Όλες οι μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων δυναμικής που έχουμε εξετάσει μέχρι τώρα βασίζονται σε εξισώσεις που προκύπτουν είτε απευθείας από τους νόμους του Νεύτωνα, είτε από γενικά θεωρήματα που είναι συνέπειες αυτών των νόμων. Ωστόσο, αυτό το μονοπάτι δεν είναι το μόνο. Αποδεικνύεται ότι οι εξισώσεις κίνησης ή οι συνθήκες ισορροπίας ενός μηχανικού συστήματος μπορούν να ληφθούν υποθέτοντας άλλες γενικές προτάσεις αντί για τους νόμους του Νεύτωνα, που ονομάζονται αρχές της μηχανικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η εφαρμογή αυτών των αρχών καθιστά δυνατή, όπως θα δούμε, την εύρεση πιο αποτελεσματικών μεθόδων για την επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εξεταστεί μια από τις γενικές αρχές της μηχανικής, που ονομάζεται αρχή d'Alembert.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύστημα που αποτελείται από nυλικά σημεία. Ας ξεχωρίσουμε μερικά από τα σημεία του συστήματος με μάζα . Κάτω από τη δράση εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτό και (οι οποίες περιλαμβάνουν τόσο ενεργές δυνάμεις όσο και αντιδράσεις σύζευξης), το σημείο λαμβάνει κάποια επιτάχυνση σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς.
Ας λάβουμε υπόψη την ποσότητα
έχοντας τη διάσταση της δύναμης. Ένα διανυσματικό μέγεθος ίσο σε απόλυτη τιμή με το γινόμενο της μάζας ενός σημείου και της επιτάχυνσής του και κατευθύνεται αντίθετα από αυτήν την επιτάχυνση ονομάζεται δύναμη αδράνειας του σημείου (μερικές φορές η δύναμη αδράνειας d'Alembert).
Τότε αποδεικνύεται ότι η κίνηση ενός σημείου έχει την ακόλουθη γενική ιδιότητα: αν σε κάθε χρονική στιγμή προσθέσουμε τη δύναμη της αδράνειας στις δυνάμεις που ασκούν πραγματικά στο σημείο, τότε το σύστημα δυνάμεων που θα προκύψει θα εξισορροπηθεί, δηλ. θα
.
Αυτή η έκφραση εκφράζει την αρχή του d'Alembert για ένα υλικό σημείο. Είναι εύκολο να δούμε ότι είναι ισοδύναμο με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και το αντίστροφο. Πράγματι, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για το εν λόγω σημείο δίνει 
. Μεταφέροντας τον όρο εδώ στη δεξιά πλευρά της ισότητας, φτάνουμε στην τελευταία σχέση.
Επαναλαμβάνοντας τον παραπάνω συλλογισμό σε σχέση με καθένα από τα σημεία του συστήματος, καταλήγουμε στο ακόλουθο αποτέλεσμα, το οποίο εκφράζει την αρχή d'Alembert για το σύστημα: εάν οποιαδήποτε στιγμή σε καθένα από τα σημεία του συστήματος, εκτός από τις εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις που ασκούν πραγματικά σε αυτό, εφαρμοστούν οι αντίστοιχες δυνάμεις αδράνειας, τότε το σύστημα δυνάμεων που προκύπτει θα είναι σε ισορροπία και όλες οι εξισώσεις του μπορεί να εφαρμοστεί στατική σε αυτό.
Η σημασία της αρχής d'Alembert έγκειται στο γεγονός ότι όταν εφαρμόζεται άμεσα σε προβλήματα δυναμικής, οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος συντάσσονται με τη μορφή γνωστών εξισώσεων ισορροπίας. που κάνει μια ενιαία προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων και συνήθως απλοποιεί πολύ τους αντίστοιχους υπολογισμούς. Επιπλέον, σε συνδυασμό με την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων, η οποία θα συζητηθεί στο επόμενο κεφάλαιο, η αρχή d'Alembert μας επιτρέπει να αποκτήσουμε μια νέα γενική μέθοδο για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής.
Εφαρμόζοντας την αρχή d'Alembert, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι μόνο εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις δρουν σε ένα σημείο ενός μηχανικού συστήματος, η κίνηση του οποίου μελετάται και, που προκύπτουν ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης των σημείων του σύστημα μεταξύ τους και με φορείς που δεν περιλαμβάνονται στο σύστημα· κάτω από τη δράση αυτών των δυνάμεων, τα σημεία του συστήματος και κινούνται με τις αντίστοιχες επιταχύνσεις. Οι δυνάμεις αδράνειας, που αναφέρονται στην αρχή του d'Alembert, δεν δρουν σε κινούμενα σημεία (διαφορετικά, αυτά τα σημεία θα ήταν σε ηρεμία ή θα κινούνταν χωρίς επιτάχυνση και τότε δεν θα υπήρχαν αδρανειακές δυνάμεις οι ίδιες). Η εισαγωγή αδρανειακών δυνάμεων είναι απλώς μια τεχνική που σας επιτρέπει να συνθέσετε τις εξισώσεις της δυναμικής χρησιμοποιώντας απλούστερες μεθόδους στατικής.
Είναι γνωστό από τη στατική ότι το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων σε ισορροπία και το άθροισμα των ροπών τους σε σχέση με οποιοδήποτε κέντρο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕείναι ίσα με μηδέν, και σύμφωνα με την αρχή της στερεοποίησης, αυτό ισχύει για δυνάμεις που δρουν όχι μόνο σε ένα άκαμπτο σώμα, αλλά και σε οποιοδήποτε μεταβλητό σύστημα. Στη συνέχεια, με βάση την αρχή του d'Alembert, θα έπρεπε να είναι.
Αρχικά, η ιδέα αυτής της αρχής εκφράστηκε από τον Jacob Bernoulli (1654-1705) όταν εξέτασε το πρόβλημα του κέντρου ταλάντωσης σωμάτων αυθαίρετου σχήματος. Το 1716, ο ακαδημαϊκός της Αγίας Πετρούπολης Ya. German (1678 - 1733) πρότεινε την αρχή της στατικής ισοδυναμίας των «ελεύθερων» κινήσεων και των «πραγματικών» κινήσεων, δηλαδή των κινήσεων που πραγματοποιούνται παρουσία συνδέσεων. Αργότερα, αυτή η αρχή εφαρμόστηκε από τον L. Euler (1707-1783) στο πρόβλημα των δονήσεων των εύκαμπτων σωμάτων (το έργο δημοσιεύτηκε το 1740) και ονομάστηκε «αρχή της Πετρούπολης». Ωστόσο, ο πρώτος που διατύπωσε την υπό εξέταση αρχή σε γενική μορφή, αν και δεν της έδωσε τη σωστή αναλυτική έκφραση, ήταν ο d'Alembert (1717-1783). Στο "Dynamics" του που δημοσιεύτηκε το 1743, υπέδειξε μια γενική μέθοδο προσέγγισης για την επίλυση των προβλημάτων της δυναμικής των μη ελεύθερων συστημάτων. Μια αναλυτική έκφραση αυτής της αρχής δόθηκε αργότερα από τον Lagrange στην Αναλυτική Μηχανική του.
Σκεφτείτε κάποιο μη ελεύθερο μηχανικό σύστημα. Ας υποδηλώσουμε το αποτέλεσμα όλων των ενεργών δυνάμεων που δρουν σε οποιοδήποτε σημείο του συστήματος διαμέσου και το αποτέλεσμα των αντιδράσεων των δεσμών - μέχρι τότε η εξίσωση κίνησης του σημείου θα έχει τη μορφή
όπου είναι το διάνυσμα επιτάχυνσης ενός σημείου και είναι η μάζα αυτού του σημείου.
Εάν εισαγάγουμε υπόψη μια δύναμη που ονομάζεται δύναμη αδράνειας d'Alembert, τότε η εξίσωση της κίνησης (2.9) μπορεί να ξαναγραφτεί με τη μορφή μιας εξίσωσης για την ισορροπία τριών δυνάμεων:
Η εξίσωση (2.10) είναι η ουσία της αρχής d'Alembert για ένα σημείο, και η ίδια εξίσωση, που επεκτείνεται σε ένα σύστημα, είναι η ουσία της αρχής d'Alembert για ένα σύστημα.
Η εξίσωση της κίνησης, γραμμένη με τη μορφή (2.10), μας επιτρέπει να δώσουμε στην αρχή d'Alembert την ακόλουθη διατύπωση: εάν το σύστημα είναι σε κίνηση, κάποια στιγμή στο χρόνο, σταματήστε αμέσως και εφαρμόστε σε κάθε υλικό σημείο αυτού του συστήματος οι δυνάμεις ενεργού αντίδρασης που ενεργούν σε αυτό τη στιγμή της διακοπής και οι δυνάμεις d'Alembert αδράνειας, τότε το σύστημα θα παραμείνει σε ισορροπία.
Η αρχή d'Alembert είναι μια βολική μεθοδική μέθοδος για την επίλυση δυναμικών προβλημάτων, καθώς επιτρέπει την εγγραφή των εξισώσεων κίνησης των μη ελεύθερων συστημάτων με τη μορφή στατικών εξισώσεων.
Με αυτό, φυσικά, το πρόβλημα της δυναμικής δεν περιορίζεται στο πρόβλημα της στατικής, αφού το πρόβλημα της ολοκλήρωσης των εξισώσεων κίνησης εξακολουθεί να διατηρείται, αλλά η αρχή d'Alembert παρέχει μια ενοποιημένη μέθοδο για τη σύνταξη των εξισώσεων κίνησης των μη -δωρεάν συστήματα, και αυτό είναι το κύριο πλεονέκτημά του.
Αν έχουμε κατά νου ότι οι αντιδράσεις είναι η δράση δεσμών στα σημεία του συστήματος, τότε η αρχή d'Alembert μπορεί επίσης να δοθεί η ακόλουθη διατύπωση: αν προσθέσουμε τις δυνάμεις d'Alembert αδράνειας στις ενεργές δυνάμεις που δρουν στο σημεία ενός μη ελεύθερου συστήματος, τότε οι δυνάμεις αυτών των δυνάμεων που θα προκύψουν θα εξισορροπηθούν από τις αντιδράσεις των δεσμών. Πρέπει να τονιστεί ότι η διατύπωση αυτή είναι αυθαίρετη, αφού στην πραγματικότητα
όταν το σύστημα κινείται, δεν υπάρχει εξισορρόπηση, αφού οι δυνάμεις αδράνειας δεν εφαρμόζονται στα σημεία του συστήματος.
Τέλος, στην αρχή d'Alembert μπορεί να δοθεί μια ακόμη ισοδύναμη διατύπωση, για την οποία ξαναγράφουμε την εξίσωση (2.9) με την ακόλουθη μορφή:
Η αρχή d'Alembert καθιερώνει μια ενιαία προσέγγιση στη μελέτη της κίνησης ενός υλικού αντικειμένου, ανεξάρτητα από τη φύση των συνθηκών που επιβάλλονται σε αυτή την κίνηση. Στην περίπτωση αυτή, οι δυναμικές εξισώσεις κίνησης δίνονται με τη μορφή εξισώσεων ισορροπίας. Εξ ου και το δεύτερο όνομα της αρχής του d'Alembert είναι η μέθοδος της κινητοστατικής.
Για ένα υλικό σημείο σε οποιαδήποτε στιγμή κίνησης, το γεωμετρικό άθροισμα των εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων, των αντιδράσεων των δεσμών και της υπό όρους συνδεδεμένης δύναμης αδράνειας είναι μηδέν (Εικ. 48).
Όπου Φ είναι η δύναμη αδράνειας ενός υλικού σημείου, ίση με:
.
(15.2)
Εικόνα 48
Εικόνα 49
Η δύναμη της αδράνειας δεν εφαρμόζεται σε ένα κινούμενο αντικείμενο, αλλά στους δεσμούς που καθορίζουν την κίνησή του. Ο άνθρωπος αναφέρει επιτάχυνση 
τρόλεϊ (Εικ. 49), σπρώχνοντάς το με δύναμη 
.Η δύναμη της αδράνειας είναι η αντίδραση στη δράση ενός ατόμου στο τρόλεϊ, δηλ. modulo ίσο με δύναμη 
και κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση.
Εάν ένα σημείο κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης διαδρομής, τότε η δύναμη αδράνειας μπορεί να προβληθεί στους άξονες των φυσικών συντεταγμένων.
Εικόνα 50
;
(15.3)
, (15.4) όπου 
-- ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς.
Κατά την επίλυση προβλημάτων με τη χρήση της μεθόδου κινητοστατικής, είναι απαραίτητο:
1. επιλέξτε ένα σύστημα συντεταγμένων.
2. Δείξτε όλες τις ενεργές δυνάμεις που εφαρμόζονται σε κάθε σημείο.
3. Απορρίψτε τις συνδέσεις, αντικαθιστώντας τις με κατάλληλες αντιδράσεις.
4. Προσθέστε τη δύναμη της αδράνειας στις ενεργές δυνάμεις και τις αντιδράσεις των δεσμών.
5. να συνθέσετε τις εξισώσεις της κινητοστατικής, από τις οποίες να προσδιορίσετε τις επιθυμητές τιμές.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 21.
ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ
ΛΥΣΗ. 1. Σκεφτείτε ένα αυτοκίνητο στην κορυφή μιας κυρτής γέφυρας. Θεωρήστε το αυτοκίνητο ως υλικό σημείο στο οποίο η δεδομένη δύναμη 2. Εφόσον το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα, σημειώνουμε την αρχή d'Alembert για ένα υλικό σημείο σε προβολή στην κανονική 
και επικοινωνιακή αντίδραση 
.
. (1) Εκφράζουμε τη δύναμη της αδράνειας: 
; προσδιορίζουμε την κανονική πίεση του αυτοκινήτου από την εξίσωση (1): N.
\u003d 20m και κινείται με σταθερή ταχύτητα V \u003d 36 km/h (Εικ. 51).
16. Η αρχή d'Alembert για ένα μηχανικό σύστημα. Κύριο διάνυσμα και κύρια ροπή δυνάμεων αδράνειας.
Εάν σε κάθε σημείο του μηχανικού συστήματος σε οποιαδήποτε στιγμή της κίνησης εφαρμόζονται υπό όρους οι αντίστοιχες δυνάμεις αδράνειας, τότε σε κάθε στιγμή κίνησης το γεωμετρικό άθροισμα των ενεργών δυνάμεων που δρουν στο σημείο, οι αντιδράσεις των δεσμών και η δύναμη αδράνειας είναι ίσο με μηδέν.
Η εξίσωση που εκφράζει την αρχή d'Alembert για ένα μηχανικό σύστημα έχει τη μορφή 
. (16.1) Το άθροισμα των ροπών αυτών των ισορροπημένων δυνάμεων σε σχέση με οποιοδήποτε κέντρο είναι επίσης ίσο με μηδέν 
. (16.2) Κατά την εφαρμογή της αρχής d'Alembert, οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος συντάσσονται με τη μορφή εξισώσεων ισορροπίας. Οι εξισώσεις (16.1) και (16.2) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό των δυναμικών αποκρίσεων.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 22.
Κάθετος άξονας AK, περιστρεφόμενος με σταθερή γωνιακή ταχύτητα 
\u003d 10s -1, στερεωμένο με έδρανο ώθησης στο σημείο Α και κυλινδρικό έδρανο στο σημείο Κ (Εικ. 52). Μια λεπτή ομοιογενής σπασμένη ράβδος με μάζα m=10kg και μήκος 10b είναι προσαρτημένη στον άξονα στο σημείο Ε, που αποτελείται από τα μέρη 1 και 2, όπου b=0,1m, και οι μάζες τους m 1 και m 2 είναι ανάλογες με τα μήκη . Η ράβδος συνδέεται με τον άξονα με μια άρθρωση στο σημείο Ε και μια ράβδο χωρίς βάρος 4 στερεωμένη άκαμπτα στο σημείο Β. Προσδιορίστε την αντίδραση του μεντεσέ Ε και της ράβδου 4.
ΛΥΣΗ.
1. Το μήκος της σπασμένης ράβδου είναι 10b. Ας εκφράσουμε τις μάζες των τμημάτων της ράβδου, ανάλογες με τα μήκη: m 1 =0,4m; m 2 =0,3m; m 3 \u003d 0,3 m.
Εικόνα 42
2. Για να προσδιορίσετε τις επιθυμητές αντιδράσεις, εξετάστε την κίνηση μιας σπασμένης ράβδου και εφαρμόστε την αρχή d'Alembert. Ας τοποθετήσουμε τη ράβδο στο επίπεδο xy, απεικονίζουμε τις εξωτερικές δυνάμεις που δρουν σε αυτήν: 
,
,
, αντιδράσεις άρθρωσης 
Και 
και αντίδραση 
ράβδος 4. Σε αυτές τις δυνάμεις προσθέτουμε τις δυνάμεις αδράνειας των τμημάτων της ράβδου: 
;
;
,
Οπου 
;
;
.
Στη συνέχεια ο Ν.Ν.Ν.
Γραμμή δράσης των δυνάμεων αδράνειας που προκύπτουν 
,
Και 
διέρχεται σε αποστάσεις h 1 , h 2 και h 3 από τον άξονα x: m;
3. Σύμφωνα με την αρχή d'Alembert, οι εφαρμοζόμενες ενεργές δυνάμεις, οι αντιδράσεις των δεσμών και οι δυνάμεις αδράνειας σχηματίζουν ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων. Ας συνθέσουμε τρεις εξισώσεις ισορροπίας για ένα επίπεδο σύστημα δυνάμεων:
;
;
(1)
;;
(2)
;.(3)
Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (1) + (3), αντικαθιστώντας τις δεδομένες τιμές των αντίστοιχων ποσοτήτων, βρίσκουμε τις επιθυμητές αντιδράσεις:
N= yE=xE=
Αν όλες οι δυνάμεις που δρουν στα σημεία ενός μηχανικού συστήματος χωριστούν σε εξωτερικές 
και εγχώρια 
, (Εικ. 53), τότε για ένα αυθαίρετο σημείο του μηχανικού συστήματος, μπορούν να γραφούν δύο διανυσματικές ισότητες:
;
(16.3)
.
Εικόνα 53
Λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες των εσωτερικών δυνάμεων, λαμβάνουμε την αρχή d'Alembert για ένα μηχανικό σύστημα με την ακόλουθη μορφή: 
;
(16.4)
, (16.5) όπου 
,
-- αντίστοιχα, τα κύρια διανύσματα των εξωτερικών δυνάμεων και των δυνάμεων αδράνειας.
,
- αντίστοιχα, οι κύριες ροπές εξωτερικών δυνάμεων και δυνάμεων αδράνειας σε σχέση με ένα αυθαίρετο κέντρο Ο.
Κύριο διάνυσμα 
και κύριο σημείο 
αντικαταστήστε τις δυνάμεις αδράνειας όλων των σημείων του συστήματος, αφού είναι απαραίτητο να εφαρμόσει τη δική του δύναμη αδράνειας σε κάθε σημείο του συστήματος, ανάλογα με την επιτάχυνση του σημείου. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας και για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής του συστήματος σε σχέση με ένα αυθαίρετο κέντρο, παίρνουμε: 
,
(16.6)
. (16.7) Για ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα z, η κύρια ροπή αδράνειας γύρω από αυτόν τον άξονα είναι ίση με 
, (16.8) όπου 
είναι η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος.
Κατά τη μεταφορική κίνηση του σώματος, οι αδρανειακές δυνάμεις όλων των σημείων του μειώνονται στο προκύπτον, ίσο με το κύριο διάνυσμα των αδρανειακών δυνάμεων, δηλ. 
.
Π
Εικόνα 54
, (16.9) όπου 
- η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής.
Εάν το σώμα έχει επίπεδο συμμετρίας και περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα z, κάθετο στο επίπεδο συμμετρίας και δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, η δύναμη αδράνειας όλων των σημείων του σώματος μειώνεται στο προκύπτον, ίσο με το κύριο διάνυσμα των δυνάμεων αδράνειας του συστήματος, αλλά εφαρμόζεται σε κάποιο σημείο Κ (Εικ. 54) . Γραμμή δράσης του προκύπτοντος 
μακριά από το σημείο Ο σε απόσταση 
.
(16.10)
Με μια επίπεδη κίνηση ενός σώματος που έχει ένα επίπεδο συμμετρίας, το σώμα κινείται κατά μήκος αυτού του επιπέδου (Εικ. 55). Το κύριο διάνυσμα και η κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας βρίσκονται επίσης σε αυτό το επίπεδο και καθορίζονται από τους τύπους:
Εικόνα 55
;
.
Το σύμβολο μείον δείχνει ότι η κατεύθυνση της στιγμής 
αντίθετη από την κατεύθυνση της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 23.
Προσδιορίστε τη δύναμη που τείνει να σπάσει έναν ομοιόμορφα περιστρεφόμενο σφόνδυλο μάζας m, λαμβάνοντας υπόψη τη μάζα του που κατανέμεται στο χείλος. Ακτίνα σφονδύλου r, γωνιακή ταχύτητα 
(Εικ. 56).
ΛΥΣΗ.
1. Αναζητώντας δύναμη 
είναι εσωτερική. 
-- το αποτέλεσμα των δυνάμεων αδράνειας των στοιχείων του χείλους. 
. Εκφράζουμε τη συντεταγμένη x από το κέντρο μάζας του τόξου του χείλους με κεντρική γωνία 
:
, Επειτα 
.
2. Για τον προσδιορισμό της αντοχής 
εφαρμόστε την αρχή d'Alembert στην προβολή στον άξονα x: 
;
, που 
.
3. Αν ο σφόνδυλος είναι συμπαγής ομοιογενής δίσκος, τότε 
, Επειτα 
.
Το πεδίο εφαρμογής της αρχής του d'Alembert είναι η δυναμική των μη ελεύθερων μηχανικών συστημάτων. Ο d'Alembert πρότεινε μια πρωτότυπη μέθοδο για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής, η οποία καθιστά δυνατή τη χρήση αρκετά απλών εξισώσεων στατικής. Έγραψε: «Αυτός ο κανόνας μειώνει όλα τα προβλήματα που σχετίζονται με την κίνηση των σωμάτων σε απλούστερα προβλήματα ισορροπίας».
Αυτή η μέθοδος βασίζεται στις δυνάμεις αδράνειας. Ας εισαγάγουμε αυτήν την έννοια.
Δύναμη αδράνειας ονομάζεται το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων αντίδρασης ενός κινούμενου υλικού σωματιδίου σε σώματα που του προσδίδουν επιτάχυνση.
Ας εξηγήσουμε αυτόν τον ορισμό. Στο σχ. Το 15.1 δείχνει ένα υλικό σωματίδιο Μ , αλληλεπιδρώντας με n υλικά αντικείμενα. Στο σχ. 15.1 δείχνει τις δυνάμεις της αλληλεπίδρασης: χωρίς
που στην πραγματικότητα δεν είναι ανά σωματίδιο, αλλά σε σώματα με μάζες m 1, …, m n . Είναι σαφές ότι το αποτέλεσμα αυτού του συστήματος σύγκλισης δυνάμεων αντίδρασης, R'=ΣF'k , modulo ίσο με R και κατευθύνεται αντίθετα από την επιτάχυνση, δηλ.: R' = -ma. Αυτή η δύναμη είναι η δύναμη αδράνειας που αναφέρεται στον ορισμό. Στη συνέχεια θα το δηλώσουμε με το γράμμα φά , δηλαδή:
Στη γενική περίπτωση της καμπυλόγραμμης κίνησης ενός σημείου, η επιτάχυνση είναι το άθροισμα δύο συνιστωσών:
Από το (15.4) φαίνεται ότι οι συνιστώσες της δύναμης αδράνειας κατευθύνονται αντίθετα προς τις κατευθύνσεις των αντίστοιχων συνιστωσών της επιτάχυνσης του σημείου. Οι μονάδες των συνιστωσών της αδρανειακής δύναμης προσδιορίζονται από τους ακόλουθους τύπους:
Οπου ρ είναι η ακτίνα καμπυλότητας της σημειακής τροχιάς.
Αφού προσδιορίσετε τη δύναμη της αδράνειας, εξετάστε Αρχή του d'Alembert.
Έστω ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από n υλικά σημεία (Εικ. 15.2). Ας πάρουμε ένα από αυτά. Όλες οι δυνάμεις που δρουν κ -ο σημείο, ταξινομούμε σε ομάδες:
Η έκφραση (15.6) αντικατοπτρίζει την ουσία της αρχής d'Alembert, γραμμένη για ένα σημαντικό σημείο. Επαναλαμβάνοντας τα παραπάνω βήματα σε σχέση με κάθε σημείο του μηχανικού συστήματος, μπορούμε να γράψουμε το σύστημα n εξισώσεις παρόμοιες με (15.6), που θα είναι η μαθηματική καταγραφή της αρχής d'Alembert όπως εφαρμόζεται σε ένα μηχανικό σύστημα. Έτσι, διατυπώνουμε Η αρχή του d'Alembert για ένα μηχανικό σύστημα:
Εάν οποιαδήποτε στιγμή, εκτός από τις εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις που ασκούν πραγματικά σε αυτό, εφαρμοστεί μια κατάλληλη δύναμη αδράνειας σε κάθε σημείο ενός μηχανικού συστήματος, τότε ολόκληρο το σύστημα δυνάμεων θα τεθεί σε ισορροπία και όλες οι εξισώσεις του μπορεί να εφαρμοστεί στατική σε αυτό.
Θυμήσου:
Η αρχή d'Alembert μπορεί να εφαρμοστεί σε δυναμικές διεργασίες που συμβαίνουν σε
αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Η ίδια απαίτηση, όπως σημειώθηκε προηγουμένως, θα πρέπει να τηρείται κατά την εφαρμογή των νόμων της δυναμικής.
Οι δυνάμεις αδράνειας, οι οποίες, σύμφωνα με τη μεθοδολογία της αρχής d'Alembert, πρέπει να εφαρμόζονται
ζουν στα σημεία του συστήματος, στην πραγματικότητα δεν επηρεάζονται. Πράγματι, εάν υπήρχαν, τότε ολόκληρο το σύνολο των δυνάμεων που εφαρμόζονται σε κάθε σημείο θα ήταν σε ισορροπία και η διατύπωση του ίδιου του προβλήματος της δυναμικής θα απουσίαζε.
Για ένα σύστημα ισορροπίας δυνάμεων, μπορούν να γραφούν οι ακόλουθες εξισώσεις:
εκείνοι. το γεωμετρικό άθροισμα όλων των δυνάμεων του συστήματος, συμπεριλαμβανομένων των δυνάμεων αδράνειας, και το γεωμετρικό άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων γύρω από ένα αυθαίρετο κέντρο είναι ίσο με μηδέν.
Λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες των εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος:
Οι εκφράσεις (15.7) μπορούν να απλοποιηθούν σημαντικά.
Παρουσίαση της κύριας διανυσματικής σημειογραφίας
και κύριο σημείο
οι εκφράσεις (15.7) θα εμφανιστούν με τη μορφή:
Οι εξισώσεις (15.11) αποτελούν άμεση συνέχεια της αρχής d'Alembert, αλλά δεν περιέχουν εσωτερικές δυνάμεις, που είναι το αναμφισβήτητο πλεονέκτημά τους. Η χρήση τους είναι πιο αποτελεσματική στη μελέτη της δυναμικής των μηχανικών συστημάτων που αποτελούνται από άκαμπτα σώματα.
Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα που αποτελείται από πολλά υλικά σημεία, τονίζοντας ένα συγκεκριμένο σημείο με γνωστή μάζα, τότε υπό τη δράση εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτό, λαμβάνει κάποια επιτάχυνση σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς. Μεταξύ τέτοιων δυνάμεων μπορεί να υπάρχουν τόσο ενεργές δυνάμεις όσο και αντιδράσεις σύζευξης.
Η δύναμη αδράνειας ενός σημείου είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, το οποίο είναι ίσο σε απόλυτη τιμή με το γινόμενο της μάζας του σημείου και της επιτάχυνσής του. Αυτή η τιμή αναφέρεται μερικές φορές ως δύναμη αδράνειας d'Alembert, κατευθύνεται αντίθετα από την επιτάχυνση. Σε αυτή την περίπτωση, αποκαλύπτεται η ακόλουθη ιδιότητα ενός κινούμενου σημείου: αν σε κάθε χρονική στιγμή προσθέσουμε τη δύναμη της αδράνειας στις δυνάμεις που ασκούν πραγματικά στο σημείο, τότε το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα εξισορροπηθεί. Έτσι είναι δυνατό να διατυπωθεί η αρχή του d'Alembert για ένα υλικό σημείο. Αυτή η δήλωση είναι απολύτως συνεπής με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα.
Οι αρχές του d'Alembert για το σύστημα
Εάν επαναλάβουμε όλα τα επιχειρήματα για κάθε σημείο του συστήματος, οδηγούν στο ακόλουθο συμπέρασμα, το οποίο εκφράζει την αρχή d'Alembert που διατυπώθηκε για το σύστημα: εάν οποιαδήποτε στιγμή εφαρμόσουμε σε καθένα από τα σημεία του συστήματος, επιπλέον τις πραγματικά ενεργούσες εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις, τότε αυτό το σύστημα θα βρίσκεται σε ισορροπία, οπότε όλες οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στη στατική μπορούν να εφαρμοστούν σε αυτό.
Εάν εφαρμόσουμε την αρχή d'Alembert για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής, τότε οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος μπορούν να συνταχθούν με τη μορφή των γνωστών σε εμάς εξισώσεων ισορροπίας. Αυτή η αρχή απλοποιεί σε μεγάλο βαθμό τους υπολογισμούς και καθιστά ενιαία την προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων.
Εφαρμογή της αρχής d'Alembert
Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι μόνο εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις ενεργούν σε ένα κινούμενο σημείο ενός μηχανικού συστήματος, οι οποίες προκύπτουν ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης σημείων μεταξύ τους, καθώς και με σώματα που δεν περιλαμβάνονται σε αυτό το σύστημα. Τα σημεία κινούνται με ορισμένες επιταχύνσεις υπό την επίδραση όλων αυτών των δυνάμεων. Οι δυνάμεις αδράνειας δεν δρουν σε κινούμενα σημεία, διαφορετικά θα κινούνταν χωρίς επιτάχυνση ή θα ήταν σε ηρεμία.
Οι δυνάμεις αδράνειας εισάγονται μόνο για να συνθέσουμε τις εξισώσεις της δυναμικής χρησιμοποιώντας απλούστερες και πιο βολικές μεθόδους στατικής. Λαμβάνεται επίσης υπόψη ότι το γεωμετρικό άθροισμα των εσωτερικών δυνάμεων και το άθροισμα των ροπών τους είναι ίσο με μηδέν. Η χρήση εξισώσεων που απορρέουν από την αρχή d'Alembert διευκολύνει τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων, καθώς αυτές οι εξισώσεις δεν περιέχουν πλέον εσωτερικές δυνάμεις.
