poprzednik min(0,75 ;0,50 )=0,00 .
REGUŁA<3>: poprzednik – „poziom cieczy jest niski” ORAZ „przepływ płynu jest niski”, stopień prawdy
poprzednik min(0,75 ;0,00 )=0,00 .
REGUŁA<4>: poprzednik – „poziom cieczy jest średni” ORAZ „przepływ płynu jest wysoki”, stopień prawdy
poprzednik min(0,25 ;1,00 )=0,00 .
REGUŁA<5>: poprzednik – „średni poziom płynu” ORAZ „średni przepływ płynu”, stopień prawdy
poprzednik min(0,25 ;0,50 )=0,00 .
REGUŁA<6>: poprzednik – „średni poziom płynu” ORAZ „niskie zużycie płynu”, stopień prawdy
poprzednik min(0,25 ;0,00 )=0,00 .
REGUŁA<7>: poprzednik – „poziom cieczy jest wysoki” ORAZ „przepływ płynu jest wysoki”, stopień prawdy
poprzednik min(0,00 ;1,00 )=0,00 .
REGUŁA<8>: poprzednik – „poziom cieczy jest wysoki” ORAZ „przepływ płynu jest średni”, stopień prawdy
poprzednik min(0,00 ;0,50 )=0,00 .
REGUŁA<9>: poprzednik – „poziom cieczy jest wysoki” ORAZ „przepływ płynu jest niski”, stopień prawdy
poprzednik min(0,00 ;0,00 )=0,00 .
|
||||||||||||||||||||
Aktywacja w rozmytych systemach wnioskowania jest to procedura lub proces znajdowania stopnia prawdziwości każdego z elementarnych twierdzeń logicznych (podwniosków), które stanowią konsekwencja rdzeni wszystkich rozmytych reguł produkcji. Ponieważ wnioski wyciągane są w odniesieniu do wyjściowych zmiennych językowych, po aktywacji stopnie prawdziwości elementarnych wniosków cząstkowych są powiązane z elementarnymi funkcjami przynależności.
Jeśli wniosek (następnik) rozmytej reguły produkcji jest prostym stwierdzeniem rozmytym, wówczas stopień jego prawdziwości jest równy iloczynowi algebraicznemu współczynnika wagowego i stopnia prawdziwości poprzednika tej rozmytej reguły produkcji.
Jeżeli wniosek jest zdaniem złożonym, to stopień prawdziwości każdego ze zdań elementarnych jest równy iloczynowi algebraicznemu współczynnika ważenia i stopnia prawdziwości poprzednika danej reguły produkcji rozmytej.
Jeżeli współczynniki wagowe reguł produkcji nie są wyraźnie określone na etapie tworzenia bazy reguł, wówczas ich domyślne wartości wynoszą jeden.
Funkcje przynależności μ (y) każdego z elementarnych wniosków cząstkowych następników wszystkich reguł produkcji wyznacza się za pomocą jednej z metod kompozycji rozmytej:
- min–aktywacja – μ (y) = min ( c ; μ (x) ) ;
- aktywacja prod – μ (y) =c μ (x);
- średnia aktywacja – μ (y) =0,5(c + μ (x)) ;
Gdzie μ (x) i c są odpowiednio funkcjami przynależności terminów zmiennych językowych i stopniem prawdziwości stwierdzeń rozmytych, które tworzą odpowiednie konsekwencje (konsekwencje) jądra reguł produkcji rozmytej.
Przykład. Jeżeli formalizacja opisu dopływu cieczy do zbiornika zostanie przeprowadzona za pomocą zmiennej lingwistycznej, której krotka zawiera trzy zmienne rozmyte odpowiadające pojęciom małych, średnich i dużych wartości dopływu cieczy, funkcje przynależności które przedstawiono na rys. 2.19, to dla zasad wytwarzania rozmytego układu wnioskowania o poziomie cieczy w zbiorniku poprzez zmianę przepływu cieczy funkcje przynależności wszystkich wniosków cząstkowych z aktywacją min będą wyglądać następująco (rys. 2.20( a), (b)).
Ryc.2.20(a). Funkcja akcesoriów krotki zmiennych językowych odpowiadających rozmytym pojęciom małego, średniego, dużego napływu cieczy do zbiornika oraz min-aktywacja wszystkich wniosków cząstkowych reguł wytwarzania rozmytego układu kontroli poziomu cieczy w zbiorniku
Rys.2.20(b). Funkcja akcesoriów krotki zmiennych językowych odpowiadających rozmytym pojęciom małego, średniego, dużego napływu cieczy do zbiornika oraz min-aktywacja wszystkich wniosków cząstkowych reguł wytwarzania rozmytego układu kontroli poziomu cieczy w zbiorniku
Akumulacja(Lub składowanie) w rozmytych systemach wnioskowania to proces znajdowania funkcji przynależności dla każdej wyjściowej zmiennej językowej. Celem akumulacji jest połączenie wszystkich stopni prawdziwości wniosków cząstkowych w celu uzyskania funkcji przynależności każdej ze zmiennych wyjściowych. Wynik akumulacji dla każdej wyjściowej zmiennej językowej definiuje się jako sumę zbiorów rozmytych wszystkich wniosków cząstkowych bazy reguł rozmytych dotyczących odpowiedniej zmiennej językowej. Sumę funkcji przynależności wszystkich podwniosków przeprowadza się zwykle klasycznie ∀ x ∈ X μ A ∪ B (x) = max ( μ A (x) ; μ B (x) ) (max-unia), można także wykonać następujące operacje być użytym:
- suma algebraiczna ∀ x ∈ X μ A+B x = μ A x + μ B x - μ A x ⋅ μ B x ,
- związek brzegowy ∀ x ∈ X μ A B x = min( μ A x ⋅ μ B x ;1) ,
- związek drastyczny ∀ x ∈ X μ A ∇ B (x) = ( μ B (x) , if i μ A (x) = 0, μ A (x) , if i μ B (x) = 0 , 1, in inne przypadki,
- jak również λ -sumy ∀ x ∈ X μ (A+B) x = λ μ A x +(1-λ) μ B x ,λ∈ .
Przykład. Dla reguł tworzenia rozmytego systemu wnioskowania do sterowania poziomem cieczy w zbiorniku poprzez zmianę dopływu cieczy funkcja przynależności zmiennej językowej „dopływ cieczy” otrzymana w wyniku kumulacji wszystkich wniosków cząstkowych podczas maksymalnego łączenia będzie wyglądać w następujący sposób (ryc. 2.21).
Rys. 2.21 Funkcja przynależności zmiennej językowej „dopływ płynu”
Defuzyfikacja w rozmytych systemach wnioskowania jest to proces przejścia od funkcji przynależności wyjściowej zmiennej językowej do jej jasnej (numerycznej) wartości. Celem defuzyfikacji jest wykorzystanie wyników akumulacji wszystkich wyjściowych zmiennych językowych do uzyskania wartości ilościowych dla każdej zmiennej wyjściowej, która jest wykorzystywana przez urządzenia zewnętrzne w stosunku do rozmytego systemu wnioskowania (siłowniki inteligentnego układu automatycznego sterowania).
Przejście od funkcji przynależności μ (x) wyjściowej zmiennej językowej uzyskanej w wyniku akumulacji do wartości liczbowej y zmiennej wyjściowej odbywa się jedną z następujących metod:
- metoda środka ciężkości(Środek ciężkości) należy obliczyć środek ciężkości obszaru y = ∫ x min x max x μ (x) d x ∫ x min x max μ (x) re x , gdzie [ x max ; x min ] – nośnik zbioru rozmytego wyjściowej zmiennej językowej; (na ryc. 2.21 wynik rozmycia jest oznaczony zieloną linią)
- metoda centrum obszaru(Środek Powierzchni) polega na obliczeniu odciętej y dzielącej pole powierzchni ograniczonej krzywą funkcji przynależności μ (x), tzw. dwusieczną pola ∫ x min y μ (x) d x = ∫ y x max μ (x) d x ; (na ryc. 2.21 wynik rozmycia jest oznaczony niebieską linią)
- metoda lewomodalna y= x min ;
- właściwa metoda modalna y= x maks
Przykład. W przypadku reguł tworzenia rozmytego systemu wnioskowania do kontrolowania poziomu cieczy w zbiorniku poprzez zmianę dopływu cieczy rozmycie funkcji przynależności zmiennej językowej „dopływ cieczy” (rys. 2.21) prowadzi do następujących wyników:
- metoda środka ciężkości y= 0,35375 m 3 /s;
- metoda środka powierzchni y= 0, m 3 /sek
- metoda lewej wartości modalnej y= 0,2 m 3 /s;
- prawa metoda wartości modalnych y= 0,5 m 3 /sek
Rozważane etapy wnioskowania rozmytego można realizować w sposób niejednoznaczny: agregację można przeprowadzić nie tylko w oparciu o logikę rozmytą Zadeha, aktywację można przeprowadzić różnymi metodami kompozycji rozmytej, na etapie akumulacji można przeprowadzić kombinację w sposób inny niż kombinacja max, defuzyfikację można przeprowadzić także różnymi metodami. Zatem wybór konkretnych metod realizacji poszczególnych etapów wnioskowania rozmytego determinuje ten lub inny algorytm wnioskowania rozmytego. Obecnie otwarta pozostaje kwestia kryteriów i metod wyboru algorytmu wnioskowania rozmytego w zależności od konkretnego problemu technicznego. Obecnie w systemach wnioskowania rozmytego najczęściej stosuje się następujące algorytmy.
Algorytm Mamdaniego znalazła zastosowanie w pierwszych rozmytych układach automatyki. Został zaproponowany w 1975 roku przez angielskiego matematyka E. Mamdaniego do sterowania silnikiem parowym.
- Tworzenie bazy reguł rozmytego systemu wnioskowania odbywa się w formie uporządkowanej uzgodnionej listy rozmytych reguł produkcji w postaci „JEŚLI A TO B”, gdzie poprzedniki jądra reguł produkcji rozmytej są konstruowane przy użyciu łączniki logiczne „AND” i konsekwencje jądra reguł produkcji rozmytej są proste.
- Fuzzyfikację zmiennych wejściowych przeprowadza się w sposób opisany powyżej, analogicznie jak w ogólnym przypadku konstruowania rozmytego układu wnioskowania.
- Agregacja warunków podwarunkowych rozmytych reguł produkcji odbywa się za pomocą klasycznej rozmytej operacji logicznej „AND” dwóch elementarnych instrukcji A, B: T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) ).
- Aktywacja wniosków podrzędnych reguł tworzenia rozmytego odbywa się metodą min-aktywacji μ (y) = min(c; μ (x) ) , gdzie μ (x) i c są odpowiednio funkcjami przynależności terminów zmiennych językowych oraz stopień prawdziwości zdań rozmytych tworzących odpowiadające im konsekwencje (konsekwencje) jądra reguł produkcji rozmytej.
- Akumulację wniosków cząstkowych reguł produkcji rozmytej przeprowadza się za pomocą klasycznej logiki rozmytej maksymalnej sumy funkcji przynależności ∀ x ∈ X μ A B x = max( μ A x ; μ B x ).
- Defuzyfikację przeprowadza się metodą środka ciężkości lub środka powierzchni.
Na przykład, opisany powyżej przypadek kontroli poziomu w zbiorniku odpowiada algorytmowi Mamdaniego, jeżeli na etapie rozszumowania poszukuje się jednoznacznej wartości zmiennej wyjściowej metodą środka ciężkości lub metody powierzchniowej: y = 0,35375 m 3 /s lub y = 0,38525 m odpowiednio 3 /sek.
Algorytm Tsukamoto Formalnie wygląda to tak.
- Agregacja podwarunków reguł produkcji rozmytej odbywa się podobnie jak w algorytmie Mamdaniego przy użyciu klasycznej operacji rozmytej logicznej „AND” dwóch instrukcji elementarnych A, B: T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) )
- Aktywacja wniosków podrzędnych reguł iloczynu rozmytego odbywa się dwuetapowo. W pierwszym etapie wyznacza się stopnie prawdziwości wniosków (następników) rozmytych reguł produkcji, analogicznie do algorytmu Mamdaniego, jako iloczyn algebraiczny współczynnika ważenia i stopnia prawdziwości poprzednika danej rozmytej reguły produkcji. W drugim etapie, w przeciwieństwie do algorytmu Mamdaniego, dla każdej z reguł tworzenia zamiast konstruować funkcje przynależności subwniosków, rozwiązuje się równanie μ(x) = c i wyznacza się wyraźną wartość ω wyjściowej zmiennej językowej, gdzie μ (x) i c są odpowiednio funkcjami przynależności zmiennych terminów językowych i stopniem prawdziwości stwierdzeń rozmytych, które tworzą odpowiednie konsekwencje (konsekwencje) jądra reguł tworzenia rozmytego.
- Na etapie defuzyfikacji dla każdej zmiennej językowej następuje przejście z dyskretnego zbioru wyraźnych wartości (w 1... w n) do pojedynczej jasnej wartości zgodnie z dyskretnym analogiem metody środka ciężkości y = ∑ ja = 1 n do ja w ja ∑ ja = 1 n do ja,
gdzie n jest liczbą reguł produkcji rozmytej, we wnioskach, w których pojawia się ta zmienna językowa, c i jest stopniem prawdziwości podwniosku reguły produkcji, w i jest wartością jasną tej zmiennej językowej, uzyskaną na etapie aktywacji rozwiązując równanie μ (x) = c i, tj. μ(wi) = c i, a μ(x) reprezentuje funkcję przynależności odpowiedniego terminu zmiennej językowej.
Na przykład, Algorytm Tsukamoto jest realizowany jeżeli w przypadku opisanej powyżej kontroli poziomu w zbiorniku:
- na etapie aktywacji wykorzystaj dane z rys. 2.20 i dla każdej reguły produkcji rozwiąż graficznie równanie μ (x) = c i, tj. znajdź pary wartości (ci, w i): reguła 1 - (0,75; 0,385), reguła 2 - (0,5; 0,375), reguła 3- (0; 0), reguła 4 - (0,25; 0,365), reguła 5 - ( 0,25 ; 0,365 ),
reguła 6 - (0 ; 0), reguła 7 - (0 ; 0), reguła 7 - (0 ; 0), reguła 8 - (0 ; 0), reguła 9 - (0 ; 0), dla piątej reguły są dwa pierwiastki; - na etapie defuzyfikacji zmiennej językowej „dopływ płynu” dokonać przejścia z dyskretnego zbioru wyraźnych wartości ( ω 1 . . . ω n ) do pojedynczej wyraźnej wartości zgodnie z dyskretną analogią środka ciężkości metoda y = ∑ ja = 1 n do ja w ja ∑ ja = 1 n do ja , y = 0,35375 m 3 /s
Algorytm Larsena formalnie wygląda tak.
- Tworzenie bazy reguł rozmytego systemu wnioskowania odbywa się analogicznie do algorytmu Mamdaniego.
- Fuzzyfikację zmiennych wejściowych przeprowadza się analogicznie do algorytmu Mamdaniego.
- Aktywacja podwniosków reguł produkcji rozmytej odbywa się metodą prod-aktywacji, μ (y) = c μ (x), gdzie μ (x) i c są odpowiednio funkcjami przynależności terminów zmiennych językowych oraz stopień prawdziwości zdań rozmytych tworzących odpowiednie konsekwencje (konsekwencje) reguł produkcji jąder rozmytych.
- Akumulacja wniosków cząstkowych reguł produkcji rozmytej odbywa się podobnie jak w algorytmie Mamdaniego przy użyciu klasycznej logiki rozmytej maksymalnej sumy funkcji przynależności T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) ).
- Defuzzyfikację przeprowadza się dowolną z metod omówionych powyżej.
Na przykład, Algorytm Larsena jest realizowany, jeśli w przypadku opisanej powyżej kontroli poziomu w zbiorniku, na etapie aktywacji zostaną otrzymane funkcje przynależności wszystkich wniosków cząstkowych zgodnie z prod-aktywacją (rys. 2.22(a), (b)), to przynależność funkcja zmiennej lingwistycznej „dopływ cieczy” otrzymana w wyniku kumulacji wszystkich wniosków cząstkowych podczas maksymalnego łączenia będzie wyglądać następująco (Rys. 2.22(b)), a rozmycie funkcji przynależności zmiennej lingwistycznej „płyn dopływ” daje następujące wyniki: metoda środka ciężkości y= 0,40881 m 3 /s, metoda środka powierzchni y= 0,41017 m 3 /s
Rys.2.22(a) Prod-aktywacja wszystkich wniosków cząstkowych reguł iloczynu rozmytego układu kontroli poziomu cieczy w zbiorniku
Rys.2.22(b) Prod-aktywacja wszystkich wniosków cząstkowych rozmytych reguł produkcji układu kontroli poziomu cieczy w zbiorniku i funkcji przynależności zmiennej językowej „dopływ cieczy” uzyskanej za pomocą max-union
,Algorytm Sugeno następująco.
- Tworzenie bazy reguł rozmytego systemu wnioskowania odbywa się w formie uporządkowanej uzgodnionej listy rozmytych reguł produkcji w postaci „JEŚLI A I B TO w = ε 1 a + ε 2 b”, gdzie poprzednicy jądra reguł produkcji rozmytej zbudowane są z dwóch prostych instrukcji rozmytych A, B z wykorzystaniem spójników logicznych „AND”, a i b są wyraźnymi wartościami zmiennych wejściowych odpowiadających odpowiednio stwierdzeniom A i B, ε 1 i ε 2 są współczynnikami wagowymi wyznaczającymi współczynniki proporcjonalności pomiędzy wartościami wyraźnymi zmiennych wejściowych a zmienną wyjściową rozmytego układu wnioskowania, w – zerową wartość zmiennej wyjściowej, określoną we wniosku reguły rozmytej, jako prawdziwy numer.
- Fuzzyfikacja zmiennych wejściowych definiujących stwierdzenia odbywa się analogicznie do algorytmu Mamdaniego.
- Agregacja podwarunków reguł produkcji rozmytej odbywa się analogicznie do algorytmu Mamdaniego przy użyciu klasycznej operacji rozmytej logicznej „AND” dwóch elementarnych instrukcji A, B: T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) ) .
- „Aktywacja wniosków podrzędnych reguł iloczynu rozmytego odbywa się dwuetapowo. W pierwszym etapie, podobnie jak w algorytmie Mamdaniego, wyznacza się stopnie prawdziwości c wniosków (następników) rozmytych reguł tworzenia, które przypisują zmiennej wyjściowej liczby rzeczywiste, jako iloczyn algebraiczny współczynnika ważącego i stopnia prawdziwości poprzednik danej rozmytej reguły produkcji. W drugim etapie, w przeciwieństwie do algorytmu Mamdaniego, dla każdej z reguł produkcji, zamiast konstruować funkcje przynależności subwniosków, wyznacza się jawną wartość zmiennej wyjściowej w = ε 1 a + ε 2 b. Zatem każdej i-tej regule produkcji przypisany jest punkt (ci w i), gdzie ci jest stopniem prawdziwości reguły produkcji, w i jest wartością jasną zmiennej wyjściowej określonej w następstwie reguły produkcji.
- Nie przeprowadza się akumulacji wniosków z rozmytych reguł produkcji, ponieważ na etapie aktywacji uzyskano już dyskretne zbiory jasnych wartości dla każdej z wyjściowych zmiennych językowych.
- Defuzyfikację przeprowadza się jak w algorytmie Tsukamoto. Dla każdej zmiennej językowej następuje przejście z dyskretnego zestawu wyraźnych wartości ( w 1 . . . w n ) do pojedynczej jasnej wartości zgodnie z dyskretnym analogiem metody środka ciężkości y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , gdzie n jest liczbą rozmytych reguł tworzenia, we wnioskach, w których pojawia się ta zmienna językowa, c i jest stopniem prawdziwości podwniosku reguły tworzenia, w i jest wartością jasną tej zmiennej językowej ustaloną w konsekwencja reguły produkcji.
Na przykład, Algorytm Sugeno jest realizowany jeżeli w opisanym powyżej przypadku sterowania poziomem cieczy w zbiorniku na etapie tworzenia bazy reguł systemu wnioskowania rozmytego zasady ustalane są w oparciu o fakt, że przy utrzymaniu stałego poziomu cieczy , wartości liczbowe dopływu w i przepływu b muszą być sobie równe ε 2 =1 , a szybkość napełniania pojemnika jest określona przez odpowiednią zmianę współczynnika proporcjonalności ε 1 pomiędzy dopływem w a cieczą poziom A. W tym przypadku będzie wyglądać baza reguł systemu wnioskowania rozmytego, odpowiadająca wiedzy eksperta o tym, jaki rodzaj dopływu cieczy w = ε 1 a + ε 2 b należy tak dobrać, aby poziom cieczy w zbiorniku pozostawał średni Ten:
REGUŁA<1>: JEŚLI „poziom cieczy jest niski” ORAZ „przepływ płynu jest wysoki”, WTEDY w=0,3a+b;
REGUŁA<2>: JEŚLI „poziom cieczy jest niski” ORAZ „przepływ płynu jest średni”, WTEDY w=0,2a+b;
REGUŁA<3>: JEŚLI „poziom cieczy jest niski” ORAZ „przepływ płynu jest niski”, WTEDY w=0,1a+b;
REGUŁA<4>: JEŚLI „poziom płynu jest średni” ORAZ „przepływ płynu jest wysoki”, TO w=0,3a+b;
REGUŁA<5>: JEŚLI „poziom cieczy jest średni” ORAZ „przepływ płynu jest średni”, WTEDY w=0,2a+b;
REGUŁA<6>: JEŚLI „poziom cieczy jest średni” ORAZ „przepływ cieczy jest niski”, WTEDY w=0,1a+b;
REGUŁA<7>:JEŚLI „poziom cieczy jest wysoki” ORAZ „przepływ płynu jest wysoki” WTEDY w=0,4a+b;
REGUŁA<8>: JEŚLI „poziom cieczy jest wysoki” ORAZ „natężenie przepływu cieczy jest średnie”, WTEDY w=0,2a+b;
REGUŁA<9>: JEŚLI „poziom cieczy jest wysoki” ORAZ „przepływ cieczy jest niski”, WTEDY w=0,1a+b.
Przy rozpatrywanym wcześniej aktualnym poziomie i natężeniu przepływu cieczy odpowiednio a = 2,5 m i b = 0,4 m 3 /s w wyniku rozmycia, agregacji i aktywacji, biorąc pod uwagę jednoznaczne określenie jednoznacznych wartości zmienną wyjściową w następstwach reguł produkcji, otrzymujemy pary wartości (c i w i): reguła1 - (0,75 ; 1,15), reguła2 - (0,5 ; 0,9), reguła3- (0 ; 0,65), reguła 4 - (0,25 ; 1,15 ), reguła 5 - (0,25 ; 0,9), reguła 6 - (0 ; 0,65), reguła 7 - (0 ; 0), reguła 7 - (0 ; 1,14), reguła 8 - (0 ; 0,9), reguła 9 - (0 ; 0, 65 ). Na etapie defuzyfikacji zmiennej językowej „dopływ płynu” następuje przejście z dyskretnego zbioru wyraźnych wartości ( w 1 . . . w n ) do pojedynczej jasnej wartości zgodnie z dyskretnym analogiem środka ciężkości metoda y = ∑ ja = 1 n do ja w ja ∑ ja = 1 n do ja , y= 1,0475 m 3 /sek
Uproszczony algorytm wnioskowania rozmytego jest formalnie określone dokładnie w taki sam sposób jak algorytm Sugeno, z tą różnicą, że w następstwach reguł produkcji podane są jawne wartości, zamiast relacji w= ε 1 a+ ε 1 b jawne podanie bezpośredniej wartości w Jest używane. Zatem tworzenie bazy reguł rozmytego systemu wnioskowania odbywa się w postaci uporządkowanej, uzgodnionej listy rozmytych reguł produkcji w postaci „JEŚLI A I B TO w=ε”, gdzie poprzednicy jąder reguły produkcji rozmytej zbudowane są z dwóch prostych instrukcji rozmytych A, B przy użyciu spójników logicznych „And”, w – wyraźna wartość zmiennej wyjściowej, zdefiniowana dla każdego wniosku i-tej reguły jako liczba rzeczywista ε i.
Na przykład, uproszczony algorytm wnioskowania rozmytego ma zastosowanie, jeżeli w opisanym powyżej przypadku sterowania poziomem cieczy w zbiorniku, na etapie tworzenia bazy reguł systemu wnioskowania rozmytego, reguły są ustawione następująco:
REGUŁA<1>: JEŚLI „poziom cieczy jest niski” ORAZ „przepływ płynu jest wysoki”, WTEDY w=0,6;
REGUŁA<2>: JEŚLI „poziom cieczy jest niski” ORAZ „przepływ płynu jest średni” WTEDY w=0,5;
REGUŁA<3>: JEŚLI „poziom cieczy jest niski” ORAZ „przepływ płynu jest niski”, WTEDY w=0,4;
REGUŁA<4>: JEŚLI „poziom płynu jest średni” ORAZ „przepływ płynu jest wysoki” WTEDY w=0,5;
REGUŁA<5>: JEŚLI „poziom cieczy jest średni” ORAZ „przepływ płynu jest średni” WTEDY w=0,4;
REGUŁA<6>: JEŚLI „poziom cieczy jest średni” ORAZ „przepływ cieczy jest niski” WTEDY w=0,3;
REGUŁA<7>:JEŚLI „poziom cieczy jest wysoki” ORAZ „przepływ płynu jest wysoki” WTEDY w=0,3;
REGUŁA<8>: JEŚLI „poziom cieczy jest wysoki” ORAZ „natężenie przepływu cieczy jest średnie” WTEDY w=0,2;
REGUŁA<9>: JEŚLI „poziom cieczy jest wysoki” ORAZ „przepływ cieczy jest niski”, WTEDY w=0,1.
Biorąc pod uwagę wcześniej rozważany bieżący poziom i natężenie przepływu cieczy, a co za tym idzie, w wyniku rozmycia, agregacji i aktywacji, biorąc pod uwagę jednoznaczne określenie jasnych wartości zmiennej wyjściowej w konsekwencjach reguł produkcji, możemy uzyskać pary wartości (c i w i): reguła1 - (0,75; 0,6), reguła2 - (0,5; 0,5), reguła3- (0; 0,4), reguła 4 - (0,25; 0,5), reguła 5 - (0,25 ; 0,4), reguła 6 - (0 ; 0,3),
reguła 7 - (0 ; 0,3), reguła 7 - (0 ; 0,3), reguła 8 - (0 ; 0,2), reguła 9 - (0 ; 0,1) . Na etapie defuzyfikacji zmiennej językowej „dopływ płynu” następuje przejście z dyskretnego zbioru wyraźnych wartości ( w 1 . . . w n ) do pojedynczej jasnej wartości zgodnie z dyskretnym analogiem środka ciężkości metoda y = ∑ i = 1 n do ja w ja ∑ ja = 1 n do ja , y= 1,0475 m 3 /s, y= 0,5 m 3 /s
