Всички методи за решаване на проблеми на динамиката, които разгледахме досега, се основават на уравнения, които следват или директно от законите на Нютон, или от общи теореми, които са следствие от тези закони. Този път обаче не е единственият. Оказва се, че уравненията на движението или условията на равновесие на механична система могат да бъдат получени чрез приемане на други общи положения вместо законите на Нютон, наречени принципи на механиката. В редица случаи прилагането на тези принципи позволява, както ще видим, да се намерят по-ефективни методи за решаване на съответните проблеми. В тази глава ще бъде разгледан един от основните принципи на механиката, наречен принцип на д'Аламбер.
Да предположим, че имаме система, състояща се от нматериални точки. Нека отделим някои от точките на системата с маса . Под действието на външни и вътрешни сили, приложени към нея и (които включват както активни сили, така и реакции на свързване), точката получава известно ускорение по отношение на инерциалната отправна система.
Нека въведем в внимание количеството
имащ измерението на силата. Векторно количество, равно по абсолютна стойност на произведението на масата на точка и нейното ускорение и насочено срещу това ускорение, се нарича инерционна сила на точката (понякога инерционна сила на Даламбер).
Тогава се оказва, че движението на една точка има следното общо свойство: ако във всеки момент от времето добавим силата на инерцията към действително действащите върху точката сили, тогава получената система от сили ще бъде балансирана, т.е. ще
.
Този израз изразява принципа на д'Аламбер за една материална точка. Лесно се вижда, че той е еквивалентен на втория закон на Нютон и обратно. Наистина, вторият закон на Нютон за въпросната точка дава 
. Прехвърляйки члена тук в дясната страна на равенството, стигаме до последното отношение.
Повтаряйки горните разсъждения по отношение на всяка от точките на системата, стигаме до следния резултат, който изразява принципа на д'Аламбер за системата: ако във всеки момент към всяка от точките на системата, в допълнение към действително действащите върху нея външни и вътрешни сили, се приложат съответните инерционни сили, тогава получената система от сили ще бъде в равновесие и всички уравнения на върху него може да се приложи статика.
Значението на принципа на д'Аламбер се крие във факта, че когато се прилага директно към проблеми на динамиката, уравненията на движението на системата се съставят под формата на добре известни уравнения на равновесието; което прави единен подход към решаването на проблеми и обикновено значително опростява съответните изчисления. В допълнение, във връзка с принципа на възможните премествания, който ще бъде обсъден в следващата глава, принципът на д'Аламбер ни позволява да получим нов общ метод за решаване на проблеми с динамиката.
Прилагайки принципа на д'Аламбер, трябва да се има предвид, че върху точка от механична система, чието движение се изучава, действат само външни и вътрешни сили, възникващи в резултат на взаимодействието на точките на система помежду си и с тела, които не са включени в системата; под действието на тези сили точките на системата и се движат със съответните ускорения. Силите на инерцията, които се споменават в принципа на д'Аламбер, не действат върху движещи се точки (в противен случай тези точки биха били в покой или се движат без ускорение и тогава няма да има самите инерционни сили). Въвеждането на инерционни сили е просто техника, която ви позволява да съставите уравненията на динамиката, като използвате по-прости методи на статиката.
От статиката е известно, че геометричната сума на силите в равновесие и сумата от техните моменти спрямо всеки център ОТНОСНОса равни на нула и според принципа на втвърдяването това е вярно за сили, действащи не само върху твърдо тяло, но и върху всяка променлива система. Тогава, въз основа на принципа на д'Аламбер, трябва да бъде.
Първоначално идеята за този принцип е изразена от Якоб Бернули (1654-1705) при разглеждане на проблема за центъра на трептене на тела с произволна форма. През 1716 г. петербургският академик Я. Герман (1678 - 1733) излага принципа на статичната еквивалентност на "свободните" движения и "реалните" движения, т.е. движенията, извършвани при наличие на връзки. По-късно този принцип е приложен от Л. Ойлер (1707-1783) към проблема за вибрациите на гъвкавите тела (работата е публикувана през 1740 г.) и е наречен "Петербургски принцип". Въпреки това, първият, който формулира разглеждания принцип в обща форма, въпреки че не му дава правилен аналитичен израз, е д'Аламбер (1717-1783). В своята "Динамика", публикувана през 1743 г., той посочи общ метод за подход към решаването на проблемите на динамиката на несвободните системи. Аналитичен израз на този принцип по-късно е даден от Лагранж в неговата Аналитична механика.
Помислете за някаква несвободна механична система. Нека обозначим резултанта на всички активни сили, действащи върху всяка точка на системата през и резултата от реакциите на връзките - чрез Тогава уравнението на движението на точката ще има формата
където е векторът на ускорението на точка и е масата на тази точка.
Ако вземем предвид сила, наречена инерционна сила на д'Аламбер, тогава уравнението на движението (2.9) може да бъде пренаписано под формата на уравнение за равновесието на три сили:
Уравнение (2.10) е същността на принципа на д'Аламберт за точка, а същото уравнение, разширено до система, е същността на принципа на д'Аламберт за система.
Уравнението на движението, написано във формата (2.10), ни позволява да дадем на принципа на д'Аламбер следната формулировка: ако системата е в движение, в даден момент от времето, моментално спрете и приложете към всяка материална точка на тази система силите на активна реакция, действащи върху нея в момента на спиране, и силите на инерцията на Д'Аламбер, тогава системата ще остане в равновесие.
Принципът на д'Аламбер е удобен методичен метод за решаване на динамични проблеми, тъй като позволява уравненията на движението на несвободни системи да бъдат записани под формата на статични уравнения.
По този начин, разбира се, проблемът за динамиката не се свежда до проблема за статиката, тъй като проблемът за интегрирането на уравненията на движението все още е запазен, но принципът на д'Аламбер предоставя единен метод за съставяне на уравненията на движението на не -безплатни системи и това е основното му предимство.
Ако имаме предвид, че реакциите са действието на връзките върху точките на системата, тогава принципът на д'Аламбер може да получи и следната формулировка: ако добавим инерционните сили на д'Аламбер към активните сили, действащи върху точки на несвободна система, тогава произтичащите сили от тези сили ще бъдат балансирани от реакциите на връзките. Трябва да се подчертае, че тази формулировка е произволна, тъй като в действителност
когато системата се движи, няма балансиране, тъй като силите на инерцията не се прилагат към точките на системата.
И накрая, принципът на д'Аламбер може да получи още една еквивалентна формулировка, за която пренаписваме уравнение (2.9) в следната форма:
Принципът на д'Аламбер установява единен подход към изследването на движението на материален обект, независимо от естеството на условията, наложени на това движение. В този случай динамичните уравнения на движение се дават под формата на уравнения на равновесие. Оттук и второто име на принципа на д'Аламбер е методът на кинетостатиката.
За материална точка във всеки момент на движение геометричната сума на приложените активни сили, реакциите на връзките и условно прикрепената инерционна сила е нула (фиг. 48).
Където Ф е силата на инерцията на материална точка, равна на:
.
(15.2)
Фигура 48
Фигура 49
Силата на инерцията се прилага не към движещ се обект, а към връзките, които определят неговото движение. Мъж съобщава за ускорение 
количка (фиг. 49), като я бутате със сила 
.Силата на инерцията е противодействието на действието на човек върху количката, т.е. по модул равен на сила 
и насочен в обратна посока.
Ако една точка се движи по извита траектория, тогава силата на инерцията може да се проектира върху естествените координатни оси.
Фигура 50
;
(15.3)
, (15.4) където 
-- радиус на кривина на траекторията.
При решаване на проблеми с помощта на метода на кинетостатиката е необходимо:
1. изберете координатна система;
2. показват всички действащи сили, приложени към всяка точка;
3. изхвърлете връзките, като ги замените с подходящи реакции;
4. добавете силата на инерцията към активните сили и реакции на връзките;
5. съставя уравненията на кинетостатиката, от които да определя желаните стойности.
ПРИМЕР 21.
ОТНОСНО
РЕШЕНИЕ. 1. Помислете за кола на върха на изпъкнал мост. Разгледайте колата като материална точка, върху която действа дадена сила 2. Тъй като колата се движи с постоянна скорост, записваме принципа на д'Аламбер за материална точка в проекция върху нормалата 
и комуникационна реакция 
.
. (1) Изразяваме силата на инерцията: 
; ние определяме нормалното налягане на автомобила от уравнение (1): N.
\u003d 20m и се движи с постоянна скорост V \u003d 36 km / h (фиг. 51).
16. Принципът на д'Аламбер за механична система. Главен вектор и главен момент на инерционните сили.
Ако към всяка точка на механичната система във всеки момент на движение са приложени условно съответните инерционни сили, то във всеки момент на движение геометричната сума на активните сили, действащи върху точката, реакциите на връзките и силата на инерцията е равно на нула.
Уравнението, изразяващо принципа на д'Аламбер за механична система, има формата 
. (16.1) Сумата от моментите на тези балансирани сили спрямо всеки център също е равна на нула 
. (16.2) При прилагане на принципа на д'Аламбер уравненията на движението на системата се съставят под формата на уравнения за равновесие. Уравнения (16.1) и (16.2) могат да се използват за определяне на динамичните реакции.
ПРИМЕР 22.
Вертикален вал АК, въртящ се с постоянна ъглова скорост 
\u003d 10s -1, фиксиран с опорен лагер в точка А и цилиндричен лагер в точка К (фиг. 52). Тънък хомогенен счупен прът с маса m=10kg и дължина 10b е прикрепен към вала в точка Е, състоящ се от части 1 и 2, където b=0,1m, а техните маси m 1 и m 2 са пропорционални на дължините . Прътът е прикрепен към вала чрез шарнир в точка E и безтегловен прът 4, неподвижно фиксиран в точка B. Определете реакцията на панта E и прът 4.
РЕШЕНИЕ.
1. Дължината на счупения прът е 10b. Да изразим масите на частите на пръта, пропорционални на дължините: m 1 =0,4m; m2 =0.3m; m 3 \u003d 0,3 m.
Фигура 42
2. За да определите желаните реакции, помислете за движението на счупен прът и приложете принципа на д'Аламбер. Нека поставим пръта в равнината xy, изобразяваме външните сили, действащи върху него: 
,
,
, шарнирни реакции 
И 
и реакция 
прът 4. Добавяме към тези сили инерционните сили на частите на пръта: 
;
;
,
Където 
;
;
.
Тогава N.N.N.
Линия на действие на резултантните сили на инерцията 
,
И 
преминава на разстояния h 1 , h 2 и h 3 от оста x: m;
3. Съгласно принципа на д'Аламбер, приложените активни сили, реакциите на връзките и силите на инерцията образуват балансирана система от сили. Нека съставим три уравнения на равновесие за плоска система от сили:
;
;
(1)
;;
(2)
;.(3)
Решавайки системата от уравнения (1) + (3), замествайки дадените стойности на съответните количества, намираме желаните реакции:
N= yE=xE=
Ако всички сили, действащи върху точките на една механична система, се разделят на външни 
и домашни 
, (фиг. 53), тогава за произволна точка от механичната система могат да се запишат две векторни равенства:
;
(16.3)
.
Фигура 53
Като вземем предвид свойствата на вътрешните сили, получаваме принципа на д'Аламбер за механична система в следната форма: 
;
(16.4)
, (16.5) където 
,
-- съответно основните вектори на външните сили и инерционните сили;
,
- съответно основните моменти на външните сили и инерционните сили спрямо произволен център O.
Главен вектор 
и основна точка 
замени инерционните сили на всички точки на системата, тъй като е необходимо да се приложи собствена инерционна сила към всяка точка на системата, в зависимост от ускорението на точката. Използвайки теоремата за движението на центъра на масата и за промяната на ъгловия момент на системата спрямо произволен център, получаваме: 
,
(16.6)
. (16.7) За твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос z, главният инерционен момент около тази ос е равен на 
, (16.8) където 
е ъгловото ускорение на тялото.
При постъпателното движение на тялото инерционните сили на всичките му точки се свеждат до резултантната, равна на главния вектор на инерционните сили, т.е. 
.
П
Фигура 54
, (16.9) където 
- инерционният момент на тялото около оста на въртене.
Ако тялото има равнина на симетрия и се върти около фиксирана ос z, перпендикулярна на равнината на симетрия и не минаваща през центъра на масата на тялото, силата на инерцията на всички точки на тялото се намалява до резултата, равен на главния вектор на инерционните сили на системата, но приложен към някаква точка K (фиг. 54) . Линия на действие на резултата 
далеч от точка O на разстояние 
.
(16.10)
При равнинно движение на тяло, което има равнина на симетрия, тялото се движи по тази равнина (фиг. 55). Главният вектор и главният момент на силите на инерцията също лежат в тази равнина и се определят по формулите:
Фигура 55
;
.
Знакът минус показва, че посоката на момента 
противоположна на посоката на ъгловото ускорение на тялото.
ПРИМЕР 23.
Определете силата, която се стреми да счупи равномерно въртящ се маховик с маса m, като се има предвид неговата маса, разпределена по ръба. Радиус на маховика r, ъглова скорост 
(фиг. 56).
РЕШЕНИЕ.
1. Търсене на сила 
е вътрешно. 
-- равностойна на инерционните сили на елементите на джантата. 
. Изразяваме координатата x от центъра на масата на дъгата на ръба с централен ъгъл 
:
, Тогава 
.
2. За определяне на силата 
приложете принципа на д'Аламбер в проекция върху оста x: 
;
, където 
.
3. Ако маховикът е твърд хомогенен диск, тогава 
, Тогава 
.
Обхватът на принципа на д'Аламбер е динамиката на несвободните механични системи. d'Alembert предложи оригинален метод за решаване на проблеми с динамиката, който прави възможно използването на доста прости уравнения на статиката. Той пише: "Това правило свежда всички проблеми, свързани с движението на телата, до по-прости проблеми на равновесието."
Този метод се основава на силите на инерцията. Нека представим това понятие.
Силата на инерцията се нарича геометричната сума на силите на противодействие на движеща се материална частица към тела, които й придават ускорение.
Нека обясним това определение. На фиг. 15.1 показва материална частица М , взаимодействайки с н материални обекти. На фиг. 15.1 показва силите на взаимодействие: без
които всъщност не са на частица, а на тела с маси m 1 , …, m n . Ясно е, че резултатът от тази система от сближаващи се сили на реакция, R'=ΣF'k , по модул равно на Р и е насочена противоположно на ускорението, т.е. R' = -ma. Тази сила е силата на инерцията, посочена в определението. По-нататък ще го обозначаваме с буквата Е , т.е.:
В общия случай на криволинейно движение на точка ускорението е сумата от два компонента:
От (15.4) се вижда, че компонентите на инерционната сила са насочени противоположно на посоките на съответните компоненти на ускорението на точката. Модулите на компонентите на инерционната сила се определят по следните формули:
Където ρ е радиусът на кривината на траекторията на точката.
След като определите силата на инерцията, помислете принцип на д'Аламбер.
Нека механична система, състояща се от н материални точки (фиг. 15.2). Да вземем един от тях. Всички сили, действащи върху к -та точка, класифицираме в групи:
Изразът (15.6) отразява същността на принципа на д'Аламбер, записан за една материална точка. Като повтаряме горните стъпки по отношение на всяка точка от механичната система, можем да напишем системата н уравнения, подобни на (15.6), които ще бъдат математическият запис на принципа на д'Аламбер, приложен към механична система. Така формулираме Принципът на д'Аламбер за механична система:
Ако във всеки един момент от време, в допълнение към действително действащите върху нея външни и вътрешни сили, към всяка точка на механична система се приложи подходяща инерционна сила, тогава цялата система от сили ще бъде приведена в равновесие и всички уравнения на върху него може да се приложи статика.
Имайте предвид:
Принципът на д'Аламбер може да се приложи към динамични процеси, протичащи в
инерциални референтни системи. Същото изискване, както беше отбелязано по-рано, трябва да се спазва, когато се прилагат законите на динамиката;
Силите на инерцията, които според методологията на принципа на д'Аламбер трябва да се прилагат
живеят до точките на системата, всъщност те не са засегнати. Наистина, ако те съществуваха, тогава целият набор от сили, приложени към всяка точка, би бил в равновесие и формулирането на самия проблем за динамиката би отсъствало.
За равновесна система от сили могат да се напишат следните уравнения:
тези. геометричната сума на всички сили на системата, включително силите на инерцията, и геометричната сума на моментите на всички сили спрямо произволен център са равни на нула.
Като се имат предвид свойствата на вътрешните сили на системата:
изразите (15.7) могат да бъдат значително опростени.
Представяне на главния векторен запис
и основна точка
изразите (15.7) ще се появят във формата:
Уравненията (15.11) са пряко продължение на принципа на д'Аламбер, но не съдържат вътрешни сили, което е тяхното несъмнено предимство. Използването им е най-ефективно при изследване на динамиката на механични системи, състоящи се от твърди тела.
Ако разгледаме система, която се състои от няколко материални точки, подчертавайки една конкретна точка с известна маса, тогава под действието на външни и вътрешни сили, приложени към нея, тя получава известно ускорение спрямо инерциалната отправна система. Сред тези сили може да има както активни сили, така и реакции на свързване.
Инерционната сила на точка е векторна величина, равна по абсолютна стойност на произведението на масата на точката и нейното ускорение. Тази стойност понякога се нарича инерционна сила на Д'Аламбер, тя е насочена обратно на ускорението. В този случай се разкрива следното свойство на движеща се точка: ако във всеки момент от времето добавим силата на инерцията към силите, действително действащи върху точката, тогава получената система от сили ще бъде балансирана. Така че е възможно да се формулира принципът на д'Аламбер за една материална точка. Това твърдение е в пълно съответствие с втория закон на Нютон.
принципите на д'Аламбер за системата
Ако повторим всички аргументи за всяка точка от системата, те водят до следния извод, който изразява принципа на д'Аламбер, формулиран за системата: ако във всеки момент приложим към всяка от точките в системата, освен действително действащите външни и вътрешни сили, тогава тази система ще бъде в равновесие, така че всички уравнения, които се използват в статиката, могат да бъдат приложени към нея.
Ако приложим принципа на д'Аламбер за решаване на проблеми с динамиката, тогава уравненията на движението на системата могат да бъдат съставени под формата на известните ни уравнения на равновесието. Този принцип значително опростява изчисленията и прави подхода за решаване на проблеми унифициран.
Приложение на принципа на д'Аламбер
Трябва да се има предвид, че върху движеща се точка в механична система действат само външни и вътрешни сили, които възникват в резултат на взаимодействието на точки помежду си, както и с тела, които не са включени в тази система. Точките се движат с определени ускорения под въздействието на всички тези сили. Силите на инерцията не действат върху движещи се точки, в противен случай те биха се движили без ускорение или биха били в покой.
Силите на инерцията се въвеждат само за да се съставят уравненията на динамиката, като се използват по-прости и удобни методи на статиката. Също така се взема предвид, че геометричната сума на вътрешните сили и сумата на техните моменти е равна на нула. Използването на уравнения, които следват от принципа на д'Аламберт, улеснява процеса на решаване на проблеми, тъй като тези уравнения вече не съдържат вътрешни сили.
