Թող իրական ֆունկցիան բավարարի Դիրիխլեի պայմանները միջակայքում - Լ, Լ. Եկեք գրենք դրա ընդլայնումը եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքում.

Եթե ​​(10.1)-ում արտահայտենք և երևակայական փաստարկի էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի միջոցով.

ապա մենք ստանում ենք շարքը

որտեղ պայմանավորված է (10.2)

Վերջին երեք բանաձևերը կարելի է համատեղել.

Շարքը (10.3) (10.4) գործակիցներով կոչվում է եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարք բարդ տեսքով։

Օրինակ 1Ընդարձակեք ֆունկցիան, որտեղ կոմպլեքս թիվ է, ընդմիջման վրա գտնվող Ֆուրիեի շարքի:

Լուծում . Գտնենք Ֆուրիեի գործակիցները.

Այդ ժամանակվանից

Պահանջվող ընդլայնումը կունենա ձև

որտեղ հաշվի է առնվում, որ

Կիրառելով Պարսևալի հավասարությունը շարքին (10.5)

դուք կարող եք գտնել մեկ այլ թվային շարքի գումարը: Իսկապես, մեր դեպքում

Այնուհետեւ (10.6)-ից հետեւում է

Վարժություն 1. Ապացուցե՛ք, որ

ցուցում. Ներդրեք (10.5) X= 0 և X = .

Վարժություն 2. Ապացուցեք, որ երբ

Ֆուրիեի ինտեգրալ

Ֆուրիեի ինտեգրալի կոնվերգենցիան

Թող ֆունկցիան սահմանվի ամբողջ թվային տողի վրա։ Ենթադրելով, որ կամայական վերջավոր միջակայքում, Լ, ԼՏրված ֆունկցիան բավարարում է Դիրիխլեի պայմանները, եկեք այն ներկայացնենք եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքով բարդ ձևով.

Հաճախականություն կրդ ներդաշնակություն; .

(11.2) արտահայտությունները (11.1) ներմուծելով՝ մենք ստանում ենք

Չափի մեջ: Բանաձևի աջ կողմը (11.3) նման է ինտերվալի փոփոխականի ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարին: Հետևաբար, մենք կարող ենք ակնկալել, որ (11.3)-ի սահմանին անցնելուց հետո շարքի փոխարեն մենք ստանում ենք ինտեգրալը.

Բանաձևը (11.4) կոչվում է Ֆուրիեի ինտեգրալ բանաձև, իսկ նրա աջ կողմը կոչվում է Ֆուրիեի ինտեգրալ:

Բանաձևը (11.4) դուրս բերելու համար օգտագործված հիմնավորումը խիստ չէ և միայն հուշում է: Այն պայմանները, որոնց դեպքում Ֆուրիեի ինտեգրալ բանաձևը վավեր է, հաստատվում են մի թեորեմով, որը մենք ընդունում ենք առանց ապացույցի:

Թեորեմ.Թող ֆունկցիան, նախ, լինի բացարձակապես ինտեգրելի միջակայքում, այսինքն. ինտեգրալը համընկնում է և, երկրորդը, բավարարում է Դիրիխլեի պայմանները յուրաքանչյուր վերջավոր միջակայքում (- Լ, Լ) Այնուհետև Ֆուրիեի ինտեգրալը համընկնում է (հիմնական արժեքի իմաստով) ամենուր, այսինքն. հավասարությունը (11.4) բավարարված է բոլորի համար Xմիջեւից. Այստեղ, ինչպես և նախկինում, ենթադրվում է, որ անջատման կետում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է այս կետում նրա միակողմանի սահմանների գումարի կեսին։

Ֆուրիեի փոխակերպում

Մենք փոխակերպում ենք Ֆուրիեի ինտեգրալ բանաձևը (11.4) հետևյալ կերպ. դնենք

Եթե ​​ֆունկցիան շարունակական է և բացարձակապես ինտեգրելի է ամբողջ առանցքի վրա, ապա ֆունկցիան շարունակական է միջակայքում: Իսկապես, այդ ժամանակվանից

և քանի որ աջ կողմի ինտեգրալը համընկնում է, ձախ կողմի ինտեգրալը համընկնում է: հետևաբար, ինտեգրալը (12.1) բացարձակապես համընկնում է: Հավասարությունը (12.2) միաժամանակ բավարարվում է բոլորի համար, ուստի ինտեգրալը (12.1) համընկնում է հավասարաչափ: Այստեղից հետևում է, որ ֆունկցիան շարունակական է (ինչպես շարունակական ֆունկցիաներից կազմված շարքի միատեսակ կոնվերգենցիան ենթադրում է դրա գումարի շարունակականությունը)։

(11.4)-ից մենք ստանում ենք

(12.1) բանաձևով սահմանված բարդ ֆունկցիան կոչվում է ֆունկցիայի Ֆուրիեի փոխակերպում կամ Ֆուրիեի փոխակերպում։ Իր հերթին, բանաձևը (12.3) սահմանում է որպես հակադարձ Ֆուրիեի փոխակերպում կամ ֆունկցիայի հակադարձ պատկեր: Տվյալ ֆունկցիայի հավասարությունը (12.3) կարելի է դիտարկել որպես ֆունկցիայի նկատմամբ ինտեգրալ հավասարում, որի լուծումը տրված է (12.1) բանաձևով։ Եվ, ընդհակառակը, տրված ֆունկցիայի (12.1) ինտեգրալ հավասարման լուծումը տրված է (12.3) բանաձևով։

Բանաձևում (12.3) արտահայտությունը, համեմատաբար ասած, սահմանում է բարդ ներդաշնակությունների փաթեթ, որոնց հաճախականությունները անընդհատ բաշխված են ընդմիջման վրա և ընդհանուր բարդ ամպլիտուդով: Ֆունկցիան կոչվում է սպեկտրային խտություն։ Բանաձև (12.2), գրված ձևով

կարող է մեկնաբանվել որպես ֆունկցիայի ընդլայնում ներդաշնակ փաթեթների գումարի մեջ, որոնց հաճախականությունները կազմում են շարունակական սպեկտր՝ բաշխված ընդմիջման վրա։

Պարսևալի հավասարությունները.Թող և լինեն իրական ֆունկցիաների Ֆուրիեի պատկերները և համապատասխանաբար. Հետո

դրանք. սկալյար արտադրյալները և ֆունկցիաների նորմերը Ֆուրիեի փոխակերպման անփոփոխ են: Փաստենք այս հայտարարությունը. Սկալյար արտադրյալի սահմանմամբ մենք ունենք. Փոխարինելով ֆունկցիան իր արտահայտությամբ (12.3) Ֆուրիեի փոխակերպման միջոցով՝ մենք ստանում ենք

(12.1) ուժով

Հետեւաբար, այսինքն. բանաձևը (12.4) ապացուցված է: Բանաձևը (12.5) ստացվում է (12.4) ժամը:

Կոսինուսի և սինուսի Ֆուրիեի փոխակերպումները:Եթե ​​իրական ֆունկցիան զույգ է, ապա նրա Ֆուրիեի փոխակերպումը, որը մենք նշում ենք այստեղ, նույնպես իրական զույգ ֆունկցիա է: Իսկապես,

Վերջին ինտեգրալը, ինտեգրանդի տարօրինակության պատճառով, անհետանում է։ Այսպիսով,

Այստեղ մենք օգտագործում ենք զույգ ֆունկցիաների հատկությունը (7.1):

(12.6)-ից հետևում է, որ ֆունկցիան իրական է և հավասարապես կախված է, քանի որ այն մտնում է (12.6) միայն կոսինուսի միջոցով:

Հակադարձ Ֆուրիեի փոխակերպման բանաձևը (12.3) այս դեպքում տալիս է

Քանի որ և փոփոխականի համապատասխանաբար զույգ և կենտ ֆունկցիաներ են, ապա

Բանաձևերը (12.6) և (12.7) սահմանում են Ֆուրիեի կոսինուսի փոխակերպումը:

Նմանապես, եթե իրական ֆունկցիան կենտ է, ապա նրա Ֆուրիեի փոխակերպումն այն է, որտեղ կա իրական կենտ ֆունկցիա: Որտեղ

Հավասարումները (12.8), (12.9) սահմանում են Ֆուրիեի սինուսային փոխակերպումը:

Նկատի ունեցեք, որ (12.6) և (12.8) բանաձևերը ներառում են գործառույթի արժեքներ միայն: Հետևաբար, կոսինուսի և սինուսի Ֆուրիեի փոխակերպումները կարող են կիրառվել նաև կիսաանսահման ինտերվալի վրա սահմանված ֆունկցիայի վրա։ Այս դեպքում (12.7) և (12.9) բանաձևերի ինտեգրալները համընկնում են տվյալ ֆունկցիային, իսկ նրա զույգ և կենտ շարունակություններին համապատասխանաբար:

Որոնք արդեն բավականին ձանձրալի են: Եվ ես զգում եմ, որ եկել է պահը, երբ ժամանակն է նոր պահածոներ հանել տեսության ռազմավարական պաշարներից։ Հնարավո՞ր է այլ կերպ ընդլայնել ֆունկցիան շարքի: Օրինակ, ուղիղ գծի հատվածն արտահայտե՛ք սինուսներով և կոսինուսներով: Դա անհավանական է թվում, բայց նման թվացող հեռավոր գործառույթները կարող են լինել
«վերամիավորում». Բացի տեսական և պրակտիկայում ծանոթ աստիճաններից, կան գործառույթների շարքի ընդլայնման այլ մոտեցումներ:

Այս դասում մենք կծանոթանանք եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքին, կանդրադառնանք դրա մերձեցման և գումարի խնդրին և, իհարկե, կվերլուծենք Ֆուրիեի շարքերում ֆունկցիաների ընդլայնման բազմաթիվ օրինակներ։ Ես անկեղծորեն ուզում էի հոդվածը անվանել «Ֆուրիեի շարք դեբիլների համար», բայց դա անազնիվ կլիներ, քանի որ խնդիրների լուծումը կպահանջի մաթեմատիկական վերլուծության այլ ճյուղերի իմացություն և որոշակի գործնական փորձ: Հետևաբար, նախաբանը նմանվելու է տիեզերագնացների վերապատրաստմանը =)

Նախ, դուք պետք է մոտենաք էջի նյութերի ուսումնասիրությանը գերազանց ձևով: Քնկոտ, հանգստացած և սթափ։ Առանց կոտրված համստերի ոտքի ուժեղ հույզերի և ակվարիումի ձկների կյանքի դժվարությունների մասին մոլուցքային մտքերի: Ֆուրիեի շարքը դժվար չէ հասկանալ, բայց գործնական առաջադրանքները պարզապես պահանջում են ուշադրության կենտրոնացում. իդեալական, դուք պետք է ամբողջովին անջատվեք արտաքին խթաններից: Իրավիճակը սրվում է նրանով, որ լուծումն ու պատասխանը ստուգելու հեշտ ճանապարհ չկա։ Այսպիսով, եթե ձեր առողջությունը միջինից ցածր է, ապա ավելի լավ է ավելի պարզ բան անել։ Արդյոք դա ճիշտ է.

Երկրորդ՝ տիեզերք թռչելուց առաջ անհրաժեշտ է ուսումնասիրել տիեզերանավի գործիքների վահանակը։ Սկսենք այն գործառույթների արժեքներից, որոնք պետք է սեղմվեն մեքենայի վրա.

Ցանկացած բնական արժեքի համար.

1) . Իրոք, սինուսոիդը «կարում» է x առանցքը յուրաքանչյուր «pi»-ի միջով.
. Փաստարկի բացասական արժեքների դեպքում արդյունքը, իհարկե, կլինի նույնը.

2) . Բայց ոչ բոլորը գիտեին սա: «pi» կոսինուսը «թարթիչի» համարժեք է.

Բացասական փաստարկը չի փոխում հարցը. .

Թերեւս բավական է։

Եվ երրորդ, հարգելի տիեզերագնաց կորպուս, դուք պետք է կարողանաք... ինտեգրվել.
Մասնավորապես, վստահորեն ֆունկցիան դնել դիֆերենցիալ նշանի տակ, ինտեգրվել մաս-մասև հաշտ եղիր հետ Նյուտոն-Լայբնից բանաձև. Սկսենք կարևոր նախաթռիչքային վարժությունները։ Ես կտրականապես խորհուրդ չեմ տալիս բաց թողնել այն, որպեսզի հետագայում չհարթվեք զրոյական ձգողականության մեջ.

Օրինակ 1

Հաշվիր որոշակի ինտեգրալներ

որտեղ տանում են բնական արժեքները:

Լուծումինտեգրումն իրականացվում է «x» փոփոխականի վրա և այս փուլում «en» դիսկրետ փոփոխականը համարվում է հաստատուն: Բոլոր ինտեգրալներում ֆունկցիան բերեք դիֆերենցիալի նշանի տակ:

Լուծման կարճ տարբերակը, որի վրա լավ կլիներ կրակել, ունի հետևյալ տեսքը.

Եկեք վարժվենք դրան.

Մնացած չորս միավորները ինքնուրույն են: Փորձեք բարեխղճորեն մոտենալ առաջադրանքին և կարճ գրել ինտեգրալները։ Դասի վերջում լուծումների նմուշներ.

ՈՐԱԿ վարժությունները կատարելուց հետո հագնում ենք սկաֆանդրներ
և պատրաստվում է սկսել:

Գործառույթի ընդլայնում Ֆուրիեի շարքի մեջ միջակայքում

Դիտարկենք մի գործառույթ, որը որոշվածառնվազն որոշակի ժամանակահատվածի համար (և հնարավոր է ավելի երկար ժամանակով): Եթե ​​այս ֆունկցիան ինտեգրելի է միջակայքում, ապա այն կարող է ընդլայնվել եռանկյունաչափականի Ֆուրիեի շարք:
, որտեղ են այսպես կոչված Ֆուրիեի գործակիցները.

Այս դեպքում համարը կոչվում է տարրալուծման ժամանակաշրջան, իսկ թիվն է տարրալուծման կես կյանքը.

Ակնհայտ է, որ ընդհանուր դեպքում Ֆուրիեի շարքը բաղկացած է սինուսներից և կոսինուսներից.

Իսկապես, եկեք մանրամասն գրենք.

Շարքի զրոյական տերմինը սովորաբար գրվում է ձևով.

Ֆուրիեի գործակիցները հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով.

Ես հիանալի հասկանում եմ, որ նրանք, ովքեր սկսում են ուսումնասիրել թեման, դեռ պարզ չեն նոր տերմինների մասին. տարրալուծման ժամանակաշրջան, կես ցիկլ, Ֆուրիեի գործակիցներըև այլն: Խուճապի մի մատնվեք, սա համեմատելի չէ արտաքին տարածություն մեկնելուց առաջ հուզմունքի հետ: Եկեք ամեն ինչ հասկանանք հետևյալ օրինակում, որը կատարելուց առաջ տրամաբանական է տալ հրատապ գործնական հարցեր.

Ի՞նչ է ձեզ հարկավոր անել հետևյալ առաջադրանքների մեջ.

Ընդլայնել գործառույթը Ֆուրիեի շարքի մեջ: Բացի այդ, հաճախ անհրաժեշտ է պատկերել ֆունկցիայի գրաֆիկ, շարքի գումարի գրաֆիկ, մասնակի գումար, իսկ բարդ պրոֆեսորական ֆանտազիաների դեպքում՝ այլ բան անել:

Ինչպե՞ս ընդլայնել ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի:

Ըստ էության, դուք պետք է գտնեք Ֆուրիեի գործակիցները, այսինքն՝ կազմել և հաշվարկել երեքը որոշակի ինտեգրալ.

Խնդրում ենք պատճենել Ֆուրիեի շարքի ընդհանուր ձևը և երեք աշխատանքային բանաձևերը ձեր նոթատետրում: Ես շատ ուրախ եմ, որ կայքի որոշ այցելուներ իմ աչքի առաջ իրականացնում են տիեզերագնաց դառնալու իրենց մանկության երազանքը =)

Օրինակ 2

Ընդլայնել ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ միջակայքում: Կառուցեք գրաֆիկ, շարքի գումարի և մասնակի գումարի գրաֆիկ:

ԼուծումԱռաջադրանքի առաջին մասը ֆունկցիան ընդլայնելն է Ֆուրիեի շարքի:

Սկիզբը ստանդարտ է, անպայման գրեք, որ.

Այս խնդրի դեպքում ընդլայնման ժամկետը կիսամյակային է։

Եկեք ընդլայնենք ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ միջակայքում.

Օգտագործելով համապատասխան բանաձեւերը՝ գտնում ենք Ֆուրիեի գործակիցները. Այժմ մենք պետք է կազմենք և հաշվարկենք երեքը որոշակի ինտեգրալ. Հարմարության համար թվարկեմ կետերը.

1) Առաջին ինտեգրալը ամենապարզն է, սակայն այն նաև պահանջում է ակնագնդեր.

2) Օգտագործեք երկրորդ բանաձևը.

Այս ինտեգրալը հայտնի է և նա այն վերցնում է մաս առ մաս:

Օգտագործվում է, երբ գտնվել է ֆունկցիան դիֆերենցիալ նշանի տակ ներառելու մեթոդ.

Քննարկվող առաջադրանքում ավելի հարմար է անմիջապես օգտագործել Որոշակի ինտեգրալում մասերի ինտեգրման բանաձևը :

Մի քանի տեխնիկական նշում. Նախ՝ բանաձևը կիրառելուց հետո ամբողջ արտահայտությունը պետք է փակվի մեծ փակագծերում, քանի որ սկզբնական ինտեգրալից առաջ հաստատուն կա։ Եկեք չկորցնենք նրան! Փակագծերը կարող են ընդլայնվել ցանկացած հետագա քայլի դեպքում, ես դա արեցի որպես վերջին միջոց: Առաջին «կտորում» Մենք ծայրահեղ զգուշություն ենք ցուցաբերում փոխարինման մեջ, ինչպես տեսնում եք, հաստատունը չի օգտագործվում, և ինտեգրման սահմանները փոխարինվում են արտադրանքի մեջ: Այս գործողությունը ընդգծված է քառակուսի փակագծերում: Դե, դուք ծանոթ եք ուսուցման առաջադրանքից բանաձևի երկրորդ «կտորի» ինտեգրալին;-)

Եվ ամենակարևորը` ծայրահեղ կենտրոնացում:

3) Մենք փնտրում ենք երրորդ Ֆուրիեի գործակիցը.

Ստացվում է նախորդ ինտեգրալի հարաբերականը, որը նույնպես ինտեգրված մասերով:

Այս օրինակը մի փոքր ավելի բարդ է, ես քայլ առ քայլ կմեկնաբանեմ հետագա քայլերը.

(1) Արտահայտությունն ամբողջությամբ փակված է մեծ փակագծերում. Ես չէի ուզում ձանձրալի թվալ, նրանք շատ հաճախ են կորցնում մշտականը:

(2) Այս դեպքում ես անմիջապես բացեցի այս մեծ փակագծերը։ Հատուկ ուշադրությունՄենք նվիրվում ենք առաջին «կտորին». մշտականը ծխում է կողքից և չի մասնակցում արտադրանքի մեջ ինտեգրման (և) սահմանների փոխարինմանը: Հաշվի առնելով ձայնագրության խառնաշփոթը, կրկին խորհուրդ է տրվում ընդգծել այս գործողությունը քառակուսի փակագծերով: Երկրորդ «կտորով» ամեն ինչ ավելի պարզ է՝ այստեղ կոտորակը հայտնվել է մեծ փակագծեր բացելուց հետո, իսկ հաստատունը՝ ծանոթ ինտեգրալի ինտեգրման արդյունքում;-)

(3) Քառակուսի փակագծերում մենք կատարում ենք փոխակերպումներ, իսկ աջ ինտեգրալում՝ ինտեգրման սահմանների փոխարինում։

(4) Քառակուսի փակագծերից հանում ենք «թարթող լույսը»՝ , այնուհետև բացում ենք ներքին փակագծերը՝ .

(5) Փակագծերում ջնջում ենք 1-ը և –1-ը և կատարում վերջնական պարզեցումներ:

Վերջապես, բոլոր երեք Ֆուրիեի գործակիցները գտնված են.

Փոխարինեք դրանք բանաձևի մեջ :

Միեւնույն ժամանակ, մի մոռացեք կիսել կիսով չափ: Վերջին քայլում հաստատունը («մինուս երկու»), որը կախված չէ «en»-ից, վերցվում է գումարից դուրս:

Այսպիսով, մենք ստացել ենք ֆունկցիայի ընդլայնումը Ֆուրիեի շարքի միջակայքում.

Եկեք ուսումնասիրենք Ֆուրիեի շարքերի սերտաճման հարցը։ Ես կբացատրեմ տեսությունը, մասնավորապես Դիրիխլեի թեորեմ, բառացիորեն «մատների վրա», այնպես որ, եթե խիստ ձևակերպումների կարիք ունեք, դիմեք մաթեմատիկական անալիզի դասագրքին։ (օրինակ՝ Բոհանի 2-րդ հատորը, կամ Ֆիխտենհոլցի 3-րդ հատորը, բայց դա ավելի դժվար է).

Խնդրի երկրորդ մասը պահանջում է նկարել գրաֆիկ, շարքի գումարի գրաֆիկ և մասնակի գումարի գրաֆիկ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկը սովորական է ուղիղ գիծ հարթության վրա, որը գծված է սև կետավոր գծով.

Եկեք պարզենք շարքի գումարը: Ինչպես գիտեք, ֆունկցիաների շարքերը համընկնում են ֆունկցիաների: Մեր դեպքում՝ կառուցված Ֆուրիեի շարքը «x» ցանկացած արժեքի համարկմիանա ֆունկցիային, որը ցույց է տրված կարմիրով: Այս գործառույթը հանդուրժում է 1-ին տեսակի պատռվածքներկետերում, բայց նաև սահմանվում է դրանց վրա (կարմիր կետերը գծագրում)

Այսպիսով. . Հեշտ է նկատել, որ այն նկատելիորեն տարբերվում է սկզբնական ֆունկցիայից, ինչի պատճառով էլ մուտքի մեջ Օգտագործվում է tilde, քան հավասարի նշան:

Եկեք ուսումնասիրենք ալգորիթմ, որը հարմար է շարքի գումարը կառուցելու համար։

Կենտրոնական միջակայքում Ֆուրիեի շարքը համընկնում է բուն ֆունկցիայի հետ (կենտրոնական կարմիր հատվածը համընկնում է գծային ֆունկցիայի սև կետավոր գծի հետ):

Այժմ եկեք մի փոքր խոսենք դիտարկվող եռանկյունաչափական ընդլայնման բնույթի մասին։ Ֆուրիեի շարք ներառում է միայն պարբերական ֆունկցիաներ (հաստատուն, սինուսներ և կոսինուսներ), ուստի շարքի գումարը նաև պարբերական ֆունկցիա է.

Ի՞նչ է սա նշանակում մեր կոնկրետ օրինակում: Իսկ սա նշանակում է, որ շարքի գումարը –անշուշտ պարբերականիսկ միջակայքի կարմիր հատվածը պետք է անվերջ կրկնվի աջ ու ձախ կողմում։

Կարծում եմ, վերջապես պարզ է դարձել «քայքայման շրջան» արտահայտության իմաստը։ Պարզ ասած՝ ամեն անգամ իրավիճակը կրկնվում է նորից ու նորից։

Գործնականում սովորաբար բավական է պատկերել տարրալուծման երեք շրջան, ինչպես արվում է գծագրում: Դե, և նաև հարևան ժամանակաշրջանների «կոճղերը», որպեսզի պարզ լինի, որ գրաֆիկը շարունակվում է:

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն են ներկայացնում 1-ին տեսակի անջատման կետեր. Նման կետերում Ֆուրիեի շարքը զուգակցվում է մեկուսացված արժեքների, որոնք գտնվում են հենց դադարի «ցատկի» մեջտեղում (գծագրում կարմիր կետեր): Ինչպե՞ս պարզել այս կետերի շարքը: Նախ, եկեք գտնենք «վերին հարկի» օրդինատը. դա անելու համար մենք հաշվում ենք ֆունկցիայի արժեքը ընդլայնման կենտրոնական ժամանակաշրջանի ամենաաջ կետում. «Ստորին հարկի» օրդինատը հաշվարկելու համար ամենադյուրին ճանապարհը նույն ժամանակաշրջանի ամենաձախ արժեքը վերցնելն է. . Միջին արժեքի օրդինատը «վերևի և ներքևի» գումարի միջին թվաբանականն է. Հաճելի փաստ է, որ գծանկար կառուցելիս անմիջապես կտեսնեք՝ միջինը ճիշտ է հաշվարկված, թե սխալ։

Եկեք կառուցենք շարքի մասնակի գումարը և միևնույն ժամանակ կրկնենք «կոնվերգենցիա» տերմինի իմաստը։ Մոտիվը հայտնի է նաև դասից թվերի շարքի գումար. Եկեք մանրամասն նկարագրենք մեր հարստությունը.

Մասնակի գումար կազմելու համար անհրաժեշտ է գրել շարքի զրո + ևս երկու անդամ: Այն է,

Գծագրում ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է կանաչ գույնով, և, ինչպես տեսնում եք, այն բավականին ամուր «փաթաթում է» ամբողջ գումարը։ Եթե ​​դիտարկենք շարքի հինգ անդամների մասնակի գումարը, ապա այս ֆունկցիայի գրաֆիկն ավելի ճշգրիտ կմոտենա կարմիր գծերին, եթե կան հարյուր անդամ, ապա «կանաչ օձը» իրականում ամբողջությամբ կմիավորվի կարմիր հատվածների հետ, և այլն: Այսպիսով, Ֆուրիեի շարքը համընկնում է իր գումարին:

Հետաքրքիր է նշել, որ ցանկացած մասնակի գումար է շարունակական գործառույթ, սակայն, շարքի ընդհանուր գումարը դեռևս ընդհատված է։

Գործնականում այնքան էլ հազվադեպ չէ մասնակի գումարային գրաֆիկ կառուցելը: Ինչպե՞ս դա անել: Մեր դեպքում անհրաժեշտ է դիտարկել գործառույթը հատվածի վրա, հաշվարկել դրա արժեքները հատվածի ծայրերում և միջանկյալ կետերում (որքան շատ կետեր դիտարկեք, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի գրաֆիկը): Այնուհետև դուք պետք է նշեք այս կետերը գծագրի վրա և զգուշորեն գծեք գծապատկերը կետի վրա, այնուհետև «կրկնօրինակեք» այն հարակից ընդմիջումներով: Էլ ինչպե՞ս։ Ի վերջո, մոտարկումը նաև պարբերական ֆունկցիա է... ...որոշ առումներով նրա գրաֆիկն ինձ հիշեցնում է բժշկական սարքի էկրանին սրտի հավասարաչափ ռիթմը:

Շինարարությունն իրականացնելը, իհարկե, այնքան էլ հարմար չէ, քանի որ պետք է չափազանց զգույշ լինել՝ պահպանելով ոչ պակաս, քան կես միլիմետր ճշգրտություն։ Այնուամենայնիվ, ես կուրախացնեմ ընթերցողներին, ովքեր հարմար չեն նկարելու համար. «իրական» խնդրի դեպքում միշտ չէ, որ անհրաժեշտ է նկարել, մոտ 50% դեպքերում անհրաժեշտ է ընդլայնել գործառույթը Ֆուրիեի շարքի մեջ և վերջ: .

Նկարչությունն ավարտելուց հետո մենք կատարում ենք առաջադրանքը.

Պատասխանել:

Շատ առաջադրանքներում ֆունկցիան տուժում է 1-ին տեսակի պատռվածքհենց տարրալուծման ժամանակաշրջանում.

Օրինակ 3

Ընդարձակեք ինտերվալի վրա տրված ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի: Գծե՛ք ֆունկցիայի և շարքի ընդհանուր գումարի գրաֆիկը:

Առաջարկվող գործառույթը նշված է հատվածաբար (և, նշեք, միայն հատվածում)և դիմանում է 1-ին տեսակի պատռվածքկետում. Հնարավո՞ր է արդյոք հաշվարկել Ֆուրիեի գործակիցները: Ոչ մի խնդիր. Ֆունկցիայի և ձախ և աջ կողմերը ինտեգրելի են իրենց միջակայքում, հետևաբար երեք բանաձևերից յուրաքանչյուրի ինտեգրալները պետք է ներկայացվեն որպես երկու ինտեգրալների գումար: Տեսնենք, օրինակ, թե ինչպես է դա արվում զրոյական գործակցի համար.

Երկրորդ ինտեգրալը պարզվեց, որ հավասար է զրոյի, ինչը նվազեցրեց աշխատանքը, բայց դա միշտ չէ, որ այդպես է։

Մյուս երկու Ֆուրիեի գործակիցները նկարագրված են նույն կերպ:

Ինչպե՞ս ցույց տալ շարքի գումարը: Ձախ միջակայքում մենք ուղիղ գծի հատված ենք գծում, իսկ միջակայքի վրա՝ ուղիղ հատված (առանցքի հատվածը կարևորում ենք թավ և թավերով): Այսինքն, ընդարձակման միջակայքում շարքի գումարը համընկնում է ֆունկցիայի հետ ամենուր, բացառությամբ երեք «վատ» կետերի: Ֆունկցիայի անջատման կետում Ֆուրիեի շարքը կմիանա մեկուսացված արժեքի, որը գտնվում է հենց դադարի «ցատկի» մեջտեղում։ Դժվար չէ բանավոր տեսնել՝ ձախակողմյան սահման՝ , աջակողմ սահման. և, ակնհայտորեն, միջնակետի օրդինատը 0,5 է։

Գումարի պարբերականությունից ելնելով` նկարը պետք է «բազմապատկել» հարակից ժամանակաշրջանների, մասնավորապես, նույն բանը պետք է պատկերվի միջակայքերի վրա և . Միևնույն ժամանակ, կետերում Ֆուրիեի շարքը կմիանա միջին արժեքներին:

Փաստորեն, այստեղ ոչ մի նոր բան չկա։

Փորձեք ինքնուրույն լուծել այս խնդիրը։ Դասի վերջում նուրբ ձևավորման և նկարչության մոտավոր նմուշ:

Ֆուրյեի շարքում ֆունկցիայի ընդլայնում կամայական ժամանակաշրջանում

Ընդլայնման կամայական ժամանակաշրջանի համար, որտեղ «el»-ը ցանկացած դրական թիվ է, Ֆուրիեի շարքի և Ֆուրիեի գործակիցների բանաձևերը տարբերվում են սինուսի և կոսինուսի մի փոքր ավելի բարդ փաստարկով.

Եթե ​​, ապա մենք ստանում ենք այն միջակայքի բանաձևերը, որոնցով սկսել ենք:

Խնդրի լուծման ալգորիթմը և սկզբունքները ամբողջությամբ պահպանված են, բայց հաշվարկների տեխնիկական բարդությունը մեծանում է.

Օրինակ 4

Ընդարձակեք ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ և գծեք գումարը:

ԼուծումՓաստորեն, թիվ 3 օրինակի անալոգը 1-ին տեսակի պատռվածքկետում. Այս խնդրի դեպքում ընդլայնման շրջանը, կիսամյակը: Ֆունկցիան սահմանվում է միայն կիսամյակային միջակայքում, բայց դա չի փոխում հարցը. կարևոր է, որ ֆունկցիայի երկու մասերն էլ ինտեգրելի լինեն:

Եկեք ընդլայնենք ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ.

Քանի որ ֆունկցիան սկզբնաղբյուրում ընդհատվող է, Ֆուրիեի յուրաքանչյուր գործակից ակնհայտորեն պետք է գրվի որպես երկու ինտեգրալների գումար.

1) Ես հնարավորինս մանրամասն կգրեմ առաջին ինտեգրալը.

2) Մենք ուշադիր նայում ենք Լուսնի մակերեսին.

Երկրորդ ինտեգրալ վերցրեք այն մաս առ մաս:

Լուծման շարունակությունը աստղանիշով բացելուց հետո ինչի՞ վրա պետք է մեծ ուշադրություն դարձնենք։

Նախ, մենք չենք կորցնում առաջին ինտեգրալը , որտեղ մենք անմիջապես կատարում ենք բաժանորդագրվելով դիֆերենցիալ նշանին. Երկրորդ, մի մոռացեք չարաբաստիկ հաստատունը մեծ փակագծերից առաջ և մի շփոթվեք նշաններովբանաձևն օգտագործելիս. Մեծ փակագծերը դեռ ավելի հարմար են հաջորդ քայլում անմիջապես բացելու համար:

Մնացածը տեխնիկայի հարց է, դժվարություններ կարող են առաջանալ միայն ինտեգրալների լուծման անբավարար փորձի պատճառով։

Այո, իզուր չէր, որ ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆուրիեի նշանավոր գործընկերները վրդովվեցին. ինչպե՞ս նա համարձակվեց ֆունկցիաները դասավորել եռանկյունաչափական շարքերի։ =) Ի դեպ, ամենայն հավանականությամբ բոլորին հետաքրքրում է խնդրո առարկա առաջադրանքի գործնական իմաստը։ Ինքը՝ Ֆուրիեն, աշխատել է ջերմային հաղորդունակության մաթեմատիկական մոդելի վրա, և հետագայում նրա անվան շարքը սկսել է օգտագործվել՝ ուսումնասիրելու բազմաթիվ պարբերական գործընթացներ, որոնք տեսանելի և անտեսանելի են շրջապատող աշխարհում։ Հիմա, ի դեպ, ինքս ինձ բռնեցի մտածելով, որ պատահական չէր, որ երկրորդ օրինակի գրաֆիկը համեմատեցի սրտի պարբերական ռիթմի հետ։ Ցանկացողները կարող են ծանոթանալ գործնական կիրառմանը Ֆուրիեի փոխակերպումերրորդ կողմի աղբյուրներում: ...Չնայած ավելի լավ է չանել, այն կհիշվի որպես Առաջին սեր =)

3) Հաշվի առնելով բազմիցս նշված թույլ օղակները՝ նայենք երրորդ գործակցին.

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.

Գտնված Ֆուրիեի գործակիցները փոխարինենք բանաձևով , չմոռանալով կիսել զրոյական գործակիցը.

Եկեք գծենք շարքի գումարը: Եկեք համառոտ կրկնենք ընթացակարգը. մենք կառուցում ենք ուղիղ գիծ ինտերվալի վրա, իսկ ուղիղ գիծը ընդմիջման վրա: Եթե ​​«x» արժեքը զրո է, ապա մենք կետ ենք դնում բացվածքի «ցատկի» մեջտեղում և «կրկնօրինակում» գրաֆիկը հարակից ժամանակաշրջանների համար.


Ժամանակահատվածների «հանգույցներում» գումարը նույնպես հավասար կլինի բացվածքի «ցատկի» միջնակետերին:

Պատրաստ. Հիշեցնեմ, որ ֆունկցիան ինքնին պայմանականորեն սահմանված է միայն կես ինտերվալի վրա և, ակնհայտորեն, համընկնում է միջակայքերի շարքի գումարի հետ։

Պատասխանել:

Երբեմն տրված մասնակի ֆունկցիան շարունակական է ընդլայնման ժամանակահատվածում: Ամենապարզ օրինակը. . Լուծում (տես Բոհանի հատոր 2)նույնը, ինչ նախորդ երկու օրինակներում. չնայած գործառույթի շարունակականությունկետում Ֆուրիեի յուրաքանչյուր գործակից արտահայտվում է որպես երկու ինտեգրալների գումար:

Խզման միջակայքում 1-ին տեսակի անջատման կետերև/կամ կարող են լինել գրաֆիկի ավելի շատ «հանգույց» կետեր (երկու, երեք և ընդհանրապես ցանկացած եզրափակիչքանակ): Եթե ​​ֆունկցիան ինտեգրելի է յուրաքանչյուր մասի վրա, ապա այն կարող է ընդլայնվել նաև Ֆուրիեի շարքում: Բայց գործնական փորձից ես նման դաժան բան չեմ հիշում։ Այնուամենայնիվ, կան ավելի բարդ առաջադրանքներ, քան նոր մտածվածները, և հոդվածի վերջում կան հղումներ դեպի Ֆուրիեի ավելացված բարդության շարքը բոլորի համար:

Միևնույն ժամանակ, եկեք հանգստանանք, հենվենք մեր աթոռներին և մտածենք աստղերի անսահման տարածությունների մասին.

Օրինակ 5

Ընդարձակեք ֆունկցիան ֆուրիեի շարքի մեջ և գծեք շարքի գումարը:

Այս առաջադրանքում ֆունկցիան շարունակականընդլայնման կես-ինտերվալի վրա, որը հեշտացնում է լուծումը: Ամեն ինչ շատ նման է թիվ 2 օրինակին։ Տիեզերանավից փախուստ չկա, դուք պետք է որոշեք =) Դասի վերջում մոտավոր դիզայնի նմուշ, կցվում է ժամանակացույց:

Զույգ և կենտ ֆունկցիաների Ֆուրիեի շարքի ընդլայնում

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներով խնդրի լուծման գործընթացը նկատելիորեն պարզեցված է։ Եվ ահա թե ինչու։ Եկեք վերադառնանք ֆունկցիայի ընդլայնմանը Ֆուրիեի շարքում «երկու pi» կետով: և կամայական ժամկետ «երկու էլ» .

Ենթադրենք, որ մեր ֆունկցիան հավասար է։ Շարքի ընդհանուր տերմինը, ինչպես տեսնում եք, պարունակում է զույգ կոսինուսներ և կենտ սինուսներ։ Եվ եթե մենք ընդլայնում ենք EVEN ֆունկցիան, ապա ինչի՞ն են մեզ պետք կենտ սինուսներ։ Վերականգնենք ավելորդ գործակիցը՝ .

Այսպիսով, զույգ ֆունկցիան կարող է ընդլայնվել Ֆուրիեի շարքում միայն կոսինուսներում:

Քանի որ զույգ ֆունկցիաների ինտեգրալներինտեգրացիոն հատվածի երկայնքով, որը սիմետրիկ է զրոյի նկատմամբ, կարող է կրկնապատկվել, ապա մնացած Ֆուրիեի գործակիցները պարզեցված են:

Տարածքի համար.

Կամայական ընդմիջման համար.

Դասագրքերի օրինակները, որոնք կարելի է գտնել մաթեմատիկական վերլուծության գրեթե ցանկացած դասագրքում, ներառում են զույգ ֆունկցիաների ընդլայնումներ . Բացի այդ, դրանք մի քանի անգամ հանդիպել են իմ անձնական պրակտիկայում.

Օրինակ 6

Տրվում է ֆունկցիա. Պահանջվում է:

1) ընդլայնել ֆունկցիան Ֆուրիեի շարքի մեջ կետով, որտեղ կա կամայական դրական թիվ.

2) գրի՛ր ընդարձակումը միջակայքի վրա, կառուցի՛ր ֆունկցիա և գծի՛ր շարքի ընդհանուր գումարը:

ԼուծումԱռաջին պարբերությունում առաջարկվում է խնդիրը լուծել ընդհանուր ձևով, և դա շատ հարմար է։ Եթե ​​անհրաժեշտություն առաջանա, պարզապես փոխարինեք ձեր արժեքը:

1) Այս խնդրի դեպքում ընդլայնման ժամկետը կիսամյակային է: Հետագա գործողությունների ժամանակ, մասնավորապես, ինտեգրման ժամանակ «el»-ը համարվում է հաստատուն

Ֆունկցիան զույգ է, ինչը նշանակում է, որ այն կարող է ընդլայնվել Ֆուրիեի շարքի միայն կոսինուսներում. .

Մենք փնտրում ենք Ֆուրիեի գործակիցները՝ օգտագործելով բանաձևերը . Ուշադրություն դարձրեք նրանց անվերապահ առավելություններին. Նախ, ինտեգրումն իրականացվում է ընդլայնման դրական հատվածի վրա, ինչը նշանակում է, որ մենք ապահով կերպով ազատվում ենք մոդուլից , հաշվի առնելով երկու կտորների միայն «X»-ը։ Եվ, երկրորդ, ինտեգրումը նկատելիորեն պարզեցված է։

Երկու.

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.

Այսպիսով.
, մինչդեռ հաստատունը, որը կախված չէ «en»-ից, վերցվում է գումարից դուրս։

Պատասխանել:

2) Մենք գրում ենք ընդարձակումը միջակայքի վրա, դրա համար մենք փոխարինում ենք կիսաշրջանի ցանկալի արժեքը ընդհանուր բանաձևով.

Եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարք կոչվում է ձևի շարք

ա0 /2 + ա 1 կո x + բ 1 մեղք x + ա 2cos2 x + բ 2 մեղք2 x + ... + աենթասպա nx + բ n մեղք nx + ...

որտեղ են թվերը ա0 , ա 1 , բ 1 , ա 2 , բ 2 , ..., ա n, բ n... - Ֆուրիեի գործակիցները.

Ֆուրիեի շարքի ավելի խտացված ներկայացում «սիգմա» խորհրդանիշով.

Ինչպես մենք նոր ենք հաստատել, ի տարբերություն ուժային շարքի, Ֆուրիեի շարքում, ամենապարզ գործառույթների փոխարեն վերցված են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

1/2, cos x, մեղք x, cos2 x, մեղք2 x, ..., cos nx, մեղք nx, ... .

Ֆուրիեի գործակիցները հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով.

,

,

.

Ֆուրիեի շարքի վերը նշված բոլոր ֆունկցիաները 2 պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիաներ են π . Ֆուրիեի եռանկյունաչափական շարքի յուրաքանչյուր անդամ պարբերական ֆունկցիա է 2-րդ ժամանակաշրջանով π .

Հետևաբար, Ֆուրիեի շարքի ցանկացած մասնակի գումար ունի 2 պարբերություն π . Հետևում է, որ եթե Ֆուրիեի շարքը համընկնում է միջակայքի վրա [- π , π ] , ապա այն զուգակցվում է ամբողջ իրական գծի վրա և նրա գումարը, լինելով պարբերական մասնակի գումարների հաջորդականության սահմանը, պարբերական ֆունկցիա է 2 պարբերությամբ։ π .

Ֆուրիեի շարքերի և շարքերի գումարի կոնվերգենցիան

Թող գործառույթը Ֆ(x) սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա և 2-րդ կետով պարբերական π , ֆունկցիայի պարբերական շարունակությունն է զ(x) եթե հատվածում [- π , π ] տեղի է ունենում Ֆ(x) = զ(x)

Եթե ​​հատվածում [- π , π ] Ֆուրիեի շարքը համընկնում է ֆունկցիայի հետ զ(x) այնուհետև այն համընկնում է ամբողջ թվային տողի վրա իր պարբերական շարունակությանը:

Հարցի պատասխանը, թե ինչ պայմաններում է ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը զ(x) համընկնում է այս ֆունկցիայի հետ, տալիս է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ.Թող գործառույթը զ(x) և դրա ածանցյալը զ"(x) - շարունակական հատվածի վրա [- π , π ] կամ դրա վրա ունենան 1-ին տեսակի դադարման կետերի վերջավոր թիվը: Այնուհետև ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը զ(x) համընկնում է ամբողջ թվային տողի վրա և յուրաքանչյուր կետում xհատվածին պատկանող [- π , π ] , որտեղ զ(x) շարունակական է, շարքի գումարը հավասար է զ(x), և յուրաքանչյուր կետում x0 ֆունկցիայի անշարժության դեպքում շարքի գումարը հավասար է ֆունկցիայի սահմանների միջին թվաբանականին. զ(x) աջ և ձախ.

,

Որտեղ Եվ .

Հատվածի ծայրերում [- π , π ] շարքի գումարը հավասար է ընդլայնման ժամանակաշրջանի ծայրահեղ ձախ և ծայրահեղ աջ կետերում ֆունկցիայի արժեքների միջին թվաբանականին.

.

Ցանկացած պահի xհատվածին պատկանող [- π , π ] , Ֆուրիեի շարքի գումարը հավասար է Ֆ(x), Եթե x- շարունակականության կետ Ֆ(x), և հավասար է սահմանների միջին թվաբանականին Ֆ(x) ձախ և աջ.

,

Եթե x- ընդմիջման կետ Ֆ(x), որտեղ Ֆ(x) - պարբերական շարունակություն զ(x) .

Օրինակ 1Պարբերական ֆունկցիա զ(x) 2-րդ ժամկետով π սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Ավելի պարզ, այս ֆունկցիան գրված է այսպես զ(x) = |x| . Գործառույթն ընդարձակի՛ր Ֆուրիեի շարքի, որոշի՛ր շարքի համընկնումը և շարքի գումարը։

Լուծում. Եկեք որոշենք այս ֆունկցիայի Ֆուրիեի գործակիցները.

Այժմ մենք ունենք ամեն ինչ այս ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը ստանալու համար.

Այս շարքը համընկնում է բոլոր կետերում, և դրա գումարը հավասար է տրված ֆունկցիային։

Ինքներդ լուծեք Ֆուրիեի շարքի խնդիրը, ապա նայեք լուծմանը

Զույգ և կենտ ֆունկցիաների Ֆուրիեի շարքը

Թող գործառույթը զ(x) սահմանվում է հատվածի վրա [- π , π ] և զույգ է, այսինքն. զ(- x) = զ(x) . Հետո դրա գործակիցները բnհավասար են զրոյի: Իսկ գործակիցների համար աnՀետևյալ բանաձևերը ճիշտ են.

,

.

Եկեք հիմա գործառույթը զ(x) սահմանված է հատվածի վրա [- π , π ] , տարօրինակ, այսինքն. զ(x) = -զ(- x) . Այնուհետեւ Ֆուրիեի գործակիցները աnհավասար են զրոյի, իսկ գործակիցները բnորոշվում է բանաձևով

.

Ինչպես երևում է վերը բերված բանաձևերից, եթե գործառույթը զ(x) զույգ է, ապա Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն կոսինուսներ, իսկ եթե կենտ, ապա միայն սինուսներ.

Օրինակ 3

Լուծում. Սա կենտ ֆունկցիա է, ուստի նրա Ֆուրիեի գործակիցներն են, և գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել որոշակի ինտեգրալը.

.

Այս հավասարությունը ճիշտ է ցանկացածի համար: Կետերում Ֆուրիեի շարքի գումարը, ըստ երկրորդ պարբերության թեորեմի, չի համընկնում ֆունկցիայի արժեքների հետ, այլ հավասար է. . Սեգմենտից դուրս շարքի գումարը ֆունկցիայի պարբերական շարունակությունն է, դրա գրաֆիկը տրվել է վերևում՝ որպես շարքի գումարի նկարազարդում:

Օրինակ 4.Ընդլայնել գործառույթը Ֆուրիեի շարքի մեջ:

Լուծում. Սա զույգ ֆունկցիա է, ուստի նրա Ֆուրիեի գործակիցներն են, և գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել որոշակի ինտեգրալներ.

Մենք ստանում ենք այս ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը.

.

Այս հավասարությունը վավեր է ցանկացածի համար, քանի որ կետերում Ֆուրիեի շարքի գումարն այս դեպքում համընկնում է ֆունկցիայի արժեքների հետ, քանի որ .

Ֆուրյեի շարք գործառույթների ցանկացած ուղղանկյուն համակարգի համար

Գործառույթների հաջորդականությունը շարունակական միջակայքում [ ա,բ], կոչված հատվածի վրա ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգ[ա,բ], եթե հաջորդականության բոլոր ֆունկցիաները այս հատվածում զույգ-ուղղանկյուն են, այսինքն՝ եթե

Համակարգը կոչվում է ուղղանկյուն և նորմալացված (օրթոնորմալ) հատվածի վրա,

եթե պայմանը բավարարված է

Թող հիմա զ(x) - ցանկացած շարունակական ֆունկցիա [ինտերվալի վրա ա,բ]. Ֆուրիեի մոտնման գործառույթ զ(x) հատվածում [ ա,բ] ըստ ուղղանկյուն համակարգիշարքը կոչվում է.

որի գործակիցները որոշվում են հավասարությամբ.

N=1,2,...

Եթե ​​ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգը գործում է միջակայքում [ ա,բ] օրթոնորմալ, ապա այս դեպքում

Որտեղ n=1,2,...

Թող հիմա զ(x) - ցանկացած ֆունկցիա, որը շարունակական է կամ ունի վերջավոր թվով առաջին տեսակի անջատման կետեր [հատվածի վրա] ա,բ]. Նման ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը զ(x) նույն հատվածում

ըստ ուղղանկյուն համակարգի շարքը կոչվում է.

Եթե ​​ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը զ(x) ըստ համակարգի (1) համընկնում է ֆունկցիայի հետ զ(x) հատվածին պատկանող իր շարունակականության յուրաքանչյուր կետում [ ա,բ]. Այս դեպքում ասում են զ(x) հատվածում [ ա,բ] ուղղաձիգ համակարգում (1) ընդարձակվում է շարքի։

Ֆուրիեի շարքի բարդ ձևը

Արտահայտությունը կոչվում է ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքի բարդ ձև զ(x), եթե սահմանվում է հավասարությամբ

, Որտեղ

Ֆուրիեի շարքից բարդ ձևով անցումը իրական ձևով և հետադարձ շարքին իրականացվում է բանաձևերի միջոցով.

(n=1,2, . . .)

Լարի թրթռման խնդիր

Թող երկարության շարանը ձգվի հավասարակշռության վիճակում լհանդիպել x= 0 և x=լ. Ենթադրենք, որ լարը դուրս է բերվել հավասարակշռությունից և ազատորեն թրթռում է։ Մենք կդիտարկենք ուղղահայաց հարթությունում տեղի ունեցող լարերի փոքր թրթռումները:

Վերոնշյալ ենթադրությունների համաձայն կարելի է ցույց տալ, որ ֆունկցիան u(x, t) բնութագրում է տողի դիրքը ժամանակի յուրաքանչյուր պահին տ,բավարարում է հավասարումը

(1) , որտեղ a-ն դրական թիվ է:

Մեր խնդիրն է գտնել գործառույթը u(x, t) , որի գրաֆիկը ցանկացած պահի տալիս է տողի ձևը տ, այսինքն՝ գտե՛ք (1) հավասարման լուծումը սահմանով.

և նախնական պայմանները.

Նախ, մենք կփնտրենք (1) հավասարման լուծումները, որոնք բավարարում են սահմանային պայմանները (2): Դժվար չէ դա տեսնել u(x,տ) 0-ը (1) հավասարման լուծումն է, որը բավարարում է սահմանային պայմանները (2): Մենք կփնտրենք լուծումներ, որոնք նույնականորեն հավասար չեն 0-ին, որոնք կարող են ներկայացվել որպես արտադրանք u(x, t)=X(x)Տ(տ), (4) , որտեղ , .

(4) արտահայտությունը փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ ստացվում է.

Որից մեր խնդիրը հանգում է հավասարումների լուծումներ գտնելուն.

Օգտագործելով այս պայմանը X(0)=0, X(լ)=0, բոլոր դեպքերն ուսումնասիրելով ապացուցում ենք, որ այն բացասական թիվ է։

ա) Թող Հետո X”=0 և դրա ընդհանուր լուծումը կգրվի հետևյալ կերպ.

որտեղից և , ինչը անհնար է, քանի որ մենք դիտարկում ենք լուծումներ, որոնք նույնականորեն չեն անհետանում:

բ) Թող. Այնուհետև լուծելով հավասարումը

մենք ստանում ենք , և ստորադասելով՝ գտնում ենք դա

գ) Եթե այդ դեպքում

Հավասարումները ունեն արմատներ.

Որտեղ - կամայական հաստատուններ. Նախնական վիճակից մենք գտնում ենք.

որտեղից, այսինքն.

(n=1,2,...)

(n=1,2,...).

Սա հաշվի առնելով՝ կարող ենք գրել.

(N=1,2,...):

եւ, հետեւաբար

, (n=1,2,...),

բայց քանի որ A-ն և B-ն տարբեր են n-ի տարբեր արժեքների համար, մենք ունենք

, (n=1,2,...),

որտեղ և են կամայական հաստատուններ, որոնք մենք կփորձենք որոշել այնպես, որ շարքը բավարարի հավասարումը (1), սահմանային պայմանները (2) և սկզբնական պայմանները (3):

Այսպիսով, եկեք ստորադասենք գործառույթը u(x, t) սկզբնական պայմաններին, այսինքն՝ մենք կընտրենք այնպիսին, որ պայմանները բավարարվեն

Այս հավասարությունները, համապատասխանաբար, ֆունկցիաների ընդլայնում են և հատվածների Ֆուրիեի շարքի սինուսներում: (Սա նշանակում է, որ գործակիցները կհաշվարկվեն որպես կենտ ֆունկցիայի համար): Այսպիսով, տրված սահմանով և սկզբնական պայմաններով տողի տատանման լուծումը տրվում է բանաձևով

(n=1,2,...)

Ֆուրիեի ինտեգրալ

Ֆուրյեի ինտեգրալում ֆունկցիայի ներկայացելիության բավարար պայմաններ:

Որպեսզի զ(x) ներկայացված էր Ֆուրիեի ինտեգրալով բոլոր շարունակականության և կանոնավոր անդադար կետերում, բավական է.

1) բացարձակ ինտեգրելիություն միացված

(այսինքն ինտեգրալը համընկնում է)

2) ցանկացած վերջավոր հատվածի վրա [- Լ, Լ] ֆունկցիան մասամբ հարթ կլինի

3) ֆունկցիայի դադարման կետերում նրա Ֆուրիեի ինտեգրալը որոշվում է այս կետերում ձախ և աջ սահմանների կիսագումարով և բուն ֆունկցիայի շարունակականության կետերում. զ(x)

F(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի ինտեգրալը ձևի ինտեգրալն է.

Որտեղ ,

.

Ֆուրիեի ինտեգրալ զույգ և կենտ ֆունկցիաների համար

Թող զ(x) զույգ ֆունկցիա է, որը բավարարում է Ֆուրիեի ինտեգրալի կողմից ներկայացված լինելու պայմանները։

Հաշվի առնելով, որ , ինչպես նաև ինտեգրալների հատկությունը սիմետրիկ կետի նկատմամբ x=0 ինտերվալ զույգ ֆունկցիաներից, հավասարությունից (2) ստանում ենք.

(3)

Այսպիսով, զույգ ֆունկցիայի Ֆուրիեի ինտեգրալը զ(x) կգրվի այսպես.

,

Որտեղ ա(u) որոշվում է հավասարությամբ (3):

Նմանապես պատճառաբանելով՝ մենք ստանում ենք կենտ ֆունկցիայի համար զ(x) :

(4)

և, հետևաբար, կենտ ֆունկցիայի Ֆուրիեի ինտեգրալն ունի հետևյալ ձևը.

,

Որտեղ բ(u) որոշվում է հավասարությամբ (4):

Ֆուրիեի ինտեգրալի բարդ ձևը

, (5)

.

(5) ձևով արտահայտությունը ֆունկցիայի Ֆուրյեի ինտեգրալի բարդ ձևն է զ(x).

Եթե ​​(5) բանաձեւում մենք փոխարինում ենք գ(u) իր արտահայտությամբ ստանում ենք.

, որտեղ բանաձևի աջ կողմը կոչվում է կրկնակի ինտեգրալ

Ֆուրիեն բարդ ձևով. Ֆուրյեի ինտեգրալից անցում բարդ ձևով ինտեգրալին

իրական ձևով և հակառակը՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Դիսկրետ Ֆուրիեի փոխակերպման բանաձևեր

Հակադարձ Ֆուրիեի փոխակերպում.

Որտեղ n=1,2,... , կ=1,2,...

Դիսկրետ Ֆուրիեի փոխակերպում - կոչվում է Ն- ծավալային վեկտոր

որտեղ, .

Գլուխ 2

ԳՈՐԾՆԱԿԱՆ ՄԱՍ