Формули и свойства на правоъгълник. Геометрични фигури

Правоъгълнике четириъгълник, в който всеки ъгъл е прав ъгъл.

Доказателство

Свойството се обяснява с действието на функция 3 на успоредника (т.е. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Противоположните страни са равни.

AB = CD,\enинтервал BC = AD

3. Противоположните страни са успоредни.

AB \успоредно CD,\enинтервал BC \успоредно AD

4. Съседните страни са перпендикулярни една на друга.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. Диагоналите на правоъгълника са равни.

AC=BD

Доказателство

Според собственост 1правоъгълникът е успоредник, което означава AB = CD.

Следователно \триъгълник ABD = \триъгълник DCA по два катета (AB = CD и AD - става).

Ако и двете фигури - ABC и DCA са еднакви, то техните хипотенузи BD и AC също са еднакви.

Така че AC = BD.

Само правоъгълник от всички фигури (само от успоредници!) Има равни диагонали.

Нека докажем и това.

ABCD е успоредник \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условие. \Дясна стрелка \триъгълник ABD = \триъгълник DCAвече от три страни.

Оказва се, че \ъгъл A = \ъгъл D (като ъглите на успоредник). И \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D .

Ние извеждаме това \ъгъл A = \ъгъл B = \ъгъл C = \ъгъл D. Всички те са 90^(\circ) . Общата сума е 360^(\circ) .

Доказано!

6. Квадратът на диагонала е равен на сбора от квадратите на двете му съседни страни.

Това свойство е валидно по силата на Питагоровата теорема.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Диагоналът разделя правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника.

\триъгълник ABC = \триъгълник ACD, \enspace \триъгълник ABD = \триъгълник BCD

8. Пресечната точка на диагоналите ги разполовява.

AO=BO=CO=DO

9. Пресечната точка на диагоналите е центърът на правоъгълника и описаната окръжност.

10. Сумата от всички ъгли е 360 градуса.

\ъгъл ABC + \ъгъл BCD + \ъгъл CDA + \ъгъл DAB = 360^(\circ)

11. Всички ъгли на правоъгълника са прави.

\ъгъл ABC = \ъгъл BCD = \ъгъл CDA = \ъгъл DAB = 90^(\circ)

12. Диаметърът на описаната окръжност около правоъгълника е равен на диагонала на правоъгълника.

13. Винаги може да се опише окръжност около правоъгълник.

Това свойство е валидно поради факта, че сумата от противоположните ъгли на правоъгълник е 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Правоъгълник може да съдържа вписан кръг и само един, ако има еднакви дължини на страните (той е квадрат).

е успоредник, в който всички ъгли са 90° и противоположните страни са по двойки успоредни и равни.

Правоъгълникът има няколко неопровержими свойства, които се използват при решаването на много проблеми, във формулите за площта на правоъгълника и неговия периметър. Ето ги и тях:

Дължината на неизвестната страна или диагонал на правоъгълника се изчислява по или по Питагоровата теорема. Площта на правоъгълник може да се намери по два начина - чрез произведението на страните му или по формулата за площта на правоъгълник през диагонала. Първата и най-проста формула изглежда така:

Пример за изчисляване на площта на правоъгълник с помощта на тази формула е много прост. Познавайки двете страни, например a = 3 cm, b = 5 cm, можем лесно да изчислим площта на правоъгълника:
Получаваме, че в такъв правоъгълник площта ще бъде равна на 15 квадратни метра. см.

Площ на правоъгълник по отношение на диагонали

Понякога трябва да приложите формулата за площта на правоъгълник по отношение на диагоналите. За него ще трябва да знаете не само дължината на диагоналите, но и ъгъла между тях:

Помислете за пример за изчисляване на площта на правоъгълник с помощта на диагонали. Нека е даден правоъгълник с диагонал d = 6 cm и ъгъл = 30°. Заменяме данните във вече известната формула:

И така, примерът за изчисляване на площта на правоъгълник през диагонала ни показа, че намирането на площта по този начин, като се има предвид ъгълът, е доста просто.
Помислете за друг интересен пъзел, който ще ни помогне малко да разтегнем мозъка си.

Задача:Даден е квадрат. Площта му е 36 кв. см. Намерете обиколката на правоъгълник, чиято дължина на една от страните е 9 см, а площта е същата като тази на дадения по-горе квадрат.
Така че имаме няколко условия. За по-голяма яснота ги записваме, за да видим всички известни и неизвестни параметри:
Страните на фигурата са по двойки успоредни и равни. Следователно периметърът на фигурата е равен на удвоената сума от дължините на страните:
От формулата за площта на правоъгълник, която е равна на произведението на двете страни на фигурата, намираме дължината на страната b
Оттук:
Заменяме известните данни и намираме дължината на страната b:
Изчислете периметъра на фигурата:
Така че, знаейки няколко лесни формули, можете да изчислите периметъра на правоъгълник, като знаете неговата площ.

Определение.

ПравоъгълникТова е четириъгълник с две противоположни страни и четири ъгъла.

Правоъгълниците се различават един от друг само по съотношението на дългата към късата страна, но и четирите са прави, тоест по 90 градуса всеки.

Дългата страна на правоъгълник се нарича дължина на правоъгълник, и късата ширина на правоъгълника.

Страните на правоъгълника са и неговите височини.

Основни свойства на правоъгълника

Правоъгълникът може да бъде успоредник, квадрат или ромб.

1. Противоположните страни на правоъгълник имат еднаква дължина, тоест те са равни:

AB=CD, BC=AD

2. Срещуположните страни на правоъгълника са успоредни:

3. Съседните страни на правоъгълник винаги са перпендикулярни:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. И четирите ъгъла на правоъгълника са прави:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумата от ъглите на правоъгълник е 360 градуса:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагоналите на правоъгълник имат еднаква дължина:

7. Сумата от квадратите на диагонала на правоъгълник е равна на сумата от квадратите на страните:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Всеки диагонал на правоъгълник разделя правоъгълника на две еднакви фигури, а именно правоъгълни триъгълници.

9. Диагоналите на правоъгълника се пресичат и се разделят наполовина в точката на пресичане:

		AO=BO=CO=DO=	д
			2

10. Пресечната точка на диагоналите се нарича център на правоъгълника и също е център на описаната окръжност

11. Диагоналът на правоъгълника е диаметърът на описаната окръжност

12. Винаги може да се опише кръг около правоъгълник, тъй като сборът от противоположните ъгли е 180 градуса:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Не може да се впише окръжност в правоъгълник, чиято дължина не е равна на ширината му, тъй като сумите на срещуположните страни не са равни (окръжност може да бъде вписана само в специален случай на правоъгълник - квадрат).

Страни на правоъгълник

Определение.

Дължина на правоъгълникнаричаме дължината на по-дългата двойка страни. Ширина на правоъгълникназовете дължината на по-късата двойка страни.

Формули за определяне дължините на страните на правоъгълник

1. Формулата за страната на правоъгълник (дължината и ширината на правоъгълника) по отношение на диагонала и другата страна:

а = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Формулата за страната на правоъгълник (дължината и ширината на правоъгълника) по отношение на площта и другата страна:

b = dcos	β
	2

Правоъгълник Диагонал

Определение.

Диагонален правоъгълникВсеки сегмент, свързващ два върха на противоположни ъгли на правоъгълник, се нарича.

Формули за определяне дължината на диагонала на правоъгълник

1. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на двете страни на правоъгълника (чрез Питагоровата теорема):

d = √ a 2 + b 2

2. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на площ и всяка страна:

4. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност:

d=2R

5. Формулата за диагонала на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност:

d = D o

6. Формулата на диагонала на правоъгълник по отношение на синуса на ъгъла, съседен на диагонала, и дължината на страната, противоположна на този ъгъл:

8. Формулата на диагонала на правоъгълник по отношение на синуса на остър ъгъл между диагоналите и площта на правоъгълника

d = √2S: sinβ

Периметър на правоъгълник

Определение.

Периметърът на правоъгълнике сумата от дължините на всички страни на правоъгълника.

Формули за определяне дължината на периметъра на правоъгълник

1. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на двете страни на правоъгълника:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на площ и всяка страна:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	а		b

3. Формула за периметъра на правоъгълник по отношение на диагонала и всяка страна:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност и всяка страна:

P = 2(a + √4R 2 - а 2) = 2(b + √4R 2 - б 2)

5. Формулата за периметъра на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност и всяка страна:

P = 2(a + √D o 2 - а 2) = 2(b + √D o 2 - б 2)

Правоъгълна площ

Определение.

Правоъгълна площнаречено пространството, ограничено от страните на правоъгълника, тоест в рамките на периметъра на правоъгълника.

Формули за определяне на площта на правоъгълник

1. Формулата за площта на правоъгълник по отношение на две страни:

S = a b

2. Формулата за площта на правоъгълник през периметъра и всяка страна:

5. Формулата за площта на правоъгълник по отношение на радиуса на описания кръг и всяка страна:

S = a √4R 2 - а 2= b √4R 2 - б 2

6. Формулата за площта на правоъгълник по отношение на диаметъра на описания кръг и всяка страна:

S \u003d a √ D o 2 - а 2= b √ D o 2 - б 2

Окръжност, описана около правоъгълник

Определение.

Окръжност, описана около правоъгълникОкръжност се нарича окръжност, минаваща през четири върха на правоъгълник, чийто център лежи в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника.

Формули за определяне на радиуса на окръжност, описана около правоъгълник

1. Формулата за радиуса на окръжност, описана около правоъгълник през две страни:

4. Формулата за радиуса на окръжност, която се описва около правоъгълник през диагонала на квадрат:

5. Формулата за радиуса на окръжност, която е описана в близост до правоъгълник през диаметъра на окръжност (описана):

6. Формулата за радиуса на окръжност, която е описана в близост до правоъгълник през синуса на ъгъла, който е в съседство с диагонала, и дължината на страната срещу този ъгъл:

7. Формулата за радиуса на окръжност, която се описва за правоъгълник чрез косинуса на ъгъла, който е съседен на диагонала, и дължината на страната при този ъгъл:

8. Формулата за радиуса на окръжност, която е описана в близост до правоъгълник през синуса на остър ъгъл между диагоналите и площта на правоъгълника:

Ъгъл между страна и диагонал на правоъгълник.

Формули за определяне на ъгъла между страната и диагонала на правоъгълник:

1. Формулата за определяне на ъгъла между страната и диагонала на правоъгълник през диагонала и страната:

2. Формулата за определяне на ъгъла между страната и диагонала на правоъгълник чрез ъгъла между диагоналите:

Ъгълът между диагоналите на правоъгълника.

Формули за определяне на ъгъла между диагоналите на правоъгълник:

1. Формулата за определяне на ъгъла между диагоналите на правоъгълник през ъгъла между страната и диагонала:

β = 2α

2. Формулата за определяне на ъгъла между диагоналите на правоъгълник през областта и диагонала.

Съдържание:

Диагоналът е отсечка, която свързва два противоположни върха на правоъгълник. Правоъгълникът има два равни диагонала. Ако страните на правоъгълника са известни, диагоналът може да се намери с помощта на Питагоровата теорема, тъй като диагоналът разделя правоъгълника на два правоъгълни триъгълника. Ако страните не са дадени, но са известни други количества, например площта и периметъра или съотношението на страните, можете да намерите страните на правоъгълника и след това да изчислите диагонала, като използвате Питагоровата теорема.

стъпки

1 Един до друг

1. 1 Запишете Питагоровата теорема.Формула: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Поставете страните във формулата.Дадени са в задачата или трябва да се измерят. Страничните стойности се заместват с 3
   • В нашия пример:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 По площ и периметър

     1. 1 Формула: S \u003d l w (На фигурата символът A се използва вместо S.)
     2. 2 Тази стойност се замества с S 3 Пренапишете формулата така, че да изолирате w 4 Запишете формулата за изчисляване на периметъра на правоъгълник.Формула: P = 2 (w + l)
     3. 5 Заместете стойността на периметъра на правоъгълника във формулата.Тази стойност се замества с P 6 Разделете двете страни на уравнението на 2.Ще получите сумата от страните на правоъгълника, а именно w + l 7 Във формулата заместете израза, за да изчислите w 8 Отървете се от дробите.За да направите това, умножете двете части на уравнението по l 9 Задайте уравнението на 0.За да направите това, извадете члена с променливата от първи ред от двете страни на уравнението.
        • В нашия пример:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Подредете членовете на уравнението.Първият член ще бъде вторият променлив член, след това първият променлив член и след това свободният член. В същото време не забравяйте за знаците („плюс“ и „минус“), които са пред членовете. Имайте предвид, че уравнението ще бъде написано като квадратно уравнение.
          • В нашия пример 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • В нашия пример уравнението 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Намерете l 13 Запишете Питагоровата теорема.Формула: a 2 + b 2 = c 2
              • Използвайте Питагоровата теорема, защото всеки диагонал на правоъгълник го разделя на два еднакви правоъгълни триъгълника. Освен това страните на правоъгълника са краката на триъгълника, а диагоналът на правоъгълника е хипотенузата на триъгълника.
            • 14 Тези стойности се заместват с 15 Квадратирайте дължината и ширината и след това добавете резултатите.Не забравяйте, че когато квадратувате число, то се умножава по себе си.
              • В нашия пример:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Вземете корен квадратен от двете страни на уравнението.Използвайте калкулатор, за да намерите бързо корен квадратен. Можете да използвате и онлайн калкулатора. ще намерите c

                3 По площ и съотношение

                1. 1 Напишете уравнение, характеризиращо отношението на страните.Изолирайте l 2 Запишете формулата за изчисляване на площта на правоъгълник.Формула: S = l w (на фигурата се използва обозначение A вместо S.)
                   • Този метод е приложим и когато е известна стойността на периметъра на правоъгълника, но тогава трябва да използвате формулата за изчисляване на периметъра, а не на площта. Формула за изчисляване на периметъра на правоъгълник: P = 2 (w + l)
                2. 3 Включете областта на правоъгълника във формулата.Тази стойност се замества с S 4 Заместете израза, характеризиращ съотношението на страните във формулата.В случай на правоъгълник можете да замените израз, за ​​да изчислите l 5 Запишете квадратно уравнение.За да направите това, отворете скобите и приравнете уравнението към нула.
                   • В нашия пример:
                     35 = w (w + 2) 6 Факторизирайте квадратното уравнение.Прочетете за подробни инструкции.
                     • В нашия пример уравнението 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Намерете w 8 Заместете стойността на ширината (или дължината), намерена в уравнението, характеризиращо съотношението на страните.Така че можете да намерите другата страна на правоъгълника.
                       • Например, ако сте изчислили, че ширината на правоъгълник е 5 cm и съотношението на страните е дадено от уравнението l = w + 2 9 Запишете Питагоровата теорема.Формула: a 2 + b 2 = c 2
                         • Използвайте Питагоровата теорема, защото всеки диагонал на правоъгълник го разделя на два еднакви правоъгълни триъгълника. Освен това страните на правоъгълника са краката на триъгълника, а диагоналът на правоъгълника е хипотенузата на триъгълника.
                       • 10 Включете стойностите за дължина и ширина във формулата.Тези стойности се заместват с 11 Квадратирайте дължината и ширината и след това добавете резултатите.Не забравяйте, че когато квадратувате число, то се умножава по себе си.
                         • В нашия пример:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Вземете корен квадратен от двете страни на уравнението.Използвайте калкулатор, за да намерите бързо корен квадратен. Можете да използвате и онлайн калкулатора. Ще намерите c (displaystyle c) , което е хипотенузата на триъгълника, а оттам и диагоналът на правоъгълника.
                           • В нашия пример:
                             74 = c 2 (стил на показване 74=c^(2))
                             74 = c 2 (displaystyle (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (стил на показване 8,6024 = c)
                             Така диагоналът на правоъгълник, чиято дължина е с 2 cm по-голяма от ширината му и чиято площ е 35 cm 2, е приблизително 8,6 cm.