Η αρχή του d'Alembert για ένα υλικό σημείο. Η μορφή της εξίσωσης κίνησης σύμφωνα με τους νόμους του Νεύτωνα δεν είναι η μόνη. Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να γραφτούν και με άλλες μορφές. Μία από αυτές τις δυνατότητες είναι Αρχή του d'Alembert, που επιτρέπει τυπικά οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης να λάβουν τη μορφή εξισώσεων ισορροπίας.

Αυτή η αρχή μπορεί να θεωρηθεί ως ανεξάρτητο αξίωμα, που αντικαθιστά τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Το χρησιμοποιούμε ως μέσο επίλυσης προβλημάτων και το αντλούμε από το νόμο του Νεύτωνα.

Εξετάστε την κίνηση ενός υλικού σημείου σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Για ένα δωρεάν υλικό σημείο

έχουμε: ότι = = ΕΓΩ.

Μεταφέροντας διάνυσμα ότιστη δεξιά πλευρά της ισότητας, αυτή η αναλογία μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξίσωση ισορροπίας: Εγώ εκείνο - 0.

Εισάγουμε την έννοια δυνάμεις αδράνειας.Ας ονομάσουμε το διάνυσμα που είναι αντίθετο προς την επιτάχυνση και ίσο με το γινόμενο της μάζας του σημείου και της επιτάχυνσής του δύναμη αδράνειας υλικού σημείου: = -τα.

Χρησιμοποιώντας αυτήν την έννοια, μπορούμε να γράψουμε (Εικ. 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Ρύζι. 3.42.

για υλικό σημείο

Η εξίσωση (3.47) είναι η αρχή d'Alembert για ένα ελεύθερο υλικό σημείο: εάν η δύναμη της αδράνειας προστεθεί στις δυνάμεις που ασκούνται στο σημείο, τότε το σημείο θα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας.

Αυστηρά μιλώντας, η δηλωθείσα θέση δεν είναι η αρχή του d'Alembert στη μορφή με την οποία διατυπώθηκε από τον συγγραφέα.

σκέφτηκε ο d'Alembert μη ελεύθερη κίνηση ενός σημείου, χωρίς να χρησιμοποιείται η αρχή της απελευθέρωσης από δεσμούς, χωρίς να εισάγεται αντίδραση δεσμού. Σημειώνοντας ότι παρουσία σύνδεσης, η επιτάχυνση ενός σημείου δεν συμπίπτει ως προς την κατεύθυνση με τη δύναμη και ta F R,εισήγαγε την έννοια χαμένη δύναμη Π - ότικαι δήλωσε ότι η εφαρμογή μιας χαμένης δύναμης σε ένα σημείο δεν διαταράσσει την κατάσταση ισορροπίας του, αφού η χαμένη δύναμη εξισορροπείται από την αντίδραση της σύνδεσης.

Η σχέση (3,47) είναι βασική εξίσωση κινητοστατικής,ή Η εξίσωση αρχής της Πετρούπολης του Hermann-Euler.Η μέθοδος κινητοστατικής μπορεί να θεωρηθεί ως τροποποίηση της αρχής d'Alembert, συμπεριλαμβανομένου ενός σημείου ελεύθερου υλικού, το οποίο είναι πιο βολικό για πρακτική χρήση. Επομένως, στις περισσότερες λογοτεχνικές πηγές, η εξίσωση (3.47) ονομάζεται αρχή d'Alembert.

Αν το σημείο δεν είναι ελεύθερο, π.χ. επιβάλλεται ένας περιορισμός σε αυτό, είναι βολικό να διαιρεθούν οι δυνάμεις που δρουν στο σημείο σε ενεργό 1, R°(σύνθεση-

δεδομένη) και η αντίδραση του δεσμού CU: p(a) + n =

Αυτή η τεχνική είναι βολική, γιατί για ορισμένους τύπους δεσμών είναι δυνατό να συντεθεί μια εξίσωση κίνησης με τέτοιο τρόπο ώστε οι αντιδράσεις αυτών των δεσμών να μην περιλαμβάνονται σε αυτήν. Έτσι, η αρχή d'Alembert για ένα μη ελεύθερο σημείο μπορεί να γραφτεί ως (Εικ. 3.43):

R (α)+/V+ R W) = 0, (3.48)

Δηλαδή, εάν μια αδρανειακή δύναμη ασκηθεί σε ένα μη ελεύθερο υλικό σημείο, εκτός από τις ενεργές δυνάμεις και την αντίδραση σύζευξης, τότε το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα είναι σε ισορροπία ανά πάσα στιγμή.

Ρύζι. 3.43.

υλικό σημείο

ΕΝΑ- από τα Αγγλικά, ενεργός- ενεργός. Θυμηθείτε ότι οι δυνάμεις ονομάζονται ενεργές εάν διατηρούν τις τιμές τους όταν αφαιρεθούν όλοι οι δεσμοί.

Όταν εξετάζουμε την καμπυλόγραμμη κίνηση ενός σημείου, είναι σκόπιμο να αναπαραστήσουμε τη δύναμη της αδράνειας με τη μορφή δύο συνιστωσών: Г "‘ n) \u003d -ta n- φυγόκεντρος και W, p) \u003d -ta x -εφαπτομένη (Εικ. 3.44).

Ρύζι. 3.44.

κίνηση ενός υλικού σημείου

Θυμηθείτε ότι οι εκφράσεις για την κανονική και την εφαπτομενική επιτάχυνση έχουν τη μορφή: a p -U 2 / p και i t = s1U D/L

Τότε μπορείτε να γράψετε: Ρ^ τ) - -τ-p Rp p) - -t-t, ή τέλος: P

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3,49)

Η ισότητα (3.49) εκφράζει την αρχή d'Alembert για την καμπυλόγραμμη κίνηση ενός μη ελεύθερου σημείου.

Θεωρήστε ένα νήμα μήκους /, στο τέλος του οποίου είναι σταθερό ένα σημείο μάζας Τ.Το νήμα περιστρέφεται γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα, περιγράφοντας μια κωνική επιφάνεια με σταθερή γωνία κλίσης της γεννήτριας ΕΝΑ.Προσδιορίστε την αντίστοιχη σταθερή ταχύτητα του σημείου και την τάση του νήματος Τ(Εικ. 3.45).

Ρύζι. 3,45.

κίνηση ενός μη ελεύθερου υλικού σημείου

Ναι, αλλά: /u, /, a = const. Εύρημα: Τ, V.

Ας εφαρμόσουμε στο σημείο τις αδρανειακές δυνάμεις που κατευθύνονται αντίθετα προς τις αντίστοιχες συνιστώσες της επιτάχυνσης. Σημειώστε ότι η εφαπτομενική δύναμη αδράνειας είναι μηδέν, αφού κατά συνθήκη η ταχύτητα είναι σταθερή:

/1°") = -ta = -t-= Ω

και η φυγόκεντρος δύναμη αδράνειας προσδιορίζεται από την έκφραση P^ m) \u003d mU 2 /p,όπου p = /Bta.

Η εφαρμογή της αρχής d'Alembert σε αυτό το πρόβλημα μας επιτρέπει να γράψουμε την εξίσωση κίνησης του μελετημένου υλικού σημείου με τη μορφή μιας συνθήκης για την ισορροπία των συγκλίνων δυνάμεων: Τ; + T + Pp n) = 0.

Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι εξισώσεις ισορροπίας ισχύουν στην προβολή στους άξονες των φυσικών συντεταγμένων:

X^n=0, - FJ" 1+ Τσίνα = 0; ^ F h = 0, - mg + Τ cosa = 0,

+ Ταμαρτία α =

-mg + T cosa = 0,

που βρίσκουμε Τ= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

Η αρχή του d'Alembert για ένα σύστημα υλικών σημείων. Εξετάστε την κίνηση ενός μηχανικού συστήματος υλικών σημείων. Όπως και με την απόσυρση του OZMS, διαιρούμε τις δυνάμεις που εφαρμόζονται σε κάθε σημείο σε εξωτερικές και εσωτερικές (Εικ. 3.46).

Ρύζι. 3.46.

Έστω ' το αποτέλεσμα των εξωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο /-ο σημείο και / G (L - το αποτέλεσμα των εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο. Σύμφωνα με την αρχή d'Alembert, αδρανειακές δυνάμεις πρέπει να εφαρμόζονται σε κάθε υλικό σημείο του συστήματος: Рр n) = -т,а г

Τότε οι δυνάμεις που εφαρμόζονται σε κάθε σημείο του συστήματος ικανοποιούν τη σχέση:

1?E) + pY) + p0p)

εκείνοι. το σύστημα των υλικών σημείων θα βρίσκεται σε ισορροπία εάν σε κάθε σημείο του ασκηθεί πρόσθετη δύναμη αδράνειας. Έτσι, με τη βοήθεια της αρχής d'Alembert, είναι δυνατό να δώσουμε στις εξισώσεις κίνησης του συστήματος τη μορφή εξισώσεων ισορροπίας.

Ας εκφράσουμε τις συνθήκες κινητοστατικής ισορροπίας του συστήματος χρησιμοποιώντας τα στατικά ισοδύναμα αδρανειακών δυνάμεων και εξωτερικών δυνάμεων. Για το σκοπό αυτό, αθροίζουμε όλα Πεξισώσεις (ΕΝΑ),περιγράφοντας τις δυνάμεις που εφαρμόζονται σε επιμέρους σημεία του συστήματος. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις ροπές όλων των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων και των δυνάμεων αδράνειας που εφαρμόζονται σε μεμονωμένα σημεία, σε σχέση με ένα αυθαίρετο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ:

ζ αΧ R "E> + g αΧ /*") + g αΧ P t > =0. і = 1,2,..., ".

Στη συνέχεια συνοψίζουμε, ως αποτέλεσμα παίρνουμε

// σελ σελ

'(ΜΙ) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[Μ (0 Ε) + Μ (0 η + Μ% α) = 0.

Επειδή η K i)= 0 και M 1 0 p = 0, τελικά έχουμε:

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M (a E) + M('n) = 0.

Μπορεί να φανεί από το σύστημα των εξισώσεων (3.50) ότι το κύριο διάνυσμα των αδρανειακών δυνάμεων εξισορροπείται από το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων και η κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας σε σχέση με ένα αυθαίρετο σημείο εξισορροπείται από την κύρια ροπή των εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση με το ίδιο σημείο.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, είναι απαραίτητο να υπάρχουν εκφράσεις για το κύριο διάνυσμα και την κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας. Τα μεγέθη και οι κατευθύνσεις αυτών των διανυσμάτων εξαρτώνται από την κατανομή των επιταχύνσεων μεμονωμένων σημείων και των μαζών τους. Κατά κανόνα, ένας άμεσος ορισμός I (sh)Και Μ ( "" ]Η γεωμετρική άθροιση μπορεί να πραγματοποιηθεί σχετικά απλά μόνο όταν Π - 2 ή Π= 3. Ταυτόχρονα, στο πρόβλημα της κίνησης ενός άκαμπτου σώματος, είναι δυνατόν να εκφραστούν τα στατικά ισοδύναμα των αδρανειακών δυνάμεων σε ορισμένες συγκεκριμένες περιπτώσεις κίνησης ανάλογα με τα κινηματικά χαρακτηριστικά.

Κύριο διάνυσμα και κύρια ροπή δυνάμεων αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος σε διάφορες περιπτώσεις κίνησης. Σύμφωνα με το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας t με ένα c \u003d I (E).Σύμφωνα με την αρχή του d'Alembert, έχουμε: I (1P) + I (E) =Α, που βρίσκουμε: I "1P) = -τ με ένα με.Έτσι, με οποιαδήποτε κίνηση του σώματος το κύριο διάνυσμα των αδρανειακών δυνάμεων είναι ίσο με το γινόμενο της μάζας του σώματος και την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και κατευθύνεται αντίθετα από την επιτάχυνση του κέντρου μάζας(Εικ. 3.47).

Ρύζι. 3.47.

Ας εκφράσουμε την κύρια ροπή αδρανειακών δυνάμεων κατά την περιστροφική κίνηση του σώματος γύρω από σταθερό άξονα κάθετο στο επίπεδο υλικής συμμετρίας του σώματος (Εικ. 3.48). Δυνάμεις αδράνειας που εφαρμόζονται στο / -σημείο: R"! n) = m, x op; 2 και Ε; Π)= /u,ep,.

Εφόσον όλες οι φυγόκεντρες δυνάμεις αδράνειας τέμνουν τον άξονα περιστροφής, η κύρια ροπή αυτών των δυνάμεων αδράνειας είναι μηδέν και η κύρια ροπή των εφαπτομενικών δυνάμεων αδράνειας είναι:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - J z (3.51)

Έτσι, η κύρια ροπή των εφαπτομενικών δυνάμεων αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας γύρω από αυτόν τον άξονα και τη γωνιακή επιτάχυνση και η κατεύθυνση της κύριας ροπής των εφαπτομενικών δυνάμεων αδράνειας είναι αντίθετη προς την κατεύθυνση της γωνιακής επιτάχυνσης.

Ρύζι. 3.48.

γύρω από τον άξονα περιστροφής

Στη συνέχεια, εκφράζουμε τις δυνάμεις αδράνειας για μια επίπεδη-παράλληλη κίνηση του σώματος. Θεωρώντας την επίπεδη-παράλληλη κίνηση του σώματος (Εικ. 3.49) ως το άθροισμα της μεταφορικής κίνησης μαζί με το κέντρο μάζαςκαι περιστροφή γύρω άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζαςκάθετα στο επίπεδο κίνησης, μπορεί να αποδειχθεί, παρουσία ενός επιπέδου συμμετρίας υλικού που συμπίπτει με το επίπεδο κίνησης του κέντρου μάζας, ότι οι δυνάμεις αδράνειας σε επίπεδο-παράλληλη κίνηση είναι ισοδύναμες με το κύριο διάνυσμα / ? (" p) που εφαρμόζεται στο κέντρο μάζας είναι αντίθετη προς την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και η κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας M^ n)σε σχέση με τον κεντρικό άξονα, κάθετο στο επίπεδο κίνησης, που κατευθύνεται προς την αντίθετη διεύθυνση της γωνιακής επιτάχυνσης:

Ρύζι. 3.49.

Σημειώσεις.

• 1. Σημειώστε ότι, εφόσον η αρχή d’Alembert επιτρέπει απλά γράψτε την εξίσωση της κίνησης με τη μορφή μιας εξίσωσης ισορροπίας,τότε δεν δίνει ολοκληρώματα της εξίσωσης της κίνησης.
• 2. Τονίζουμε ότι δύναμη αδράνειαςστην αρχή του d'Alembert είναι πλασματικό γκρι,εφαρμόζονται επιπλέον των ενεργών δυνάμεων με μοναδικό σκοπό την απόκτηση ενός συστήματος ισορροπίας. Ωστόσο, στη φύση υπάρχουν δυνάμεις που είναι γεωμετρικά ίσες με τις δυνάμεις αδράνειας, αλλά αυτές οι δυνάμεις εφαρμόζονται σε άλλα (επιταχυνόμενα) σώματα, σε αλληλεπίδραση με τα οποία προκύπτει μια επιταχυνόμενη δύναμη, που εφαρμόζεται στο θεωρούμενο κινούμενο σώμα. Για παράδειγμα, όταν μετακινείτε ένα σημείο στερεωμένο σε ένα νήμα που περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα γύρω από έναν κύκλο σε ένα οριζόντιο επίπεδο, η τάση του νήματος είναι ακριβώς ίση με δύναμη αδράνειας,εκείνοι. η δύναμη αντίδρασης ενός σημείου σε ένα νήμα,ενώ το σημείο κινείται υπό τη δράση της αντίδρασης του νήματος σε αυτό.
• 3. Όπως έχει ήδη αποδειχθεί, η παραπάνω μορφή της αρχής του d'Alembert διαφέρει από εκείνη που χρησιμοποιεί ο ίδιος ο d'Alembert. Η μέθοδος σύνταξης διαφορικών εξισώσεων κίνησης του συστήματος, που χρησιμοποιείται εδώ, αναπτύχθηκε και επεκτάθηκε από αρκετούς επιστήμονες της Αγίας Πετρούπολης και έλαβε το όνομα κινητοστατική μέθοδος.

Εφαρμογή των μεθόδων της μηχανικής σε ορισμένα προβλήματα της δυναμικής των σιδηροδρομικών οχημάτων:

? κίνηση ενός σιδηροδρομικού οχήματος κατά μήκος μιας καμπύλης τροχιάς.Επί του παρόντος, λόγω των δυνατοτήτων της τεχνολογίας υπολογιστών, η ανάλυση όλων των μηχανικών φαινομένων που συμβαίνουν κατά την κίνηση ενός σιδηροδρομικού οχήματος σε μια καμπύλη πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας ένα μάλλον περίπλοκο μοντέλο, το οποίο λαμβάνει υπόψη ολόκληρο το σύνολο των επιμέρους σωμάτων του συστήματος και τα χαρακτηριστικά των μεταξύ τους συνδέσεων. Αυτή η προσέγγιση καθιστά δυνατή την απόκτηση όλων των απαραίτητων κινηματικών και δυναμικών χαρακτηριστικών της κίνησης.

Ωστόσο, κατά την ανάλυση των τελικών αποτελεσμάτων και τη διεξαγωγή προκαταρκτικών εκτιμήσεων στην τεχνική βιβλιογραφία, συναντώνται αρκετά συχνά ορισμένες παραμορφώσεις ορισμένων εννοιών της μηχανικής. Επομένως, καλό είναι να μιλήσουμε για τα πιο «πρωτότυπα θεμέλια» που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της κίνησης του πληρώματος σε μια καμπύλη.

Ας παρουσιάσουμε μερικές μαθηματικές περιγραφές των εξεταζόμενων διαδικασιών σε μια στοιχειώδη διατύπωση.

Για μια σωστή, συνεπή εξήγηση των χαρακτηριστικών ακίνητη κίνηση του πληρώματοςσε μια κυκλική καμπύλη είναι απαραίτητο:

• επιλέξτε τη μέθοδο της μηχανικής που χρησιμοποιείται για την περιγραφή αυτής της κίνησης.
• προχωρήστε από μια σαφή, από την άποψη της μηχανικής, έννοια της "δύναμης".
• μην ξεχνάτε τον νόμο της ισότητας δράσης και αντίδρασης.

Η διαδικασία κίνησης του πληρώματος σε μια καμπύλη συνεπάγεται αναπόφευκτα αλλαγή στην κατεύθυνση της ταχύτητας. Το χαρακτηριστικό της ταχύτητας αυτής της αλλαγής είναι η κανονική επιτάχυνση που κατευθύνεται στο κέντρο καμπυλότητας της καμπυλόγραμμης τροχιάς του κέντρου μάζας: a p - V 2/p, όπου p είναι η ακτίνα της καμπύλης.

Κατά τη διάρκεια της κίνησης, το όχημα αλληλεπιδρά με τη σιδηροδρομική γραμμή, με αποτέλεσμα κανονικές και εφαπτομενικές αντιδραστικές δυνάμεις που εφαρμόζονται στους τροχούς. Φυσικά, ίσες και αντίθετες δυνάμεις πίεσης εφαρμόζονται στις ράγες. Σύμφωνα με τις παραπάνω μηχανικές έννοιες, η δύναμη νοείται ως το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης των σωμάτων ή ενός σώματος και ενός πεδίου. Στο εξεταζόμενο πρόβλημα, υπάρχουν δύο φυσικά συστήματα: μια άμαξα με τροχούς και μια σιδηροδρομική γραμμή, επομένως, οι δυνάμεις πρέπει να αναζητηθούν στα σημεία επαφής τους. Επιπλέον, η αλληλεπίδραση του πληρώματος και του βαρυτικού πεδίου της Γης δημιουργεί βαρύτητα.

Η περιγραφή της κίνησης του πληρώματος στην καμπύλη μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας γενικά θεωρήματα δυναμικής, οι οποίες είναι συνέπειες του OZMS, ή βασίζονται σε αρχές της μηχανικής(για παράδειγμα, η αρχή d'Alembert), η οποία είναι η βάση κινητοστατική μέθοδος.

Θέλοντας να εξηγήσω ίσα χαρακτηριστικάμεθόδους για να ληφθεί υπόψη η καμπυλότητα του άξονα της τροχιάς στα χαρακτηριστικά της κίνησης του πληρώματος, χρησιμοποιούμε πρώτα το απλούστερο εξιδανικευμένο μοντέλο. Το πλήρωμα θα θεωρείται ως υλικό αεροπλάνο με μάζα ίση με τη μάζα αυτού του συστήματος.

Το κέντρο μάζας που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο εκτελεί μια δεδομένη κίνηση κατά μήκος μιας τροχιάς αντίστοιχης προς τον άξονα της διαδρομής, με ταχύτητα v.Η επαφή με τη σιδηροδρομική γραμμή πραγματοποιείται σε δύο σημεία τομής του κινούμενου επιπέδου με τα νήματα της σιδηροτροχιάς. Επομένως, μιλώντας για την αλληλεπίδραση του οχήματος με τη σιδηροδρομική γραμμή, μπορούμε να μιλήσουμε για συγκεντρωμένες δυνάμεις, οι οποίες είναι το αποτέλεσμα όλων των αντιδράσεων των σιδηροτροχιών σε μεμονωμένους τροχούς από κάθε μία από τις ράγες. Επιπλέον, η φύση της εμφάνισης αντιδραστικών δυνάμεων είναι ασήμαντη.

? κίνηση του βαγονιού κατά μήκος της τροχιάς χωρίς ανύψωση της εξωτερικής σιδηροτροχιάς.Στο σχ. Το 3.50 δείχνει το σχέδιο σχεδιασμού του πληρώματος που κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης διαδρομής. Οι εξωτερικές και εσωτερικές ράγες, σε αυτή την περίπτωση, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Στο σχ. Το 3.50 δείχνει τις δυνάμεις που δρουν στο πλήρωμα και τις αντιδράσεις των δεσμών. Τονίζουμε ότι δεν υπάρχουν δεν υπάρχουν πραγματικές φυγόκεντρες δυνάμεις σε αυτό το σχήμα.

Στο πλαίσιο της γεωμετρικής μηχανικής του Νεύτωνα, η κίνηση ενός οχήματος σε μια καμπύλη περιγράφεται από γενικά θεωρήματα της δυναμικής του συστήματος.

Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας,

t c a c - I a), (a)

όπου R) είναι το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων.

Προβάλλοντας και τα δύο μέρη της έκφρασης (ΕΝΑ)στους φυσικούς άξονες συντεταγμένων που συνοδεύουν, το κέντρο των οποίων βρίσκεται στο κέντρο μάζας του οχήματος, με μοναδιαία διανύσματα m, i, σικαι πιστέψτε t s = Τ.

Στην προβολή στην κύρια κανονική, παίρνουμε ότι n \u003d F n,ή

mV / p \u003d Fn (b)

Οπου F n - πραγματική δύναμηαντιδράσεις σιδηροτροχιάς σε σύνολα τροχών, που είναι το άθροισμα των προβολών των αντιδράσεων σιδηροτροχιάς στην κανονική προς την τροχιά. Αυτές μπορεί να είναι οι κατευθυντικές δυνάμεις πίεσης των σιδηροτροχιών στις φλάντζες των τροχών. Δεν υπάρχουν άλλες εξωτερικές δυνάμεις προς αυτή την κατεύθυνση.

Στην προβολή έκφρασης (ΕΝΑ)στο δικανονικό παίρνουμε:

Ο = -mg+Nout+Nπανδοχείο. (Με)

Εδώ οι δείκτες έξω 1αντιστοιχούν στην εξωτερική, α πανδοχείο-εσωτερική ράγα της καμπύλης. Η αριστερή πλευρά στην έκφραση (γ) είναι ίση με μηδέν, αφού η προβολή της επιτάχυνσης στο δικανονικό είναι ίση με μηδέν.

Λαμβάνουμε την τρίτη εξίσωση χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής σε σχέση με το κέντρο μάζας:

dK c /dt = ^M c . (ρε)

Σχεδιάζοντας μια έκφραση ρεστον άξονα t, όπου t = nxb -διανυσματικό γινόμενο μονάδων διανυσμάτων ΠΚαι σι, λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι KCl\u003d U St με t, U St - τη στιγμή αδράνειας του πληρώματος ως προς τον άξονα που εφάπτεται στην τροχιά του κέντρου μάζας, θα έχουμε

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (μι)

αφού η γωνιακή επιτάχυνση γύρω από τον άξονα m σε σταθερή κίνηση κατά μήκος μιας κυκλικής καμπύλης είναι μηδέν.

Εκφράσεις ( σι), (γ) και (μι)είναι ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων για τρία άγνωστα μεγέθη Μ-τπ> λύνοντας ποια, παίρνουμε:

Ρύζι. 3,50.

Έτσι, η συνεπής εφαρμογή των γενικών θεωρημάτων της δυναμικής μας επιτρέπει να καθιερώσουμε στο υπό εξέταση πρόβλημα όλα τα φαινόμενα που σχετίζονται με τη διέλευση του πληρώματος ενός καμπυλόγραμμου τμήματος της πίστας.

Στην πραγματικότητα, και οι δύο τροχοί υπόκεινται σε δυνάμεις που κατευθύνονται μέσα στην καμπύλη. Το αποτέλεσμα αυτών των δυνάμεων δημιουργεί μια στιγμή γύρω από το κέντρο μάζας του οχήματος, η οποία μπορεί να προκαλέσει περιστροφή και ακόμη και ανατροπή προς τα έξω της καμπύλης εάν V 2 N/p5" > σολ.Η δράση αυτής της δύναμης οδηγεί σε φθορά των τροχών. Φυσικά, η αντίθετα κατευθυνόμενη δύναμη που ενεργεί στη σιδηροτροχιά -R σελπροκαλεί φθορά των σιδηροτροχιών.

Σημειώστε ότι στην παραπάνω δήλωση, μπορεί κανείς να βρει μόνο το αποτέλεσμα των οριζόντιων αντιδράσεων δύο σιδηροτροχιών R.Για να προσδιοριστεί η κατανομή αυτής της δύναμης μεταξύ των εσωτερικών και εξωτερικών σιδηροτροχιών, είναι απαραίτητο να λυθεί ένα στατικά απροσδιόριστο πρόβλημα χρησιμοποιώντας πρόσθετες συνθήκες. Επιπλέον, κατά την κίνηση του φορείου, οι κανονικές αντιδράσεις των εξωτερικών και εσωτερικών σιδηροτροχιών έχουν διαφορετικές τιμές. Το εξωτερικό σπείρωμα της ράγας είναι πιο φορτωμένο.

Η αντίδραση του εσωτερικού νήματος στο όχημα είναι μικρότερη και σε μια ορισμένη τιμή ταχύτητας μπορεί να είναι ακόμη και μηδέν.

Στην κλασική μηχανική, αυτή η κατάσταση ονομάζεται ανατροπή, αν και στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ακόμη ανατροπή. Για να μάθουμε πότε συμβαίνει η πραγματική κατάσταση ανατροπής, θα πρέπει να εξετάσουμε την περιστροφή του θαλάμου γύρω από έναν άξονα παράλληλο προς το m και που διέρχεται από το σημείο επαφής του τροχού με την εξωτερική ράγα στο; Τ φά 0. Ένα τέτοιο έργο έχει καθαρά ακαδημαϊκό ενδιαφέρον, αφού, φυσικά, είναι απαράδεκτο να φέρουμε ένα πραγματικό σύστημα σε μια τέτοια κατάσταση.

Τονίζουμε για άλλη μια φορά ότι εξηγώντας όλα τα φαινόμενα, προχωρήσαμε από το γεγονός η κίνηση του αυτοκινήτου κάτω από τη δράση μόνο πραγματικών δυνάμεων.

Σημειώστε ότι η διαφορική εξίσωση περιστροφής γύρω από τον άξονα m, ακόμη και στο = 0, γράφεται ως προς τον κεντρικό άξονα m. Η επιλογή αυτού του άξονα σε διαφορετικό σημείο οδηγεί σε αλλαγή της μορφής της αριστερής πλευράς της εξίσωσης του θεώρημα στιγμής. Επομένως, είναι αδύνατο, για παράδειγμα, να γραφτεί αυτή η εξίσωση με την ίδια μορφή σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το σημείο επαφής του τροχού με τη σιδηροτροχιά, αν και φαίνεται ότι θα ήταν ευκολότερο να βρεθεί η τιμή των κανονικών αντιδράσεων σε αυτήν την περίπτωση. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση θα οδηγήσει σε λάθος αποτέλεσμα: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Μπορεί να φανεί ότι το θέμα είναι ότι η εξίσωση περιστροφής γύρω από έναν άξονα που διέρχεται, για παράδειγμα, από ένα σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝ, πρέπει να γράφεται λαμβάνοντας υπόψη τη ροπή ορμής του σώματος από το μεταφορικό τμήμα της κίνησης g x x ta s: J Cl? t+ Τ(g ks xx δ)=^ M Kh.

Επομένως, αντί για την εξίσωση (γ) στην προβολή στον άξονα St, λαμβάνουμε την έκφραση

(8 )

/ Αγ; t+ t[g ksΧ μετα Χριστον) t = -teB + N ipp 25,

όπου σε παρένθεση είναι η τιμή της προβολής στον άξονα St του διανυσματικού γινομένου ? ks ha s.

Ας δείξουμε ότι η διαδοχική εφαρμογή των απαραίτητων διαδικασιών μας επιτρέπει να βρούμε s wαπό την εξίσωση που προκύπτει). Από το σχ. Το 3,50 δείχνει ότι

g ks - bp + HbΚαι α γ =

Ας υπολογίσουμε το διανυσματικό γινόμενο:

Εδώ λαμβάνεται υπόψη ότι php = 0Και bxn = -τ. Επομένως,

tNU 2

2L g / lp 5',

όπου βρίσκουμε την αντίδραση της εσωτερικής σιδηροτροχιάς:

που είναι ίδιο με το αποτέλεσμα που προκύπτει στην έκφραση (/).

Ολοκληρώνοντας την παρουσίαση του προβλήματος, επισημαίνουμε ότι η θεώρηση του αυτοκινήτου μέσα κίνησηΗ χρήση των μεθόδων της γεωμετρικής μηχανικής του Νεύτωνα επιτρέπει την επίλυση του προβλήματος χωρίς την εισαγωγή της πλασματικής και αυτής της αδράνειας.Είναι απαραίτητο μόνο να χρησιμοποιήσετε σωστά όλες τις διατάξεις της μηχανικής. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι η χρήση αυτής της μεθόδου μπορεί να σχετίζεται με μεγαλύτερο αριθμό υπολογισμών από ό,τι, για παράδειγμα, όταν χρησιμοποιείται η αρχή d'Alembert.

Ας δείξουμε τώρα πώς λύνεται το ίδιο πρόβλημα με βάση τη χρήση της αρχής d'Alembert στη γενικά αποδεκτή μορφή της μεθόδου κινετοστατικής. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ένα πρόσθετο

σπείρωμα πλασματικόςδύναμη αδράνειας: ΣΟΛ* = -ta sp = -Τ-Π.Και εκι-

σελίδα σταματά, δηλ. τώρα η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του μετα Χριστον= 0. Στο σχ. Το 3.51 δείχνει τέτοια σύστημα ανάπαυσης.Όλες οι δυνάμεις που εφαρμόζονται σε αυτό, συμπεριλαμβανομένης της δύναμης αδράνειας, πρέπει να ικανοποιούν τις κινητοστατικές εξισώσεις ισορροπία, όχι κίνηση,όπως και στην προηγούμενη περίπτωση.

Αυτή η περίσταση μας επιτρέπει να βρούμε όλες τις άγνωστες ποσότητες από εξίσωση ισορροπίας.Στην περίπτωση αυτή, η επιλογή της μορφής των εξισώσεων ισορροπίας και των σημείων ως προς τα οποία υπολογίζονται οι ροπές γίνεται αυθαίρετη. Η τελευταία περίσταση μας επιτρέπει να βρούμε όλα τα άγνωστα ανεξάρτητα το ένα από το άλλο:

Εγώ Μ. = ωΕγώ Μ,_= ω

-n = περίπου.

1 στο βουλευτής

Ρύζι. 3.51. Το σχέδιο σχεδιασμού των δυνάμεων που ενεργούν στο πλήρωμα υπό τις ίδιες συνθήκες όπως στο Σχ. 3,50 όταν χρησιμοποιείται η αρχή d'Alembert

Είναι εύκολο να δούμε ότι οι λύσεις αυτού του συστήματος εξισώσεων συμπίπτουν με τους αντίστοιχους τύπους που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας τη θεωρία της δυναμικής. Έτσι, στο υπό εξέταση παράδειγμα, η εφαρμογή της αρχής d'Alembert κατέστησε δυνατή την κάπως απλούστευση της λύσης του προβλήματος.

Ωστόσο, κατά την ερμηνεία των αποτελεσμάτων, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η επιπρόσθετα εφαρμοζόμενη αδρανειακή δύναμη είναι πλασματική με την έννοια ότι στην πραγματικότητα δεν υπάρχει τέτοια δύναμη στο πλήρωμα.Επιπλέον, αυτή η δύναμη δεν ικανοποιεί τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα - δεν υπάρχει «δεύτερο άκρο» αυτής της δύναμης, δηλ. καμία αντίθεση.

Γενικά, κατά την επίλυση πολλών προβλημάτων της μηχανικής, συμπεριλαμβανομένου του προβλήματος της κίνησης του πληρώματος σε μια καμπύλη, είναι βολικό να εφαρμοστεί η αρχή d'Alembert. Ωστόσο, δεν πρέπει να συσχετίζεται κανένα φαινόμενο δράσηαυτή η δύναμη αδράνειας. Για παράδειγμα, να πούμε ότι αυτή η φυγόκεντρος δύναμη αδράνειας φορτίζει επιπλέον την εξωτερική σιδηροτροχιά και ξεφορτώνει την εσωτερική, και επιπλέον ότι αυτή η δύναμη μπορεί να προκαλέσει την ανατροπή του οχήματος. Αυτό δεν είναι μόνο αναλφάβητο, αλλά και ανούσιο.

Υπενθυμίζουμε για άλλη μια φορά ότι οι εξωτερικές ασκούμενες δυνάμεις που δρουν στο φορέα σε μια καμπύλη και μεταβάλλουν την κατάσταση της κίνησής του είναι η βαρύτητα, οι κάθετες και οριζόντιες αντιδράσεις των σιδηροτροχιών.

? κίνηση του φορείου κατά μήκος μιας καμπύλης με ανύψωση της εξωτερικής ράγας.Όπως φάνηκε, οι διεργασίες που συμβαίνουν όταν το όχημα διέρχεται από καμπύλες χωρίς ανύψωση της εξωτερικής ράγας συνδέονται με ανεπιθύμητες συνέπειες - ανομοιόμορφη κατακόρυφη φόρτιση των σιδηροτροχιών, σημαντική κανονική οριζόντια απόκριση της ράγας στον τροχό, συνοδευόμενη από αυξημένη φθορά και των τροχών και των σιδηροτροχιών, δυνατότητα ανατροπής κατά την υπέρβαση της ταχύτητας κίνηση ορισμένου ορίου κ.λπ.

Σε μεγάλο βαθμό, τα δυσάρεστα φαινόμενα που συνοδεύουν το πέρασμα των καμπυλών μπορούν να αποφευχθούν ανυψώνοντας την εξωτερική ράγα πάνω από την εσωτερική. Σε αυτή την περίπτωση, το φορείο θα κυλήσει κατά μήκος της επιφάνειας του κώνου με τη γωνία κλίσης της γεννήτριας προς τον οριζόντιο άξονα (Εικ. 3.52): f L \u003d arcsin (L / 25) ή σε μικρές γωνίες

F A * L/2 ΜΙΚΡΟ.

Ρύζι. 3.52.

με ανύψωση της εξωτερικής ράγας

Στη στατική περίπτωση, όταν V- const και φ A = const, μπορούμε να θεωρήσουμε την κίνηση ενός επίπεδου τμήματος του φορείου στο δικό του επίπεδο με τον ίδιο τρόπο όπως όταν προσαρμόζεται σε μια καμπύλη χωρίς να σηκώνεται η εξωτερική ράγα.

Εξετάστε μια τεχνική για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιώντας γενικά θεωρήματα δυναμικής. Θα υποθέσουμε ότι το κέντρο μάζας του οχήματος κινείται κατά μήκος μιας κυκλικής καμπύλης ακτίνας p, αν και στην υπό εξέταση περίπτωση, αυστηρά μιλώντας, η ακτίνα καμπυλότητας του άξονα τροχιάς διαφέρει από την ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς του κέντρου μάζας σε μικρή ποσότητα:

Hαμαρτία cf L ~ H f A "r.

Επομένως, σε σύγκριση με το p, η τελευταία τιμή μπορεί να αγνοηθεί. Η κίνηση του «επίπεδου τμήματος» του πληρώματος θα αποδοθεί στους συνοδούς άξονες SuSi x(βλ. Εικ. 3.52), όπου ο άξονας Su]παράλληλα με το επίπεδο της τροχιάς. Με σταθερή ταχύτητα κίνησης, η προβολή της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας στην κύρια κανονική της τροχιάς της κίνησής του μπορεί να γραφτεί με τον ίδιο τρόπο όπως όταν κινείται σε καμπύλη χωρίς ανύψωση, δηλ. ένα σελ = V i/R.

Προβολές επιτάχυνσης στον άξονα Su, και Cz^είναι ίσα αντίστοιχα:

a ux = a p sovf,; ΕΓΩ. \u003d ένα «smy h.

Οι εξισώσεις κίνησης μιας επίπεδης τομής που βασίζονται στο θεώρημα της κίνησης του κέντρου μάζας και στο θεώρημα της μεταβολής της γωνιακής ορμής σε σχέση με τον άξονα Cx είναι οι εξής:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι = 0, μετά την αντικατάσταση, προκύπτει ένα σύστημα τριών γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων σε τρεις αγνώστους φά vi, Ν iiw, N (μηδέν:

/i-si Pf l = -mg cosV/ , + N mn + N έξω; Π

-σοφ Α = mgs ipf A + φά ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Σημειώστε ότι η κλίση του επιπέδου του άξονα της σιδηροτροχιάς λόγω της ανύψωσης της εξωτερικής σιδηροτροχιάς οδηγεί σε αλλαγή στην προβολή της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας στον άξονα Cy, και Cr, η οποία σχετίζεται με αλλαγή του αντιδράσεις των σιδηροτροχιών σε σύγκριση με εκείνες απουσία ανύψωσης, όταν ΕΝΑ. - 0, a l Αυτές οι αλλαγές στις προβολές των επιταχύνσεων μπορούν να εξηγηθούν αν θεωρήσουμε την περιστροφή του οχήματος γύρω από τη δικανονική που διέρχεται από το κέντρο καμπυλότητας της καμπύλης ως το γεωμετρικό άθροισμα δύο περιστροφών ω = ω (+ b) γύρω από τους άξονες;, y, περνώντας από το ίδιο κέντρο της καμπύλης.

Κατά τη σύνταξη ενός συστήματος εξισώσεων (Προς την)η μικρότητα της γωνίας cp L δεν προβλεπόταν. Ωστόσο, σε πρακτικό σχέδιο

wtf A ~ /g/25.

Έτσι, στην περίπτωση του μικρού f L, το σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των αντιδράσεων της τροχιάς στο όχημα έχει την ακόλουθη μορφή:

= -g^+ LG, " + M gsh,;

Τ- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις παίρνουμε:

Ν...... =

mg + TU/ΣΟΛ

Παρ/77 Κ ΚΑΙ /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

Στη συγκεκριμένη περίπτωση που δεν υπάρχει υψόμετρο (ΚΑΙ= 0), αυτές οι εκφράσεις συμπίπτουν με αυτές που ελήφθησαν νωρίτερα (/).

Ας στραφούμε τώρα στην ανάλυση των αποτελεσμάτων της επίλυσης του προβλήματος για ΑΝ 0.

Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση η εγκάρσια αντίδραση της ράγας, που κατευθύνεται στο επίπεδο της τροχιάς, μειώνεται. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι στον σχηματισμό της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας προς την κατεύθυνση του άξονα Su, συμμετέχει όχι μόνο η δύναμη //, αλλά και η συνιστώσα της βαρύτητας. Επιπλέον, για μια ορισμένη τιμή ΚΑΙ\u003d 25K 2 / p; δύναμη Rγίνεται μηδέν:

Έχοντας υπόψη ότι

t g - Τ,= Χ Α,%>+ Χ ΕΝΑ[

• (3.42)

Η τιμή σε αγκύλες ονομάζεται εξαιρετική επιτάχυνση.Το κράτος όταν P = 0, αντιστοιχεί στην περίπτωση στην οποία η κανονική επιτάχυνση ΕΝΑσχηματίζεται μόνο από την προβολή στον άξονα d>, τη δύναμη της βαρύτητας του πληρώματος.

Όταν συζητάμε το πρόβλημα που εξετάζουμε, μερικές φορές υπάρχει ένας σοφιστικός συλλογισμός ότι η επιτάχυνση ένα σελκατευθύνεται οριζόντια και η βαρύτητα είναι κατακόρυφη (βλ. Εικ. 3.52) και επομένως δεν μπορεί να σχηματίσει την εξεταζόμενη επιτάχυνση ένα σελστο R= 0. Αυτός ο συλλογισμός περιέχει σφάλμα, αφού στον σχηματισμό της οριζόντιας επιτάχυνσης, εκτός από τη δύναμη R, συμμετέχουν και οι κανονικές αντιδράσεις D r w u και / V o r Το άθροισμα αυτών των δύο αντιδράσεων σε μικρό f A είναι ίσο με 1H tp + 1U oig \u003d mg.Επομένως, η βαρύτητα εξακολουθεί να συμμετέχει στο σχηματισμό της οριζόντιας επιτάχυνσης ένα π,αλλά μέσω της δράσης των αντιδράσεων N mΚαι S oiG

Ας συζητήσουμε τώρα πώς αλλάζουν οι κανονικές αντιδράσεις των σιδηροτροχιών, κάθετων στην επιφάνεια της τροχιάς.

Σημειώστε ότι, σε αντίθεση με την περίπτωση /7 = 0, οι αντιδράσεις αυξάνονται κατά την ίδια τιμή TU 2 I/2r28,που παραμελείται γιατί ///25 - η τιμή είναι μικρή. Ωστόσο, σε αυστηρούς συλλογισμούς, παραλείψτε αυτόν τον όρο για εκφράσεις και N wμην το κάνεις.

Όταν - > -2-, δηλ. με θετική εξαιρετική επιτάχυνση, σελ 25

η αντίδραση της εσωτερικής ράγας είναι μικρότερη από την εξωτερική, ωστόσο, η διαφορά μεταξύ τους δεν είναι τόσο σημαντική όσο με ΚΑΙ = 0.

Εάν η εκκρεμούσα επιτάχυνση είναι ίση με μηδέν, οι τιμές της αντίδρασης γίνονται ίσες με IV oSH = mg|2(για μικρά ΚΑΙ),εκείνοι. η ανύψωση της εξωτερικής ράγας επιτρέπει όχι μόνο την απόκτηση RU= 0, αλλά και εξισορροπήστε την πίεση στις εξωτερικές και εξωτερικές ράγες. Αυτές οι συνθήκες καθιστούν δυνατή την επίτευξη πιο ομοιόμορφων τιμών φθοράς και για τις δύο ράγες.

Ωστόσο, λόγω της ανύψωσης της εξωτερικής ράγας, υπάρχει πιθανότητα αρνητικής τιμής R", το οποίο σε ένα πραγματικό σύστημα με περιορισμούς χωρίς συγκράτηση αντιστοιχεί στη διαδικασία ολίσθησης του οχήματος κατά μήκος του άξονα y gεκείνοι. μέσα στην καμπύλη. Λόγω της ίδιας κλίσης της διαδρομής, μπορεί να συμβεί ανακατανομή των αντιδράσεων N wΚαι Ν ω!κυρίαρχο M sh.

Έτσι, μελέτες της κίνησης ενός οχήματος σε μια καμπύλη κατά μήκος μιας διαδρομής με ανύψωση της εξωτερικής σιδηροτροχιάς, που πραγματοποιήθηκαν χρησιμοποιώντας μεθόδους γεωμετρικής μηχανικής του Newton, καθιστούν δυνατή την ανάλυση της κατάστασης του συστήματος χωρίς πρόσθετες ορολογικές υποθέσεις. Δεν υπάρχουν δυνάμεις αδράνειας στο συλλογισμό.

Ας εξετάσουμε τώρα πώς περιγράφεται η κίνηση του φορείου στην ίδια καμπύλη χρησιμοποιώντας την αρχή d'Alembert.

Εφαρμόζοντας αυτή την αρχή στη διατύπωση της μεθόδου κινητοστατικής με τον ίδιο τρόπο όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί η κανονική (φυγόκεντρος) δύναμη αδράνειας στο κέντρο μάζας Ä n),κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κανονική επιτάχυνση (Εικ. 3.53):

Εν Σύστημαπάλι σταματά, δηλ. το πλήρωμα δεν κινείται κατά μήκος της πίστας. Επομένως, όλες οι εξισώσεις κινητοστατικής ισορροπίας είναι έγκυρες:

Εγώ Προς την= °-X r* =Ο.

/L^ypf, - G‘ σελσοφφ* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Αντικαθιστώντας την τιμή εδώ, λαμβάνουμε το ίδιο σύστημα εξισώσεων με το σύστημα (/) για οποιοδήποτε f / (ή (Προς την)στο μικρό ΚΑΙ.

Έτσι, η χρήση και των δύο μεθόδων οδηγεί σε ακριβώς τα ίδια αποτελέσματα. Σύστημα εξισώσεων ( Προς την) και το σύστημα που προκύπτει βάσει της αρχής d'Alembert είναι πανομοιότυπα.

Σημειώστε, ωστόσο, ότι στο τα τελικά αποτελέσματα δεν περιλαμβάνουν δυνάμεις αδράνειας.Αυτό είναι κατανοητό, δεδομένου ότι η αρχή d'Alembert, η οποία βασίζεται στη μέθοδο της κινητοστατικής, είναι μόνο ένα μέσο σύνταξης διαφορικών εξισώσεων κίνησης του συστήματος.Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι στο υπό εξέταση πρόβλημα, η εφαρμογή της αρχής d'Alembert κατέστησε δυνατή την απλοποίηση των υπολογισμών και μπορεί να προταθεί για πρακτικούς υπολογισμούς.

Ωστόσο, τονίζουμε για άλλη μια φορά ότι στην πραγματικότητα δεν υπάρχει δύναμη TU 2/p εφαρμόζεται στο κέντρο μάζας του κινούμενου οχήματος. Επομένως, όλα τα φαινόμενα που σχετίζονται με την κίνηση σε μια καμπύλη θα πρέπει να εξηγηθούν όπως έγινε με βάση μια ανάλυση των αποτελεσμάτων της επίλυσης του συστήματος (/), ή (Προς την).

Συμπερασματικά, επισημαίνουμε ότι η «μέθοδος του Νεύτωνα» και η «μέθοδος του D'Alembert» στο υπό εξέταση πρόβλημα χρησιμοποιήθηκαν μόνο για το σκοπό της σύνταξης διαφορικών εξισώσεων κίνησης. Ταυτόχρονα, στο πρώτο στάδιο, δεν λαμβάνουμε καμία πληροφορία, εκτός από τις ίδιες τις διαφορικές εξισώσεις. Η επακόλουθη λύση των ληφθέντων εξισώσεων και η ανάλυση που πραγματοποιήθηκε δεν σχετίζονται με τη μέθοδο απόκτησης των ίδιων των εξισώσεων.

Ρύζι. 3.53.

• έξω-από τα Αγγλικά, εξωτερικός-εξωτερικός.
• πανδοχείο-από τα Αγγλικά, εσωτερικός-εσωτερικό.
• πανδοχείο-από τα Αγγλικά, εσωτερικός-εσωτερικό.

Αρχή d'Alembert

Το κύριο έργο του Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Treatise on dynamics" - δημοσιεύτηκε το 1743

Το πρώτο μέρος της πραγματείας είναι αφιερωμένο στην κατασκευή αναλυτικής στατικής. Εδώ ο d'Alembert διατυπώνει τις «βασικές αρχές της μηχανικής», μεταξύ των οποίων είναι η «αρχή της αδράνειας», η «αρχή της πρόσθεσης κινήσεων» και η «αρχή της ισορροπίας».

Η «αρχή της αδράνειας» διατυπώνεται χωριστά για την περίπτωση ηρεμίας και για την περίπτωση ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης. «Η δύναμη της αδράνειας, - γράφει ο d'Alembert, εγώ, μαζί με τον Νεύτωνα, καλούμε την ιδιότητα του σώματος να διατηρεί την κατάσταση στην οποία βρίσκεται».

Η «αρχή της πρόσθεσης κινήσεων» είναι ο νόμος της πρόσθεσης ταχυτήτων και δυνάμεων σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Με βάση αυτή την αρχή, ο d'Alembert λύνει τα προβλήματα της στατικής.

Η «αρχή της ισορροπίας» διατυπώνεται ως το ακόλουθο θεώρημα: «Αν δύο σώματα που κινούνται με ταχύτητες αντιστρόφως ανάλογες της μάζας τους έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, έτσι ώστε ένα σώμα να μην μπορεί να μετακινηθεί χωρίς να μετατοπιστεί από τόπο σε άλλο σώμα, τότε αυτά τα σώματα θα βρίσκονται σε ισορροπία ". Στο δεύτερο μέρος της Πραγματείας, ο d'Alembert πρότεινε μια γενική μέθοδο για τη σύνταξη διαφορικών εξισώσεων κίνησης για οποιαδήποτε υλικά συστήματα, βασισμένη στην αναγωγή του προβλήματος της δυναμικής σε στατική. Διατύπωσε έναν κανόνα για οποιοδήποτε σύστημα υλικών σημείων, που αργότερα ονομάστηκε «αρχή d'Alembert», σύμφωνα με τον οποίο οι δυνάμεις που εφαρμόζονται στα σημεία του συστήματος μπορούν να αποσυντεθούν σε «ενεργούν», δηλαδή σε εκείνες που προκαλούν την επιτάχυνση του το σύστημα, και «χαμένο», απαραίτητο για την ισορροπία του συστήματος. Ο d'Alembert πιστεύει ότι οι δυνάμεις που αντιστοιχούν στη «χαμένη» επιτάχυνση σχηματίζουν έναν τέτοιο συνδυασμό που δεν επηρεάζει την πραγματική συμπεριφορά του συστήματος. Με άλλα λόγια, εάν εφαρμοστεί μόνο ένα σύνολο «χαμένων» δυνάμεων στο σύστημα, τότε το σύστημα θα παραμείνει σε ηρεμία. Η σύγχρονη διατύπωση της αρχής d'Alembert δόθηκε από τον M. E. Zhukovsky στο "Μάθημα Θεωρητικής Μηχανικής" του: "Εάν σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή το σύστημα σταματήσει, κινείται, και προσθέτουμε σε αυτό, εκτός από την οδήγησή του δυνάμεις, όλες οι δυνάμεις αδράνειας που αντιστοιχούν σε ένα δεδομένο χρονικό σημείο, τότε θα παρατηρηθεί μια ισορροπία, ενώ όλες οι δυνάμεις πίεσης, τάσης κ.λπ. που αναπτύσσονται μεταξύ των τμημάτων του συστήματος σε μια τέτοια ισορροπία, θα είναι πραγματικές δυνάμεις του πίεση, τάση κ.λπ. όταν το σύστημα κινείται τη δεδομένη χρονική στιγμή». Πρέπει να σημειωθεί ότι ο ίδιος ο d'Alembert, όταν παρουσίαζε την αρχή του, δεν κατέφυγε ούτε στην έννοια της δύναμης (θεωρώντας ότι δεν είναι αρκετά σαφής για να συμπεριληφθεί στον κατάλογο των βασικών εννοιών της μηχανικής), πολύ περισσότερο στην έννοια της αδρανειακής δύναμης. Η παρουσίαση της αρχής του d'Alembert χρησιμοποιώντας τον όρο «δύναμη» ανήκει στον Lagrange, ο οποίος στην «Αναλυτική Μηχανική» του έδωσε την αναλυτική του έκφραση με τη μορφή της αρχής των πιθανών μετατοπίσεων. Ήταν ο Joseph Louis Lagrange (1736-1813) και ιδιαίτερα ο Leonardo Euler (1707-1783) που έπαιξε ουσιαστικό ρόλο στον τελικό μετασχηματισμό της μηχανικής σε αναλυτική μηχανική.

Αναλυτική μηχανική ενός υλικού σημείου και δυναμική του άκαμπτου σώματος του Euler

Λεονάρντο Όιλερ- ένας από τους εξέχοντες επιστήμονες που συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη των φυσικών και μαθηματικών επιστημών τον XVIII αιώνα. Το έργο του είναι εντυπωσιακό όσον αφορά τη διορατικότητα της ερευνητικής σκέψης, την καθολικότητα του ταλέντου και την τεράστια ποσότητα επιστημονικής κληρονομιάς που άφησε πίσω του.

Ήδη από τα πρώτα χρόνια της επιστημονικής του δραστηριότητας στην Αγία Πετρούπολη (ο Euler έφτασε στη Ρωσία το 1727), κατάρτισε ένα πρόγραμμα ενός μεγαλεπήβολου και ολοκληρωμένου κύκλου εργασιών στον τομέα της μηχανικής. Αυτό το παράρτημα βρίσκεται στο δίτομο έργο του «Μηχανική ή επιστήμη της κίνησης, δηλωμένη αναλυτικά» (1736). Η Μηχανική του Euler ήταν το πρώτο συστηματικό μάθημα στη Νευτώνεια μηχανική. Περιείχε τα βασικά της δυναμικής ενός σημείου - από τη μηχανική, ο Euler κατανοούσε την επιστήμη της κίνησης, σε αντίθεση με την επιστήμη της ισορροπίας των δυνάμεων ή της στατικής. Το καθοριστικό χαρακτηριστικό της «Μηχανικής» του Euler ήταν η ευρεία χρήση μιας νέας μαθηματικής συσκευής - διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Χαρακτηρίζοντας εν συντομία τα κύρια έργα για τη μηχανική που εμφανίστηκαν στο γύρισμα του 17ου-18ου αιώνα, ο Euler σημείωσε το γιο-τεθικο-γεωμετρικό ύφος της δουλειάς τους, το οποίο δημιούργησε πολύ δουλειά για τους αναγνώστες. Με αυτόν τον τρόπο γράφτηκαν τα στοιχεία του Νεύτωνα και η μετέπειτα Foronomia (1716) του J. Herman. Ο Euler επισημαίνει ότι τα έργα του Hermann και του Newton δηλώνονται «σύμφωνα με το έθιμο των αρχαίων με τη βοήθεια συνθετικών γεωμετρικών αποδείξεων» χωρίς τη χρήση ανάλυσης, «μόνο μέσω της οποίας μπορεί κανείς να επιτύχει πλήρη κατανόηση αυτών των πραγμάτων».

Η συνθετική-γεωμετρική μέθοδος δεν είχε γενικευτικό χαρακτήρα, αλλά απαιτούσε, κατά κανόνα, μεμονωμένες κατασκευές σχετικά με κάθε εργασία ξεχωριστά. Ο Euler παραδέχεται ότι αφού μελέτησε τη «Φορονομία» και τις «Αρχές», όπως του φαινόταν, «κατανόησε τις λύσεις πολλών προβλημάτων αρκετά ξεκάθαρα, αλλά δεν μπορούσε πλέον να λύσει προβλήματα που παρέκκλιναν από αυτές σε κάποιο βαθμό». Στη συνέχεια προσπάθησε «να απομονώσει την ανάλυση αυτής της συνθετικής μεθόδου και να κάνει τις ίδιες προτάσεις προς όφελός του αναλυτικά». Ο Euler σημειώνει ότι χάρη σε αυτό, κατάλαβε πολύ καλύτερα την ουσία του ζητήματος. Ανέπτυξε θεμελιωδώς νέες μεθόδους για τη μελέτη των προβλημάτων της μηχανικής, δημιούργησε τη μαθηματική της συσκευή και την εφάρμοσε έξοχα σε πολλά σύνθετα προβλήματα. Χάρη στον Euler, η διαφορική γεωμετρία, οι διαφορικές εξισώσεις και ο λογισμός των μεταβολών έγιναν τα εργαλεία της μηχανικής. Η μέθοδος του Euler, που αναπτύχθηκε αργότερα από τους διαδόχους του, ήταν σαφής και επαρκής στο θέμα.

Η εργασία του Euler για τη δυναμική ενός άκαμπτου σώματος «Θεωρία κίνησης άκαμπτων σωμάτων» έχει μια μεγάλη εισαγωγή έξι ενοτήτων, όπου σκιαγραφείται και πάλι η δυναμική ενός σημείου. Έχουν γίνει ορισμένες αλλαγές στην εισαγωγή: ειδικότερα, οι εξισώσεις κίνησης ενός σημείου γράφονται χρησιμοποιώντας την προβολή στον άξονα σταθερών ορθογώνιων συντεταγμένων (και όχι στην εφαπτομένη, κύρια κανονική και κανονική, δηλαδή στον άξονα ενός ακίνητου φυσικού τριέδρου που σχετίζεται με σημεία τροχιάς, όπως στη "Μηχανική").

Η «Πραγματεία για την κίνηση των άκαμπτων σωμάτων» που ακολουθεί την εισαγωγή αποτελείται από 19 ενότητες. Η πραγματεία βασίζεται στην αρχή του d'Alembert. Σταματώντας εν συντομία στη μεταφραστική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος και εισάγοντας την έννοια του κέντρου αδράνειας, Euler θεωρεί περιστροφές γύρω από σταθερό άξονα και γύρω από ένα σταθερό σημείο Ακολουθούν οι τύποι για τις προβολές της στιγμιαίας γωνιακής ταχύτητας, τη γωνιακή επιτάχυνση στους άξονες συντεταγμένων, τις λεγόμενες γωνίες Euler κ.λπ. Στη συνέχεια, οι ιδιότητες της ροπής του περιγράφεται η αδράνεια, μετά την οποία ο Euler προχωρά στη δυναμική ενός άκαμπτου σώματος. Εξάγει διαφορικές εξισώσεις για την περιστροφή ενός βαρέως σώματος γύρω από το ακίνητο κέντρο βάρους του σε απουσία εξωτερικών δυνάμεων και τις λύνει για μια απλή συγκεκριμένη περίπτωση. Έτσι προέκυψε το γνωστό και εξίσου σημαντικό πρόβλημα στη θεωρία του γυροσκόπιου σχετικά με την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος γύρω από ένα σταθερό σημείο. Ο Euler εργάστηκε επίσης στη θεωρία της ναυπηγικής, στα μάτια της υδρο- και αερομηχανικής, της βαλλιστικής, η θεωρία της ευστάθειας και η θεωρία των μικρών δονήσεων, ουράνια μηχανική και τα λοιπά.

Οκτώ χρόνια μετά τη δημοσίευση της Μηχανικής, ο Euler εμπλούτισε την επιστήμη με την πρώτη ακριβή διατύπωση της αρχής της ελάχιστης δράσης. Η διατύπωση της αρχής της ελάχιστης δράσης, που ανήκε στον Maupertuis, ήταν ακόμα πολύ ατελής. Η πρώτη επιστημονική διατύπωση της αρχής ανήκει στον Euler. Διατύπωσε την αρχή του ως εξής: το ολοκλήρωμα έχει τη μικρότερη τιμή για μια πραγματική τροχιά, αν λάβουμε υπόψη

η τελευταία στην ομάδα των πιθανών τροχιών που έχουν κοινή αρχική και τελική θέση και εκτελούνται με την ίδια ενεργειακή τιμή. Ο Euler παρέχει την αρχή του με μια ακριβή μαθηματική έκφραση και μια αυστηρή αιτιολόγηση για ένα υλικό σημείο, δοκιμάζει τις ενέργειες των κεντρικών δυνάμεων. Κατά το 1746-1749 σελ. Ο Euler έγραψε αρκετές εργασίες για τα σχήματα ισορροπίας ενός εύκαμπτου νήματος, όπου η αρχή της ελάχιστης δράσης εφαρμόστηκε σε προβλήματα στα οποία δρουν οι ελαστικές δυνάμεις.

Έτσι, μέχρι το 1744, η μηχανική εμπλουτίστηκε με δύο σημαντικές αρχές: την αρχή d'Alembert και την αρχή Maupertuis-Euler της ελάχιστης δράσης. Με βάση αυτές τις αρχές, ο Lagrange κατασκεύασε ένα σύστημα αναλυτικής μηχανικής.

Όταν ένα υλικό σημείο κινείται, η επιτάχυνσή του σε κάθε χρονική στιγμή είναι τέτοια ώστε οι δεδομένες (ενεργές) δυνάμεις που εφαρμόζονται στο σημείο, οι αντιδράσεις των δεσμών και η πλασματική δύναμη d'Alembert Ф = - που σχηματίζουν ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων.

Απόδειξη.Θεωρήστε την κίνηση ενός μη ελεύθερου υλικού σημείου με μάζα Τσε ένα αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς. Σύμφωνα με τον βασικό νόμο της δυναμικής και την αρχή της απελευθέρωσης από ομόλογα, έχουμε:

όπου F είναι το αποτέλεσμα των δεδομένων (ενεργών) δυνάμεων. N είναι το αποτέλεσμα των αντιδράσεων όλων των δεσμών που επιβάλλονται στο σημείο.

Είναι εύκολο να μετατραπεί το (13.1) στη μορφή:

Διάνυσμα Φ = - ότιονομάζεται δύναμη αδράνειας d'Alembert, δύναμη αδράνειας ή απλά Η δύναμη του d'Alembert.Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε μόνο τον τελευταίο όρο.

Η εξίσωση (13.3), που εκφράζει την αρχή d'Alembert σε συμβολική μορφή, ονομάζεται εξίσωση κινητοστατικήςυλικό σημείο.

Είναι εύκολο να επιτευχθεί μια γενίκευση της αρχής d'Alembert για ένα μηχανικό σύστημα (σύστημα Πυλικά σημεία).

Για κάθε Προς τηνστο σημείο του μηχανικού συστήματος, η ισότητα (13.3) ικανοποιείται:

Οπου ? Προς την -αποτέλεσμα δεδομένων (ενεργών) δυνάμεων που ενεργούν Προς την-ο σημείο? Ν Προς την -αποτέλεσμα των αντιδράσεων των δεσμών που υπερτίθενται κ-ουσημείο; φά k \u003d - ότι k- Δύναμη d'Alembert Προς την-ο σημείο.

Προφανώς, εάν πληρούνται οι συνθήκες ισορροπίας (13.4) για κάθε τριπλό δυνάμεων F*, N* : , Ф* (Προς την = 1,. .., Π), μετά ολόκληρο το σύστημα 3 Πδυνάμεις

είναι ισορροπημένο.

Κατά συνέπεια, κατά την κίνηση ενός μηχανικού συστήματος σε κάθε χρονική στιγμή, οι ενεργές δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό, οι αντιδράσεις των δεσμών και οι δυνάμεις d'Alembert των σημείων του συστήματος σχηματίζουν ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων.

Οι δυνάμεις του συστήματος (13.5) δεν είναι πλέον συγκλίνουσες, επομένως, όπως είναι γνωστό από τη στατική (ενότητα 3.4), οι απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες για την ισορροπία του έχουν την εξής μορφή:

Οι εξισώσεις (13.6) ονομάζονται εξισώσεις της κινητοστατικής ενός μηχανικού συστήματος. Για τους υπολογισμούς, χρησιμοποιούνται οι προβολές αυτών των διανυσματικών εξισώσεων στους άξονες που διέρχονται από το σημείο ροπής ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ.

Παρατήρηση 1. Εφόσον το άθροισμα όλων των εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος, καθώς και το άθροισμα των ροπών τους ως προς οποιοδήποτε σημείο, είναι ίσο με μηδέν, τότε στις εξισώσεις (13.6) αρκεί να ληφθούν υπόψη μόνο οι αντιδράσεις εξωτερικόςσυνδέσεις.

Οι εξισώσεις της κινητοστατικής (13.6) χρησιμοποιούνται συνήθως για τον προσδιορισμό των αντιδράσεων των περιορισμών ενός μηχανικού συστήματος όταν δίνεται η κίνηση του συστήματος και επομένως οι επιταχύνσεις των σημείων του συστήματος και οι δυνάμεις d'Alembert που εξαρτώνται από αυτά. είναι γνωστοί.

Παράδειγμα 1Βρείτε αντιδράσεις υποστήριξης ΕΝΑΚαι ΣΕάξονα με την ομοιόμορφη περιστροφή του σε συχνότητα 5000 σ.α.λ.

Οι σημειακές μάζες συνδέονται άκαμπτα με τον άξονα gp= 0,1 kg, t 2 = 0,2 κιλά. Γνωστά μεγέθη AC - CD - DB = 0,4 μ η= 0,01 μ. Θεωρήστε ότι η μάζα του άξονα είναι αμελητέα.

Λύση.Για να χρησιμοποιήσουμε την αρχή d'Alembert για ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από δύο σημειακές μάζες, υποδεικνύουμε στο διάγραμμα (Εικ. 13.2) τις δεδομένες δυνάμεις (βαρύτητα) Gi, G 2, την αντίδραση των δεσμών N4, N # και το d. «Δυνάμεις Alembert Ф|, Ф 2.

Οι κατευθύνσεις των δυνάμεων Dalambres είναι αντίθετες προς τις επιταχύνσεις των σημειακών μαζών Τσι t 2ετπου περιγράφουν ομοιόμορφα κύκλους ακτίνας ηγύρω από τον άξονα ΑΒάξονας.

Βρίσκουμε τα μεγέθη των δυνάμεων της βαρύτητας και των δυνάμεων Dalambres:

Εδώ η γωνιακή ταχύτητα του άξονα συν- 5000* l/30 = 523,6 s Αχ αχ, Αζ, λαμβάνουμε τις συνθήκες ισορροπίας για ένα επίπεδο σύστημα παράλληλων δυνάμεων Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2:

Από την εξίσωση των ροπών βρίσκουμε Ν σε = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, και από την εξίσωση προβολής στο

άξονας Α: Νa \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Οι εξισώσεις της κινητοστατικής (13.6) μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη λήψη διαφορικών εξισώσεων κίνησης του συστήματος, εάν συντίθενται με τέτοιο τρόπο ώστε να αποκλείονται οι αντιδράσεις των δεσμών και, ως αποτέλεσμα, να είναι δυνατή η λήψη των εξαρτήσεων των επιταχύνσεων στις δεδομένες δυνάμεις.

Δυνάμεις αδράνειας στη δυναμική ενός υλικού σημείου και ενός μηχανικού συστήματος

Με τη δύναμη της αδράνειαςενός υλικού σημείου είναι το γινόμενο της μάζας ενός σημείου και της επιτάχυνσής του, λαμβανόμενο με το πρόσημο μείον, δηλαδή οι δυνάμεις αδράνειας στη δυναμική εφαρμόζονται στις ακόλουθες περιπτώσεις:

• 1. Κατά τη μελέτη της κίνησης ενός υλικού σημείου μέσα μη αδρανειακή(κινούμενο) σύστημα συντεταγμένων, δηλ. σχετική κίνηση. Αυτές είναι οι μεταφορικές δυνάμεις και οι δυνάμεις Coriolis της αδράνειας, οι οποίες συχνά αναφέρονται ως δυνάμεις Euler.
• 2. Κατά την επίλυση προβλημάτων δυναμικής με τη χρήση της μεθόδου κινητοστατικής. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στην αρχή d'Alembert, σύμφωνα με την οποία οι δυνάμεις αδράνειας ενός υλικού σημείου ή ενός συστήματος υλικών σημείων που κινούνται με κάποια επιτάχυνση αδρανειακήσύστημα αναφοράς. Αυτές οι δυνάμεις αδράνειας ονομάζονται δυνάμεις d'Alembert.
• 3. Οι δυνάμεις αδράνειας d'Alembert χρησιμοποιούνται επίσης για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής χρησιμοποιώντας την αρχή Lagrange-D'Alembert ή τη γενική εξίσωση της δυναμικής.

Έκφραση σε προβολές στους άξονες των καρτεσιανών συντεταγμένων

Οπου - ενότητες προβολών σημειακής επιτάχυνσης στον καρτεσιανό άξονα συντεταγμένων.

Με μια καμπυλόγραμμη κίνηση ενός σημείου, η δύναμη της αδράνειας μπορεί να αποσυντεθεί σε εφαπτομενική και κανονική:; , - συντελεστής εφαπτομενικής και κανονικής επιτάχυνσης. - ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς.

V-ταχύτητα σημείου.

Η αρχή του d'Alembert για ένα υλικό σημείο

Αν όχι δωρεάνσε ένα υλικό σημείο που κινείται υπό τη δράση των εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων και των δυνάμεων αντίδρασης των δεσμών, εφαρμόστε τη δύναμη αδράνειας του, τότε ανά πάσα στιγμή το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα εξισορροπηθεί, δηλ. το γεωμετρικό άθροισμα αυτών των δυνάμεων θα είναι ίσο με μηδέν.

υλικό σώματος μηχανικού σημείου

Οπου - το αποτέλεσμα των ενεργών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σημείο· - το αποτέλεσμα των αντιδράσεων των δεσμών που επιβάλλονται στο σημείο. δύναμη αδράνειας υλικού σημείου. Σημείωση: Στην πραγματικότητα, η δύναμη αδράνειας ενός υλικού σημείου δεν εφαρμόζεται στο ίδιο το σημείο, αλλά στο σώμα που προσδίδει επιτάχυνση σε αυτό το σημείο.

Η αρχή του d'Alembert για ένα μηχανικό σύστημα

γεωμετρικό άθροισματα κύρια διανύσματα των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα και οι αδρανειακές δυνάμεις όλων των σημείων του συστήματος, καθώς και το γεωμετρικό άθροισμα των κύριων ροπών αυτών των δυνάμεων σε σχέση με ένα ορισμένο κέντρο για ένα μη ελεύθερο μηχανικό σύστημα ανά πάσα στιγμή είναι ίσα με μηδέν, δηλ.

Κύριο διάνυσμα και κύρια ροπή δυνάμεων αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος

Το κύριο διάνυσμα και η κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας των σημείων του συστήματος προσδιορίζονται χωριστά για κάθε άκαμπτο σώμα που περιλαμβάνεται σε αυτό το μηχανικό σύστημα. Ο ορισμός τους βασίζεται στη μέθοδο Poinsot που είναι γνωστή από τη στατική για την εισαγωγή ενός αυθαίρετου συστήματος δυνάμεων σε ένα δεδομένο κέντρο.

Με βάση αυτή τη μέθοδο, οι αδρανειακές δυνάμεις όλων των σημείων του σώματος στη γενική περίπτωση της κίνησής του μπορούν να έρθουν στο κέντρο μάζας και να αντικατασταθούν από το κύριο διάνυσμα * και την κύρια ροπή περίπου το κέντρο μάζας. Καθορίζονται από τους τύπους δηλαδή για οποιαδήποτεκίνηση ενός άκαμπτου σώματος, το κύριο διάνυσμα των αδρανειακών δυνάμεων είναι ίσο με πρόσημο μείον το γινόμενο της μάζας του σώματος και την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σώματος. ,Οπου r kc -- διάνυσμα ακτίνας κ-ουσημείο τραβηγμένο από το κέντρο μάζας. Αυτοί οι τύποι σε συγκεκριμένες περιπτώσεις κίνησης ενός άκαμπτου σώματος έχουν τη μορφή:

1. Προοδευτική κίνηση.

2. Περιστροφή σώματος γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας

3. Επίπεδο-παράλληλη κίνηση

Εισαγωγή στην Αναλυτική Μηχανική

Βασικές έννοιες της αναλυτικής μηχανικής

Αναλυτική μηχανική- μια περιοχή (τμήμα) της μηχανικής, στην οποία μελετάται η κίνηση ή η ισορροπία των μηχανικών συστημάτων χρησιμοποιώντας γενικές, ενοποιημένες αναλυτικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για οποιαδήποτε μηχανικά συστήματα.

Ας εξετάσουμε τις πιο χαρακτηριστικές έννοιες της αναλυτικής μηχανικής.

1. Συνδέσεις και ταξινόμηση τους.

Συνδέσεις-- τυχόν περιορισμοί υπό μορφή σωμάτων ή κινηματικές συνθήκες που επιβάλλονται στην κίνηση σημείων ενός μηχανικού συστήματος. Αυτοί οι περιορισμοί μπορούν να γραφτούν ως εξισώσεις ή ανισώσεις.

Γεωμετρικοί σύνδεσμοι-- συνδέσεις, οι εξισώσεις των οποίων περιέχουν μόνο τις συντεταγμένες των σημείων, δηλαδή οι περιορισμοί επιβάλλονται μόνο στις συντεταγμένες των σημείων. Πρόκειται για συνδέσεις με τη μορφή σωμάτων, επιφανειών, γραμμών κ.λπ.

Διαφορικές συνδέσεις-- συνδέσεις που επιβάλλουν περιορισμούς όχι μόνο στις συντεταγμένες των σημείων, αλλά και στην ταχύτητά τους.

Ολοονομικές συνδέσεις --όλες οι γεωμετρικές συνδέσεις και εκείνες οι διαφορικές των οποίων οι εξισώσεις μπορούν να ενσωματωθούν.

Μη ολονομικοί περιορισμοί-- διαφορικές μη ενσωματωμένες συνδέσεις.

Στατικές επικοινωνίες --συνδέσεις, οι εξισώσεις των οποίων δεν περιλαμβάνουν ρητά το χρόνο.

Μη σταθερές επικοινωνίες- συνδέσεις που αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου, δηλαδή οι εξισώσεις των οποίων περιλαμβάνουν ρητά το χρόνο.

Διμερείς (κρατώντας) συνδέσμους --συνδέσμους που περιορίζουν την κίνηση ενός σημείου σε δύο αντίθετες κατευθύνσεις. Τέτοιες συνδέσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις .

Μονομερής(χωρίς συγκράτηση) σύνδεσμοι - σύνδεσμοι που περιορίζουν την κίνηση προς μία μόνο κατεύθυνση. Τέτοιες συνδέσεις περιγράφονται από τις ανισότητες

2. Πιθανές (εικονικές) και πραγματικές κινήσεις.

Δυνατόνή εικονικόςΟι μετατοπίσεις σημείων ενός μηχανικού συστήματος είναι φανταστικές απειροελάχιστες μετατοπίσεις που επιτρέπονται από περιορισμούς που επιβάλλονται στο σύστημα.

ΔυνατόνΗ μετατόπιση ενός μηχανικού συστήματος είναι ένα σύνολο ταυτόχρονων πιθανών μετατοπίσεων των σημείων του συστήματος που είναι συμβατά με περιορισμούς. Αφήστε το μηχανικό σύστημα να είναι μηχανισμός στροφάλου.

Πιθανό σημείο κίνησης ΕΝΑείναι μια μετατόπιση η οποία λόγω της μικρότητάς της θεωρείται ευθύγραμμη και κατευθύνεται κάθετα προς ΟΑ.

Πιθανό σημείο κίνησης ΣΕ(ρυθμιστικό) κινείται στους οδηγούς. Πιθανή κίνηση του στρόφαλου ΟΑείναι η περιστροφή κατά γωνία, και η μπιέλα ΑΒ --υπό γωνία γύρω από το MCS (σημείο R).

ΕγκυροςΟι μετατοπίσεις των σημείων του συστήματος ονομάζονται και στοιχειώδεις μετατοπίσεις, οι οποίες επιτρέπουν επάλληλες συνδέσεις, λαμβάνοντας όμως υπόψη τις αρχικές συνθήκες κίνησης και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα.

Αριθμός πτυχίωνελευθερία μικρόενός μηχανικού συστήματος είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων πιθανών μετατοπίσεών του που μπορούν να κοινοποιηθούν στα σημεία του συστήματος σε ένα σταθερό χρονικό σημείο.

Αρχή πιθανών μετατοπίσεων (αρχή Lagrange)

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων ή η αρχή Lagrange εκφράζει την συνθήκη ισορροπίας για ένα μη ελεύθερο μηχανικό σύστημα υπό τη δράση εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων. Διατύπωση της αρχής.

Για ισορροπίαΓια ένα μη ελεύθερο μηχανικό σύστημα με αμφίπλευρους, σταθερούς, ολονομικούς και ιδανικούς περιορισμούς, το οποίο βρίσκεται σε ηρεμία υπό τη δράση εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων, είναι απαραίτητο και επαρκές το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων να ισούται με μια σφαίρα σε οποιαδήποτε πιθανή μετατόπιση του συστήματος από τη θεωρούμενη θέση ισορροπίας:

Γενική εξίσωση δυναμικής (αρχή Lagrange-D'Alembert)

Η γενική εξίσωση της δυναμικής εφαρμόζεται στη μελέτη της κίνησης μη ελεύθερων μηχανικών συστημάτων, τα σώματα ή τα σημεία των οποίων κινούνται με ορισμένες επιταχύνσεις.

Σύμφωνα με την αρχή d'Alembert, το σύνολο των ενεργών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο μηχανικό σύστημα, οι δυνάμεις αντίδρασης των δεσμών και οι δυνάμεις αδράνειας όλων των σημείων του συστήματος σχηματίζουν ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων.

Εάν η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων (η αρχή Lagrange) εφαρμόζεται σε ένα τέτοιο σύστημα, τότε λαμβάνουμε τη συνδυασμένη αρχή Lagrange-D'Alembert ή γενική εξίσωση δυναμικής.διατύπωση αυτής της αρχής.

Όταν κινείται όχι δωρεάνενός μηχανικού συστήματος με αμφίδρομους, ιδανικούς, σταθερούς και ολονομικούς περιορισμούς, το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων και δυνάμεων αδράνειας που εφαρμόζονται στα σημεία του συστήματος σε οποιαδήποτε πιθανή μετατόπιση του συστήματος είναι ίσο με μηδέν:

Εξισώσεις Lagrange δεύτερου είδους

Εξισώσεις Lagrangeτου δεύτερου είδους είναι διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες.

Για ένα σύστημα με μικρόβαθμοί ελευθερίας, αυτές οι εξισώσεις έχουν τη μορφή

Διαφοράη συνολική χρονική παράγωγος της μερικής παραγώγου της κινητικής ενέργειας του συστήματος ως προς τη γενικευμένη ταχύτητα και η μερική παράγωγος της κινητικής ενέργειας ως προς τη γενικευμένη συντεταγμένη είναι ίση με τη γενικευμένη δύναμη.

Εξισώσεις Lagrange για συντηρητικά μηχανικά συστήματα. Κυκλικές συντεταγμένες και ολοκληρώματα

Για ένα συντηρητικό σύστημα, οι γενικευμένες δυνάμεις προσδιορίζονται ως προς τη δυναμική ενέργεια του συστήματος από τον τύπο

Στη συνέχεια οι εξισώσεις Lagrange ξαναγράφονται στη μορφή

Δεδομένου ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι συνάρτηση μόνο γενικευμένων συντεταγμένων, δηλ., λαμβάνοντας αυτό υπόψη, την αναπαριστάνουμε με τη μορφή όπου T - P \u003d L -Συνάρτηση Lagrange (κινητικό δυναμικό). Τέλος, οι εξισώσεις Lagrange για ένα συντηρητικό σύστημα

Σταθερότητα της θέσης ισορροπίας ενός μηχανικού συστήματος

Το ζήτημα της σταθερότητας της θέσης ισορροπίας των μηχανικών συστημάτων έχει άμεση σημασία στη θεωρία των ταλαντώσεων συστημάτων.

Η θέση ισορροπίας μπορεί να είναι σταθερή, ασταθής και αδιάφορη.

βιώσιμοςθέση ισορροπίας - μια θέση ισορροπίας στην οποία τα σημεία ενός μηχανικού συστήματος, που προέρχονται από αυτή τη θέση, κινούνται στη συνέχεια υπό τη δράση δυνάμεων σε άμεση γειτνίαση κοντά στη θέση ισορροπίας τους.

Αυτή η κίνηση θα έχει διαφορετικό βαθμό επανάληψης στο χρόνο, δηλαδή, το σύστημα θα εκτελέσει μια ταλαντωτική κίνηση.

ασταθήςθέση ισορροπίας - μια θέση ισορροπίας από την οποία, με μια αυθαίρετα μικρή απόκλιση των σημείων του συστήματος, στο μέλλον, οι δρώντες δυνάμεις θα απομακρύνουν περαιτέρω τα σημεία από τη θέση ισορροπίας τους .

αδιάφοροςθέση ισορροπίας - η θέση ισορροπίας, όταν, για οποιαδήποτε μικρή αρχική απόκλιση των σημείων του συστήματος από αυτή τη θέση στη νέα θέση, το σύστημα παραμένει επίσης σε ισορροπία. .

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον προσδιορισμό της σταθερής θέσης ισορροπίας ενός μηχανικού συστήματος.

Εξετάστε τον ορισμό μιας σταθερής ισορροπίας με βάση Θεωρήματα Lagrange-Dirichlet

Αν βρίσκεται στη θέσηισορροπία ενός συντηρητικού μηχανικού συστήματος με ιδανικούς και σταθερούς περιορισμούς, η δυναμική του ενέργεια έχει ένα ελάχιστο, τότε αυτή η θέση ισορροπίας είναι σταθερή.

Φαινόμενο κρούσης. Δύναμη κρούσης και κρουστική ώθηση

Το φαινόμενο κατά το οποίο οι ταχύτητες των σημείων του σώματος μεταβάλλονται κατά ένα πεπερασμένο ποσό σε ένα αμελητέα μικρό χρονικό διάστημα ονομάζεται πλήγμα.Αυτή η χρονική περίοδος ονομάζεται χρόνος κρούσης.Κατά τη διάρκεια μιας κρούσης, μια δύναμη κρούσης δρα για ένα απείρως μικρό χρονικό διάστημα. δύναμη κρούσηςονομάζεται δύναμη της οποίας η ορμή κατά την κρούση είναι πεπερασμένη.

Αν το modulo πεπερασμένη δύναμη δρα με την πάροδο του χρόνου, ξεκινώντας τη δράση του σε μια χρονική στιγμή , τότε η ορμή του έχει τη μορφή

Επίσης, όταν η δύναμη κρούσης δρα σε ένα υλικό σημείο, μπορούμε να πούμε ότι:

η δράση των μη στιγμιαίων δυνάμεων κατά τη διάρκεια της κρούσης μπορεί να παραμεληθεί.

η κίνηση ενός υλικού σημείου κατά τη διάρκεια της κρούσης μπορεί να αγνοηθεί.

το αποτέλεσμα της δράσης της δύναμης κρούσης σε ένα υλικό σημείο εκφράζεται στην τελική μεταβολή κατά την κρούση του διανύσματος ταχύτητάς του.

Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος κατά την κρούση

η μεταβολή της ορμής του μηχανικού συστήματος κατά την κρούση είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα όλων των εξωτερικών κρουστικών παλμών που εφαρμόζονται στα σημεία των συστημάτων,Οπου - το μέγεθος της κίνησης του μηχανικού συστήματος τη στιγμή του τερματισμού της δράσης των δυνάμεων κρούσης, - το μέγεθος της κίνησης του μηχανικού συστήματος τη στιγμή που αρχίζουν να δρουν οι δυνάμεις κρούσης, - εξωτερική κρουστική ώθηση.

Η αρχή d'Alembert καθιστά δυνατή τη διατύπωση των προβλημάτων της δυναμικής των μηχανικών συστημάτων ως προβλήματα στατικής. Στην περίπτωση αυτή, οι δυναμικές διαφορικές εξισώσεις κίνησης δίνονται με τη μορφή εξισώσεων ισορροπίας. Μια τέτοια μέθοδος ονομάζεται κινητοστατική μέθοδος .

Η αρχή του d'Alembert για ένα υλικό σημείο: « Σε κάθε χρονική στιγμή της κίνησης ενός υλικού σημείου, οι ενεργές δυνάμεις που ενεργούν πραγματικά σε αυτό, οι αντιδράσεις των δεσμών και η δύναμη αδράνειας που εφαρμόζεται υπό όρους στο σημείο σχηματίζουν ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων»

δύναμη αδράνειας σημείου ονομάζεται διανυσματικό μέγεθος που έχει τη διάσταση μιας δύναμης ίσης σε απόλυτη τιμή με το γινόμενο της μάζας ενός σημείου και της επιτάχυνσής του και κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα της επιτάχυνσης

. (3.38)

Θεωρώντας ένα μηχανικό σύστημα ως ένα σύνολο υλικών σημείων, καθένα από τα οποία επηρεάζεται, σύμφωνα με την αρχή d'Alembert, από ισορροπημένα συστήματα δυνάμεων, έχουμε συνέπειες από αυτή την αρχή σε σχέση με το σύστημα. Το κύριο διάνυσμα και η κύρια ροπή σε σχέση με οποιοδήποτε κέντρο εξωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα και οι δυνάμεις αδράνειας όλων των σημείων του είναι ίσες με μηδέν:

(3.39)

Εδώ οι εξωτερικές δυνάμεις είναι ενεργές δυνάμεις και αντιδράσεις δεσμών.

Το κύριο διάνυσμα των αδρανειακών δυνάμεωνενός μηχανικού συστήματος ισούται με το γινόμενο της μάζας του συστήματος και την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του και κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν την επιτάχυνση

. (3.40)

Η κύρια στιγμή των δυνάμεων αδράνειαςσύστημα σε σχέση με ένα αυθαίρετο κέντρο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕίση με τη χρονική παράγωγο της γωνιακής του ορμής ως προς το ίδιο κέντρο

. (3.41)

Για ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα Οζ, βρίσκουμε την κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας γύρω από αυτόν τον άξονα

. (3.42)

3.8. Στοιχεία αναλυτικής μηχανικής

Η ενότητα "Αναλυτική Μηχανική" εξετάζει τις γενικές αρχές και τις αναλυτικές μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων στη μηχανική των συστημάτων υλικών.

3.8.1 Πιθανές κινήσεις του συστήματος. Ταξινόμηση

κάποιες συνδέσεις

Πιθανές σημειακές κινήσεις
οποιεσδήποτε φανταστικές, απείρως μικρές μετατοπίσεις τους, που επιτρέπονται από τους περιορισμούς που επιβάλλονται στο σύστημα, σε ένα σταθερό χρονικό σημείο, ονομάζονται μηχανικά συστήματα. Α-προπατορικό, αριθμός βαθμών ελευθερίας ενός μηχανικού συστήματος είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων πιθανών μετατοπίσεων του.

Οι συνδέσεις που επιβάλλονται στο σύστημα καλούνται ιδανικό , αν το άθροισμα των στοιχειωδών έργων των αντιδράσεών τους σε οποιαδήποτε από τις πιθανές μετατοπίσεις των σημείων του συστήματος είναι ίσο με μηδέν

. (3. 43)

Καλούνται οι συνδέσεις για τις οποίες διατηρούνται οι περιορισμοί που επιβάλλονται σε οποιαδήποτε θέση του συστήματος κρατώντας πίσω . Σχέσεις που δεν αλλάζουν στο χρόνο, οι εξισώσεις των οποίων ρητά δεν περιλαμβάνουν χρόνο, ονομάζονται ακίνητος . Ονομάζονται οι συνδέσεις που περιορίζουν μόνο τις μετατοπίσεις των σημείων του συστήματος γεωμετρικός , και οι περιοριστικές ταχύτητες είναι κινηματικός . Στο μέλλον, θα εξετάσουμε μόνο τις γεωμετρικές σχέσεις και εκείνες τις κινηματικές που μπορούν να αναχθούν σε γεωμετρικές με ολοκλήρωση.

3.8.2. Η αρχή των πιθανών κινήσεων

Για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος με περιορισμένους ιδανικούς και σταθερούς περιορισμούς, είναι απαραίτητο και αρκετό

το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων που δρουν σε αυτό, σε τυχόν πιθανές μετατοπίσεις του συστήματος, ήταν ίσο με μηδέν

. (3.44)

Στις προβολές στους άξονες συντεταγμένων:

. (3.45)

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων μας επιτρέπει να καθιερώσουμε σε μια γενική μορφή τις συνθήκες για την ισορροπία οποιουδήποτε μηχανικού συστήματος, χωρίς να λάβουμε υπόψη την ισορροπία των επιμέρους μερών του. Στην περίπτωση αυτή λαμβάνονται υπόψη μόνο οι ενεργές δυνάμεις που δρουν στο σύστημα. Σε αυτές τις συνθήκες δεν περιλαμβάνονται άγνωστες αντιδράσεις ιδανικών δεσμών. Ταυτόχρονα, αυτή η αρχή καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό άγνωστων αντιδράσεων ιδανικών δεσμών απορρίπτοντας αυτούς τους δεσμούς και εισάγοντας τις αντιδράσεις τους στον αριθμό των ενεργών δυνάμεων. Όταν απορρίπτονται οι δεσμοί των οποίων οι αντιδράσεις πρέπει να προσδιοριστούν, το σύστημα αποκτά επιπλέον τον αντίστοιχο αριθμό βαθμών ελευθερίας.

Παράδειγμα 1 . Βρείτε τη σχέση μεταξύ των δυνάμεων Και γρύλος, αν είναι γνωστό ότι με κάθε περιστροφή της λαβής ΑΒ = λ, βίδα ΜΕεκτείνεται στο βαθμό η(Εικ. 3.3).

Λύση

Οι πιθανές κινήσεις του μηχανισμού είναι η περιστροφή της λαβής  και η κίνηση του φορτίου  η. Η συνθήκη της ισότητας προς το μηδέν του στοιχειώδους έργου των δυνάμεων:

pl– Ερh = 0;

Επειτα
. Αφού η 0, λοιπόν

3.8.3. Γενική μεταβλητή εξίσωση δυναμικής

Εξετάστε την κίνηση ενός συστήματος που αποτελείται από nσημεία. Ενεργές δυνάμεις δρουν σε αυτό και αντιδράσεις δεσμού .(κ = 1,…,n) Αν στις ενεργούσες δυνάμεις προσθέσουμε τις δυνάμεις αδράνειας των σημείων
, τότε, σύμφωνα με την αρχή d'Alembert, το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα είναι σε ισορροπία και, επομένως, η έκφραση που γράφτηκε με βάση την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων (3.44) είναι έγκυρη:

. (3.46)

Εάν όλες οι συνδέσεις είναι ιδανικές, τότε το 2ο άθροισμα είναι ίσο με μηδέν και στις προβολές στους άξονες συντεταγμένων, η ισότητα (3.46) θα μοιάζει με αυτό:

Η τελευταία ισότητα είναι μια γενική μεταβλητή εξίσωση δυναμικής στις προβολές στους άξονες συντεταγμένων, η οποία επιτρέπει σε κάποιον να συνθέσει διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος.

Η γενική μεταβλητή εξίσωση της δυναμικής είναι μια μαθηματική έκφραση Αρχή d'Alembert-Lagrange: « Όταν ένα σύστημα βρίσκεται σε κίνηση, υποκείμενο σε ακίνητους, ιδανικούς, περιοριστικούς περιορισμούς, σε οποιαδήποτε δεδομένη χρονική στιγμή, το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα και των δυνάμεων αδράνειας σε οποιαδήποτε πιθανή μετατόπιση του συστήματος είναι ίσο με μηδέν».

Παράδειγμα 2 . Για ένα μηχανικό σύστημα (Εικ. 3.4), που αποτελείται από τρία σώματα, προσδιορίστε την επιτάχυνση του φορτίου 1 και την τάση του καλωδίου 1-2 εάν: Μ 1 = 5Μ; Μ 2 = 4Μ; Μ 3 = 8Μ; r 2 = 0,5R 2; ακτίνα περιστροφής του μπλοκ 2 Εγώ = 1,5r 2. Ο κύλινδρος 3 είναι ένας συνεχής ομοιογενής δίσκος.

Λύση

Ας απεικονίσουμε τις δυνάμεις που κάνουν στοιχειώδη εργασία σε μια πιθανή μετατόπιση  μικρόφορτίο 1:

Γράφουμε τις πιθανές μετατοπίσεις όλων των σωμάτων μέσω της πιθανής μετατόπισης του φορτίου 1:

Εκφράζουμε τις γραμμικές και γωνιακές επιταχύνσεις όλων των σωμάτων ως προς την επιθυμητή επιτάχυνση του φορτίου 1 (οι λόγοι είναι οι ίδιοι όπως στην περίπτωση πιθανών μετατοπίσεων):

.

Η γενική μεταβλητή εξίσωση για αυτό το πρόβλημα έχει τη μορφή:

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις που λήφθηκαν προηγουμένως για ενεργές δυνάμεις, δυνάμεις αδράνειας και πιθανές μετατοπίσεις, μετά από απλούς μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε

Από  μικρό 0, επομένως, η έκφραση σε αγκύλες που περιέχουν την επιτάχυνση είναι ίση με μηδέν ΕΝΑ 1 , που ένα 1 = 5σολ/8,25 = 0,606σολ.

Για να προσδιορίσουμε την τάση του καλωδίου που συγκρατεί το φορτίο, απελευθερώνουμε το φορτίο από το καλώδιο, αντικαθιστώντας τη δράση του με την επιθυμητή αντίδραση . Υπό την επίδραση δεδομένων δυνάμεων ,και την αδρανειακή δύναμη που εφαρμόζεται στο φορτίο
είναι σε ισορροπία. Επομένως, η αρχή d’Alembert εφαρμόζεται στο εξεταζόμενο φορτίο (σημείο), δηλ. το γράφουμε
. Από εδώ
.

3.8.4. Εξίσωση Lagrange 2ου είδους

Γενικευμένες συντεταγμένες και γενικευμένες ταχύτητες. Οποιεσδήποτε αμοιβαία ανεξάρτητες παράμετροι που καθορίζουν μοναδικά τη θέση ενός μηχανικού συστήματος στο χώρο ονομάζονται γενικευμένες συντεταγμένες . Αυτές οι συντεταγμένες, σημειώνονται q 1 ,....q i , μπορεί να έχει οποιαδήποτε διάσταση. Συγκεκριμένα, οι γενικευμένες συντεταγμένες μπορεί να είναι μετατοπίσεις ή γωνίες περιστροφής.

Για τα υπό εξέταση συστήματα, ο αριθμός των γενικευμένων συντεταγμένων είναι ίσος με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας. Η θέση κάθε σημείου του συστήματος είναι μια συνάρτηση μιας τιμής των γενικευμένων συντεταγμένων

Έτσι, η κίνηση του συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες καθορίζεται από τις ακόλουθες εξαρτήσεις:

Οι πρώτες παράγωγοι των γενικευμένων συντεταγμένων ονομάζονται γενικευμένες ταχύτητες :
.

Γενικευμένες δυνάμεις.Έκφραση για το στοιχειώδες έργο μιας δύναμης σε μια πιθανή κίνηση
μοιάζει με:

.

Για το στοιχειώδες έργο του συστήματος των δυνάμεων, γράφουμε

Χρησιμοποιώντας τις εξαρτήσεις που αποκτήθηκαν, αυτή η έκφραση μπορεί να γραφτεί ως:

,

όπου αντιστοιχεί η γενικευμένη δύναμη Εγώ-η γενικευμένη συντεταγμένη,

. (3.49)

Ετσι, αντίστοιχη γενικευμένη δύναμη Εγώ-η γενικευμένη συντεταγμένη, είναι ο συντελεστής διακύμανσης αυτής της συντεταγμένης στην έκφραση του αθροίσματος των στοιχειωδών έργων ενεργών δυνάμεων στην πιθανή μετατόπιση του συστήματος . Για τον υπολογισμό της γενικευμένης δύναμης, είναι απαραίτητο να ενημερώσετε το σύστημα για μια πιθανή μετατόπιση, στην οποία αλλάζει μόνο η γενικευμένη συντεταγμένη q Εγώ. Συντελεστής στο
και θα είναι η επιθυμητή γενικευμένη δύναμη.

Εξισώσεις κίνησης συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες. Αφήστε ένα μηχανικό σύστημα να δοθεί με μικρόβαθμοί ελευθερίας. Γνωρίζοντας τις δυνάμεις που δρουν σε αυτό, είναι απαραίτητο να συνθέσουμε διαφορικές εξισώσεις κίνησης σε γενικευμένες συντεταγμένες
. Εφαρμόζουμε τη διαδικασία για τη σύνταξη των διαφορικών εξισώσεων κίνησης του συστήματος - τις εξισώσεις Lagrange του 2ου είδους - κατ' αναλογία με την παραγωγή αυτών των εξισώσεων για ένα ελεύθερο υλικό σημείο. Με βάση τον 2ο νόμο του Νεύτωνα γράφουμε

Λαμβάνουμε ένα ανάλογο αυτών των εξισώσεων, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό για την κινητική ενέργεια ενός υλικού σημείου,

Μερική παράγωγος κινητικής ενέργειας ως προς την προβολή της ταχύτητας στον άξονα
ισούται με την προβολή της ποσότητας κίνησης σε αυτόν τον άξονα, δηλ.

Για να λάβουμε τις απαραίτητες εξισώσεις, υπολογίζουμε τις παραγώγους ως προς το χρόνο:

Το προκύπτον σύστημα εξισώσεων είναι οι εξισώσεις Lagrange του 2ου είδους για ένα υλικό σημείο.

Για ένα μηχανικό σύστημα, αντιπροσωπεύουμε τις εξισώσεις Lagrange του 2ου είδους με τη μορφή εξισώσεων στις οποίες αντί για προβολές ενεργών δυνάμεων Π Χ , Π y , Π zχρησιμοποιούν γενικευμένες δυνάμεις Q 1 , Q 2 ,...,Q i και λάβετε υπόψη στη γενική περίπτωση την εξάρτηση της κινητικής ενέργειας από τις γενικευμένες συντεταγμένες.

Οι εξισώσεις Lagrange του 2ου είδους για ένα μηχανικό σύστημα έχουν τη μορφή:

. (3.50)

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη της κίνησης οποιουδήποτε μηχανικού συστήματος με γεωμετρικούς, ιδανικούς και περιοριστικούς περιορισμούς.

Παράδειγμα 3 . Για το μηχανικό σύστημα (Εικ. 3.5), τα δεδομένα για το οποίο δίνονται στο προηγούμενο παράδειγμα, συντάξτε μια διαφορική εξίσωση κίνησης χρησιμοποιώντας την εξίσωση Lagrange του 2ου είδους,

Λύση

Το μηχανικό σύστημα έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Για τη γενικευμένη συντεταγμένη παίρνουμε τη γραμμική κίνηση του φορτίου q 1 = s; γενικευμένη ταχύτητα - . Με αυτό κατά νου, γράφουμε την εξίσωση Lagrange του 2ου είδους

.

Ας συνθέσουμε μια έκφραση για την κινητική ενέργεια του συστήματος

.

Εκφράζουμε όλες τις γωνιακές και γραμμικές ταχύτητες ως προς τη γενικευμένη ταχύτητα:

Τώρα έχουμε

Ας υπολογίσουμε τη γενικευμένη δύναμη συνθέτοντας την έκφραση για στοιχειώδες έργο σε μια πιθανή μετατόπιση  μικρόόλες τις ενεργές δυνάμεις. Χωρίς δυνάμεις τριβής, η εργασία στο σύστημα εκτελείται μόνο από τη βαρύτητα του φορτίου 1
Γράφουμε τη γενικευμένη δύναμη στο  μικρό, ως συντελεστής στη στοιχειώδη εργασία Q 1 = 5mg. Στη συνέχεια βρίσκουμε

Τέλος, η διαφορική εξίσωση κίνησης του συστήματος θα έχει τη μορφή: