დ'ალმბერის პრინციპი მატერიალური წერტილისთვის. მოძრაობის განტოლების ფორმა ნიუტონის კანონების შესაბამისად არ არის ერთადერთი. ეს განტოლებები შეიძლება ჩაიწეროს სხვა ფორმებშიც. ერთ-ერთი ასეთი შესაძლებლობაა დ'ალმბერის პრინციპი, რომელიც ფორმალურად საშუალებას აძლევს მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებებს წონასწორობის განტოლებების ფორმა მიიღოს.

ეს პრინციპი შეიძლება ჩაითვალოს დამოუკიდებელ აქსიომად, რომელიც ჩაანაცვლებს ნიუტონის მეორე კანონს. ჩვენ ვიყენებთ მას, როგორც პრობლემების გადაჭრის საშუალებას და გამოვიყვანთ ნიუტონის კანონიდან.

განვიხილოთ მატერიალური წერტილის მოძრაობა ათვლის ინერციულ სისტემასთან მიმართებაში. თავისუფალი მატერიალური წერტილისთვის

ჩვენ გვაქვს: რომ = = ᲛᲔ.

გადაცემის ვექტორი რომტოლობის მარჯვენა მხარეს, ეს თანაფარდობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წონასწორობის განტოლების სახით: მე - ეს - 0.

ჩვენ წარმოგიდგენთ კონცეფციას ინერციის ძალები.ვუწოდოთ ვექტორი, რომელიც მიმართულია აჩქარების საწინააღმდეგოდ და ტოლია წერტილის მასისა და მისი აჩქარების ნამრავლის. მატერიალური წერტილის ინერციის ძალა: = -ტა.

ამ კონცეფციის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ (ნახ. 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

ბრინჯი. 3.42.

მატერიალური წერტილისთვის

განტოლება (3.47) არის დ'ალბერტის პრინციპი თავისუფალი მატერიალური წერტილისთვის: თუ წერტილის მიმართ მიყენებულ ძალებს დაემატება ინერციის ძალა, მაშინ წერტილი წონასწორობის მდგომარეობაში იქნება.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ჩამოყალიბებული პოზიცია არ არის დ'ალმბერის პრინციპი იმ ფორმით, რომელშიც იგი ჩამოყალიბდა ავტორის მიერ.

დ'ალმბერმა ჩათვალა წერტილის არათავისუფალი მოძრაობა, ობლიგაციებისგან განთავისუფლების პრინციპის გამოყენების გარეშე, ბმული რეაქციის შემოღების გარეშე. აღვნიშნავთ, რომ კავშირის არსებობისას, წერტილის აჩქარება არ ემთხვევა მიმართულების ძალას და ta F R,მან წარმოადგინა კონცეფცია ძალა დაკარგა პ - რომდა განაცხადა, რომ დაკარგული ძალის გამოყენება წერტილზე არ არღვევს მის წონასწორობას, ვინაიდან დაკარგული ძალა დაბალანსებულია კავშირის რეაქციით.

მიმართება (3.47) არის კინეტოსტატიკის ძირითადი განტოლება,ან ჰერმანის პეტერბურგის პრინციპული განტოლება-ეილერი.კინეტოსტატიკური მეთოდი შეიძლება ჩაითვალოს დ'ალმბერის პრინციპის მოდიფიკაციად, მათ შორის თავისუფალი მასალის წერტილისთვის, რაც უფრო მოსახერხებელია პრაქტიკული გამოყენებისთვის. ამიტომ, უმეტეს ლიტერატურულ წყაროებში განტოლებას (3.47) ეწოდება დ'ალმბერის პრინციპი.

თუ წერტილი არ არის თავისუფალი, ე.ი. მასზე დაწესებულია შეზღუდვა, მოსახერხებელია წერტილზე მოქმედი ძალების დაყოფა აქტიურ 1-ად, R°(პარამეტრები-

მოცემული) და CU ბონდის რეაქცია: p(a) + n =

ეს ტექნიკა მოსახერხებელია, რადგან ზოგიერთი ტიპის ბმისთვის შესაძლებელია მოძრაობის განტოლების შედგენა ისე, რომ ამ ბმების რეაქციები მასში არ იყოს ჩართული. ამრიგად, დ'ალმბერის პრინციპი არათავისუფალი წერტილისთვის შეიძლება დაიწეროს როგორც (ნახ. 3.43):

R (a)+/V+ R W) = 0, (3.48)

ანუ, თუ ინერციული ძალა გამოიყენება არათავისუფალ მატერიალურ წერტილზე, გარდა აქტიური ძალებისა და შეერთების რეაქციისა, მაშინ მიღებული ძალების სისტემა ნებისმიერ დროს იქნება წონასწორობაში.

ბრინჯი. 3.43.

მატერიალური წერტილი

ა- ინგლისურიდან, აქტიური- აქტიური. შეგახსენებთ, რომ ძალებს უწოდებენ აქტიურს, თუ ისინი ინარჩუნებენ მნიშვნელობებს, როდესაც ყველა ბმა მოიხსნება.

წერტილის მრუდი მოძრაობის განხილვისას მიზანშეწონილია ინერციის ძალის წარმოდგენა ორი კომპონენტის სახით: Г "‘ n) \u003d -ta n- ცენტრიდანული და W, p) \u003d -ta x -ტანგენსი (სურ. 3.44).

ბრინჯი. 3.44.

მატერიალური წერტილის მოძრაობა

შეგახსენებთ, რომ ნორმალური და ტანგენციალური აჩქარების გამონათქვამებს აქვთ ფორმა: a p -U 2 / p და მე t = s1Uდ/ლ

მაშინ შეგიძლია დაწერო: პ^ თ) - -ტ-p Rp p) - -t-t, ან ბოლოს: რ

rt + p(t) + p(a) +წ = o (3.49)

ტოლობა (3.49) გამოხატავს დ'ალმბერის პრინციპს არათავისუფალი წერტილის მრუდი მოძრაობისთვის.

განვიხილოთ სიგრძის ძაფი /, რომლის ბოლოს ფიქსირდება მასის წერტილი თ.ძაფი ბრუნავს ვერტიკალური ღერძის გარშემო, აღწერს კონუსურ ზედაპირს გენერატორის დახრილობის მუდმივი კუთხით. ა.განსაზღვრეთ წერტილის შესაბამისი მუდმივი სიჩქარე და ძაფის დაძაბულობა თ(ნახ. 3.45).

ბრინჯი. 3.45.

არათავისუფალი მატერიალური წერტილის მოძრაობა

დიახ, მაგრამ: /u, /, a = const. იპოვე: ᲡᲐᲢᲔᲚᲔᲕᲘᲖᲘᲝ.

მოდით მივმართოთ წერტილს აჩქარების შესაბამისი კომპონენტების საწინააღმდეგოდ მიმართული ინერციული ძალები. გაითვალისწინეთ, რომ ინერციის ტანგენციალური ძალა არის ნული, რადგან პირობით სიჩქარე მუდმივია:

/1°") = -ტა = -ტ-= ოჰ

ხოლო ინერციის ცენტრიდანული ძალა განისაზღვრება გამოსახულებით P^ m) \u003d mU 2 /p,სადაც p = /Bta.

დ'ალმბერის პრინციპის გამოყენება ამ პრობლემაზე საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ შესწავლილი მატერიალური წერტილის მოძრაობის განტოლება კონვერტაციული ძალების წონასწორობის პირობის სახით: T? + T + Pp n) = 0.

ამ შემთხვევაში, წონასწორობის ყველა განტოლება მოქმედებს ბუნებრივ კოორდინატთა ღერძებზე პროექციისას:

X^n=0, - FJ" 1+ ცინა = 0; ^ F h = 0, - მგ + თკოზა = 0,

+ თცოდვა ა =

-მგ + ტკოზა = 0,

სად ვიპოვოთ თ= /u#/coBa; ვ= ბტალ/^/ტკოსა.

დ'ალმბერის პრინციპი მატერიალური წერტილების სისტემისთვის. განვიხილოთ მატერიალური წერტილების მექანიკური სისტემის მოძრაობა. როგორც OZMS-ის გაყვანისას, თითოეულ წერტილზე მიყენებულ ძალებს ვყოფთ გარე და შიდა (ნახ. 3.46).

ბრინჯი. 3.46.

მოდით ' იყოს /-ე წერტილზე მიმართული გარე ძალების შედეგი და / G (L - იმავე წერტილზე მიმართული შინაგანი ძალების შედეგი. დ'ალმბერის პრინციპის შესაბამისად, ინერციული ძალები უნდა იქნას გამოყენებული თითოეულ მასალაზე. სისტემის წერტილი: Рр n) = -т,а г

შემდეგ სისტემის თითოეულ წერტილზე გამოყენებული ძალები აკმაყოფილებენ მიმართებას:

1?E) + pY) + p0n)

იმათ. მატერიალური წერტილების სისტემა წონასწორობაში იქნება, თუ მის თითოეულ წერტილზე გამოყენებული იქნება ინერციის დამატებითი ძალა. ამრიგად, დ'ალმბერის პრინციპის დახმარებით შესაძლებელია სისტემის მოძრაობის განტოლებებს მივცეთ წონასწორული განტოლებების ფორმა.

მოდით გამოვხატოთ სისტემის კინეტოსტატიკური წონასწორობის პირობები ინერციული ძალებისა და გარე ძალების სტატიკური ეკვივალენტების გამოყენებით. ამ მიზნით, ჩვენ ვაჯამებთ ყველაფერს პგანტოლებები (A),აღწერს ძალებს, რომლებიც გამოიყენება სისტემის ცალკეულ წერტილებზე. შემდეგ ჩვენ ვიანგარიშებთ ყველა გარე და შიდა ძალების მომენტებს და ინერციის ძალებს, რომლებიც გამოიყენება ცალკეულ წერტილებზე, თვითნებურ წერტილთან მიმართებაში. შესახებ:

გ ა X R "E> + g a X /*") + გ ა X P t > =0. і = 1,2,...,“.

შემდეგ ვაჯამებთ, შედეგად ვიღებთ

// გვ გვ

'(E) і G(1)

1ლ (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M (0 E) + M (0 n + M% a) = 0.

Იმიტომ რომ K i)= 0 და M 1 0 p = 0, ჩვენ საბოლოოდ გვაქვს:

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M (a E) + M('n) = 0.

განტოლებათა სისტემიდან (3.50) ჩანს, რომ ინერციული ძალების მთავარი ვექტორი დაბალანსებულია გარე ძალების მთავარი ვექტორით, ხოლო ინერციის ძალების ძირითადი მომენტი თვითნებურ წერტილთან მიმართებაში ბალანსირებულია გარე ძალების ძირითადი მომენტით. იმავე წერტილთან შედარებით.

ამოცანების ამოხსნისას აუცილებელია გამოსახულებების არსებობა ძირითადი ვექტორისა და ინერციის ძალების ძირითადი მომენტისთვის. ამ ვექტორების სიდიდეები და მიმართულებები დამოკიდებულია ცალკეული წერტილებისა და მათი მასების აჩქარებების განაწილებაზე. როგორც წესი, პირდაპირი განმარტება მე (შ)და M (""]გეომეტრიული შეჯამება შეიძლება შესრულდეს შედარებით მარტივად მხოლოდ მაშინ, როცა P - 2 ან პ= 3. ამავდროულად, ხისტი სხეულის მოძრაობის პრობლემაში შესაძლებელია ინერციული ძალების სტატიკური ეკვივალენტების გამოხატვა მოძრაობის ცალკეულ შემთხვევებში კინემატიკური მახასიათებლების მიხედვით.

ხისტი სხეულის ინერციის ძალების ძირითადი ვექტორი და ძირითადი მომენტი მოძრაობის სხვადასხვა შემთხვევებში. მასის ცენტრის მოძრაობის თეორემის მიხედვით t c \u003d I (E)-ით.დ'ალმბერის პრინციპის მიხედვით გვაქვს: I (1P) + I (E) =ოჰ, სად ვიპოვოთ: მე "1P) = -t ერთად.ამრიგად, სხეულის ნებისმიერი მოძრაობით ინერციული ძალების მთავარი ვექტორი ტოლია სხეულის მასის ნამრავლისა და მასის ცენტრის აჩქარების და მიმართულია მასის ცენტრის აჩქარების საწინააღმდეგოდ.(ნახ. 3.47).

ბრინჯი. 3.47.

გამოვხატოთ ინერციული ძალების ძირითადი მომენტი სხეულის ბრუნვის დროს სხეულის მატერიალური სიმეტრიის სიბრტყის პერპენდიკულარული ღერძის გარშემო (ნახ. 3.48). ინერციის ძალები მიმართულია / -წერტილზე: რ"! n) = m,x op; 2 და R? პ)= /u,ep,.

ვინაიდან ინერციის ყველა ცენტრიდანული ძალა კვეთს ბრუნვის ღერძს, ამ ინერციის ძალების ძირითადი მომენტი არის ნული, ხოლო ტანგენციალური ინერციის ძალების მთავარი მომენტი არის:

მ ტ =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - ჯ ზ (3.51)

ამგვარად, ბრუნვის ღერძის მიმართ ინერციის ძალების ტანგენტური ძალების ძირითადი მომენტი ტოლია ამ ღერძის მიმართ ინერციის მომენტისა და კუთხური აჩქარების ნამრავლისა, ხოლო ინერციის ტანგენციალური ძალების ძირითადი მომენტის მიმართულება საპირისპიროა. კუთხური აჩქარების მიმართულება.

ბრინჯი. 3.48.

ბრუნვის ღერძის შესახებ

შემდეგი, ჩვენ გამოვხატავთ ინერციის ძალებს სხეულის სიბრტყე-პარალელური მოძრაობისთვის. სხეულის სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის გათვალისწინება (სურ. 3.49) გადამყვანი მოძრაობის ჯამად. მასის ცენტრთან ერთადდა როტაცია გარშემო ღერძი, რომელიც გადის მასის ცენტრშიმოძრაობის სიბრტყის პერპენდიკულურად, შეიძლება დადასტურდეს, რომ მატერიალური სიმეტრიის სიბრტყის თანდასწრებით, რომელიც ემთხვევა მასის ცენტრის მოძრაობის სიბრტყეს, რომ სიბრტყე პარალელურ მოძრაობაში ინერციის ძალები ექვივალენტურია მთავარი ვექტორის / ? ("p) მასის ცენტრზე მიმართული არის მასის ცენტრის აჩქარების საპირისპირო და ინერციის ძალების ძირითადი მომენტი M^ n)ცენტრალურ ღერძთან შედარებით, მოძრაობის სიბრტყის პერპენდიკულარულად, მიმართული კუთხური აჩქარების საწინააღმდეგო მიმართულებით:

ბრინჯი. 3.49.

შენიშვნები.

• 1. გაითვალისწინეთ, რომ, ვინაიდან დ’ალბერტის პრინციპი იძლევა საშუალებას უბრალოდ დაწერეთ მოძრაობის განტოლება წონასწორობის განტოლების სახით,მაშინ იგი არ იძლევა მოძრაობის განტოლების არცერთ ინტეგრალს.
• 2. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ იმას ინერციის ძალად'ალმბერის პრინციპით არის ფიქტიური ნაცრისფერი,გამოიყენება მოქმედ ძალებთან ერთად მხოლოდ წონასწორობის სისტემის მიღების მიზნით. ამასთან, ბუნებაში არის ძალები, რომლებიც გეომეტრიულად ტოლია ინერციის ძალებს, მაგრამ ეს ძალები გამოიყენება სხვა (აჩქარებულ) სხეულებზე, რომელთანაც ურთიერთქმედებისას წარმოიქმნება აჩქარებული ძალა, მიმართულია განხილულ მოძრავ სხეულზე. მაგალითად, ძაფზე დამაგრებული წერტილის გადაადგილებისას, რომელიც მუდმივი სიჩქარით ბრუნავს წრის გარშემო ჰორიზონტალურ სიბრტყეში, ძაფის დაძაბულობა ზუსტად უდრის ინერციის ძალა,იმათ. წერტილის რეაქციის ძალა ძაფზე,ხოლო წერტილი მოძრაობს მასზე ძაფის რეაქციის მოქმედებით.
• 3. როგორც უკვე აჩვენა, დ'ალმბერის პრინციპის ზემოაღნიშნული ფორმა განსხვავდება თავად დ'ალბერტის მიერ გამოყენებული ფორმისგან. აქ გამოყენებული სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების შედგენის მეთოდი შეიმუშავა და გააფართოვა არაერთმა პეტერბურგელმა მეცნიერმა და მიიღო სახელი. კინეტოსტატიკური მეთოდი.

მექანიკის მეთოდების გამოყენება სარკინიგზო მანქანების დინამიკის ზოგიერთ პრობლემაზე:

? სარკინიგზო სატრანსპორტო საშუალების მოძრაობა მოხრილი ლიანდაგის გასწვრივ.ამჟამად, კომპიუტერული ტექნოლოგიის შესაძლებლობების გამო, სარკინიგზო სატრანსპორტო საშუალების მრუდეში მოძრაობის დროს წარმოქმნილი ყველა მექანიკური ფენომენის ანალიზი ხორციელდება საკმაოდ რთული მოდელის გამოყენებით, რომელიც ითვალისწინებს სისტემის ცალკეული ორგანოების მთელ კომპლექსს. და მათ შორის კავშირების თავისებურებები. ეს მიდგომა შესაძლებელს ხდის მოძრაობის ყველა საჭირო კინემატიკური და დინამიური მახასიათებლის მიღებას.

თუმცა, საბოლოო შედეგების გაანალიზებისას და ტექნიკურ ლიტერატურაში წინასწარი შეფასებების ჩატარებისას, საკმაოდ ხშირად გვხვდება მექანიკის ზოგიერთი კონცეფციის გარკვეული დამახინჯება. აქედან გამომდინარე, მიზანშეწონილია ვისაუბროთ ყველაზე "ორიგინალ საფუძვლებზე", რომლებიც გამოიყენება ეკიპაჟის მოძრაობის აღწერისას მოსახვევში.

მოდით წარმოვიდგინოთ განხილული პროცესების რამდენიმე მათემატიკური აღწერა ელემენტარული ფორმულირებით.

მახასიათებლების სწორი, თანმიმდევრული ახსნისთვის ეკიპაჟის სტაციონარული მოძრაობაწრიულ მრუდში აუცილებელია:

• აირჩიე მექანიკის მეთოდი, რომელიც გამოიყენება ამ მოძრაობის აღსაწერად;
• მკაფიო, მექანიკის თვალსაზრისით, „ძალის“ კონცეფციიდან გამომდინარე;
• არ დაივიწყოთ მოქმედებისა და რეაქციის თანასწორობის კანონი.

მოსახვევში ეკიპაჟის მოძრაობის პროცესი აუცილებლად გულისხმობს სიჩქარის მიმართულების ცვლილებას. ამ ცვლილების სიჩქარის მახასიათებელია ნორმალური აჩქარება, რომელიც მიმართულია მასის ცენტრის მრუდი ტრაექტორიის გამრუდების ცენტრში: a p - V 2/p, სადაც p არის მრუდის რადიუსი.

მოძრაობის დროს მანქანა ურთიერთქმედებს სარკინიგზო ლიანდაგთან, რის შედეგადაც ნორმალური და ტანგენციალური რეაქტიული ძალები გამოიყენება ბორბლებზე. ბუნებრივია, თანაბარი და საპირისპირო წნევის ძალები გამოიყენება რელსებზე. ზემოაღნიშნული მექანიკური ცნებების მიხედვით, ძალა გაგებულია, როგორც სხეულების, ანუ სხეულისა და ველის ურთიერთქმედების შედეგი. განსახილველ პრობლემაში არის ორი ფიზიკური სისტემა: ვაგონი ბორბლებით და სარკინიგზო ლიანდაგი, შესაბამისად, ძალები უნდა მოძებნოთ მათ შეხების ადგილებში. გარდა ამისა, ეკიპაჟისა და დედამიწის გრავიტაციული ველის ურთიერთქმედება ქმნის გრავიტაციას.

მოსახვევში ეკიპაჟის მოძრაობის აღწერა შეიძლება გაკეთდეს გამოყენებით დინამიკის ზოგადი თეორემები, რომლებიც არის OZMS-ის შედეგები, ან ეფუძნება მექანიკის პრინციპები(მაგალითად, დ'ალმბერის პრინციპი), რომელიც არის საფუძველი კინეტოსტატიკური მეთოდი.

ახსნის სურვილი თანაბარი თვისებებიეკიპაჟის მოძრაობის მახასიათებლებზე ტრასის ღერძის გამრუდების გათვალისწინების მეთოდებს, პირველ რიგში ვიყენებთ უმარტივეს იდეალიზებულ მოდელს. ეკიპაჟი განიხილება, როგორც მატერიალური თვითმფრინავი, რომლის მასა ტოლია ამ სისტემის მასის.

მასის ცენტრი, რომელიც მდებარეობს ამ სიბრტყეში, ასრულებს მოცემულ მოძრაობას ტრაექტორიის გასწვრივ, რომელიც შეესაბამება ბილიკის ღერძს, სიჩქარით. ვ.რკინიგზის ლიანდაგთან კონტაქტი ხორციელდება მოძრავი სიბრტყის რკინიგზის ძაფებთან გადაკვეთის ორ წერტილში. ამრიგად, სატრანსპორტო საშუალების რკინიგზის ლიანდაგთან ურთიერთქმედების შესახებ საუბრისას, შეგვიძლია ვისაუბროთ კონცენტრირებულ ძალებზე, რომლებიც წარმოადგენენ რელსების ყველა რეაქციის შედეგს ცალკეულ ბორბლებზე თითოეული რელსიდან. უფრო მეტიც, რეაქტიული ძალების წარმოქმნის ბუნება უმნიშვნელოა;

? ვაგონის მოძრაობა ლიანდაგის გასწვრივ გარე ლიანდაგის ამაღლების გარეშე.ნახ. 3.50 გვიჩვენებს ეკიპაჟის დიზაინის სქემას, რომელიც მოძრაობს მრუდი ბილიკის გასწვრივ. გარე და შიდა რელსები, ამ შემთხვევაში, განლაგებულია იმავე დონეზე. ნახ. 3.50 გვიჩვენებს ეკიპაჟზე მოქმედ ძალებს და ობლიგაციების რეაქციებს. ხაზს ვუსვამთ, რომ არ არსებობს ამ სქემაში არ არსებობს რეალური ცენტრიდანული ძალები.

ნიუტონის გეომეტრიული მექანიკის ფარგლებში ავტომობილის მოძრაობა მრუდეში აღწერილია სისტემის დინამიკის ზოგადი თეორემებით.

ამ შემთხვევაში, მასის ცენტრის მოძრაობის თეორემის მიხედვით,

t c a c - I a), (a)

სადაც R) არის გარე ძალების მთავარი ვექტორი.

გამოხატვის ორივე ნაწილის პროექტირება (A)თანმხლებ ბუნებრივ კოორდინატულ ღერძებზე, რომელთა ცენტრი არის სატრანსპორტო საშუალების მასის ცენტრში, ერთეული ვექტორებით m, i, ბდა დაიჯერე თ ს = თ.

პროექციაში მთავარ ნორმაზე ვიღებთ რომ n \u003d F n,ან

mV / p \u003d Fn (b)

სად F n - რეალური ძალასარკინიგზო რეაქციები ბორბლებზე, რაც არის სარკინიგზო რეაქციების პროგნოზების ჯამი ნორმალურ ტრაექტორიაზე. ეს შეიძლება იყოს რელსების მიმართული წნევის ძალები ბორბლის ფლანგებზე. სხვა გარე ძალები ამ მიმართულებით არ არსებობს.

გამოხატვის პროექციაში (A)ბინორმალურზე ვიღებთ:

O = -mg+nout+Nსასტუმრო. (თან ერთად)

აქ არის ინდექსები გარეთ 1შეესაბამება გარეს, ა სასტუმრო-მრუდის შიდა ლიანდაგი. (c) გამოსახულებაში მარცხენა მხარე ნულის ტოლია, ვინაიდან აჩქარების პროექცია ბინორმალურზე ნულის ტოლია.

მესამე განტოლებას ვიღებთ კუთხური იმპულსის ცვლილების თეორემის გამოყენებით მასის ცენტრთან შედარებით:

dK c /dt = ^M c. (დ)

გამოხატვის დიზაინი დ t ღერძზე, სადაც ტ = nx b -ერთეული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი პდა ბ, იმის გათვალისწინებით KCl\u003d U St ერთად t, U St - ეკიპაჟის ინერციის მომენტი მასის ცენტრის ტრაექტორიაზე ტანგენტის ღერძის გარშემო, გვექნება

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (ე)

ვინაიდან მრგვალი მრუდის გასწვრივ მუდმივი მოძრაობისას m ღერძის გარშემო კუთხური აჩქარება ნულის ტოლია.

გამონათქვამები ( ბ), (გ) და (ე)არის სამი უცნობი სიდიდის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა M-tp> რომლის ამოხსნაც მივიღებთ:

ბრინჯი. 3.50.

ამრიგად, დინამიკის ზოგადი თეორემების თანმიმდევრული გამოყენება საშუალებას გვაძლევს განსახილველ პრობლემაში დავადგინოთ ყველა ფენომენი, რომელიც დაკავშირებულია ტრასის მრუდი ხაზოვანი მონაკვეთის ეკიპაჟის გავლასთან.

სინამდვილეში, ორივე ბორბალი ექვემდებარება მრუდის შიგნით მიმართულ ძალებს. ამ ძალების შედეგი ქმნის მომენტს სატრანსპორტო საშუალების მასის ცენტრის შესახებ, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს ბრუნვა და მრუდის გარეთ გადახტომაც კი, თუ V 2 ნ/p5" > გ.ამ ძალის მოქმედება იწვევს ბორბლების ცვეთას. ბუნებრივია, საპირისპირო მიმართული ძალა მოქმედებს ლიანდაგზე -R გვიწვევს სარკინიგზო ცვეთას.

გაითვალისწინეთ, რომ ზემოთ მოყვანილ განცხადებაში შეგიძლიათ იპოვოთ მხოლოდ ორი რელსის ჰორიზონტალური რეაქციების შედეგი რ.შიდა და გარე რელსებს შორის ამ ძალის განაწილების დასადგენად საჭიროა დამატებითი პირობების გამოყენებით სტატიკურად განუსაზღვრელი პრობლემის გადაჭრა. გარდა ამისა, ვაგონის მოძრაობისას გარე და შიდა რელსების ნორმალურ რეაქციებს განსხვავებული მნიშვნელობა აქვს. გარე სარკინიგზო ძაფი უფრო დატვირთულია.

შიდა ძაფის რეაქცია მანქანაზე ნაკლებია და სიჩქარის გარკვეული მნიშვნელობისას ის შეიძლება იყოს ნულის ტოლიც კი.

კლასიკურ მექანიკაში ამ მდგომარეობას ე.წ გადაბრუნება, თუმცა რეალურად გადახვევა ჯერ არ არის. იმის გასარკვევად, თუ როდის ხდება ფაქტობრივი გადაბრუნების მდგომარეობა, უნდა გავითვალისწინოთ მანქანის ბრუნვა ღერძის გარშემო m-ის პარალელურად და გადის ბორბლის შეხების წერტილში გარე ლიანდაგთან at? თ ფ 0. ასეთი ამოცანა წმინდა აკადემიური ინტერესია, ვინაიდან, რა თქმა უნდა, მიუღებელია რეალური სისტემის ასეთ მდგომარეობაში მოყვანა.

კიდევ ერთხელ ხაზგასმით აღვნიშნავთ, რომ ყველა ფენომენის ახსნისას ჩვენ გამოვედით ფაქტიდან მანქანის მოძრაობა მხოლოდ რეალური ძალების მოქმედებით.

გაითვალისწინეთ, რომ m ღერძის გარშემო ბრუნვის დიფერენციალური განტოლება, თუნდაც = 0-ზე, იწერება m ცენტრალური ღერძის მიმართ. ამ ღერძის არჩევა სხვა წერტილში იწვევს განტოლების მარცხენა მხარის ფორმის ცვლილებას. მომენტის თეორემა. ამრიგად, შეუძლებელია, მაგალითად, ამ განტოლების დაწერა იმავე ფორმით ღერძთან მიმართებაში, რომელიც გადის ბორბლის შეხების წერტილში ლიანდაგთან, თუმცა, როგორც ჩანს, უფრო ადვილი იქნება ნორმალური რეაქციების მნიშვნელობის პოვნა. ამ შემთხვევაში. თუმცა, ეს მიდგომა გამოიწვევს არასწორ შედეგს: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d მგ | 2.

შეიძლება აჩვენოს, რომ საქმე იმაშია, რომ ბრუნვის განტოლება ღერძის გარშემო, რომელიც გადის, მაგალითად, წერტილში TO, უნდა დაიწეროს მოძრაობის მთარგმნელობითი ნაწილიდან სხეულის იმპულსის მომენტის გათვალისწინებით g x x ta s: J Cl? t+ თ(გ კს xx დ)=^ მ ხ.

მაშასადამე, განტოლების (c) ნაცვლად St ღერძზე პროექციაში ვიღებთ გამოსახულებას

(8 )

/ ქ? t+ ტ[გ კს X გ) t = -teB + N ipp 25,

სადაც ფრჩხილებში არის პროექციის მნიშვნელობა ვექტორული ნამრავლის ღერძზე St ? კს ჰა ს.

ვაჩვენოთ, რომ საჭირო პროცედურების თანმიმდევრული განხორციელება საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ s wმიღებული განტოლებიდან). მდებარეობა ნახ. 3.50 აჩვენებს ამას

გ კს - ბპ + Hbდა a c =

გამოვთვალოთ ვექტორული ნამრავლი:

აქ გათვალისწინებულია, რომ php = 0და bxn = -ტ. ამიტომ,

tNU 2

2ლ გ/ლ 5',

სადაც ვპოულობთ შიდა რელსის რეაქციას:

რაც იგივეა, რაც გამოსახულებაში მიღებული შედეგი (/).

პრობლემის პრეზენტაციის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ მანქანის განხილვა ქ მოძრაობანიუტონის გეომეტრიული მექანიკის მეთოდების გამოყენება პრობლემის გადაჭრის საშუალებას იძლევა ფიქტიური და ამ ინერციის შემოღების გარეშე.საჭიროა მხოლოდ მექანიკის ყველა დებულების სწორად გამოყენება. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ ამ მეთოდის გამოყენება შეიძლება დაკავშირებული იყოს უფრო დიდ გამოთვლებთან, ვიდრე, მაგალითად, დ'ალმბერის პრინციპის გამოყენებისას.

ახლა ვაჩვენებთ, თუ როგორ წყდება იგივე პრობლემა დ'ალმბერის პრინციპის გამოყენებით კინეტოსტატიკური მეთოდის საყოველთაოდ მიღებულ ფორმაში. ამ შემთხვევაში აუცილებელია დამატებითის გამოყენება

ძაფი ფიქტიურიინერციის ძალა: G* = -ta sp = -თ-პ.და ეკი-

გვერდი აჩერებს, ე.ი. ახლა მისი მასის ცენტრის აჩქარება გ= 0. ნახ. 3.51 აჩვენებს ასეთს დასვენების სისტემა.მასზე გამოყენებული ყველა ძალა, ინერციის ძალის ჩათვლით, უნდა აკმაყოფილებდეს კინეტოსტატიკური განტოლებებს ბალანსი და არა მოძრაობა,როგორც წინა შემთხვევაში.

ეს გარემოება გვაძლევს საშუალებას ვიპოვოთ ყველა უცნობი რაოდენობა ბალანსის განტოლება.ამ შემთხვევაში, წონასწორობის განტოლებების ფორმისა და იმ წერტილების არჩევა, რომლებზეც გამოითვლება მომენტები, ხდება თვითნებური. ეს უკანასკნელი გარემოება გვაძლევს საშუალებას ვიპოვოთ ყველა უცნობი ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად:

მე M. = ოჰმე მ,_= ოჰ

-n = დაახლოებით.

1 ზე დეპუტატი

ბრინჯი. 3.51. ეკიპაჟზე მოქმედი ძალების დიზაინის სქემა იმავე პირობებში, როგორც ნახ. 3.50 დ'ალბერტის პრინციპის გამოყენებისას

ადვილი მისახვედრია, რომ განტოლებათა ამ სისტემის ამონახსნები ემთხვევა დინამიკის თეორიის გამოყენებით მიღებულ შესაბამის ფორმულებს. ამრიგად, განსახილველ მაგალითში დ'ალმბერის პრინციპის გამოყენებამ შესაძლებელი გახადა პრობლემის გადაჭრის გარკვეულწილად გამარტივება.

თუმცა, შედეგების ინტერპრეტაციისას უნდა გავითვალისწინოთ, რომ დამატებით გამოყენებული ინერციული ძალა ფიქტიურია იმ გაგებით, რომ სინამდვილეში ეკიპაჟზე ასეთი ძალა არ მოქმედებს.გარდა ამისა, ეს ძალა არ აკმაყოფილებს ნიუტონის მესამე კანონს – არ არსებობს ამ ძალის „მეორე დასასრული“, ე.ი. არანაირი ოპოზიცია.

ზოგადად, მექანიკის მრავალი პრობლემის გადაჭრისას, მათ შორის ეკიპაჟის გადაადგილების პრობლემის მოსახვევში, მოსახერხებელია დ'ალმბერის პრინციპის გამოყენება. თუმცა, არ უნდა დაუკავშირდეს რაიმე ფენომენს მოქმედებაინერციის ეს ძალა. მაგალითად, იმის თქმა, რომ ინერციის ეს ცენტრიდანული ძალა დამატებით იტვირთება გარე ლიანდაგს და ატვირთავს შიდას და მეტიც, რომ ამ ძალამ შეიძლება გამოიწვიოს ავტომობილის გადაბრუნება. ეს არა მხოლოდ წერა-კითხვის უცოდინარია, არამედ უაზროა.

კიდევ ერთხელ გავიხსენებთ, რომ გარე გამოყენებული ძალები, რომლებიც მოქმედებენ ვაგონზე მრუდეში და ცვლიან მისი მოძრაობის მდგომარეობას, არის გრავიტაცია, რელსების ვერტიკალური და ჰორიზონტალური რეაქციები;

? ვაგონის მოძრაობა მრუდის გასწვრივ გარე ლიანდაგის აწევით.როგორც ნაჩვენებია, პროცესები, რომლებიც ხდება, როდესაც მანქანა გადის მოსახვევებში გარე რელსის აწევის გარეშე, ასოცირდება არასასურველ შედეგებთან - რელსების არათანაბარი ვერტიკალური დატვირთვით, რელსის მნიშვნელოვანი ნორმალური ჰორიზონტალური რეაქცია საჭეზე, რომელსაც თან ახლავს გაზრდილი ცვეთა. როგორც ბორბლების, ასევე რელსების, გადაბრუნების შესაძლებლობა სიჩქარის გადაჭარბებისას.გარკვეული ლიმიტის მოძრაობა და ა.შ.

დიდწილად, უსიამოვნო ფენომენები, რომლებიც თან ახლავს მოსახვევების გავლას, შეიძლება თავიდან იქნას აცილებული გარე ლიანდაგის შიდაზე მაღლა აწევით. ამ შემთხვევაში, ვაგონი შემოვა კონუსის ზედაპირის გასწვრივ, გენერატორის დახრილობის კუთხით ჰორიზონტალურ ღერძზე (ნახ. 3.52): f L \u003d რკალი (L / 25), ან მცირე კუთხით.

F A * L/2 ს.

ბრინჯი. 3.52.

გარე ლიანდაგის შემაღლებით

სტაციონარულ შემთხვევაში, როცა V- const და φ A = const, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ვაგონის ბრტყელი მონაკვეთის მოძრაობა საკუთარ სიბრტყეში ისევე, როგორც მოსახვევში მორგებისას გარე ლიანდაგის აწევის გარეშე.

განვიხილოთ პრობლემის გადაჭრის ტექნიკა დინამიკის ზოგადი თეორემების გამოყენებით. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მანქანის მასის ცენტრი მოძრაობს p რადიუსის წრიული მრუდის გასწვრივ, თუმცა განსახილველ შემთხვევაში, მკაცრად რომ ვთქვათ, ბილიკის ღერძის გამრუდების რადიუსი განსხვავდება ცენტრის ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსისგან. მასა მცირე რაოდენობით:

ჰ sin cf L ~ ჰ f A "r.

ამიტომ, p-სთან შედარებით, ეს უკანასკნელი მნიშვნელობა შეიძლება უგულებელყო. ეკიპაჟის „ბრტყელი მონაკვეთის“ მოძრაობა თანმხლებ ცულებს მიეწერება SuSi x(იხ. სურ. 3.52), სადაც ღერძი სუ]ტრასის სიბრტყის პარალელურად. მოძრაობის მუდმივი სიჩქარის დროს, მასის ცენტრის აჩქარების პროექცია მისი მოძრაობის ტრაექტორიის მთავარ ნორმაზე შეიძლება ჩაიწეროს ისე, როგორც მრუდში მოძრაობისას სიმაღლის გარეშე, ე.ი. პ = V ი/რ.

აჩქარების პროგნოზები სუ ღერძზე და Cz^თანაბარია შესაბამისად:

a ux = a p sovf,; ᲛᲔ. \u003d a „smy h.

სიბრტყის მონაკვეთის მოძრაობის განტოლებები, რომელიც დაფუძნებულია თეორემაზე მასის ცენტრის მოძრაობის შესახებ და თეორემა Cx ღერძთან მიმართებაში კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ, შემდეგია:

იმის გათვალისწინებით, რომ = 0, ჩანაცვლების შემდეგ, ვიღებთ სამი წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემას სამ უცნობში. ფ vi, ნ iiw, N (nul:

/i-si Pf l = -მგ cosV/, + N mn + N გარეთ; პ

-სოფ A = მგს ipf A + ფ ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

გაითვალისწინეთ, რომ ლიანდაგის ღერძის სიბრტყის დახრილობა გარე ლიანდაგის აწევის გამო იწვევს მასის ცენტრის აჩქარების პროექციის ცვლილებას Cy, და Cr ღერძზე, რაც დაკავშირებულია ცვლილებასთან. რელსების რეაქციები სიმაღლის არარსებობასთან შედარებით, როდესაც ა. - 0, a l ეს ცვლილებები აჩქარების პროგნოზებში შეიძლება აიხსნას, თუ განვიხილავთ ავტომობილის ბრუნვას ბინორმის გარშემო, რომელიც გადის მრუდის გამრუდების ცენტრში, როგორც ორი ბრუნის გეომეტრიული ჯამი ω = ω (+ b) ღერძების გარშემო?, y, გადის მრუდის იმავე ცენტრში.

განტოლებათა სისტემის შედგენისას (კენ) cp L კუთხის სიმცირე არ იყო გათვალისწინებული. თუმცა, პრაქტიკულ დიზაინში

wtf A ~ /g/25.

ამრიგად, მცირე f L-ის შემთხვევაში, ტრასის რეაქციების განსაზღვრის განტოლებათა სისტემას აქვს შემდეგი ფორმა:

= -გ^+ LG,“ + მ გშ,;

თ- = /წწ#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

ამ განტოლებების ამოხსნით მივიღებთ:

N...... =

მგ + ტუ/გ

პარასკევი/77 კ და /77 „

• - +--+-ნ
• 2r 25 25

კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც არ არის სიმაღლე (და= 0), ეს გამონათქვამები ემთხვევა ადრე მიღებულს (/).

ახლა მოდით მივმართოთ პრობლემის გადაჭრის შედეგების ანალიზს მე ფ 0.

უნდა აღინიშნოს, რომ ამ შემთხვევაში კლებულობს ლიანდაგის განივი რეაქცია, რომელიც მიმართულია ლიანდაგის სიბრტყეში. ეს აიხსნება იმით, რომ სუ ღერძის მიმართულებით მასის ცენტრის აჩქარების ფორმირებაში მონაწილეობს არა მხოლოდ ძალა //, არამედ სიმძიმის კომპონენტიც. უფრო მეტიც, გარკვეული ღირებულებისთვის და\u003d 25K 2 / გვ? ძალა რხდება ნული:

იმის გათვალისწინებით, რომ

ტ გ - T,= X A,%>+ X A[

• (3.42)

მნიშვნელობა ფრჩხილებში ეწოდება გამორჩეული აჩქარება.სახელმწიფო როცა P = 0, შეესაბამება შემთხვევას, რომელშიც ნორმალური აჩქარებაა აიქმნება მხოლოდ დ> ღერძზე პროექციით, ეკიპაჟის სიმძიმის ძალით.

განსახილველ პრობლემაზე მსჯელობისას ზოგჯერ ჩნდება დახვეწილი მსჯელობა, რომ აჩქარება პმიმართულია ჰორიზონტალურად, ხოლო გრავიტაცია ვერტიკალურია (იხ. სურ. 3.52) და, შესაბამისად, მას არ შეუძლია წარმოქმნას განხილული აჩქარება პზე რ= 0. ეს მსჯელობა შეიცავს შეცდომას, ვინაიდან ჰორიზონტალური აჩქარების ფორმირებისას ძალის გარდა რ, ასევე მონაწილეობენ ნორმალური რეაქციები D r w u და / V o r. ამ ორი რეაქციის ჯამი მცირე f A-ზე უდრის 1H tp + 1U oig \u003d მგ.ამიტომ გრავიტაცია მაინც მონაწილეობს ჰორიზონტალური აჩქარების ფორმირებაში პ,მაგრამ რეაქციების მოქმედებით N მდა S oiG

მოდით ახლა განვიხილოთ, თუ როგორ იცვლება რელსების ნორმალური რეაქციები, ლიანდაგის ზედაპირზე პერპენდიკულარული.

გაითვალისწინეთ, რომ შემთხვევისგან განსხვავებით /7 = 0, რეაქციები იზრდება იგივე მნიშვნელობით TU 2 I/2r28,რომელიც უგულებელყოფილია, რადგან ///25 - ღირებულება მცირეა. თუმცა, მკაცრი მსჯელობისას გამოტოვეთ ეს ტერმინი გამონათქვამებისთვის და N wარ გააკეთო ეს.

როცა - > -2-, ე.ი. დადებითი გამორჩეული აჩქარებით, გვ 25

შიდა რელსის რეაქცია გარეზე ნაკლებია, თუმცა მათ შორის განსხვავება არ არის ისეთი მნიშვნელოვანი, როგორც და = 0.

თუ გამოჩენილი აჩქარება ნულის ტოლია, რეაქციის მნიშვნელობები ტოლი ხდება IV oSH = მგ|2(პატარისთვის და),იმათ. გარე სარკინიგზო ამაღლება საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ მიიღოთ RU= 0, მაგრამ ასევე გაათანაბრდება წნევა გარე და გარე რელსებზე. ეს გარემოებები შესაძლებელს ხდის ორივე რელსისთვის უფრო ერთიანი აცვიათ ღირებულებების მიღწევას.

თუმცა, გარე სარკინიგზო სიმაღლის გამო, არსებობს უარყოფითი მნიშვნელობის შესაძლებლობა რ", რომელიც რეალურ სისტემაში შეუკავებელი შეზღუდვების მქონე, შეესაბამება ღერძის გასწვრივ მანქანის სრიალის პროცესს. y გიმათ. მრუდის შიგნით. ბილიკის იგივე დახრილობის გამო, შეიძლება მოხდეს რეაქციების გადანაწილება N wდა არა ოჰ!დომინანტური მ შ.

ამრიგად, სატრანსპორტო საშუალების მოძრაობის შესწავლა მოსახვევში გზაზე გარე სარკინიგზო აწევით, რომელიც განხორციელდა ნიუტონის გეომეტრიული მექანიკის მეთოდების გამოყენებით, შესაძლებელს ხდის სისტემის მდგომარეობის გაანალიზებას დამატებითი ტერმინოლოგიური ჰიპოთეზების გარეშე. მსჯელობაში არ არის ინერციის ძალები.

ახლა განვიხილოთ, თუ როგორ არის აღწერილი ვაგონის მოძრაობა იმავე მრუდეში დ'ალბერტის პრინციპის გამოყენებით.

ამ პრინციპის გამოყენებისას კინეტოსტატიკის მეთოდის ფორმულირებაში ისევე, როგორც წინა შემთხვევაში, აუცილებელია ინერციის ნორმალური (ცენტრიფუგული) ძალის გამოყენება მასის ცენტრში. № n),მიმართულია ნორმალური აჩქარების საწინააღმდეგო მიმართულებით (ნახ. 3.53):

სადაც სისტემაისევ აჩერებს, ე.ი. ეკიპაჟი არ მოძრაობს ტრასის გასწვრივ. ამრიგად, კინეტო-სტატიკური წონასწორობის ყველა განტოლება მოქმედებს:

მე რომ= °-X r* =ო.

/L^ypf, - G“ გვ sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

აქ მნიშვნელობის ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ განტოლებათა იგივე სისტემას, როგორც სისტემა (/) ნებისმიერი f / (ან (კენ)პატარაზე და.

ამრიგად, ორივე მეთოდის გამოყენება იწვევს ზუსტად ერთსა და იმავე შედეგებს. განტოლებათა სისტემა ( რომ) და დ'ალმბერის პრინციპის საფუძველზე მიღებული სისტემა იდენტურია.

თუმცა გაითვალისწინეთ, რომ ში საბოლოო შედეგები არ შეიცავს ინერციულ ძალებს.ეს გასაგებია, რადგან დ'ალმბერის პრინციპი, რომელიც საფუძვლად უდევს კინეტოსტატიკის მეთოდს, არის მხოლოდ სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების შედგენის საშუალება.ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ განსახილველ პრობლემაში დ'ალმბერის პრინციპის გამოყენებამ შესაძლებელი გახადა გამოთვლების გამარტივება და შეიძლება რეკომენდებული იყოს პრაქტიკული გამოთვლებისთვის.

თუმცა, კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამთ, რომ რეალურად ძალა არ არსებობს TU 2/p მიმართა მოძრავი მანქანის მასის ცენტრს. ამიტომ, მრუდეში მოძრაობასთან დაკავშირებული ყველა ფენომენი უნდა აიხსნას ისე, როგორც ეს გაკეთდა სისტემის ამოხსნის შედეგების ანალიზის საფუძველზე (/), ან (კენ).

დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ განსახილველ პრობლემაში „ნიუტონის მეთოდი“ და „დ’ალმბერის მეთოდი“ გამოიყენებოდა მხოლოდ მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების შედგენის მიზნით. ამავდროულად, პირველ ეტაპზე ჩვენ არ ვიღებთ რაიმე ინფორმაციას, გარდა თავად დიფერენციალური განტოლებისა. მიღებული განტოლებების შემდგომი ამოხსნა და ჩატარებული ანალიზი არ არის დაკავშირებული თავად განტოლებების მიღების მეთოდთან.

ბრინჯი. 3.53.

• გარეთ -ინგლისურიდან, გარე-გარე.
• სასტუმრო-ინგლისურიდან, შინაგანი -ინტერიერი.
• სასტუმრო-ინგლისურიდან, შინაგანი -ინტერიერი.

დ'ალბერტის პრინციპი

მთავარი ნაშრომი ჟ.ლ. დ'ალმბერი(1717-1783) - "ტრაქტატი დინამიკის შესახებ" - გამოიცა 1743 წელს.

ტრაქტატის პირველი ნაწილი ეძღვნება ანალიტიკური სტატიკის აგებას. აქ დ'ალმბერი აყალიბებს "მექანიკის ძირითად პრინციპებს", რომელთა შორისაა "ინერციის პრინციპი", "მოძრაობების დამატების პრინციპი" და "წონასწორობის პრინციპი".

„ინერციის პრინციპი“ ჩამოყალიბებულია ცალ-ცალკე დასვენების შემთხვევაში და ერთგვაროვანი სწორხაზოვანი მოძრაობის შემთხვევაში. „ინერციის ძალა, – წერს დ’ალმბერი, მე, ნიუტონთან ერთად, სხეულის საკუთრებას ვუწოდებ იმ მდგომარეობის შენარჩუნებას, რომელშიც ის იმყოფება“.

„მოძრაობების შეკრების პრინციპი“ არის სიჩქარისა და ძალების შეკრების კანონი პარალელოგრამის წესით. ამ პრინციპზე დაყრდნობით დ'ალმბერი ხსნის სტატიკის ამოცანებს.

„წონასწორობის პრინციპი“ ჩამოყალიბებულია შემდეგ თეორემად: „თუ ორ სხეულს, რომელიც მოძრაობს თავისი მასების უკუპროპორციული სიჩქარით, აქვთ საპირისპირო მიმართულებები, ისე რომ ერთ სხეულს არ შეუძლია გადაადგილება ადგილიდან მეორეზე გადასვლის გარეშე, მაშინ ეს სხეულები წონასწორობაში იქნებიან. ". ტრაქტატის მეორე ნაწილში დ'ალბერტმა შემოგვთავაზა მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების შედგენის ზოგადი მეთოდი ნებისმიერი მატერიალური სისტემისთვის, რომელიც დაფუძნებულია დინამიკის პრობლემის სტატიკამდე დაყვანაზე. მან ჩამოაყალიბა წესი მატერიალური წერტილების ნებისმიერი სისტემისთვის, რომელსაც მოგვიანებით უწოდეს "დ'ალმბერის პრინციპი", რომლის მიხედვითაც სისტემის წერტილებზე მიმართული ძალები შეიძლება დაიშალოს "მოქმედად", ანუ ისეთებად, რომლებიც იწვევენ აჩქარებას. სისტემა და "დაკარგული", რომელიც აუცილებელია სისტემის წონასწორობისთვის. დ'ალმბერი თვლის, რომ ძალები, რომლებიც შეესაბამება "დაკარგულ" აჩქარებას, ქმნიან ისეთ კომბინაციას, რომელიც გავლენას არ ახდენს სისტემის რეალურ ქცევაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მხოლოდ "დაკარგული" ძალების ნაკრები გამოიყენება სისტემაზე, მაშინ სისტემა დარჩება დასვენებაში. დ'ალმბერის პრინციპის თანამედროვე ფორმულირება მისცა მ.ე. ჟუკოვსკიმ თავის "თეორიული მექანიკის კურსში": "თუ სისტემა დროის ნებისმიერ მომენტში გაჩერებულია, ის მოძრაობს და ჩვენ ვამატებთ მას, გარდა მისი მამოძრავებელისა. ძალები, ინერციის ყველა ძალა, რომელიც შეესაბამება დროის მოცემულ მომენტს, მაშინ შეინიშნება წონასწორობა, ხოლო წნევის, დაძაბულობის და ა.შ. ყველა ძალა, რომელიც ვითარდება სისტემის ნაწილებს შორის ასეთ წონასწორობაში, იქნება რეალური ძალები. წნევა, დაძაბულობა და ა.შ. როდესაც სისტემა მოძრაობს დროის განსახილველ მომენტში“. უნდა აღინიშნოს, რომ თავად დ'ალმბერმა თავისი პრინციპის წარმოდგენისას არ მიმართა არც ძალის ცნებას (იმის გათვალისწინებით, რომ ის საკმარისად ნათელი არ არის მექანიკის ძირითადი ცნებების ჩამონათვალში), მით უმეტეს - კონცეფციას. ინერციული ძალის. დ'ალმბერის პრინციპის პრეზენტაცია ტერმინით „ძალა“ ეკუთვნის ლაგრანჟს, რომელმაც თავის „ანალიტიკურ მექანიკაში“ მისცა თავისი ანალიტიკური გამოხატულება შესაძლო გადაადგილების პრინციპის სახით. ეს იყო ჯოზეფ ლუი ლაგრანჟი (1736-1813) და განსაკუთრებით ლეონარდო ეილერი (1707-1783), რომელმაც მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა მექანიკის საბოლოო ტრანსფორმაციაში ანალიტიკურ მექანიკაში.

მატერიალური წერტილის ანალიტიკური მექანიკა და ეილერის ხისტი სხეულის დინამიკა

ლეონარდო ეილერი- ერთ-ერთი გამოჩენილი მეცნიერი, რომელმაც დიდი წვლილი შეიტანა ფიზიკა-მათემატიკური მეცნიერებების განვითარებაში XVIII საუკუნეში. მისი ნამუშევარი გასაოცარია კვლევითი აზროვნების, ნიჭის უნივერსალურობისა და მეცნიერული მემკვიდრეობის უზარმაზარი რაოდენობის თვალსაზრისით.

უკვე პეტერბურგში სამეცნიერო მოღვაწეობის პირველ წლებში (ეილერი ჩამოვიდა რუსეთში 1727 წ.) მან შეადგინა მექანიკის დარგში გრანდიოზული და ყოვლისმომცველი სამუშაო ციკლის პროგრამა. ეს დანართი ნაპოვნია მის ორტომიან ნაშრომში "მექანიკა ან მოძრაობის მეცნიერება, ანალიტიკურად ნათქვამი" (1736). ეილერის მექანიკა იყო პირველი სისტემური კურსი ნიუტონის მექანიკაში. იგი შეიცავდა წერტილის დინამიკის საფუძვლებს - მექანიკით ეილერს ესმოდა მოძრაობის მეცნიერება, ძალთა ბალანსის, ანუ სტატიკის მეცნიერებისგან განსხვავებით. ეილერის „მექანიკის“ განმსაზღვრელი თვისება იყო ახალი მათემატიკური აპარატის - დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების ფართო გამოყენება. მოკლედ ახასიათებს მე-17-მე-18 საუკუნეების მიჯნაზე გაჩენილ მექანიკის ძირითად ნაშრომებს, ეილერმა აღნიშნა მათი ნამუშევრების ძე-ტეთიკო-გეომეტრიული სტილი, რამაც უამრავი ნაშრომი შექმნა მკითხველისთვის. სწორედ ამ გზით დაიწერა ნიუტონის ელემენტები და მოგვიანებით ფორონომია (1716) ჯ.ჰერმანის მიერ. ეილერი აღნიშნავს, რომ ჰერმანისა და ნიუტონის ნამუშევრები ნათქვამია "ძველთა ჩვეულების მიხედვით, სინთეტიკური გეომეტრიული მტკიცებულებების დახმარებით" ანალიზის გარეშე, "მხოლოდ რომლითაც შეიძლება მიაღწიო ამ საგნების სრულ გაგებას".

სინთეზურ-გეომეტრიულ მეთოდს არ ჰქონდა განზოგადებული ხასიათი, მაგრამ, როგორც წესი, მოითხოვდა ინდივიდუალურ კონსტრუქციებს თითოეულ დავალებასთან დაკავშირებით ცალ-ცალკე. ეილერი აღიარებს, რომ „ფორონომიის“ და „დასაწყისების“ შესწავლის შემდეგ, როგორც მას მოეჩვენა, „საკმაოდ ნათლად ესმოდა მრავალი პრობლემის გადაწყვეტას, მაგრამ მათგან გარკვეულწილად გადახრილი პრობლემების გადაჭრა ვეღარ შეძლო“. შემდეგ მან სცადა „ამ სინთეზური მეთოდის ანალიზის იზოლირება და იგივე წინადადებები საკუთარი სარგებლობისთვის ანალიტიკურად გაეკეთებინა“. ეილერი აღნიშნავს, რომ ამის წყალობით მან გაცილებით უკეთ გაიაზრა საკითხის არსი. მან შეიმუშავა ფუნდამენტურად ახალი მეთოდები მექანიკის ამოცანების შესასწავლად, შექმნა მისი მათემატიკური აპარატი და ბრწყინვალედ გამოიყენა იგი მრავალ რთულ პრობლემაზე. ეილერის წყალობით დიფერენციალური გეომეტრია, დიფერენციალური განტოლებები და ვარიაციების გამოთვლა მექანიკის იარაღად იქცა. ეილერის მეთოდი, რომელიც მოგვიანებით მისმა მემკვიდრეებმა განავითარეს, იყო ცალსახა და ადეკვატური ამ თემისთვის.

ეილერის ნაშრომს ხისტი სხეულის დინამიკაზე "ხისტი სხეულების მოძრაობის თეორია" აქვს ექვსი მონაკვეთის დიდი შესავალი, სადაც კვლავ გამოიკვეთება წერტილის დინამიკა. შესავალში განხორციელდა მთელი რიგი ცვლილებები: კერძოდ, წერტილის მოძრაობის განტოლებები იწერება პროექციის გამოყენებით ფიქსირებული მართკუთხა კოორდინატების ღერძზე (და არა ტანგენსზე, მთავარ ნორმალურ და ნორმალურზე, ანუ ღერძზე). უძრავი ბუნებრივი ტრიედონი, რომელიც დაკავშირებულია ტრაექტორიულ წერტილებთან, როგორც "მექანიკაში").

შესავლის შემდეგი "ტრაქტატი ხისტი სხეულების მოძრაობის შესახებ" შედგება 19 განყოფილებისგან. ტრაქტატი ეფუძნება დ'ალმბერის პრინციპს. მოკლედ საუბარი ხისტი სხეულის მთარგმნელობით მოძრაობაზე და შემოაქვს ინერციის ცენტრის ცნება, ეილერი. განიხილავს ბრუნვას ფიქსირებული ღერძისა და ფიქსირებული წერტილის ირგვლივ.აქ მოცემულია მყისიერი კუთხური სიჩქარის პროექციის ფორმულები, კუთხური აჩქარება კოორდინატთა ღერძებზე, ე.წ. ეილერის კუთხეები და ა.შ. აღწერილია ინერცია, რის შემდეგაც ეილერი აგრძელებს ხისტი სხეულის დინამიკას. ის გამოიმუშავებს დიფერენციალურ განტოლებებს მძიმე სხეულის ბრუნვის უძრავი სიმძიმის ცენტრის გარშემო გარე ძალების არარსებობის შემთხვევაში და ხსნის მათ მარტივი კონკრეტული შემთხვევისთვის. ასე წარმოიშვა გიროსკოპის თეორიაში ცნობილი და თანაბრად მნიშვნელოვანი პრობლემა ხისტი სხეულის ბრუნვის შესახებ ფიქსირებული წერტილის გარშემო. ეილერი ასევე მუშაობდა გემთმშენებლობის თეორიაზე, ჰიდრო- და აერომექანიკის, ბალისტიკის თვალში. სტაბილურობის თეორია და მცირე ვიბრაციების თეორია, ციური მექანიკა და ა.შ.

მექანიკის გამოქვეყნებიდან რვა წლის შემდეგ, ეილერმა გაამდიდრა მეცნიერება უმცირესი მოქმედების პრინციპის პირველი ზუსტი ფორმულირებით. უმცირესი მოქმედების პრინციპის ფორმულირება, რომელიც ეკუთვნოდა მაუპერტუისს, ჯერ კიდევ ძალიან არასრულყოფილი იყო. პრინციპის პირველი მეცნიერული ფორმულირება ეილერს ეკუთვნის. მან თავისი პრინციპი შემდეგნაირად ჩამოაყალიბა: ინტეგრალს აქვს უმცირესი მნიშვნელობა რეალური ტრაექტორიისთვის, თუ გავითვალისწინებთ

ბოლო შესაძლო ტრაექტორიათა ჯგუფში, რომლებსაც აქვთ საერთო საწყისი და საბოლოო პოზიცია და განხორციელებულია იგივე ენერგეტიკული მნიშვნელობით. ეილერი აწვდის თავის პრინციპს ზუსტი მათემატიკური გამოსახულებით და ერთი მატერიალური წერტილის მკაცრი დასაბუთებით, ამოწმებს ცენტრალური ძალების მოქმედებებს. 1746-1749 წლებში გვ. ეილერმა დაწერა რამდენიმე ნაშრომი მოქნილი ძაფის წონასწორობის ფიგურებზე, სადაც ყველაზე მცირე მოქმედების პრინციპი იყო გამოყენებული იმ პრობლემებზე, რომლებშიც მოქმედებენ დრეკადი ძალები.

ამრიგად, 1744 წლისთვის მექანიკა გამდიდრდა ორი მნიშვნელოვანი პრინციპით: დ’ალბერტის პრინციპით და მაუპერტუის-ეილერის უმცირესი მოქმედების პრინციპით. ამ პრინციპებზე დაყრდნობით ლაგრანჟმა ააგო ანალიტიკური მექანიკის სისტემა.

როდესაც მატერიალური წერტილი მოძრაობს, მისი აჩქარება დროის თითოეულ მომენტში არის ისეთი, რომ მოცემული (აქტიური) ძალები, რომლებიც მიმართულია წერტილზე, ბმების რეაქცია და ფიქტიური დ'ალმბერის ძალა Ф = - რომლებიც ქმნიან ძალთა დაბალანსებულ სისტემას.

მტკიცებულება.განვიხილოთ არათავისუფალი მატერიალური წერტილის მოძრაობა მასით თინერციული მითითების სისტემაში. დინამიკის ძირითადი კანონისა და ობლიგაციებისგან განთავისუფლების პრინციპის მიხედვით გვაქვს:

სადაც F არის მოცემული (აქტიური) ძალების შედეგი; N არის წერტილის ყველა ბმის რეაქციის შედეგი.

მარტივია (13.1) ფორმაში გარდაქმნა:

ვექტორი Ф = - რომდ'ალმბერის ინერციის ძალა, ინერციის ძალა ან უბრალოდ დ'ალმბერის ძალა.შემდგომში ჩვენ გამოვიყენებთ მხოლოდ ბოლო ტერმინს.

განტოლება (13.3), რომელიც გამოხატავს დ'ალმბერის პრინციპს სიმბოლური ფორმით, ეწოდება კინეტოსტატიკის განტოლებამატერიალური წერტილი.

ადვილია დ'ალბერტის პრინციპის განზოგადება მექანიკური სისტემისთვის (სისტემ პმატერიალური ქულები).

ნებისმიერისთვის რომმექანიკური სისტემის მე-1 პუნქტი, თანასწორობა (13.3) დაკმაყოფილებულია:

სად ? -მოცემული (აქტიური) ძალების შედეგი რომ-ე წერტილი; ნ -ზედმიყენებული ობლიგაციების რეაქციების შედეგი კ-ეწერტილი; ფ k \u003d - რომ კ- დ'ალმბერის ძალა რომ- წერტილი.

ცხადია, თუ წონასწორობის პირობები (13.4) დაკმაყოფილებულია ძალების თითოეული სამმაგი F*, N* : , Ф* (მდე = 1,. .., პ), შემდეგ მთელი სისტემა 3 პძალები

არის დაბალანსებული.

შესაბამისად, მექანიკური სისტემის მოძრაობის დროს დროის ყოველ მომენტში, მასზე მიმართული აქტიური ძალები, ობლიგაციების რეაქციები და სისტემის წერტილების დ'ალმბერის ძალები ქმნიან ძალთა დაბალანსებულ სისტემას.

სისტემის ძალები (13.5) აღარ არის კონვერგენტული, ამიტომ, როგორც ცნობილია სტატიკიდან (სექცია 3.4), მისი წონასწორობის აუცილებელ და საკმარის პირობებს აქვს შემდეგი ფორმა:

განტოლებებს (13.6) ეწოდება მექანიკური სისტემის კინეტოსტატიკის განტოლებები. გამოთვლებისთვის გამოიყენება ამ ვექტორული განტოლებების პროგნოზები მომენტის წერტილში გამავალ ღერძებზე. შესახებ.

შენიშვნა 1. ვინაიდან სისტემის ყველა შინაგანი ძალების ჯამი, ისევე როგორც მათი მომენტების ჯამი ნებისმიერ წერტილთან მიმართებაში, ნულის ტოლია, მაშინ (13.6) განტოლებებში საკმარისია მხოლოდ რეაქციების გათვალისწინება. გარეკავშირები.

კინეტოსტატიკის განტოლებები (13.6) ჩვეულებრივ გამოიყენება მექანიკური სისტემის შეზღუდვების რეაქციების დასადგენად, როდესაც მოცემულია სისტემის მოძრაობა და, შესაბამისად, სისტემის წერტილების აჩქარება და მათზე დამოკიდებული დ'ალმბერის ძალები. ცნობილია.

მაგალითი 1იპოვნეთ მხარდაჭერის რეაქციები ადა INლილვი თავისი ერთიანი ბრუნვით 5000 rpm სიხშირით.

წერტილოვანი მასები მყარად არის დაკავშირებული ლილვთან gp= 0,1 კგ, t 2 = 0,2 კგ. ზომები ცნობილია AC - CD - DB = 0,4 მ თ= 0,01 მ. ჩათვალეთ ლილვის მასა უმნიშვნელოდ.

გამოსავალი.დ'ალმბერის პრინციპის გამოსაყენებლად ორი წერტილის მასისგან შემდგარი მექანიკური სისტემისთვის, დიაგრამაზე (ნახ. 13.2) მივუთითებთ მოცემულ ძალებს (გრავიტაციას) Gi, G 2, ბმების რეაქციას N4, N # და d. ალბერტის ძალები Ф|, Ф 2.

დალამბრის ძალების მიმართულებები ეწინააღმდეგება წერტილოვანი მასების აჩქარებას თბ t 2 წრომლებიც ერთნაირად აღწერენ რადიუსის წრეებს თღერძის გარშემო ABლილვი.

ჩვენ ვპოულობთ სიმძიმის ძალებისა და დალამბრეს ძალების სიდიდეებს:

აქ არის ლილვის კუთხური სიჩქარე თანა- 5000* ლ/30 = 523,6 წმ აჰ, აჰ, აზ, ვიღებთ წონასწორობის პირობებს პარალელური ძალების ბრტყელი სისტემისთვის Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2:

მომენტების განტოლებიდან ვპოულობთ N-ში = - + - 1 - - - 2 --- =

(0.98 + 274) 0.4 - (548 -1.96) 0.8 ვ"

272 N და პროექციის განტოლებიდან

ღერძი აი: ნa \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0.98 + 1.96 + 274-548 \u003d 0.06 N.

კინეტოსტატიკის განტოლებები (13.6) ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების მისაღებად, თუ ისინი შედგენილია ისე, რომ გამორიცხულია ბმების რეაქციები და, შედეგად, შესაძლებელი გახდება დამოკიდებულებების მიღება. მოცემულ ძალებზე აჩქარებების შესახებ.

ინერციის ძალები მატერიალური წერტილის და მექანიკური სისტემის დინამიკაში

ინერციის ძალითმატერიალური წერტილი არის წერტილის მასისა და მისი აჩქარების ნამრავლი, აღებული მინუს ნიშნით, ანუ ინერციული ძალები დინამიკაში გამოიყენება შემდეგ შემთხვევებში:

• 1. მატერიალური წერტილის მოძრაობის შესწავლისას ქ არაინერციული(მოძრავი) კოორდინატთა სისტემა, ანუ ფარდობითი მოძრაობა. ეს არის ინერციის მთარგმნელობითი და კორიოლისური ძალები, რომლებსაც ხშირად ეილერის ძალებს უწოდებენ.
• 2. დინამიკის ამოცანების ამოხსნისას კინეტოსტატიკის მეთოდით. ეს მეთოდი ეფუძნება დ'ალმბერის პრინციპს, რომლის მიხედვითაც მატერიალური წერტილის ან მატერიალური წერტილების სისტემის ინერციის ძალები, რომლებიც მოძრაობენ გარკვეული აჩქარებით ინერტულისაცნობარო სისტემა. ინერციის ამ ძალებს დ'ალმბერის ძალებს უწოდებენ.
• 3. დ'ალმბერის ინერციის ძალები ასევე გამოიყენება დინამიკის ამოცანების ამოხსნისას ლაგრანჟ-დ'ალმბერის პრინციპის ან დინამიკის ზოგადი განტოლების გამოყენებით.

გამოხატვა პროექციებში დეკარტის კოორდინატების ღერძებზე

სად - წერტილოვანი აჩქარების პროგნოზების მოდულები დეკარტის კოორდინატთა ღერძზე.

წერტილის მრუდი მოძრაობით ინერციის ძალა შეიძლება დაიშალოს ტანგენციალურ და ნორმად:; , - ტანგენციალური და ნორმალური აჩქარებების მოდული; - ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსი;

V-წერტილის სიჩქარე.

დ'ალმბერის პრინციპი მატერიალური წერტილისთვის

თუ არა თავისუფალიმატერიალურ წერტილამდე, რომელიც მოძრაობს გამოყენებული აქტიური ძალებისა და ბმების რეაქციის ძალების მოქმედებით, გამოიყენეთ მისი ინერციის ძალა, მაშინ ნებისმიერ დროს მიღებული ძალების სისტემა დაბალანსდება, ანუ ამ ძალების გეომეტრიული ჯამი იქნება ნულის ტოლი.

სხეულის მექანიკური წერტილის მასალა

სად - პუნქტზე გამოყენებული აქტიური ძალების შედეგი; - წერტილზე დაწესებული ობლიგაციების რეაქციების შედეგი; მატერიალური წერტილის ინერციის ძალა. შენიშვნა: სინამდვილეში, მატერიალური წერტილის ინერციის ძალა არ ვრცელდება თვით წერტილზე, არამედ სხეულზე, რომელიც აჩქარებს ამ წერტილს.

დ'ალამბერის პრინციპი მექანიკური სისტემისთვის

გეომეტრიული ჯამისისტემაზე მოქმედი გარე ძალების ძირითადი ვექტორები და სისტემის ყველა წერტილის ინერციული ძალები, აგრეთვე ამ ძალების ძირითადი მომენტების გეომეტრიული ჯამი ნებისმიერ დროს არათავისუფალი მექანიკური სისტემის გარკვეულ ცენტრთან მიმართებაში. ნულის ტოლია, ე.ი.

ხისტი სხეულის ინერციის ძალების ძირითადი ვექტორი და ძირითადი მომენტი

სისტემის წერტილების ინერციის ძალების ძირითადი ვექტორი და ძირითადი მომენტი განისაზღვრება ცალ-ცალკე ამ მექანიკურ სისტემაში შემავალი თითოეული ხისტი სხეულისთვის. მათი განმარტება ემყარება სტატიკიდან ცნობილ პუანსოს მეთოდს, რომელიც ძალთა თვითნებური სისტემის მოყვანას ეხება მოცემულ ცენტრში.

ამ მეთოდის საფუძველზე, სხეულის ყველა წერტილის ინერციული ძალები მისი მოძრაობის ზოგად შემთხვევაში შეიძლება მიიტანოს მასის ცენტრამდე და შეიცვალოს მთავარი ვექტორით * და მთავარი მომენტით. მასის ცენტრის შესახებ. ისინი განისაზღვრება ფორმულებით ანუ ნებისმიერისთვისხისტი სხეულის მოძრაობა, ინერციული ძალების მთავარი ვექტორი მინუს ნიშნით უდრის სხეულის მასის ნამრავლს და სხეულის მასის ცენტრის აჩქარებას; , სად რ კკ -- რადიუსის ვექტორი კ-ეწერტილი გამოყვანილია მასის ცენტრიდან. ამ ფორმულებს ხისტი სხეულის მოძრაობის კონკრეტულ შემთხვევებში აქვს ფორმა:

1. პროგრესული მოძრაობა.

2. სხეულის ბრუნვა ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მასის ცენტრში

3. სიბრტყე-პარალელური მოძრაობა

შესავალი ანალიტიკურ მექანიკაში

ანალიტიკური მექანიკის ძირითადი ცნებები

ანალიტიკური მექანიკა- მექანიკის არე (განყოფილება), რომელშიც მექანიკური სისტემების მოძრაობა ან წონასწორობა შეისწავლება ზოგადი, ერთიანი ანალიტიკური მეთოდების გამოყენებით, რომლებიც გამოიყენება ნებისმიერი მექანიკური სისტემისთვის.

განვიხილოთ ანალიტიკური მექანიკის ყველაზე დამახასიათებელი ცნებები.

1. კავშირები და მათი კლასიფიკაცია.

კავშირები- ნებისმიერი შეზღუდვა სხეულების სახით ან ნებისმიერი კინემატიკური პირობებით, რომელიც დაწესებულია მექანიკური სისტემის წერტილების მოძრაობაზე. ეს შეზღუდვები შეიძლება დაიწეროს როგორც განტოლებები ან უტოლობა.

გეომეტრიული ბმულები-- კავშირები, რომელთა განტოლებები შეიცავს მხოლოდ წერტილების კოორდინატებს, ანუ შეზღუდვები დაწესებულია მხოლოდ წერტილების კოორდინატებზე. ეს არის კავშირები სხეულების, ზედაპირების, ხაზების და ა.შ.

დიფერენციალური კავშირები-- კავშირები, რომლებიც აწესებს შეზღუდვებს არა მხოლოდ წერტილების კოორდინატებზე, არამედ მათ სიჩქარეზეც.

ჰოლონომიური კავშირები --ყველა გეომეტრიული კავშირი და ის დიფერენციალური, რომელთა განტოლებები შეიძლება ინტეგრირებული იყოს.

არაჰოლონომიური შეზღუდვები-- დიფერენციალური არა ინტეგრირებადი კავშირები.

სტაციონარული კომუნიკაციები --კავშირები, რომელთა განტოლებები ცალსახად არ მოიცავს დროს.

არასტაციონარული კომუნიკაციები- კავშირები, რომლებიც იცვლება დროთა განმავლობაში, ანუ, რომელთა განტოლებები აშკარად მოიცავს დროს.

ორმხრივი (ჰოლდინგი) ბმულები --ბმულები, რომლებიც ზღუდავენ წერტილის მოძრაობას ორი საპირისპირო მიმართულებით. ასეთი კავშირები აღწერილია განტოლებებით .

ცალმხრივი(არაშემკავებელი) ბმულები - ბმულები, რომლებიც ზღუდავს მოძრაობას მხოლოდ ერთი მიმართულებით. ასეთი კავშირები აღწერილია უთანასწორობით

2. შესაძლო (ვირტუალური) და ფაქტობრივი მოძრაობები.

შესაძლებელიაან ვირტუალურიმექანიკური სისტემის წერტილების გადაადგილება წარმოსახვითი უსასრულო მცირე გადაადგილებებია, რომლებიც დაშვებულია სისტემაზე დაწესებული შეზღუდვებით.

შესაძლებელიამექანიკური სისტემის გადაადგილება არის სისტემის იმ წერტილების ერთდროული შესაძლო გადაადგილების ერთობლიობა, რომლებიც თავსებადია შეზღუდვებთან. დაე, მექანიკური სისტემა იყოს ამწე მექანიზმი.

შესაძლო მოძრავი წერტილი აარის გადაადგილება, რომელიც მისი სიმცირის გამო განიხილება სწორხაზოვნად და მიმართულია პერპენდიკულურად. OA.

შესაძლო მოძრავი წერტილი IN(სლაიდერი) მოძრაობს გიდებში. ამწეების შესაძლო მოძრაობა OAარის ბრუნვა კუთხით და შემაერთებელი ღერო AB -- MCS-ის გარშემო კუთხით (წერტილი რ).

მოქმედებსსისტემის წერტილების გადაადგილებებს ასევე უწოდებენ ელემენტარულ გადაადგილებებს, რომლებიც იძლევიან ზედმეტ კავშირებს, მაგრამ მოძრაობის საწყისი პირობებისა და სისტემაზე მოქმედი ძალების გათვალისწინებით.

ხარისხების რაოდენობათავისუფლება სმექანიკური სისტემის არის მისი დამოუკიდებელი შესაძლო გადაადგილების რაოდენობა, რომელიც შეიძლება მიეწოდოს სისტემის წერტილებს დროის ფიქსირებულ მომენტში.

შესაძლო გადაადგილების პრინციპი (ლაგრანგის პრინციპი)

შესაძლო გადაადგილების პრინციპი ან ლაგრანჟის პრინციპი გამოხატავს წონასწორობის მდგომარეობას არათავისუფალი მექანიკური სისტემისთვის გამოყენებული აქტიური ძალების მოქმედებით. პრინციპის ფორმულირება.

ბალანსისთვისორმხრივი, სტაციონარული, ჰოლონომიური და იდეალური შეზღუდვების მქონე არათავისუფალი მექანიკური სისტემისთვის, რომელიც მოსვენებულია გამოყენებული აქტიური ძალების მოქმედების ქვეშ, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ყველა აქტიური ძალის ელემენტარული სამუშაოების ჯამი ტოლი იყოს ტყვია ნებისმიერზე. სისტემის შესაძლო გადაადგილება განხილული წონასწორობის პოზიციიდან:

დინამიკის ზოგადი განტოლება (ლაგრანჟ-დ'ალბერტის პრინციპი)

დინამიკის ზოგადი განტოლება გამოიყენება არათავისუფალი მექანიკური სისტემების მოძრაობის შესასწავლად, რომელთა სხეულები ან წერტილები მოძრაობენ გარკვეული აჩქარებით.

დ'ალმბერის პრინციპის შესაბამისად, მექანიკურ სისტემაზე მიმართული აქტიური ძალების მთლიანობა, ობლიგაციების რეაქციის ძალები და სისტემის ყველა წერტილის ინერციის ძალები ქმნის ძალების დაბალანსებულ სისტემას.

თუ ასეთ სისტემაზე გამოყენებულია შესაძლო გადაადგილების პრინციპი (ლაგრანჟის პრინციპი), მაშინ მივიღებთ ლაგრანჟ-დ'ალმბერის კომბინირებულ პრინციპს ან დინამიკის ზოგადი განტოლება.ამ პრინციპის ფორმულირება.

როდესაც გადაადგილება არ არის თავისუფალიმექანიკური სისტემის ორმხრივი, იდეალური, სტაციონარული და ჰოლონომიური შეზღუდვებით, ყველა აქტიური ძალისა და ინერციის ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი, რომელიც გამოიყენება სისტემის წერტილებზე სისტემის ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე, ნულის ტოლია:

მეორე სახის ლაგრანგის განტოლებები

ლაგრანგის განტოლებებიმეორე სახის არის მექანიკური სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები განზოგადებულ კოორდინატებში.

სისტემისთვის სთავისუფლების ხარისხით, ამ განტოლებებს აქვთ ფორმა

განსხვავებასისტემის კინეტიკური ენერგიის ნაწილობრივი წარმოებულის მთლიანი დროის წარმოებული გენერალიზებული სიჩქარის მიმართ და კინეტიკური ენერგიის ნაწილობრივი წარმოებული განზოგადებულ კოორდინატთან მიმართებაში უდრის განზოგადებულ ძალას.

ლაგრანგის განტოლებები კონსერვატიული მექანიკური სისტემებისთვის. ციკლური კოორდინატები და ინტეგრალები

კონსერვატიული სისტემისთვის განზოგადებული ძალები განისაზღვრება სისტემის პოტენციური ენერგიის მიხედვით ფორმულით

შემდეგ ლაგრანჟის განტოლებები ხელახლა იწერება ფორმაში

ვინაიდან სისტემის პოტენციური ენერგია არის მხოლოდ განზოგადებული კოორდინატების ფუნქცია, ანუ, ამის გათვალისწინებით, ჩვენ წარმოვადგენთ მას იმ ფორმით, სადაც T - P \u003d L -ლაგრანჟის ფუნქცია (კინეტიკური პოტენციალი). და ბოლოს, ლაგრანგის განტოლებები კონსერვატიული სისტემისთვის

მექანიკური სისტემის წონასწორული პოზიციის სტაბილურობა

მექანიკური სისტემების წონასწორობის პოზიციის მდგრადობის საკითხს პირდაპირი მნიშვნელობა აქვს სისტემების რხევების თეორიაში.

წონასწორობის პოზიცია შეიძლება იყოს სტაბილური, არასტაბილური და გულგრილი.

მდგრადიწონასწორობის პოზიცია - წონასწორობის პოზიცია, რომლის დროსაც მექანიკური სისტემის წერტილები, ამ პოზიციიდან გამომდინარე, შემდგომში მოძრაობენ ძალების მოქმედების ქვეშ, უშუალო სიახლოვეს, მათ წონასწორობის პოზიციის მახლობლად.

ამ მოძრაობას ექნება დროში განმეორების განსხვავებული ხარისხი, ანუ სისტემა შეასრულებს რხევად მოძრაობას.

არასტაბილურიწონასწორობის პოზიცია - წონასწორობის პოზიცია, საიდანაც, სისტემის წერტილების თვითნებურად მცირე გადახრით, მომავალში მოქმედი ძალები კიდევ უფრო ამოიღებენ წერტილებს წონასწორობის პოზიციიდან. .

გულგრილიწონასწორობის პოზიცია - წონასწორობის პოზიცია, როდესაც სისტემის წერტილების ნებისმიერი მცირე საწყისი გადახრის შემთხვევაში ამ პოზიციიდან ახალ პოზიციაზე, სისტემა ასევე რჩება წონასწორობაში. .

არსებობს სხვადასხვა მეთოდი მექანიკური სისტემის სტაბილური წონასწორობის პოზიციის დასადგენად.

განვიხილოთ სტაბილური წონასწორობის განმარტება საფუძველზე ლაგრანჟ-დირიხლეს თეორემები

თუ თანამდებობაზეკონსერვატიული მექანიკური სისტემის წონასწორობა იდეალური და სტაციონარული შეზღუდვებით, მის პოტენციურ ენერგიას აქვს მინიმალური, მაშინ ეს წონასწორობა სტაბილურია.

ზემოქმედების ფენომენი. დარტყმის ძალა და ზემოქმედების იმპულსი

ფენომენს, რომლის დროსაც სხეულის წერტილების სიჩქარე იცვლება სასრული რაოდენობით დროის უმნიშვნელო მონაკვეთში, ე.წ. დარტყმა.დროის ამ პერიოდს ე.წ გავლენის დრო.დარტყმის დროს ზემოქმედების ძალა მოქმედებს უსასრულოდ მცირე დროის განმავლობაში. დარტყმის ძალაეწოდება ძალა, რომლის იმპულსი დარტყმის დროს არის სასრული მნიშვნელობა.

თუ მოდულის სასრული ძალა მოქმედებს დროთა განმავლობაში, იწყებს მოქმედებას დროის გარკვეულ მომენტში , მაშინ მის იმპულსს აქვს ფორმა

ასევე, როდესაც დარტყმის ძალა მოქმედებს მატერიალურ წერტილზე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ:

შეიძლება უგულებელვყოთ ზემოქმედების დროს არამყისიერი ძალების მოქმედება;

ზემოქმედების დროს მატერიალური წერტილის მოძრაობა შეიძლება იგნორირებული იყოს;

მატერიალურ წერტილზე დარტყმის ძალის მოქმედების შედეგი გამოიხატება მისი სიჩქარის ვექტორის ზემოქმედების დროს საბოლოო ცვლილებაში.

თეორემა ზემოქმედებისას მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ

ზემოქმედების დროს მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილება უდრის ყველა გარე დარტყმის იმპულსების გეომეტრიულ ჯამს, რომელიც გამოიყენება სისტემების წერტილებზე,სად - მექანიკური სისტემის მოძრაობის რაოდენობა დარტყმის ძალების მოქმედების შეწყვეტის მომენტში, - მექანიკური სისტემის მოძრაობის რაოდენობა იმ მომენტში, როდესაც დარტყმის ძალები იწყებენ მოქმედებას, - გარე შოკის იმპულსი.

დ'ალმბერის პრინციპი შესაძლებელს ხდის მექანიკური სისტემების დინამიკის ამოცანების ფორმულირებას, როგორც სტატიკის პრობლემებს. ამ შემთხვევაში მოძრაობის დინამიური დიფერენციალური განტოლებები მოცემულია წონასწორობის განტოლებების სახით. ასეთ მეთოდს ე.წ კინეტოსტატიკური მეთოდი .

დ'ალბერტის პრინციპი მატერიალური წერტილისთვის: « მატერიალური წერტილის მოძრაობის დროს ყოველ მომენტში მასზე მოქმედი აქტიური ძალები, ბმების რეაქციები და წერტილზე პირობითად გამოყენებული ინერციის ძალა ქმნიან ძალთა დაბალანსებულ სისტემას.»

წერტილის ინერციის ძალა ეწოდება ვექტორული სიდიდე, რომელსაც აქვს ძალის განზომილება, რომელიც უდრის წერტილის მასისა და მისი აჩქარების ნამრავლს და მიმართულია აჩქარების ვექტორის საპირისპიროდ.

. (3.38)

განვიხილავთ მექანიკურ სისტემას, როგორც მატერიალური წერტილების ერთობლიობას, რომელთაგან თითოეულზე გავლენას ახდენს ძალთა დაბალანსებული სისტემები, დ'ალმბერის პრინციპის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს ამ პრინციპის შედეგები სისტემასთან მიმართებაში. მთავარი ვექტორი და მთავარი მომენტი, რომელიც მიმართულია სისტემაზე მიმართული გარე ძალების ნებისმიერ ცენტრთან და მისი ყველა წერტილის ინერციის ძალები ნულის ტოლია:

(3.39)

აქ გარე ძალები არის აქტიური ძალები და ობლიგაციების რეაქციები.

ინერციული ძალების მთავარი ვექტორიმექანიკური სისტემის ტოლია სისტემის მასისა და მისი მასის ცენტრის აჩქარების ნამრავლი და მიმართულია ამ აჩქარების საწინააღმდეგო მიმართულებით.

. (3.40)

ინერციის ძალების მთავარი მომენტისისტემა თვითნებურ ცენტრთან შედარებით შესახებმისი კუთხური იმპულსის დროის წარმოებულის ტოლი იმავე ცენტრის მიმართ

. (3.41)

ხისტი სხეულისთვის, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებულ ღერძზე ოზი, ვპოულობთ ინერციის ძალების ძირითად მომენტს ამ ღერძის მიმართ

. (3.42)

3.8. ანალიტიკური მექანიკის ელემენტები

განყოფილებაში „ანალიტიკური მექანიკა“ განხილულია მატერიალური სისტემების მექანიკაში ამოცანების გადაჭრის ზოგადი პრინციპები და ანალიტიკური მეთოდები.

3.8.1 სისტემის შესაძლო მოძრაობები. კლასიფიკაცია

რამდენიმე ბმული

შესაძლო წერტილოვანი მოძრაობები
მათ ნებისმიერ წარმოსახვით, უსასრულოდ მცირე გადაადგილებას, რომელიც დაშვებულია სისტემაზე დაწესებული შეზღუდვებით, დროის ფიქსირებულ მომენტში, ეწოდება მექანიკურ სისტემებს. ა-პრიორიტეტი, თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა მექანიკური სისტემის არის მისი დამოუკიდებელი შესაძლო გადაადგილების რაოდენობა.

სისტემაზე დაწესებული კავშირები ე.წ იდეალური , თუ მათი რეაქციების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი სისტემის წერტილების რომელიმე შესაძლო გადაადგილებაზე ნულის ტოლია

. (3. 43)

კავშირები, რომლებისთვისაც მათ მიერ დაწესებული შეზღუდვები შენარჩუნებულია სისტემის ნებისმიერ პოზიციაზე, ეწოდება შეკავება . ურთიერთობები, რომლებიც არ იცვლება დროში, რომელთა განტოლებები აშკარად არ მოიცავს დროს, ეწოდება სტაციონარული . კავშირები, რომლებიც ზღუდავს მხოლოდ სისტემის წერტილების გადაადგილებებს, ეწოდება გეომეტრიული , და შეზღუდვის სიჩქარე არის კინემატიკური . სამომავლოდ განვიხილავთ მხოლოდ გეომეტრიულ მიმართებებს და იმ კინემატიკურ კავშირებს, რომლებიც ინტეგრაციით შეიძლება შემცირდეს გეომეტრიულზე.

3.8.2. შესაძლო მოძრაობების პრინციპი

იდეალური და სტაციონარული შეზღუდვების მქონე მექანიკური სისტემის წონასწორობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ

მასზე მოქმედი ყველა აქტიური ძალის ელემენტარული სამუშაოების ჯამი სისტემის ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე იყო ნულის ტოლი.

. (3.44)

პროგნოზებში კოორდინატთა ღერძებზე:

. (3.45)

შესაძლო გადაადგილების პრინციპი საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ ზოგადი ფორმით ნებისმიერი მექანიკური სისტემის წონასწორობის პირობები მისი ცალკეული ნაწილების წონასწორობის გათვალისწინების გარეშე. ამ შემთხვევაში მხედველობაში მიიღება მხოლოდ სისტემაზე მოქმედი აქტიური ძალები. იდეალური ბმების უცნობი რეაქციები არ შედის ამ პირობებში. ამავდროულად, ეს პრინციპი შესაძლებელს ხდის იდეალური ობლიგაციების უცნობი რეაქციების განსაზღვრას ამ ობლიგაციების გაუქმებით და მათი რეაქციების აქტიური ძალების რაოდენობაში შეყვანით. როდესაც ობლიგაციები, რომელთა რეაქციებიც უნდა განისაზღვროს, გაუქმებულია, სისტემა დამატებით იძენს თავისუფლების ხარისხების შესაბამის რაოდენობას.

მაგალითი 1 . იპოვნეთ ურთიერთობა ძალებს შორის და ჯეკი, თუ ცნობილია, რომ სახელურის ყოველი შემობრუნებისას AB = ლ, ხრახნი თანვრცელდება რამდენადაც თ(ნახ. 3.3).

გამოსავალი

მექანიზმის შესაძლო მოძრაობებია სახელურის ბრუნვა  და დატვირთვის მოძრაობა  თ. ძალების ელემენტარული მუშაობის ნულთან ტოლობის პირობა:

pl– ქთ = 0;

მერე
. მას შემდეგ, რაც თ 0, მაშინ

3.8.3. დინამიკის ზოგადი ვარიაციული განტოლება

განვიხილოთ სისტემის მოძრაობა, რომელიც შედგება ნქულები. მასზე მოქმედებს აქტიური ძალები და ბონდის რეაქციები .(კ = 1,…,ნ) თუ მოქმედ ძალებს დავუმატებთ წერტილების ინერციის ძალებს
, მაშინ, დ'ალმბერის პრინციპის მიხედვით, შედეგად ძალთა სისტემა წონასწორობაში იქნება და, შესაბამისად, შესაძლო გადაადგილების პრინციპის საფუძველზე დაწერილი გამოთქმა მოქმედებს (3.44):

. (3.46)

თუ ყველა კავშირი იდეალურია, მაშინ მე-2 ჯამი ნულის ტოლია და კოორდინატთა ღერძებზე პროგნოზებში ტოლობა (3.46) ასე გამოიყურება:

ბოლო თანასწორობა არის დინამიკის ზოგადი ვარიაციული განტოლება კოორდინატთა ღერძებზე პროგნოზებში, რაც საშუალებას იძლევა შეადგინოს მექანიკური სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები.

დინამიკის ზოგადი ვარიაციული განტოლება მათემატიკური გამოხატულებაა დ'ალმბერ-ლაგრანჟის პრინციპი: « როდესაც სისტემა მოძრაობს, ექვემდებარება სტაციონალურ, იდეალურ, შემაკავებელ შეზღუდვებს, დროის ნებისმიერ მოცემულ მომენტში, სისტემაზე გამოყენებული ყველა აქტიური ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი და სისტემის ნებისმიერ შესაძლო გადაადგილებაზე ინერციის ძალების ჯამი არის ნულის ტოლი».

მაგალითი 2 . მექანიკური სისტემისთვის (ნახ. 3.4), რომელიც შედგება სამი სხეულისგან, განსაზღვრეთ დატვირთვის აჩქარება 1 და კაბელის დაძაბულობა 1-2, თუ: მ 1 = 5მ; მ 2 = 4მ; მ 3 = 8მ; რ 2 = 0,5რ 2; მე-2 ბლოკის მორევის რადიუსი მე = 1,5რ 2. Roller 3 არის უწყვეტი ერთგვაროვანი დისკი.

გამოსავალი

გამოვსახოთ ძალები, რომლებიც ასრულებენ ელემენტარულ სამუშაოს შესაძლო გადაადგილებაზე  სჩატვირთვა 1:

ჩვენ ვწერთ ყველა სხეულის შესაძლო გადაადგილებებს დატვირთვის 1-ის შესაძლო გადაადგილების გზით:

ჩვენ გამოვხატავთ ყველა სხეულის წრფივ და კუთხურ აჩქარებებს დატვირთვის 1-ის სასურველი აჩქარების მიხედვით (ფარდობები იგივეა, რაც შესაძლო გადაადგილების შემთხვევაში):

.

ამ პრობლემის ზოგადი ვარიაციული განტოლება აქვს:

ადრე მიღებული გამონათქვამების ჩანაცვლებით აქტიური ძალებით, ინერციული ძალებით და შესაძლო გადაადგილებით, მარტივი გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ

მას შემდეგ, რაც  ს 0, მაშასადამე, აჩქარების შემცველი ფრჩხილებში გამოხატულება ნულის ტოლია ა 1 , სად ა 1 = 5გ/8,25 = 0,606გ.

დატვირთვის დამჭერი კაბელის დაძაბულობის დასადგენად, ჩვენ ვათავისუფლებთ დატვირთვას კაბელიდან, ვცვლით მის მოქმედებას სასურველი რეაქციით. . მოცემული ძალების გავლენის ქვეშ ,და დატვირთვაზე გამოყენებული ინერციული ძალა
ის წონასწორობაშია. მაშასადამე, d’Alembert პრინციპი გამოიყენება განხილულ დატვირთვაზე (წერტილზე), ე.ი. ჩვენ ამას ვწერთ
. აქედან
.

3.8.4. მე-2 სახის ლაგრანგის განტოლება

განზოგადებული კოორდინატები და განზოგადებული სიჩქარეები. ნებისმიერ ურთიერთდამოუკიდებელ პარამეტრს, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს მექანიკური სისტემის პოზიციას სივრცეში, ეწოდება განზოგადებული კოორდინატები . ეს კოორდინატები, აღინიშნება ქ 1 ,....ქმე, შეიძლება ჰქონდეს ნებისმიერი განზომილება. კერძოდ, განზოგადებული კოორდინატები შეიძლება იყოს გადაადგილება ან ბრუნვის კუთხეები.

განსახილველი სისტემებისთვის განზოგადებული კოორდინატების რაოდენობა უდრის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობას. სისტემის თითოეული წერტილის პოზიცია არის განზოგადებული კოორდინატების ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია

ამრიგად, სისტემის მოძრაობა განზოგადებულ კოორდინატებში განისაზღვრება შემდეგი დამოკიდებულებებით:

განზოგადებული კოორდინატების პირველი წარმოებულები ე.წ განზოგადებული სიჩქარეები :
.

განზოგადებული ძალები.გამოხატვა ძალის ელემენტარული მუშაობისთვის შესაძლო სვლაზე
როგორც ჩანს:

.

ძალთა სისტემის ელემენტარული მუშაობისთვის ვწერთ

მიღებული დამოკიდებულებების გამოყენებით, ეს გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს როგორც:

,

სად შეესაბამება განზოგადებული ძალა მე- განზოგადებული კოორდინატი,

. (3.49)

ამრიგად, განზოგადებული ძალა შესაბამისი მე- განზოგადებული კოორდინატი, არის ამ კოორდინატის ცვალებადობის კოეფიციენტი აქტიური ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამის გამოხატვაში სისტემის შესაძლო გადაადგილებაზე. . განზოგადებული ძალის გამოსათვლელად აუცილებელია სისტემის ინფორმირება შესაძლო გადაადგილების შესახებ, რომელშიც მხოლოდ განზოგადებული კოორდინატი იცვლება. ქ მე. კოეფიციენტი at
და იქნება სასურველი განზოგადებული ძალა.

სისტემის მოძრაობის განტოლებები განზოგადებულ კოორდინატებში. დაე, მექანიკური სისტემა მიეცეს სთავისუფლების ხარისხები. მასზე მოქმედი ძალების ცოდნა, აუცილებელია მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების შედგენა განზოგადებულ კოორდინატებში.
. ჩვენ ვიყენებთ სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებების შედგენის პროცედურას - მე-2 ტიპის ლაგრანგის განტოლებებს - ამ განტოლებების გამოყვანის ანალოგიით თავისუფალი მატერიალური წერტილისთვის. ნიუტონის მე-2 კანონის საფუძველზე ვწერთ

ჩვენ ვიღებთ ამ განტოლებების ანალოგს მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიის აღნიშვნის გამოყენებით,

კინეტიკური ენერგიის ნაწილობრივი წარმოებული ღერძზე სიჩქარის პროექციის მიმართ
უდრის ამ ღერძზე მოძრაობის სიდიდის პროექციას, ე.ი.

საჭირო განტოლებების მისაღებად გამოვთვალოთ წარმოებულები დროის მიხედვით:

განტოლებათა სისტემა არის მე-2 ტიპის ლაგრანგის განტოლებები მატერიალური წერტილისთვის.

მექანიკური სისტემისთვის ჩვენ წარმოვადგენთ მე-2 ტიპის ლაგრანჟის განტოლებებს განტოლებების სახით, რომლებშიც აქტიური ძალების პროექციის ნაცვლად პ x , პ წ , პ ზგამოიყენე განზოგადებული ძალები ქ 1 , ქ 2 ,...,ქი და გავითვალისწინოთ ზოგად შემთხვევაში კინეტიკური ენერგიის დამოკიდებულება განზოგადებულ კოორდინატებზე.

მექანიკური სისტემის მე-2 ტიპის ლაგრანჟის განტოლებებს აქვს ფორმა:

. (3.50)

მათი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერი მექანიკური სისტემის მოძრაობის შესასწავლად გეომეტრიული, იდეალური და შემზღუდველი შეზღუდვებით.

მაგალითი 3 . მექანიკური სისტემისთვის (ნახ. 3.5), რომლის მონაცემები მოცემულია წინა მაგალითში, შეადგინეთ მოძრაობის დიფერენციალური განტოლება მე-2 ტიპის ლაგრანგის განტოლების გამოყენებით.

გამოსავალი

მექანიკურ სისტემას აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. განზოგადებული კოორდინატისთვის ვიღებთ დატვირთვის წრფივ მოძრაობას ქ 1 = ს; განზოგადებული სიჩქარე - . ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ მე-2 ტიპის ლაგრანგის განტოლებას

.

მოდით შევადგინოთ გამოხატულება სისტემის კინეტიკური ენერგიისთვის

.

ჩვენ გამოვხატავთ ყველა კუთხოვან და წრფივ სიჩქარეს განზოგადებული სიჩქარის მიხედვით:

ახლა მივიღებთ

გამოვთვალოთ განზოგადებული ძალა  შესაძლო გადაადგილებაზე ელემენტარული სამუშაოს გამოსახულების შედგენით სყველა აქტიური ძალა. ხახუნის ძალების გარეშე, სისტემაში მუშაობა ხორციელდება მხოლოდ დატვირთვის 1 სიმძიმით
განზოგადებულ ძალას ვწერთ -ზე ს, როგორც კოეფიციენტი ელემენტარულ სამუშაოში ქ 1 = 5მგ. შემდეგ ვპოულობთ

საბოლოოდ, სისტემის მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებას ექნება ფორმა: