d'Alembert-ի սկզբունքը նյութական կետի համար. Նյուտոնի օրենքներին համապատասխան շարժման հավասարման ձևը միակը չէ։ Այս հավասարումները կարելի է գրել նաև այլ ձևերով։ Այս հնարավորություններից մեկն է դ'Ալեմբերի սկզբունքը, որը պաշտոնապես թույլ է տալիս շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներին ընդունել հավասարակշռության հավասարումների ձև։

Այս սկզբունքը կարելի է համարել որպես անկախ աքսիոմ, որը փոխարինում է Նյուտոնի երկրորդ օրենքին։ Մենք այն օգտագործում ենք որպես խնդիրների լուծման միջոց և բխում ենք Նյուտոնի օրենքից։

Դիտարկենք նյութական կետի շարժումը իներցիոն հղման համակարգի նկատմամբ: Ազատ նյութական կետի համար

մենք ունենք: որ = = Ի.

Փոխանցող վեկտոր որհավասարության աջ կողմում այս հարաբերակցությունը կարող է ներկայացվել որպես հավասարակշռության հավասարում. Ես - դա - 0.

Ներկայացնում ենք հայեցակարգը իներցիայի ուժեր.Անվանենք այն վեկտորը, որն ուղղված է արագացմանը և հավասար է կետի զանգվածի և դրա արագացման արտադրյալին. նյութական կետի իներցիայի ուժը: = -տա.

Օգտագործելով այս հայեցակարգը, մենք կարող ենք գրել (նկ. 3.42).

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Բրինձ. 3.42.

նյութական կետի համար

Հավասարումը (3.47) դ'Ալեմբերի սկզբունքն է ազատ նյութական կետի համար. եթե կետին կիրառվող ուժերին գումարվի իներցիայի ուժը, ապա կետը կլինի հավասարակշռության վիճակում։

Խստորեն ասած, հայտարարված դիրքորոշումը դ'Ալմբերի սկզբունքը չէ այն ձևով, որով այն ձևակերպվել է հեղինակի կողմից։

դ'Ալմբերը դիտարկեց կետի ոչ ազատ տեղաշարժ, առանց կապերից ազատվելու սկզբունքի կիրառման, առանց կապի ռեակցիա ներմուծելու։ Նշելով, որ կապի առկայության դեպքում կետի արագացումը ուղղությամբ չի համընկնում ուժի և. ta F R,նա ներկայացրեց հայեցակարգը կորցրել է իշխանությունը Պ - որև հայտարարեց, որ կորցրած ուժի կիրառումը մի կետի վրա չի խախտում նրա հավասարակշռության վիճակը, քանի որ կորցրած ուժը հավասարակշռվում է կապի արձագանքով:

Հարաբերությունը (3.47) է կինետոստատիկայի հիմնական հավասարումը,կամ Հերմանի Պետերբուրգի սկզբունքային հավասարումը-Էյլեր.Կինետոստատիկական մեթոդը կարելի է դիտարկել որպես դ'Ալեմբերի սկզբունքի փոփոխություն, ներառյալ ազատ նյութական կետի համար, որն առավել հարմար է գործնական օգտագործման համար։ Ուստի գրական աղբյուրների մեծ մասում հավասարումը (3.47) կոչվում է դ'Ալեմբերի սկզբունք։

Եթե ​​կետը ազատ չէ, այսինքն. դրա վրա սահմանափակում է դրված, հարմար է կետի վրա գործող ուժերը բաժանել ակտիվ 1-ի, R°(կարգավորում-

տրված) և ՄՄ պարտատոմսի արձագանքը. p(a) + n =

Այս տեխնիկան հարմար է, քանի որ կապերի որոշ տեսակների համար հնարավոր է շարժման հավասարում կազմել այնպես, որ այդ կապերի ռեակցիաները չներառվեն դրանում։ Այսպիսով, դ'Ալեմբերի սկզբունքը ոչ ազատ կետի համար կարելի է գրել այսպես (նկ. 3.43).

R (a)+/V+ R W) = 0, (3.48)

այսինքն, եթե ոչ ազատ նյութական կետի վրա իներցիալ ուժ է կիրառվում, բացի ակտիվ ուժերից և միացման ռեակցիայից, ապա ստացված ուժերի համակարգը ցանկացած պահի կլինի հավասարակշռության մեջ:

Բրինձ. 3.43.

նյութական կետ

Ա- անգլերենից, ակտիվ- ակտիվ. Հիշեցնենք, որ ուժերը կոչվում են ակտիվ, եթե դրանք պահպանում են իրենց արժեքները, երբ բոլոր կապերը հանվում են:

Կետի կորագիծ շարժումը դիտարկելիս խորհուրդ է տրվում իներցիայի ուժը ներկայացնել երկու բաղադրիչի տեսքով. Г "‘ n) \u003d -ta n- կենտրոնախույս և W, p) \u003d -ta x -շոշափող (նկ. 3.44):

Բրինձ. 3.44.

նյութական կետի շարժում

Հիշեցնենք, որ նորմալ և շոշափելի արագացումների արտահայտություններն ունեն ձև. a p -U 2 / p և i t = s1U D/L

Այնուհետև կարող եք գրել. Պ^ տ) - -թ-p Rp p) - -t-տ, կամ վերջապես՝ Ռ

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3.49)

Հավասարությունը (3.49) արտահայտում է դ'Ալմբերի սկզբունքը ոչ ազատ կետի կորագիծ շարժման համար:

Դիտարկենք երկարության թել /, որի վերջում ամրացված է զանգվածի կետ Տ.Թելը պտտվում է ուղղահայաց առանցքի շուրջ՝ նկարագրելով կոնաձև մակերես՝ գեներատորի թեքման մշտական ​​անկյան տակ։ Ա.Որոշե՛ք կետի համապատասխան հաստատուն արագությունը և թելի լարվածությունը Տ(նկ. 3.45):

Բրինձ. 3.45.

ոչ ազատ նյութական կետի շարժում

Այո, բայց՝ ​​/u, /, a = const. Գտնել. Տ, Վ.

Եկեք կիրառենք կետի վրա իներցիոն ուժերը, որոնք ուղղված են արագացման համապատասխան բաղադրիչներին: Նկատի ունեցեք, որ իներցիայի շոշափող ուժը զրո է, քանի որ ըստ պայմանի արագությունը հաստատուն է.

/1°") = -ta = -t-= Օհ

իսկ իներցիայի կենտրոնախույս ուժը որոշվում է արտահայտությամբ P^ m) \u003d mU 2 /p,որտեղ p = / Bta.

Դ'Ալեմբերի սկզբունքի կիրառումը այս խնդրին թույլ է տալիս մեզ գրել ուսումնասիրված նյութական կետի շարժման հավասարումը կոնվերգացիոն ուժերի հավասարակշռության պայմանի տեսքով. Տ. + T + Pp n) = 0.

Այս դեպքում բոլոր հավասարակշռության հավասարումները վավեր են բնական կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիայում.

X^n=0, - ՖՋ» 1+ Ցինա = 0; ^ F h = 0, - մգ + Տ cosa = 0,

+ Տմեղք ա =

-mg + T cosa = 0,

որտեղ ենք գտնում Տ= /u#/coBa; Վ= Բտալ/^/Տկոզա.

դ'Ալեմբերի սկզբունքը նյութական միավորների համակարգի համար. Դիտարկենք նյութական կետերի մեխանիկական համակարգի շարժումը: Ինչպես OZMS-ի դուրսբերման դեպքում, մենք յուրաքանչյուր կետի վրա կիրառվող ուժերը բաժանում ենք արտաքին և ներքին (նկ. 3.46):

Բրինձ. 3.46.

Թող ' լինի /-րդ կետի վրա կիրառվող արտաքին ուժերի արդյունքը, և / G (L - նույն կետի վրա կիրառվող ներքին ուժերի արդյունքը: Դ'Ալեմբերի սկզբունքի համաձայն, յուրաքանչյուր նյութի վրա պետք է կիրառվեն իներցիոն ուժեր: համակարգի կետ. Рр n) = -т,а г

Այնուհետև համակարգի յուրաքանչյուր կետի վրա կիրառվող ուժերը բավարարում են հարաբերությունը.

1?E) + pY) + p0n)

դրանք. Նյութական կետերի համակարգը հավասարակշռության մեջ կլինի, եթե նրա յուրաքանչյուր կետի վրա կիրառվի իներցիայի լրացուցիչ ուժ։ Այսպիսով, դ'Ալեմբերի սկզբունքի օգնությամբ կարելի է համակարգի շարժման հավասարումներին տալ հավասարակշռության հավասարումների ձև։

Եկեք արտահայտենք համակարգի կինետոստատիկ հավասարակշռության պայմանները՝ օգտագործելով իներցիոն ուժերի և արտաքին ուժերի ստատիկ համարժեքները։ Այս նպատակով մենք ամփոփում ենք բոլորը Պհավասարումներ (Ա),նկարագրելով ուժերը, որոնք կիրառվում են համակարգի առանձին կետերի վրա: Այնուհետև մենք հաշվարկում ենք բոլոր արտաքին և ներքին ուժերի և առանձին կետերի նկատմամբ կիրառվող իներցիայի ուժերի մոմենտները՝ կամայական կետի նկատմամբ ՄԱՍԻՆ:

գ ա X Ռ «Է> + գ ա X /*») + գ ա X Պ տ > =0. і = 1,2,...»,։

Հետո ամփոփում ենք, արդյունքում ստանում ենք

// p p

«(E) і G (1)

1լ (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M (0 E) + M (0 n + M% a) = 0.

Քանի որ K i)= 0 և M 1 0 p = 0, մենք վերջապես ունենք.

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M (a E) + M(‘n) = 0.

Հավասարումների համակարգից (3.50) երևում է, որ իներցիոն ուժերի հիմնական վեկտորը հավասարակշռված է արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորով, իսկ կամայական կետի նկատմամբ իներցիայի ուժերի հիմնական մոմենտը հավասարակշռված է արտաքին ուժերի հիմնական մոմենտով։ նույն կետի համեմատ:

Խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է ունենալ հիմնական վեկտորի և իներցիայի ուժերի հիմնական պահի արտահայտություններ։ Այս վեկտորների մեծություններն ու ուղղությունները կախված են առանձին կետերի և դրանց զանգվածների արագացումների բաշխումից։ Որպես կանոն, ուղղակի սահմանում Ես (շ)Եվ Մ (""]երկրաչափական գումարումը համեմատաբար պարզ կարող է կատարվել միայն այն ժամանակ, երբ Պ - 2 կամ Պ= 3. Միևնույն ժամանակ, կոշտ մարմնի շարժման հարցում հնարավոր է արտահայտել իներցիոն ուժերի ստատիկ համարժեքները շարժման որոշ առանձնահատուկ դեպքերում՝ կախված կինեմատիկական բնութագրերից։

Կոշտ մարմնի իներցիայի ուժերի հիմնական վեկտորը և հիմնական մոմենտը շարժման տարբեր դեպքերում: Ըստ զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմի t-ով c \u003d I (E):Դ'Ալեմբերի սկզբունքով մենք ունենք. I (1P) + I (E) =Ահ, որտեղ ենք մենք գտնում. Ես «1P) = -t with a with.Այսպիսով, մարմնի ցանկացած շարժումով իներցիոն ուժերի հիմնական վեկտորը հավասար է մարմնի զանգվածի արտադրյալին և զանգվածի կենտրոնի արագացմանը և ուղղված է զանգվածի կենտրոնի արագացմանը։(նկ. 3.47):

Բրինձ. 3.47.

Արտահայտենք իներցիոն ուժերի հիմնական մոմենտը մարմնի նյութական համաչափության հարթությանը ուղղահայաց ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող շարժման ժամանակ (նկ. 3.48): Իներցիայի ուժերը, որոնք կիրառվում են / - կետի վրա. Ռ»! n) = m, x op; 2 և R? P)= / u, ep,.

Քանի որ իներցիայի բոլոր կենտրոնախույս ուժերը հատում են պտտման առանցքը, այդ իներցիայի ուժերի հիմնական մոմենտը զրո է, իսկ շոշափող իներցիայի ուժերի հիմնական մոմենտը.

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - Ջ զ (3.51)

Այսպիսով, պտտման առանցքի շուրջ իներցիայի շոշափող ուժերի հիմնական մոմենտը հավասար է այս առանցքի շուրջ իներցիայի պահի և անկյունային արագացման արտադրյալին, իսկ իներցիայի շոշափող ուժերի հիմնական պահի ուղղությունը հակառակ է. անկյունային արագացման ուղղությունը.

Բրինձ. 3.48.

պտտման առանցքի շուրջ

Այնուհետև մենք արտահայտում ենք իներցիայի ուժերը մարմնի հարթ-զուգահեռ շարժման համար: Մարմնի հարթ-զուգահեռ շարժումը (նկ. 3.49) դիտարկելով որպես փոխադրական շարժման գումար. զանգվածի կենտրոնի հետ միասինև պտույտ շուրջը զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքՇարժման հարթությանը ուղղահայաց, նյութի համաչափության հարթության առկայության դեպքում, որը համընկնում է զանգվածի կենտրոնի շարժման հարթության հետ, կարելի է ապացուցել, որ հարթության զուգահեռ շարժման իներցիայի ուժերը համարժեք են հիմնական վեկտորին / ? («p) զանգվածի կենտրոնին կիրառվող հակադրվում է զանգվածի կենտրոնի արագացմանը և իներցիայի ուժերի հիմնական մոմենտին. Մ^ ն)կենտրոնական առանցքի նկատմամբ՝ ուղղահայաց շարժման հարթությանը, ուղղված անկյունային արագացմանը հակառակ ուղղությամբ.

Բրինձ. 3.49.

Նշումներ.

• 1. Նկատի ունեցեք, որ, քանի որ d’Alembert սկզբունքը թույլ է տալիս պարզապես գրեք շարժման հավասարումը հավասարակշռության հավասարման տեսքով,ապա այն չի տալիս շարժման հավասարման ոչ մի ինտեգրալ։
• 2. Շեշտում ենք, որ իներցիայի ուժդ'Ալեմբերի սկզբունքով է մտացածին մոխրագույն,կիրառվում է ի լրումն գործող ուժերի՝ հավասարակշռության համակարգ ստանալու միակ նպատակով: Այնուամենայնիվ, բնության մեջ կան ուժեր, որոնք երկրաչափորեն հավասար են իներցիայի ուժերին, բայց այդ ուժերը կիրառվում են այլ (արագացող) մարմինների վրա, որոնց հետ փոխազդեցության դեպքում առաջանում է արագացնող ուժ, որը կիրառվում է դիտարկվող շարժվող մարմնի վրա: Օրինակ, երբ հորիզոնական հարթությունում շրջանագծի շուրջ պտտվող թելի վրա հաստատուն արագությամբ պտտվող կետը տեղափոխելիս, թելի լարվածությունը ճիշտ հավասար է. իներցիայի ուժ,դրանք. թելի վրա գտնվող կետի արձագանքման ուժը,մինչդեռ կետը շարժվում է թելի ռեակցիայի գործողությամբ դրան:
• 3. Ինչպես արդեն ցույց ենք տվել, դ'Ալմբերի սկզբունքի վերը նշված ձևը տարբերվում է հենց դ'Ալեմբերի կողմից օգտագործվածից: Համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումների կազմման մեթոդը, որն օգտագործվում է այստեղ, մշակվել և ընդլայնվել է Սանկտ Պետերբուրգի մի շարք գիտնականների կողմից և ստացել է անվանումը. կինետոստատիկ մեթոդ.

Մեխանիկայի մեթոդների կիրառումը երկաթուղային տրանսպորտային միջոցների դինամիկայի որոշ խնդիրներում.

? երկաթուղային մեքենայի շարժումը կոր գծի երկայնքով.Ներկայումս, հաշվի առնելով համակարգչային տեխնոլոգիաների հնարավորությունները, երկաթուղային տրանսպորտի կորի շարժման ընթացքում տեղի ունեցող բոլոր մեխանիկական երևույթների վերլուծությունն իրականացվում է բավականին բարդ մոդելի միջոցով, որը հաշվի է առնում համակարգի առանձին մարմինների ամբողջությունը: և նրանց միջև կապերի առանձնահատկությունները: Այս մոտեցումը հնարավորություն է տալիս ձեռք բերել շարժման բոլոր անհրաժեշտ կինեմատիկական և դինամիկ բնութագրերը:

Այնուամենայնիվ, վերջնական արդյունքները վերլուծելիս և տեխնիկական գրականության մեջ նախնական գնահատումներ կատարելիս բավականին հաճախ են հանդիպում մեխանիկայի որոշ հասկացությունների որոշակի աղավաղումներ: Հետևաբար, նպատակահարմար է խոսել ամենաօրիգինալ հիմքերի մասին, որոնք օգտագործվում են անձնակազմի շարժումը կորի մեջ նկարագրելու համար:

Ներկայացնենք դիտարկվող գործընթացների մի քանի մաթեմատիկական նկարագրություններ տարրական ձևակերպմամբ։

Բնութագրերի ճիշտ, հետևողական բացատրության համար անձնակազմի անշարժ շարժումըշրջանաձև կորի մեջ անհրաժեշտ է.

• ընտրել մեխանիկայի մեթոդը, որն օգտագործվում է այս շարժումը նկարագրելու համար.
• ելնել հստակ, մեխանիկայի տեսանկյունից, «ուժի» հայեցակարգից.
• մի մոռացեք գործողության և արձագանքի հավասարության օրենքը:

Անձնակազմի շարժման գործընթացը կորով անխուսափելիորեն ենթադրում է արագության ուղղության փոփոխություն։ Այս փոփոխության արագության բնութագիրը սովորական արագացումն է՝ ուղղված զանգվածի կենտրոնի կորագիծ հետագծի կորության կենտրոնին. a p - V 2/p, որտեղ p-ը կորի շառավիղն է:

Շարժման ընթացքում մեքենան փոխազդում է երկաթուղու հետ, ինչի հետևանքով անիվների վրա կիրառվում են նորմալ և շոշափող ռեակտիվ ուժեր: Բնականաբար, ռելսերի վրա կիրառվում են հավասար և հակառակ ճնշման ուժեր: Ըստ վերը նշված մեխանիկական հասկացությունների՝ ուժը հասկացվում է որպես մարմինների կամ մարմնի և դաշտի փոխազդեցության արդյունք։ Քննարկվող խնդրի մեջ երկու ֆիզիկական համակարգ կա՝ անիվներով վագոն և երկաթուղի, հետևաբար ուժերը պետք է փնտրել դրանց շփման վայրերում։ Բացի այդ, անձնակազմի և Երկրի գրավիտացիոն դաշտի փոխազդեցությունը ստեղծում է գրավիտացիա:

Անձնակազմի շարժման նկարագրությունը կորի մեջ կարելի է կատարել՝ օգտագործելով դինամիկայի ընդհանուր թեորեմներ, որոնք հանդիսանում են OZMS-ի հետևանքները կամ հիմնված են մեխանիկայի սկզբունքները(օրինակ՝ դ'Ալեմբերի սկզբունքը), որը հիմք է կինետոստատիկ մեթոդ.

Ցանկանալով բացատրել հավասար հատկանիշներԱնձնակազմի շարժման առանձնահատկությունների վրա ուղու առանցքի կորությունը հաշվի առնելու մեթոդները նախ օգտագործում ենք ամենապարզ իդեալականացված մոդելը: Անձնակազմը կդիտարկվի որպես նյութական հարթություն, որի զանգվածը հավասար է այս համակարգի զանգվածին:

Զանգվածի կենտրոնը, որը գտնվում է այս հարթությունում, կատարում է տվյալ շարժում ուղու առանցքին համահունչ հետագծի երկայնքով՝ արագությամբ. v.Երկաթուղու հետ շփումն իրականացվում է շարժվող հարթության երկաթուղային թելերի հետ հատման երկու կետերում: Հետևաբար, խոսելով մեքենայի փոխազդեցության մասին երկաթուղու հետ, մենք կարող ենք խոսել կենտրոնացված ուժերի մասին, որոնք ռելսերից յուրաքանչյուրի առանձին անիվների վրա ռելսերի բոլոր ռեակցիաների արդյունքն են: Ավելին, ռեակտիվ ուժերի առաջացման բնույթն աննշան է.

? վագոնի շարժումը ուղու երկայնքով՝ առանց արտաքին երկաթուղու բարձրացման:Նկ. 3.50 ցույց է տալիս անձնակազմի նախագծման սխեման, որը շարժվում է կոր ճանապարհով: Արտաքին և ներքին ռելսերը, այս դեպքում, գտնվում են նույն մակարդակի վրա: Նկ. 3.50 ցույց է տալիս անձնակազմի վրա ազդող ուժերը և կապանքների ռեակցիաները։ Շեշտում ենք, որ չկան այս սխեմայում իրական կենտրոնախույս ուժեր չկան:

Նյուտոնի երկրաչափական մեխանիկայի շրջանակներում տրանսպորտային միջոցի շարժումը կորի մեջ նկարագրվում է համակարգի դինամիկայի ընդհանուր թեորեմներով։

Այս դեպքում, ըստ զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմի.

t c a c - I a), (a)

որտեղ R) արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորն է:

Արտահայտության երկու մասերի նախագծում (Ա)ուղեկցող բնական կոորդինատային առանցքների վրա, որոնց կենտրոնը գտնվում է տրանսպորտային միջոցի զանգվածի կենտրոնում, միավոր վեկտորներով m, i, բև հավատա տ ս = Տ.

Հիմնական նորմալի վրա պրոյեկցիայում մենք ստանում ենք որ n \u003d F n,կամ

mV / p \u003d Fn (բ)

Որտեղ F n - իրական իշխանություներկաթուղային ռեակցիաներ անիվների վրա, որը երկաթուղային ռեակցիաների կանխատեսումների գումարն է դեպի հետագիծ դեպի նորմալ: Սրանք կարող են լինել ռելսերի ուղղորդող ճնշման ուժերը անիվի եզրերի վրա: Այլ արտաքին ուժեր այս ուղղությամբ չկան։

Արտահայտության պրոյեկցիայում (Ա)երկնորմալի վրա մենք ստանում ենք.

O = -mg+Nout+NՊանդոկ. (Հետ)

Ահա ինդեքսները դուրս 1համապատասխանում են արտաքինին, ա Պանդոկ-կորի ներքին ռելս։ (գ) արտահայտության ձախ կողմը հավասար է զրոյի, քանի որ արագացման պրոյեկցիան երկնորմալի վրա հավասար է զրոյի։

Մենք ստանում ենք երրորդ հավասարումը, օգտագործելով թեորեմը անկյունային իմպուլսի փոփոխության վերաբերյալ զանգվածի կենտրոնի համեմատ.

dK c /dt = ^M c. (դ)

Արտահայտության ձևավորում դ t առանցքի վրա, որտեղ t = nx b -միավոր վեկտորների վեկտորային արտադրյալ ՊԵվ բ, հաշվի առնելով դա KCl\u003d U St-ով t, U St - անձնակազմի իներցիայի պահը զանգվածի կենտրոնի հետագծին շոշափող առանցքի նկատմամբ, կունենանք

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (ե)

քանի որ շրջանաձև կորի երկայնքով կայուն շարժման մեջ m առանցքի շուրջ անկյունային արագացումը զրո է։

Արտահայտությունները ( բ), (գ) և (ե)երեք անհայտ մեծությունների գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ են M-tp> լուծելով, մենք ստանում ենք.

Բրինձ. 3.50։

Այսպիսով, դինամիկայի ընդհանուր թեորեմների հետևողական կիրառումը թույլ է տալիս դիտարկվող խնդրի մեջ հաստատել ուղու կորագիծ հատվածի անձնակազմի անցման հետ կապված բոլոր երևույթները:

Փաստորեն, երկու անիվներն էլ ենթարկվում են կորի ներսում ուղղված ուժերին: Այս ուժերի արդյունքը մի պահ է ստեղծում մեքենայի զանգվածի կենտրոնի շուրջ, որը կարող է առաջացնել պտույտ և նույնիսկ թեքվել դեպի կորը, եթե V 2 Ն/p5" > է.Այս ուժի գործողությունը հանգեցնում է անիվների մաշվածության: Բնականաբար, ռելսի վրա գործող հակառակ ուղղված ուժը -Ռ պառաջացնում է երկաթուղային մաշվածություն:

Նկատի ունեցեք, որ վերը նշված հայտարարության մեջ կարելի է գտնել միայն երկու ռելսերի հորիզոնական ռեակցիաների արդյունքը Ռ.Այս ուժի բաշխումը ներքին և արտաքին ռելսերի միջև որոշելու համար անհրաժեշտ է լուծել ստատիկորեն անորոշ խնդիր՝ օգտագործելով լրացուցիչ պայմաններ։ Բացի այդ, վագոնի շարժման ժամանակ արտաքին և ներքին ռելսերի նորմալ ռեակցիաները տարբեր արժեքներ ունեն։ Արտաքին երկաթուղային շարանը ավելի ծանրաբեռնված է:

Ներքին թելի արձագանքը մեքենային ավելի քիչ է և արագության որոշակի արժեքի դեպքում այն ​​կարող է նույնիսկ հավասար լինել զրոյի:

Դասական մեխանիկայի մեջ այս վիճակը կոչվում է շրջվելը, չնայած իրականում դեռևս շրջադարձ չկա։ Պարզելու համար, թե երբ է տեղի ունենում փաստացի շրջվելու վիճակը, պետք է դիտարկել մեքենայի պտույտը m-ին զուգահեռ առանցքի շուրջ և անցնելով արտաքին ռելսի հետ անիվի շփման կետով: Տ Ֆ 0. Նման առաջադրանքը զուտ ակադեմիական հետաքրքրություն է ներկայացնում, քանի որ, իհարկե, անընդունելի է իրական համակարգ բերել նման վիճակի։

Եվս մեկ անգամ ընդգծում ենք, որ բոլոր երեւույթները բացատրելիս ելել ենք փաստից մեքենայի շարժումը միայն իրական ուժերի գործողության ներքո.

Նկատի ունեցեք, որ m առանցքի շուրջ պտտման դիֆերենցիալ հավասարումը, նույնիսկ = 0-ում, գրված է m կենտրոնական առանցքի նկատմամբ: Ընտրելով այս առանցքը այլ կետում հանգեցնում է հավասարման ձախ կողմի ձևի փոփոխության: պահի թեորեմ. Հետևաբար, անհնար է, օրինակ, գրել այս հավասարումը միևնույն ձևով ռելսի հետ անիվի շփման կետով անցնող առանցքի նկատմամբ, չնայած թվում է, որ ավելի հեշտ կլինի գտնել նորմալ ռեակցիաների արժեքը: այս դեպքում. Այնուամենայնիվ, այս մոտեցումը կհանգեցնի սխալ արդյունքի. I osh \u003d M 1Sh1 \u003d մգ | 2.

Կարելի է ցույց տալ, որ բանն այն է, որ պտտման հավասարումը մի առանցքի շուրջ, որն անցնում է, օրինակ, կետով. TO, պետք է գրվի՝ հաշվի առնելով շարժման փոխադրական մասից մարմնի իմպուլսի պահը g x x ta s: J Cl? t+ Տ(գ ks xx դ)=^ Մ Խ.

Հետևաբար, St առանցքի վրա պրոյեկցիայում (c) հավասարման փոխարեն մենք ստանում ենք արտահայտությունը

(8 )

/ Սբ. t+ t[g ks X ա գ) t = -teB + N ipp 25,

որտեղ փակագծերում վեկտորի արտադրյալի St առանցքի վրա պրոյեկցիայի արժեքն է ? կս հա ս.

Ցույց տանք, որ անհրաժեշտ ընթացակարգերի հաջորդական իրականացումը թույլ է տալիս գտնել s wստացված հավասարումից): Սկսած թզ. 3.50 ցույց է տալիս, որ

g ks - bp + HbԵվ ա գ =

Եկեք հաշվարկենք վեկտորի արտադրյալը.

Այստեղ հաշվի է առնվում, որ php = 0Եվ bxn = - t. Հետևաբար,

tNU 2

2 լ գ / լ 5 ',

որտեղ մենք գտնում ենք ներքին ռելսի արձագանքը.

որը նույնն է, ինչ (/) արտահայտության մեջ ստացված արդյունքը։

Խնդրի ներկայացման ավարտին մատնանշում ենք, որ մեքենայի դիտարկումը ներս շարժումՆյուտոնի երկրաչափական մեխանիկայի մեթոդների օգտագործումը թույլ է տալիս լուծել խնդիրը առանց մտացածինի և այս իներցիայի ներդրման։Միայն անհրաժեշտ է ճիշտ օգտագործել մեխանիկայի բոլոր դրույթները։ Այնուամենայնիվ, հարկ է նշել, որ այս մեթոդի օգտագործումը կարող է կապված լինել ավելի մեծ քանակությամբ հաշվարկների հետ, քան, օրինակ, դ'Ալեմբերի սկզբունքն օգտագործելիս:

Այժմ ցույց տանք, թե ինչպես է նույն խնդիրը լուծվում՝ հիմնվելով d'Alembert սկզբունքի կիրառման վրա կինետոստատիկ մեթոդի ընդհանուր ընդունված ձևում: Այս դեպքում անհրաժեշտ է կիրառել լրացուցիչ

պարուրվելը մտացածինիներցիայի ուժ. Գ* = -ta sp = -Տ-Պ.Եվ էկի-

էջ կանգառներ, այսինքն. այժմ նրա զանգվածի կենտրոնի արագացումը ա գ= 0. Նկ. 3.51 ցույց է տալիս այդպիսին հանգստի համակարգ.Նրա վրա կիրառվող բոլոր ուժերը, ներառյալ իներցիայի ուժը, պետք է բավարարեն կինետոստատիկ հավասարումները հավասարակշռություն, ոչ թե շարժում,ինչպես նախորդ դեպքում:

Այս հանգամանքը թույլ է տալիս մեզ գտնել բոլոր անհայտ քանակությունները հավասարակշռության հավասարում.Այս դեպքում հավասարակշռության հավասարումների ձևի և այն կետերի ընտրությունը, որոնց նկատմամբ հաշվարկվում են մոմենտները, դառնում է կամայական։ Վերջին հանգամանքը թույլ է տալիս միմյանցից անկախ գտնել բոլոր անհայտները.

Ի M. = ohԻ մ,_= ախ

-n = մոտ.

1 ժամը պատգամավոր

Բրինձ. 3.51. Անձնակազմի վրա գործող ուժերի նախագծման սխեման նույն պայմաններում, ինչպես Նկ. 3.50 դ'Ալեմբերի սկզբունքն օգտագործելիս

Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարումների համակարգի լուծումները համընկնում են դինամիկայի տեսության միջոցով ստացված համապատասխան բանաձեւերի հետ։ Այսպիսով, դիտարկվող օրինակում դ'Ալեմբերի սկզբունքի կիրառումը հնարավորություն տվեց որոշակիորեն պարզեցնել խնդրի լուծումը։

Այնուամենայնիվ, արդյունքները մեկնաբանելիս պետք է նկատի ունենալ, որ լրացուցիչ կիրառվող իներցիոն ուժը ֆիկտիվ է այն առումով, որ իրականում. անձնակազմի վրա նման ուժ չկա:Բացի այդ, այս ուժը չի բավարարում Նյուտոնի երրորդ օրենքին. չկա այս ուժի «երկրորդ վերջ», այսինքն. ոչ մի ընդդիմություն.

Ընդհանրապես, մեխանիկայի բազմաթիվ խնդիրներ լուծելիս, այդ թվում՝ կորով անձնակազմի շարժման խնդիրը, հարմար է կիրառել դ'Ալեմբերի սկզբունքը։ Այնուամենայնիվ, չպետք է որևէ երևույթ կապել գործողությունիներցիայի այս ուժը: Օրինակ՝ ասել, որ իներցիայի այս կենտրոնախույս ուժը լրացուցիչ բեռնում է արտաքին երկաթուղին և բեռնաթափում ներքինը, և ավելին, որ այդ ուժը կարող է հանգեցնել մեքենայի շրջվելու։ Սա ոչ միայն անգրագետ է, այլեւ անիմաստ։

Մենք ևս մեկ անգամ հիշում ենք, որ արտաքին կիրառական ուժերը, որոնք գործում են վագոնի վրա կորով և փոխում են դրա շարժման վիճակը, հանդիսանում են ռելսերի ձգողականությունը, ուղղահայաց և հորիզոնական ռեակցիաները.

? վագոնի շարժումը կորի երկայնքով արտաքին երկաթուղու բարձրությամբ:Ինչպես ցույց է տրվել, այն գործընթացները, որոնք տեղի են ունենում, երբ մեքենան անցնում է ոլորաններով՝ առանց արտաքին ռելսի բարձրացման, կապված են անցանկալի հետևանքների հետ՝ ռելսերի անհավասար ուղղահայաց բեռնում, ռելսի զգալի նորմալ հորիզոնական արձագանքը անիվի վրա, որն ուղեկցվում է մաշվածության ավելացմամբ։ և՛ անիվների, և՛ ռելսերի, արագության գերազանցման դեպքում շրջվելու հնարավորությունը, որոշակի սահմանի շարժում և այլն։

Կորերի անցմանը ուղեկցող տհաճ երեւույթներից մեծ չափով կարելի է խուսափել՝ արտաքին ռելսը ներքինից վեր բարձրացնելով։ Այս դեպքում կառքը կգլորվի կոնի մակերևույթի երկայնքով՝ գեներատորի թեքության անկյան տակ դեպի հորիզոնական առանցքը (Նկար 3.52). f L \u003d աղեղ (L / 25) կամ փոքր անկյուններով։

F A * L/2 Ս.

Բրինձ. 3.52.

արտաքին երկաթուղու բարձրությամբ

Ստացիոնար դեպքում, երբ V- const և φ A = const, մենք կարող ենք դիտարկել վագոնի հարթ հատվածի շարժումը սեփական հարթությունում այնպես, ինչպես առանց արտաքին ռելսի բարձրացման կորի մեջ տեղավորվելիս:

Դիտարկենք խնդիրը լուծելու տեխնիկան՝ օգտագործելով դինամիկայի ընդհանուր թեորեմները: Մենք կենթադրենք, որ մեքենայի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է p շառավղով շրջանաձև կորի երկայնքով, թեև դիտարկվող դեպքում, խստորեն ասած, ուղու առանցքի կորության շառավիղը տարբերվում է կենտրոնի հետագծի կորության շառավղից։ զանգվածը փոքր քանակությամբ.

Հ sin cf L ~ Հզ Ա «ր.

Հետևաբար, p-ի համեմատությամբ, վերջին արժեքը կարող է անտեսվել: Անձնակազմի «հարթ հատվածի» տեղաշարժը վերագրվելու է ուղեկցող առանցքներին SuSi x(տես նկ. 3.52), որտեղ առանցքը Սու]ուղու հարթությանը զուգահեռ: Շարժման հաստատուն արագության դեպքում զանգվածի կենտրոնի արագացման պրոյեկցիան նրա շարժման հետագծի հիմնական նորմայի վրա կարող է գրվել այնպես, ինչպես առանց բարձրության կորով շարժվելիս, այսինքն. a p = V i/Ռ.

Սու առանցքի վրա արագացման կանխատեսումներ և Չ^համապատասխանաբար հավասար են.

a ux = a pսովֆ,; Ի. \u003d a «smy h.

Զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմի և Cx առանցքի նկատմամբ անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմի հիման վրա հարթ հատվածի շարժման հավասարումները հետևյալն են.

Հաշվի առնելով, որ = 0, փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք երեք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ երեք անհայտներում. Ֆ vi, Ն iiw, N (զրոյական:

/i-si Pf l = - մգ cosV/, + N մն + N դուրս; Պ

-սոֆ Ա = մգս ipf A + Ֆ ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Նկատի ունեցեք, որ գծի առանցքի հարթության թեքությունը արտաքին երկաթուղու բարձրացման պատճառով հանգեցնում է Cy առանցքի վրա զանգվածի կենտրոնի արագացման պրոյեկցիայի փոփոխության, որը կապված է գծի փոփոխության հետ: ռելսերի ռեակցիաները՝ համեմատած բարձրության բացակայության դեպքում, երբ Ա. - 0, a l Արագացումների կանխատեսումների այս փոփոխությունները կարելի է բացատրել, եթե հաշվի առնենք մեքենայի պտույտը կորի կորության կենտրոնով անցնող երկնորմալի շուրջը որպես առանցքների շուրջ երկու պտույտների երկրաչափական գումար: y, անցնելով կորի նույն կենտրոնով:

Հավասարումների համակարգ կազմելիս (դեպի) cp L անկյան փոքրությունը նախատեսված չէր։ Այնուամենայնիվ, գործնական դիզայնի մեջ

wtf A ~ /g/25.

Այսպիսով, փոքր f L-ի դեպքում մեքենայի նկատմամբ ուղու ռեակցիաները որոշելու համար հավասարումների համակարգը ունի հետևյալ ձևը.

= -գ^+ LG, « + Մ գշ,;

Տ- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Լուծելով այս հավասարումները՝ ստանում ենք.

N...... =

մգ + TU/Գ

Ուրբ/77 Կ ԵՎ /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

Կոնկրետ դեպքում, երբ բարձրություն չկա (ԵՎ= 0), այս արտահայտությունները համընկնում են ավելի վաղ ստացվածների հետ (/):

Այժմ անդրադառնանք խնդրի լուծման արդյունքների վերլուծությանը Ես Ֆ 0.

Հարկ է նշել, որ այս դեպքում ռելսի լայնակի ռեակցիան, որն ուղղված է ուղու հարթության վրա, նվազում է։ Դա բացատրվում է նրանով, որ Սու առանցքի ուղղությամբ զանգվածի կենտրոնի արագացման առաջացմանը մասնակցում է ոչ միայն ուժը //, այլև ծանրության բաղադրիչը։ Ընդ որում, որոշակի արժեքի համար ԵՎ\u003d 25K 2 / p? ուժ Ռդառնում է զրո:

Նկատի ունենալով, որ

տ գ - Տ,= X Ա,%>+ X Ա[

• (3.42)

Արժեքը փակագծերում կոչվում է ակնառու արագացում.Պետությունը, երբ P = 0, համապատասխանում է այն դեպքին, երբ նորմալ արագացումը Աձևավորվում է միայն d> առանցքի վրա պրոյեկցիայի միջոցով՝ անձնակազմի ծանրության ուժով։

Քննարկվող խնդիրը քննարկելիս երբեմն լինում է բարդ պատճառաբանություն, որ արագացումը a pուղղված է հորիզոնական, իսկ գրավիտացիան ուղղահայաց է (տես Նկար 3.52), ուստի այն չի կարող ձևավորել դիտարկվող արագացումը a pժամը Ռ= 0. Այս պատճառաբանությունը պարունակում է սխալ, քանի որ հորիզոնական արագացման ձևավորման ժամանակ, բացի ուժից. Ռ, մասնակցում են նաև D r w u և / V o r նորմալ ռեակցիաները, այս երկու ռեակցիաների գումարը փոքր f A-ում հավասար է. 1H tp + 1U oig \u003d մգ:Հետևաբար, ձգողականությունը դեռևս մասնակցում է հորիզոնական արագացման ձևավորմանը a p,բայց ռեակցիաների գործողության միջոցով N մԵվ S oiG

Եկեք հիմա քննարկենք, թե ինչպես են փոխվում ռելսերի նորմալ ռեակցիաները, որոնք ուղղահայաց են գծի մակերեսին:

Նշենք, որ, ի տարբերություն /7 = 0 դեպքի, ռեակցիաները մեծանում են նույն արժեքով TU 2 I/2r28,որը անտեսված է, քանի որ ///25 - արժեքը փոքր է. Այնուամենայնիվ, խիստ պատճառաբանության մեջ բաց թողեք այս տերմինը արտահայտությունների համար և N wմի արա դա.

Երբ -> -2-, այսինքն. դրական ակնառու արագացումով, էջ 25

ներքին ռելսի ռեակցիան արտաքինից պակաս է, սակայն նրանց միջև տարբերությունն այնքան էլ էական չէ, որքան ԵՎ = 0.

Եթե ​​չմարված արագացումը հավասար է զրոյի, ռեակցիայի արժեքները դառնում են հավասար IV oSH = մգ|2(փոքրերի համար ԵՎ),դրանք. արտաքին երկաթուղու բարձրությունը թույլ է տալիս ոչ միայն ստանալ RU= 0, բայց նաև հավասարեցնել ճնշումը արտաքին և արտաքին ռելսերի վրա: Այս հանգամանքները հնարավորություն են տալիս ձեռք բերել ավելի միասնական մաշվածության արժեքներ երկու ռելսերի համար:

Սակայն արտաքին ռելսի բարձրության պատճառով բացասական արժեքի հավանականություն կա Ռ», որը իրական համակարգում չպահող սահմանափակումներով համապատասխանում է առանցքի երկայնքով մեքենան սահելու գործընթացին. y գդրանք. կորի ներսում: Ճանապարհի նույն թեքության պատճառով կարող է առաջանալ ռեակցիաների վերաբաշխում N wԵվ Ն, օ՜գերիշխող Մ շ.

Այսպիսով, արտաքին երկաթուղու բարձրությամբ ուղու վրա տրանսպորտային միջոցի շարժման ուսումնասիրությունները, որոնք իրականացվել են երկրաչափական մեխանիկայի Նյուտոնի մեթոդներով, հնարավորություն են տալիս վերլուծել համակարգի վիճակը առանց լրացուցիչ տերմինաբանական վարկածների: Պատճառաբանության մեջ իներցիայի ուժեր չկան։

Այժմ դիտարկենք, թե ինչպես է նկարագրվում կառքի շարժումը նույն կորի մեջ՝ օգտագործելով դ'Ալեմբերի սկզբունքը:

Կիրառելով այս սկզբունքը կինետոստատիկ մեթոդի ձևակերպման մեջ այնպես, ինչպես նախորդ դեպքում, անհրաժեշտ է կիրառել իներցիայի նորմալ (կենտրոնախույս) ուժը զանգվածի կենտրոնի վրա. № n),ուղղված նորմալ արագացմանը հակառակ ուղղությամբ (նկ. 3.53):

Որտեղ համակարգկրկին կանգառներ, այսինքն. անձնակազմը չի շարժվում ուղու երկայնքով: Հետևաբար, կինետոստատիկ հավասարակշռության բոլոր հավասարումները վավեր են.

Ի Դեպի= °-X r* =Օ.

/Լ^յպֆ, - G‘ pսովֆ* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Փոխարինելով արժեքը այստեղ՝ մենք ստանում ենք հավասարումների նույն համակարգը, ինչ համակարգը (/) ցանկացած f/ (կամ) համար (դեպի)փոքրի վրա ԵՎ.

Այսպիսով, երկու մեթոդների օգտագործումը հանգեցնում է ճիշտ նույն արդյունքների: Հավասարումների համակարգ ( Դեպի) և դ'Ալեմբերի սկզբունքի հիման վրա ստացված համակարգը նույնական են։

Նշենք, սակայն, որ ներս վերջնական արդյունքները չեն ներառում իներցիոն ուժեր:Սա հասկանալի է, քանի որ դ'Ալեմբերի սկզբունքը, որն ընկած է կինետոստատիկական մեթոդի հիմքում, միայն համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումների կազմման միջոց։Միաժամանակ տեսնում ենք, որ քննարկվող խնդրի մեջ դ'Ալմբերի սկզբունքի կիրառումը հնարավորություն է տվել պարզեցնել հաշվարկները և կարող է առաջարկվել գործնական հաշվարկների համար։

Սակայն ևս մեկ անգամ շեշտում ենք, որ իրականում իշխանություն չկա TU 2/p կիրառվում է շարժվող մեքենայի զանգվածի կենտրոնին: Հետևաբար, կորի մեջ շարժման հետ կապված բոլոր երևույթները պետք է բացատրվեն այնպես, ինչպես դա արվել է համակարգի լուծման արդյունքների վերլուծության հիման վրա (/), կամ (Դեպի):

Եզրափակելով՝ մատնանշում ենք, որ քննարկվող խնդրի «Նյուտոնի մեթոդը» և «Դ'Ալեմբերի մեթոդը» օգտագործվել են միայն շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ կազմելու նպատակով։ Միևնույն ժամանակ, առաջին փուլում մենք որևէ տեղեկություն չենք ստանում, բացառությամբ բուն դիֆերենցիալ հավասարումների։ Ստացված հավասարումների հետագա լուծումը և իրականացված վերլուծությունը կապված չեն հենց հավասարումների ստացման մեթոդի հետ։

Բրինձ. 3.53.

• դուրս-անգլերենից, արտաքին-արտաքին.
• Պանդոկ-անգլերենից, ներքին-ինտերիեր.
• Պանդոկ-անգլերենից, ներքին-ինտերիեր.

d'Alembert սկզբունքը

Հիմնական աշխատանքը Ժ.Լ. դ'Ալամբեր(1717-1783) - «Տրակտատ դինամիկայի մասին» - հրատարակվել է 1743 թ.

Տրակտատի առաջին մասը նվիրված է վերլուծական ստատիկայի կառուցմանը։ Այստեղ դ'Ալեմբերը ձևակերպում է «մեխանիկայի հիմնական սկզբունքները», որոնցից են «իներցիայի սկզբունքը», «շարժումների գումարման սկզբունքը» և «հավասարակշռության սկզբունքը»։

«Իներցիայի սկզբունքը» ձևակերպվում է առանձին՝ հանգստի և միատեսակ ուղղագիծ շարժման դեպքում։ «Իներցիայի ուժը,- գրում է դ'Ալեմբերը, ես Նյուտոնի հետ միասին կոչում ենք մարմնի հատկությունը պահպանել այն վիճակը, որում այն ​​գտնվում է»:

«Շարժումների գումարման սկզբունքը» զուգահեռագծի կանոնի համաձայն արագությունների և ուժերի գումարման օրենքն է։ Այս սկզբունքի հիման վրա դ'Ալմբերը լուծում է ստատիկության խնդիրները։

«Հավասարակշռության սկզբունքը» ձևակերպված է հետևյալ թեորեմով. «Եթե երկու մարմին, որոնք շարժվում են իրենց զանգվածին հակադարձ համեմատական ​​արագությամբ, ունեն հակառակ ուղղություններ, այնպես որ մի մարմին չի կարող շարժվել առանց տեղից մյուս մարմին տեղափոխվելու, ապա այդ մարմինները կլինեն հավասարակշռության մեջ։ «. Տրակտատի երկրորդ մասում դ'Ալեմբերն առաջարկել է ցանկացած նյութական համակարգերի համար շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ կազմելու ընդհանուր մեթոդ՝ հիմնված դինամիկայի խնդիրը ստատիկի հասցնելու վրա։ Նա ձևակերպեց կանոն նյութական կետերի ցանկացած համակարգի համար, որը հետագայում անվանվեց «դ'Ալեմբերի սկզբունք», ըստ որի համակարգի կետերի վրա կիրառվող ուժերը կարող են քայքայվել «գործող», այսինքն՝ նրանց, որոնք առաջացնում են արագացում։ համակարգը, և «կորած»՝ անհրաժեշտ համակարգի հավասարակշռության համար։ դ'Ալեմբերը կարծում է, որ ուժերը, որոնք համապատասխանում են «կորցրած» արագացմանը, կազմում են այնպիսի համակցություն, որը չի ազդում համակարգի իրական վարքագծի վրա։ Այսինքն, եթե համակարգի վրա կիրառվի միայն «կորցրած» ուժերի մի շարք, ապա համակարգը կմնա հանգստի վիճակում։ Ժուկովսկին իր «Տեսական մեխանիկայի դասընթաց»-ում տվել է դ'Ալեմբերի սկզբունքի ժամանակակից ձևակերպումը. ուժեր, իներցիայի բոլոր ուժերը, որոնք համապատասխանում են ժամանակի տվյալ կետին, այնուհետև կդիտվի հավասարակշռություն, մինչդեռ համակարգի մասերի միջև նման հավասարակշռության դեպքում զարգացող ճնշման, լարվածության և այլնի բոլոր ուժերը կլինեն իրական ուժեր. ճնշում, լարվածություն և այլն, երբ համակարգը շարժվում է դիտարկված պահին»: Հարկ է նշել, որ ինքը՝ դ'Ալամբերը, իր սկզբունքը ներկայացնելիս, չի դիմել ոչ ուժ հասկացությանը (հաշվի առնելով, որ այն բավականաչափ պարզ չէ մեխանիկայի հիմնական հասկացությունների ցանկում ընդգրկվելու համար), առավել եւս՝ հայեցակարգին. իներցիոն ուժի. «Ուժ» տերմինի օգտագործմամբ դ'Ալեմբերի սկզբունքի ներկայացումը պատկանում է Լագրանժին, ով իր «Անալիտիկ մեխանիկա» աշխատությունում տվել է իր վերլուծական արտահայտությունը հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքի տեսքով: Դա Ժոզեֆ Լուի Լագրանժն էր (1736-1813) և հատկապես Լեոնարդո Էյլերը (1707-1783), ով էական դեր խաղաց մեխանիկայի վերջնական վերափոխման մեջ վերլուծական մեխանիկայի:

Նյութական կետի անալիտիկ մեխանիկա և Էյլերի կոշտ մարմնի դինամիկան

Լեոնարդո Էյլեր- ականավոր գիտնականներից մեկը, ով մեծ ներդրում է ունեցել XVIII դարում ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների զարգացման գործում։ Նրա աշխատանքը տպավորիչ է հետազոտական ​​մտքի խորաթափանցության, տաղանդի համընդհանուրության և հետևում թողած հսկայական գիտական ​​ժառանգության տեսանկյունից:

Սանկտ Պետերբուրգում իր գիտական ​​գործունեության առաջին տարիներին (Էյլերը ժամանել է Ռուսաստան 1727 թ.) նա կազմել է մեխանիկայի բնագավառում աշխատանքի մեծ ու համապարփակ շրջանի ծրագիր։ Այս հավելվածը գտնվում է նրա «Մեխանիկան կամ շարժման գիտությունը, վերլուծականորեն արտահայտված» երկհատոր աշխատության մեջ (1736): Euler's Mechanics-ը Նյուտոնյան մեխանիկայի առաջին համակարգված դասընթացն էր: Այն պարունակում էր կետի դինամիկայի հիմունքները. մեխանիկայի միջոցով Էյլերը հասկանում էր շարժման գիտությունը, ի տարբերություն ուժերի հավասարակշռության կամ ստատիկ գիտության: Էյլերի «Մեխանիկայի» որոշիչ հատկանիշը նոր մաթեմատիկական ապարատի՝ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի լայն կիրառումն էր։ Հակիրճ բնութագրելով մեխանիկայի վերաբերյալ հիմնական աշխատանքները, որոնք հայտնվեցին 17-18-րդ դարերի վերջում, Էյլերը նշեց նրանց ստեղծագործության որդի-թեթիկո-երկրաչափական ոճը, որը շատ աշխատանք ստեղծեց ընթերցողների համար: Հենց այս ձևով են գրվել Ջ. Հերմանի «Նյուտոնի տարրերը» և ավելի ուշ «Ֆորոնոմիան» (1716): Էյլերը նշում է, որ Հերմանի և Նյուտոնի աշխատանքները ասվում են «հինների սովորույթի համաձայն՝ սինթետիկ երկրաչափական ապացույցների օգնությամբ»՝ առանց վերլուծության, «միայն որի միջոցով կարելի է հասնել այս բաների ամբողջական ըմբռնմանը»։

Սինթետիկ-երկրաչափական մեթոդը չուներ ընդհանրացնող բնույթ, սակայն պահանջում էր, որպես կանոն, անհատական ​​կոնստրուկցիաներ յուրաքանչյուր առաջադրանքի առնչությամբ առանձին։ Էյլերը խոստովանում է, որ «Ֆորոնոմիա» և «Սկիզբներ» ուսումնասիրելուց հետո նա, ինչպես իրեն թվում էր, «բավականին հստակ հասկացել է շատ խնդիրների լուծումները, բայց այլևս չի կարողացել լուծել դրանցից որոշ չափով շեղված խնդիրներ»։ Հետո նա փորձեց «մեկուսացնել այս սինթետիկ մեթոդի վերլուծությունը և վերլուծական կերպով անել նույն առաջարկները՝ ի շահ իր»։ Էյլերը նշում է, որ սրա շնորհիվ շատ ավելի լավ է հասկացել հարցի էությունը։ Նա մշակեց մեխանիկայի խնդիրների ուսումնասիրման սկզբունքորեն նոր մեթոդներ, ստեղծեց դրա մաթեմատիկական ապարատը և այն փայլուն կերպով կիրառեց բազմաթիվ բարդ խնդիրների վրա։ Էյլերի շնորհիվ դիֆերենցիալ երկրաչափությունը, դիֆերենցիալ հավասարումները և տատանումների հաշվարկը դարձան մեխանիկայի գործիքներ։ Էյլերի մեթոդը, որը հետագայում մշակվել է նրա իրավահաջորդների կողմից, միանշանակ էր և ադեկվատ այդ թեմային։

Էյլերի աշխատությունը կոշտ մարմնի դինամիկայի վերաբերյալ «Կոշտ մարմինների շարժման տեսություն» ունի վեց բաժինների մեծ ներածություն, որտեղ կրկին ուրվագծվում է կետի դինամիկան։ Ներածությունում կատարվել են մի շարք փոփոխություններ. մասնավորապես, կետի շարժման հավասարումները գրվում են՝ օգտագործելով պրոյեկցիան ֆիքսված ուղղանկյուն կոորդինատների առանցքի վրա (և ոչ թե շոշափողի, հիմնական նորմալի և նորմալի, այսինքն՝ առանցքի. անշարժ բնական եռիեդրոն, որը կապված է հետագծի կետերի հետ, ինչպես «Մեխանիկա»):

Ներածությանը հաջորդող «Կարծր մարմինների շարժման մասին տրակտատը» բաղկացած է 19 բաժիններից: Տրակտատը հիմնված է դ'Ալմբերի սկզբունքի վրա: Հակիրճ անդրադառնալով կոշտ մարմնի թարգմանական շարժմանը և ներկայացնելով իներցիայի կենտրոնի հասկացությունը, Էյլեր. հաշվի է առնում պտույտները ֆիքսված առանցքի շուրջ և հաստատուն կետի շուրջ: Ահա ակնթարթային անկյունային արագության կանխատեսման բանաձևերը, կոորդինատների առանցքների վրա անկյունային արագացումը, այսպես կոչված Էյլերի անկյունները և այլն: Հաջորդը, պահի հատկությունները նկարագրվում են իներցիան, որից հետո Էյլերը անցնում է ճիշտ կոշտ մարմնի դինամիկային: Նա դուրս է բերում դիֆերենցիալ հավասարումներ ծանր մարմնի անշարժ ծանրության կենտրոնի շուրջը արտաքին ուժերի բացակայության դեպքում պտտվելու համար և լուծում դրանք պարզ կոնկրետ դեպքի համար: Ահա թե ինչպես է առաջացել գիրոսկոպի տեսության հայտնի և ոչ պակաս կարևոր խնդիրը ֆիքսված կետի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման վերաբերյալ: Էյլերն աշխատել է նաև նավաշինության տեսության վրա՝ հիդրո- և աերոմեխանիկայի, բալիստիկ, կայունության տեսությունը և փոքր թրթռումների տեսությունը, երկնային մեխանիկ և այլն։

Մեխանիկայի հրապարակումից ութ տարի անց Էյլերը հարստացրեց գիտությունը նվազագույն գործողության սկզբունքի առաջին ճշգրիտ ձևակերպմամբ: Նվազագույն գործողության սկզբունքի ձևակերպումը, որը պատկանում էր Մաուպերտուիսին, դեռ շատ անկատար էր։ Սկզբունքի առաջին գիտական ​​ձևակերպումը պատկանում է Էյլերին։ Նա իր սկզբունքը ձևակերպեց հետևյալ կերպ. ինտեգրալն ունի ամենափոքր արժեքը իրական հետագծի համար, եթե հաշվի առնենք.

վերջին հնարավոր հետագծերի խմբում, որոնք ունեն ընդհանուր սկզբնական և վերջնական դիրք և իրականացվում են նույն էներգիայի արժեքով։ Էյլերը տրամադրում է իր սկզբունքը ճշգրիտ մաթեմատիկական արտահայտությամբ և մեկ նյութական կետի խիստ հիմնավորումով, ստուգում է կենտրոնական ուժերի գործողությունները։ 1746-1749 թվականների ընթացքում pp. Էյլերը մի քանի հոդված է գրել ճկուն թելի հավասարակշռության թվերի վերաբերյալ, որտեղ նվազագույն գործողության սկզբունքը կիրառվել է այն խնդիրների նկատմամբ, որոնցում գործում են առաձգական ուժեր։

Այսպիսով, մինչև 1744 թվականը մեխանիկան հարստացավ երկու կարևոր սկզբունքով՝ դ'Ալեմբերի սկզբունքով և նվազագույն գործողության Մաուպերտուա-Էյլերի սկզբունքով: Այս սկզբունքների հիման վրա Լագրանժը կառուցեց վերլուծական մեխանիկայի համակարգ։

Երբ նյութական կետը շարժվում է, նրա արագացումը ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այնպիսին է, որ տվյալ կետի վրա կիրառվող (ակտիվ) ուժերը, կապերի ռեակցիաները և ֆիկտիվ դ'Ալեմբերի ուժը Ф = - կազմում են ուժերի հավասարակշռված համակարգ:

Ապացույց.Դիտարկենք զանգվածով ոչ ազատ նյութական կետի շարժումը Տիներցիոն հղման համակարգում։ Դինամիկայի հիմնական օրենքի և պարտատոմսերից ազատվելու սկզբունքի համաձայն մենք ունենք.

որտեղ F-ը տվյալ (ակտիվ) ուժերի արդյունքն է. N-ը կետի վրա դրված բոլոր կապերի ռեակցիաների արդյունքն է:

Հեշտ է փոխակերպել (13.1) ձևի.

Վեկտոր Ф = - որկոչվում է դ'Ալեմբերի իներցիայի ուժ, իներցիայի ուժ կամ պարզապես դ'Ալեմբերի իշխանությունը.Հետագայում մենք կօգտագործենք միայն վերջին տերմինը:

Հավասարումը (13.3), որն արտահայտում է դ'Ալեմբերի սկզբունքը խորհրդանշական ձևով, կոչվում է կինետոստատիկական հավասարումնյութական կետ.

Մեխանիկական համակարգի համար հեշտ է ստանալ դ'Ալեմբերի սկզբունքի ընդհանրացում (համակարգ Պնյութական կետեր):

Ցանկացածի համար ԴեպիՄեխանիկական համակարգի 13.3-րդ կետը բավարարվում է.

Որտեղ ? դեպի -վրա գործող տրված (ակտիվ) ուժերի արդյունք Դեպի-րդ կետը; Ն դեպի -վրա դրված կապերի ռեակցիաների արդյունք k-րդկետ; Ֆ k \u003d - որ k- d'Alembert ուժ Դեպի-րդ կետը.

Ակնհայտ է, որ եթե հավասարակշռության պայմանները (13.4) բավարարված են F*, N* :, Ф* ուժերի յուրաքանչյուր եռակի համար։ (դեպի = 1,. .., Պ), ապա ամբողջ համակարգը 3 Պուժերը

հավասարակշռված է.

Հետևաբար, մեխանիկական համակարգի շարժման ժամանակ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին դրա վրա կիրառվող ակտիվ ուժերը, կապերի ռեակցիաները և համակարգի կետերի դ'Ալմբերի ուժերը կազմում են ուժերի հավասարակշռված համակարգ։

Համակարգի ուժերը (13.5) այլևս կոնվերգենտ չեն, հետևաբար, ինչպես հայտնի է ստատիկայից (բաժին 3.4), դրա հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմաններն ունեն հետևյալ ձևը.

Հավասարումները (13.6) կոչվում են մեխանիկական համակարգի կինետոստատիկական հավասարումներ։ Հաշվարկների համար օգտագործվում են այս վեկտորային հավասարումների կանխատեսումները մոմենտային կետով անցնող առանցքների վրա. ՄԱՍԻՆ.

Դիտողություն 1. Քանի որ համակարգի բոլոր ներքին ուժերի գումարը, ինչպես նաև դրանց մոմենտների գումարը ցանկացած կետի նկատմամբ, հավասար են զրոյի, ապա (13.6) հավասարումներում բավական է հաշվի առնել միայն ռեակցիաները. արտաքինկապեր.

Կինետոստատիկական հավասարումները (13.6) սովորաբար օգտագործվում են մեխանիկական համակարգի սահմանափակումների ռեակցիաները որոշելու համար, երբ տրված է համակարգի շարժումը, հետևաբար, համակարգի կետերի արագացումները և դրանցից կախված դ'Ալեմբերի ուժերին: հայտնի են.

Օրինակ 1Գտեք աջակցության արձագանքները ԱԵվ INլիսեռ իր միատեսակ պտույտով՝ 5000 պտ/րոպե հաճախականությամբ։

Կետային զանգվածները կոշտ միացված են լիսեռին gp= 0,1 կգ, t 2 = 0,2 կգ. Հայտնի են չափերը AC - CD - DB = 0,4 մ հ= 0,01 մ Համարեք, որ լիսեռի զանգվածը աննշան է:

Լուծում.Երկու կետային զանգվածից բաղկացած մեխանիկական համակարգի համար դ'Ալեմբերի սկզբունքն օգտագործելու համար գծապատկերում (նկ. 13.2) ցույց ենք տալիս տրված ուժերը (ծանրությունը) Gi, G 2, N4, N # և d կապերի ռեակցիան։ «Ալեմբերտի ուժերը Ф|, Ф 2.

Դալամբրեսի ուժերի ուղղությունները հակադիր են կետային զանգվածների արագացումներին Տբ տ 2տորոնք միատեսակ նկարագրում են շառավղով շրջանակներ հառանցքի շուրջ ԱԲլիսեռ.

Մենք գտնում ենք ծանրության ուժերի և Դալամբրեսի ուժերի մեծությունները.

Այստեղ լիսեռի անկյունային արագությունը համահեղինակ 5000* լ/30 = 523,6 վ ԱԽ ախ, Ազ, մենք ստանում ենք Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2 զուգահեռ ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռության պայմանները:

Պահերի հավասարումից մենք գտնում ենք N in = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 վտ »

272 N, իսկ պրոյեկցիոն հավասարումից

առանցք Այ: Նa \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N:

Կինետոստատիկայի (13.6) հավասարումները կարող են օգտագործվել նաև համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ ստանալու համար, եթե դրանք կազմված են այնպես, որ բացառվեն կապերի ռեակցիաները և արդյունքում հնարավոր լինի ստանալ կախվածությունները. արագացումները տվյալ ուժերի վրա։

Իներցիայի ուժերը նյութական կետի և մեխանիկական համակարգի դինամիկայի մեջ

Իներցիայի ուժովնյութական կետը կետի զանգվածի և դրա արագացման արտադրյալն է՝ վերցված մինուս նշանով, այսինքն՝ իներցիոն ուժերը դինամիկայի մեջ կիրառվում են հետևյալ դեպքերում.

• 1. Երբ ուսումնասիրում ենք նյութական կետի շարժումը ներս ոչ իներցիոն(շարժվող) կոորդինատային համակարգ, այսինքն՝ հարաբերական շարժում։ Սրանք իներցիայի թարգմանական և Կորիոլսի ուժերն են, որոնք հաճախ կոչվում են Էյլերի ուժեր:
• 2. Կինետոստատիկ մեթոդով դինամիկայի խնդիրներ լուծելիս: Այս մեթոդը հիմնված է d'Alembert սկզբունքի վրա, ըստ որի նյութական կետի կամ նյութական կետերի համակարգի իներցիայի ուժերը, որոնք շարժվում են որոշակի արագացումով. իներցիոնտեղեկատու համակարգ. Իներցիայի այս ուժերը կոչվում են դ'Ալեմբերի ուժեր:
• 3. Դ'Ալեմբերի իներցիայի ուժերը նույնպես օգտագործվում են դինամիկայի խնդիրների լուծման ժամանակ՝ օգտագործելով Լագրանժ-Դ'Ալամբեր սկզբունքը կամ դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը։

Արտահայտություն դեկարտյան կոորդինատների առանցքների պրոյեկցիաներում

Որտեղ - Դեկարտյան կոորդինատային առանցքի վրա կետային արագացման կանխատեսումների մոդուլներ:

Կետի կորագիծ շարժումով իներցիայի ուժը կարող է տրոհվել շոշափողի և նորմալի. , - շոշափելի և նորմալ արագացումների մոդուլ; - հետագծի կորության շառավիղը;

V-կետի արագություն.

d'Alembert-ի սկզբունքը նյութական կետի համար

Եթե ​​ոչ անվճարԿիրառվող ակտիվ ուժերի և կապերի արձագանքման ուժերի ազդեցության տակ շարժվող նյութական կետին կիրառեք նրա իներցիոն ուժը, այնուհետև ցանկացած պահի արդյունքում ստացված ուժերի համակարգը հավասարակշռված կլինի, այսինքն՝ այդ ուժերի երկրաչափական գումարը հավասար կլինի զրոյի:

մեխանիկական կետ մարմնի նյութ

Որտեղ - կետի վրա կիրառված ակտիվ ուժերի արդյունքը. - կետի վրա դրված կապերի ռեակցիաների արդյունքը. նյութական կետի իներցիայի ուժը. Նշում. Փաստորեն, նյութական կետի իներցիայի ուժը կիրառվում է ոչ թե բուն կետի, այլ այն մարմնի վրա, որը արագացում է հաղորդում այս կետին:

d'Alembert-ի սկզբունքը մեխանիկական համակարգի համար

երկրաչափական գումարհամակարգի վրա ազդող արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորները և համակարգի բոլոր կետերի իներցիոն ուժերը, ինչպես նաև ցանկացած պահի ոչ ազատ մեխանիկական համակարգի որոշակի կենտրոնի նկատմամբ այս ուժերի հիմնական պահերի երկրաչափական գումարը. հավասար են զրոյի, այսինքն.

Կոշտ մարմնի իներցիայի ուժերի հիմնական վեկտորը և մոմենտը

Համակարգի կետերի իներցիայի ուժերի հիմնական վեկտորը և հիմնական մոմենտը որոշվում են այս մեխանիկական համակարգում ընդգրկված յուրաքանչյուր կոշտ մարմնի համար առանձին։ Դրանց սահմանումը հիմնված է ստատիկայից հայտնի Poinsot մեթոդի վրա՝ ուժերի կամայական համակարգ տվյալ կենտրոն բերելու մասին։

Այս մեթոդի հիման վրա մարմնի բոլոր կետերի իներցիոն ուժերը նրա շարժման ընդհանուր դեպքում կարող են բերվել զանգվածի կենտրոն և փոխարինվել հիմնական վեկտորով * և հիմնական պահով. զանգվածի կենտրոնի մասին։ Դրանք որոշվում են բանաձևերով այսինքն ցանկացածի համարկոշտ մարմնի շարժում, իներցիոն ուժերի հիմնական վեկտորը մինուս նշանով հավասար է մարմնի զանգվածի արտադրյալին և մարմնի զանգվածի կենտրոնի արագացմանը. , Որտեղ r կկ -- շառավիղի վեկտոր k-րդկետ, որը գծված է զանգվածի կենտրոնից: Այս բանաձևերը կոշտ մարմնի շարժման հատուկ դեպքերում ունեն հետևյալ ձևը.

1. Առաջադիմական շարժում.

2. Մարմնի պտույտ զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի շուրջ

3. Հարթ-զուգահեռ շարժում

Անալիտիկ մեխանիկայի ներածություն

Վերլուծական մեխանիկայի հիմնական հասկացությունները

Անալիտիկ մեխանիկա- մեխանիկայի ոլորտ (հատված), որտեղ ուսումնասիրվում է մեխանիկական համակարգերի շարժումը կամ հավասարակշռությունը ցանկացած մեխանիկական համակարգերի համար օգտագործվող ընդհանուր, միասնական վերլուծական մեթոդների կիրառմամբ:

Դիտարկենք վերլուծական մեխանիկայի ամենաբնորոշ հասկացությունները:

1. Միացումները և դրանց դասակարգումը.

Միացումներ- մեխանիկական համակարգի կետերի շարժման վրա դրված մարմինների կամ կինեմատիկական պայմանների տեսքով ցանկացած սահմանափակում. Այս սահմանափակումները կարող են գրվել որպես հավասարումներ կամ անհավասարություններ:

Երկրաչափական հղումներ- միացումներ, որոնց հավասարումները պարունակում են միայն կետերի կոորդինատները, այսինքն՝ սահմանափակումներ են դրվում միայն կետերի կոորդինատների վրա։ Սրանք կապեր են մարմինների, մակերեսների, գծերի և այլնի տեսքով։

Դիֆերենցիալ միացումներ-- միացումներ, որոնք սահմանափակումներ են դնում ոչ միայն կետերի կոորդինատների, այլև դրանց արագության վրա։

Հոլոնոմիկ կապեր --բոլոր երկրաչափական կապերը և այն դիֆերենցիալ կապերը, որոնց հավասարումները կարող են ինտեգրվել:

Ոչ հոլոնոմիկ սահմանափակումներ- դիֆերենցիալ ոչ ինտեգրվող միացումներ:

Ստացիոնար հաղորդակցություն.միացումներ, որոնց հավասարումները հստակորեն չեն ներառում ժամանակը:

Ոչ ստացիոնար հաղորդակցություններ- կապեր, որոնք փոխվում են ժամանակի ընթացքում, այսինքն, որոնց հավասարումները հստակորեն ներառում են ժամանակը:

Երկկողմանի (պահման) հղումներ --կապեր, որոնք սահմանափակում են կետի շարժումը երկու հակադիր ուղղություններով: Նման կապերը նկարագրված են հավասարումներով .

Միակողմանի(չպահպանվող) հղումներ - հղումներ, որոնք սահմանափակում են շարժումը միայն մեկ ուղղությամբ: Նման կապերը նկարագրվում են անհավասարություններով

2. Հնարավոր (վիրտուալ) և փաստացի շարժումներ:

Հնարավոր էկամ ՎիրտուալՄեխանիկական համակարգի կետերի տեղաշարժերը երևակայական անվերջ փոքր տեղաշարժեր են, որոնք թույլատրվում են համակարգի վրա դրված սահմանափակումներով:

Հնարավոր էՄեխանիկական համակարգի տեղաշարժը համակարգի այն կետերի միաժամանակյա հնարավոր տեղաշարժերի ամբողջությունն է, որոնք համատեղելի են սահմանափակումների հետ: Թող մեխանիկական համակարգը լինի կռունկի մեխանիզմ:

Հնարավոր շարժման կետ Ատեղաշարժ է, որն իր փոքրության պատճառով համարվում է ուղղագիծ և ուղղահայաց. ՕԱ.

Հնարավոր շարժման կետ IN(slider) շարժվում է ուղեցույցների մեջ: Կռունկի հնարավոր շարժումը ՕԱպտույտն է անկյան տակ, իսկ միացնող ձողը AB -- MCS-ի շուրջ անկյան տակ (կետ Ռ).

ՎավերականՀամակարգի կետերի տեղաշարժերը կոչվում են նաև տարրական տեղաշարժեր, որոնք թույլ են տալիս վերադրված միացումներ, սակայն հաշվի առնելով շարժման սկզբնական պայմանները և համակարգի վրա ազդող ուժերը։

Աստիճանների քանակըազատություն ՍՄեխանիկական համակարգի անկախ հնարավոր տեղաշարժերի թիվն է, որը կարող է փոխանցվել համակարգի կետերին ժամանակի որոշակի կետում:

Հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքը (Լագրանժի սկզբունք)

Հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքը կամ Լագրանժի սկզբունքը արտահայտում է ոչ ազատ մեխանիկական համակարգի հավասարակշռության պայմանը կիրառվող ակտիվ ուժերի ազդեցության տակ։ Սկզբունքի ձևակերպում.

Հավասարակշռության համարԵրկկողմանի, անշարժ, հոլոնոմիկ և իդեալական սահմանափակումներով ոչ ազատ մեխանիկական համակարգի համար, որը գտնվում է հանգստի վիճակում կիրառական ակտիվ ուժերի ազդեցության տակ, անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր ակտիվ ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը հավասար լինի որևէ փամփուշտի: Համակարգի հնարավոր տեղաշարժը դիտարկված հավասարակշռության դիրքից.

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարում (Lagrange-D'Alembert սկզբունք)

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը կիրառվում է ոչ ազատ մեխանիկական համակարգերի շարժման ուսումնասիրության համար, որոնց մարմինները կամ կետերը շարժվում են որոշակի արագացումներով։

Համաձայն դ'Ալեմբերի սկզբունքի, մեխանիկական համակարգի վրա կիրառվող ակտիվ ուժերի ամբողջությունը, կապերի արձագանքման ուժերը և համակարգի բոլոր կետերի իներցիայի ուժերը կազմում են ուժերի հավասարակշռված համակարգ:

Եթե ​​նման համակարգի վրա կիրառվում է հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքը (Լագրանժի սկզբունքը), ապա մենք ստանում ենք Լագրանժ-Դ'Ալամբերի համակցված սկզբունքը կամ դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը.այս սկզբունքի ձևակերպումը:

Երբ շարժվում է ոչ ազատԵրկկողմանի, իդեալական, անշարժ և հոլոնոմիկ սահմանափակումներով մեխանիկական համակարգի բոլոր ակտիվ ուժերի և իներցիայի ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը, որը կիրառվում է համակարգի կետերի վրա, համակարգի ցանկացած հնարավոր տեղաշարժի դեպքում հավասար է զրոյի.

Երկրորդ տեսակի Լագրանժի հավասարումներ

Լագրանժի հավասարումներԵրկրորդ տեսակի մեխանիկական համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ են ընդհանրացված կոորդինատներով:

Համակարգի համար Սազատության աստիճաններ, այս հավասարումները ունեն ձև

ՏարբերությունՀամակարգի կինետիկ էներգիայի մասնակի ածանցյալի ընդհանուր ժամանակային ածանցյալը ընդհանրացված արագության նկատմամբ և կինետիկ էներգիայի մասնակի ածանցյալը ընդհանրացված կոորդինատի նկատմամբ հավասար է ընդհանրացված ուժին:

Լագրանժի հավասարումներ պահպանողական մեխանիկական համակարգերի համար. Ցիկլային կոորդինատներ և ինտեգրալներ

Պահպանողական համակարգի համար ընդհանրացված ուժերը որոշվում են համակարգի պոտենցիալ էներգիայի առումով բանաձևով

Այնուհետև Լագրանժի հավասարումները վերագրվում են ձևով

Քանի որ համակարգի պոտենցիալ էներգիան միայն ընդհանրացված կոորդինատների ֆունկցիա է, այսինքն՝ հաշվի առնելով դա՝ մենք այն ներկայացնում ենք այն ձևով, որտեղ T - P \u003d L -Լագրանժի ֆունկցիա (կինետիկ պոտենցիալ): Վերջապես, Լագրանժի հավասարումները պահպանողական համակարգի համար

Մեխանիկական համակարգի հավասարակշռության դիրքի կայունությունը

Համակարգերի տատանումների տեսության մեջ անմիջական նշանակություն ունի մեխանիկական համակարգերի հավասարակշռության դիրքի կայունության հարցը։

Հավասարակշռության դիրքը կարող է լինել կայուն, անկայուն և անտարբեր:

կայունՀավասարակշռության դիրք - հավասարակշռության դիրք, որի դեպքում մեխանիկական համակարգի կետերը, որոնք ստացվում են այս դիրքից, հետագայում շարժվում են անմիջական հարևանությամբ գտնվող ուժերի ազդեցության տակ իրենց հավասարակշռության դիրքի մոտ:

Այս շարժումը ժամանակի ընթացքում կունենա տարբեր աստիճանի կրկնություն, այսինքն՝ համակարգը կկատարի տատանողական շարժում:

անկայունհավասարակշռության դիրք - հավասարակշռության դիրք, որից, համակարգի կետերի կամայականորեն փոքր շեղմամբ, ապագայում գործող ուժերը հետագայում կհեռացնեն կետերը իրենց հավասարակշռության դիրքից. .

անտարբերհավասարակշռության դիրք - հավասարակշռության դիրք, երբ համակարգի կետերի ցանկացած փոքր սկզբնական շեղման դեպքում այս դիրքից նոր դիրքում համակարգը նույնպես մնում է հավասարակշռության մեջ: .

Մեխանիկական համակարգի կայուն հավասարակշռության դիրքը որոշելու տարբեր մեթոդներ կան:

Դիտարկենք կայուն հավասարակշռության սահմանումը, որը հիմնված է Լագրանժ-Դիրիխլեի թեորեմներ

Եթե ​​դիրքումԻդեալական և անշարժ սահմանափակումներով պահպանողական մեխանիկական համակարգի հավասարակշռությունը, դրա պոտենցիալ էներգիան ունի նվազագույնը, ապա այս հավասարակշռության դիրքը կայուն է:

Ազդեցության երևույթ. Հարվածի ուժ և հարվածի իմպուլս

Այն երևույթը, երբ մարմնի կետերի արագությունները աննշանորեն փոքր ժամանակահատվածում փոխվում են վերջավոր քանակությամբ, կոչվում է. հարված.Այս ժամանակահատվածը կոչվում է ազդեցության ժամանակը.Հարվածի ժամանակ հարվածի ուժը գործում է անսահման փոքր ժամանակահատվածում: հարվածային ուժկոչվում է ուժ, որի իմպուլսը հարվածի ժամանակ վերջավոր արժեք է։

Եթե ​​մոդուլային վերջավոր ուժը գործում է ժամանակի ընթացքում՝ իր գործողությունը սկսելով ժամանակի որոշակի կետից , ապա դրա իմպուլսը ունի ձևը

Նաև, երբ ազդեցության ուժը գործում է նյութական կետի վրա, կարող ենք ասել, որ.

ազդեցության ժամանակ ոչ ակնթարթային ուժերի գործողությունը կարող է անտեսվել.

ազդեցության ընթացքում նյութական կետի շարժումը կարող է անտեսվել.

Նյութական կետի վրա ազդեցության ուժի գործողության արդյունքն արտահայտվում է դրա արագության վեկտորի ազդեցության ժամանակ վերջնական փոփոխությամբ։

Թեորեմ հարվածի ժամանակ մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության մասին

հարվածի ընթացքում մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է բոլոր արտաքին հարվածային իմպուլսների երկրաչափական գումարին, որոնք կիրառվում են համակարգերի կետերի վրա,Որտեղ - մեխանիկական համակարգի շարժման չափը ազդեցության ուժերի գործողության դադարեցման պահին. - մեխանիկական համակարգի շարժման չափը այն պահին, երբ հարվածային ուժերը սկսում են գործել, - արտաքին ցնցումների իմպուլս.

Դ'Ալեմբերի սկզբունքը հնարավորություն է տալիս մեխանիկական համակարգերի դինամիկայի խնդիրները ձևակերպել որպես ստատիկության խնդիրներ։ Այս դեպքում շարժման դինամիկ դիֆերենցիալ հավասարումներին տրվում է հավասարակշռության հավասարումների ձև։ Նման մեթոդը կոչվում է կինետոստատիկ մեթոդ .

Դ'Ալեմբերի սկզբունքը նյութական կետի համար. « Նյութական կետի շարժման ժամանակի յուրաքանչյուր պահին դրա վրա փաստացի գործող ուժերը, կապերի ռեակցիաները և կետի վրա պայմանականորեն կիրառվող իներցիայի ուժը կազմում են ուժերի հավասարակշռված համակարգ։»

կետի իներցիայի ուժ կոչվում է վեկտորային մեծություն, որն ունի ուժի չափ, որը հավասար է կետի զանգվածի և դրա արագացման արտադրյալին և ուղղված է արագացման վեկտորին

. (3.38)

Մեխանիկական համակարգը դիտարկելով որպես նյութական կետերի մի շարք, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա, ըստ դ'Ալմբերի սկզբունքի, ազդում են ուժերի հավասարակշռված համակարգերը, մենք այս սկզբունքից հետևանքներ ունենք համակարգի նկատմամբ: Համակարգի վրա կիրառվող արտաքին ուժերի ցանկացած կենտրոնի հետ կապված հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը և նրա բոլոր կետերի իներցիայի ուժերը հավասար են զրոյի.

(3.39)

Այստեղ արտաքին ուժերը ակտիվ ուժեր են և կապերի ռեակցիաներ։

Իներցիոն ուժերի հիմնական վեկտորըմեխանիկական համակարգի զանգվածը հավասար է համակարգի զանգվածի և դրա զանգվածի կենտրոնի արագացման արտադրյալին և ուղղված է այս արագացմանը հակառակ ուղղությամբ.

. (3.40)

Իներցիայի ուժերի հիմնական պահըհամակարգ կամայական կենտրոնի նկատմամբ ՄԱՍԻՆհավասար է իր անկյունային իմպուլսի ժամանակային ածանցյալին նույն կենտրոնի նկատմամբ

. (3.41)

Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի համար Օզ, մենք գտնում ենք այս առանցքի շուրջ իներցիայի ուժերի հիմնական պահը

. (3.42)

3.8. Անալիտիկ մեխանիկայի տարրեր

«Անալիտիկ մեխանիկա» բաժնում դիտարկվում են նյութական համակարգերի մեխանիկայի խնդիրների լուծման ընդհանուր սկզբունքները և վերլուծական մեթոդները:

3.8.1 Համակարգի հնարավոր տեղաշարժերը. Դասակարգում

որոշ կապեր

Հնարավոր կետային շարժումներ
Դրանց ցանկացած երևակայական, անսահման փոքր տեղաշարժեր, որոնք թույլ են տալիս համակարգի վրա դրված սահմանափակումները ժամանակի որոշակի կետում, կոչվում են մեխանիկական համակարգեր: Ա-նախնական, ազատության աստիճանների քանակը մեխանիկական համակարգի անկախ հնարավոր տեղաշարժերի թիվն է:

Համակարգին պարտադրված կապերը կոչվում են իդեալական , եթե դրանց ռեակցիաների տարրական աշխատանքների գումարը համակարգի կետերից որևէ մեկի հնարավոր տեղաշարժերին հավասար է զրոյի.

. (3. 43)

Կոչվում են այն միացումները, որոնց համար նրանց կողմից սահմանված սահմանափակումները պահպանվում են համակարգի ցանկացած դիրքում հետ պահելով . Կոչվում են հարաբերությունները, որոնք ժամանակի ընթացքում չեն փոխվում, որոնց հավասարումները բացահայտորեն չեն ներառում ժամանակը ստացիոնար . Կոչվում են այն կապերը, որոնք սահմանափակում են միայն համակարգի կետերի տեղաշարժերը երկրաչափական , իսկ սահմանափակող արագություններն են կինեմատիկական . Հետագայում մենք կդիտարկենք միայն երկրաչափական հարաբերությունները և այն կինեմատիկականները, որոնք ինտեգրման միջոցով կարող են վերածվել երկրաչափականի:

3.8.2. Հնարավոր շարժումների սկզբունքը

Սահմանափակող իդեալական և անշարժ սահմանափակումներով մեխանիկական համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ

դրա վրա գործող բոլոր ակտիվ ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը, համակարգի ցանկացած հնարավոր տեղաշարժերի վրա, հավասար էր զրոյի.

. (3.44)

Կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումներում.

. (3.45)

Հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքը մեզ թույլ է տալիս ընդհանուր ձևով հաստատել ցանկացած մեխանիկական համակարգի հավասարակշռության պայմաններ՝ առանց հաշվի առնելու դրա առանձին մասերի հավասարակշռությունը։ Այս դեպքում հաշվի են առնվում միայն համակարգի վրա գործող ակտիվ ուժերը։ Իդեալական կապերի անհայտ ռեակցիաները ներառված չեն այս պայմաններում: Միևնույն ժամանակ, այս սկզբունքը հնարավորություն է տալիս որոշել իդեալական կապերի անհայտ ռեակցիաները՝ հեռացնելով այդ կապերը և դրանց ռեակցիաները ներմուծելով ակտիվ ուժերի թվին։ Երբ կորցնում են կապերը, որոնց ռեակցիաները պետք է որոշվեն, համակարգը լրացուցիչ ձեռք է բերում ազատության համապատասխան քանակություն։

Օրինակ 1 . Գտեք ուժերի միջև կապը Եվ jack, եթե հայտնի է, որ բռնակի յուրաքանչյուր պտույտով AB = լ, պտուտակ ՀԵՏտարածվում է այն չափով հ(նկ. 3.3):

Լուծում

Մեխանիզմի հնարավոր շարժումներն են բռնակի  պտույտը և բեռի շարժումը  հ. Ուժերի տարրական աշխատանքի զրոյին հավասարության պայմանը.

pl– Քh = 0;

Հետո
. Քանի որ հ 0, ապա

3.8.3. Դինամիկայի ընդհանուր վարիացիոն հավասարում

Դիտարկենք համակարգի շարժումը, որը բաղկացած է nմիավորներ. Դրա վրա գործում են ակտիվ ուժեր և կապի ռեակցիաները .(կ = 1,…,n) Եթե գործող ուժերին գումարենք կետերի իներցիայի ուժերը
, ապա, ըստ դ'Ալեմբերի սկզբունքի, առաջացող ուժերի համակարգը կլինի հավասարակշռության մեջ և, հետևաբար, հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքի հիման վրա գրված արտահայտությունը (3.44) վավեր է.

. (3.46)

Եթե ​​բոլոր միացումներն իդեալական են, ապա 2-րդ գումարը հավասար է զրոյի, իսկ կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումների դեպքում հավասարությունը (3.46) կունենա հետևյալ տեսքը.

Վերջին հավասարությունը դինամիկայի ընդհանուր փոփոխական հավասարումն է կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիաներում, որը թույլ է տալիս կազմել մեխանիկական համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ:

Դինամիկայի ընդհանուր վարիացիոն հավասարումը մաթեմատիկական արտահայտություն է դ'Ալեմբեր-Լագրանժի սկզբունքը: « Երբ համակարգը շարժման մեջ է, ենթակա է անշարժ, իդեալական, զսպող սահմանափակումների, ժամանակի ցանկացած պահի, համակարգի վրա կիրառվող բոլոր ակտիվ ուժերի տարրական աշխատանքների և համակարգի ցանկացած հնարավոր տեղաշարժի վրա իներցիայի ուժերի գումարը կազմում է. հավասար է զրոյի».

Օրինակ 2 . Երեք մարմնից բաղկացած մեխանիկական համակարգի համար (նկ. 3.4), որոշեք բեռի արագացումը 1 և մալուխի լարումը 1-2, եթե. մ 1 = 5մ; մ 2 = 4մ; մ 3 = 8մ; r 2 = 0,5Ռ 2; 2-րդ բլոկի պտտման շառավիղը ես = 1,5r 2. Roller 3-ը շարունակական միատարր սկավառակ է:

Լուծում

Պատկերենք այն ուժերը, որոնք տարրական աշխատանք են կատարում հնարավոր տեղաշարժի վրա  սբեռ 1:

Մենք գրում ենք բոլոր մարմինների հնարավոր տեղաշարժերը 1 բեռի հնարավոր տեղաշարժի միջոցով.

Մենք արտահայտում ենք բոլոր մարմինների գծային և անկյունային արագացումները բեռի 1-ի ցանկալի արագացման առումով (հարաբերությունները նույնն են, ինչ հնարավոր տեղաշարժերի դեպքում).

.

Այս խնդրի ընդհանուր փոփոխական հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

Նախկինում ստացված արտահայտությունները փոխարինելով ակտիվ ուժերի, իներցիոն ուժերի և հնարավոր տեղաշարժերի հետ՝ պարզ փոխակերպումներից հետո ստանում ենք.

Քանի որ  ս 0, հետևաբար, արագացումը պարունակող փակագծերի արտահայտությունը հավասար է զրոյի Ա 1 , որտեղ ա 1 = 5է/8,25 = 0,606է.

Բեռը պահող մալուխի լարվածությունը որոշելու համար մենք ազատում ենք բեռը մալուխից՝ փոխարինելով դրա գործողությունը ցանկալի ռեակցիայով։ . Տրված ուժերի ազդեցության տակ ,և բեռի վրա կիրառվող իներցիոն ուժը
նա հավասարակշռության մեջ է. Հետևաբար, d’Alembert սկզբունքը կիրառելի է դիտարկվող բեռի (կետի) համար, այսինքն. մենք դա գրում ենք
. Այստեղից
.

3.8.4. Լագրանժի 2-րդ տեսակի հավասարում

Ընդհանրացված կոորդինատներ և ընդհանրացված արագություններ. Ցանկացած փոխադարձ անկախ պարամետր, որը եզակիորեն որոշում է մեխանիկական համակարգի դիրքը տարածության մեջ, կոչվում են ընդհանրացված կոորդինատներ . Այս կոորդինատները, նշվում են ք 1 ,....ք i , կարող է ունենալ ցանկացած հարթություն: Մասնավորապես, ընդհանրացված կոորդինատները կարող են լինել տեղաշարժեր կամ պտտման անկյուններ:

Դիտարկվող համակարգերի համար ընդհանրացված կոորդինատների թիվը հավասար է ազատության աստիճանների թվին։ Համակարգի յուրաքանչյուր կետի դիրքը ընդհանրացված կոորդինատների միարժեք ֆունկցիա է

Այսպիսով, համակարգի շարժումը ընդհանրացված կոորդինատներում որոշվում է հետևյալ կախվածությամբ.

Ընդհանրացված կոորդինատների առաջին ածանցյալները կոչվում են ընդհանրացված արագություններ :
.

Ընդհանրացված ուժեր.Ուժի տարրական աշխատանքի արտահայտություն հնարավոր քայլի վրա
նման է:

.

Ուժերի համակարգի տարրական աշխատանքի համար գրում ենք

Օգտագործելով ստացված կախվածությունները՝ այս արտահայտությունը կարելի է գրել այսպես.

,

որտեղ է համապատասխանում ընդհանրացված ուժը ես- ընդհանրացված կոորդինատը,

. (3.49)

Այսպիսով, ընդհանրացված ուժ համապատասխան ես--րդ ընդհանրացված կոորդինատը, այս կոորդինատի փոփոխության գործակիցն է համակարգի հնարավոր տեղաշարժի վրա գործող ուժերի տարրական աշխատանքների գումարի արտահայտման մեջ. . Ընդհանրացված ուժը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է համակարգին տեղեկացնել հնարավոր տեղաշարժի մասին, որում փոխվում է միայն ընդհանրացված կոորդինատը. ք ես. Գործակիցը ժամը
և կլինի ցանկալի ընդհանրացված ուժը:

Համակարգի շարժման հավասարումներ ընդհանրացված կոորդինատներում. Թող տրվի մեխանիկական համակարգ սազատության աստիճաններ. Իմանալով դրա վրա ազդող ուժերը՝ անհրաժեշտ է կազմել շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ ընդհանրացված կոորդինատներով.
. Մենք կիրառում ենք համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումների՝ 2-րդ տեսակի Լագրանժի հավասարումների կազմման կարգը՝ ազատ նյութական կետի համար այս հավասարումների ածանցման անալոգիայով։ Նյուտոնի 2-րդ օրենքի հիման վրա գրում ենք

Մենք ստանում ենք այս հավասարումների անալոգը, օգտագործելով նյութական կետի կինետիկ էներգիայի նշումը,

Կինետիկ էներգիայի մասնակի ածանցյալ՝ առանցքի վրա արագության պրոյեկցիայի նկատմամբ
հավասար է այս առանցքի վրա շարժման քանակի նախագծմանը, այսինքն.

Անհրաժեշտ հավասարումներ ստանալու համար մենք հաշվարկում ենք ածանցյալները ժամանակի նկատմամբ.

Ստացված հավասարումների համակարգը նյութական կետի համար 2-րդ տեսակի Լագրանժի հավասարումներ են:

Մեխանիկական համակարգի համար մենք ներկայացնում ենք 2-րդ տեսակի Լագրանժի հավասարումները հավասարումների տեսքով, որոնցում ակտիվ ուժերի կանխատեսումների փոխարեն Պ x , Պ y , Պ զօգտագործել ընդհանրացված ուժեր Ք 1 , Ք 2 ,...,Ք i և ​​ընդհանուր դեպքում հաշվի առնենք կինետիկ էներգիայի կախվածությունը ընդհանրացված կոորդինատներից։

Մեխանիկական համակարգի 2-րդ տեսակի Լագրանժի հավասարումները ունեն հետևյալ ձևը.

. (3.50)

Դրանք կարող են օգտագործվել երկրաչափական, իդեալական և սահմանափակող սահմանափակումներով ցանկացած մեխանիկական համակարգի շարժումը ուսումնասիրելու համար:

Օրինակ 3 . Մեխանիկական համակարգի համար (նկ. 3.5), որի տվյալները տրված են նախորդ օրինակում, կազմեք շարժման դիֆերենցիալ հավասարում, օգտագործելով 2-րդ տեսակի Լագրանժի հավասարումը,

Լուծում

Մեխանիկական համակարգն ունի ազատության մեկ աստիճան։ Ընդհանրացված կոորդինատի համար վերցնում ենք բեռի գծային շարժումը ք 1 = ս; ընդհանրացված արագություն - . Սա նկատի ունենալով, մենք գրում ենք 2-րդ տեսակի Լագրանժի հավասարումը

.

Եկեք ձևակերպենք համակարգի կինետիկ էներգիայի արտահայտությունը

.

Մենք արտահայտում ենք բոլոր անկյունային և գծային արագությունները ընդհանրացված արագությամբ.

Այժմ մենք ստանում ենք

Եկեք հաշվարկենք ընդհանրացված ուժը՝ կազմելով տարրական աշխատանքի արտահայտությունը հնարավոր տեղաշարժի վրա  սբոլոր ակտիվ ուժերը. Առանց շփման ուժերի, համակարգում աշխատանքը կատարվում է միայն բեռի ծանրությամբ 1
Ընդհանրացված ուժը գրում ենք  ս, որպես գործակից տարրական աշխատանքում Ք 1 = 5մգ. Հաջորդը մենք գտնում ենք

Վերջապես, համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.