ერთი ცვლადის ფუნქციების თეორია. მათემატიკური ანალიზი

მოდით ცვლადი x ნიღებს მნიშვნელობების უსასრულო თანმიმდევრობას

x 1 , x 2 , ..., x ნ , ..., (1)

და ცნობილია ცვლადის ცვლილების კანონი x ნ, ე.ი. ყველა ნატურალური რიცხვისთვის ნშეგიძლიათ მიუთითოთ შესაბამისი მნიშვნელობა x ნ. ამრიგად, ვარაუდობენ, რომ ცვლადი x ნარის ფუნქცია ნ:

x ნ = f(n)

მოდით განვსაზღვროთ მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება - მიმდევრობის ზღვარი, ან, იგივე, ცვლადის ზღვარი. x ნგაშვების თანმიმდევრობა x 1 , x 2 , ..., x ნ , ... . .

განმარტება.მუდმივი რიცხვი ადაურეკა თანმიმდევრობის ლიმიტი x 1 , x 2 , ..., x ნ , ... . ან ცვლადის ლიმიტი x ნ, თუ თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვის e არსებობს ასეთი ნატურალური რიცხვი ნ(ანუ ნომერი ნ) რომ ცვლადის ყველა მნიშვნელობა x ნ, დაწყებული x ნ, განსხვავდება ააბსოლუტური მნიშვნელობით ნაკლები ე. ეს განმარტება მოკლედ დაწერილია შემდეგნაირად:

| x ნ - ა |< (2)

ყველასთვის ნ  ნან, რაც იგივეა,

კოშის ლიმიტის განმარტება. A რიცხვს ეწოდება f (x) ფუნქციის ზღვარი a წერტილში, თუ ეს ფუნქცია განსაზღვრულია a წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, გარდა შესაძლოა თავად a წერტილისა და ყოველ ε > 0-ზე არსებობს δ > 0. ისეთი, რომ ყველა x-ისთვის დამაკმაყოფილებელი პირობა |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

ჰეინეს ლიმიტის განმარტება. A რიცხვს უწოდებენ f (x) ფუნქციის ზღვარს a წერტილში, თუ ეს ფუნქცია განისაზღვრება a წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, გარდა, შესაძლოა, თავად a წერტილისა და ნებისმიერი მიმდევრობისა. რიცხვით a-სთან კონვერტაციისას, ფუნქციის მნიშვნელობების შესაბამისი თანმიმდევრობა გადადის A რიცხვთან.

თუ f(x) ფუნქციას აქვს ზღვარი a წერტილში, მაშინ ეს ზღვარი უნიკალურია.

A 1 რიცხვს ეწოდება f (x) ფუნქციის მარცხენა ზღვარი a წერტილში, თუ ყოველ ε > 0-ზე არსებობს δ >

A 2 რიცხვს ეწოდება f (x) ფუნქციის მარჯვენა ზღვარი a წერტილში, თუ ყოველ ε > 0-ზე არსებობს δ > 0 ისეთი, რომ უტოლობა

მარცხნივ ლიმიტი აღინიშნება, როგორც ზღვარი მარჯვნივ - ეს ზღვრები ახასიათებს ფუნქციის ქცევას a წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ. მათ ხშირად მოიხსენიებენ, როგორც ცალმხრივ საზღვრებს. ცალმხრივი ზღვრების აღნიშვნაში, როგორც x → 0, პირველი ნული ჩვეულებრივ გამოტოვებულია: და . ასე რომ, ფუნქციისთვის

თუ ყოველ ε > 0-ზე არსებობს a წერტილის δ-მეზობლობა, რომ ყველა x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, მაშინ ვამბობთ, რომ f (x) ფუნქციას აქვს უსასრულო ზღვარი a წერტილში:

ამრიგად, ფუნქციას აქვს უსასრულო ზღვარი x = 0 წერტილში. ხშირად განასხვავებენ +∞ და –∞-ის ტოლი ზღვრებს. Ისე,

თუ თითოეული ε > 0-ისთვის არსებობს δ > 0 ისეთი, რომ ნებისმიერი x > δ უტოლობა |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

არსებობის თეორემა უმცირესი ზედა ზღვარისთვის

განმარტება: AR mR, m - A-ს ზედა (ქვედა) სახე, თუ аА аm (аm).

განმარტება: A სიმრავლე შემოსაზღვრულია ზემოდან (ქვემოდან), თუ არსებობს m ისეთი, რომ аА, მაშინ аm (аm) დაკმაყოფილებულია.

განმარტება: SupA=m, თუ 1) m - A-ს ზედა ზღვარი

2) m’: m’ m' არ არის A-ს ზედა სახე

InfA = n, თუ 1) n არის A-ს infimum

2) n’: n’>n => n’ არ არის A-ს ინფუმი

განმარტება: SupA=m ისეთი რიცხვია, რომ: 1)  aA am

2) >0 a  A, ისეთი რომ a  a-

InfA = n ეწოდება რიცხვს, რომ:

2) >0 a  A, ისეთი, რომ a E a+

თეორემა:ზემოდან შემოსაზღვრულ АR-ს ნებისმიერ ცარიელ კომპლექტს აქვს საუკეთესო ზედა ზღვარი და ამით უნიკალური.

მტკიცებულება:

ნამდვილ წრფეზე ვაშენებთ m რიცხვს და ვამტკიცებთ, რომ ეს არის A-ს უმცირესი ზედა ზღვარი.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A-ს ზედა სახე

სეგმენტი [[m],[m]+1] - დაყოფილია 10 ნაწილად

m 1 =max:aA)]

m 2 = max,m 1:aA)]

m-დან =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - ზედა სახე A

მოდით დავამტკიცოთ, რომ m=[m],m 1 ...m K არის უმცირესი ზედა ზღვარი და რომ ის უნიკალურია:

 to: .

ბრინჯი. 11. y arcsin x ფუნქციის გრაფიკი.

ახლა შემოვიღოთ რთული ფუნქციის კონცეფცია ( კომპოზიციების ჩვენება). მოცემულია სამი კომპლექტი D, E, M და მივცეთ f: D→E, g: E→M. ცხადია, შესაძლებელია ახალი h-ის აგება: D→M, რომელსაც ეწოდება f და g გამოსახულებების კომპოზიცია ან რთული ფუნქცია (ნახ. 12).

რთული ფუნქცია აღინიშნება შემდეგნაირად: z =h(x)=g(f(x)) ან h = f o g.

ბრინჯი. 12. რთული ფუნქციის ცნების ილუსტრაცია.

ფუნქცია f (x) ეწოდება შიდა ფუნქციადა ფუნქცია g (y) - გარე ფუნქცია.

1. შიდა ფუნქცია f (x) = x², გარე g (y) sin y. რთული ფუნქცია z= g(f(x))=sin(x²)

2. ახლა პირიქით. შიდა ფუნქცია f (x)= sinx, გარე g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

კურსი განკუთვნილია მათემატიკის, ეკონომიკის ან საბუნებისმეტყველო მეცნიერებების სპეციალობით ბაკალავრებსა და მაგისტრატურებზე, ასევე საშუალო სკოლის მათემატიკის მასწავლებლებსა და უნივერსიტეტის პროფესორებზე. ასევე გამოადგება მათემატიკაში ღრმად ჩართულ მოსწავლეებს.

კურსის სტრუქტურა ტრადიციულია. კურსი მოიცავს კლასიკურ მასალას მათემატიკური ანალიზის შესახებ, რომელიც სწავლობდა უნივერსიტეტის პირველ კურსზე პირველ სემესტრში. წარმოდგენილი იქნება სექციები „სიმრავლეებისა და ნამდვილ რიცხვთა თეორიის ელემენტები“, „რიცხობრივი მიმდევრობების თეორია“, „ფუნქციის ზღვარი და უწყვეტობა“, „ფუნქციის განსხვავებულობა“, „დიფერენცირებადობის აპლიკაციები“. გავეცნობით სიმრავლის ცნებას, მივცემთ ნამდვილ რიცხვს მკაცრ განმარტებას და შევისწავლით რეალური რიცხვების თვისებებს. შემდეგ ვისაუბრებთ რიცხვთა მიმდევრობებზე და მათ თვისებებზე. ეს საშუალებას მოგვცემს ახალ, უფრო მკაცრ დონეზე განვიხილოთ რიცხვითი ფუნქციის კონცეფცია, რომელიც კარგად არის ცნობილი სკოლის მოსწავლეებისთვის. ჩვენ ვაცნობთ ფუნქციის ლიმიტისა და უწყვეტობის კონცეფციას, განვიხილავთ უწყვეტი ფუნქციების თვისებებს და მათ გამოყენებას ამოცანების გადასაჭრელად.

კურსის მეორე ნაწილში განვსაზღვრავთ ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულს და დიფერენცირებადობას და შევისწავლით დიფერენცირებადი ფუნქციების თვისებებს. ეს საშუალებას მოგცემთ ისწავლოთ როგორ გადაჭრათ ისეთი მნიშვნელოვანი გამოყენებითი პრობლემები, როგორიცაა ფუნქციის მნიშვნელობების სავარაუდო გამოთვლა და განტოლებების ამოხსნა, ლიმიტების გამოთვლა, ფუნქციის თვისებების შესწავლა და მისი გრაფიკის აგება. .

ფორმატი

სწავლის ფორმა არის ნახევარ განაკვეთზე (დისტანციური).
ყოველკვირეული გაკვეთილები მოიცავს თემატური ვიდეო ლექციების ყურებას და ტესტის დავალებების შესრულებას შედეგების ავტომატური გადამოწმებით.
დისციპლინის შესწავლის მნიშვნელოვანი ელემენტია გამოთვლითი ამოცანებისა და მტკიცების პრობლემების დამოუკიდებელი გადაწყვეტა. გამოსავალი უნდა შეიცავდეს მკაცრ და ლოგიკურად სწორ მსჯელობას, რომელიც მიგვიყვანს სწორ პასუხამდე (გაანგარიშების ამოცანის შემთხვევაში) ან საჭირო დებულების სრულად დამადასტურებელი (თეორიული პრობლემებისთვის).

მოთხოვნები

კურსი განკუთვნილია 1 წლიანი სწავლის ბაკალავრებისთვის. მოითხოვს დაწყებითი მათემატიკის ცოდნას საშუალო სკოლის ტომში (11 კლასები).

კურსის პროგრამა

ლექცია 1სიმრავლეების თეორიის ელემენტები.
ლექცია 2რეალური რიცხვის ცნება. რიცხვითი კომპლექტების ზუსტი სახეები.
ლექცია 3არითმეტიკული მოქმედებები რეალურ რიცხვებზე. რეალური რიცხვების თვისებები.
ლექცია 4რიცხვითი მიმდევრობები და მათი თვისებები.
ლექცია 5მონოტონური თანმიმდევრობები. კუშის კრიტერიუმი მიმდევრობის კონვერგენციისთვის.
ლექცია 6ერთი ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია. ფუნქციის ლიმიტი. უსასრულოდ მცირე და უსასრულოდ დიდი ფუნქციები.
ლექცია 7ფუნქციის უწყვეტობა. წყვეტის წერტილის კლასიფიკაცია. უწყვეტი ფუნქციების ლოკალური და გლობალური თვისებები.
ლექცია 8მონოტონური ფუნქციები. ინვერსიული ფუნქცია.
ლექცია 9უმარტივესი ელემენტარული ფუნქციები და მათი თვისებები: ექსპონენციალური, ლოგარითმული და სიმძლავრის ფუნქციები.
ლექცია 10ტრიგონომეტრიული და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. გასაოცარი საზღვრები. ფუნქციის ერთგვაროვანი უწყვეტობა.
ლექცია 11წარმოებული და დიფერენციალური ცნება. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. დიფერენციაციის წესები.
ლექცია 12ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები. ფუნქციის დიფერენციალი.
ლექცია 13უმაღლესი რიგის წარმოებულები და დიფერენცილები. ლაიბნიცის ფორმულა. პარამეტრულად მოცემული ფუნქციების წარმოებულები.
ლექცია 14დიფერენცირებადი ფუნქციების ძირითადი თვისებები. როლისა და ლაგრანჟის თეორემები.
ლექცია 15კოშის თეორემა. L'Hospital-ის პირველი წესი გაურკვევლობების გამჟღავნების შესახებ.
ლექცია 16 L'Hopital-ის მეორე წესი გაურკვევლობების გამჟღავნების შესახებ. ტეილორის ფორმულა დარჩენილი ტერმინით პეანოს სახით.
ლექცია 17ტეილორის ფორმულა დარჩენილი ტერმინით ზოგადი ფორმით, ლაგრანჟისა და კოშის სახით. მაკლარინის ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გაფართოება. ტეილორის ფორმულის გამოყენება.
ლექცია 18საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის. ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები. ამოზნექილი.
ლექცია 19გადახრის წერტილები. ფუნქციის შესწავლის ზოგადი სქემა. შეთქმულების მაგალითები.

სწავლის შედეგები

კურსის დაუფლების შედეგად სტუდენტი მიიღებს წარმოდგენას მათემატიკური ანალიზის ძირითად ცნებებზე: სიმრავლე, რიცხვი, თანმიმდევრობა და ფუნქცია, გაეცნობა მათ თვისებებს და შეისწავლის როგორ გამოიყენოს ეს თვისებები ამოცანების გადაჭრაში.

კითხვები გამოცდისთვის „მათემატიკური ანალიზი“ 1 კურსი 1 სემესტრი.

1. კომპლექტი. ძირითადი ოპერაციები კომპლექტებზე. მეტრული და არითმეტიკული სივრცეები.

2. რიცხვითი კომპლექტები. სიმრავლე რიცხვთა ხაზზე: სეგმენტები, ინტერვალები, ნახევარღერძები, უბნები.

3. შეზღუდული ნაკრების განმარტება. რიცხვითი სიმრავლეების ზედა და ქვედა საზღვრები. პოსტულატები რიცხვითი სიმრავლეების ზედა და ქვედა საზღვრების შესახებ.

4. მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი. ბერნულის და კოშის უტოლობა.

5. ფუნქციის განსაზღვრა. ფუნქციის გრაფიკი. ლუწი და კენტი ფუნქციები. პერიოდული ფუნქციები. ფუნქციის დაყენების გზები.

6. თანმიმდევრობის ლიმიტი. კონვერგენტული მიმდევრობების თვისებები.

7. შეზღუდული თანმიმდევრობა. თეორემა მიმდევრობის განსხვავების საკმარის პირობაზე.

8. მონოტონური მიმდევრობის განმარტება. ვაიერშტრასის მონოტონური მიმდევრობის თეორემა.

9. ნომერი ე.

10. ფუნქციის ლიმიტი წერტილში. ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში. ცალმხრივი ლიმიტები.

11. უსაზღვროდ მცირე ფუნქციები. ჯამის, პროდუქტის და კოეფიციენტის ფუნქციების ლიმიტი.

12. თეორემები უტოლობათა მდგრადობის შესახებ. ზღვარზე გადასვლა უტოლობებში. თეორემა სამი ფუნქციის შესახებ.

13. პირველი და მეორე მშვენიერი ლიმიტები.

14. უსასრულოდ დიდი ფუნქციები და მათი კავშირი უსასრულოდ მცირე ფუნქციებთან.

15. უსასრულოდ მცირე ფუნქციების შედარება. ეკვივალენტური უსასრულოების თვისებები. თეორემა უსასრულოდ მცირე ზომის ეკვივალენტებით ჩანაცვლების შესახებ. ძირითადი ეკვივალენტები.

16. ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში. მოქმედებები უწყვეტი ფუნქციებით. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების უწყვეტობა.

17. ფუნქციის წყვეტის წერტილების კლასიფიკაცია. გაფართოება უწყვეტობით

18. რთული ფუნქციის განმარტება. რთული ფუნქციის ლიმიტი. რთული ფუნქციის უწყვეტობა. ჰიპერბოლური ფუნქციები

19. ფუნქციის უწყვეტობა სეგმენტზე. კოშის თეორემები უწყვეტი ფუნქციის გაქრობის შესახებ ინტერვალზე და ფუნქციის შუალედურ მნიშვნელობაზე.

20. უწყვეტი ფუნქციების თვისებები სეგმენტზე. ვაიერშტრასის თეორემა უწყვეტი ფუნქციის ზღვარზე. ვაიერშტრასის თეორემა ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობაზე.

21. მონოტონური ფუნქციის განმარტება. ვაიერშტრასის თეორემა მონოტონური ფუნქციის ზღვარზე. თეორემა ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის შესახებ, რომელიც არის ერთფეროვანი და უწყვეტი ინტერვალზე.

22. ინვერსიული ფუნქცია. ინვერსიული ფუნქციის გრაფიკი. თეორემა შებრუნებული ფუნქციის არსებობისა და უწყვეტობის შესახებ.

23. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური ფუნქციები.

24. ფუნქციის წარმოებულის განმარტება. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები.

25. დიფერენცირებადი ფუნქციის განმარტება. ფუნქციის დიფერენცირებულობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა. დიფერენცირებადი ფუნქციის უწყვეტობა.

26. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტისა და ნორმალურის განტოლება.

27. ორი ფუნქციის ჯამის, ნამრავლისა და კოეფიციენტის წარმოებული

28. რთული ფუნქციისა და შებრუნებული ფუნქციის წარმოებული.

29. ლოგარითმული დიფერენციაცია. პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის წარმოებული.

30. ფუნქციის გაზრდის ძირითადი ნაწილი. ფუნქციის ხაზოვანი ფორმულა. დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა.

31. რთული ფუნქციის დიფერენციალი. დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა.

32. როლის, ლაგრანჟის და კოშის თეორემები დიფერენცირებადი ფუნქციების თვისებებზე. სასრული ნამატების ფორმულა.

33. წარმოებულის გამოყენება გაურკვევლობების გამჟღავნებაში შიგნით. L'Hopital-ის წესი.

34. წარმოებული განმარტება n-ე შეკვეთა. n-ე რიგის წარმოებულის პოვნის წესები. ლაიბნიცის ფორმულა. უმაღლესი რიგის დიფერენციაციები.

35. ტეილორის ფორმულა დარჩენილი ტერმინით პეანოს სახით. ნარჩენი ტერმინები ლაგრანჟისა და კოშის სახით.

36. ფუნქციების გაზრდა და შემცირება. ექსტრემალური წერტილები.

37. ფუნქციის ამოზნექილი და ჩაზნექილი. გადახრის წერტილები.

38. გაუთავებელი ფუნქცია წყვეტს. ასიმპტოტები.

39. ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვის სქემა.

40. ანტიდერივატივის განმარტება. ანტიდერივატის ძირითადი თვისებები. ინტეგრაციის უმარტივესი წესები. მარტივი ინტეგრალების ცხრილი.

41. ინტეგრაცია ცვლადის ცვლილებით და ნაწილებით ინტეგრაციის ფორმულა განუსაზღვრელ ინტეგრალში.

42. ფორმის გამონათქვამების ინტეგრაცია e ax cos bx და e ax sin bx რეკურსიული ურთიერთობების გამოყენებით.

	43. წილადის ინტეგრირება			რეკურსიული ურთიერთობების გამოყენებით.
			a 2 n

44. რაციონალური ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. მარტივი წილადების ინტეგრაცია.

45. რაციონალური ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. სათანადო წილადების დაშლა მარტივ წილადებად.

46. ირაციონალური ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. გამოხატვის ინტეგრაცია

	Rx, მ

47. ირაციონალური ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. R x, ax 2 bx c ფორმის გამონათქვამების ინტეგრაცია. ეილერის ჩანაცვლება.

48. ფორმის გამონათქვამების ინტეგრაცია

ax2 bx გ

ax2 bx გ

2 ბx გ

49. ირაციონალური ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი. ბინომალური დიფერენციალების ინტეგრაცია.

50. ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების ინტეგრაცია. უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება.

51. რაციონალური ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების ინტეგრაცია იმ შემთხვევაში, როდესაც ინტეგრადი კენტია ცოდვის მიმართ x (ან cos x ) ან თუნდაც sin x და cos x მიმართ.

52. გამოხატვის ინტეგრაცია sin n x cos m x და sin n x cos mx.

53. გამოხატვის ინტეგრაცია tg m x და ctg m x.

54. გამოხატვის ინტეგრაცია R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 და R x , x 2 a 2 ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით.

55. განსაზღვრული ინტეგრალი. მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოთვლის პრობლემა.

56. განუყოფელი ჯამები. დარბოს ჯამები. თეორემა განსაზღვრული ინტეგრალის არსებობის პირობის შესახებ. ინტეგრირებადი ფუნქციების კლასები.

57. განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები. თეორემები საშუალო მნიშვნელობის შესახებ.

58. განსაზღვრული ინტეგრალი ზედა ზღვრის ფუნქციით. ფორმულანიუტონ-ლაიბნიცი.

59. ცვლადი ფორმულისა და ფორმულის შეცვლა ნაწილების მიერ განსაზღვრულ ინტეგრალში ინტეგრაციისთვის.

60. ინტეგრალური კალკულუსის გამოყენება გეომეტრიაში. ფიგურის მოცულობა. ბრუნვის ფიგურების მოცულობა.

61. ინტეგრალური კალკულუსის გამოყენება გეომეტრიაში. თვითმფრინავის ფიგურის ფართობი. მრუდი სექტორის ფართობი. მრუდის სიგრძე.

62. პირველი სახის არასწორი ინტეგრალის განმარტება. ფორმულანიუტონ-ლაიბნიცი პირველი ტიპის არასწორი ინტეგრალებისთვის. უმარტივესი თვისებები.

63. პირველი სახის არასწორი ინტეგრალების კონვერგენცია დადებითი ფუნქციისთვის. 1-ლი და მე-2 შედარების თეორემები.

64. ალტერნატიული ფუნქციის პირველი სახის არასწორი ინტეგრალების აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენცია. აბელისა და დირიხლეტის კონვერგენციის კრიტერიუმები.

65. მეორე სახის არასწორი ინტეგრალის განმარტება. ფორმულანიუტონ-ლაიბნიცი მეორე სახის არასწორი ინტეგრალებისთვის.

66. არასწორი ინტეგრალების შეერთება 1 და 2 სახეობა. არასწორი ინტეგრალები ძირითადი მნიშვნელობის გაგებით.