Υπολογισμός διπλών ολοκληρωμάτων: θεωρία και παραδείγματα. Πολλαπλά ολοκληρώματα Πολλαπλά ολοκληρώματα

Ας σταθούμε λεπτομερέστερα στο έργο του Ostrogradskii για πολλαπλά ολοκληρώματα.

Ο τύπος του Ostrogradsky για τη μετατροπή ενός τριπλού ολοκληρώματος σε διπλό ολοκλήρωμα, τον οποίο συνήθως γράφουμε με τη μορφή

όπου div A είναι η απόκλιση του πεδίου του διανύσματος Α,

Το An είναι το βαθμωτό γινόμενο του διανύσματος Α και το μοναδιαίο διάνυσμα του εξωτερικού κανονικού n της οριακής επιφάνειας, στη μαθηματική βιβλιογραφία συχνά συσχετίστηκε νωρίτερα με τα ονόματα Gauss και Green.

Στην πραγματικότητα, στο έργο του Gauss για την έλξη των σφαιροειδών, μπορεί κανείς να δει μόνο πολύ συγκεκριμένες περιπτώσεις του τύπου (1), για παράδειγμα, σε P=x, Q=R=0, κ.λπ. Όσο για τον J. Green, στο την εργασία του για τη θεωρία του ηλεκτρισμού και δεν υπάρχει καθόλου μαγνητισμός του τύπου (1). αντλεί μια άλλη σχέση μεταξύ τριπλών και διπλών ολοκληρωμάτων, δηλαδή τον τύπο του Green για τον τελεστή Laplace, ο οποίος μπορεί να γραφτεί ως

Φυσικά, ο τύπος (1) μπορεί επίσης να προέλθει από το (2), υποθέτοντας

και ο τύπος (2) μπορεί να ληφθεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο από τον τύπο (1), αλλά ο Green δεν σκέφτηκε καν να το κάνει αυτό.

όπου στα αριστερά είναι το ολοκλήρωμα πάνω από τον όγκο, και στα δεξιά είναι το ολοκλήρωμα πάνω από την οριακή επιφάνεια, και αυτά είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης της εξωτερικής κανονικής.

Τα παριζιάνικα χειρόγραφα του Ostrogradsky μαρτυρούν, με απόλυτη βεβαιότητα, ότι τόσο η ανακάλυψη όσο και η πρώτη επικοινωνία του ολοκληρωτικού θεωρήματος (1) ανήκουν σε αυτόν. Για πρώτη φορά δηλώθηκε και αποδείχθηκε, ακριβώς όπως γίνεται τώρα στην «Απόδειξη ενός Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού», που παρουσιάστηκε στην Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού στις 13 Φεβρουαρίου 1826, μετά την οποία διατυπώθηκε ξανά σε αυτό το μέρος του "Memoir on the Propagation of Heat in Solids", το οποίο παρουσίασε ο Ostrogradsky στις 6 Αυγούστου 1827. Τα "απομνημονεύματα" δόθηκε στους Fourier και Poisson για αναθεώρηση, και οι τελευταίοι, φυσικά, το διάβασαν, ως λήμμα στις πρώτες σελίδες και των δύο μερών του χειρογράφου μαρτυρεί. Φυσικά, ο Πουασόν δεν σκέφτηκε καν να λάβει τα εύσημα για το θεώρημα, το οποίο συνάντησε στο έργο του Ostrogradskii δύο χρόνια πριν παρουσιάσει το έργο του για τη θεωρία της ελαστικότητας.

Όσον αφορά τη σχέση μεταξύ έργων σε πολλαπλά ολοκληρώματα των Ostrogradsky και Green, υπενθυμίζουμε ότι στο "Note on the Theory of Heat" προκύπτει ένας τύπος που αγκαλιάζει τον τύπο του ίδιου του Green ως μια πολύ ειδική περίπτωση. Ο άγνωστος πλέον συμβολισμός του Cauchy, που χρησιμοποιούσε ο Ostrogradsky στο Σημείωμα, έκρυβε μέχρι πρόσφατα αυτή τη σημαντική ανακάλυψη από τους ερευνητές. Φυσικά, η τιμή της ανακάλυψης και της πρώτης δημοσίευσης το 1828 της φόρμουλας για τους χειριστές Laplace που φέρουν το όνομά του παραμένει στον Green.

Η ανακάλυψη του τύπου για τον μετασχηματισμό ενός τριπλού ολοκληρώματος σε ένα διπλό ολοκλήρωμα βοήθησε τον Ostrogradsky να λύσει το πρόβλημα της μεταβολής του ολοκληρώματος n-πτυχών, δηλαδή, να εξαγάγει τον γενικό τύπο για τον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος από μια έκφραση του τύπου απόκλισης σε ένα n-διάστατο τομέα και το ολοκλήρωμα πάνω από την υπερεπιφάνεια S που την οριοθετεί με την εξίσωση L(x, y, z,…)=0. Αν παραμείνουμε στην προηγούμενη σημειογραφία, τότε ο τύπος έχει τη μορφή

Ωστόσο, ο Ostrogradsky δεν χρησιμοποίησε τις γεωμετρικές εικόνες και τους όρους που χρησιμοποιούμε: η γεωμετρία των πολυδιάστατων χώρων δεν υπήρχε ακόμη εκείνη την εποχή.

Στα Απομνημονεύματα για τον Λογισμό των Παραλλαγών των Πολλαπλών Ολοκληρωμάτων εξετάζονται δύο ακόμη σημαντικά ερωτήματα στη θεωρία τέτοιων ολοκληρωμάτων. Πρώτον, ο Ostrogradsky εξάγει έναν τύπο για μια αλλαγή μεταβλητών σε ένα πολυδιάστατο ολοκλήρωμα. Δεύτερον, για πρώτη φορά δίνει μια πλήρη και ακριβή περιγραφή της τεχνικής για τον υπολογισμό του n-fold ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας n διαδοχικές ενοποιήσεις σε κάθε μία από τις μεταβλητές εντός των κατάλληλων ορίων. Τέλος, από τους τύπους που περιέχονται σε αυτό το υπόμνημα, είναι εύκολο να εξαχθεί ένας γενικός κανόνας διαφοροποίησης σε σχέση με την παράμετρο ενός πολυδιάστατου ολοκληρώματος, όταν όχι μόνο το ολοκλήρωμα, αλλά και το όριο του τομέα ολοκλήρωσης εξαρτάται από αυτήν την παράμετρο. Ο εν λόγω κανόνας απορρέει από τους τύπους που υπάρχουν στα απομνημονεύματα με τέτοιο φυσικό τρόπο που οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί τον ταύτισαν ακόμη και με έναν από τους τύπους αυτού του απομνημονεύματος.

Ο Ostrogradskii αφιέρωσε μια ειδική εργασία στην αλλαγή των μεταβλητών σε πολλαπλά ολοκληρώματα. Για το διπλό ολοκλήρωμα, ο αντίστοιχος κανόνας προέκυψε χρησιμοποιώντας τυπικούς μετασχηματισμούς από τον Euler, για το τριπλό - από τον Lagrange. Ωστόσο, αν και το αποτέλεσμα του Lagrange είναι σωστό, ο συλλογισμός του δεν ήταν ακριβής: φαινόταν να προχωρά από το γεγονός ότι τα στοιχεία όγκου στις παλιές και νέες μεταβλητές - συντεταγμένες - είναι ίσα μεταξύ τους. Ο Ostrogradsky έκανε ένα παρόμοιο λάθος στην αρχή στην προαναφερθείσα παραγωγή του κανόνα για την αλλαγή των μεταβλητών. Στο άρθρο «Σχετικά με τον μετασχηματισμό των μεταβλητών σε πολλαπλά ολοκληρώματα», ο Ostrogradsky αποκάλυψε το σφάλμα του Lagrange και επίσης για πρώτη φορά περιέγραψε αυτή την ενδεικτική γεωμετρική μέθοδο για τον μετασχηματισμό μεταβλητών σε ένα διπλό ολοκλήρωμα, η οποία, σε μια κάπως πιο αυστηρή μορφή, παρουσιάζεται επίσης στα εγχειρίδια μας. Δηλαδή, όταν αλλάζουμε μεταβλητές στο ολοκλήρωμα με τύπους, η περιοχή ολοκλήρωσης διαιρείται από τις γραμμές συντεταγμένων των δύο συστημάτων u=const, v=const σε άπειρα μικρά καμπυλόγραμμα τετράγωνα. Στη συνέχεια, το ολοκλήρωμα μπορεί να ληφθεί αθροίζοντας πρώτα εκείνα από τα στοιχεία του που αντιστοιχούν σε μια απείρως στενή καμπυλόγραμμη λωρίδα και στη συνέχεια συνεχίζοντας να αθροίζουμε τα στοιχεία σε λωρίδες μέχρι να εξαντληθούν όλα. Ένας απλός υπολογισμός δίνει για το εμβαδόν, το οποίο, μέχρι μικρής ανώτερης τάξης, μπορεί να θεωρηθεί ως παραλληλόγραμμο, η έκφραση όπου, επιλέγεται έτσι ώστε το εμβαδόν να είναι θετικό. Το αποτέλεσμα είναι η γνωστή φόρμουλα

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας

Εργασία μαθήματος

Κατά κλάδο: Ανώτερα μαθηματικά

(Βασικές αρχές Γραμμικού Προγραμματισμού)

Με θέμα: ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Γίνεται από: ______________

Δάσκαλος:___________

Ημερομηνία ___________________

Βαθμός _________________

Υπογραφή ________________

VORONEZ 2008

1 Πολλαπλά ολοκληρώματα

1.1 Διπλό ολοκλήρωμα

1.2 Τριπλό ολοκλήρωμα

1.3 Πολλαπλά ολοκληρώματα σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες

1.4 Γεωμετρικές και φυσικές εφαρμογές πολλαπλών ολοκληρωμάτων

2 Καμπυλόγραμμα και επιφανειακά ολοκληρώματα

2.1 Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα

2.2 Ολοκληρώματα επιφάνειας

2.3 Γεωμετρικές και φυσικές εφαρμογές

Βιβλιογραφία

1 Πολλαπλά ολοκληρώματα

1.1 Διπλό ολοκλήρωμα

Ας θεωρήσουμε μια κλειστή περιοχή D στο επίπεδο Oxy που οριοθετείται από την ευθεία L. Ας διαιρέσουμε αυτήν την περιοχή σε n μέρη με μερικές ευθείες

, και οι αντίστοιχες μεγαλύτερες αποστάσεις μεταξύ σημείων σε καθένα από αυτά τα μέρη θα συμβολίζονται με d 1 , d 2 , ..., d n . Ας επιλέξουμε ένα σημείο Р i σε κάθε μέρος.

Έστω μια συνάρτηση z = f(x, y) στο πεδίο ορισμού D. Σημειώστε με f(P 1), f(P 2),…, f(P n) τις τιμές αυτής της συνάρτησης στα επιλεγμένα σημεία και συνθέστε το άθροισμα των γινομένων της μορφής f(P i)ΔS i:

, (1)

ονομάζεται το ολοκληρωτικό άθροισμα για τη συνάρτηση f(x, y) στον τομέα D.

Αν υπάρχει το ίδιο όριο ολοκληρωτικών ποσών (1) για

και , που δεν εξαρτάται από τη μέθοδο διαίρεσης του πεδίου ορισμού D σε μέρη, ούτε από την επιλογή των σημείων P i σε αυτά, τότε ονομάζεται διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) πάνω από το πεδίο ορισμού D και είναι συμβολίζεται . (2)

Υπολογισμός του διπλού ολοκληρώματος στην περιοχή D, που οριοθετείται από ευθείες

x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: = (3)

1.2 Τριπλό ολοκλήρωμα

Η έννοια του τριπλού ολοκληρώματος εισάγεται κατ' αναλογία με ένα διπλό ολοκλήρωμα.

Ας δοθεί στο διάστημα κάποιο πεδίο ορισμού V που οριοθετείται από μια κλειστή επιφάνεια S. Ας ορίσουμε μια συνεχή συνάρτηση f(x, y, z) σε αυτό το κλειστό πεδίο. Στη συνέχεια διαιρούμε την περιοχή V σε αυθαίρετα μέρη Δv i , θεωρώντας τον όγκο κάθε μέρους ίσο με Δv i , και συνθέτουμε ένα αναπόσπαστο άθροισμα της μορφής

, (4)

Όριο στο

ολοκληρωτικά αθροίσματα (11), τα οποία δεν εξαρτώνται από τη μέθοδο κατάτμησης του τομέα V και την επιλογή των σημείων P i σε κάθε υποτομέα αυτού του τομέα, ονομάζεται τριπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y, z) πάνω από το τομέας V: . (5)

Το τριπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x,y,z) στον τομέα V είναι ίσο με το τριπλό ολοκλήρωμα στον ίδιο τομέα:

. (6)

1.3 Πολλαπλά ολοκληρώματα σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες

Εισάγουμε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες στο επίπεδο, οι οποίες ονομάζονται πολικές. Επιλέγουμε ένα σημείο Ο (πόλος) και μια ακτίνα που αναδύεται από αυτό (πολικός άξονας).

Ρύζι. 2 Εικ. 3

Οι συντεταγμένες του σημείου Μ (Εικ. 2) θα είναι το μήκος του τμήματος ΜΟ - η πολική ακτίνα ρ και η γωνία φ μεταξύ του ΜΟ και του πολικού άξονα: Μ(ρ,φ). Σημειώστε ότι για όλα τα σημεία του επιπέδου, εκτός από τον πόλο, το ρ > 0 και η πολική γωνία φ θα θεωρούνται θετικά όταν μετρώνται προς την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού και αρνητική όταν μετρούνται στην αντίθετη κατεύθυνση.

Η σχέση μεταξύ των πολικών και καρτεσιανών συντεταγμένων του σημείου M μπορεί να οριστεί εάν η αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων είναι ευθυγραμμισμένη με τον πόλο και ο θετικός ημιάξονας Ox ευθυγραμμίζεται με τον πολικό άξονα (Εικ. 3). Τότε x=ρcosφ, y=ρsinφ . Από εδώ

, tg.

Ας θέσουμε στην περιοχή D που οριοθετείται από τις καμπύλες ρ=Φ 1 (φ) και ρ=Φ 2 (φ), όπου φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

(7)

Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες εισάγονται στον τρισδιάστατο χώρο.

Οι κυλινδρικές συντεταγμένες του σημείου P(ρ,φ,z) είναι οι πολικές συντεταγμένες ρ, φ της προβολής αυτού του σημείου στο επίπεδο Oxy και η εφαρμογή αυτού του σημείου z (Εικ. 5).

Εικ.5 Εικ.6

Οι τύποι μετατροπής από κυλινδρικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες μπορούν να καθοριστούν ως εξής:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

Στις σφαιρικές συντεταγμένες, η θέση ενός σημείου στο χώρο καθορίζεται από τη γραμμική συντεταγμένη r - την απόσταση από το σημείο στην αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων (ή τον πόλο του σφαιρικού συστήματος), φ - την πολική γωνία μεταξύ του θετικού Ο ημιάξονας Ox και η προβολή του σημείου στο επίπεδο Oxy, και θ - η γωνία μεταξύ του θετικού ημιάξονα του άξονα Oz και του τμήματος OP (Εικ. 6). Εν

Ας ορίσουμε τους τύπους για τη μετάβαση από τις σφαιρικές στις καρτεσιανές συντεταγμένες:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Τότε οι τύποι για τη μετάβαση σε κυλινδρικές ή σφαιρικές συντεταγμένες στο τριπλό ολοκλήρωμα θα μοιάζουν με αυτό:

, (10)

όπου F 1 και F 2 είναι οι συναρτήσεις που λαμβάνονται αντικαθιστώντας τις εκφράσεις τους ως προς τις κυλινδρικές (8) ή τις σφαιρικές (9) συντεταγμένες στη συνάρτηση f αντί για x, y, z.

1.4 Γεωμετρικές και φυσικές εφαρμογές πολλαπλών ολοκληρωμάτων

1) Επίπεδη περιοχή S:

(11)

Παράδειγμα 1

Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος D που οριοθετείται από γραμμές

Είναι βολικό να υπολογιστεί αυτή η περιοχή μετρώντας το y ως εξωτερική μεταβλητή. Στη συνέχεια δίνονται τα όρια της περιοχής από τις εξισώσεις

Και
υπολογίζεται χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση ανά μέρη:

Προηγουμένως, αποδείξαμε τις ιδιότητες ενός ορισμένου ολοκληρώματος, χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ως το όριο των αθροισμάτων. Οι βασικές ιδιότητες πολλαπλών ολοκληρωμάτων μπορούν να αποδειχθούν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Για απλότητα, θα υποθέσουμε ότι όλες οι συναρτήσεις είναι συνεχείς, έτσι ώστε τα ολοκληρώματά τους σίγουρα να έχουν νόημα.

I. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκληρωτικό πρόσημο και το ολοκλήρωμα του πεπερασμένου αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των όρων:

II. Εάν η περιοχή αποσυντίθεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό μερών [για παράδειγμα, σε δύο μέρη, τότε το ολοκλήρωμα σε ολόκληρη την περιοχή είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων σε όλα τα μέρη:

III. Αν στην περιοχή, τότε

Συγκεκριμένα :

IV. Εάν διατηρείται στην περιοχή (α), τότε ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής, το οποίο εκφράζεται με τον τύπο

πού βρίσκεται κάποιο σημείο εντός της περιοχής (α).

Ειδικότερα, όταν παίρνουμε

που είναι η περιοχή της περιοχής.

Παρόμοιες ιδιότητες ισχύουν για το τριπλό ολοκλήρωμα. Σημειώστε ότι όταν ορίζουμε το διπλό και το τριπλό ολοκλήρωμα ως όριο του αθροίσματος, θεωρείται πάντα ότι η περιοχή ολοκλήρωσης είναι πεπερασμένη και το ολοκλήρωμα είναι δεσμευμένο σε κάθε περίπτωση, δηλαδή υπάρχει ένας τόσο θετικός αριθμός Α που σε όλα τα σημεία Ν της περιφέρειας ένταξης. Εάν δεν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, τότε το ολοκλήρωμα μπορεί να υπάρχει ως ακατάλληλο ολοκλήρωμα με παρόμοιο τρόπο με την περίπτωση για το απλό οριστικό ολοκλήρωμα. Θα ασχοληθούμε με ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα στην § 8.

Προσοχή Όταν υπολογίζετε ακατάλληλα ολοκληρώματα με μοναδικά σημεία εντός του διαστήματος ολοκλήρωσης, δεν μπορείτε να εφαρμόσετε μηχανικά τον τύπο Newton-Leibniz, καθώς αυτό μπορεί να οδηγήσει σε σφάλματα.

Γενικός κανόνας:ο τύπος Newton–Leibniz είναι σωστός αν το αντιπαράγωγο του f(x)στο ενικό σημείο του τελευταίου είναι συνεχής.

Παράδειγμα 2.11.

Θεωρήστε ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα με ενικό σημείο x = 0. Ο τύπος Newton–Leibniz, που εφαρμόζεται τυπικά, δίνει

Ωστόσο, ο γενικός κανόνας δεν ισχύει εδώ. για f(x) = 1/x το αντιπαράγωγο ln |x| δεν ορίζεται στο x = 0 και είναι απείρως μεγάλο σε αυτό το σημείο, δηλ. δεν είναι συνεχής σε αυτό το σημείο. Είναι εύκολο να επαληθευτεί με άμεση επαλήθευση ότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει. Πραγματικά,

Η προκύπτουσα αβεβαιότητα μπορεί να αντιμετωπιστεί με διαφορετικούς τρόπους καθώς το e και το d τείνουν να μηδενίζονται ανεξάρτητα. Συγκεκριμένα, υποθέτοντας e = d, λαμβάνουμε την κύρια τιμή του ακατάλληλου ολοκληρώματος ίση με 0. Αν e = 1/n και d =1/n 2 , δηλ. Το d τείνει στο 0 πιο γρήγορα από το e, παίρνουμε

σε και, αντίστροφα,

εκείνοι. το ολοκλήρωμα αποκλίνει.ν

Παράδειγμα 2.12.

Θεωρήστε ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα με ενικό σημείο x = 0. Η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης έχει τη μορφή και είναι συνεχής στο σημείο x = 0. Επομένως, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο Newton-Leibniz:

Μια φυσική γενίκευση της έννοιας ενός ορισμένου ολοκληρώματος Riemann στην περίπτωση μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η έννοια ενός πολλαπλού ολοκληρώματος. Για την περίπτωση δύο μεταβλητών, τέτοια ολοκληρώματα ονομάζονται διπλό.

Εξετάστε το σε δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο R'R, δηλ. σε ένα επίπεδο με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, το σύνολο μιτελική περιοχή μικρό.

Σημειώστε με ( Εγώ = 1, …, κ) ορίστε το διαμέρισμα μι, δηλ. ένα τέτοιο σύστημα των υποσυνόλων του μι i , i = 1,. . ., κότι Ø για i 1 j και (Εικ. 2.5). Εδώ, υποδηλώνεται με ένα υποσύνολο μι i χωρίς το όριο του, δηλ. εσωτερικά σημεία του υποσυνόλου E i , που μαζί με το όριό του Γρ Εσχηματίζω ένα κλειστό υποσύνολο μιΕγώ, . Είναι σαφές ότι η περιοχή μικρό(μι i) υποσύνολα μισυμπίπτει με το εμβαδόν του εσωτερικού του, αφού το εμβαδόν του ορίου GREείμαι μηδέν.

Συμβολίστε με d(E i) καθορισμένη διάμετροςΕ ι , δηλ. τη μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων του. Λέγεται η ποσότητα l(t) = d(E i). λεπτότητα της διαίρεσης t. Εάν μια συνάρτηση f(x),x = (x, y), ορίζεται στο E ως συνάρτηση δύο ορισμάτων, τότε οποιοδήποτε άθροισμα της μορφής

X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),

ανάλογα και με τη συνάρτηση f και το διαμέρισμα t και από την επιλογή των σημείων x i н E i м t ονομάζεται ακέραιο άθροισμα της συνάρτησης f .

Αν για μια συνάρτηση f υπάρχει , η οποία δεν εξαρτάται από τις κατατμήσεις t ή από την επιλογή σημείων (i = 1, …, k), τότε αυτό το όριο καλείται Διπλό ολοκλήρωμα Riemannαπό f(x,y) και συμβολίζεται

Η ίδια η συνάρτηση f καλείται σε αυτή την περίπτωση Riemann ενσωματώσιμο.

Θυμηθείτε ότι στην περίπτωση μιας συνάρτησης ενός ορίσματος ως συνόλου μι, στο οποίο πραγματοποιείται η ενοποίηση, συνήθως λαμβάνεται το τμήμα , και ως κατάτμηση t θεωρούμε ένα διαμέρισμα που αποτελείται από τμήματα. Διαφορετικά, όπως είναι εύκολο να δούμε, ο ορισμός του διπλού ολοκληρώματος Riemann επαναλαμβάνει τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος Riemann για μια συνάρτηση ενός ορίσματος.

Το διπλό ολοκλήρωμα Riemann οριοθετημένων συναρτήσεων δύο μεταβλητών έχει τις συνήθεις ιδιότητες ενός ορισμένου ολοκληρώματος για συναρτήσεις ενός ορίσματος − γραμμικότητα, προσθετικότηταόσον αφορά τα σύνολα στα οποία πραγματοποιείται η ενοποίηση, διατήρησηκατά την ενσωμάτωση μη αυστηρές ανισότητες, ενσωμάτωση προϊόντοςενσωματωμένες λειτουργίες κ.λπ.

Ο υπολογισμός πολλαπλών ολοκληρωμάτων Riemann μειώνεται στον υπολογισμό επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα. Εξετάστε την περίπτωση του διπλού ολοκληρώματος Riemann. Αφήστε τη λειτουργία f(x,y)ορίζεται στο σύνολο E που βρίσκεται στο καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων X ´ Y, E Ì X ´ Y.

Επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωματης συνάρτησης f(x, y) ονομάζεται ολοκλήρωμα στο οποίο η ολοκλήρωση σε διαφορετικές μεταβλητές εκτελείται διαδοχικά, δηλ. αναπόσπαστο της φόρμας

Το σύνολο E(y) = (x: О Ε) Μ X λέγεται Ενότητατο σύνολο E που αντιστοιχεί στο δεδομένο y, y н E y ; το σύνολο E y ονομάζεται - προβολήορίστε το Ε στον άξονα Υ.

Για το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα, χρησιμοποιείται επίσης ο ακόλουθος συμβολισμός:

που, όπως και το προηγούμενο, σημαίνει ότι πρώτα, για ένα σταθερό y, y О E y,η λειτουργία είναι ενσωματωμένη f(x, y)Με Χκατά μήκος του τμήματος μι(y), που είναι ένα τμήμα του συνόλου μιπου αντιστοιχεί σε αυτό y.Ως αποτέλεσμα, το εσωτερικό ολοκλήρωμα ορίζει κάποια συνάρτηση μιας μεταβλητής - y.Αυτή η συνάρτηση στη συνέχεια ενσωματώνεται ως συνάρτηση μιας μεταβλητής, όπως υποδεικνύεται από το σύμβολο του εξωτερικού ολοκληρώματος.

Η αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης έχει ως αποτέλεσμα ένα επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα της φόρμας

όπου πραγματοποιείται η εσωτερική ολοκλήρωση y,και εξωτερικό - Χ.Πώς συγκρίνεται αυτό το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα με το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα που ορίστηκε παραπάνω;

Αν υπάρχει διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης φά, δηλ.

τότε υπάρχουν και τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα και είναι ίδια σε τιμή και ίσα με το διπλό, δηλ.

Τονίζουμε ότι η προϋπόθεση που διατυπώνεται σε αυτή τη δήλωση για τη δυνατότητα αλλαγής της σειράς ολοκλήρωσης σε επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα είναι μόνο επαρκήςαλλά όχι απαραίτητο.

Άλλες επαρκείς προϋποθέσειςοι δυνατότητες αλλαγής της σειράς ολοκλήρωσης σε επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα διατυπώνονται ως εξής:

αν υπάρχει τουλάχιστον ένα από τα ολοκληρώματα

τότε η συνάρτηση f(x, y)Ο Riemann μπορεί να ενσωματωθεί στο σετ μι, υπάρχουν και τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα του και είναι ίσα με το διπλό ολοκλήρωμα. n

Πραγματοποιούμε τις αναπαραστάσεις των προβολών και των τομών στη σημειογραφία των επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων.

Αν το Ε είναι ορθογώνιο

Οτι E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d);εν E(y) = E x για οποιοδήποτε y, y н E y . ,ΕΝΑ E(x) = E yγια οποιοδήποτε x , x О E x ..

Επίσημη σημειογραφία: " y y О E yÞ E(y) = E xÙ" x x О E xÞ E(x) = E y

Αν το σύνολο Ε έχει καμπυλόγραμμο περίγραμμακαι επιτρέπει παραστάσεις

Σε αυτήν την περίπτωση, τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα γράφονται ως εξής:

Παράδειγμα 2.13.

Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα στο ορθογώνιο εμβαδόν, μειώνοντάς το στο επαναλαμβανόμενο.

Εφόσον η συνθήκη sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, ελέγχοντας στη συνέχεια τη σκοπιμότητα επαρκών συνθηκών για την ύπαρξη του διπλού ολοκληρώματος I με τη μορφή ύπαρξης οποιουδήποτε από τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα

εδώ δεν είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ειδικά και μπορείτε να προχωρήσετε αμέσως στον υπολογισμό του επαναλαμβανόμενου ολοκληρώματος

Αν υπάρχει, τότε υπάρχει και το διπλό ολοκλήρωμα, και I = I 1 . Επειδή η

Άρα εγώ = .ν

Παράδειγμα 2.14.

Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα πάνω από την τριγωνική περιοχή (βλ. Εικ. 2.6), ανάγοντας το στο επαναλαμβανόμενο

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Αρχικά, επαληθεύουμε την ύπαρξη του διπλού ολοκληρώματος I. Για να γίνει αυτό, αρκεί να επαληθεύσουμε την ύπαρξη του επαναλαμβανόμενου ολοκληρώματος

εκείνοι. τα ολοκληρώματα είναι συνεχή στα διαστήματα ολοκλήρωσης, αφού είναι όλα συναρτήσεις ισχύος. Επομένως, το ολοκλήρωμα I 1 υπάρχει. Στην περίπτωση αυτή υπάρχει και το διπλό ολοκλήρωμα και ισούται με οποιοδήποτε επαναλαμβανόμενο, δηλ.

Παράδειγμα 2.15.

Για να κατανοήσετε καλύτερα τη σύνδεση μεταξύ των εννοιών των διπλών και επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων, εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα, το οποίο μπορεί να παραλειφθεί κατά την πρώτη ανάγνωση. Δίνεται συνάρτηση δύο μεταβλητών f(x, y)

Σημειώστε ότι αυτή η συνάρτηση είναι περιττή σε y για ένα σταθερό x και περιττή σε x για ένα σταθερό y. Ως σύνολο E στο οποίο ενσωματώνεται αυτή η συνάρτηση, παίρνουμε το τετράγωνο E = ( : -1 £ x 1 £, -1 £ y 1 £).

Ας εξετάσουμε πρώτα το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα

Εσωτερικό ολοκλήρωμα

λαμβάνεται για ένα σταθερό y, -1 £ y £ 1. Δεδομένου ότι το ολοκλήρωμα για ένα σταθερό y είναι περιττό στο x, και η ολοκλήρωση σε αυτήν τη μεταβλητή πραγματοποιείται στο τμήμα [-1, 1], το οποίο είναι συμμετρικό ως προς στο σημείο 0, τότε το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι ίσο με 0. Προφανώς, ότι το εξωτερικό ολοκλήρωμα στη μεταβλητή y της μηδενικής συνάρτησης είναι επίσης ίσο με 0, δηλ.

Παρόμοιος συλλογισμός για το δεύτερο επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα:

Άρα, για την εξεταζόμενη συνάρτηση f(x, y), τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα υπάρχουν και είναι ίσα μεταξύ τους. Ωστόσο, το διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) δεν υπάρχει. Για να το επαληθεύσουμε αυτό, ας στραφούμε στη γεωμετρική σημασία του υπολογισμού των επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων.

Για να υπολογίσετε το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα

χρησιμοποιείται ένα χώρισμα του τετραγώνου Ε ειδικής μορφής, καθώς και ειδικός υπολογισμός των ολοκληρωτικών αθροισμάτων. Δηλαδή, το τετράγωνο Ε χωρίζεται σε οριζόντιες λωρίδες (βλ. Εικ. 2.7) και κάθε λωρίδα χωρίζεται σε μικρά ορθογώνια. Κάθε μπάρα αντιστοιχεί σε κάποια τιμή της μεταβλητής y. για παράδειγμα, θα μπορούσε να είναι η τεταγμένη του οριζόντιου άξονα της λωρίδας.

Τα ολοκληρωτικά αθροίσματα υπολογίζονται ως εξής: πρώτον, τα αθροίσματα υπολογίζονται για κάθε ζώνη χωριστά, δηλ. σε ένα σταθερό y για διαφορετικά x, και στη συνέχεια αυτά τα υποσύνολα αθροίζονται για διαφορετικές ζώνες, δηλ. για διαφορετικά y. Εάν η λεπτότητα του διαμερίσματος τείνει στο μηδέν, τότε στο όριο παίρνουμε το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα που υποδεικνύεται παραπάνω.

Είναι σαφές ότι για το δεύτερο επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα

το σύνολο Ε διαιρείται με κάθετες ρίγες που αντιστοιχούν σε διαφορετικό x. Τα υποσύνολα υπολογίζονται σε κάθε ζώνη με μικρά ορθογώνια, δηλ. πάνω από το y, και στη συνέχεια αθροίζονται για διαφορετικές μπάντες, π.χ. Χ. Στο όριο, με τη λεπτότητα του διαμερίσματος να τείνει στο μηδέν, λαμβάνουμε το αντίστοιχο επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα.

Για να αποδείξουμε ότι το διπλό ολοκλήρωμα δεν υπάρχει, αρκεί να δώσουμε ένα παράδειγμα διαμερίσματος, ο υπολογισμός των ολοκληρωτικών αθροισμάτων πάνω από τα οποία, στο όριο, με τη λεπτότητα του διαμερίσματος να τείνει στο μηδέν, δίνει ένα αποτέλεσμα διαφορετικό από την τιμή των επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα τέτοιου διαμερίσματος που αντιστοιχεί στο σύστημα πολικών συντεταγμένων (r, j) (βλ. Εικ. 2.8).

Στο σύστημα πολικών συντεταγμένων, η θέση οποιουδήποτε σημείου στο επίπεδο M 0 (x 0, y 0), όπου x 0, y 0 είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου M 0 - καθορίζεται από το μήκος r 0 της ακτίνας συνδέοντάς το με την αρχή και τη γωνία j 0 που σχηματίζεται από αυτό μια ακτίνα με θετική κατεύθυνση του άξονα x (η γωνία μετράται αριστερόστροφα). Η σύνδεση μεταξύ καρτεσιανών και πολικών συντεταγμένων είναι προφανής:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

Το διαμέρισμα κατασκευάζεται ως εξής. Αρχικά, το τετράγωνο Ε χωρίζεται σε τομείς με ακτίνες που προέρχονται από το κέντρο των συντεταγμένων και στη συνέχεια κάθε τομέας χωρίζεται σε μικρά τραπεζοειδή με ευθείες κάθετες στον άξονα του τομέα. Ο υπολογισμός των ολοκληρωτικών αθροισμάτων πραγματοποιείται ως εξής: πρώτα, κατά μήκος μικρών τραπεζοειδών μέσα σε κάθε τομέα κατά μήκος του άξονά του (κατά μήκος r) και στη συνέχεια - σε όλους τους τομείς (κατά μήκος j). Η θέση κάθε τομέα χαρακτηρίζεται από τη γωνία του άξονά του j και το μήκος του άξονά του r(j) εξαρτάται από αυτή τη γωνία:

αν ή , τότε ?

αν τότε ;

αν τότε

αν τότε .

Περνώντας στο όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων του πολικού διαμερίσματος με τη λεπτότητα του διαμερίσματος να τείνει στο μηδέν, παίρνουμε το διπλό ολοκλήρωμα σε πολικές συντεταγμένες. Ένας τέτοιος συμβολισμός μπορεί επίσης να ληφθεί με καθαρά τυπικό τρόπο, αντικαθιστώντας τις καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y) με πολικές (r, j).

Σύμφωνα με τους κανόνες για τη μετάβαση στα ολοκληρώματα από τις καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες, θα πρέπει να γράψουμε, εξ ορισμού:

Στις πολικές συντεταγμένες, η συνάρτηση f(x, y) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Επιτέλους έχουμε

Εσωτερικό ολοκλήρωμα (ακατάλληλο) στον τελευταίο τύπο

όπου η συνάρτηση r(j) που υποδεικνύεται παραπάνω, 0 £ j £ 2p , είναι ίση με +¥ για οποιοδήποτε j, επειδή

Επομένως, το ολοκλήρωμα στο εξωτερικό ολοκλήρωμα που αξιολογείται πάνω από j δεν ορίζεται για κανένα j . Αλλά τότε το ίδιο το εξωτερικό ολοκλήρωμα δεν ορίζεται, δηλ. το αρχικό διπλό ολοκλήρωμα δεν ορίζεται.

Σημειώστε ότι η συνάρτηση f(x, y) δεν ικανοποιεί την επαρκή συνθήκη για την ύπαρξη διπλού ολοκληρώματος στο σύνολο Ε. Ας δείξουμε ότι το ολοκλήρωμα

δεν υπάρχει. Πραγματικά,

Ομοίως, το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει για το ολοκλήρωμα

Η έννοια του διπλού ολοκληρώματος

Το διπλό ολοκλήρωμα (DI) είναι μια γενίκευση του ορισμένου ολοκληρώματος (DI) μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής στην περίπτωση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Ας οριστεί μια συνεχής μη αρνητική συνάρτηση $z=f\left(x,y\right)$ σε έναν κλειστό τομέα $D$ που βρίσκεται στο επίπεδο συντεταγμένων $xOy$. Η συνάρτηση $z=f\left(x,y\right)$ περιγράφει κάποια επιφάνεια που προβάλλεται στην περιοχή $D$. Η περιοχή $D$ οριοθετείται από μια κλειστή γραμμή $L$ της οποίας τα οριακά σημεία ανήκουν επίσης στην περιοχή $D$. Υποθέτουμε ότι η ευθεία $L$ σχηματίζεται από έναν πεπερασμένο αριθμό συνεχών καμπυλών που δίνονται από εξισώσεις της μορφής $y=\vartheta \left(x\right)$ ή $x=\psi \left(y\right)$ .

Ας διαιρέσουμε τον τομέα $D$ σε $n$ αυθαίρετες ενότητες με την περιοχή $\Delta S_(i) $. Σε καθένα από τα τμήματα, επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Σε καθένα από αυτά τα σημεία, υπολογίζουμε την τιμή της δεδομένης συνάρτησης $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Ας εξετάσουμε τον όγκο κάτω από αυτό το τμήμα της επιφάνειας $z=f\left(x,y\right)$, που προβάλλεται στο τμήμα $\Delta S_(i) $. Γεωμετρικά, αυτός ο όγκος μπορεί να αναπαρασταθεί περίπου ως ο όγκος ενός κυλίνδρου με βάση $\Delta S_(i) $ και ύψος $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$, δηλ. ίσο με το γινόμενο του $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Στη συνέχεια, ο όγκος κάτω από ολόκληρη την επιφάνεια $z=f\left(x,y\right)$ εντός της περιοχής $D$ μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση ως το άθροισμα των όγκων όλων των κυλίνδρων $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Αυτό το άθροισμα ονομάζεται ολοκληρωτικό άθροισμα για τη συνάρτηση $f\left(x,y\right)$ σε $D$.

Ας ονομάσουμε τη διάμετρο $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ του τμήματος $\Delta S_(i) $ τη μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ των ακραίων σημείων αυτού του τμήματος. Σημειώστε με $\lambda $ τη μεγαλύτερη από τις διαμέτρους όλων των τμημάτων από την περιοχή $D$. Αφήστε $\lambda \σε 0$ λόγω απεριόριστης βελτίωσης $n\to \infty $ του διαμερίσματος του $D$.

Ορισμός

Εάν υπάρχει ένα όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $, τότε αυτός ο αριθμός ονομάζεται CI της συνάρτησης $f\left(x,y\ δεξιά)$ πάνω από τον τομέα $D $ και δηλώνει $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ ή $I=\iint \limits _(D)f\ αριστερά(x,y\right) \cdot dx\cdot dy$.

Η περιοχή $D$ ονομάζεται περιοχή ολοκλήρωσης, η $x$ και η $y$ είναι οι μεταβλητές ολοκλήρωσης και η $dS=dx\cdot dy$ είναι το στοιχείο της περιοχής.

Από τον ορισμό προκύπτει η γεωμετρική σημασία του CI: δίνει την ακριβή τιμή του όγκου κάποιου καμπυλόγραμμου κυλίνδρου.

Εφαρμογή διπλών ολοκληρωμάτων

όγκος σώματος

Σύμφωνα με τη γεωμετρική σημασία του DI, ο όγκος $V$ κάποιου σώματος που οριοθετείται από πάνω από την επιφάνεια $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, από κάτω από την περιοχή $D$ το επίπεδο $xOy$, στις πλευρές από την κυλινδρική επιφάνεια , του οποίου οι γεννήτριες είναι παράλληλες με τον άξονα $Oz$ και του οποίου η γραμμή κατεύθυνσης είναι το περίγραμμα του $D$ (γραμμή $L$), υπολογίζεται με τον τύπο $V =\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Αφήστε το σώμα να δεσμεύσει την επιφάνεια $z=f_(2) \left(x,y\right)$ από πάνω και την επιφάνεια $z=f_(1) \left(x,y\right)$ από κάτω, και $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. Η προβολή και των δύο επιφανειών στο επίπεδο $xOy$ είναι η ίδια περιοχή $D$. Τότε ο όγκος ενός τέτοιου σώματος υπολογίζεται με τον τύπο $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.

Ας υποθέσουμε ότι στον τομέα $D$ η συνάρτηση $f\left(x,y\right)$ αλλάζει πρόσημο. Στη συνέχεια, για να υπολογιστεί ο όγκος του αντίστοιχου σώματος, η περιοχή $D$ πρέπει να χωριστεί σε δύο μέρη: το μέρος $D_(1) $, όπου $f\left(x,y\right)\ge 0$, και το μέρος $D_(2) $, όπου $f\left(x,y\right)\le 0$. Σε αυτήν την περίπτωση, το ολοκλήρωμα στην περιοχή $D_(1) $ θα είναι θετικό και ίσο με τον όγκο αυτού του μέρους του σώματος που βρίσκεται πάνω από το επίπεδο $xOy$. Το ολοκλήρωμα πάνω από $D_(2)$ θα είναι αρνητικό και ίσο σε απόλυτη τιμή με τον όγκο αυτού του μέρους του σώματος που βρίσκεται κάτω από το επίπεδο $xOy$.

Περιοχή επίπεδης φιγούρας

Αν βάλουμε $f\left(x,y\right)\equiv 1$ παντού στον τομέα $D$ στο επίπεδο συντεταγμένων $xOy$, τότε το DI είναι αριθμητικά ίσο με την περιοχή του τομέα ολοκλήρωσης $D $, δηλαδή $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. Στο σύστημα πολικών συντεταγμένων, ο ίδιος τύπος γίνεται $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.

Ελεύθερη επιφάνεια

Ας προβληθεί κάποια επιφάνεια $Q$ που δίνεται από την εξίσωση $z=f_(1) \left(x,y\right)$ στο επίπεδο συντεταγμένων $xOy$ στην περιοχή $D_(1) $. Σε αυτήν την περίπτωση, η επιφάνεια $Q$ μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.

Ποσότητα ουσίας

Ας υποθέσουμε ότι κάποια ουσία με επιφανειακή πυκνότητα $\rho \left(x,y\right)$ κατανέμεται στον τομέα $D$ στο επίπεδο $xOy$. Αυτό σημαίνει ότι η επιφανειακή πυκνότητα $\rho \left(x,y\right)$ είναι η μάζα της ύλης ανά μονάδα επιφάνειας $dx\cdot dy$ του $D$. Υπό αυτές τις συνθήκες, η συνολική μάζα της ύλης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Σημειώστε ότι η «ουσία» μπορεί να είναι ηλεκτρικό φορτίο, θερμότητα κ.λπ.

Συντεταγμένες του κέντρου μάζας ενός επίπεδου σχήματος

Οι τύποι για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του κέντρου μάζας ενός επιπέδου σχήματος είναι: $ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x,y\right) \cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy ) (Μ) $.

Οι τιμές στους αριθμητές ονομάζονται στατικές ροπές $M_(y)$ και $M_(x)$ του επιπέδου $D$ σχετικά με τους άξονες $Oy$ και $Ox$, αντίστοιχα.

Εάν το επίπεδο σχήμα είναι ομοιογενές, δηλ. $\rho =const$, τότε αυτοί οι τύποι απλοποιούνται και εκφράζονται όχι ως προς τη μάζα, αλλά ως προς το εμβαδόν του επίπεδου σχήματος $S$: $x_(c) =\frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy ) (S) $.

Στιγμές αδράνειας του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος

Ας εξετάσουμε ένα υλικό επίπεδο σχήμα στο επίπεδο $xOy$. Ας το αναπαραστήσουμε ως μια ορισμένη περιοχή $D$, στην οποία κατανέμεται μια ουσία με συνολική μάζα $M$ με μεταβλητή επιφανειακή πυκνότητα $\rho \left(x,y\right)$.

Η τιμή της ροπής αδράνειας του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος σε σχέση με τον άξονα $Oy$: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho(x,\;y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Η τιμή της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα $Ox$: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot \; dx\; \cdot dy $. Η ροπή αδράνειας ενός επίπεδου σχήματος ως προς την αρχή είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας ως προς τους άξονες των συντεταγμένων, δηλαδή $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.

Εισάγονται τριπλά ολοκληρώματα για συναρτήσεις τριών μεταβλητών.

Ας υποθέσουμε ότι δίνεται κάποια περιοχή $V$ του τρισδιάστατου χώρου, που οριοθετείται από μια κλειστή επιφάνεια $S$. Υποθέτουμε ότι τα σημεία που βρίσκονται στην επιφάνεια ανήκουν επίσης στην περιοχή $V$. Ας υποθέσουμε ότι κάποια συνεχής συνάρτηση $f\left(x,y,z\right)$ δίνεται σε $V$. Για παράδειγμα, υπό την συνθήκη $f\left(x,y,z\right)\ge 0$, μια τέτοια συνάρτηση μπορεί να είναι η ογκομετρική πυκνότητα κατανομής κάποιας ουσίας, η κατανομή θερμοκρασίας κ.λπ.

Ας διαιρέσουμε τον τομέα $V$ σε $n$ αυθαίρετα μέρη, οι όγκοι των οποίων είναι $\Delta V_(i) $. Σε καθένα από τα μέρη επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. Σε καθένα από αυτά τα σημεία, υπολογίζουμε την τιμή της δεδομένης συνάρτησης $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$.

Σχηματίζουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \ Delta V_ (i) $ και τελειοποιήστε το $\left(n\to \infty \right)$ την υποδιαίρεση του $V$ επ' αόριστον έτσι ώστε η μεγαλύτερη διάμετρος $\λάμδα $ όλων των τμημάτων $\Delta V_(i) $ να μειώνεται επ' αόριστον $ \αριστερά(\λάμδα \έως 0\δεξιά)$.

Ορισμός

Υπό τις παραπάνω συνθήκες, υπάρχει το όριο $I$ αυτού του ολοκληρωτικού αθροίσματος, ονομάζεται τριπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης $f\left(x,y,z\right)$ στον τομέα $V$ και συμβολίζεται με $I \; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV$ ή $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz $.