Physische Größe ist eine physikalische Eigenschaft eines materiellen Objekts, Prozesses, physikalischen Phänomens, die quantitativ charakterisiert wird.
Wert der physikalischen Größe ausgedrückt durch eine oder mehrere Zahlen, die diese physikalische Größe charakterisieren und die Maßeinheit angeben.
Die Größe einer physikalischen Größe sind die Werte von Zahlen, die im Wert einer physikalischen Größe vorkommen.
Maßeinheiten physikalischer Größen.
Maßeinheit der physikalischen Größe ist eine Größe fester Größe, der ein numerischer Wert gleich eins zugewiesen ist. Es dient der quantitativen Darstellung damit homogener physikalischer Größen. Ein Einheitensystem physikalischer Größen ist eine Menge von Basis- und abgeleiteten Einheiten, die auf einem bestimmten Mengensystem basieren.
Nur wenige Einheitensysteme haben sich durchgesetzt. In den meisten Fällen verwenden viele Länder das metrische System.
Grundeinheiten.
Eine physikalische Größe messen - bedeutet, es mit einer anderen ähnlichen physikalischen Größe zu vergleichen, die als Einheit genommen wird.
Die Länge eines Gegenstandes wird mit einer Längeneinheit verglichen, die Masse eines Körpers mit einer Gewichtseinheit usw. Wenn jedoch ein Forscher die Länge in Klaftern und ein anderer in Fuß misst, wird es für ihn schwierig sein, die beiden Werte zu vergleichen. Daher werden weltweit alle physikalischen Größen üblicherweise in den gleichen Einheiten gemessen. Im Jahr 1963 wurde das Internationale Einheitensystem SI (System International – SI) eingeführt.
Für jede physikalische Größe im Einheitensystem muss es eine entsprechende Maßeinheit geben. Standard Einheiten ist seine physische Umsetzung.
Der Längenstandard ist Meter- der Abstand zwischen zwei Strichen, die auf einen speziell geformten Stab aus einer Legierung aus Platin und Iridium ausgeübt werden.
Standard Zeit dient als Dauer eines sich regelmäßig wiederholenden Prozesses, für den die Bewegung der Erde um die Sonne gewählt wird: Die Erde macht eine Umdrehung pro Jahr. Als Zeiteinheit wird jedoch nicht ein Jahr angenommen, sondern gib mir eine Sekunde.
Für eine Einheit Geschwindigkeit Nehmen Sie die Geschwindigkeit einer solchen gleichmäßigen geradlinigen Bewegung, mit der sich der Körper in 1 s um 1 m bewegt.
Für Fläche, Volumen, Länge usw. wird eine separate Maßeinheit verwendet. Jede Einheit wird bei der Auswahl eines bestimmten Standards festgelegt. Das Einheitensystem ist jedoch viel praktischer, wenn nur wenige Einheiten als Haupteinheiten ausgewählt werden und der Rest durch die Haupteinheiten bestimmt wird. Wenn die Längeneinheit beispielsweise ein Meter ist, ist die Flächeneinheit ein Quadratmeter, das Volumen ein Kubikmeter, die Geschwindigkeit ein Meter pro Sekunde usw.
Grundeinheiten Die physikalischen Größen im Internationalen Einheitensystem (SI) sind: Meter (m), Kilogramm (kg), Sekunde (s), Ampere (A), Kelvin (K), Candela (cd) und Mol (mol).
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Grundlegende SI-Einheiten |
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Größe |
Einheit |
Bezeichnung |
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Name |
Russisch |
International |
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Elektrische Stromstärke |
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Thermodynamische Temperatur |
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Die Kraft des Lichts |
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Stoffmenge |
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Es gibt auch abgeleitete SI-Einheiten, die eigene Namen haben:
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Abgeleitete SI-Einheiten mit eigenem Namen |
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Einheit |
Abgeleiteter Einheitenausdruck |
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Größe |
Name |
Bezeichnung |
Durch andere SI-Einheiten |
Durch SI-Haupt- und Zusatzeinheiten |
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Druck |
m -1 ChkgChs -2 |
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Energie, Arbeit, Wärmemenge |
m 2 ChkgChs -2 |
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Kraft, Energiefluss |
m 2 ChkgChs -3 |
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Strommenge, elektrische Ladung |
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Elektrische Spannung, elektrisches Potenzial |
m 2 ChkgChs -3 ChA -1 |
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Elektrische Kapazität |
m -2 Chkg -1 Ch 4 Ch 2 |
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Elektrischer Wiederstand |
m 2 ChkgChs -3 ChA -2 |
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Elektrische Leitfähigkeit |
m -2 Chkg -1 Ch 3 Ch 2 |
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Magnetischer Induktionsfluss |
m 2 ChkgChs -2 ChA -1 |
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Magnetische Induktion |
kgHs -2 HA -1 |
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Induktivität |
m 2 ChkgChs -2 ChA -2 |
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Lichtfluss |
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Erleuchtung |
m 2 ChkdChsr |
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Aktivität radioaktiver Quellen |
Becquerel |
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Absorbierte Strahlendosis |
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UNDMessungen. Um eine genaue, objektive und leicht reproduzierbare Beschreibung einer physikalischen Größe zu erhalten, werden Messungen verwendet. Ohne Messungen kann eine physikalische Größe nicht quantitativ charakterisiert werden. Definitionen wie „niedriger“ oder „hoher“ Druck, „niedrige“ oder „hohe“ Temperatur spiegeln nur subjektive Meinungen wider und beinhalten keinen Vergleich mit Referenzwerten. Bei der Messung einer physikalischen Größe wird ihr ein bestimmter Zahlenwert zugeordnet.
Messungen werden mit durchgeführt Messgeräte. Es gibt eine ganze Reihe von Messgeräten und Geräten, von den einfachsten bis zu den komplexesten. Beispielsweise wird die Länge mit einem Lineal oder Maßband gemessen, die Temperatur mit einem Thermometer, die Breite mit einem Messschieber.
Messgeräte werden klassifiziert: nach der Art der Informationsdarstellung (Anzeige oder Aufzeichnung), nach der Messmethode (direkte Aktion und Vergleich), nach der Form der Darstellung der Messwerte (analog und digital) usw.
Typisch für Messgeräte sind folgende Parameter:
Messbereich- der Wertebereich der Messgröße, für den das Gerät im Normalbetrieb (bei gegebener Messgenauigkeit) ausgelegt ist.
Empfindlichkeitsschwelle- der vom Gerät ermittelte Mindestwert (Schwellenwert) des Messwerts.
Empfindlichkeit- verbindet den Wert des gemessenen Parameters und die entsprechende Änderung der Instrumentenwerte.
Genauigkeit- die Fähigkeit des Geräts, den wahren Wert des gemessenen Indikators anzuzeigen.
Stabilität- die Fähigkeit des Geräts, nach der Kalibrierung eine bestimmte Messgenauigkeit für eine bestimmte Zeit aufrechtzuerhalten.
Schon in der Antike beschäftigten sich die Menschen ernsthaft mit der Frage, wie sich in unterschiedlichen Werten ausgedrückte Mengen am besten vergleichen lassen. Und es ist nicht nur eine Frage der natürlichen Neugier. Die Menschen der ältesten irdischen Zivilisationen maßen dieser eher schwierigen Angelegenheit eine rein praktische Bedeutung bei. Das Land richtig vermessen, das Gewicht des Produkts auf dem Markt bestimmen, das erforderliche Warenverhältnis beim Tausch berechnen, den richtigen Traubenanteil bei der Weinbereitung bestimmen – das sind nur einige der Aufgaben, die in dem ohnehin schon schwierigen Leben oft auftauchten unserer Vorfahren. Deshalb wandten sich schlecht gebildete und ungebildete Menschen, wenn es darum ging, Werte zu vergleichen, an ihre erfahreneren Kameraden um Rat, und sie nahmen oft ein angemessenes Bestechungsgeld für einen solchen Dienst an, und zwar übrigens ein ziemlich gutes.
Was lässt sich vergleichen
Heutzutage spielt diese Tätigkeit auch eine bedeutende Rolle im Studium der exakten Wissenschaften. Jeder weiß natürlich, dass man homogene Mengen vergleichen muss, also Äpfel mit Äpfeln und Rüben mit Rüben. Es würde niemandem in den Sinn kommen, Grad Celsius in Kilometern oder Kilogramm in Dezibel auszudrücken, aber wir kennen die Länge einer Boa constrictor bei Papageien seit unserer Kindheit (für diejenigen, die sich nicht erinnern: In einer Boa constrictor stecken 38 Papageien ). Obwohl Papageien auch unterschiedlich sind und die Länge der Boa constrictor tatsächlich je nach Unterart des Papageis variieren wird, sind dies Details, die wir versuchen herauszufinden.
Maße
Wenn es in der Aufgabe heißt: „Vergleichen Sie die Werte von Mengen“, ist es notwendig, diese gleichen Mengen auf den gleichen Nenner zu bringen, d. h. sie in den gleichen Werten auszudrücken, um den Vergleich zu erleichtern. Es ist klar, dass es für viele von uns nicht schwierig ist, den in Kilogramm ausgedrückten Wert mit dem in Zentner oder Tonnen ausgedrückten Wert zu vergleichen. Allerdings gibt es homogene Größen, die in unterschiedlichen Dimensionen und darüber hinaus in unterschiedlichen Maßsystemen ausgedrückt werden können. Versuchen Sie beispielsweise, die Werte der kinematischen Viskosität zu vergleichen und zu bestimmen, welche der Flüssigkeiten in Centistokes und Quadratmetern pro Sekunde viskoser ist. Klappt nicht? Und es wird nicht funktionieren. Dazu müssen Sie beide Werte in gleichen Mengen widerspiegeln und bereits anhand des Zahlenwerts feststellen, welcher davon dem Gegner überlegen ist.
Messsystem
Um zu verstehen, welche Größen verglichen werden können, versuchen wir, uns an die vorhandenen Messsysteme zu erinnern. Um die Abwicklungsprozesse zu optimieren und zu beschleunigen, unterzeichneten 1875 siebzehn Länder (darunter Russland, die USA, Deutschland usw.) die metrische Konvention und definierten das metrische Maßsystem. Um die Standards für Meter und Kilogramm zu entwickeln und zu festigen, wurde das Internationale Komitee für Maß und Gewicht gegründet und in Paris das Internationale Büro für Maß und Gewicht gegründet. Dieses System entwickelte sich im Laufe der Zeit zum Internationalen Einheitensystem SI. Derzeit wird dieses System von den meisten Ländern im Bereich der technischen Berechnungen übernommen, einschließlich der Länder, in denen im Alltag traditionell nationale Systeme verwendet werden (z. B. die USA und England).
GHS
Parallel zum allgemein anerkannten Standard wurde jedoch auch ein anderes, weniger praktisches GHS-System (Zentimeter-Gramm-Sekunde) entwickelt. Es wurde 1832 vom deutschen Physiker Gauß vorgeschlagen und 1874 von Maxwell und Thompson modernisiert, hauptsächlich auf dem Gebiet der Elektrodynamik. Im Jahr 1889 wurde ein praktischeres ISS-System (Meter-Kilogramm-Sekunde) vorgeschlagen. Der Vergleich von Objekten anhand der Standardwerte Meter und Kilogramm ist für Ingenieure viel bequemer als die Verwendung ihrer Ableitungen (Zenti-, Milli-, Dezi- usw.). Allerdings fand auch dieses Konzept bei denen, für die es gedacht war, keinen großen Anklang. Es wurde weltweit aktiv weiterentwickelt und genutzt, so dass Berechnungen im GHS immer seltener durchgeführt wurden und nach 1960, mit der Einführung des SI-Systems, das GHS fast ganz außer Gebrauch geriet. Derzeit wird GHS in der Praxis tatsächlich nur bei Berechnungen in der theoretischen Mechanik und Astrophysik eingesetzt, und zwar aufgrund der einfacheren Form der Aufzeichnung der Gesetze des Elektromagnetismus.
Schritt-für-Schritt-Anleitung
Schauen wir uns ein Beispiel im Detail an. Nehmen wir an, die Aufgabe klingt so: „Vergleichen Sie die Werte von 25 Tonnen und 19570 kg. Welcher Wert ist größer?“ Als erstes müssen wir feststellen, in welchen Mengen unsere Werte angegeben sind. Der erste Wert wird also in Tonnen und der zweite in Kilogramm angegeben. Im zweiten Schritt prüfen wir, ob die Autoren des Problems nicht versuchen, uns in die Irre zu führen, indem sie uns zum Vergleich unterschiedlicher Größen zwingen wollen. Es gibt auch solche Fallenaufgaben, insbesondere bei Schnelltests, bei denen man für die Beantwortung jeder Frage 20-30 Sekunden Zeit hat. Wie wir sehen, sind die Werte einheitlich: Wir messen die Masse und das Gewicht des Körpers sowohl in Kilogramm als auch in Tonnen, sodass der zweite Test mit einem positiven Ergebnis bestanden wurde. Der dritte Schritt besteht darin, Kilogramm in Tonnen oder umgekehrt Tonnen in Kilogramm umzurechnen, um den Vergleich zu erleichtern. Bei der ersten Variante sind es 25 und 19,57 Tonnen, bei der zweiten 25.000 und 19.570 Kilogramm. Und jetzt können Sie beruhigt die Größenordnungen dieser Werte vergleichen. Wie deutlich zu erkennen ist, ist der erste Wert (25 t) in beiden Fällen größer als der zweite (19.570 kg).
Fallen
Wie oben erwähnt, enthalten moderne Tests viele Täuschungsaufgaben. Dies sind nicht unbedingt die Aufgaben, die wir analysiert haben; eine eher harmlos aussehende Frage kann sich als Falle erweisen, insbesondere eine, die eine völlig logische Antwort suggeriert. Die Heimtücke liegt jedoch in der Regel in den Details oder in einer kleinen Nuance, die die Aufgabenschreiber auf jede erdenkliche Weise zu verschleiern versuchen. Anstelle der Frage, die Sie bereits aus den analysierten Aufgaben kennen: „Vergleichen Sie die Werte nach Möglichkeit“, können die Test-Compiler Sie beispielsweise einfach auffordern, die angegebenen Werte zu vergleichen und selbst die Werte auszuwählen, die auffallend ähnlich sind zueinander. Zum Beispiel kg*m/s 2 und m/s 2. Im ersten Fall ist dies die auf das Objekt wirkende Kraft (Newton) und im zweiten Fall ist es die Beschleunigung des Körpers, also m/s 2 und m/s, wobei Sie die Beschleunigung mit der vergleichen sollen Geschwindigkeit des Körpers, also völlig unterschiedliche Größen.
Komplexe Vergleiche
Allerdings werden in Aufgaben sehr oft zwei Werte angegeben, die nicht nur in unterschiedlichen Maßeinheiten und in unterschiedlichen Rechensystemen ausgedrückt werden, sondern sich auch in der konkreten physikalischen Bedeutung voneinander unterscheiden. In der Problemstellung heißt es beispielsweise: „Vergleichen Sie die Werte der dynamischen und kinematischen Viskositäten und bestimmen Sie, welche Flüssigkeit viskoser ist.“ In diesem Fall werden die Werte in SI-Einheiten, also in m 2 / s, und dynamisch – in CGS, also in Poises – angegeben. Was ist in diesem Fall zu tun?
Um solche Probleme zu lösen, können Sie die oben aufgeführten Anweisungen mit einer kleinen Ergänzung verwenden. Wir entscheiden, in welchem System wir arbeiten: Lassen Sie es unter Ingenieuren allgemein akzeptiert sein. Im zweiten Schritt prüfen wir auch, ob es sich hierbei um eine Falle handelt? Aber auch in diesem Beispiel ist alles sauber. Wir vergleichen zwei Flüssigkeiten anhand des Parameters der inneren Reibung (Viskosität), sodass beide Größen homogen sind. Der dritte Schritt besteht in der Umrechnung von Poises in Pascalsekunden, also in allgemein akzeptierte SI-Einheiten. Als nächstes wandeln wir die kinematische Viskosität in dynamische Viskosität um, multiplizieren sie mit dem entsprechenden Wert der Flüssigkeitsdichte (Tabellenwert) und vergleichen die erhaltenen Ergebnisse.
Außerhalb des Systems
Es gibt auch nicht systemische Maßeinheiten, also Einheiten, die nicht im SI enthalten sind, aber nach den Ergebnissen der Beschlüsse der Einberufung der Generalkonferenz für Maß und Gewicht (GCWM) zur gemeinsamen Verwendung mit zulässig sind die SI. Solche Größen können nur dann miteinander verglichen werden, wenn sie im SI-Standard auf ihre allgemeine Form reduziert werden. Zu den nicht systemischen Einheiten gehören Einheiten wie Minute, Stunde, Tag, Liter, Elektronenvolt, Knoten, Hektar, Bar, Angström und viele andere.
Natürliche Zahl als Maß für die Größe
Es ist bekannt, dass Zahlen aus der Notwendigkeit des Zählens und Messens entstanden sind, aber wenn natürliche Zahlen zum Zählen ausreichen, dann werden andere Zahlen benötigt, um Mengen zu messen. Als Ergebnis der Messung von Größen betrachten wir jedoch nur natürliche Zahlen. Nachdem wir die Bedeutung einer natürlichen Zahl als Maß für die Größe definiert haben, werden wir herausfinden, welche Bedeutung arithmetische Operationen für solche Zahlen haben. Ein Grundschullehrer benötigt dieses Wissen nicht nur, um die Wahl der Handlungen bei der Lösung von Problemen mit Mengen zu begründen, sondern auch, um einen anderen Ansatz zur Interpretation natürlicher Zahlen zu verstehen, der im Mathematikunterricht der Grundschule existiert.
Wir werden eine natürliche Zahl im Zusammenhang mit der Messung positiver skalarer Größen – Längen, Flächen, Massen, Zeit usw. – betrachten. Bevor wir also über die Beziehung zwischen Größen und natürlichen Zahlen sprechen, erinnern wir uns an einige Fakten im Zusammenhang mit Mengen und ihren Eigenschaften Messung, zumal der Begriff „Größen“ neben der Zahl im Grundstudium der Mathematik von grundlegender Bedeutung ist.
Das Konzept einer positiven Skalargröße und ihre Messung
Betrachten Sie zwei Aussagen, die das Wort „Länge“ verwenden:
1) Viele Objekte um uns herum haben Länge.
2) Die Tabelle hat eine Länge.
Der erste Satz besagt, dass Objekte einer bestimmten Klasse eine Länge haben. Im zweiten geht es um die Tatsache, dass ein bestimmtes Objekt dieser Klasse eine Länge hat. Zusammenfassend können wir sagen, dass der Begriff „Länge“ zur Angabe verwendet wird Eigenschaften, entweder eine Klasse von Objekten (Objekte haben eine Länge) oder ein bestimmtes Objekt aus dieser Klasse (die Tabelle hat eine Länge).
Aber wie unterscheidet sich diese Eigenschaft von anderen Eigenschaften von Objekten dieser Klasse? So kann beispielsweise ein Tisch nicht nur lang sein, sondern auch aus Holz oder Metall bestehen; Tische können unterschiedliche Formen haben. Über die Länge können wir sagen, dass verschiedene Tische diese Eigenschaft in unterschiedlichem Ausmaß haben (ein Tisch kann länger oder kürzer sein als ein anderer), was man über die Form nicht sagen kann – ein Tisch kann nicht „rechteckiger“ sein als ein anderer.
Somit ist die Eigenschaft „Länge zu haben“ eine besondere Eigenschaft von Objekten; sie manifestiert sich, wenn Objekte anhand ihrer Ausdehnung (Länge) verglichen werden. Beim Vergleich wird festgestellt, dass entweder zwei Objekte die gleiche Länge haben oder die Länge des einen kleiner ist als die Länge des anderen.
Andere bekannte Größen können ähnlich betrachtet werden: Fläche, Masse, Zeit usw. Sie stellen besondere Eigenschaften von Objekten und Phänomenen um uns herum dar und erscheinen beim Vergleich von Objekten und Phänomenen anhand dieser Eigenschaft, und jeder Wert ist mit einer bestimmten Vergleichsmethode verbunden.
Man nennt Größen, die die gleiche Eigenschaft von Objekten ausdrücken Mengen gleicher Art oder homogene Mengen . Beispielsweise sind die Länge eines Tisches und die Länge eines Raumes gleichartige Größen.
Erinnern wir uns an die Grundprinzipien, die mit homogenen Größen verbunden sind.
1. Zwei beliebige Größen derselben Art sind vergleichbar: Sie sind entweder gleich oder eine ist kleiner als die andere. Mit anderen Worten, für gleichartige Größen gelten die Beziehungen „gleich“, „kleiner als“ und „größer“, und für alle Größen A und B gilt nur eine der Beziehungen: A<В, А = В, А>IN.
Wir sagen zum Beispiel, dass die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks größer ist als die Länge jedes Beins dieses Dreiecks, die Masse eines Apfels kleiner ist als die Masse einer Wassermelone und die Längen der gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks sind gleich.
2. Die Beziehung „kleiner als“ für homogene Größen ist transitiv: wenn A< В и В < С, то А < С.
Wenn also die Fläche des Dreiecks F 1 kleiner ist als die Fläche des Dreiecks F 2 und die Fläche des Dreiecks F 2 kleiner ist als die Fläche des Dreiecks F 3, dann ist die Fläche von Dreieck F 1 ist kleiner als die Fläche des Dreiecks F 3.
3. Mengen gleicher Art können addiert werden; durch die Addition entsteht eine Menge gleicher Art. Mit anderen Worten, für zwei beliebige Größen A und B ist die Größe C = A + B eindeutig bestimmt, die als Summe der Größen A und B bezeichnet wird.
Die Addition von Mengen erfolgt kommutativ und assoziativ.
Wenn beispielsweise A die Masse einer Wassermelone und B die Masse einer Melone ist, dann ist C = A + B die Masse von Wassermelone und Melone. Es ist offensichtlich, dass A+B = B+A und (A+B) + C = A+(B+C).
Die Differenz zwischen den Größen A und B wird als solche Größe bezeichnet
C = A - B, was A = B + C bedeutet.
Der Unterschied zwischen A und B besteht genau dann, wenn A>B.
Wenn beispielsweise A die Länge von Segment a und B die Länge von Segment b ist, dann ist C = A-B die Länge von Segment c (Abb. 1).
5. Eine Größe kann mit einer positiven reellen Zahl multipliziert werden, was zu einer Größe derselben Art führt. Genauer gesagt gibt es für jeden Wert A und jede positive reelle Zahl x einen eindeutigen Wert B =
X. A, das Produkt der Größe A und der Zahl x genannt wird.
Wenn A beispielsweise die für eine Unterrichtsstunde vorgesehene Zeit ist, erhalten wir durch Multiplizieren von A mit der Zahl x = 3 den Wert B = 3 A – die Zeit, in der 3 Unterrichtsstunden vergehen.
6. Gleichartige Mengen können geteilt werden, wodurch eine Zahl entsteht. Die Division wird durch Multiplikation des Wertes mit der Zahl ermittelt.
Der Quotient aus A und B ist eine positive reelle Zahl x = A: B mit A = x B.
Wenn also A die Länge von Segment a ist, B die Länge von Segment b (Abb. 2) und Segment A aus 4 Segmenten gleich b besteht, dann ist A:B = 4, da A = 4·B.
Größen als Eigenschaften von Objekten haben noch eine weitere Eigenschaft: Sie können quantitativ bewertet werden. Dazu muss der Wert gemessen werden. Um eine Messung durchzuführen, wird aus einer bestimmten Art von Größe ein Wert ausgewählt, der als Maßeinheit bezeichnet wird. Wir werden es mit dem Buchstaben E bezeichnen.
Wenn die Menge A gegeben ist und die Einheit der Menge E (gleichartig) gewählt wird, dann Eine Größe A zu messen bedeutet, eine positive reelle Zahl x zu finden, so dass A = x E.
Die Zahl x wird aufgerufen numerischer Wert der Größe A mit einer Werteinheit E. Sie zeigt an, wie oft der Wert A größer (oder kleiner) ist als der Wert E, der als Maßeinheit verwendet wird.
Wenn A = x E, dann wird die Zahl x auch als Maß für den Wert von A mit einem E bezeichnet und geschrieben als x = m E (A).
Wenn beispielsweise A die Länge des Segments a und E die Länge des Segments b ist (Abb. 2), dann ist A = a·E. Die Zahl 4 ist der Zahlenwert der Länge A pro Längeneinheit E, oder anders ausgedrückt, die Zahl 4 ist das Maß für die Länge A pro Längeneinheit E.
In praktischen Tätigkeiten verwenden Menschen beim Messen von Mengen Standardmengeneinheiten: Beispielsweise wird die Länge in Metern, Zentimetern usw. gemessen. Das Messergebnis wird wie folgt festgehalten: 2,7 kg; 13 cm; 16 S. Basierend auf dem oben dargestellten Messkonzept können diese Einträge als Produkt einer Zahl und einer Größeneinheit betrachtet werden. Zum Beispiel: 2,7 kg = 2,7 kg; 13 cm = 13 cm; 16 s = 16 s.
Mit dieser Darstellung ist es möglich, den Übergangsprozess von einer Werteinheit zur anderen zu rechtfertigen. Angenommen, Sie möchten h in Minuten ausdrücken. Da h = · h und Stunde = 60 min, dann ist h = · 60 · min = ( · 60) min = 25 min.
Eine Größe, die durch einen Zahlenwert bestimmt wird, heißt Skalare Größe .
Wenn bei der gewählten Maßeinheit eine skalare Größe nur positive Zahlenwerte annimmt, wird sie aufgerufen positive Skalargröße.
Positive skalare Größen sind Länge, Fläche, Volumen, Masse, Zeit, Kosten und Menge der Güter usw.
Durch das Messen von Mengen können Sie vom Vergleich von Mengen zum Vergleich von Zahlen übergehen, von Aktionen für Mengen zu entsprechenden Aktionen für Zahlen und umgekehrt.
1. Wenn die Größen A und B mit einer Mengeneinheit E gemessen werden, ist die Beziehung zwischen den Größen A und B dieselbe wie die Beziehung zwischen ihren Zahlenwerten und umgekehrt:
A+B<=>m(A)+ m(B);
A<В <=>m(A) A>B<=>m (A) > m (B). Wenn beispielsweise die Massen zweier Körper so sind, dass A = 5 kg, B = 3 kg, dann können wir sagen, dass A > B, da 5 > 3. 2. Wenn die Mengen A und B mit der Mengeneinheit E gemessen werden, reicht es aus, die Zahlenwerte der Mengen A und B zu addieren, um den Zahlenwert der Summe A + B zu ermitteln: A + B = C<=>m (A + B) = m (A) + m (B). Wenn zum Beispiel A = 5 kg, B = 3 kg, dann ist A + B = 5 kg + 3 kg = = (5 + 3) kg = 8 kg. 3. Wenn die Größen A und B so sind, dass B = x A ist, wobei x eine positive reelle Zahl ist und die Größe A mit der Einheit der Größe E gemessen wird, dann muss der numerische Wert der Größe B mit a ermittelt werden Einheit von E genügt es, die Zahl x mit der Zahl m (A) zu multiplizieren: B = x A<=>m (B) = x m (A). Wenn beispielsweise die Masse von B dreimal so groß ist wie die Masse von A und A = 2 kg, dann ist B = 3A = 3 (2 kg) = (3 2) kg = 6 kg. Wenn man in der Mathematik das Produkt einer Größe A mit einer Zahl x schreibt, ist es üblich, die Zahl vor der Größe zu schreiben, d.h. Ha. Aber du darfst so schreiben: Ah. Dann wird der Zahlenwert der Größe A mit x multipliziert, wenn der Wert der Größe A x gefunden wird. Die betrachteten Konzepte – ein Gegenstand (Subjekt, Phänomen, Prozess), sein Wert, der Zahlenwert eines Wertes, eine Werteinheit – müssen in Texten und Aufgaben identifizierbar sein. Der mathematische Inhalt des Satzes „Wir haben 3 Kilogramm Äpfel gekauft“ kann beispielsweise wie folgt beschrieben werden: Der Satz betrachtet ein Objekt wie Äpfel und seine Eigenschaft ist Masse; um die Masse zu messen, wurde die Masseneinheit verwendet - Kilogramm; Als Ergebnis der Messungen haben wir die Zahl 3 erhalten – den Zahlenwert der Masse von Äpfeln mit einer Masseneinheit – einem Kilogramm. Dasselbe Objekt kann mehrere Eigenschaften haben, bei denen es sich um Mengen handelt. Für einen Menschen sind dies beispielsweise Größe, Gewicht, Alter usw. Der Prozess der gleichförmigen Bewegung wird durch drei Größen charakterisiert: Entfernung, Geschwindigkeit und Zeit, zwischen denen ein Zusammenhang besteht, der durch die Formel s = v·t ausgedrückt wird. Wenn Größen unterschiedliche Eigenschaften eines Objekts ausdrücken, werden sie aufgerufen Mengen verschiedener Art
, oder heterogene Mengen
. So sind beispielsweise Länge und Masse unterschiedliche Größen. Länge, Fläche, Masse, Zeit, Volumen sind Größen. Die erste Bekanntschaft mit ihnen erfolgt in der Grundschule, wo neben der Zahl auch die Quantität ein Leitbegriff ist. Die Größe ist eine besondere Eigenschaft realer Objekte oder Phänomene, und die Besonderheit besteht darin, dass diese Eigenschaft gemessen werden kann, das heißt, die Größe der Größe kann benannt werden. Größen, die die gleiche Eigenschaft von Objekten ausdrücken, werden Mengen genannt selbe Art oder homogene Mengen. Beispielsweise sind die Länge des Tisches und die Länge des Raumes homogene Größen. Größen – Länge, Fläche, Masse und andere – haben eine Reihe von Eigenschaften. 1) Zwei beliebige Größen derselben Art sind vergleichbar: Sie sind entweder gleich oder eine ist kleiner (größer) als die andere. Das heißt, für Größen gleicher Art gelten die Beziehungen „gleich“, „kleiner als“, „größer“ und für alle Größen gilt nur eine der Beziehungen: Wir sagen zum Beispiel, dass die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist größer als jeder Schenkel des gegebenen Dreiecks; die Masse einer Zitrone ist geringer als die Masse einer Wassermelone; Die Längen der gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks sind gleich. 2) Mengen gleicher Art können addiert werden; durch die Addition entsteht eine Menge gleicher Art. Diese. Für zwei beliebige Größen a und b ist die Größe a+b eindeutig bestimmt, heißt es Menge Mengen a und b. Wenn beispielsweise a die Länge des Segments AB ist, b die Länge des Segments BC (Abb. 1), dann ist die Länge des Segments AC die Summe der Längen der Segmente AB und BC; 3) Größe mit real multiplizieren Zahl, was zu einer gleichartigen Menge führt. Dann gibt es für jeden Wert a und jede nicht negative Zahl x einen eindeutigen Wert b = x a, der Wert b heißt arbeiten Mengen a nach Zahl x. Wenn a beispielsweise die Länge des Segments AB multipliziert mit ist x= 2, dann erhalten wir die Länge des neuen Segments AC. (Abb. 2) 4) Größen der gleichen Art werden subtrahiert und die Differenz der Mengen durch die Summe bestimmt: Die Differenz zwischen den Mengen a und b ist eine Größe c, so dass a = b + c. Wenn beispielsweise a die Länge des Segments AC und b die Länge des Segments AB ist, dann ist die Länge des Segments BC die Differenz zwischen den Längen der Segmente AC und AB. 5) Mengen gleicher Art werden dividiert, wobei der Quotient durch das Produkt der Menge mit der Zahl bestimmt wird; Der Quotient aus a und b ist eine nicht negative reelle Zahl x mit a = x b. Häufiger wird diese Zahl als Verhältnis der Größen a und b bezeichnet und in dieser Form geschrieben: a/b = x. Beispielsweise beträgt das Verhältnis der Länge des Segments AC zur Länge des Segments AB 2. (Abbildung Nr. 2). 6) Die Beziehung „kleiner als“ für homogene Größen ist transitiv: wenn A<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью – их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение – заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице. Der Vergleichsprozess hängt von der Art der betrachteten Größen ab: Bei Längen ist es eine, bei Flächen eine andere, bei Massen eine dritte und so weiter. Unabhängig von diesem Vorgang erhält die Größe jedoch als Ergebnis der Messung einen bestimmten numerischen Wert für die ausgewählte Einheit. Wenn im Allgemeinen eine Größe a gegeben ist und die Einheit der Größe e gewählt wird, dann wird als Ergebnis der Messung der Größe a eine reelle Zahl x gefunden, so dass a = x e. Diese Zahl x nennt man den Zahlenwert der Größe a mit der Einheit e. Dies lässt sich wie folgt schreiben: x=m (a) .
Laut Definition kann jede Größe als Produkt einer bestimmten Zahl und der Einheit dieser Größe dargestellt werden. Zum Beispiel: 7 kg = 7∙1 kg, 12 cm =12∙1 cm, 15 Stunden =15∙1 Stunden. Damit und mit der Definition der Multiplikation einer Menge mit einer Zahl können Sie den Übergangsprozess rechtfertigen von einer Mengeneinheit zur anderen. Angenommen, Sie möchten 5/12 Stunden in Minuten ausdrücken. Denn 5/12h = 5/12 60min = (5/12 ∙ 60)min = 25min. Man nennt Größen, die vollständig durch einen Zahlenwert bestimmt sind Skalar Mengen. Dies sind beispielsweise Länge, Fläche, Volumen, Masse und andere. Neben skalaren Größen werden in der Mathematik auch vektorielle Größen berücksichtigt. Um eine Vektorgröße zu bestimmen, ist es notwendig, nicht nur ihren Zahlenwert, sondern auch ihre Richtung anzugeben. Vektorgrößen sind Kraft, Beschleunigung, elektrische Feldstärke und andere. In der Grundschule werden nur skalare Größen berücksichtigt, und zwar solche, deren Zahlenwerte positiv sind, also positive skalare Größen. Das Messen von Mengen ermöglicht es uns, ihren Vergleich auf einen Vergleich von Zahlen zu reduzieren, Operationen mit Mengen auf die entsprechenden Operationen mit Zahlen. 1/.Wenn die Größen a und b mit der Mengeneinheit e gemessen werden, dann sind die Beziehungen zwischen den Größen a und b die gleichen wie die Beziehungen zwischen ihren Zahlenwerten und umgekehrt. A=b m (a)=m (b), A>b m (a)>m (b), A
Wenn beispielsweise die Massen zweier Körper so sind, dass a = 5 kg, b = 3 kg, dann kann argumentiert werden, dass die Masse von a größer als die Masse von b ist, da 5>3. 2/ Wenn die Größen a und b mit der Mengeneinheit e gemessen werden, reicht es aus, zu addieren, um den numerischen Wert der Summe a + b zu ermitteln Zahlenwerte der Größen a und b. a+b= cm (a+b) = m (a) + m (b). Wenn zum Beispiel a = 15 kg, b = 12 kg, dann ist a + b = 15 kg + 12 kg = (15 + 12) kg = 27 kg 3/ Wenn die Größen a und b so sind, dass b = x a, wobei x eine positive reelle Zahl ist und die Größe a mit der Einheit der Größe e gemessen wird, dann muss der numerische Wert der Größe b mit der Einheit ermittelt werden e, es reicht aus, die Zahl x mit der Zahl m (a) zu multiplizieren:b=x a m (b)=x m (a). Wenn beispielsweise die Masse a dreimal größer ist als die Masse b, d. h. b = For und a = 2 kg, dann ist b = For = 3 ∙ (2 kg) = (3∙2) kg = 6 kg. Die betrachteten Begriffe – Gegenstand, Gegenstand, Phänomen, Vorgang, seine Größe, Zahlenwert eines Wertes, Werteinheit – müssen in Texten und Aufgaben identifizierbar sein. Der mathematische Inhalt des Satzes „Wir haben 3 Kilogramm Äpfel gekauft“ kann beispielsweise wie folgt beschrieben werden: Der Satz betrachtet ein Objekt wie Äpfel und seine Eigenschaft ist Masse; um die Masse zu messen, wurde die Masseneinheit verwendet - Kilogramm; Als Ergebnis der Messung haben wir die Zahl 3 erhalten – den Zahlenwert der Apfelmasse mit der Masseneinheit Kilogramm. Schauen wir uns die Definitionen einiger Größen und ihre Maße an. Statistischer Indikator— quantitative Merkmale sozioökonomischer Phänomene und Prozesse unter Bedingungen qualitativer Sicherheit. Es wird zwischen einem Kategorieindikator und einem spezifischen statistischen Indikator unterschieden: Spezifische Statistik ist ein digitales Merkmal des untersuchten Phänomens oder Prozesses. Zum Beispiel: Die Bevölkerung Russlands beträgt derzeit 145 Millionen Menschen. Basierend auf der Abdeckung der Einheiten werden Einzel- und Summenindikatoren unterschieden. Individuell Indikatoren – charakterisieren ein separates Objekt oder eine separate Bevölkerungseinheit (Gewinn eines Unternehmens, Höhe des Beitrags einer Einzelperson). Zusammenfassung Indikatoren – charakterisieren einen Teil der Bevölkerung oder die gesamte statistische Grundgesamtheit als Ganzes. Sie können volumetrisch ermittelt und berechnet werden. Volumetrische Indikatoren werden durch Addition der charakteristischen Werte einzelner Bevölkerungseinheiten erhalten. Der resultierende Wert wird als Volumen des Attributs bezeichnet. Geschätzte Indikatoren werden nach verschiedenen Formeln berechnet und bei der Analyse sozioökonomischer Phänomene verwendet. Statistische Indikatoren für den Zeitfaktor werden unterteilt in: Statistische Indikatoren sind miteinander verbunden. Um ein ganzheitliches Bild des untersuchten Phänomens oder Prozesses zu erhalten, ist es daher notwendig, ein Indikatorensystem zu berücksichtigen. Misst und drückt die Phänomene des gesellschaftlichen Lebens anhand quantitativer Kategorien – statistischer Größen – aus. Die Ergebnisse werden überwiegend in Form absoluter Werte gewonnen, die als Grundlage für die Berechnung und Analyse statistischer Indikatoren in den nächsten Stufen der statistischen Forschung dienen. Absoluter Wert- das Volumen oder die Größe des untersuchten Ereignisses oder Phänomens, Prozesses, ausgedrückt in geeigneten Maßeinheiten unter bestimmten Orts- und Zeitbedingungen. Das Ergebnis der statistischen Beobachtung sind Indikatoren, die die absoluten Dimensionen oder Eigenschaften des untersuchten Phänomens für jede Beobachtungseinheit charakterisieren. Diese werden als individuelle absolute Indikatoren bezeichnet. Wenn Indikatoren die gesamte Bevölkerung als Ganzes charakterisieren, werden sie als verallgemeinernde absolute Indikatoren bezeichnet. Statistische Indikatoren in Form von Absolutwerten haben immer Maßeinheiten: natürlich oder Kosten. Natürliche Maßeinheiten sind einfach, zusammengesetzt und bedingt. Einfache natürliche Einheiten Maßeinheiten sind Tonnen, Kilometer, Stück, Liter, Meilen, Zoll usw. Das Volumen einer statistischen Grundgesamtheit wird auch in einfachen natürlichen Einheiten gemessen, d. h. der Anzahl ihrer konstituierenden Einheiten oder dem Volumen ihres einzelnen Teils. Zusammengesetzte natürliche Einheiten Bei Messungen wurden Indikatoren berechnet, die als Produkt von zwei oder mehr Indikatoren mit einfachen Maßeinheiten erhalten wurden. Beispielsweise wird die Abrechnung der Arbeitskosten in Unternehmen in geleisteten Manntagen (die Anzahl der Mitarbeiter des Unternehmens wird mit der Anzahl der während des Zeitraums geleisteten Arbeitstage multipliziert) oder in Mannstunden (die Anzahl der Mitarbeiter des Unternehmens wird multipliziert) ausgedrückt nach der durchschnittlichen Dauer eines Arbeitstages und nach der Anzahl der Arbeitstage im Zeitraum); Der Transportfrachtumsatz wird in Tonnenkilometern ausgedrückt (die Masse der transportierten Fracht wird mit der Transportentfernung multipliziert) usw. Bedingt natürliche Einheiten Messungen werden häufig bei der Analyse von Produktionsaktivitäten verwendet, wenn es darum geht, den Endwert ähnlicher Indikatoren zu ermitteln, die nicht direkt vergleichbar sind, aber die gleichen Eigenschaften des Objekts charakterisieren. Natürliche Einheiten werden in bedingt natürliche Einheiten umgewandelt, indem die Varianten eines Phänomens in Einheiten eines bestimmten Standards ausgedrückt werden. Zum Beispiel: Die Umrechnung in konventionelle Einheiten erfolgt anhand spezieller Koeffizienten. Wenn zum Beispiel 200 Tonnen Seife mit einem Fettsäuregehalt von 40 % und 100 Tonnen mit einem Fettsäuregehalt von 60 % vorhanden sind, dann erhalten wir in Bezug auf 40 % ein Gesamtvolumen von 350 Tonnen bedingter Seife (die Der Umrechnungsfaktor ist definiert als das Verhältnis 60:40 = 1,5 und somit 100 t · 1,5 = 150 t konventionelle Seife). Beispiel 1. Finden Sie den konventionellen natürlichen Wert: Nehmen wir an, wir produzieren Notizbücher: Lösung: Antwort: Bedingt tatsächliche Größe = 1000*1 + 200*2 + 50*4 + 100*8 = 2400 Notizbücher mit je 12 Blättern Unter Bedingungen haben Kostenmaßeinheiten die größte Bedeutung und Anwendung: Rubel, Dollar, Euro, konventionelle Währungseinheiten usw. Zur Bewertung sozioökonomischer Phänomene und Prozesse werden Indikatoren in aktuellen oder tatsächlichen Preisen oder in vergleichbaren Preisen verwendet. Der absolute Wert selbst gibt kein vollständiges Bild des untersuchten Phänomens, zeigt nicht seine Struktur, die Beziehung zwischen einzelnen Teilen oder die Entwicklung im Laufe der Zeit. Beziehungen zu anderen absoluten Werten lassen sich nicht erkennen. Daher beschränkt sich die Statistik nicht auf absolute Werte, sondern verwendet in großem Umfang allgemeine wissenschaftliche Vergleichs- und Verallgemeinerungsmethoden. Absolute Werte sind von großer wissenschaftlicher und praktischer Bedeutung. Sie charakterisieren die Verfügbarkeit bestimmter Ressourcen und sind die Grundlage für verschiedene relative Indikatoren. Neben absoluten Werten werden auch verschiedene relative Werte verwendet. Relative Werte stellen verschiedene Koeffizienten oder Prozentsätze dar. Relative Statistiken- Hierbei handelt es sich um Indikatoren, die ein numerisches Maß für die Beziehung zwischen zwei vergleichbaren Größen liefern. Die Hauptbedingung für die korrekte Berechnung relativer Werte ist die Vergleichbarkeit der verglichenen Werte und das Vorhandensein realer Zusammenhänge zwischen den untersuchten Phänomenen. Relativer Wert = Vergleichswert / Basis Gemäß der Methode zur Gewinnung sind relative Größen immer abgeleitete (sekundäre) Größen. Sie können ausgedrückt werden: Relatives Ausmaß der Koordination(Koordinationsindikator) – stellt die Beziehung zwischen den Teilen der Bevölkerung dar. In diesem Fall wird als Vergleichsbasis der Teil ausgewählt, der den größten Anteil hat oder aus wirtschaftlicher, sozialer oder sonstiger Sicht vorrangig ist. OVK = Indikator, der einen Teil der Bevölkerung charakterisiert / Indikator, der einen Teil der als Vergleichsbasis ausgewählten Bevölkerung charakterisiert Die relative Größe der Koordination gibt an, wie oft ein Teil der Gesamtheit größer oder kleiner ist als ein anderer, der als Vergleichsbasis dient, oder wie viel Prozent davon es sind oder wie viele Einheiten eines Teils der Gesamtheit auf 1 fallen , 10, 100, 1000,..., Einheiten eines anderen (Grund-)Teils. Beispielsweise gab es 1999 in Russland 68,6 Millionen Männer und 77,7 Millionen Frauen, also kamen auf 1000 Männer (77,7/68,6) * 1000 = 1133 Frauen. Ebenso können Sie berechnen, wie viele Techniker auf 10 (100) Ingenieure kommen; die Anzahl der Jungen pro 100 Mädchen unter den Neugeborenen usw. Beispiel: Das Unternehmen beschäftigt 100 Manager, 20 Kuriere und 10 Führungskräfte. Relative Größe der Struktur(Strukturindikator) – charakterisiert das spezifische Gewicht eines Teils in seinem Gesamtvolumen. Die relative Größe einer Struktur wird oft als „spezifisches Gewicht“ oder „Proportion“ bezeichnet. OBC = Indikator, der einen Teil der Bevölkerung charakterisiert / Indikator für die Gesamtbevölkerung Beispiel: Das Unternehmen beschäftigt 100 Manager, 20 Kuriere und 10 Führungskräfte. Insgesamt 130 Personen. Die Summe aller OBCs muss 100 % oder eins betragen. Relativer Vergleichswert(Vergleichsindikator) – charakterisiert die Beziehung zwischen verschiedenen Populationen anhand derselben Indikatoren. Beispiel 8: Das Volumen der von der Sberbank of Russia an Privatpersonen vergebenen Kredite belief sich zum 1. Februar 2008 auf 520.189 Millionen Rubel, von der Vneshtorgbank auf 10.915 Millionen Rubel. Absoluter Wert
Arten von Absolutwerten:
Formen der Bilanzierung absoluter Werte:
K-Neuberechnung = tatsächliche Verbraucherqualität / Standard (vorgegebene Qualität)
Wir setzen den Standard – 12 Blatt.
Wir berechnen den Umrechnungsfaktor:Relative Werte
Folgende Arten relativer statistischer Größen werden unterschieden:
Beispielsweise gibt die Geburtenrate in Form eines relativen Wertes, berechnet in ppm, die Anzahl der Geburten pro Jahr pro 1000 Menschen an.Relatives Ausmaß der Koordination
Lösung: HVAC = (100 / 20)*100 % = 500 %. Es gibt fünfmal mehr Manager als Kuriere.
das Gleiche mit Hilfe von OBC (Beispiel 5): (77 %/15 %) * 100 % = 500 %Relative Größe der Struktur
Relativer Vergleichswert
Lösung:
OBC = 520189 / 10915 = 47,7
Somit war das Volumen der von der Sberbank of Russia an Privatpersonen vergebenen Kredite zum 1. Februar 2006 47,7-mal höher als der gleiche Wert für die Vneshtorgbank.
