Կրկնակի ինտեգրալների հաշվարկ՝ տեսություն և օրինակներ. Բազմակի ինտեգրալ Բազմաթիվ ինտեգրալներ

Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք Օստրոգրադսկու աշխատանքին բազմակի ինտեգրալների վերաբերյալ։

Եռակի ինտեգրալը կրկնակի ինտեգրալի վերածելու Օստրոգրադսկու բանաձևը, որը մենք սովորաբար գրում ենք ձևով.

որտեղ div A-ն վեկտորի A դաշտի շեղումն է,

An-ը A վեկտորի սկալյար արտադրյալն է և սահմանային մակերևույթի արտաքին նորմալ n-ի միավոր վեկտորը, մաթեմատիկական գրականության մեջ այն հաճախ ավելի վաղ ասոցացվում էր Գաուսի և Գրինի անունների հետ։

Փաստորեն, Գաուսի աշխատության մեջ սֆերոիդների ձգողականության վերաբերյալ կարելի է տեսնել (1) բանաձևի միայն շատ կոնկրետ դեպքեր, օրինակ՝ P=x, Q=R=0 և այլն: Ինչ վերաբերում է Ջ. Գրինին, ապա. նրա աշխատանքը էլեկտրականության տեսության վրա, և ընդհանրապես չկա (1) բանաձևի մագնիսականություն. Այն բխում է եռակի և կրկնակի ինտեգրալների միջև ևս մեկ հարաբերություն, մասնավորապես Գրինի բանաձևը Լապլասի օպերատորի համար, որը կարող է գրվել որպես.

Իհարկե, (1) բանաձևը կարող է ստացվել նաև (2-ից)՝ ենթադրելով

և (2) բանաձևը կարելի է ստանալ ճիշտ նույն ձևով (1) բանաձևից, բայց Գրինը նույնիսկ չէր մտածում դա անել:

որտեղ ձախ կողմում ինտեգրալն է ծավալի վրա, իսկ աջում՝ սահմանային մակերևույթի ինտեգրալը, և սրանք արտաքին նորմալի ուղղության կոսինուսներն են:

Օստրոգրադսկու փարիզյան ձեռագրերը լիովին վստահորեն վկայում են, որ ինտեգրալ թեորեմի և՛ հայտնագործությունը, և՛ առաջին հաղորդումը (1) իրեն են պատկանում։ Այն առաջին անգամ ասվել և ապացուցվել է, ճիշտ այնպես, ինչպես այժմ արվում է 1826 թվականի փետրվարի 13-ին Փարիզի գիտությունների ակադեմիային ներկայացված «Ինտեգրալ հաշվարկի թեորեմի ապացույցում», որից հետո այն կրկին ձևակերպվել է այդ մասում. «Հուշագրություն պինդ մարմիններում ջերմության տարածման մասին», որը Օստրոգրադսկին ներկայացրեց 1827թ. օգոստոսի 6-ին: «Հիշատակարանը» տրվել է Ֆուրիեին և Պուասոնին վերանայման համար, և վերջիններս, իհարկե, կարդացել են այն որպես առաջին էջերի մուտքագրում։ ձեռագրի երկու մասերը վկայում են. Իհարկե, Պուասոնի մտքով անգամ չէր անցնում արժանին մատուցել թեորեմին, որը նա հանդիպեց Օստրոգրադսկու աշխատության մեջ առաձգականության տեսության վերաբերյալ իր աշխատանքը ներկայացնելուց երկու տարի առաջ։

Ինչ վերաբերում է Օստրոգրադսկու և Գրինի բազմաթիվ ինտեգրալների վրա ստեղծագործությունների փոխհարաբերություններին, մենք հիշում ենք, որ «Ջերմության տեսության մասին ծանոթագրությունում» ստացվել է մի բանաձև, որն ընդգրկում է Գրինի սեփական բանաձևը որպես շատ հատուկ դեպք: Կոշիի այժմ անծանոթ սիմվոլիկան, որն օգտագործում էր Օստրոգրադսկին նոթագրում, մինչև վերջերս թաքցնում էր այս կարևոր հայտնագործությունը հետազոտողներից: Իհարկե, նրա անունը կրող Լապլասի օպերատորների բանաձեւի հայտնագործության և 1828 թվականին առաջին հրապարակման պատիվը մնում է Գրինին։

Եռակի ինտեգրալը կրկնակի ինտեգրալի վերածելու բանաձևի հայտնաբերումը օգնեց Օստրոգրադսկուն լուծել n-ապատիկ ինտեգրալը փոխելու խնդիրը, այն է՝ ստանալ ինտեգրալը փոխակերպելու ընդհանուր բանաձևը դիվերգենցիայի տիպի արտահայտությունից n-չափի վրա։ տիրույթը և ինտեգրալը S գերմակերևույթի վրա, որը սահմանում է այն L(x, y, z,…)=0 հավասարմամբ: Եթե ​​հավատարիմ մնանք նախորդ նշումին, ապա բանաձևն ունի ձևը

Այնուամենայնիվ, Օստրոգրադսկին չօգտագործեց այն երկրաչափական պատկերներն ու տերմինները, որոնք մենք օգտագործում ենք. բազմաչափ տարածությունների երկրաչափությունն այն ժամանակ դեռ գոյություն չուներ:

Բազմակի ինտեգրալների տատանումների հաշվարկի մասին հուշագրությունում դիտարկվում են նման ինտեգրալների տեսության ևս երկու կարևոր հարց։ Նախ, Օստրոգրադսկին բխում է բազմաչափ ինտեգրալում փոփոխականների փոփոխության բանաձևը. երկրորդ, առաջին անգամ նա տալիս է n-ապատիկ ինտեգրալը հաշվարկելու տեխնիկայի ամբողջական և ճշգրիտ նկարագրությունը՝ օգտագործելով n հաջորդական ինտեգրումներ յուրաքանչյուր փոփոխականի նկատմամբ համապատասխան սահմաններում։ Վերջապես, այս հուշագրության մեջ պարունակվող բանաձևերից հեշտ է բխել բազմաչափ ինտեգրալի պարամետրի նկատմամբ տարբերակման ընդհանուր կանոնը, երբ ոչ միայն ինտեգրման, այլև ինտեգրման տիրույթի սահմանը կախված է այս պարամետրից: Նշված կանոնը բխում է հուշագրության մեջ առկա բանաձեւերից այնպես բնական կերպով, որ հետագայում մաթեմատիկոսներն այն նույնիսկ նույնացրել են այս հուշագրության բանաձեւերից մեկի հետ։

Օստրոգրադսկին հատուկ աշխատանք է նվիրել բազմաթիվ ինտեգրալներում փոփոխականների փոփոխությանը։ Կրկնակի ինտեգրալի համար համապատասխան կանոնը ստացվել է Էյլերի ֆորմալ փոխակերպումների միջոցով, եռակի համար՝ Լագրանժի կողմից։ Այնուամենայնիվ, թեև Լագրանժի արդյունքը ճիշտ է, նրա հիմնավորումը ճշգրիտ չէր. նա կարծես ելնում էր նրանից, որ հին և նոր փոփոխականներում ծավալային տարրերը՝ կոորդինատները, հավասար են միմյանց։ Օստրոգրադսկին սկզբում նման սխալ թույլ տվեց փոփոխականների փոփոխության կանոնի հենց նշված ածանցման մեջ։ «Բազմաթիվ ինտեգրալներում փոփոխականների փոխակերպման մասին» հոդվածում Օստրոգրադսկին բացահայտեց Լագրանժի սխալը, ինչպես նաև առաջին անգամ ուրվագծեց փոփոխականները կրկնակի ինտեգրալում փոխակերպելու այդ պատկերավոր երկրաչափական մեթոդը, որը մի փոքր ավելի խիստ ձևաչափով նույնպես ներկայացված է. մեր ձեռնարկներում։ Մասնավորապես, ինտեգրալում փոփոխականները բանաձևերով փոխելիս ինտեգրման տարածքը երկու համակարգերի կոորդինատային գծերով բաժանվում է u=const, v=const անսահման փոքր կորագծային քառանկյունների։ Այնուհետև ինտեգրալը կարելի է ստանալ՝ նախ գումարելով նրա տարրերը, որոնք համապատասխանում են անսահման նեղ կորագիծ շերտին, այնուհետև շարունակելով տարրերը շերտերով ամփոփել, մինչև դրանք բոլորը սպառվեն: Պարզ հաշվարկը տալիս է այն տարածքի համար, որը մինչև փոքր ավելի բարձր կարգի կարելի է դիտարկել որպես զուգահեռագիծ, արտահայտությունը, որտեղ, ընտրված է այնպես, որ տարածքը դրական է: Արդյունքը հայտնի բանաձեւն է

Ռուսաստանի Դաշնության կրթության և գիտության նախարարություն

Դասընթացի աշխատանք

Ըստ կարգի՝ Բարձրագույն մաթեմատիկա

(Գծային ծրագրավորման հիմունքներ)

Թեմայի շուրջ՝ ԲԱԶՄԱԿԱՆ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ

Կատարվել է: ______________

Ուսուցիչ:___________

Ամսաթիվ _________________

Դասարան _________________

Ստորագրություն ________________

ՎՈՐՈՆԵԺ 2008թ

1 Բազմաթիվ ինտեգրալներ

1.1 Կրկնակի ինտեգրալ

1.2 Եռակի ինտեգրալ

1.3 Բազմաթիվ ինտեգրալներ կորագիծ կոորդինատներում

1.4 Բազմաթիվ ինտեգրալների երկրաչափական և ֆիզիկական կիրառություններ

2 կորագիծ և մակերեսային ինտեգրալներ

2.1 Կորագիծ ինտեգրալներ

2.2 Մակերեւութային ինտեգրալներ

2.3 Երկրաչափական և ֆիզիկական կիրառություններ

Մատենագիտություն

1 Բազմաթիվ ինտեգրալներ

1.1 Կրկնակի ինտեգրալ

Դիտարկենք փակ տարածք D Oxy հարթությունում, որը սահմանափակված է L տողով: Եկեք այս շրջանը բաժանենք n մասի որոշ ուղիղներով:

, և այդ մասերից յուրաքանչյուրի կետերի միջև համապատասխան ամենամեծ հեռավորությունները կնշանակվեն d 1, d 2, ..., d n: Յուրաքանչյուր մասում ընտրենք Р i կետ։

Թող D տիրույթում տրվի z = f(x, y) ֆունկցիա: Նշեք f(P 1), f(P 2),…, f(P n) այս ֆունկցիայի արժեքները ընտրված կետերում և կազմեք f(P i)ΔS i ձևի արտադրյալների գումարը.

, (1)

կոչվում է D տիրույթում f(x, y) ֆունկցիայի ինտեգրալ գումար:

Եթե ​​գոյություն ունի ինտեգրալ գումարների նույն սահմանը (1) համար

և , որը կախված չէ D տիրույթը մասերի բաժանելու եղանակից և դրանցում P i կետերի ընտրությունից, ապա այն կոչվում է f(x, y) ֆունկցիայի կրկնակի ինտեգրալ D տիրույթի վրա և նշվում է . (2)

Կրկնակի ինտեգրալի հաշվարկ D տարածքի վրա՝ սահմանափակված ուղիղներով

x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: = (3)

1.2 Եռակի ինտեգրալ

Եռակի ինտեգրալի հասկացությունը ներկայացվում է կրկնակի ինտեգրալի անալոգիայի միջոցով:

Թող տարածության մեջ տրվի փակ S մակերևույթով սահմանափակված V տիրույթ, այս փակ տիրույթում սահմանենք f(x, y, z) շարունակական ֆունկցիա։ Այնուհետև V շրջանը բաժանում ենք կամայական մասերի Δv i՝ հաշվի առնելով յուրաքանչյուր մասի ծավալը հավասար Δv i, և կազմում ենք ձևի ամբողջական գումարը։

, (4)

Սահմանափակել ժամը

ինտեգրալ գումարներ (11), որը կախված չէ V տիրույթի բաժանման մեթոդից և այս տիրույթի յուրաքանչյուր ենթատիրույթում P i կետերի ընտրությունից, կոչվում է f(x, y, z) ֆունկցիայի եռակի ինտեգրալ։ տիրույթ V: . (5)

F(x,y,z) ֆունկցիայի եռակի ինտեգրալը V տիրույթում հավասար է նույն տիրույթի եռակի ինտեգրալին.

. (6)

1.3 Բազմաթիվ ինտեգրալներ կորագիծ կոորդինատներում

Մենք հարթության վրա ներկայացնում ենք կորագիծ կոորդինատներ, որոնք կոչվում են բևեռային: Մենք ընտրում ենք O կետ (բևեռ) և նրանից դուրս եկող ճառագայթ (բևեռային առանցք):

Բրինձ. 2 Նկ. 3

M կետի կոորդինատները (նկ. 2) կլինեն MO հատվածի երկարությունը՝ բևեռային շառավիղը ρ և φ անկյունը MO-ի և բևեռային առանցքի միջև՝ М(ρ,φ): Նկատի ունեցեք, որ հարթության բոլոր կետերի համար, բացառությամբ բևեռի, ρ > 0 և φ բևեռային անկյունը կհամարվի դրական, երբ չափվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, իսկ բացասական, երբ չափվում է հակառակ ուղղությամբ:

M կետի բևեռային և դեկարտյան կոորդինատների միջև կապը կարող է սահմանվել, եթե դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնաղբյուրը հավասարեցված է բևեռին, իսկ դրական կիսաառանցքը՝ Ox-ը, բևեռային առանցքի հետ (նկ. 3): Ապա x=ρcosφ, y=ρsinφ . Այստեղից

, տգ.

Սահմանենք D տարածաշրջանում, որը սահմանափակված է ρ=Φ 1 (φ) և ρ=Φ 2 (φ) կորերով, որտեղ φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

(7)

Եռաչափ տարածության մեջ ներկայացվում են գլանաձև և գնդաձև կոորդինատներ:

P(ρ,φ,z) կետի գլանաձեւ կոորդինատներն են այս կետի Oxy հարթության վրա պրոյեկցիայի ρ, φ բևեռային կոորդինատները և այս z կետի կիրառումը (նկ. 5):

Նկ.5 Նկ.6

Գլանայինից դեկարտյան կոորդինատների փոխակերպման բանաձևերը կարող են սահմանվել հետևյալ կերպ.

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

Գնդային կոորդինատներում կետի դիրքը տարածության մեջ որոշվում է գծային կոորդինատով r - հեռավորությունը կետից մինչև դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնակետը (կամ գնդային համակարգի բևեռը), φ - բևեռային անկյունը դրականի միջև: Ox կիսաառանցքը և կետի պրոյեկցիան Oxy հարթության վրա, իսկ θ - անկյունը Oz առանցքի դրական կիսաառանցքի և ՕՊ հատվածի միջև (նկ. 6): Որտեղ

Սահմանենք գնդաձևից դեկարտյան կոորդինատների անցման բանաձևերը.

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Այնուհետև եռակի ինտեգրալում գլանաձև կամ գնդաձև կոորդինատներին անցնելու բանաձևերը կունենան հետևյալ տեսքը.

, (10)

որտեղ F 1 և F 2 գործառույթներն են, որոնք ստացվում են՝ փոխարինելով դրանց արտահայտությունները գլանային (8) կամ գնդաձև (9) կոորդինատներով f ֆունկցիայի մեջ x, y, z-ի փոխարեն:

1.4 Բազմաթիվ ինտեգրալների երկրաչափական և ֆիզիկական կիրառություններ

1) Հարթ շրջանի տարածք Ս.

(11)

Օրինակ 1

Գտե՛ք D նկարի գծերով սահմանափակված տարածքը

Հարմար է այս տարածքը հաշվարկել՝ y-ն որպես արտաքին փոփոխական հաշվելով։ Այնուհետև հավասարումներով տրվում են շրջանի սահմանները

Եվ
հաշվարկվում է՝ օգտագործելով ինտեգրումը ըստ մասերի.

Նախկինում մենք ապացուցեցինք որոշակի ինտեգրալի հատկությունները, օգտագործելով դրա սահմանումը որպես գումարների սահման: Բազմաթիվ ինտեգրալների հիմնական հատկությունները կարելի է ապացուցել ճիշտ նույն կերպ։ Պարզության համար մենք կենթադրենք, որ բոլոր գործառույթները շարունակական են, այնպես որ դրանց ինտեգրալներն անշուշտ իմաստ ունեն։

I. Ինտեգրալ նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործակիցը, իսկ ֆունկցիաների վերջավոր գումարի ինտեգրալը հավասար է տերմինների ինտեգրալների գումարին.

II. Եթե ​​տարածքը կազմալուծված է վերջավոր թվով մասերի [օրինակ՝ երկու մասի, ապա ամբողջ տարածքի ինտեգրալը հավասար է բոլոր մասերի ինտեգրալների գումարին.

III. Եթե ​​տարածքում, ապա

Մասնավորապես :

IV. Եթե ​​այն պահպանում է նշանը (ա) տարածաշրջանում, ապա գործում է միջին արժեքի թեորեմը, որն արտահայտվում է բանաձևով.

որտեղ ինչ-որ կետ ընկած է տարածաշրջանի ներսում (ա):

Մասնավորապես, երբ մենք ստանում ենք

որտեղ է գտնվում շրջանի տարածքը.

Նմանատիպ հատկություններ կան եռակի ինտեգրալի համար: Նկատի ունեցեք, որ կրկնակի և եռակի ինտեգրալը որպես գումարի սահման սահմանելիս միշտ ենթադրվում է, որ ինտեգրման շրջանը վերջավոր է, և ինտեգրանդը սահմանափակված է ցանկացած դեպքում, այսինքն՝ կա այնպիսի դրական թիվ A, որ բոլոր N կետերում: ինտեգրման տարածաշրջանի։ Եթե ​​այս պայմանները բավարարված չեն, ապա ինտեգրալը կարող է գոյություն ունենալ որպես ոչ պատշաճ ինտեգրալ, ինչպես պարզորոշ ինտեգրալի դեպքում: Մենք կզբաղվենք ոչ պատշաճ բազմակի ինտեգրալների հետ § 8-ում:

Ուշադրություն. Ինտեգրման միջակայքում եզակի կետերով ոչ պատշաճ ինտեգրալներ հաշվարկելիս դուք չեք կարող մեխանիկորեն կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, քանի որ դա կարող է հանգեցնել սխալների:

Ընդհանուր կանոն.Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը ճիշտ է, եթե հակաածանցյալն է f(x)վերջինիս եզակի կետում շարունակական է։

Օրինակ 2.11.

Դիտարկենք ոչ պատշաճ ինտեգրալ x = 0 եզակի կետով: Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, որը ձևականորեն կիրառվել է, տալիս է.

Այնուամենայնիվ, ընդհանուր կանոնն այստեղ չի գործում. f(x) = 1/x-ի համար հակաածանցյալը ln |x| սահմանված չէ x = 0-ում և անսահման մեծ է այս պահին, այսինքն. այս պահին շարունակական չէ։ Ուղղակի ստուգմամբ հեշտ է ստուգել, ​​որ ինտեգրալը տարբերվում է: Իսկապես,

Արդյունքում առաջացող անորոշությունը կարող է լուծվել տարբեր ձևերով, քանի որ e-ն և d-ը հակված են զրոյի անկախ: Մասնավորապես, եթե ենթադրենք e = d, մենք ստանում ենք ոչ պատշաճ ինտեգրալի հիմնական արժեքը, որը հավասար է 0-ի: Եթե e = 1/n և d =1/n 2, այսինքն. d-ը ձգտում է 0-ով ավելի արագ, քան e-ը, մենք ստանում ենք

ժամը և, հակառակը,

դրանք. ինտեգրալը տարբերվում է.ն

Օրինակ 2.12.

Դիտարկենք ոչ պատշաճ ինտեգրալ x = 0 եզակի կետով: Ֆունկցիայի հակաածանցյալն ունի ձև և շարունակական է x = 0 կետում: Հետևաբար, մենք կարող ենք կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Որոշակի Ռիմանի ինտեգրալի հայեցակարգի բնական ընդհանրացումը մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի դեպքում բազմակի ինտեգրալի հասկացությունն է: Երկու փոփոխականների դեպքում նման ինտեգրալները կոչվում են կրկնակի.

Դիտարկենք երկչափ Էվկլիդեսյան տարածության մեջ R'R, այսինքն. դեկարտյան կոորդինատային համակարգով հարթության վրա, բազմությունը Եվերջի տարածքը Ս.

Նշել ( ես = 1, …, կ) սահմանել բաժանումը Ե, այսինքն. իր ենթաբազմությունների նման համակարգը Ե i, i = 1,. . ., կոր Ø i ¹ j-ի համար և (նկ. 2.5): Այստեղ, որը նշվում է ենթաբազմությամբ Եես առանց իր սահմանի, այսինքն. E i ենթաբազմության ներքին կետերը, որոնք իր սահմանի հետ միասին Գր Եես կազմում եմ փակ ենթաբազմություն Եես, . Հասկանալի է, որ տարածքը Ս(Եթ) ենթաբազմություններ Եես համընկնում է նրա ներքին տարածքի հետ, քանի որ սահմանի տարածքը GREես զրո եմ։

Նշել d(E i)-ով սահմանված տրամագիծը E i, այսինքն. առավելագույն հեռավորությունը դրա երկու կետերի միջև: l(t) = d(E i) մեծությունը կոչվում է բաժանման նրբությունտ. Եթե ​​f(x),x = (x, y) ֆունկցիան E-ի վրա սահմանվում է որպես երկու արգումենտի ֆունկցիա, ապա ձևի ցանկացած գումար

X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i, y i),

կախված թե՛ f ֆունկցիայից, թե՛ t բաժանումից և թե՛ x i н E i м կետերի ընտրությունից t կոչվում է. f ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարը .

Եթե ​​f ֆունկցիայի համար գոյություն ունի , որը կախված չէ t բաժանումներից կամ կետերի ընտրությունից (i = 1, …, k), ապա այս սահմանը կոչվում է. Ռիմանի կրկնակի ինտեգրալ f(x,y)-ից և նշվում է

F ֆունկցիան ինքնին այս դեպքում կոչվում է Riemann ինտեգրելի.

Հիշեցնենք, որ մեկ արգումենտի ֆունկցիայի դեպքում որպես բազմություն Ե, որի վրա կատարվում է ինտեգրում, սովորաբար վերցվում է հատվածը , իսկ որպես նրա t բաժանում մենք համարում ենք հատվածներից բաղկացած բաժանումը։ Հակառակ դեպքում, ինչպես հեշտ է տեսնել, Ռիմանի կրկնակի ինտեգրալի սահմանումը կրկնում է որոշակի Ռիմանի ինտեգրալի սահմանումը մեկ արգումենտի ֆունկցիայի համար։

Երկու փոփոխականների սահմանափակված ֆունկցիաների Ռիմանի կրկնակի ինտեգրալն ունի որոշակի ինտեգրալի սովորական հատկություններ մեկ արգումենտի ֆունկցիաների համար. գծայինություն, հավելումայն խմբերի նկատմամբ, որոնց վրա կատարվում է ինտեգրումը, պահպանումինտեգրվելիս ոչ խիստ անհավասարություններ, արտադրանքի ամբողջականությունինտեգրվող գործառույթներ և այլն:

Ռիմանի բազմակի ինտեգրալների հաշվարկը կրճատվում է մինչև հաշվարկ կրկնվող ինտեգրալներ. Դիտարկենք կրկնակի Ռիմանի ինտեգրալի դեպքը: Թող գործառույթը f(x,y)սահմանվում է E բազմության վրա, որը գտնվում է X ´ Y, E Ì X ´ բազմությունների դեկարտյան արտադրյալում:

Կրկնվող ինտեգրալ f(x, y) ֆունկցիան կոչվում է ինտեգրալ, որում ինտեգրումը տարբեր փոփոխականների վրա կատարվում է հաջորդաբար, այսինքն. ձևի ինտեգրալը

E(y) = (x: О E) М X կոչվում է Բաժինտրված y-ին համապատասխան E բազմությունը, y н E y; E y բազմությունը կոչվում է - պրոյեկցիադրեք E-ը Y առանցքի վրա:

Կրկնվող ինտեգրալի համար օգտագործվում է նաև հետևյալ նշումը.

ինչը, ինչպես նախորդը, նշանակում է, որ նախ՝ ֆիքսված y, y О E y,ֆունկցիան ինտեգրված է f (x, y)Ըստ xհատվածի երկայնքով Ե(y), որը հավաքածուի մի հատված է Եսրան համապատասխան y.Արդյունքում, ներքին ինտեգրալը սահմանում է մեկ փոփոխականի որոշ ֆունկցիա y.Այս ֆունկցիան այնուհետև ինտեգրվում է որպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիա, ինչպես նշված է արտաքին ինտեգրալ խորհրդանիշով:

Ինտեգրման կարգի փոփոխությունը հանգեցնում է ձևի կրկնվող ինտեգրալի ձևավորմանը

որտեղ իրականացվում է ներքին ինտեգրումը y,և արտաքին - x.Ինչպե՞ս է այս կրկնվող ինտեգրալը համեմատվում վերևում սահմանված կրկնվող ինտեգրալի հետ:

Եթե ​​կա ֆունկցիայի կրկնակի ինտեգրալ զ, այսինքն.

ապա երկու կրկնվող ինտեգրալները նույնպես գոյություն ունեն, և դրանք արժեքով նույնն են և հավասար են կրկնակիին, այսինքն.

Մենք ընդգծում ենք, որ այս հայտարարության մեջ ձևակերպված պայմանը կրկնվող ինտեգրալներում ինտեգրման կարգը փոխելու հնարավորության համար միայն. բավարարբայց ոչ անհրաժեշտ:

Այլ բավարար պայմաններկրկնվող ինտեգրալներում ինտեգրման կարգը փոխելու հնարավորությունները ձևակերպված են հետևյալ կերպ.

եթե գոյություն ունի ինտեգրալներից գոնե մեկը

ապա ֆունկցիան f (x, y)Ռիմանը ինտեգրելի է նկարահանման հրապարակում Ե, նրա երկու կրկնվող ինտեգրալներն էլ գոյություն ունեն և հավասար են կրկնակի ինտեգրալին։ n

Մենք կոնկրետացնում ենք պրոյեկցիաների և հատվածների ներկայացումները կրկնվող ինտեգրալների նշումներում:

Եթե ​​E-ն ուղղանկյուն է

Դա E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d);որտեղ E(y) = E x ցանկացած y-ի համար, y н E y: ,Ա E(x) = E yցանկացած x-ի համար , x О E x ..

Պաշտոնական նշում. y y О E yÞ E(y) = E xÙ" x x О E xÞ E(x) = E y

Եթե ​​E բազմությունն ունի կորագիծ եզրագիծև թույլ է տալիս ներկայացուցչություններ

Այս դեպքում կրկնվող ինտեգրալները գրվում են հետևյալ կերպ.

Օրինակ 2.13.

Հաշվի՛ր ուղղանկյուն մակերեսի կրկնակի ինտեգրալը՝ այն հասցնելով կրկնվողի:

Քանի որ պայմանը sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, այնուհետև ստուգելով I կրկնակի ինտեգրալի գոյության բավարար պայմանների իրագործելիությունը կրկնվող ինտեգրալներից որևէ մեկի առկայության տեսքով

այստեղ անհրաժեշտ չէ հատուկ իրականացնել, և դուք կարող եք անմիջապես անցնել կրկնվող ինտեգրալի հաշվարկին

Եթե ​​այն գոյություն ունի, ապա գոյություն ունի նաև կրկնակի ինտեգրալը, և I = I 1: Քանի որ

Այսպիսով, ես = .n

Օրինակ 2.14.

Հաշվեք կրկնակի ինտեգրալը եռանկյունի շրջանի վրա (տես նկ. 2.6)՝ նվազեցնելով այն կրկնվողի

Gr(E) = ( x = 0, y = 0, x + y = 2):

Նախ, մենք ստուգում ենք I կրկնակի ինտեգրալի առկայությունը: Դա անելու համար բավական է ստուգել կրկնվող ինտեգրալի առկայությունը:

դրանք. Ինտեգրանդները շարունակական են ինտեգրման միջակայքում, քանի որ դրանք բոլորն էլ ուժային ֆունկցիաներ են: Հետևաբար, I 1 ինտեգրալը գոյություն ունի: Այս դեպքում կրկնակի ինտեգրալը նույնպես գոյություն ունի և հավասար է ցանկացած կրկնվողի, այսինքն.

Օրինակ 2.15.

Կրկնակի և կրկնվող ինտեգրալների հասկացությունների միջև կապը ավելի լավ հասկանալու համար դիտարկենք հետևյալ օրինակը, որը կարելի է բաց թողնել առաջին ընթերցմամբ: Տրված է երկու փոփոխականների ֆունկցիա՝ f(x, y)

Նկատի ունեցեք, որ այս ֆունկցիան y-ով կենտ է ֆիքսված x-ի համար, իսկ x-ով` հաստատուն y-ի համար: Որպես E բազմություն, որի վրա ինտեգրված է այս ֆունկցիան, մենք վերցնում ենք քառակուսին E = ( -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1):

Եկեք նախ դիտարկենք կրկնվող ինտեգրալը

Ներքին ինտեգրալ

վերցված է ֆիքսված y-ի համար, -1 £ y £ 1: Քանի որ ֆիքսված y-ի ինտեգրանդը կենտ է x-ում, և այս փոփոխականի վրա ինտեգրումն իրականացվում է [-1, 1] հատվածի վրա, որն առնչությամբ սիմետրիկ է: մինչև 0 կետը, ապա ներքին ինտեգրալը հավասար է 0-ի: Ակնհայտ է, որ զրոյական ֆունկցիայի y փոփոխականի վրայի արտաքին ինտեգրալը նույնպես հավասար է 0-ի, այսինքն.

Երկրորդ կրկնվող ինտեգրալի նմանատիպ հիմնավորումը հանգեցնում է նույն արդյունքի.

Այսպիսով, դիտարկվող f(x, y) ֆունկցիայի համար կրկնվող ինտեգրալները գոյություն ունեն և հավասար են միմյանց։ Սակայն f(x, y) ֆունկցիայի կրկնակի ինտեգրալը գոյություն չունի։ Սա ստուգելու համար անդրադառնանք կրկնվող ինտեգրալների հաշվարկի երկրաչափական իմաստին։

Կրկնվող ինտեգրալը հաշվարկելու համար

օգտագործվում է հատուկ ձևի E քառակուսի միջնորմ, ինչպես նաև ինտեգրալ գումարների հատուկ հաշվարկ։ Մասնավորապես, E քառակուսին բաժանված է հորիզոնական շերտերի (տե՛ս նկ. 2.7), և յուրաքանչյուր շերտ՝ փոքր ուղղանկյունների։ Յուրաքանչյուր տող համապատասխանում է y փոփոխականի որոշ արժեքի; օրինակ, դա կարող է լինել շերտի հորիզոնական առանցքի օրդինատը:

Ինտեգրալ գումարները հաշվարկվում են հետևյալ կերպ. նախ գումարները հաշվարկվում են յուրաքանչյուր խմբի համար առանձին, այսինքն. ֆիքսված y-ում տարբեր x-ի համար, այնուհետև այս ենթագումարները գումարվում են տարբեր տիրույթների համար, այսինքն. տարբեր y-ի համար. Եթե ​​բաժանման նուրբությունը ձգտում է զրոյի, ապա սահմանում մենք ստանում ենք վերը նշված կրկնվող ինտեգրալը:

Հասկանալի է, որ երկրորդ կրկնվող ինտեգրալի համար

E բազմությունը բաժանված է տարբեր x-ի համապատասխանող ուղղահայաց շերտերով։ Ենթագումարները հաշվարկվում են յուրաքանչյուր գոտու ներսում փոքր ուղղանկյուններով, այսինքն. y-ի վրա, այնուհետև դրանք գումարվում են տարբեր խմբերի համար, այսինքն. x. Սահմանում, երբ բաժանման նուրբությունը հակված է զրոյի, մենք ստանում ենք համապատասխան կրկնվող ինտեգրալը:

Ապացուցելու համար, որ կրկնակի ինտեգրալ գոյություն չունի, բավական է տալ բաժանման մեկ օրինակ, որի ինտեգրալ գումարների հաշվարկը սահմանում, բաժանման նուրբությամբ զրոյի հակումով, տալիս է արժեքից տարբերվող արդյունք։ կրկնվող ինտեգրալներից։ Բերենք բևեռային կոորդինատային համակարգին (r, j) համապատասխանող նման բաժանման օրինակ (տե՛ս նկ. 2.8):

Բևեռային կոորդինատային համակարգում M 0 (x 0, y 0) հարթության ցանկացած կետի դիրքը, որտեղ x 0, y 0 M 0 կետի դեկարտյան կոորդինատներն են, որոշվում է շառավիղի r 0 երկարությամբ: միացնելով այն սկզբնակետին և j 0 անկյան հետ, որը ձևավորվում է դրանով x-առանցքի դրական ուղղություն ունեցող շառավղով (անկյունը հաշվվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ): Դեկարտյան և բևեռային կոորդինատների միջև կապն ակնհայտ է.

y 0 = r 0 × sinj 0:

Միջնորմը կառուցված է հետևյալ կերպ. Նախ, E քառակուսին բաժանվում է հատվածների՝ կոորդինատների կենտրոնից բխող շառավիղներով, այնուհետև յուրաքանչյուր հատված բաժանվում է փոքր trapezoid-ների՝ հատվածի առանցքին ուղղահայաց գծերով։ Ինտեգրալ գումարների հաշվարկն իրականացվում է հետևյալ կերպ. նախ՝ յուրաքանչյուր հատվածի ներսում իր առանցքի երկայնքով փոքր տրապիզոիդների երկայնքով (r-ի երկայնքով), այնուհետև՝ բոլոր հատվածների վրա (j-ի երկայնքով): Յուրաքանչյուր հատվածի դիրքը բնութագրվում է իր j առանցքի անկյան տակ, իսկ r(j) առանցքի երկարությունը կախված է այս անկյունից.

եթե կամ, ապա;

Եթե, ապա ;

Եթե, ապա

Եթե, ապա .

Անցնելով բևեռային միջնորմի ինտեգրալ գումարների սահմանին, երբ բաժանման նուրբությունը հակված է զրոյի, մենք ստանում ենք կրկնակի ինտեգրալ բևեռային կոորդինատներում: Նման նշում կարելի է ստանալ նաև զուտ ձևական եղանակով՝ դեկարտյան կոորդինատները (x, y) փոխարինելով բևեռայիններով (r, j)։

Համաձայն ինտեգրալների դեկարտյանից բևեռային կոորդինատների անցման կանոնների՝ ըստ սահմանման պետք է գրել.

Բևեռային կոորդինատներում f(x, y) ֆունկցիան կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Վերջապես մենք ունենք

Ներքին ինտեգրալ (ոչ պատշաճ) վերջին բանաձեւում

որտեղ վերը նշված r(j) ֆունկցիան, 0 £ j £ 2p, հավասար է +¥-ի ցանկացած j-ի համար, քանի որ

Հետևաբար, j-ով գնահատված արտաքին ինտեգրալում ինտեգրալը սահմանված չէ որևէ j-ի համար: Բայց հետո արտաքին ինտեգրալն ինքնին սահմանված չէ, այսինքն. բնօրինակ կրկնակի ինտեգրալը սահմանված չէ:

Նկատենք, որ f(x, y) ֆունկցիան չի բավարարում E բազմության վրա կրկնակի ինտեգրալի գոյության բավարար պայմանը: Ցույց տանք, որ ինտեգրալը

գոյություն չունի. Իսկապես,

Նմանապես, նույն արդյունքը հաստատվում է ինտեգրալի համար

Կրկնակի ինտեգրալի հայեցակարգը

Կրկնակի ինտեգրալը (DI) մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալի (DI) ընդհանրացումն է երկու փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում։

Թող շարունակական ոչ բացասական $z=f\left(x,y\right)$ ֆունկցիան սահմանվի $D$ փակ տիրույթում, որը գտնվում է $xOy$ կոորդինատային հարթությունում։ $z=f\left(x,y\right)$ ֆունկցիան նկարագրում է որոշ մակերես, որը նախագծված է $D$ տարածաշրջանում: $D$ տարածաշրջանը սահմանափակված է $L$ փակ գծով, որի սահմանային կետերը նույնպես պատկանում են $D$ շրջանին: Մենք ենթադրում ենք, որ $L$ տողը ձևավորվում է վերջավոր թվով շարունակական կորերով, որոնք տրված են $y=\vartheta \left(x\right)$ կամ $x=\psi \left(y\right)$ ձևի հավասարումներով։ .

Եկեք բաժանենք $D$ տիրույթը $n$ կամայական բաժինների $\Delta S_(i) $ տարածքով: Սեգմենտներից յուրաքանչյուրում մենք ընտրում ենք մեկ կամայական կետ $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$: Այս կետերից յուրաքանչյուրում մենք հաշվարկում ենք տրված $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$ ֆունկցիայի արժեքը։ Դիտարկենք ծավալը $z=f\left(x,y\right)$ մակերեսի այն մասի տակ, որը նախագծված է $\Delta S_(i) $ հատվածում։ Երկրաչափորեն այս ծավալը մոտավորապես կարող է ներկայացվել որպես $\Delta S_(i) $ հիմքով և $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$-ով մխոցի ծավալ, այսինքն. հավասար է $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $-ի արտադրյալին: Այնուհետև $z=f\left(x,y\right)$ ամբողջ մակերեսի տակ գտնվող ծավալը $D$ տարածաշրջանում կարելի է մոտավորապես հաշվարկել որպես բոլոր գլանների ծավալների գումար $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Այս գումարը կոչվում է $f\left(x,y\right)$ ֆունկցիայի ինտեգրալ գումար $D$-ում։

Եկեք $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ $\Delta S_(i) $ հատվածի տրամագիծն անվանենք այս հատվածի ծայրահեղ կետերի միջև ամենամեծ հեռավորությունը։ Նշեք $\lambda $-ով $D$ տարածաշրջանի բոլոր հատվածների տրամագծերից ամենամեծը: Թող $\lambda \մինչև 0$-ը $D$-ի բաժանման անսահմանափակ $n\to \infty $ ճշգրտման պատճառով:

Սահմանում

Եթե ​​կա $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $ ինտեգրալ գումարի սահման, ապա այս թիվը կոչվում է $f\left(x,y\) ֆունկցիայի CI: աջ)$ $D $ տիրույթի վրա և նշանակում է $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ կամ $I=\iint \limits _(D)f\ ձախ (x,y\աջ) \cdot dx\cdot dy$:

$D$ տարածաշրջանը կոչվում է ինտեգրման շրջան, $x$ և $y$ ինտեգրման փոփոխականներն են, իսկ $dS=dx\cdot dy$ տարածքի տարրն է։

Սահմանումից բխում է CI-ի երկրաչափական նշանակությունը. այն տալիս է որոշ կորագիծ գլանների ծավալի ճշգրիտ արժեքը:

Կրկնակի ինտեգրալների կիրառում

մարմնի ծավալը

Համաձայն DI-ի երկրաչափական նշանակության՝ ինչ-որ մարմնի $V$ ծավալը, որը վերևից սահմանափակված է $z=f\left(x,y\right)\ge 0$ մակերեսով, իսկ ներքևից՝ $D$ շրջանով։ $xOy$ հարթությունը, գլանաձև մակերևույթի կողմերում, որի գեներատորները զուգահեռ են $Oz$ առանցքին, և որի ուղղորդող գիծը $D$-ի ուրվագիծն է (տող $L$), հաշվարկվում է $V բանաձևով։ =\iint \սահմանները _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $:

Թող մարմինը կապի $z=f_(2) \left(x,y\right)$ մակերեսը վերևից, իսկ $z=f_(1) \left(x,y\right)$ մակերեսը ներքևից, և $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\աջ)$: Երկու մակերևույթների պրոյեկցիան $xOy$ հարթության վրա նույն $D$ տիրույթն է: Այնուհետև նման մարմնի ծավալը հաշվարկվում է $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y) բանաձևով \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.

Ենթադրենք, որ $D$ տիրույթում $f\left(x,y\right)$ ֆունկցիան փոխում է նշանը։ Այնուհետև համապատասխան մարմնի ծավալը հաշվարկելու համար $D$ շրջանը պետք է բաժանվի երկու մասի՝ $D_(1) $ մաս, որտեղ $f\left(x,y\right)\ge 0$, և $D_(2) $ մասը, որտեղ $f\left(x,y\right)\le 0$: Այս դեպքում $D_(1) $ տարածաշրջանի ինտեգրալը դրական կլինի և հավասար է մարմնի այն մասի ծավալին, որը գտնվում է $xOy$ հարթությունից վերևում։ $D_(2)$-ի ինտեգրալը բացասական կլինի և բացարձակ արժեքով հավասար կլինի մարմնի այն մասի ծավալին, որը գտնվում է $xOy$ հարթությունից ցածր:

Հարթ գործչի տարածք

Եթե ​​$f\left(x,y\right)\equiv 1$ դնենք $D$ տիրույթում ամենուր $xOy$ կոորդինատային հարթության վրա, ապա DI-ն թվայինորեն հավասար է $D ինտեգրացիոն տիրույթի մակերեսին։ $, այսինքն $S=\iint \սահմանները _(D)dx\cdot dy $: Բևեռային կոորդինատային համակարգում նույն բանաձևը դառնում է $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $:

Ազատ մակերես

Թող $z=f_(1) \left(x,y\right)$ որոշ $Q$ մակերևույթ նախագծվի $xOy$ կոորդինատային հարթության վրա $D_(1) $ տարածաշրջանում: Այս դեպքում $Q$ մակերեսը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) բանաձևը: \աջ)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.

Նյութի քանակությունը

Ենթադրենք, որ $\rho \left(x,y\right)$ մակերեսային խտությամբ որոշ նյութ բաշխված է $D$ տիրույթում՝ $xOy$ հարթության վրա։ Սա նշանակում է, որ մակերևույթի $\rho \left(x,y\right)$ մակերևույթի խտությունը նյութի զանգվածն է $dx\cdot dy$-ի մեկ միավորի մակերեսի վրա։ Այս պայմաններում նյութի ընդհանուր զանգվածը կարող է հաշվարկվել՝ օգտագործելով $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $ բանաձևը։

Նշենք, որ «նյութը» կարող է լինել էլեկտրական լիցք, ջերմություն և այլն։

Հարթ գործչի զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները

Հարթ գործչի զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները հաշվարկելու բանաձևերն են՝ $$$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x,y\right) \cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \սահմանները _(D)y\cdot \rho \left(x,y\աջ)\cdot dx\cdot dy) (M) $.

Համարիչների արժեքները կոչվում են $M_(y)$ և $M_(x)$ հարթության $D$ առանցքների ստատիկ պահերը, համապատասխանաբար, $Oy$ և $Ox$:

Եթե ​​հարթ գործիչը միատարր է, այսինքն՝ $\rho =const$, ապա այս բանաձևերը պարզեցված են և արտահայտվում են ոչ թե զանգվածով, այլ հարթ գործչի մակերեսով $S$: $x_(c) =\frac(\iint \սահմանները _(D)x\cdot dx\cdot dy)(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \սահմանները _(D)y\cdot dx\cdot dy) (S) $.

Հարթ գործչի տարածքի իներցիայի պահերը

Դիտարկենք նյութական հարթության պատկերը $xOy$ հարթության վրա: Ներկայացնենք այն որպես որոշակի $D$ տարածք, որի վրա բաշխված է $M$ ընդհանուր զանգվածով նյութ՝ $\rho \left(x,y\right)$ փոփոխական մակերեսի խտությամբ։

Հարթ գործչի տարածքի իներցիայի պահի արժեքը $Oy$ առանցքի նկատմամբ՝ $I_(y) \; =\; \iint \սահմանները _(D)x^(2) \cdot \; \rho(x,\;y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. $Ox$ առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահի արժեքը $I_(x) \; =\; \iint \սահմանները _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot \; dx \; \cdot dy $. Հարթ գործչի իներցիայի պահը սկզբնաղբյուրի նկատմամբ հավասար է կոորդինատային առանցքների իներցիայի մոմենտների գումարին, այսինքն՝ $I_(O) =I_(x) +I_(y) $։

Եռակի ինտեգրալները ներդրվում են երեք փոփոխականների ֆունկցիաների համար։

Ենթադրենք, որ տրված է $V$ եռաչափ տարածության ինչ-որ շրջան՝ սահմանափակված $S$ փակ մակերեսով։ Մենք ենթադրում ենք, որ մակերեսի վրա ընկած կետերը նույնպես պատկանում են $V$ տարածաշրջանին։ Ենթադրենք, որ $f\left(x,y,z\right)$ ինչ-որ շարունակական ֆունկցիա տրված է $V$-ում: Օրինակ՝ $f\left(x,y,z\right)\ge 0$ պայմանով նման ֆունկցիա կարող է լինել որոշ նյութի ծավալային բաշխման խտությունը, ջերմաստիճանի բաշխումը և այլն։

Եկեք $V$ տիրույթը բաժանենք $n$ կամայական մասերի, որոնց ծավալներն են $\Delta V_(i) $։ Մասերից յուրաքանչյուրում ընտրում ենք մեկ կամայական կետ $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$։ Այս կետերից յուրաքանչյուրում մենք հաշվարկում ենք տրված $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$ ֆունկցիայի արժեքը։

Մենք կազմում ենք $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot ինտեգրալ գումարը Delta V_ (i) $ և ճշգրտեք $\left(n\to \infty \right)$ $V$-ի ենթաբաժանումը անորոշ ժամանակով, որպեսզի $\lambda $ բոլոր մասերի ամենամեծ տրամագիծը $\Delta V_(i) $ անորոշ ժամանակով նվազի $ \ձախ (\lambda \դեպի 0\աջ)$:

Սահմանում

Վերոնշյալ պայմաններում գոյություն ունի այս ինտեգրալ գումարի $I$ սահմանը, որը կոչվում է $f\left(x,y,z\right)$ ֆունկցիայի եռակի ինտեգրալ $V$ տիրույթում և նշվում է $I-ով։ \; =\; \iiiint \սահմանները _(V)f\left(x,y,z\աջ)\; \cdot dV$ կամ $I\; =\; \iiiint \սահմանները _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz $.