принцип на д'Аламбер за материална точка. Формата на уравнението на движение в съответствие със законите на Нютон не е единствената. Тези уравнения могат да бъдат записани и в други форми. Една от тези възможности е принцип на д'Аламбер, което формално позволява на диференциалните уравнения на движението да приемат формата на уравнения на равновесие.

Този принцип може да се разглежда като независима аксиома, заместваща втория закон на Нютон. Използваме го като средство за решаване на проблеми и го извличаме от закона на Нютон.

Помислете за движението на материална точка спрямо инерционна отправна система. За безплатна материална точка

ние имаме: че = = аз

Трансферен вектор чеот дясната страна на равенството, това съотношение може да бъде представено като равновесно уравнение: аз - това - 0.

Представяме ви понятието инерционни сили.Нека наречем вектора, насочен срещу ускорението и равен на произведението на масата на точката и нейното ускорение инерционна сила на материална точка: = -та.

Използвайки тази концепция, можем да напишем (фиг. 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Ориз. 3.42.

за материална точка

Уравнение (3.47) е принципът на д'Аламберт за свободна материална точка: ако силата на инерцията се добави към силите, приложени към точката, тогава точката ще бъде в състояние на равновесие.

Строго погледнато, заявената позиция не е принципът на д'Аламбер във вида, в който е формулиран от автора.

д'Аламбер се замисли несвободно движение на точка, без използване на принципа на освобождаване от връзки, без въвеждане на реакция на връзка. Отбелязвайки, че при наличие на връзка, ускорението на точка не съвпада по посока със силата и ta F R,той представи концепцията загубил мощност P - чеи заяви, че прилагането на загубена сила към точка не нарушава нейното състояние на равновесие, тъй като загубената сила се балансира от реакцията на връзката.

Съотношението (3.47) е основно уравнение на кинетостатиката,или Уравнението на Петербургския принцип на Херман-Ойлер.Кинетостатичният метод може да се разглежда като модификация на принципа на д'Аламбер, включително за свободна материална точка, което е по-удобно за практическо използване. Следователно в повечето литературни източници уравнението (3.47) се нарича принцип на д'Аламбер.

Ако точката не е свободна, т.е. върху него е наложено ограничение, удобно е силите, които действат върху точката, да се разделят на активни 1, R°(настройка-

дадено) и реакцията на CU връзката: p(a) + n =

Тази техника е удобна, тъй като за някои видове връзки е възможно да се състави уравнение на движение по такъв начин, че реакциите на тези връзки да не бъдат включени в него. По този начин принципът на д'Аламберт за несвободна точка може да бъде записан като (фиг. 3.43):

R (а)+/V+ R W) = 0, (3.48)

т.е., ако към несвободна материална точка се приложи инерционна сила, в допълнение към активните сили и реакцията на свързване, тогава получената система от сили ще бъде в равновесие по всяко време.

Ориз. 3.43.

материална точка

А- от английски, активен- активен. Спомнете си, че силите се наричат ​​активни, ако запазват стойностите си, когато всички връзки са премахнати.

Когато се разглежда криволинейното движение на точка, препоръчително е да се представи силата на инерцията под формата на два компонента: Г "‘ n) \u003d -ta n- центробежни и W, p) \u003d -ta x -допирателна (фиг. 3.44).

Ориз. 3.44.

движение на материална точка

Припомнете си, че изразите за нормалното и тангенциалното ускорение имат формата: a p -U 2 / p и i t = s1U D/L

След това можете да напишете: Р^ т) - -т-p Rp p) - -t-t, или накрая: P

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3,49)

Равенството (3.49) изразява принципа на д'Аламбер за криволинейното движение на несвободна точка.

Да разгледаме нишка с дължина /, в края на която е фиксирана точка на маса T.Нишката се върти около вертикална ос, описваща конична повърхност с постоянен ъгъл на наклон на генератора А.Определете съответната постоянна скорост на върха и напрежението на конеца T(фиг. 3.45).

Ориз. 3.45.

движение на несвободна материална точка

Да, но: /u, /, a = const. Намирам: Т, В.

Нека приложим към точката инерционните сили, насочени противоположно на съответните компоненти на ускорението. Имайте предвид, че тангенциалната сила на инерцията е нула, тъй като по условие скоростта е постоянна:

/1°") = -та = -т-= О

а центробежната инерционна сила се определя от израза P^ m) \u003d mU 2 /p,където p = /Bta.

Прилагането на принципа на д'Аламбер към този проблем ни позволява да напишем уравнението на движението на изследваната материална точка под формата на условие за равновесие на събиращите се сили: T? + T + Pp n) = 0.

В този случай всички уравнения на равновесие са валидни в проекцията върху естествените координатни оси:

X^n=0, - FJ" 1+ Цина = 0; ^ F h = 0, - мг + T cosa = 0,

+ Tгрях а =

-mg + Т cosa = 0,

къде намираме T= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

Принцип на д'Аламбер за система от материални точки. Помислете за движението на механична система от материални точки. Както при изтеглянето на OZMS, ние разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни (фиг. 3.46).

Ориз. 3.46.

Нека ' е резултантната на външните сили, приложени към /-тата точка, и / G (L - равностойната на вътрешните сили, приложени към същата точка. В съответствие с принципа на д'Аламбер, инерционните сили трябва да бъдат приложени към всеки материал точка на системата: Рр n) = -т,а г

Тогава силите, приложени към всяка точка на системата, удовлетворяват отношението:

1?E) + pY) + p0n)

тези. системата от материални точки ще бъде в равновесие, ако към всяка нейна точка се приложи допълнителна инерционна сила. По този начин, с помощта на принципа на д'Аламберт, е възможно да се дадат уравненията на движението на системата под формата на уравнения на равновесие.

Нека изразим условията на кинетостатичното равновесие на системата, като използваме статичните еквиваленти на инерционните сили и външните сили. За тази цел обобщаваме всички Пуравнения (А),описващи силите, приложени към отделни точки на системата. След това изчисляваме моментите на всички външни и вътрешни сили и инерционни сили, приложени към отделни точки, спрямо произволна точка ОТНОСНО:

g aх R "E> + g aх /*") + g aх P t > =0. і = 1,2,..., ".

След това обобщаваме, като резултат получаваме

// p p

'(E) і G (1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M ( 0 E) + M ( 0 n + M% a) = 0.

Тъй като К и)= 0 и M 1 0 p = 0, най-накрая имаме:

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M (a E) + M(‘n) = 0.

От системата от уравнения (3.50) се вижда, че главният вектор на инерционните сили се балансира от главния вектор на външните сили, а главният момент на инерционните сили спрямо произволна точка се балансира от главния момент на външните сили спрямо същата точка.

При решаване на задачи е необходимо да има изрази за главния вектор и главния момент на инерционните сили. Големините и посоките на тези вектори зависят от разпределението на ускоренията на отделните точки и техните маси. Като правило, пряка дефиниция аз (ш)И М ( ”" ]геометричното сумиране може да се извърши относително просто само когато П - 2 или П= 3. В същото време в задачата за движението на твърдо тяло е възможно да се изразят статичните еквиваленти на инерционните сили в някои частни случаи на движение в зависимост от кинематичните характеристики.

Главен вектор и главен момент на силите на инерция на твърдо тяло в различни случаи на движение. Според теоремата за движението на центъра на масата t с c \u003d I (E).Според принципа на д'Аламбер имаме: I (1P) + I (E) =О, къде намираме: Аз "1P) = -t с a с.Така при всяко движение на тялото главният вектор на инерционните сили е равен на произведението на масата на тялото и ускорението на центъра на масата и е насочен противоположно на ускорението на центъра на масата(фиг. 3.47).

Ориз. 3.47.

Нека изразим основния момент на инерционните сили по време на въртеливото движение на тялото около фиксирана ос, перпендикулярна на равнината на материалната симетрия на тялото (фиг. 3.48). Инерционни сили, приложени към / -точка: Р"! n) = m,x op; 2 и R? П)= /u,ep,.

Тъй като всички центробежни инерционни сили пресичат оста на въртене, главният момент на тези инерционни сили е нула, а главният момент на тангенциалните инерционни сили е:

m t =?_ C\u003e P (=?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - Джей Зи (3.51)

По този начин основният момент на допирателните сили на инерцията около оста на въртене е равен на произведението на момента на инерцията около тази ос и ъгловото ускорение, а посоката на основния момент на допирателните сили на инерцията е противоположна на посоката на ъгловото ускорение.

Ориз. 3.48.

около оста на въртене

След това изразяваме инерционните сили за равнинно-паралелно движение на тялото. Като се има предвид равнинно-паралелното движение на тялото (фиг. 3.49) като сума от транслационното движение заедно с центъра на масатаи въртене наоколо ос, минаваща през центъра на масатаперпендикулярна на равнината на движение, може да се докаже, при наличие на равнина на материална симетрия, съвпадаща с равнината на движение на центъра на масата, че силите на инерцията при равнинно-паралелно движение са еквивалентни на главния вектор / ? (" p), приложено към центъра на масата, е противоположно на ускорението на центъра на масата и главният момент на инерционните сили M^ n)спрямо централната ос, перпендикулярна на равнината на движение, насочена в посока, обратна на ъгловото ускорение:

Ориз. 3.49.

Бележки.

• 1. Имайте предвид, че тъй като принципът на д’Аламбер позволява просто напишете уравнението на движението под формата на уравнение на равновесие,тогава не дава никакви интеграли на уравнението на движението.
• 2. Подчертаваме това инерционна силав принципа на д'Аламбер е фиктивно сиво,прилагани в допълнение към действащите сили с единствената цел да се получи равновесна система. В природата обаче съществуват сили, които геометрично са равни на силите на инерцията, но тези сили са приложени към други (ускоряващи) тела, при взаимодействие с които възниква ускоряваща сила, приложена към разглежданото движещо се тяло. Например, при преместване на точка, фиксирана върху нишка, въртяща се с постоянна скорост около кръг в хоризонтална равнина, напрежението на нишката е точно равно на сила на инерцията,тези. силата на реакция на точка върху нишка,докато точката се движи под действието на реакцията на нишката към нея.
• 3. Както вече беше показано, горната форма на принципа на д'Аламбер се различава от тази, използвана от самия д'Аламбер. Използваният тук метод за съставяне на диференциални уравнения на движение на системата е разработен и разширен от редица петербургски учени и е получил името кинетостатичен метод.

Приложение на методите на механиката към някои проблеми на динамиката на релсовите превозни средства:

? движение на релсово превозно средство по извит коловоз.Понастоящем, благодарение на възможностите на компютърната технология, анализът на всички механични явления, възникващи по време на движението на релсово превозно средство в крива, се извършва с помощта на доста сложен модел, който отчита целия набор от отделни тела на системата и особеностите на връзките между тях. Този подход дава възможност да се получат всички необходими кинематични и динамични характеристики на движението.

Въпреки това, когато се анализират крайните резултати и се извършват предварителни оценки в техническата литература, доста често се срещат някои изкривявания на някои концепции на механиката. Ето защо е препоръчително да се говори за най-„оригиналните основи“, използвани при описание на движението на екипажа в крива.

Нека представим някои математически описания на разглежданите процеси в елементарна формулировка.

За правилно, последователно обяснение на характеристиките стационарно движение на екипажав кръгова крива е необходимо:

• изберете метода на механиката, използван за описание на това движение;
• изхождайте от ясна, от гледна точка на механиката, концепция за "сила";
• не забравяйте закона за равенството на действието и реакцията.

Процесът на движение на екипажа в крива неизбежно предполага промяна в посоката на скоростта. Характеристиката на скоростта на тази промяна е нормалното ускорение, насочено към центъра на кривината на криволинейната траектория на центъра на масата: a p - V 2/p, където p е радиусът на кривата.

По време на движение превозното средство взаимодейства с релсовия път, което води до нормални и тангенциални реактивни сили, приложени към колоосите. Естествено върху релсите се прилагат равни и противоположни сили на натиск. Съгласно горните механични концепции силата се разбира като резултат от взаимодействието на тела или тяло и поле. В разглеждания проблем има две физически системи: вагон с колооси и релсов път, следователно силите трябва да се търсят в местата на техния контакт. Освен това взаимодействието на екипажа и гравитационното поле на Земята създава гравитация.

Описанието на движението на екипажа в кривата може да се направи с помощта на общи теореми на динамиката, които са последици от ОЗМС, или на осн принципи на механиката(например принципът на д'Аламбер), който е осн кинетостатичен метод.

Искам да обясня равни характеристикиметоди за отчитане на кривината на оста на коловоза върху характеристиките на движението на екипажа, първо използваме най-простия идеализиран модел. Екипажът ще се разглежда като материален самолет с маса, равна на масата на тази система.

Центърът на масата, разположен в тази равнина, извършва дадено движение по траектория, равна на оста на пътя, със скорост v.Контактът с релсовия път се осъществява в две точки на пресичане на движещата се равнина с релсовите нишки. Следователно, когато говорим за взаимодействието на превозното средство с релсовия път, можем да говорим за концентрирани сили, които са резултат от всички реакции на релсите върху отделните колооси от всяка от релсите. Освен това естеството на възникване на реактивни сили е незначително;

? движение на вагона по коловоза без повдигане на външната релса.На фиг. 3.50 показва проектната схема на екипажа, движещ се по извита траектория. Външните и вътрешните релси в този случай са разположени на едно ниво. На фиг. 3.50 показва силите, действащи върху екипажа и реакциите на връзките. Подчертаваме, че няма в тази схема няма реални центробежни сили.

В рамките на геометричната механика на Нютон движението на превозно средство в крива се описва с общи теореми за динамиката на системата.

В този случай, съгласно теоремата за движението на центъра на масата,

t c a c - I a), (a)

където R) е главният вектор на външните сили.

Проектиране на двете части на израза (А)върху съпътстващите естествени координатни оси, чийто център е в центъра на масата на превозното средство, с единични вектори m, i, bи вярвай t s = T.

В проекцията върху главната нормала получаваме че n \u003d F n,или

mV / p \u003d Fn (b)

Където F n - истинска силареакциите на релсите към колоосите, което е сумата от проекциите на реакциите на релсите спрямо нормалата към траекторията. Това могат да бъдат насочващите сили на натиск на релсите върху ребордите на колелата. Други външни сили в тази посока няма.

В проекцията на израза (А)на бинормална получаваме:

О = -mg+Nout+Nкръчма. (със)

Ето индексите излиза 1съответстват на външния, a кръчма-вътрешна релса на кривата. Лявата страна в израз (c) е равна на нула, тъй като проекцията на ускорението върху бинормалата е равна на нула.

Получаваме третото уравнение, като използваме теоремата за промяната на ъгловия момент спрямо центъра на масата:

dK c /dt = ^M c . (д)

Проектиране на израз дпо оста t, където t = nxb -векторно произведение на единични вектори ПИ b, като се има предвид това KCl\u003d U St с t, U St - инерционният момент на екипажа около оста, допирателна към траекторията на центъра на масата, ще имаме

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, д)

тъй като ъгловото ускорение около оста m при стабилно движение по кръгова крива е нула.

изрази ( b), (c) и д)са система от линейни алгебрични уравнения за три неизвестни величини М-тп> решавайки което, получаваме:

Ориз. 3.50.

По този начин последователното прилагане на общите теореми на динамиката ни позволява да установим в разглеждания проблем всички явления, свързани с преминаването на екипажа на криволинейна част от пистата.

Всъщност и двете колела са обект на сили, насочени вътре в кривата. Резултатът от тези сили създава момент около центъра на масата на превозното средство, което може да причини завъртане и дори накланяне навън от кривата, ако V 2 N/p5" > ж.Действието на тази сила води до износване на колелата. Естествено, противоположно насочената сила, действаща върху релсата -R стрпричинява износване на релсите.

Обърнете внимание, че в горното твърдение може да се намери само резултатът от хоризонталните реакции на две релси Р.За да се определи разпределението на тази сила между вътрешната и външната релса, е необходимо да се реши статично неопределен проблем, като се използват допълнителни условия. Освен това по време на движение на каретата нормалните реакции на външните и вътрешните релси имат различни стойности. Външната резба на релсата е по-натоварена.

Реакцията на вътрешната резба към превозното средство е по-малка и при определена стойност на скоростта дори може да бъде равна на нула.

В класическата механика това състояние се нарича преобръщане, въпреки че всъщност все още няма преобръщане. За да разберете кога настъпва състоянието на действително преобръщане, трябва да вземете предвид въртенето на автомобила около ос, успоредна на m и минаваща през точката на контакт на колелото с външната релса при? T Е 0. Такава задача е от чисто академичен интерес, тъй като, разбира се, е неприемливо да се доведе реална система до такова състояние.

Още веднъж подчертаваме, че при обяснението на всички явления ние изхождахме от факта движението на автомобила под действието само на реални сили.

Обърнете внимание, че диференциалното уравнение на въртене около оста m, дори при = 0, е написано по отношение на централната ос m. Избирането на тази ос в различна точка води до промяна във формата на лявата страна на уравнението на моментна теорема. Следователно е невъзможно например да се напише това уравнение в същата форма по отношение на оста, минаваща през точката на контакт на колелото с релсата, въпреки че изглежда, че би било по-лесно да се намери стойността на нормалните реакции в такъв случай. Този подход обаче ще доведе до грешен резултат: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Може да се покаже, че въпросът е, че уравнението на въртене около ос, минаваща например през точка ДА СЕ, трябва да се напише, като се вземе предвид моментът на импулса на тялото от постъпателната част на движението g x x ta s: J Cl? t+ T(g ks xx d)=^ М Х.

Следователно вместо уравнение (c) в проекцията върху оста St получаваме израза

(8 )

/ St? t+ t[g ksх a c) t = -teB + N ipp 25,

където в скоби е стойността на проекцията върху оста St на векторното произведение ? кс ха с.

Нека покажем, че последователното изпълнение на необходимите процедури ни позволява да намерим s wот полученото уравнение). От фиг. 3.50 показва това

g ks - bp + HbИ a c =

Нека изчислим векторния продукт:

Тук се има предвид, че php = 0И bxn = -т. Следователно,

tNU 2

2L g / lp 5 ',

където намираме реакцията на вътрешната релса:

което е същото като резултата, получен в израза (/).

В заключение на представянето на проблема посочваме, че разглеждането на автомобила в движениеизползването на методите на геометричната механика на Нютон позволява решаването на проблема без въвеждане на фиктивно и тази инерция.Необходимо е само да използвате правилно всички разпоредби на механиката. Все пак трябва да се отбележи, че използването на този метод може да бъде свързано с по-голямо количество изчисления, отколкото например при използване на принципа на d'Alembert.

Нека сега покажем как се решава същият проблем въз основа на използването на принципа на д'Аламбер в общоприетата форма на кинетостатичния метод. В този случай е необходимо да се приложи доп

резба фиктивенсила на инерцията: G* = -ta sp = -T-П.и еки-

страница спира, т.е. сега ускорението на неговия център на масата a c= 0. На фиг. 3.51 показва такива система за почивка.Всички сили, приложени към него, включително силата на инерцията, трябва да удовлетворяват кинетостатичните уравнения баланс, а не движение,както в предишния случай.

Това обстоятелство ни позволява да намерим всички неизвестни количества от балансово уравнение.В този случай изборът на формата на уравненията на равновесието и точките, по отношение на които се изчисляват моментите, става произволен. Последното обстоятелство ни позволява да намерим всички неизвестни независимо едно от друго:

аз М. = оаз м,_= о

-n = около.

1 при MP

Ориз. 3.51. Проектната схема на силите, действащи върху екипажа при същите условия, както на фиг. 3,50 при използване на принципа на д'Аламбер

Лесно се вижда, че решенията на тази система от уравнения съвпадат със съответните формули, получени с помощта на теорията на динамиката. По този начин, в разглеждания пример, прилагането на принципа на d'Alembert направи възможно донякъде да се опрости решението на проблема.

При тълкуване на резултатите обаче трябва да се има предвид, че допълнително приложената инерционна сила е фиктивна в смисъл, че в действителност няма такава сила, действаща върху екипажа.Освен това тази сила не удовлетворява третия закон на Нютон - няма "втори край" на тази сила, т.е. никаква опозиция.

По принцип при решаването на много проблеми на механиката, включително проблема с движението на екипажа в крива, е удобно да се прилага принципът на д'Аламбер. Не трябва обаче да се свързват никакви явления с действиетази сила на инерцията. Например да кажем, че тази центробежна инерционна сила допълнително натоварва външната релса и разтоварва вътрешната и освен това тази сила може да доведе до преобръщане на превозното средство. Това е не само неграмотно, но и безсмислено.

Припомняме още веднъж, че външните приложени сили, действащи върху вагона в крива и променящи състоянието на неговото движение, са гравитацията, вертикалните и хоризонталните реакции на релсите;

? движение на вагона по крива с повдигане на външната релса.Както беше показано, процесите, които се случват при преминаване на превозното средство през завои без повдигане на външната релса, са свързани с нежелани последствия - неравномерно вертикално натоварване на релсите, значителна нормална хоризонтална реакция на релсата към колелото, придружена от повишено износване както на колелата, така и на релсите възможност за преобръщане при превишаване на скоростта движение на определена граница и др.

До голяма степен неприятните явления, съпътстващи преминаването на завоите, могат да бъдат избегнати чрез повдигане на външната релса над вътрешната. В този случай каретката ще се търкаля по повърхността на конуса с ъгъла на наклона на генератора към хоризонталната ос (фиг. 3.52): f L \u003d arcsin (L / 25) или при малки ъгли

F A * L/2 С.

Ориз. 3.52.

с повдигане на външната релса

В стационарния случай, когато V- const и φ A = const, можем да разгледаме движението на плосък участък от каретата в собствената му равнина по същия начин, както при поставяне в крива, без да повдигаме външната релса.

Помислете за техника за решаване на проблема, като използвате общи теореми на динамиката. Ще приемем, че центърът на масата на превозното средство се движи по кръгова крива с радиус p, въпреки че в разглеждания случай, строго погледнато, радиусът на кривината на оста на коловоза се различава от радиуса на кривината на траекторията на центъра на маса с малко количество:

згрях cf L ~ з f A "r.

Следователно, в сравнение с p, последната стойност може да бъде пренебрегната. Движението на "плоския участък" на екипажа ще бъде приписано на съпътстващите оси SuSi x(виж фиг. 3.52), където оста Су]успоредно на равнината на коловоза. При постоянна скорост на движение проекцията на ускорението на центъра на масата върху главната нормала на траекторията на неговото движение може да се напише по същия начин, както при движение в крива без издигане, т.е. a p = V i/Р.

Проекции на ускорение по оста Su, и Cz^са равни съответно:

a ux = a p sovf,; аз \u003d „smy h.

Уравненията на движение на плоско сечение, базирани на теоремата за движението на центъра на масата и теоремата за промяната на ъгловия момент спрямо оста Cx, са както следва:

Като вземем предвид, че = 0, след заместване получаваме система от три линейни алгебрични уравнения с три неизвестни Е vi, н iiw, N (нула:

/i-si Pf l = -мг cosV/, + N мн + N излиза; П

-sof A = mgs ipf A + Е ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Обърнете внимание, че наклонът на равнината на оста на коловоза поради издигането на външната релса води до промяна в проекцията на ускорението на центъра на масата върху оста Cy и Cr, което е свързано с промяна в реакции на релсите в сравнение с тези при липса на кота, когато А. - 0, a l Тези промени в проекциите на ускоренията могат да бъдат обяснени, ако разгледаме въртенето на превозното средство около бинормалата, минаваща през центъра на кривината на кривата като геометрична сума от две въртения ω = ω (+ b) около осите?, y, минаваща през същия център на кривата.

При съставяне на система от уравнения (Да се)не е предвидена малката стойност на ъгъла cp L. Въпреки това, в практичен дизайн

wtf A ~ /g/25.

По този начин, в случай на малки f L, системата от уравнения за определяне на реакциите на коловоза към превозното средство има следния вид:

= -g^+ LG, „ + M gsh,;

T- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Решавайки тези уравнения, получаваме:

Н...... =

mg + TU/G

пт/77 К И /77 „

• - +--+-н
• 2r 25 25

В конкретния случай, когато няма надморска височина (И= 0), тези изрази съвпадат с тези, получени по-рано (/).

Нека сега се обърнем към анализа на резултатите от решаването на проблема за аз Ф 0.

Трябва да се отбележи, че в този случай напречната реакция на релсата, насочена в равнината на коловоза, намалява. Това се обяснява с факта, че във формирането на ускорението на центъра на масата по посока на оста Su участва не само силата //, но и компонентът на гравитацията. Освен това за определена стойност И\u003d 25K 2 / p? сила Рстава нула:

Имайки предвид, че

t g - T,= X A,%>+ X А[

• (3.42)

Извиква се стойността в скоби изключително ускорение.Държавата кога P = 0, съответства на случая, при който нормалното ускорение Асе формира само от проекцията върху оста d>, силата на гравитацията на екипажа.

Когато се обсъжда разглеждания проблем, понякога има софистично разсъждение, че ускорението a pе насочен хоризонтално, а гравитацията е вертикална (виж фиг. 3.52) и следователно не може да формира разглежданото ускорение a pпри Р= 0. Това разсъждение съдържа грешка, тъй като при формирането на хоризонтално ускорение, в допълнение към силата Ручастват и нормалните реакции D r w u и / V o r. Сумата от тези две реакции при малки f A е равна на 1H tp + 1U oig \u003d mg.Следователно гравитацията все още участва във формирането на хоризонтално ускорение п,а чрез действието на реакциите N mИ S oiG

Нека сега обсъдим как се променят нормалните реакции на релсите, перпендикулярни на повърхността на коловоза.

Обърнете внимание, че за разлика от случая /7 = 0, реакциите нарастват със същата стойност TU 2 I/2r28,което се пренебрегва, защото ///25 - стойността е малка. Въпреки това, при строго разсъждение, пропуснете този термин за изрази и N wне го прави.

Когато - > -2-, т.е. с положително изключително ускорение, стр. 25

реакцията на вътрешната релса е по-малка от външната, но разликата между тях не е толкова значителна, колкото при И = 0.

Ако изключителното ускорение е равно на нула, стойностите на реакцията стават равни на IV oSH = mg|2(за малки И),тези. издигането на външната релса позволява не само да се получи RU= 0, но и изравняване на налягането върху външните и външните релси. Тези обстоятелства правят възможно постигането на по-равномерни стойности на износване и за двете релси.

Въпреки това, поради повдигането на външната релса, има възможност за отрицателна стойност Р", което в реална система с незадържащи ограничения съответства на процеса на плъзгане на превозното средство по оста y gтези. вътре в кривата. Поради същия наклон на пътя може да възникне преразпределение на реакциите N wИ не о!доминантен М ш.

Така изследванията на движението на превозно средство в крива по траектория с издигане на външната релса, извършени с помощта на методите на геометричната механика на Нютон, позволяват да се анализира състоянието на системата без допълнителни терминологични хипотези. В разсъжденията няма инерционни сили.

Нека сега разгледаме как движението на каретката в същата крива се описва с помощта на принципа на д'Аламбер.

Прилагайки този принцип при формулирането на кинетостатичния метод по същия начин, както в предишния случай, е необходимо да се приложи нормалната (центробежна) инерционна сила към центъра на масата Р„ n),насочен в посока, обратна на нормалното ускорение (фиг. 3.53):

При което системаотново спира, т.е. екипажът не се движи по пистата. Следователно всички уравнения на кинетостатичното равновесие са валидни:

аз Да се= °-X r* =О.

/L^ypf, - Личен лекар sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Като заместим стойността тук, получаваме същата система от уравнения като системата (/) за всяко f / (или (Да се)на малки И.

По този начин използването на двата метода води до абсолютно еднакви резултати. Система от уравнения ( Да се) и системата, получена на базата на принципа на д'Аламбер, са идентични.

Имайте предвид обаче, че в крайните резултати не включват никакви инерционни сили.Това е разбираемо, тъй като принципът на д'Аламбер, който е в основата на метода на кинетостатиката, е само средство за съставяне на диференциални уравнения на движение на системата.В същото време виждаме, че в разглеждания проблем прилагането на принципа на д'Аламберт направи възможно опростяването на изчисленията и може да се препоръча за практически изчисления.

Обаче още веднъж подчертаваме, че в действителност власт няма ТУ 2/p, приложен към центъра на масата на движещото се превозно средство. Следователно всички явления, свързани с движението в крива, трябва да бъдат обяснени, както е направено въз основа на анализ на резултатите от решаването на системата (/), или (Да се).

В заключение ще посочим, че "методът на Нютон" и "методът на Даламбер" в разглежданата задача са използвани само за целите на съставянето на диференциални уравнения на движението. В същото време на първия етап не получаваме никаква информация, освен самите диференциални уравнения. Последващото решаване на получените уравнения и извършеният анализ не са свързани с метода на получаване на самите уравнения.

Ориз. 3.53.

• извън-от английски, външен-външен.
• кръчма-от английски, атрешна-интериор.
• кръчма-от английски, атрешна-интериор.

принцип на д'Аламбер

Основната работа на Ж.Л. д'Аламбер(1717-1783) - "Трактат за динамиката" - публикуван през 1743 г.

Първата част на трактата е посветена на изграждането на аналитичната статика. Тук д'Аламбер формулира "основните принципи на механиката", сред които са "принципът на инерцията", "принципът на добавяне на движения" и "принципът на равновесието".

"Принципът на инерцията" е формулиран отделно за случая на покой и за случая на равномерно праволинейно движение. "Силата на инерцията, - пише д'Аламбер, аз, заедно с Нютон, наричам свойството на тялото да поддържа състоянието, в което се намира."

„Принципът на добавяне на движения“ е законът за добавяне на скорости и сили според правилото на успоредника. Въз основа на този принцип д'Аламбер решава проблемите на статиката.

„Принципът на равновесието“ се формулира като следната теорема: „Ако две тела, движещи се със скорости, обратно пропорционални на техните маси, имат противоположни посоки, така че едно тяло не може да се движи, без да се премести от място на друго тяло, тогава тези тела ще бъдат в равновесие ". Във втората част на Трактата д'Аламбер предлага общ метод за съставяне на диференциални уравнения на движение за всякакви материални системи, основан на намаляване на проблема за динамиката до статиката. Той формулира правило за всяка система от материални точки, по-късно наречено "принцип на д'Аламбер", според което силите, приложени към точките на системата, могат да бъдат разложени на "действащи", т.е. тези, които причиняват ускорението на системата, и "загубени", необходими за равновесието на системата. d'Alembert смята, че силите, които съответстват на "загубеното" ускорение, образуват такава комбинация, която не влияе на действителното поведение на системата. С други думи, ако към системата се приложи само набор от "изгубени" сили, тогава системата ще остане в покой. Съвременната формулировка на принципа на Даламбер е дадена от М. Е. Жуковски в неговия „Курс по теоретична механика“: „Ако в даден момент системата е спряна, тя се движи и ние добавяме към нея, в допълнение към нейното задвижване сили, всички инерционни сили, съответстващи на даден момент във времето, тогава ще се наблюдава равновесие, докато всички сили на натиск, напрежение и т.н., развиващи се между частите на системата при такова равновесие, ще бъдат реални сили на налягане, напрежение и т.н., когато системата се движи в разглеждания момент от време ". Трябва да се отбележи, че самият д'Аламбер, когато представя своя принцип, не прибягва нито до понятието сила (като се има предвид, че не е достатъчно ясно, за да бъде включено в списъка на основните понятия на механиката), още по-малко до понятието на инерционната сила. Представянето на принципа на д'Аламбер с помощта на термина "сила" принадлежи на Лагранж, който в своята "Аналитична механика" дава аналитичния си израз под формата на принципа на възможните премествания. Това е Джоузеф Луи Лагранж (1736-1813) и особено Леонардо Ойлер (1707-1783), който изигра съществена роля в окончателното превръщане на механиката в аналитична механика.

Аналитична механика на материална точка и динамика на Ойлерово твърдо тяло

Леонардо Ойлер- един от забележителните учени, които имат голям принос за развитието на физико-математическите науки през XVIII век. Работата му е поразителна с проницателността на изследователската мисъл, универсалността на таланта и огромното количество научно наследство, оставено след себе си.

Още в първите години на своята научна дейност в Санкт Петербург (Ойлер пристига в Русия през 1727 г.) той съставя програма за грандиозен и всеобхватен цикъл от работи в областта на механиката. Това приложение се намира в неговата двутомна работа „Механика или наука за движението, изложена аналитично“ (1736). Механиката на Ойлер е първият систематичен курс по механика на Нютон. Той съдържаше основите на динамиката на точка - под механиката Ойлер разбираше науката за движението, за разлика от науката за баланса на силите или статиката. Определящата характеристика на "Механиката" на Ойлер беше широкото използване на нов математически апарат - диференциално и интегрално смятане. Накратко характеризирайки основните произведения по механика, които се появяват в началото на 17-18 век, Ойлер отбелязва син-тетико-геометричния стил на тяхната работа, което създава много работа за читателите. Именно по този начин са написани Елементите на Нютон и по-късната Форономия (1716) от Дж. Херман. Ойлер посочва, че трудовете на Херман и Нютон са изложени "според обичая на древните с помощта на синтетични геометрични доказателства" без използването на анализ, "само чрез който човек може да постигне пълно разбиране на тези неща."

Синтетико-геометричният метод нямаше обобщаващ характер, а изискваше като правило индивидуални конструкции по отношение на всяка задача поотделно. Ойлер признава, че след изучаването на „Форономията“ и „Началата“ той, както му се струваше, „разбираше решенията на много проблеми доста ясно, но вече не можеше да решава проблеми, които до известна степен се отклоняват от тях“. Тогава той се опита "да изолира анализа на този синтетичен метод и да направи същите предложения за своя собствена полза аналитично." Ойлер отбелязва, че благодарение на това той е разбрал много по-добре същността на проблема. Той разработи принципно нови методи за изследване на проблемите на механиката, създаде нейния математически апарат и блестящо го приложи към много сложни проблеми. Благодарение на Ойлер диференциалната геометрия, диференциалните уравнения и вариационното смятане се превърнаха в инструменти на механиката. Методът на Ойлер, разработен по-късно от неговите наследници, е недвусмислен и адекватен на темата.

Работата на Ойлер върху динамиката на твърдото тяло "Теория на движението на твърдите тела" има голямо въведение от шест раздела, където отново е очертана динамиката на точка. Във въведението са направени редица промени: по-специално, уравненията на движение на точка се записват с помощта на проекцията върху оста на фиксирани правоъгълни координати (а не върху допирателната, главната норма и нормалата, т.е. оста на неподвижен естествен тристен, свързан с точки на траектория, както в "Механика").

„Трактатът за движението на твърдите тела" след въведението се състои от 19 раздела. Трактатът се основава на принципа на д'Аламбер. Накратко се спира на транслационното движение на твърдо тяло и въвежда концепцията за центъра на инерцията, Ойлер разглежда въртенията около неподвижна ос и около неподвижна точка.Тук са формулите за проекциите на моментната ъглова скорост, ъгловото ускорение върху координатните оси, използват се т.нар. Ойлерови ъгли и др.. След това свойствата на момента на са описани инерцията, след което Ойлер преминава към динамиката на собственото твърдо тяло. Той извежда диференциални уравнения за въртенето на тежко тяло около неговия неподвижен център на тежестта при при липса на външни сили и ги решава за прост частен случай. Ето как възникна добре познатият и също толкова важен проблем в теорията на жироскопа за въртенето на твърдо тяло около фиксирана точка. Ойлер също работи върху теорията на корабостроенето, в очите на хидро- и аеромеханиката, балистиката, теория на стабилността и теория на малките вибрации, небесна механика и т.н.

Осем години след публикуването на Механиката, Ойлер обогати науката с първата точна формулировка на принципа на най-малкото действие. Формулировката на принципа на най-малкото действие, която принадлежеше на Мопертюи, беше все още много несъвършена. Първата научна формулировка на принципа принадлежи на Ойлер. Той формулира своя принцип, както следва: интегралът има най-малката стойност за реална траектория, ако вземем предвид

последните в групата възможни траектории, които имат общо начално и крайно положение и се изпълняват с една и съща енергийна стойност. Ойлер предоставя на своя принцип точен математически израз и строга обосновка за една материална точка, тества действията на централните сили. През 1746-1749 pp. Ойлер написа няколко статии за фигурите на равновесие на гъвкава нишка, където принципът на най-малкото действие беше приложен към проблеми, в които действат еластични сили.

Така до 1744 г. механиката се обогатява с два важни принципа: принципа на д'Аламбер и принципа на най-малкото действие на Мопертюи-Ойлер. Въз основа на тези принципи Лагранж изгражда система от аналитична механика.

Когато една материална точка се движи, нейното ускорение във всеки момент от времето е такова, че дадените (активни) сили, приложени към точката, реакциите на връзките и фиктивната сила на д'Аламбер Ф = - образуват балансирана система от сили.

Доказателство.Разгледайте движението на несвободна материална точка с маса Tв инерционна отправна система. Според основния закон на динамиката и принципа на освобождаване от облигации имаме:

където F е резултантната на дадените (активни) сили; N е резултатът от реакциите на всички връзки, наложени върху точката.

Лесно е да се трансформира (13.1) във формата:

Вектор Ф = - ченаречена сила на инерцията на д'Аламбер, силата на инерцията или просто силата на д'Аламбер.По-нататък ще използваме само последния термин.

Уравнение (13.3), изразяващо принципа на д'Аламбер в символна форма, се нарича кинетостатично уравнениематериална точка.

Лесно е да се получи обобщение на принципа на д'Аламбер за механична система (система Пматериални точки).

За всякакви Да сеточка на механичната система, равенството (13.3) е изпълнено:

Където ? Да се ​​-резултатна от дадени (активни) сили, действащи върху Да се-та точка; н Да се ​​-резултат от реакциите на насложените връзки к-тоточка; Е k \u003d - че k- сила на д'Аламбер Да се-та точка.

Очевидно, ако условията на равновесие (13.4) са изпълнени за всяка тройка сили F*, N* : , Ф* (Да се = 1,. .., П), след това цялата система 3 Псили

е балансиран.

Следователно, по време на движението на механична система във всеки момент от времето, активните сили, приложени към нея, реакциите на връзките и силите на d'Alembert на точките на системата образуват балансирана система от сили.

Силите на системата (13.5) вече не са конвергентни, следователно, както е известно от статиката (раздел 3.4), необходимите и достатъчни условия за нейното равновесие имат следния вид:

Уравнения (13.6) се наричат ​​уравнения на кинетостатиката на механична система. За изчисления се използват проекциите на тези векторни уравнения върху осите, минаващи през моментната точка ОТНОСНО.

Забележка 1. Тъй като сумата от всички вътрешни сили на системата, както и сумата от техните моменти по отношение на всяка точка, са равни на нула, тогава в уравнения (13.6) е достатъчно да се вземат предвид само реакциите външенвръзки.

Уравненията на кинетостатиката (13.6) обикновено се използват за определяне на реакциите на ограниченията на механична система, когато е дадено движението на системата, и следователно ускоренията на точките на системата и силите на Даламбер, които зависят от тях познати.

Пример 1Намерете реакции на подкрепа АИ INвал с равномерното му въртене с честота 5000 об./мин.

Точковите маси са здраво свързани към вала личен лекар= 0,1 кг, t 2 = 0,2 кг. Известни размери AC - CD - DB = 0,4 м ч= 0,01 м. Считайте масата на вала за незначителна.

Решение.За да използваме принципа на d'Alembert за механична система, състояща се от две точкови маси, ние посочваме в диаграмата (фиг. 13.2) дадените сили (гравитация) Gi, G 2, реакцията на връзките N4, N # и d 'Аламберт сили Ф|, Ф 2.

Посоките на силите на Даламбр са противоположни на ускоренията на точковите маси T b t 2гкоито равномерно описват окръжности с радиус чоколо оста ABвал.

Намираме величините на силите на гравитацията и силите на Даламбр:

Тук ъгловата скорост на вала съ- 5000* l/30 = 523,6 s Ах ах, аз, получаваме условията на равновесие за плоска система от успоредни сили Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2:

От уравнението на моментите намираме N в = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, и от уравнението на проекцията нататък

ос Да: Нa \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Уравненията на кинетостатиката (13.6) могат да се използват и за получаване на диференциални уравнения на движение на системата, ако са съставени по такъв начин, че да се изключат реакциите на връзките и в резултат на това става възможно да се получат зависимостите на ускоренията върху дадените сили.

Инерционни сили в динамиката на материална точка и механична система

Чрез силата на инерциятана материална точка е произведението на масата на точка и нейното ускорение, взети със знак минус, т.е. инерционните сили в динамиката се прилагат в следните случаи:

• 1. При изследване на движението на материална точка в неинерционни(движеща се) координатна система, т.е. относително движение. Това са транслационните и кориолисовите инерционни сили, които често се наричат ​​сили на Ойлер.
• 2. При решаване на проблеми на динамиката с помощта на метода на кинетостатиката. Този метод се основава на принципа на д'Аламбер, според който силите на инерцията на материална точка или система от материални точки, движещи се с известно ускорение в инерционенсправочна система. Тези инерционни сили се наричат ​​сили на Д'Аламбер.
• 3. Силите на инерцията на Д'Аламбер също се използват при решаване на проблеми с динамиката, използвайки принципа на Лагранж-Д'Аламбер или общото уравнение на динамиката.

Изразяване в проекции върху осите на декартовите координати

Където - модули на проекции на точковото ускорение върху декартовата координатна ос.

При криволинейно движение на точка силата на инерцията може да се разложи на тангенциална и нормална:; , - модул на тангенциални и нормални ускорения; - радиус на кривина на траекторията;

V-точкова скорост.

принцип на д'Аламбер за материална точка

Ако не безплатнокъм материална точка, движеща се под действието на приложени активни сили и сили на реакция на връзки, приложете нейната инерционна сила, тогава във всеки момент получената система от сили ще бъде балансирана, т.е. геометричната сума на тези сили ще бъде равна на нула.

механичен точков материал на тялото

Където - равностойната на активните сили, приложени към точката; - резултата от реакциите на връзките, наложени върху точката; инерционна сила на материална точка. Забележка: Всъщност силата на инерцията на материална точка не се прилага към самата точка, а към тялото, което придава ускорение на тази точка.

принцип на д'Аламбер за механична система

геометрична сумаосновните вектори на външните сили, действащи върху системата, и инерционните сили на всички точки на системата, както и геометричната сума на основните моменти на тези сили спрямо определен център за несвободна механична система по всяко време са равни на нула, т.е.

Главен вектор и главен момент на инерционните сили на твърдо тяло

Главният вектор и главният момент на инерционните сили на точките на системата се определят отделно за всяко твърдо тяло, включено в тази механична система. Тяхното определение се основава на познатия от статиката метод на Поансо за привеждане на произволна система от сили към даден център.

Въз основа на този метод инерционните сили на всички точки на тялото в общия случай на неговото движение могат да бъдат доведени до центъра на масата и заменени с главния вектор * и главния момент относно центъра на масата. Те се определят по формулите т. е. за всякаквидвижение на твърдо тяло, главният вектор на инерционните сили е равен със знак минус на произведението на масата на тялото и ускорението на центъра на масата на тялото; ,Където r kc -- радиус вектор к-тоточка, изтеглена от центъра на масата. Тези формули в частни случаи на движение на твърдо тяло имат формата:

1. Прогресивно движение.

2. Въртене на тяло около ос, минаваща през центъра на масата

3. Равнопаралелно движение

Въведение в аналитичната механика

Основни понятия на аналитичната механика

Аналитична механика- област (раздел) на механиката, в която движението или равновесието на механичните системи се изучава с помощта на общи, единни аналитични методи, използвани за всички механични системи.

Нека разгледаме най-характерните концепции на аналитичната механика.

1. Връзки и тяхната класификация.

Връзки-- всякакви ограничения под формата на тела или всякакви кинематични условия, наложени върху движението на точки от механична система. Тези ограничения могат да бъдат записани като уравнения или неравенства.

Геометрични връзки-- връзки, чиито уравнения съдържат само координатите на точки, т.е. ограничения се налагат само върху координатите на точките. Това са връзки под формата на тела, повърхности, линии и др.

Диференциални връзки-- връзки, които налагат ограничения не само върху координатите на точките, но и върху тяхната скорост.

Холономни връзки --всички геометрични връзки и тези диференциални, чиито уравнения могат да бъдат интегрирани.

Нехолономни ограничения-- диференциални неинтегрируеми връзки.

Стационарни комуникации --връзки, чиито уравнения не включват изрично времето.

Нестационарни комуникации- връзки, които се променят във времето, т.е. чиито уравнения изрично включват времето.

Двустранни (задържащи) връзки --връзки, които ограничават движението на точка в две противоположни посоки. Такива връзки се описват с уравненията .

Едностранно(незадържащи) връзки - връзки, които ограничават движението само в една посока. Такива връзки се описват с неравенствата

2. Възможни (виртуални) и реални движения.

Възможенили виртуаленпреместванията на точки от механична система са въображаеми безкрайно малки премествания, които са разрешени от ограниченията, наложени на системата.

ВъзможенПреместването на механична система е набор от едновременни възможни премествания на точките на системата, които са съвместими с ограниченията. Нека механичната система е колянов механизъм.

Възможна точка на преместване Ае преместване, което поради своята малкост се счита за праволинейно и насочено перпендикулярно на ОА.

Възможна точка на преместване IN(плъзгач) се движи във водачите. Възможно движение на манивелата ОАе завъртането на ъгъл, а мотовилката AB --под ъгъл около MCS (точка R).

ВалиденПреместванията на точките на системата се наричат ​​още елементарни премествания, които позволяват насложени връзки, но като се вземат предвид началните условия на движение и силите, действащи върху системата.

Брой степенисвобода Сна механична система е броят на нейните независими възможни премествания, които могат да бъдат съобщени на точките на системата във фиксирана точка във времето.

Принцип на възможните премествания (принцип на Лагранж)

Принципът на възможните премествания или принципът на Лагранж изразява условието за равновесие на несвободна механична система под действието на приложени активни сили. Формулиране на принципа.

За балансЗа несвободна механична система с двустранни, стационарни, холономни и идеални ограничения, която е в покой под действието на приложени активни сили, е необходимо и достатъчно сборът от елементарните работи на всички активни сили да е равен на куршум върху всяка възможно изместване на системата от разглежданото равновесно положение:

Общо уравнение на динамиката (принцип на Лагранж-Д'Аламберт)

Общото уравнение на динамиката се прилага за изучаване на движението на несвободни механични системи, чиито тела или точки се движат с определени ускорения.

В съответствие с принципа на д'Аламбер, съвкупността от активните сили, приложени към механичната система, силите на реакция на връзките и силите на инерцията на всички точки на системата образува балансирана система от сили.

Ако принципът на възможните премествания (принципът на Лагранж) се приложи към такава система, тогава получаваме комбинирания принцип на Лагранж-Д'Аламберт или общо уравнение на динамиката.формулиране на този принцип.

При движение не е свободнона механична система с двупосочни, идеални, стационарни и холономни ограничения, сумата от елементарните работи на всички активни сили и инерционните сили, приложени към точките на системата при всяко възможно изместване на системата, е равна на нула:

Уравнения на Лагранж от втори род

Уравнения на Лагранжот втория вид са диференциални уравнения на движение на механична система в обобщени координати.

За система с Сстепени на свобода, тези уравнения имат формата

Разликаобщата производна по време на частната производна на кинетичната енергия на системата по отношение на обобщената скорост и частната производна на кинетичната енергия по отношение на обобщената координата е равна на обобщената сила.

Уравнения на Лагранж за консервативни механични системи. Циклични координати и интеграли

За консервативна система обобщените сили се определят от гледна точка на потенциалната енергия на системата по формулата

След това уравненията на Лагранж се пренаписват във формата

Тъй като потенциалната енергия на системата е функция само на обобщени координати, т.е. тогава, като вземем това предвид, ние я представяме във формата, където T - P \u003d L -Функция на Лагранж (кинетичен потенциал). И накрая, уравненията на Лагранж за консервативна система

Устойчивост на равновесното положение на механична система

Въпросът за устойчивостта на равновесното положение на механичните системи е от пряко значение в теорията на трептенията на системите.

Равновесното положение може да бъде стабилно, нестабилно и безразлично.

устойчивиравновесно положение - положение на равновесие, при което точките на механична система, получени от това положение, впоследствие се движат под действието на сили в непосредствена близост близо до тяхното равновесно положение.

Това движение ще има различна степен на повторение във времето, т.е. системата ще извършва осцилаторно движение.

нестабиленравновесно положение - положение на равновесие, от което при произволно малко отклонение на точките на системата в бъдеще действащите сили допълнително ще отстранят точките от тяхното равновесно положение .

безразличенравновесно положение - равновесното положение, когато при всяко малко първоначално отклонение на точките на системата от това положение в новото положение, системата също остава в равновесие. .

Съществуват различни методи за определяне на стабилното равновесно положение на механична система.

Помислете за определението за стабилно равновесие, основано на Теореми на Лагранж-Дирихле

Ако е в позицияравновесие на консервативна механична система с идеални и стационарни ограничения, нейната потенциална енергия има минимум, тогава това равновесно положение е стабилно.

Феномен на въздействието. Ударна сила и ударен импулс

Явлението, при което скоростите на точките на тялото се променят с крайна величина за пренебрежимо малък период от време, се нарича удар.Този период от време се нарича време на въздействие.По време на удар силата на удара действа за безкрайно малък период от време. ударна силасе нарича сила, чийто импулс по време на удара е с крайна стойност.

Ако модулът на крайната сила действа във времето, започвайки своето действие в даден момент , тогава неговият импулс има формата

Освен това, когато силата на удара действа върху материална точка, можем да кажем, че:

действието на немоментни сили по време на удара може да се пренебрегне;

движението на материална точка по време на удара може да се пренебрегне;

резултатът от действието на ударната сила върху материална точка се изразява в окончателното изменение при удара на нейния вектор на скоростта.

Теорема за промяната на импулса на механична система при удар

промяната в импулса на механичната система по време на удара е равна на геометричната сума на всички външни ударни импулси, приложени към точките на системите,Където - количеството на движение на механичната система в момента на прекратяване на действието на ударните сили, - количеството движение на механичната система в момента, в който силите на удара започват да действат, - външен ударен импулс.

Принципът на д'Аламбер дава възможност да се формулират проблемите на динамиката на механичните системи като проблеми на статиката. В този случай динамичните диференциални уравнения на движение се дават под формата на уравнения на равновесие. Такъв метод се нарича кинетостатичен метод .

принцип на д'Аламбер за материална точка: « Във всеки момент от времето на движение на материална точка действително действащите върху нея активни сили, реакциите на връзките и силата на инерцията, условно приложена към точката, образуват балансирана система от сили»

точкова инерционна сила наречена векторна величина, която има размерността на сила, равна по абсолютна стойност на произведението на масата на точка и нейното ускорение и насочена противоположно на вектора на ускорението

. (3.38)

Разглеждайки една механична система като набор от материални точки, всяка от които е засегната, съгласно принципа на д'Аламбер, от балансирани системи от сили, ние имаме последствия от този принцип по отношение на системата. Главният вектор и главният момент спрямо който и да е център на външни сили, приложени към системата, и инерционните сили на всички нейни точки са равни на нула:

(3.39)

Тук външните сили са активни сили и реакции на връзки.

Основният вектор на инерционните силина механична система е равна на произведението на масата на системата и ускорението на нейния център на масата и е насочена в посока, обратна на това ускорение

. (3.40)

Основният момент на инерционните силисистема спрямо произволен център ОТНОСНОравна на производната по време на неговия ъглов импулс спрямо същия център

. (3.41)

За твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос Оз, намираме основния момент на силите на инерцията около тази ос

. (3.42)

3.8. Елементи на аналитичната механика

Разделът "Аналитична механика" разглежда общите принципи и аналитичните методи за решаване на проблеми в механиката на материалните системи.

3.8.1 Възможни движения на системата. Класификация

някои връзки

Възможни движения на точки
всякакви въображаеми, безкрайно малки техни премествания, позволени от ограниченията, наложени на системата, във фиксирана точка във времето, се наричат ​​механични системи. A-приори, брой степени на свобода на механична система е броят на нейните независими възможни премествания.

Връзките, наложени на системата, се наричат идеален , ако сумата от елементарните работи на реакциите им към някое от възможните премествания на точките на системата е равна на нула

. (3. 43)

Извикват се връзки, за които наложените от тях ограничения се запазват във всяка позиция на системата задържа . Отношения, които не се променят във времето, чиито уравнения изрично не включват време, се наричат стационарен . Наричат ​​се връзките, които ограничават само преместванията на точките на системата геометричен , а граничните скорости са кинематичен . В бъдеще ще разглеждаме само геометрични връзки и тези кинематични, които могат да бъдат сведени до геометрични чрез интегриране.

3.8.2. Принципът на възможните движения

За равновесието на механична система с ограничаващи идеални и стационарни ограничения е необходимо и достатъчно, че

сумата от елементарните работи на всички активни сили, действащи върху нея, върху всякакви възможни премествания на системата, беше равна на нула

. (3.44)

В проекции върху координатните оси:

. (3.45)

Принципът на възможните премествания ни позволява да установим в обща форма условията за равновесие на всяка механична система, без да отчитаме равновесието на отделните й части. В този случай се вземат предвид само активните сили, действащи върху системата. Неизвестните реакции на идеални връзки не са включени в тези условия. В същото време този принцип позволява да се определят неизвестни реакции на идеални връзки чрез изхвърляне на тези връзки и въвеждане на техните реакции в броя на активните сили. Когато се изхвърлят връзките, чиито реакции трябва да бъдат определени, системата допълнително придобива съответния брой степени на свобода.

Пример 1 . Намерете връзката между силите И жак, ако се знае, че при всяко завъртане на дръжката AB = l, винт СЪСсе простира до степента ч(фиг. 3.3).

Решение

Възможните движения на механизма са въртенето на дръжката  и движението на товара  ч. Условието за равенство на нула на елементарната работа на силите:

мн– Вh = 0;

Тогава
. Тъй като ч 0, тогава

3.8.3. Общо вариационно уравнение на динамиката

Разгледайте движението на система, състояща се от нточки. Върху него действат активни сили и реакции на свързване .(к = 1,…,н) Ако към действащите сили добавим и инерционните сили на точките
, тогава, съгласно принципа на д'Аламбер, получената система от сили ще бъде в равновесие и следователно изразът, написан на базата на принципа на възможните премествания (3.44), е валиден:

. (3.46)

Ако всички връзки са идеални, тогава втората сума е равна на нула и в проекциите върху координатните оси равенството (3.46) ще изглежда така:

Последното равенство е общо вариационно уравнение на динамиката в проекции върху координатните оси, което позволява да се съставят диференциални уравнения на движение на механична система.

Общото вариационно уравнение на динамиката е математически израз принцип на д'Аламбер-Лагранж: « Когато една система е в движение, подложена на стационарни, идеални, ограничаващи ограничения, във всеки даден момент от време, сумата от елементарните работи на всички активни сили, приложени към системата, и силите на инерцията върху всяко възможно изместване на системата е равно на нула».

Пример 2 . За механична система (фиг. 3.4), състояща се от три тела, определете ускорението на товара 1 и напрежението на кабела 1-2, ако: м 1 = 5м; м 2 = 4м; м 3 = 8м; r 2 = 0,5Р 2; радиус на въртене на блок 2 аз = 1,5r 2. Ролка 3 е непрекъснат хомогенен диск.

Решение

Нека изобразим силите, които извършват елементарна работа върху възможно преместване  стовар 1:

Записваме възможните премествания на всички тела чрез възможното преместване на товар 1:

Изразяваме линейните и ъгловите ускорения на всички тела по отношение на желаното ускорение на товар 1 (съотношенията са същите като в случай на възможни премествания):

.

Общото вариационно уравнение за тази задача има формата:

Замествайки предварително получените изрази за активни сили, инерционни сили и възможни премествания, след прости трансформации получаваме

Тъй като  с 0, следователно изразът в скоби, съдържащ ускорението, е равен на нула А 1 , където а 1 = 5ж/8,25 = 0,606ж.

За да определим напрежението на кабела, държащ товара, освобождаваме товара от кабела, замествайки неговото действие с желаната реакция . Под въздействието на дадени сили ,и инерционната сила, приложена към товара
той е в баланс. Следователно принципът на д’Аламбер е приложим за разглеждания товар (точка), т.е. пишем това
. Оттук
.

3.8.4. Уравнение на Лагранж от 2-ри род

Обобщени координати и обобщени скорости. Всички взаимно независими параметри, които еднозначно определят позицията на механична система в пространството, се наричат обобщени координати . Тези координати, означени р 1 ,....р i , може да има произволно измерение. По-специално, обобщените координати могат да бъдат измествания или ъгли на завъртане.

За разглежданите системи броят на обобщените координати е равен на броя на степените на свобода. Позицията на всяка точка от системата е еднозначна функция на обобщените координати

По този начин движението на системата в обобщени координати се определя от следните зависимости:

Първите производни на обобщените координати се наричат обобщени скорости :
.

Обобщени сили.Израз за елементарна работа на сила при евентуален ход
изглежда като:

.

За елементарната работа на системата от сили пишем

Използвайки получените зависимости, този израз може да се запише като:

,

където е обобщената сила, съответстваща на аз-та обобщена координата,

. (3.49)

По този начин, обобщена сила съответстваща аз-та обобщена координата, е коефициентът на вариация на тази координата в израза на сумата от елементарните работи на активните сили върху възможното изместване на системата . За да се изчисли обобщената сила, е необходимо да се информира системата за възможно изместване, при което се променя само обобщената координата р аз. Коефициент при
и ще бъде желаната обобщена сила.

Уравнения на движението на системата в обобщени координати. Нека се даде механична система с сстепени на свобода. Познавайки силите, действащи върху него, е необходимо да се съставят диференциални уравнения на движение в обобщени координати
. Прилагаме процедурата за съставяне на диференциалните уравнения на движението на системата - уравненията на Лагранж от 2-ри род - по аналогия с извеждането на тези уравнения за свободна материална точка. Въз основа на 2-рия закон на Нютон, ние пишем

Получаваме аналог на тези уравнения, използвайки нотацията за кинетичната енергия на материална точка,

Частична производна на кинетичната енергия по отношение на проекцията на скоростта върху оста
е равна на проекцията на количеството движение върху тази ос, т.е.

За да получим необходимите уравнения, изчисляваме производните по време:

Получената система от уравнения е уравненията на Лагранж от 2-ри род за материална точка.

За механична система представяме уравненията на Лагранж от 2-ри вид под формата на уравнения, в които вместо проекции на активни сили П х , П г , П zизползвайте обобщени сили Q 1 , Q 2 ,...,Q i и отчитат в общия случай зависимостта на кинетичната енергия от обобщените координати.

Уравненията на Лагранж от 2-ри род за механична система имат формата:

. (3.50)

Те могат да се използват за изследване на движението на всяка механична система с геометрични, идеални и ограничаващи ограничения.

Пример 3 . За механичната система (фиг. 3.5), данните за която са дадени в предишния пример, съставете диференциално уравнение на движение, като използвате уравнението на Лагранж от 2-ри вид,

Решение

Механичната система има една степен на свобода. За обобщена координата приемаме линейното движение на товара р 1 = s; обобщена скорост - . Имайки това предвид, ние пишем уравнението на Лагранж от 2-ри род

.

Нека съставим израз за кинетичната енергия на системата

.

Ние изразяваме всички ъглови и линейни скорости по отношение на обобщената скорост:

Сега получаваме

Нека изчислим обобщената сила, като съставим израза за елементарна работа върху възможно преместване  свсички активни сили. Без сили на триене работата в системата се извършва само от гравитацията на товара 1
Записваме обобщената сила при  с, като коефициент при елементарна работа Q 1 = 5мг. След това намираме

И накрая, диференциалното уравнение на движението на системата ще има формата: