03.07.202327.05.2017

Нека една реална функция удовлетворява условията на Дирихле на интервала - Л, Л. Нека напишем неговото разширение в тригонометричен ред на Фурие:

Ако в (10.1) изразим и чрез експоненциалната функция на въображаемия аргумент:

тогава получаваме серията

където поради (10.2)

Последните три формули могат да се комбинират:

Редът (10.3) с коефициенти (10.4) се нарича тригонометричен ред на Фурие в сложна форма.

Пример 1.Разгънете функцията, където е комплексно число, в ред на Фурие на интервала.

Решение . Нека намерим коефициентите на Фурие:

От тогава

Необходимото разширение ще има формата

където се взема предвид, че

Прилагане на равенството на Парсевал към редицата (10.5)

можете да намерите сумата на друга числова серия. Наистина, в нашия случай

Тогава от (10.6) следва

Упражнение 1. Докажете това

Забележка. Поставете (10.5) х= 0 и х = .

Упражнение 2. Докажете, че когато

Интеграл на Фурие

Сходимост на интеграла на Фурие

Нека функцията е дефинирана върху цялата числова ос. Ако приемем, че на произволен краен интервал - Л, Лдадената функция удовлетворява условията на Дирихле, нека я представим чрез тригонометричен ред на Фурие в сложна форма:

Честота кти хармоници; .

Като въвеждаме изрази (11.2) в (11.1), получаваме

По размер. Дясната страна на формула (11.3) е подобна на интегралната сума за функция върху променлива в интервала. Следователно можем да очакваме, че след преминаване към границата в (11.3) при вместо реда получаваме интеграла

Формула (11.4) се нарича интегрална формула на Фурие, а дясната й част се нарича интеграл на Фурие.

Разсъжденията, използвани за извеждане на формула (11.4), не са строги и са само предполагаеми. Условията, при които интегралната формула на Фурие е валидна, са установени от теорема, която приемаме без доказателство.

Теорема.Нека функцията, първо, е абсолютно интегрируема на интервала, т.е. интегралът се сближава и, второ, удовлетворява условията на Дирихле на всеки краен интервал (- Л, Л). Тогава интегралът на Фурие се събира (в смисъл на главната стойност) навсякъде до, т.е. равенството (11.4) е изпълнено за всички хот между. Тук, както и преди, се приема, че в точката на прекъсване стойността на функцията е равна на половината от сбора на нейните едностранни граници в тази точка.

Преобразуване на Фурие

Преобразуваме интегралната формула на Фурие (11.4) както следва. Да сложим

Ако една функция е непрекъсната и абсолютно интегрируема на цялата ос, тогава функцията е непрекъсната на интервала. Наистина от тогава

и тъй като интегралът отдясно се събира, интегралът отляво се събира. следователно интегралът в (12.1) се сближава абсолютно. Равенството (12.2) е изпълнено едновременно за всички, така че интеграл (12.1) се събира равномерно по отношение на. От това следва, че функцията е непрекъсната (точно както равномерната сходимост на редица, съставена от непрекъснати функции, предполага непрекъснатост на нейната сума).

От (11.4) получаваме

Комплексната функция, дефинирана с формула (12.1), се нарича преобразуване на Фурие или преобразуване на Фурие на функцията. На свой ред формула (12.3) определя като обратното преобразуване на Фурие или обратния образ на функцията. Равенството (12.3) за дадена функция може да се разглежда като интегрално уравнение по отношение на функцията, чието решение е дадено с формула (12.1). И обратно, решението на интегралното уравнение (12.1) за дадена функция се дава с формула (12.3).

Във формула (12.3) изразът определя, относително казано, пакет от сложни хармоници с честоти, непрекъснато разпределени в интервала и обща комплексна амплитуда. Функцията се нарича спектрална плътност. Формула (12.2), написана във формата

може да се интерпретира като разширяване на функция в сума от хармонични пакети, честотите на които образуват непрекъснат спектър, разпределен в интервала.

Равенства на Парсевал.Нека и са образите на Фурие на реални функции и, съответно. Тогава

тези. скаларните произведения и нормите на функциите са инварианти на преобразуването на Фурие. Нека докажем това твърдение. По дефиниция на скаларното произведение имаме. Заменяйки функцията с нейния израз (12.3) чрез преобразуването на Фурие, получаваме

По силата на (12.1)

Следователно, т.е. формула (12.4) е доказана. Формула (12.5) се получава от (12.4) при.

Косинус и синус трансформации на Фурие.Ако една реална функция е четна, тогава нейното преобразуване на Фурие, което обозначаваме тук, също е реална четна функция. Наистина ли,

Последният интеграл, поради нечетността на интегранта, изчезва. По този начин,

Тук използваме свойството (7.1) на четните функции.

От (12.6) следва, че функцията е реална и равномерно зависима, тъй като влиза в (12.6) само през косинуса.

Формула (12.3) на обратното преобразуване на Фурие в този случай дава

Тъй като и са съответно четни и нечетни функции на променливата, тогава

Формули (12.6) и (12.7) определят косинусното преобразуване на Фурие.

По същия начин, ако една реална функция е нечетна, тогава нейното преобразуване на Фурие е къде е реална нечетна функция на. При което

Равенствата (12.8), (12.9) определят синусото преобразуване на Фурие.

Имайте предвид, че формулите (12.6) и (12.8) включват функционални стойности само за. Следователно косинус и синус преобразуванията на Фурие могат също да бъдат приложени към функция, дефинирана на полубезкраен интервал. В този случай at интегралите във формулите (12.7) и (12.9) се събират към дадената функция, а at съответно към нейните четни и нечетни продължения.

Които вече са доста скучни. И чувствам, че е настъпил моментът, когато е време да извлечем нови консерви от стратегическите резерви на теорията. Възможно ли е функцията да се разшири в серия по някакъв друг начин? Например, изразете сегмент от права линия чрез синуси и косинуси? Изглежда невероятно, но такива привидно далечни функции могат да бъдат
"обединение". В допълнение към познатите степени в теорията и практиката, има и други подходи за разширяване на функция в серия.

В този урок ще се запознаем с тригонометричния ред на Фурие, ще се докоснем до въпроса за неговата конвергенция и сумата и, разбира се, ще анализираме множество примери за разширяване на функции в ред на Фурие. Искрено исках да нарека статията „Редове на Фурие за манекени“, но това би било неискрено, тъй като решаването на проблемите ще изисква познания в други клонове на математическия анализ и известен практически опит. Следователно преамбюлът ще прилича на обучение на астронавти =)

Първо, трябва да подходите към изучаването на материалите на страницата в отлична форма. Сънен, отпочинал и трезвен. Без силни емоции за счупен крак на хамстер и натрапчиви мисли за несгодите на живота на аквариумните рибки. Серията на Фурие не е трудна за разбиране, но практическите задачи просто изискват повишена концентрация на внимание - в идеалния случай трябва напълно да се отделите от външни стимули. Ситуацията се утежнява от факта, че няма лесен начин за проверка на решението и отговор. Така че, ако здравето ви е под средното, тогава е по-добре да направите нещо по-просто. Вярно ли е.

Второ, преди да полетите в космоса, е необходимо да изучите инструменталния панел на космическия кораб. Нека започнем със стойностите на функциите, върху които трябва да щракнете върху машината:

За всяка природна стойност:

1) . Наистина, синусоидата "зашива" оста x през всяко "pi":
. В случай на отрицателни стойности на аргумента, резултатът, разбира се, ще бъде същият: .

2) . Но не всички знаеха това. Косинусът "пи" е еквивалентът на "мигач":

Отрицателният аргумент не променя нещата: .

Може би това е достатъчно.

И трето, скъпи отряд космонавти, трябва да можете да... интегрирам.
По-специално, уверено подведете функцията под диференциалния знак, интегрирайте на парчеи бъди в мир с Формула на Нютон-Лайбниц. Да започнем важните упражнения преди полета. Категорично не препоръчвам да го пропуснете, за да не се смачкате в безтегловност по-късно:

Пример 1

Изчисляване на определени интеграли

където приема природни ценности.

Решение: интегрирането се извършва върху променливата “x” и на този етап дискретната променлива “en” се счита за константа. Във всички интеграли поставете функцията под диференциалния знак:

Кратка версия на решението, към която би било добре да се насочите, изглежда така:

Нека свикнем:

Четирите оставащи точки са за вас. Опитайте се да подходите съвестно към задачата и да напишете интегралите по кратък начин. Примерни решения в края на урока.

След КАЧЕСТВЕНО изпълнение на упражненията обличаме скафандри
и се готви да започнем!

Развиване на функция в ред на Фурие на интервала

Помислете за някаква функция, която определенпоне за определен период от време (и евентуално за по-дълъг период). Ако тази функция е интегрируема на интервала, тогава тя може да бъде разширена в тригонометрична Редица на Фурие:
, където са т.нар Коефициенти на Фурие.

В този случай номерът се обажда период на разлагане, а числото е полуживот на разлагане.

Очевидно е, че в общия случай редът на Фурие се състои от синуси и косинуси:

Наистина, нека го напишем подробно:

Нулевият член на серията обикновено се записва във формата .

Коефициентите на Фурие се изчисляват по следните формули:

Отлично разбирам, че тези, които започват да изучават темата, все още не са наясно с новите термини: период на разлагане, полу-цикъл, Коефициенти на Фуриеи т.н. Не се паникьосвайте, това не е сравнимо с вълнението преди излизане в открития космос. Нека разберем всичко в следния пример, преди да изпълним, което е логично да зададем належащи практически въпроси:

Какво трябва да направите в следващите задачи?

Разгънете функцията в ред на Фурие. Освен това често се налага да се изобрази графика на функция, графика на сбор от редица, частична сума, а в случай на сложни професорски фантазии, да се направи нещо друго.

Как да разширим функция в ред на Фурие?

По същество трябва да намерите Коефициенти на Фурие, тоест съставете и изчислете три определен интеграл.

Моля, копирайте общата форма на реда на Фурие и трите работни формули в тетрадката си. Много се радвам, че някои посетители на сайта сбъдват детската си мечта да станат астронавти точно пред очите ми =)

Пример 2

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала. Построете графика, графика на сумата от редицата и частичната сума.

Решение: Първата част от задачата е да разширим функцията в ред на Фурие.

Началото е стандартно, не забравяйте да запишете, че:

В тази задача периодът на разширение е половин период.

Нека разширим функцията в ред на Фурие на интервала:

Използвайки подходящите формули, намираме Коефициенти на Фурие. Сега трябва да съставим и изчислим три определен интеграл. За удобство ще номерирам точките:

1) Първият интеграл е най-простият, но той също изисква очи:

2) Използвайте втората формула:

Този интеграл е добре известен и той го взема парче по парче:

Използва се при намиране метод за поставяне на функция под диференциалния знак.

В разглежданата задача е по-удобно да се използва незабавно формула за интегриране по части в определен интеграл :

Няколко технически бележки. Първо, след прилагане на формулата целият израз трябва да бъде ограден в големи скоби, тъй като има константа преди първоначалния интеграл. Нека не я губим! Скобите могат да бъдат разширени на всяка следваща стъпка; направих това в краен случай. В първото "парче" Проявяваме изключителна грижа при заместването; както виждате, константата не се използва, а границите на интеграция се заместват в продукта. Това действие е подчертано в квадратни скоби. Е, запознат си с интеграла на второто „парче“ от формулата от тренировъчната задача;-)

И най-важното – изключителна концентрация!

3) Търсим третия коефициент на Фурие:

Получава се относителен на предходния интеграл, който също е интегрира на парче:

Този случай е малко по-сложен, ще коментирам следващите стъпки стъпка по стъпка:

(1) Изразът е изцяло ограден в големи скоби. Не исках да изглеждам скучен, те губят константата твърде често.

(2) В този случай веднага отворих тези големи скоби. Специално вниманиеНие се посвещаваме на първото „парче“: постоянното пуши отстрани и не участва в подмяната на границите на интеграция (и) в продукта. Поради претрупаността на записа, отново е препоръчително да подчертаете това действие с квадратни скоби. С второто "парче" всичко е по-просто: тук фракцията се появи след отваряне на големи скоби, а константата - в резултат на интегриране на познатия интеграл;-)

(3) В квадратни скоби извършваме трансформации, а в десния интеграл - заместване на граници на интегриране.

(4) Премахваме „мигащата светлина“ от квадратните скоби: , и след това отваряме вътрешните скоби: .

(5) Отменяме 1 и –1 в скоби и правим последни опростявания.

Накрая се намират и трите коефициента на Фурие:

Нека ги заместим във формулата :

В същото време не забравяйте да разделите наполовина. На последната стъпка константата ("минус две"), която не зависи от "en", се изважда извън сумата.

Така получихме разлагането на функцията в ред на Фурие на интервала:

Нека проучим въпроса за сходимостта на редовете на Фурие. Ще обясня по-специално теорията Теорема на Дирихле, буквално "на пръсти", така че ако имате нужда от строги формулировки, моля, вижте учебника по математически анализ (например 2-ри том на Бохан; или 3-ти том на Фихтенхолц, но е по-трудно).

Втората част на задачата изисква начертаване на графика, графика на сумата от редица и графика на частична сума.

Графиката на функцията е обичайната права линия в равнина, който е начертан с черна пунктирана линия:

Нека намерим сбора на серията. Както знаете, функционалните серии се събират във функции. В нашия случай конструираният ред на Фурие за всяка стойност на "x"ще се сближи с функцията, която е показана в червено. Тази функция толерира разкъсвания от 1-ви видв точки, но също така е дефиниран в тях (червени точки на чертежа)

По този начин: . Лесно се вижда, че тя е забележимо различна от оригиналната функция, поради което в записа Използва се тилда вместо знак за равенство.

Нека да проучим алгоритъм, който е удобен за конструиране на сумата от редица.

В централния интервал редът на Фурие се сближава към самата функция (централният червен сегмент съвпада с черната пунктирана линия на линейната функция).

Сега нека поговорим малко за природата на разглежданото тригонометрично разширение. Редица на Фурие включва само периодични функции (константа, синуси и косинуси), така че сумата от серията също е периодична функция.

Какво означава това в нашия конкретен пример? А това означава, че сумата от серията –определено периодичнои червеният сегмент от интервала трябва да се повтаря безкрайно отляво и отдясно.

Мисля, че значението на фразата „период на разлагане“ сега най-накрая стана ясно. Казано по-просто, всеки път ситуацията се повтаря отново и отново.

На практика обикновено е достатъчно да се изобразят три периода на разлагане, както е направено на чертежа. Е, и също „пънове“ на съседни периоди - така че да е ясно, че графиката продължава.

Особен интерес представляват точки на прекъсване от 1-ви род. В такива точки редът на Фурие се сближава до изолирани стойности, които се намират точно в средата на „скока“ на прекъсването (червени точки на чертежа). Как да намерим ординатата на тези точки? Първо, нека намерим ординатата на „горния етаж“: за да направим това, изчисляваме стойността на функцията в най-дясната точка на централния период на разширението: . За да изчислите ординатата на „долния етаж“, най-лесният начин е да вземете най-лявата стойност за същия период: . Ординатата на средната стойност е средноаритметичната стойност на сумата от „горе и отдолу“: . Приятен факт е, че когато конструирате чертеж, веднага ще видите дали средата е изчислена правилно или неправилно.

Нека да изградим частична сума от серията и в същото време да повторим значението на термина "конвергенция". Мотивът е известен и от урока за сбор от числова серия. Нека опишем подробно нашето богатство:

За да съставите частична сума, трябва да напишете нула + още два члена от редицата. Това е,

На чертежа графиката на функцията е показана в зелено и, както можете да видите, тя „обвива“ пълната сума доста плътно. Ако разгледаме частична сума от пет термина от серията, тогава графиката на тази функция ще приближи червените линии още по-точно; ако има сто термина, тогава „зелената змия“ всъщност ще се слее напълно с червените сегменти, и т.н. Така редът на Фурие се сближава към сбора си.

Интересно е да се отбележи, че всяка частична сума е непрекъсната функция, обаче, общата сума на серията все още е прекъсната.

На практика не е толкова рядко да се построи графика на частична сума. Как да го направим? В нашия случай е необходимо да се разгледа функцията на сегмента, да се изчислят нейните стойности в краищата на сегмента и в междинните точки (колкото повече точки смятате, толкова по-точна ще бъде графиката). След това трябва да маркирате тези точки на чертежа и внимателно да начертаете графика върху периода и след това да го „копирате“ в съседни интервали. Как иначе? В края на краищата, приближението също е периодична функция... ...по някакъв начин нейната графика ми напомня за равномерен сърдечен ритъм на дисплея на медицинско устройство.

Извършването на конструкцията, разбира се, не е много удобно, тъй като трябва да бъдете изключително внимателни, като поддържате точност не по-малка от половин милиметър. Въпреки това ще зарадвам читателите, които не се чувстват комфортно с чертането - в "истински" проблем не винаги е необходимо да се извърши чертеж; в около 50% от случаите е необходимо функцията да се разшири в ред на Фурие и това е .

След като завършим чертежа, изпълняваме задачата:

Отговор:

При много задачи функцията страда разкъсване от 1-ви видточно по време на периода на разлагане:

Пример 3

Разгънете функцията, дадена на интервала, в ред на Фурие. Начертайте графика на функцията и общата сума на редицата.

Предложената функция е посочена на части (и, забележете, само на сегмента)и издържа разкъсване от 1-ви видв точка . Възможно ли е да се изчислят коефициентите на Фурие? Няма проблем. Както лявата, така и дясната страна на функцията са интегрируеми на своите интервали, следователно интегралите във всяка от трите формули трябва да бъдат представени като сбор от два интеграла. Да видим например как се прави това за нулев коефициент:

Вторият интеграл се оказа равен на нула, което намали работата, но това не винаги е така.

Другите два коефициента на Фурие са описани по подобен начин.

Как да покажа сумата на серия? На левия интервал начертаваме прав сегмент, а на интервала - прав сегмент (маркираме участъка на оста с удебелен шрифт и получер). Тоест, в интервала на разширение сумата от серията съвпада с функцията навсякъде, с изключение на три „лоши“ точки. В точката на прекъсване на функцията редът на Фурие ще се сближи до изолирана стойност, която се намира точно в средата на „скока“ на прекъсването. Не е трудно да го видите устно: лява граница: , дясна граница: и, очевидно, ординатата на средната точка е 0,5.

Поради периодичността на сумата, картината трябва да бъде „умножена“ в съседни периоди, по-специално, едно и също нещо трябва да бъде изобразено на интервалите и . В същото време в точки редът на Фурие ще се сближи със средните стойности.

Всъщност тук няма нищо ново.

Опитайте се сами да се справите с тази задача. Приблизителна проба на окончателния дизайн и чертеж в края на урока.

Развиване на функция в ред на Фурие за произволен период

За произволен период на разширение, където "el" е всяко положително число, формулите за редовете на Фурие и коефициентите на Фурие се отличават с малко по-сложен аргумент за синус и косинус:

Ако , тогава получаваме интервалните формули, с които започнахме.

Алгоритъмът и принципите за решаване на проблема са напълно запазени, но техническата сложност на изчисленията се увеличава:

Пример 4

Разгънете функцията в ред на Фурие и начертайте сумата.

Решение: всъщност аналог на Пример № 3 с разкъсване от 1-ви видв точка . В тази задача периодът на разширение е половин период. Функцията е дефинирана само на полуинтервала, но това не променя нещата - важно е и двете части на функцията да са интегрируеми.

Нека разширим функцията в ред на Фурие:

Тъй като функцията е прекъсната в началото, всеки коефициент на Фурие очевидно трябва да бъде записан като сбор от два интеграла:

1) Ще напиша първия интеграл възможно най-подробно:

2) Внимателно разглеждаме повърхността на Луната:

Втори интеграл вземете го парче по парче:

На какво трябва да обърнем специално внимание, след като отворим продължението на решението със звездичка?

Първо, ние не губим първия интеграл , където незабавно изпълняваме подписване на диференциалния знак. Второ, не забравяйте злополучната константа преди големите скоби и не се обърквайте от знацитепри използване на формулата. Големите скоби все още са по-удобни за отваряне веднага в следващата стъпка.

Останалото е въпрос на техника, трудностите могат да бъдат причинени само от недостатъчен опит в решаването на интеграли.

Да, не напразно видните колеги на френския математик Фурие се възмущаваха - как се е осмелил да подрежда функции в тригонометрични редове?! =) Между другото сигурно всеки се интересува от практическия смисъл на въпросната задача. Самият Фурие работи върху математически модел на топлопроводимостта и впоследствие серията, наречена на негово име, започва да се използва за изследване на много периодични процеси, които са видими и невидими в околния свят. Сега, между другото, се хванах на мисълта, че не случайно сравних графиката на втория пример с периодичния ритъм на сърцето. Желаещите могат да се запознаят с практическото приложение Преобразуване на Фуриев източници на трети страни. ...Въпреки че е по-добре да не го правите - ще бъде запомнено като първа любов =)

3) Като вземем предвид многократно споменаваните слаби връзки, нека да разгледаме третия коефициент:

Нека интегрираме по части:

Нека заместим намерените коефициенти на Фурие във формулата , като не забравяме да разделим нулевия коефициент наполовина:

Нека да начертаем сбора на серията. Нека накратко повторим процедурата: построяваме права линия върху интервал и права линия върху интервал. Ако стойността на „x“ е нула, поставяме точка в средата на „скока“ на празнината и „репликираме“ графиката за съседни периоди:

В „кръстовищата“ на периодите сумата също ще бъде равна на средните точки на „скока“ на празнината.

Готов. Нека ви напомня, че самата функция е по условие дефинирана само на полуинтервал и, очевидно, съвпада със сумата на реда на интервалите

Отговор:

Понякога дадена на части функция е непрекъсната през периода на разширение. Най-простият пример: . Решение (вижте том 2 на Бохан)същото като в предишните два примера: въпреки непрекъснатост на функциятав точка , всеки коефициент на Фурие се изразява като сбор от два интеграла.

На интервала на разлагане точки на прекъсване от 1-ви роди/или може да има повече „свързващи“ точки на графиката (две, три и обикновено всякакви финалколичество). Ако една функция е интегрируема на всяка част, тогава тя също е разширима в ред на Фурие. Но от практически опит не помня такова жестоко нещо. Има обаче по-трудни задачи от току-що разгледаните, а в края на статията има връзки към редове на Фурие с повишена сложност за всеки.

Междувременно нека се отпуснем, облегнем се на столовете си и съзерцаваме безкрайните простори от звезди:

Пример 5

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала и начертайте сумата на реда.

В този проблем функцията непрекъснатовърху полуинтервала на разширение, което опростява решението. Всичко е много подобно на Пример №2. Няма бягство от космическия кораб - ще трябва да решите =) Приблизителна проба на дизайн в края на урока, приложен е график.

Разгъване в ред на Фурие на четни и нечетни функции

С четни и нечетни функции процесът на решаване на проблема е значително опростен. И ето защо. Нека се върнем към разширяването на функция в ред на Фурие с период от "две пи" и произволна точка „две ел“ .

Да приемем, че нашата функция е четна. Общият член на серията, както можете да видите, съдържа четни косинуси и нечетни синуси. И ако разширяваме функция EVEN, тогава защо имаме нужда от нечетни синуси?! Нека нулираме ненужния коефициент: .

По този начин, четна функция може да се разложи в ред на Фурие само по косинуси:

Тъй като интеграли на четни функциипо протежение на интеграционен сегмент, който е симетричен по отношение на нулата, може да се удвои, тогава останалите коефициенти на Фурие се опростяват.

За празнината:

За произволен интервал:

Примери от учебници, които могат да бъдат намерени в почти всеки учебник по математически анализ, включват разширения на четни функции . В допълнение, те са били срещани няколко пъти в моята лична практика:

Пример 6

Функцията е дадена. Задължително:

1) разгънете функцията в ред на Фурие с период , където е произволно положително число;

2) запишете разширението на интервала, конструирайте функция и начертайте общата сума на серията.

Решение: в първия параграф се предлага да се реши проблемът в обща форма и това е много удобно! Ако възникне необходимост, просто заменете вашата стойност.

1) В тази задача периодът на разширение е половин период. По време на по-нататъшни действия, по-специално по време на интегриране, "el" се счита за константа

Функцията е четна, което означава, че може да бъде разширена в ред на Фурие само по косинуси: .

Търсим коефициенти на Фурие с помощта на формулите . Обърнете внимание на техните безусловни предимства. Първо, интеграцията се извършва върху положителния сегмент на разширението, което означава, че безопасно се отърваваме от модула , като се има предвид само „X“ на двете части. И второ, интеграцията е значително опростена.

две:

Нека интегрираме по части:

По този начин:
, докато константата , която не зависи от „en“, се взема извън сумата.

Отговор:

2) Нека запишем разширението на интервала; за да направим това, заместваме необходимата стойност на полупериода в общата формула:

Тригонометрични редове на Фурие се нарича серия от формата

а0 /2 + а 1 cos х + b 1 грях х + а 2cos2 х + b 2 грях2 х + ... + а ncos nx + b n грях nx + ...

къде са числата а0 , а 1 , b 1 , а 2 , b 2 , ..., ан, bн... - Коефициенти на Фурие.

По-съкратено представяне на реда на Фурие със символа "сигма":

Както току-що установихме, за разлика от степенните редове, в редовете на Фурие, вместо най-простите функции вземат се тригонометрични функции

1/2, cos х, грях х,cos2 х, грях2 х, ..., cos nx, грях nx, ... .

Коефициентите на Фурие се изчисляват по следните формули:

Всички горепосочени функции в редицата на Фурие са периодични функции с период 2 π . Всеки член на тригонометричния ред на Фурие е периодична функция с период 2 π .

Следователно всяка частична сума от редицата на Фурие има период 2 π . От това следва, че ако редът на Фурие се сближава на интервала [- π , π ] , тогава тя се събира на цялата числова линия и нейната сума, която е границата на последователност от периодични частични суми, е периодична функция с период 2 π .

Сходимост на редове на Фурие и сбор от редове

Нека функцията Е(х), определена на цялата числова ос и периодична с период 2 π , е периодично продължение на функцията f(х) ако на сегмента [- π , π ] възниква Е(х) = f(х)

Ако на сегмента [- π , π ] редът на Фурие се свежда до функцията f(х) тогава тя се събира на цялата числова линия към нейното периодично продължение.

Отговорът на въпроса при какви условия е редът на Фурие на функция f(х) се сближава към тази функция, дава следната теорема.

Теорема.Нека функцията f(х) и неговата производна е"(х) - непрекъснат на сегмента [- π , π ] или има краен брой точки на прекъсване от 1-ви вид върху него. След това редът на Фурие на функцията f(х) се събира на цялата числова ос и във всяка точка х, принадлежащи към сегмента [- π , π ], при което f(х) е непрекъсната, сумата от серията е равна на f(х) и във всяка точка х0 на прекъсването на функцията, сумата от редицата е равна на средноаритметичното от границите на функцията f(х) дясно и ляво:

Където И .

В краищата на сегмента [- π , π ] сумата от серията е равна на средноаритметичната стойност на стойностите на функцията в най-лявата и най-дясната точка на периода на разширение:

Във всяка точка х, принадлежащи към сегмента [- π , π ] , сумата от редовете на Фурие е равна на Е(х), ако х- точка на непрекъснатост Е(х) и е равно на средноаритметичното на границите Е(х) ляво и дясно:

Ако х- точка на пречупване Е(х) , Където Е(х) - периодично продължение f(х) .

Пример 1.Периодична функция f(х) с период 2 π определени, както следва:

По-просто тази функция се записва като f(х) = |х| . Разгънете функцията в ред на Фурие, определете сходимостта на реда и сумата на реда.

Решение. Нека определим коефициентите на Фурие на тази функция:

Сега имаме всичко, за да получим реда на Фурие на тази функция:

Тази редица се събира във всички точки и нейната сума е равна на дадената функция.

Решете сами проблема с реда на Фурие и след това вижте решението

Редица на Фурие за четни и нечетни функции

Нека функцията f(х) е дефинирана на сегмента [- π , π ] и е четен, т.е. f(- х) = f(х) . След това неговите коефициенти bнса равни на нула. И за коефициентите анСледните формули са правилни:

Нека сега функцията f(х), определени на сегмента [- π , π ] , нечетен, т.е. f(х) = - е(- х) . След това коефициентите на Фурие анса равни на нула, а коефициентите bнсе определя по формулата

Както се вижда от формулите, получени по-горе, ако функция f(х) е четен, тогава редът на Фурие съдържа само косинуси, а ако е нечетен, тогава само синуси.

Пример 3.

Решение. Това е нечетна функция, така че нейните коефициенти на Фурие са и за да намерите, трябва да изчислите определения интеграл:

Това равенство е вярно за всеки. В точки сумата от серията на Фурие съгласно теоремата, дадена във втория параграф, не съвпада със стойностите на функцията, но е равна на . Извън сегмента сумата на серията е периодично продължение на функцията, нейната графика е дадена по-горе като илюстрация на сумата на серията.

Пример 4.Разгънете функцията в ред на Фурие.

Решение. Това е четна функция, така че нейните коефициенти на Фурие са , и за да намерите , трябва да изчислите определени интеграли:

Получаваме реда на Фурие на тази функция:

Това равенство е валидно за всяко, тъй като в точки сумата от серията на Фурие в този случай съвпада със стойностите на функцията, тъй като .

Ред на Фурие за всяка ортогонална система от функции

Последователност от функции, непрекъснати на интервала [ а,b], Наречен ортогонална система от функции върху сегмента[а,b], ако всички функции на редицата са по двойки ортогонални на този сегмент, т.е. ако

Системата се нарича ортогонална и нормализирана (ортонормална) на сегмента,

ако условието е изпълнено

Нека сега f(х) - всяка функция, непрекъсната на интервала [ а,b]. Близо до Фуриетакава функция f(х) на сегмента [ а,b] според ортогоналната системаредът се нарича:

чиито коефициенти се определят от равенството:

N=1,2,...

Ако ортогонална система от функции на интервала [ а,b] ортонормално, тогава в този случай

Където н=1,2,...

Нека сега f(х) - всяка функция, която е непрекъсната или има краен брой точки на прекъсване от първи вид на сегмента [ а,b]. Редица на Фурие на такава функция f(х) на същия сегмент

според ортогоналната система редицата се нарича:

Ако редът на Фурие на функцията f(х) съгласно система (1) сходна към функцията f(х) във всяка от неговите точки на непрекъснатост, принадлежащи на сегмента [ а,b]. В този случай те казват това f(х) на сегмента [ а,b] се разширява в серия в ортогоналната система (1).

Сложна форма на реда на Фурие

Изразът се нарича сложна форма на реда на Фурие на функцията f(х), ако е дефинирано от равенство

,Където

Преходът от серията на Фурие в сложна форма към серията в реална форма и обратно се извършва по формулите:

(н=1,2, . . .)

Проблем с вибрациите на струната

Нека струна с дължина е опъната в състояние на равновесие лс краища x= 0 и х=л. Да приемем, че струната е изведена от равновесие и вибрира свободно. Ще разгледаме малките вибрации на струната, възникващи във вертикалната равнина.

При предположенията, направени по-горе, може да се покаже, че функцията u(x,t), характеризиращи позицията на низа във всеки момент от времето T,удовлетворява уравнението

(1) , където a е положително число.

Нашата задача е да намерим функцията u(x,t) , чиято графика дава формата на низа по всяко време T, т.е. намерете решение на уравнение (1) с граница:

и начални условия:

Първо, ще търсим решения на уравнение (1), които отговарят на гранични условия (2). Не е трудно да се види това u(х,T) 0 е решение на уравнение (1), удовлетворяващо гранични условия (2). Ще търсим решения, които не са идентично равни на 0, представими като продукт u(x,t)=х(х)T(T), (4) , където , .

Заместването на израз (4) в уравнение (1) дава:

От което нашата задача се свежда до намиране на решения на уравненията:

Използвайки това условие х(0)=0, х(л)=0, доказваме, че е отрицателно число, като разглеждаме всички случаи.

а) Нека тогава х”=0 и общото му решение ще бъде записано, както следва:

откъде и , което е невъзможно, тъй като разглеждаме решения, които не изчезват идентично.

б) Нека . След това решаване на уравнението

получаваме и, подчинявайки се, намираме това

в) Ако тогава

Уравненията имат корени:

Където - произволни константи. От първоначалното условие намираме:

от къде, т.е.

(н=1,2,...)

(н=1,2,...).

Като вземем предвид това, можем да напишем:

(N=1,2,...).

и следователно

, (н=1,2,...),

но тъй като A и B са различни за различни стойности на n, имаме

, (н=1,2,...),

където и са произволни константи, които ще се опитаме да определим по такъв начин, че серията да удовлетворява уравнение (1), гранични условия (2) и начални условия (3).

И така, нека подчиним функцията u(x,t) към началните условия, т.е. ще изберем така, че условията да са изпълнени

Тези равенства са съответно разширения на функции и в сегменти в ред на Фурие по синуси. (Това означава, че коефициентите ще бъдат изчислени като за нечетна функция). По този начин решението за осцилиране на струна с дадени гранични и начални условия се дава от формулата

(н=1,2,...)

Интеграл на Фурие

Достатъчни условия за представителност на функция в интеграл на Фурие.

За да f(х) беше представен от интеграла на Фурие във всички точки на непрекъснатост и редовни точки на прекъсване, достатъчно е:

1) абсолютна интегрируемост на

(т.е. интегралът се сближава)

2) на всеки краен сегмент [- Л, Л] функцията би била гладка на части

3) в точките на прекъсване на функцията нейният интеграл на Фурие се определя от полусумата на лявата и дясната граница в тези точки, а в точките на непрекъснатост на самата функция f(х)

Интегралът на Фурие на функция f(x) е интеграл от формата: