Въпроси за изпита по "Математически анализ", 1-ва година, 1-ви семестър.
1. Комплекти. Основни операции върху множества. Метрични и аритметични пространства.
2. Числови набори. Множества на числовата ос: отсечки, интервали, полуоси, околности.
3. Дефиниция на ограничено множество. Горни и долни граници на числови множества. Постулати за горни и долни граници на числови множества.
4. Метод на математическата индукция. Неравенства на Бернули и Коши.
5. Дефиниция на функцията. Функционална графика. Четни и нечетни функции. Периодични функции. Начини за задаване на функция.
6. Ограничение на последователността. Свойства на конвергентните последователности.
7. ограничени последователности. Теорема за достатъчно условие за дивергенция на редица.
8. Дефиниция на монотонна последователност. Теорема на Вайерщрас за монотонната последователност.
9. Номер e.
10. Граница на функция в точка. Граница на функция в безкрайност. Едностранни ограничения.
11. Безкрайно малки функции. Граница на функции за сума, произведение и частно.
12. Теореми за устойчивостта на неравенствата. Пределно преминаване в неравенства. Теорема за три функции.
13. Първата и втората чудесни граници.
14. Безкрайно големи функции и връзката им с безкрайно малки функции.
15. Сравнение на безкрайно малки функции. Свойства на еквивалентни безкрайно малки. Теоремата за замяната на безкрайно малки с еквивалентни. Основни еквивалентности.
16. Непрекъснатост на функция в точка. Действия с непрекъснати функции. Непрекъснатост на основните елементарни функции.
17. Класификация на точките на прекъсване на функция. Разширение чрез непрекъснатост
18. Дефиниция на сложна функция. Лимит на сложна функция. Непрекъснатост на сложна функция. Хиперболични функции
19. Непрекъснатост на функция върху отсечка. Теореми на Коши за изчезването на непрекъсната на интервал функция и за междинната стойност на функция.
20. Свойства на непрекъснати на отсечка функции. Теоремата на Вайерщрас за ограничеността на непрекъсната функция. Теорема на Вайерщрас за най-голямата и най-малката стойност на функция.
21. Дефиниция на монотонна функция. Теорема на Вайерщрас за границата на монотонна функция. Теорема за множеството от стойности на функция, която е монотонна и непрекъсната на интервал.
22. Обратна функция. Графика на обратната функция. Теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция.
23. Обратни тригонометрични и хиперболични функции.
24. Дефиниция на производната на функция. Производни на основни елементарни функции.
25. Дефиниция на диференцируема функция. Необходимо и достатъчно условие за диференцируемост на функция. Непрекъснатост на диференцируема функция.
26. Геометричният смисъл на производната. Уравнението на допирателната и нормалата към графиката на функцията.
27. Производна на сумата, произведението и частното на две функции
28. Производна на съставна функция и обратна функция.
29. Логаритмично диференциране. Производна на функция, зададена параметрично.
30. Основната част от увеличението на функцията. Формула за линеаризация на функцията. Геометричният смисъл на диференциала.
31. Диференциал на съставна функция. Инвариантност на диференциалната форма.
32. Теореми на Рол, Лагранж и Коши за свойствата на диференцируемите функции. Формула на крайните нараствания.
33. Приложение на деривата за разкриване на несигурности в рамките. Правилото на L'Hopital.
34. Производна дефиниция n-ти ред. Правила за намиране на производната от n-ти ред. Формула на Лайбниц. Диференциали от по-висок порядък.
35. Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Пеано. Остатъчни членове във формата на Лагранж и Коши.
36. Нарастващи и намаляващи функции. екстремни точки.
37. Изпъкналост и вдлъбнатост на функция. Инфлексни точки.
38. Безкрайни прекъсвания на функциите. Асимптоти.
39. Схема за построяване на графика на функция.
40. Определение за антипроизводно. Основните свойства на антипроизводното. Най-простите правила за интегриране. Таблица на простите интеграли.
41. Интегриране чрез замяна на променлива и формула за интегриране по части в неопределения интеграл.
42. Интегриране на изрази на формата e ax cos bx и e ax sin bx с помощта на рекурсивни отношения.
43. Интегриране на дроб |
използване на рекурсивни отношения. |
|||
a 2 n |
||||
44. Неопределен интеграл на рационална функция. Интегриране на прости дроби.
45. Неопределен интеграл на рационална функция. Разлагане на правилни дроби на прости.
46. Неопределен интеграл на ирационална функция. Интегриране на изрази
R x, m |
|||
47. Неопределен интеграл на ирационална функция. Интегриране на изрази от вида R x , ax 2 bx c . Замествания на Ойлер.
48. Интегриране на изрази на формата |
|||||||||||||
ax2 bx c |
ax2 bx c |
2 bx c |
49. Неопределен интеграл на ирационална функция. Интегриране на биномни диференциали.
50. Интегриране на тригонометрични изрази. Универсално тригонометрично заместване.
51. Интегриране на рационални тригонометрични изрази в случай, когато подинтегралната функция е нечетна по sin x (или cos x ) или дори по отношение на sin x и cos x .
52. Интегриране на изрази sin n x cos m x и sin n x cos mx.
53. Интегриране на изрази tg m x и ctg m x.
54. Интегриране на изрази R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 и R x , x 2 a 2 с помощта на тригонометрични замествания.
55. Определен интеграл. Проблемът за изчисляване на площта на криволинейния трапец.
56. интегрални суми. Суми на Дарбу. Теорема за условието за съществуване на определен интеграл. Класове интегрируеми функции.
57. Свойства на определен интеграл. Теореми за средната стойност.
58. Определен интеграл като функция на горната граница. ФормулаНютон-Лайбниц.
59. Формула за промяна на променлива и формула за интегриране по части в определен интеграл.
60. Приложение на интегралното смятане в геометрията. Обемът на фигурата. Обемът на фигурите на въртене.
61. Приложение на интегралното смятане в геометрията. Площта на равнинна фигура. Площта на криволинейния сектор. Дължина на кривата.
62. Определение на неправилен интеграл от първи род. ФормулаНютон-Лайбниц за неправилни интеграли от първи род. Най-простите свойства.
63. Сходимост на несобствени интеграли от първи род за положителна функция. 1-ва и 2-ра теореми за сравнение.
64. Абсолютна и условна сходимост на несобствени интеграли от първи род на алтернираща функция. Критерии за конвергенция за Абел и Дирихле.
65. Дефиниция на несобствен интеграл от втори род. ФормулаНютон-Лайбниц за неправилни интеграли от втори род.
66. Връзка на неправилни интеграли 1-ви и 2-ри вид. Неправилни интеграли в смисъл на главна стойност.
Нека променливата х нприема безкрайна последователност от стойности
х 1 , х 2 , ..., х н , ..., (1)
и законът за промяна на променливата е известен х н, т.е. за всяко естествено число нможете да посочите съответната стойност х н. Следователно се приема, че променливата х не функция на н:
х н = f(n)
Нека дефинираме едно от най-важните понятия на математическия анализ - границата на последователност или, което е същото, границата на променлива х нпоследователност на движение х 1 , х 2 , ..., х н , ... . .
Определение.постоянно число аНаречен ограничение на последователността х 1 , х 2 , ..., х н , ... . или границата на променлива х н, ако за произволно малко положително число e съществува такова естествено число н(т.е. число н), че всички стойности на променливата х н, започвайки с х н, различавам се от апо-малко по абсолютна стойност от e. Това определение се записва накратко, както следва:
| х н - а |< (2)
за всички н н, или, което е същото,
Дефиниция на границата на Коши. Число A се нарича граница на функция f (x) в точка a, ако тази функция е дефинирана в някаква околност на точка a, с изключение може би на самата точка a, и за всяко ε > 0 съществува δ > 0 така че за всички x, удовлетворяващи условието |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Дефиниция на границата на Хайне. Число A се нарича граница на функция f (x) в точка a, ако тази функция е дефинирана в някаква околност на точка a, с изключение може би на самата точка a и за всяка последователност, такава че 
сближавайки се с числото a, съответната последователност от стойности на функцията се сближава с числото A.
Ако функцията f(x) има граница в точката a, тогава тази граница е уникална.
Числото A 1 се нарича лява граница на функцията f (x) в точка a, ако за всяко ε > 0 съществува δ > 
Числото A 2 се нарича дясна граница на функцията f (x) в точка a, ако за всяко ε > 0 съществува δ > 0, такова че неравенството 
Границата отляво се означава като граница отдясно - Тези граници характеризират поведението на функцията отляво и отдясно на точка a. Те често се наричат еднопосочни ограничения. В нотацията на едностранни граници като x → 0, първата нула обикновено се пропуска: и . И така, за функцията 
Ако за всяко ε > 0 съществува δ-околност на точка a, така че за всички x, отговарящи на условието |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, тогава казваме, че функцията f (x) има безкрайна граница в точка a:
По този начин функцията има безкраен лимит в точката x = 0. Често се разграничават граници, равни на +∞ и –∞. Така,
Ако за всяко ε > 0 съществува δ > 0, така че за всяко x > δ неравенството |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Теорема за съществуване за най-малка горна граница
определение: AR mR, m - горна (долна) страна на A, ако аА аm (аm).
определение:Множеството A е ограничено отгоре (отдолу), ако съществува m такова, че аА, то аm (аm) е изпълнено.
определение: SupA=m, ако 1) m - горна граница на A
2) m’: m’
InfA = n, ако 1) n е ниската граница на A
2) n’: n’>n => n’ не е ниска стойност на A
Определение: SupA=m е такова число, че: 1) aA am
2) >0 a A, така че a a-
InfA = n се нарича число, такова че:
2) >0 a A, така че a E a+
Теорема:Всяко непразно множество АR, ограничено отгоре, има най-добра горна граница, при това уникална.
Доказателство:
Построяваме число m на реалната права и доказваме, че това е най-малката горна граница на A.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - горната страна на A
Отсечка [[m],[m]+1] - разделена на 10 части
m 1 =max:aA)]
m 2 =max,m 1:aA)]
m до =max,m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - горна повърхност A
Нека докажем, че m=[m],m 1 ...m K е най-малката горна граница и че е уникална:
до: .
Ориз. 11. Графика на функцията y arcsin x.
Нека сега въведем концепцията за сложна функция ( показване на композиции). Нека са дадени три множества D, E, M и f: D→E, g: E→M. Очевидно е възможно да се конструира ново преобразуване h: D→M, наречено композиция от преобразувания f и g или комплексна функция (фиг. 12).
Сложната функция се обозначава по следния начин: z =h(x)=g(f(x)) или h = f o g.
Ориз. 12. Илюстрация към понятието сложна функция.
Извиква се функцията f (x). вътрешна функция, и функцията g ( y ) - външна функция.
1. Вътрешна функция f (x) = x², външна g (y) sin y. Комплексна функция z= g(f(x))=sin(x²)
2. Сега обратното. Вътрешна функция f (x)= sinx, външна g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)
Курсът е насочен към бакалаври и магистри, специализиращи в областта на математиката, икономиката или природните науки, както и към учители по математика в средните училища и университетски преподаватели. Ще бъде полезно и за ученици, които се занимават дълбоко с математика.
Структурата на курса е традиционна. Курсът обхваща класическия материал по математически анализ, изучаван в първата година на университета през първия семестър. Ще бъдат представени разделите „Елементи на теорията на множествата и реалните числа“, „Теория на числовите редове“, „Граница и непрекъснатост на функция“, „Диференцируемост на функция“, „Приложения на диференцируемостта“. Ще се запознаем с понятието множество, ще дадем строга дефиниция на реално число и ще изучим свойствата на реалните числа. След това ще говорим за числови последователности и техните свойства. Това ще ни позволи да разгледаме концепцията за числова функция, която е добре позната на учениците, на ново, по-строго ниво. Въвеждаме концепцията за граница и непрекъснатост на функция, обсъждаме свойствата на непрекъснатите функции и тяхното приложение при решаване на проблеми.
Във втората част на курса ще дефинираме производната и диференцируемостта на функция на една променлива и ще изучаваме свойствата на диференцируемите функции. Това ще ви позволи да научите как да решавате такива важни приложни проблеми като приблизителното изчисляване на стойностите на функция и решаването на уравнения, изчисляването на граници, изучаването на свойствата на функция и изграждането на нейната графика .
формат
Формата на обучение е задочна (дистанционна).
Седмичните занятия ще включват гледане на тематични видео лекции и решаване на тестови задачи с автоматизирана проверка на резултатите.
Важен елемент от изучаването на дисциплината е самостоятелното решаване на изчислителни задачи и задачи на доказателство. Решението ще трябва да съдържа строго и логически правилно разсъждение, водещо до правилния отговор (в случай на изчислителен проблем) или напълно доказващо необходимото твърдение (за теоретични проблеми).
Изисквания
Курсът е предназначен за бакалаври от 1 година обучение. Изисква познания по начална математика в обема на средното училище (11 класа).
Програма на курса
Лекция 1Елементи на теорията на множествата.
Лекция 2Концепцията за реално число. Точни лица на числови множества.
Лекция 3Аритметични действия с реални числа. Свойства на реалните числа.
Лекция 4Числови редици и техните свойства.
Лекция 5монотонни последователности. Критерий на Коши за сходимост на последователност.
Лекция 6Концепцията за функция на една променлива. Ограничение на функцията. Безкрайно малки и безкрайно големи функции.
Лекция 7Непрекъснатост на функцията. Класификация на точките на прекъсване. Локални и глобални свойства на непрекъснати функции.
Лекция 8Монотонни функции. Обратна функция.
Лекция 9Най-простите елементарни функции и техните свойства: експоненциални, логаритмични и степенни функции.
Лекция 10Тригонометрични и обратни тригонометрични функции. Забележителни граници. Равномерна непрекъснатост на функция.
Лекция 11Концепцията за производна и диференциал. Геометричният смисъл на производната. Правила за диференциране.
Лекция 12Производни на основни елементарни функции. Функционален диференциал.
Лекция 13Производни и диференциали от по-високи разряди. Формула на Лайбниц. Производни на параметрично зададени функции.
Лекция 14Основни свойства на диференцируемите функции. Теореми на Рол и Лагранж.
Лекция 15Теорема на Коши. Първото правило на L'Hospital за разкриване на несигурности.
Лекция 16Второто правило на L'Hopital за разкриване на несигурности. Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Пеано.
Лекция 17Формула на Тейлър с остатъчен член в общ вид, във формата на Лагранж и Коши. Разширението на Маклорен на основните елементарни функции. Приложения на формулата на Тейлър.
Лекция 18Достатъчни условия за екстремум. Асимптоти на графиката на функция. Изпъкнал.
Лекция 19Инфлексни точки. Общата схема на изследване на функцията. Примери за чертане.
Резултати от обучението
В резултат на усвояването на курса студентът ще получи представа за основните понятия на математическия анализ: множество, число, редица и функция, ще се запознае с техните свойства и ще се научи как да прилага тези свойства при решаване на задачи.
Курсът представлява студиен видеозапис на първата половина на първия семестър от лекциите по математически анализ във вида, в който се четат в Академичния университет. За 4 модула студентите ще се запознаят с основните понятия на математическия анализ: последователности, граници и непрекъснатост. Ние се ограничаваме до реални числа и функции на една променлива. Представянето ще бъде извършено на сравнително елементарно ниво без възможни обобщения, които не променят основните идеи на доказателствата, но значително усложняват възприемането. Всички твърдения (с изключение на някои скучни формални обосновки в самото начало на курса и в дефиницията на елементарни функции) ще бъдат строго доказани. Видеозаписите са придружени с голям брой задачи за самостоятелна работа на учениците.
За кого е този курс
Студенти от технически специалности
Учениците трябва да владеят добре училищната програма по математика. А именно, необходимо е да знаете как изглеждат графиките на основните елементарни функции, да знаете основните формули за тригонометрични, експоненциални и логаритмични функции, за аритметични и геометрични прогресии, както и да можете уверено да правите алгебрични преобразувания с равенства и неравенства. За няколко задачи трябва да се знаят и най-простите свойства на рационалните и ирационалните числа.
