წარმოებულების გამოთვლის წესები. ფუნქციის წარმოებული 1 ფუნქციის წარმოებულის განმარტება

(\large\bf ფუნქციის წარმოებული)

განიხილეთ ფუნქცია y=f(x), მოცემულია ინტერვალზე (ა, ბ). დაე x- ნებისმიერი ფიქსირებული წერტილის ინტერვალი (ა, ბ), ა Δx- თვითნებური რიცხვი, ისეთი, რომ მნიშვნელობა x+Δxასევე მიეკუთვნება ინტერვალს (ა, ბ). ეს ნომერი Δxარგუმენტის ზრდა ეწოდება.

განმარტება. ფუნქციის ზრდა y=f(x)წერტილში x, არგუმენტის ნამატის შესაბამისი Δx, დარეკეთ ნომერზე

Δy = f(x+Δx) - f(x).

ჩვენ გვჯერა ამის Δx ≠ 0. განვიხილოთ მოცემულ ფიქსირებულ წერტილზე xიმ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდება არგუმენტის შესაბამის ზრდასთან Δx

ამ მიმართებას დაერქმევა სხვაობის მიმართება. ღირებულებიდან გამომდინარე xმიგვაჩნია დაფიქსირებულად, განსხვავების მიმართება არგუმენტის ფუნქციაა Δx. ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის Δx, რომელიც მიეკუთვნება პუნქტის საკმარისად პატარა უბანს ∆x=0, გარდა წერტილისა ∆x=0. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს უფლება განვიხილოთ საკითხი მითითებული ფუნქციის ლიმიტის არსებობის შესახებ ∆x → 0.

განმარტება. წარმოებული ფუნქცია y=f(x)მოცემულ ფიქსირებულ წერტილში xლიმიტი ეწოდება ∆x → 0დიფერენციალური ურთიერთობა, ანუ

იმ პირობით, რომ ეს ლიმიტი არსებობს.

Დანიშნულება. y (x)ან f′(x).

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა: ფუნქციის წარმოებული f(x)ამ ეტაპზე xღერძებს შორის კუთხის ტანგენტის ტოლი ოქსიდა ტანგენსი ამ ფუნქციის გრაფიკზე შესაბამის წერტილში:

f′(x 0) = \tgα.

წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა: ბილიკის წარმოებული დროის მიმართ უდრის წერტილის მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარეს:

წრფის ტანგენტის განტოლება y=f(x)წერტილში M0 (x0,y0)ფორმას იღებს

y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).

მრუდის ნორმალური რაღაც მომენტში არის პერპენდიკულარული იმავე წერტილში ტანგენტის მიმართ. თუ f′(x 0)≠ 0, შემდეგ ნორმალურის განტოლება წრფესთან y=f(x)წერტილში M0 (x0,y0)წერია ასე:

ფუნქციის დიფერენციალურობის ცნება

დაუშვით ფუნქცია y=f(x)განსაზღვრულია გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ), x- არგუმენტის გარკვეული ფიქსირებული მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან, Δx- არგუმენტის ნებისმიერი ზრდა ისეთი, რომ არგუმენტის მნიშვნელობა x+Δx ∈ (a, b).

განმარტება. ფუნქცია y=f(x)მოცემულ წერტილში დიფერენცირებადი ეწოდება xთუ ნამატი Δyეს ფუნქცია წერტილში x, არგუმენტის ნამატის შესაბამისი Δx, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

Δy = A Δx +αΔx,

სად აარის გარკვეული რიცხვი დამოუკიდებელი Δx, ა α - არგუმენტის ფუნქცია Δx, რომელიც უსასრულოდ მცირეა ∆x → 0.

ვინაიდან ორი უსასრულო ფუნქციის ნამრავლი αΔxუსასრულოდ მცირე უფრო მაღალი რიგია ვიდრე Δx(უსასრულოდ მცირე ფუნქციების თვისება 3), შეგვიძლია დავწეროთ:

∆y = A ∆x +o(∆x).

თეორემა. ფუნქციის მიზნით y=f(x)იყო დიფერენცირებადი მოცემულ მომენტში x, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მას ამ ეტაპზე ჰქონდეს სასრულ წარმოებული. სადაც A=f′(x), ანუ

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

წარმოებულის პოვნის ოპერაციას ჩვეულებრივ უწოდებენ დიფერენციაციას.

თეორემა. თუ ფუნქცია y=f(x) x, მაშინ ის უწყვეტია იმ მომენტში.

კომენტარი. ფუნქციის უწყვეტობიდან y=f(x)ამ ეტაპზე xზოგადად, ეს არ ნიშნავს, რომ ფუნქცია დიფერენცირებადია f(x)ამ ეტაპზე. მაგალითად, ფუნქცია y=|x|- უწყვეტი წერტილში x=0, მაგრამ არ აქვს წარმოებული.

ფუნქციის დიფერენციალური კონცეფცია

განმარტება. ფუნქციის დიფერენციალი y=f(x)ეწოდება ამ ფუნქციის წარმოებულისა და დამოუკიდებელი ცვლადის ნამრავლის ნამრავლი x:

dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.

ფუნქციისთვის y=xვიღებთ dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, ანუ dx=Δx- დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალი უდრის ამ ცვლადის ნამატს.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ

dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx

დიფერენციალური დიდა მატება Δyფუნქციები y=f(x)ამ ეტაპზე x, ორივე შეესაბამება არგუმენტის ერთსა და იმავე ზრდას Δxზოგადად, ერთმანეთის ტოლი არ არის.

დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა: ფუნქციის დიფერენციალი უდრის მოცემული ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის ორდინატის ნამატს, როდესაც არგუმენტი იზრდება. Δx.

დიფერენციაციის წესები

თეორემა. თუ თითოეული ფუნქცია u(x)და v(x)დიფერენცირებადი მოცემულ წერტილში x, შემდეგ ამ ფუნქციების ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და კოეფიციენტი (რაოდენობა იმ პირობით, რომ v(x)≠ 0) ასევე დიფერენცირებადია ამ ეტაპზე და მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:

განვიხილოთ რთული ფუნქცია y=f(φ(x))≡ F(x), სად y=f(u), u=φ(x). Ამ შემთხვევაში uდაურეკა შუალედური არგუმენტი, x - დამოუკიდებელი ცვლადი.

თეორემა. თუ y=f(u)და u=φ(x)არის მათი არგუმენტების დიფერენცირებადი ფუნქციები, შემდეგ რთული ფუნქციის წარმოებული y=f(φ(x))არსებობს და უდრის ამ ფუნქციის ნამრავლს შუალედური არგუმენტის მიმართ და შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ, ე.ი.

კომენტარი. რთული ფუნქციისთვის, რომელიც არის სამი ფუნქციის სუპერპოზიცია y=F(f(φ(x))), დიფერენციაციის წესს აქვს ფორმა

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

სადაც ფუნქციონირებს v=φ(x), u=f(v)და y=F(u)მათი არგუმენტების დიფერენცირებადი ფუნქციებია.

თეორემა. დაუშვით ფუნქცია y=f(x)არის მზარდი (ან კლებადი) და უწყვეტი წერტილის ზოგიერთ მიდამოში x0. გარდა ამისა, ეს ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი მითითებულ წერტილში x0და მისი წარმოებული ამ ეტაპზე f′(x 0) ≠ 0. მერე შესაბამისი პუნქტის რომელიღაც უბანში y0=f(x0)შებრუნებული ამისთვის y=f(x)ფუნქცია x=f -1 (y)და მითითებული ინვერსიული ფუნქცია დიფერენცირებადია შესაბამის წერტილში y0=f(x0)და მისი წარმოებული ამ ეტაპზე წფორმულა მოქმედებს

წარმოებული ცხრილი

პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა

განვიხილოთ რთული ფუნქციის დიფერენციალი. თუ y=f(x), x=φ(t)არის მათი არგუმენტების დიფერენცირებადი ფუნქციები, შემდეგ ფუნქციის წარმოებული y=f(φ(t))გამოიხატება ფორმულით

y′ t = y′ x x′ t.

ა-პრიორი dy=y't dt, შემდეგ მივიღებთ

dy = y′ t dt = y′ x x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ

ფუნქციის პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობის თვისება: როგორც იმ შემთხვევაში, როცა არგუმენტი xარის დამოუკიდებელი ცვლადი და იმ შემთხვევაში, როდესაც არგუმენტი xთავისთავად არის ახალი ცვლადის, დიფერენციალური დიფერენცირებადი ფუნქცია დიფუნქციები y=f(x)უდრის ამ ფუნქციის წარმოებულს, გამრავლებული არგუმენტის დიფერენციალზე dx.

დიფერენციალის გამოყენება სავარაუდო გამოთვლებში

ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ დიფერენციალი დიფუნქციები y=f(x), ზოგადად რომ ვთქვათ, არ არის ნამატის ტოლი Δyამ ფუნქციას. მიუხედავად ამისა, უსასრულოდ მცირე ფუნქციამდე უფრო მაღალი რიგისა ვიდრე Δx, მიახლოებითი თანასწორობა

∆y ≈ dy.

თანაფარდობას ეწოდება ამ თანასწორობის ტოლობის ფარდობითი შეცდომა. იმიტომ რომ ∆y-dy=o(∆x), მაშინ ამ თანასწორობის შედარებითი შეცდომა ხდება თვითნებურად მცირე როგორც |Δх|.

Იმის გათვალისწინებით, რომ Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, ვიღებთ f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δxან

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

ეს სავარაუდო თანასწორობა იძლევა შეცდომის საშუალებას o (Δx)ფუნქციის შეცვლა f(x)წერტილის პატარა უბანში x(ანუ მცირე ღირებულებებისთვის Δx) არგუმენტის წრფივი ფუნქცია Δxმარჯვენა მხარეს დგას.

უმაღლესი ორდერების წარმოებულები

განმარტება. ფუნქციის მეორე წარმოებული (ან მეორე რიგის წარმოებული). y=f(x)მისი პირველი წარმოებულის წარმოებულს უწოდებენ.

ფუნქციის მეორე წარმოებულის აღნიშვნა y=f(x):

მეორე წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა. თუ ფუნქცია y=f(x)აღწერს მატერიალური წერტილის მოძრაობის კანონს სწორ ხაზზე, შემდეგ მეორე წარმოებულს f″(x)უდრის მოძრავი წერტილის აჩქარებას დროში x.

მესამე და მეოთხე წარმოებულები ანალოგიურად არის განსაზღვრული.

განმარტება. ნ- წარმოებული (ან წარმოებული ნ th რიგი) ფუნქციები y=f(x)მის წარმოებულს უწოდებენ n-1-ე წარმოებული:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

აღნიშვნები: შენ", y IV, y Vდა ა.შ.

იპოვნეთ გამონათქვამი \(y = (e^x)\ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულისთვის), წარმოებულის განმარტების გამოყენებით.

გამოსავალი.

საწყისი ნაბიჯები სტანდარტულია: ჯერ ჩაწერეთ \(\Delta y\) ფუნქციის ზრდა, რომელიც შეესაბამება არგუმენტს \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \დელტა x) \მარჯვნივ) - y\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) ) = ((e^(x + \დელტა x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\დელტა x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\დელტა x)) - 1) \მარჯვნივ).) \] წარმოებული გამოითვლება ნამატის ზღვრად თანაფარდობა: \[ (y"\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ) = \lim\limits_(\Delta x \ to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) = (\lim\limits_ (\Delta x \ to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x))) - 1) \მარჯვნივ)))((\Delta x)).) \] ფუნქცია \(y = (e^x)\) მრიცხველში არ არის დამოკიდებული Δ-ზე xდა მისი ამოღება შესაძლებელია ზღვრული ნიშნიდან. შემდეგ წარმოებული იღებს შემდეგ ფორმას: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \ to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] მიღებული ლიმიტი აღნიშნეთ \(L\)-ით და გამოთვალეთ ცალ-ცალკე, სხვათა შორის, \((e^0) = 1\) და, შესაბამისად, შეგვიძლია დავწეროთ \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \ to 0) \frac(((e^(\Delta x )) - 1)) ((\დელტა x)) ) = (\lim\limits_(\დელტა x \ 0-მდე) \frac(((e^(\დელტა x)) - (e^0)))( (\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] ანუ ეს ზღვარი არის ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა ნულზე. შესაბამისად, \ ჩვენ მივიღეთ მიმართება, რომელშიც სასურველი წარმოებული გამოიხატება თავად \(y = (e^x)\) ფუნქციით და მისი წარმოებული წერტილით \(x = 0\). მოდით დავამტკიცოთ, რომ \ ამისათვის გავიხსენოთ, რომ რიცხვი \(e\) განისაზღვრება როგორც უსასრულო ზღვარი, როგორც \ და რიცხვი \(e\) სიმძლავრის \(\დელტა x\) იქნება, შესაბამისად, ტოლი. \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \\infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \მარჯვნივ)^n) .\] შემდეგ ჩვენ ვიყენებთ ცნობილ ფორმულას ნიუტონის ბინომი და გააფართოვეთ გამოხატვა ლიმიტის შესვლის ქვეშ ბინომალური სერია: \[(\ left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \მარჯვნივ)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \მარჯვნივ))^k)) .\] ). ევროპულ და ამერიკულ სახელმძღვანელოებში კომბინაციების რაოდენობა აღინიშნება როგორც \ მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს ლიმიტს \(L\), რომელიც ახლა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \ to 0) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\Delta x \ to 0) \frac((\lim\limits_(n \ \infty ) \ მარცხნივ[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \მარჯვნივ))^k)) ) \მარჯვნივ] - 1))((\დელტა x)).) \] ჩვენთვის მოსახერხებელია გამოვყოთ პირველი ორი ტერმინი ბინომური სერიიდან: \(k = 0\) და \(k = 1 \). შედეგი არის \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \ to 0) \frac((\lim\limits_(n \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\ მარცხნივ((\frac((\დელტა x))(n)) \მარჯვნივ))^k)) ) \მარჯვნივ] - 1))((\დელტა x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \ to 0) \frac((\lim\limits_(n \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))(n )) \მარჯვნივ))^0) + C_n^1((\ მარცხნივ((\frac((\დელტა x))(n)) \მარჯვნივ))^1) + \ჯამ\ლიმიტები_(k = 2)^ n (C_n^k((\ მარცხნივ((\frac((\დელტა x))(n)) \მარჯვნივ))^k)) ) \მარჯვნივ] - 1))((\დელტა x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \ 0-მდე) \frac((\lim\limits_(n \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ ჯამი\ლიმიტები_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\დელტა x))(n)) \მარჯვნივ))^k)) ) \მარჯვნივ] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \ to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \მარჯვნივ))^k))))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\ დელტა x \ 0-მდე) \მარცხნივ[ (1 + \frac(1)((\დელტა x))\lim\limits_(n \infty-მდე) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \მარჯვნივ))^k)) ) \მარჯვნივ] ) = (1 + \lim\limits_(n \infty ) \მარცხნივ (\lim\limits_(\Delta x \0-მდე) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \მარჯვნივ)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \მარჯვნივ)) \მარჯვნივ].) \] ცხადია, სერიების ჯამი ნულისკენ მიისწრაფვის, როგორც \(\დელტა x \0-მდე \) . ამიტომ, \(L = 1\). ეს ნიშნავს, რომ \(y = (e^x)\) ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული ტოლია თავად ფუნქციის: \

გეომეტრიის, მექანიკის, ფიზიკის და ცოდნის სხვა დარგების სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრისას საჭირო გახდა მოცემული ფუნქციიდან ერთი და იგივე ანალიტიკური პროცესის გამოყენება. y=f(x)მიიღეთ ახალი ფუნქცია ე.წ წარმოებული ფუნქცია(ან უბრალოდ წარმოებული) ამ ფუნქციის f(x)და სიმბოლურია

პროცესი, რომლითაც მოცემული ფუნქცია f(x)მიიღეთ ახალი ფუნქცია f"(x), დაურეკა დიფერენციაციადა შედგება შემდეგი სამი საფეხურისაგან: 1) ვაძლევთ არგუმენტს xნამატი  xდა განსაზღვრეთ ფუნქციის შესაბამისი ზრდა  y = f(x+ x)-f(x); 2) შეადგინეთ ურთიერთობა

3) დათვლა xმუდმივი და  x0, ვპოულობთ
, რომელიც აღინიშნება f"(x), თითქოს ხაზს უსვამს, რომ მიღებული ფუნქცია დამოკიდებულია მხოლოდ მნიშვნელობაზე x, რომელზეც გადავდივართ ლიმიტამდე. განმარტება: წარმოებული y "=f" (x) მოცემული ფუნქცია y=f(x) მოცემული xეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, იმ პირობით, რომ არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის, თუ, რა თქმა უნდა, ეს ზღვარი არსებობს, ე.ი. სასრული. ამრიგად,
, ან

გაითვალისწინეთ, რომ თუ გარკვეული მნიშვნელობისთვის xმაგალითად, როდესაც x=a, ურთიერთობა
ზე  x0 არ მიდრეკილია სასრულ ზღვრამდე, მაშინ ამ შემთხვევაში ვამბობთ, რომ ფუნქცია f(x)ზე x=a(ან წერტილში x=a) არ აქვს წარმოებული ან არ არის დიფერენცირებადი წერტილში x=a.

2. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

განვიხილოთ y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც დიფერენცირებულია x 0 წერტილის სიახლოვეს

f(x)

განვიხილოთ თვითნებური სწორი ხაზი, რომელიც გადის ფუნქციის გრაფიკის წერტილში - წერტილი A (x 0, f (x 0)) და კვეთს გრაფიკს რაღაც B წერტილში (x; f (x)). ასეთ სწორ ხაზს (AB) სეკანტი ეწოდება. ∆ABC-დან: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

AC || Ox, შემდეგ ALO = BAC = β (როგორც შესაბამისი პარალელურად). მაგრამ ALO არის AB სეკანტის დახრის კუთხე Ox ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ. აქედან გამომდინარე, tgβ = k არის AB სწორი ხაზის დახრილობა.

ახლა შევამცირებთ ∆x, ე.ი. ∆x→ 0. ამ შემთხვევაში B წერტილი გრაფიკის მიხედვით მიუახლოვდება A წერტილს და ბრუნავს სეკანტი AB. AB სეკანტის შემზღუდველი პოზიცია ∆x → 0-ზე იქნება სწორი ხაზი (a), რომელსაც ეწოდება ტანგენსი y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკზე A წერტილში.

თუ tgβ =∆y/∆x ტოლობაში გადავალთ ზღვარზე ∆х → 0, მაშინ მივიღებთ
ან tg \u003d f "(x 0), ვინაიდან
-ოქსის ღერძის დადებითი მიმართულების ტანგენსის დახრის კუთხე
, წარმოებულის განმარტებით. მაგრამ tg \u003d k არის ტანგენტის დახრილობა, რაც ნიშნავს, რომ k \u003d tg \u003d f "(x 0).

ასე რომ, წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა შემდეგია:

ფუნქციის წარმოებული x წერტილში 0 x აბსცისით დახატული ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობის ტოლია 0 .

3. წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა.

განვიხილოთ წერტილის მოძრაობა სწორი ხაზის გასწვრივ. მოცემული იყოს წერტილის კოორდინატი ნებისმიერ დროს x(t). ცნობილია (ფიზიკის კურსიდან), რომ საშუალო სიჩქარე დროის მონაკვეთში ტოლია დროის ამ მონაკვეთში გავლილი მანძილის თანაფარდობასთან, ე.ი.

Vav = ∆x/∆t. გადავიდეთ ბოლო ტოლობის ზღვარზე, როგორც ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - მყისიერი სიჩქარე დროს t 0, ∆t → 0.

და lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (წარმოებულის განმარტებით).

ასე რომ, (t) = x"(t).

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა ასეთია: ფუნქციის წარმოებულიწ = ვ(x) წერტილშიx 0 არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარევ(x) წერტილშიx 0

წარმოებული გამოიყენება ფიზიკაში სიჩქარის საპოვნელად კოორდინატების ცნობილი ფუნქციიდან დროიდან, აჩქარება დროიდან სიჩქარის ცნობილი ფუნქციიდან.

 (t) \u003d x "(t) - სიჩქარე,

a(f) = "(t) - აჩქარება, ან

თუ წრის გასწვრივ მატერიალური წერტილის მოძრაობის კანონი ცნობილია, მაშინ შესაძლებელია კუთხური სიჩქარის და კუთხური აჩქარების პოვნა ბრუნვითი მოძრაობის დროს:

φ = φ(t) - კუთხის ცვლილება დროთა განმავლობაში,

ω \u003d φ "(t) - კუთხური სიჩქარე,

ε = φ"(t) - კუთხოვანი აჩქარება, ან ε = φ"(t).

თუ ცნობილია არაერთგვაროვანი ღეროს მასის განაწილების კანონი, მაშინ შეიძლება მოიძებნოს არაჰომოგენური ღეროს წრფივი სიმკვრივე:

m \u003d m (x) - მასა,

x , l - ღეროს სიგრძე,

p \u003d m "(x) - წრფივი სიმკვრივე.

წარმოებულის დახმარებით იხსნება პრობლემები ელასტიურობის თეორიიდან და ჰარმონიული ვიბრაციებიდან. დიახ, ჰუკის კანონის მიხედვით

F = -kx, x – ცვლადი კოორდინატი, k – ზამბარის ელასტიურობის კოეფიციენტი. ω 2 \u003d k / m დაყენებით, ვიღებთ ზამბარის გულსაკიდის დიფერენციალურ განტოლებას x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

სადაც ω = √k/√m არის რხევის სიხშირე (l/c), k არის ზამბარის სიჩქარე (H/m).

y "+ ω 2 y \u003d 0 განტოლებას ჰქვია ჰარმონიული რხევების (მექანიკური, ელექტრული, ელექტრომაგნიტური) განტოლება. ასეთი განტოლებების ამოხსნა არის ფუნქცია.

y = Asin(ωt + φ 0) ან y = Acos(ωt + φ 0), სადაც

A - რხევის ამპლიტუდა, ω - ციკლური სიხშირე,

φ 0 - საწყისი ფაზა.

მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების გადაჭრა აბსოლუტურად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების შესახებ ცოდნის გარეშე. წარმოებული მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?

წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა

დაე, იყოს ფუნქცია f(x) , მოცემული გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ) . წერტილები x და x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის ცვლილება - მისი მნიშვნელობების განსხვავება x-x0 . ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის განსხვავება ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ორ წერტილში. წარმოებული განმარტება:

ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.

წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ასე დაიწეროს:

რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? მაგრამ რომელი:

წერტილის ფუნქციის წარმოებული ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: ბილიკის დროის წარმოებული მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარის ტოლია.

მართლაც, სკოლის დღეებიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე პირადი გზაა. x=f(t) და დრო ტ . საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:

მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად ერთ დროს t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:

წესი პირველი: ამოიღეთ მუდმივი

მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას, როგორც წესი, მიიღეთ - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, აუცილებლად გაამარტივეთ .

მაგალითი. გამოვთვალოთ წარმოებული:

წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული

ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.

ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული

ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

გამოსავალი:

აქ მნიშვნელოვანია ვთქვათ რთული ფუნქციების წარმოებულების გაანგარიშების შესახებ. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:

ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამოხატვის წარმოებულის გამოსათვლელად ჯერ განვიხილავთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში, შემდეგ კი ვამრავლებთ თავად შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.

წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:

ჩვენ შევეცადეთ ვისაუბროთ დუმების წარმოებულებზე ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ჩანს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლაში.

ამ და სხვა თემებზე ნებისმიერი შეკითხვის შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე დროში ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი კონტროლის გადაჭრაში და ამოცანების შესრულებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასდროს გქონიათ საქმე წარმოებულების გამოთვლასთან.

ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.

ისე, ჩვენ შორს არ წავალთ, მაშინვე განვიხილავთ შებრუნებულ ფუნქციას. რა არის ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული? ლოგარითმი:

ჩვენს შემთხვევაში, ბაზა არის რიცხვი:

ასეთ ლოგარითმს (ანუ ფუძის მქონე ლოგარითმს) ეწოდება "ბუნებრივი" და ჩვენ ვიყენებთ სპეციალურ აღნიშვნას: ამის ნაცვლად ვწერთ.

რისი ტოლია? Რა თქმა უნდა, .

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2. რა არის ფუნქციის წარმოებული?

პასუხები: ექსპონენტი და ბუნებრივი ლოგარითმი წარმოებულის თვალსაზრისით ცალსახად მარტივი ფუნქციებია. ნებისმიერ სხვა ფუძესთან ერთად ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებს ექნებათ განსხვავებული წარმოებული, რომელსაც მოგვიანებით გავაანალიზებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.

დიფერენციაციის წესები

რა წესები? კიდევ ერთი ახალი ტერმინი, ისევ?!...

დიფერენციაციაწარმოებულის პოვნის პროცესია.

მხოლოდ და ყველაფერი. რა არის სხვა სიტყვა ამ პროცესისთვის? არა proizvodnovanie... მათემატიკის დიფერენციალს ეწოდება ფუნქციის თვით ზრდა. ეს ტერმინი მომდინარეობს ლათინური დიფერენციიდან - განსხვავება. Აქ.

ყველა ამ წესის გამოყვანისას ჩვენ გამოვიყენებთ ორ ფუნქციას, მაგალითად და. ჩვენ ასევე დაგვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:

სულ 5 წესია.

მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან.

თუ - რაიმე მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.

ცხადია, ეს წესიც მუშაობს განსხვავებაზე: .

დავამტკიცოთ. მოდით, ან უფრო ადვილია.

მაგალითები.

იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

1. წერტილში;
2. წერტილში;
3. წერტილში;
4. წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

1. (წარმოებული ყველა წერტილში ერთნაირია, რადგან ის წრფივი ფუნქციაა, გახსოვს?);

პროდუქტის წარმოებული

აქ ყველაფერი მსგავსია: ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ფუნქციას და ვპოულობთ მის ზრდას:

წარმოებული:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები და;
2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ახლა თქვენი ცოდნა საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული და არა მხოლოდ მაჩვენებლის (დაგავიწყდათ კიდევ რა არის?).

მაშ სად არის რაღაც რიცხვი.

ჩვენ უკვე ვიცით ფუნქციის წარმოებული, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ ბაზაზე მივიყვანოთ:

ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მარტივ წესს: . შემდეგ:

ისე, იმუშავა. ახლა შეეცადეთ იპოვოთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.

მოხდა?

აი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი:

ფორმულა ძალიან ჰგავდა მაჩვენებლის წარმოებულს: როგორც იყო, ის რჩება, გამოჩნდა მხოლოდ ფაქტორი, რომელიც მხოლოდ რიცხვია, მაგრამ არა ცვლადი.

მაგალითები:
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

პასუხები:

ეს არის მხოლოდ რიცხვი, რომლის გამოთვლა შეუძლებელია კალკულატორის გარეშე, ანუ არ შეიძლება ჩაწეროთ უფრო მარტივი ფორმით. მაშასადამე, პასუხში ის დარჩა ამ ფორმით.

გაითვალისწინეთ, რომ აქ არის ორი ფუნქციის კოეფიციენტი, ამიტომ ჩვენ ვიყენებთ დიფერენციაციის შესაბამის წესს:

ამ მაგალითში ორი ფუნქციის პროდუქტია:

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული

აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:

მაშასადამე, იპოვონ თვითნებური ლოგარითმიდან განსხვავებული ფუძით, მაგალითად:

ჩვენ უნდა მივიყვანოთ ეს ლოგარითმი ფუძემდე. როგორ შევცვალოთ ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:

მხოლოდ ახლა ამის ნაცვლად დავწერთ:

მნიშვნელი აღმოჩნდა მხოლოდ მუდმივი (მუდმივი რიცხვი, ცვლადის გარეშე). წარმოებული ძალიან მარტივია:

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულები გამოცდაზე თითქმის არ გვხვდება, მაგრამ მათი ცოდნა ზედმეტი არ იქნება.

რთული ფუნქციის წარმოებული.

რა არის "კომპლექსური ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არც რკალის ტანგენსი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთულად გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი რთულად მოგეჩვენებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და ყველაფერი გამოვა), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „კომპლექსი“ არ ნიშნავს „რთულს“.

წარმოიდგინეთ პატარა კონვეიერი: ორი ადამიანი ზის და რაღაც ობიექტებს აკეთებს. მაგალითად, პირველი შოკოლადის ფილას ახვევს სახვევში, მეორე კი მას ლენტით აკრავს. გამოდის ასეთი კომპოზიტური ობიექტი: შოკოლადის ფილა გახვეული და მიბმული ლენტით. შოკოლადის ფილა რომ მიირთვათ, საპირისპირო ნაბიჯები უნდა გააკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით.

შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური მილსადენი: ჯერ ვიპოვით რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი გამოვასწორებთ მიღებულ რიცხვს. ასე რომ, ისინი გვაძლევენ რიცხვს (შოკოლადი), მე ვპოულობ მის კოსინუსს (შეფუთვას) და შემდეგ თქვენ კვადრატში გააკეთეთ ის, რაც მე მივიღე (გაამაგრეთ იგი ლენტით). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის რთული ფუნქციის მაგალითი: როდესაც მისი მნიშვნელობის საპოვნელად ვაკეთებთ პირველ მოქმედებას პირდაპირ ცვლადთან, შემდეგ კი მეორე მეორე მოქმედებასთან, რაც მოხდა პირველის შედეგად.

Სხვა სიტყვებით, რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .

ჩვენი მაგალითისთვის,.

ჩვენ შეგვიძლია იგივე მოქმედებები გავაკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ თქვენ კვადრატულობთ, შემდეგ კი მე ვეძებ მიღებული რიცხვის კოსინუსს:. ადვილი მისახვედრია, რომ შედეგი თითქმის ყოველთვის განსხვავებული იქნება. რთული ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: როდესაც მოქმედებების თანმიმდევრობა იცვლება, ფუნქცია იცვლება.

მეორე მაგალითი: (იგივე). .

ბოლო მოქმედება, რომელსაც ჩვენ ვაკეთებთ, იქნება დაძახებული "გარე" ფუნქცია, და პირველი შესრულებული მოქმედება - შესაბამისად "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მათ მხოლოდ მასალის მარტივი ენით ასახსნელად ვიყენებ).

შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:

პასუხები:შიდა და გარე ფუნქციების გამიჯვნა ძალიან ჰგავს ცვლადების შეცვლას: მაგალითად, ფუნქციაში

1. რა ქმედებებს მივიღებთ პირველ რიგში? ჯერ ვიანგარიშებთ სინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ ავწევთ მას კუბამდე. ასე რომ, ეს არის შიდა ფუნქცია და არა გარეგანი.
   ხოლო ორიგინალური ფუნქციაა მათი შემადგენლობა: .
2. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
3. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
4. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
5. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.

ვცვლით ცვლადებს და ვიღებთ ფუნქციას.

კარგი, ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენს შოკოლადს - მოძებნეთ წარმოებული. პროცედურა ყოველთვის საპირისპიროა: ჯერ ვეძებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ ვამრავლებთ შედეგს შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. ორიგინალური მაგალითისთვის, ასე გამოიყურება:

Სხვა მაგალითი:

ასე რომ, საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ ოფიციალური წესი:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

როგორც ჩანს, მარტივია, არა?

მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:

გადაწყვეტილებები:

1) შიდა: ;

გარე: ;

2) შიდა: ;

(უბრალოდ აქამდე ნუ ეცდებით შემცირებას! კოსინუსიდან არაფერი ამოღებულია, გახსოვს?)

3) შიდა: ;

გარე: ;

მაშინვე ცხადია, რომ აქ არის სამდონიანი კომპლექსური ფუნქცია: ბოლოს და ბოლოს, ეს უკვე თავისთავად რთული ფუნქციაა და მისგან ფესვს მაინც გამოვყოფთ, ანუ ვასრულებთ მესამე მოქმედებას (შოკოლადი ჩავდოთ შესაფუთში. და ლენტით პორტფელში). მაგრამ შიშის საფუძველი არ არის: ყოველ შემთხვევაში, ჩვენ ამ ფუნქციას "გახსნით" იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ყოველთვის: ბოლოდან.

ანუ ჯერ განვასხვავებთ ფესვს, შემდეგ კოსინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ გამონათქვამს ფრჩხილებში. და შემდეგ ვამრავლებთ ყველაფერს.

ასეთ შემთხვევებში მოსახერხებელია მოქმედებების დანომრვა. ანუ წარმოვიდგინოთ რა ვიცით. რა თანმიმდევრობით შევასრულებთ მოქმედებებს ამ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოსათვლელად? მოდით შევხედოთ მაგალითს:

რაც უფრო გვიან შესრულდება მოქმედება, მით უფრო "გარე" იქნება შესაბამისი ფუნქცია. მოქმედებების თანმიმდევრობა - როგორც ადრე:

აქ ბუდე ძირითადად 4 დონისაა. მოდით განვსაზღვროთ მოქმედების კურსი.

1. რადიკალური გამოხატულება. .

2. ფესვი. .

3. სინუსი. .

4. მოედანი. .

5. ყველაფრის ერთად შეკრება:

წარმოებული. მოკლედ მთავარის შესახებ

ფუნქციის წარმოებული- ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნაზრდით:

ძირითადი წარმოებულები:

დიფერენცირების წესები:

მუდმივი ამოღებულია წარმოებულის ნიშნიდან:

ჯამის წარმოებული:

წარმოებული პროდუქტი:

კოეფიციენტის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

1. ჩვენ განვსაზღვრავთ "შინაგან" ფუნქციას, ვპოულობთ მის წარმოებულს.
2. ჩვენ განვსაზღვრავთ "გარე" ფუნქციას, ვიპოვით მის წარმოებულს.
3. ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.