(\large\bf Производна на функция)
Помислете за функцията y=f(x), посочен на интервала (а, б). Позволявам х- всяка фиксирана точка от интервала (а, б), А Δx- произволно число, така че стойността x+Δxсъщо принадлежи към интервала (а, б). Този номер Δxнаречено увеличение на аргумента.
Определение. Увеличаване на функцията y=f(x)в точката х, съответстващ на увеличението на аргумента Δx, да се обадим на номера
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Ние вярваме в това Δx ≠ 0. Разгледайте в дадена фиксирана точка хсъотношението на нарастването на функцията в тази точка към съответното увеличение на аргумента Δx
Ще наричаме това отношение отношение на разликата. Тъй като стойността хсчитаме за фиксирано, съотношението на разликата е функция на аргумента Δx. Тази функция е дефинирана за всички стойности на аргументи Δx, принадлежащи на някаква достатъчно малка околност на точката Δx=0, с изключение на самата точка Δx=0. По този начин имаме право да разгледаме въпроса за съществуването на граница на посочената функция при Δx → 0.
Определение. Производна на функция y=f(x)в дадена фиксирана точка хнаречен лимит при Δx → 0коефициент на разлика, т.е
При условие, че това ограничение съществува.
Обозначаване. y′(x)или f′(x).
Геометрично значение на производната: Производна на функция f(x)в този момент хравен на тангенса на ъгъла между оста воли допирателна към графиката на тази функция в съответната точка:
f′(x 0) = \tgα.
Механично значение на производната: Производната на пътя спрямо времето е равна на скоростта на праволинейно движение на точката:
Уравнение на допирателна към права y=f(x)в точката M 0 (x 0, y 0)приема формата
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
Нормалната към крива в дадена точка е перпендикулярът на допирателната в същата точка. Ако f′(x 0)≠ 0, тогава уравнението на нормалата към правата y=f(x)в точката M 0 (x 0, y 0)е написано така:
Концепцията за диференцируемост на функция
Нека функцията y=f(x)определени през определен интервал (а, б), х- някаква фиксирана стойност на аргумент от този интервал, Δx- всяко увеличение на аргумента, така че стойността на аргумента x+Δx ∈ (a, b).
Определение. функция y=f(x)наречена диференцируема в дадена точка х, ако увеличение Δyтази функция в точката х, съответстващ на увеличението на аргумента Δx, могат да бъдат представени във формата
Δy = A Δx +αΔx,
Където А- някакво число, независимо от Δx, А α - функция аргумент Δx, което е безкрайно малко при Δx→ 0.
Тъй като произведението на две безкрайно малки функции αΔxе безкрайно малко от по-висок порядък от Δx(свойство на 3 безкрайно малки функции), тогава можем да напишем:
Δy = A Δx +o(Δx).
Теорема. За да може функцията y=f(x)беше диференцируем в дадена точка х, е необходимо и достатъчно той да има крайна производна в тази точка. При което A=f′(x), това е
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Операцията за намиране на производната обикновено се нарича диференциране.
Теорема. Ако функцията y=f(x) х, тогава той е непрекъснат в тази точка.
Коментирайте. От непрекъснатостта на функцията y=f(x)в този момент х, най-общо казано, диференцируемостта на функцията не следва f(x)в този момент. Например функцията y=|x|- непрекъснато в точка х=0, но няма производна.
Понятие за диференциална функция
Определение. Функционален диференциал y=f(x)произведението на производната на тази функция и нарастването на независимата променлива се нарича х:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
За функция y=xполучаваме dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, това е dx=Δx- диференциалът на независима променлива е равен на нарастването на тази променлива.
Така можем да пишем
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Диференциал dyи нарастване Δyфункции y=f(x)в този момент х, като и двете съответстват на едно и също увеличение на аргумента Δx, най-общо казано, не са равни помежду си.
Геометрично значение на диференциала: Диференциалът на функция е равен на нарастването на ординатата на допирателната към графиката на тази функция, когато аргументът се увеличава Δx.
Правила за диференциране
Теорема. Ако всяка от функциите u(x)И v(x)диференцируеми в дадена точка х, след това сумата, разликата, произведението и частното на тези функции (частното при условие, че v(x)≠ 0) също са диференцируеми в тази точка и формулите важат:
Разгледайте сложната функция y=f(φ(x))≡ F(x), Където y=f(u), u=φ(x). В такъв случай uНаречен междинен аргумент, х - независима променлива.
Теорема. Ако y=f(u)И u=φ(x)са диференцируеми функции на техните аргументи, тогава производната на сложна функция y=f(φ(x))съществува и е равно на произведението на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива, т.е.
Коментирайте. За сложна функция, която е суперпозиция на три функции y=F(f(φ(x))), правилото за диференциране има формата
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
къде са функциите v=φ(x), u=f(v)И y=F(u)- диференцируеми функции на техните аргументи.
Теорема. Нека функцията y=f(x)нараства (или намалява) и е непрекъснат в някаква околност на точката х 0. Нека освен това тази функция е диференцируема в посочената точка х 0и неговата производна в този момент f′(x 0) ≠ 0. Тогава в някаква околност на съответната точка y 0 =f(x 0)обратното е дефинирано за y=f(x)функция x=f -1 (y), а посочената обратна функция е диференцируема в съответната точка y 0 =f(x 0)и за неговата производна в този момент гформулата е валидна
Таблица с производни
Инвариантност на формата на първия диференциал
Нека разгледаме диференциала на сложна функция. Ако y=f(x), x=φ(t)- функциите на техните аргументи са диференцируеми, тогава производната на функцията y=f(φ(t))изразено с формулата
y′ t = y′ x x′ t.
А-приори dy=y′ t dt, тогава получаваме
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
И така, ние сме доказали
Свойство за инвариантност на формата на първия диференциал на функция: както в случая, когато аргументът хе независима променлива и в случай, че аргументът хсама по себе си е диференцируема функция на новата променлива, диференциала dyфункции y=f(x)е равно на производната на тази функция, умножена по диференциала на аргумента dx.
Приложение на диференциала в приближените изчисления
Показахме, че диференциалът dyфункции y=f(x), най-общо казано, не е равно на нарастването Δyтази функция. Въпреки това, до безкрайно малка функция от по-висок порядък на малкост от Δx, приблизителното равенство е валидно
Δy ≈ dy.
Съотношението се нарича относителна грешка на равенството на това равенство. защото Δy-dy=o(Δx), тогава относителната грешка на това равенство става толкова малка, колкото желаете, с намаляване |Δх|.
Като се има предвид това Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, получаваме f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxили
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Това приблизително равенство позволява с грешка o(Δx)функция за замяна f(x)в малък квартал на точката х(т.е. за малки стойности Δx) линейна функция на аргумента Δx, стоящ от дясната страна.
Производни от по-висок порядък
Определение. Втора производна (или производна от втори ред) на функция y=f(x)се нарича производна на нейната първа производна.
Нотация за втората производна на функция y=f(x):
Механично значение на втората производна. Ако функцията y=f(x)описва закона за движение на материална точка по права линия, след това втората производна f″(x)равно на ускорението на движеща се точка в момента х.
Третата и четвъртата производни се определят по подобен начин.
Определение. нта производна (или производна н-ти ред) функции y=f(x)се нарича нейна производна n-1та производна:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Обозначения: y″′, y IV, y Vи т.н.
Намерете израз за производната на експоненциалната функция \(y = (e^x)\), като използвате определението за производна.
Решение.
Първоначалните стъпки са стандартни: първо записваме нарастването на функцията \(\Delta y\), съответстващо на нарастването на аргумента \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left(( x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^( \Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Производната се изчислява като границата на съотношението на нарастванията: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Функцията \(y = (e^x)\) в числителя не зависи от Δ хи може да бъде взето отвъд знака за ограничение. Тогава производната приема следната форма: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ граници_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Нека означим получената граница с \(L\) и изчислете го отделно. Обърнете внимание между другото, че \((e^0) = 1\) и следователно можем да запишем \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^ (\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0 )))((\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] тоест тази граница представлява стойността на производната на експоненциалната функция при нула. Следователно \ Получихме връзка, в която желаната производна се изразява чрез самата функция \(y = (e^x)\) и нейната производна в точката \(x = 0\). Нека докажем, че \ За да направим това, припомнете си, че числото \(e\) е дефинирано под формата на безкрайна граница като \ и числото \(e\) на степен \(\Delta x\) ще, съответно , е равно на \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right) ^n).\] След това прилагаме известната формула Бином на Нютон и разгънете израза под знака за ограничение биномен ред: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] Тук \((C_n^k)\) обозначава броя на комбинациите от \(n\) елементи с \( k\ ). В европейските и американските учебници броят на комбинациите се обозначава като \ Нека се върнем към нашата граница \(L\), която вече може да бъде записана в следната форма: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0 ) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \ left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k) ) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] За нас е удобно да изолираме първите два члена в биномния ред: за \(k = 0\) и \(k = 1 \). В резултат на това получаваме \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0 )^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x) )(n )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n ) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1 ))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\ граници_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n ( C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \ right)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right].) \] Очевидно сумата на редицата клони към нула като \(\Delta x \до 0\) . Следователно \(L = 1\). Това означава, че производната на експоненциалната функция \(y = (e^x)\) е равна на самата функция: \
При решаването на различни проблеми на геометрията, механиката, физиката и други клонове на знанието възникна необходимостта от използването на същия аналитичен процес от тази функция y=f(x)извика нова функция производна функция(или просто производна) на дадена функция f(x)и се обозначава със символа
Процесът, чрез който от дадена функция f(x)вземете нова функция f" (x), Наречен диференциацияи се състои от следните три стъпки: 1) дайте аргумента хнарастване
хи определя съответното увеличение на функцията
y = f(x+
x) -f(x); 2) създавам връзка 
3) броене хпостоянно и
х0, намираме 
, което означаваме с f" (x), сякаш подчертавайки, че получената функция зависи само от стойността х, при което отиваме до границата. Определение:
Производна y " =f " (x)
дадена функция y=f(x)
за дадено xсе нарича граница на съотношението на нарастването на функция към увеличението на аргумента, при условие че увеличението на аргумента клони към нула, ако, разбира се, тази граница съществува, т.е. краен. По този начин, 
, или 
Имайте предвид, че ако за някаква стойност х, например когато х=а, поведение 
при
х0 не клони към крайната граница, тогава в този случай казват, че функцията f(x)при х=а(или в точката х=а) няма производна или не е диференцируема в точката х=а.
2. Геометричен смисъл на производната.
Разгледайте графиката на функцията y = f (x), диференцируема в близост до точката x 0
f(x)
Нека разгледаме произволна права линия, минаваща през точка от графиката на функция - точка A(x 0, f (x 0)) и пресичаща графиката в някаква точка B(x;f(x)). Такава права (АВ) се нарича секанс. От ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Тъй като AC || Ox, тогава ALO = BAC = β (както съответства на паралела). Но ALO е ъгълът на наклона на секанса AB към положителната посока на оста Ox. Това означава, че tanβ = k е наклонът на правата линия AB.
Сега ще намалим ∆х, т.е. ∆х→ 0. В този случай точка B ще се доближи до точка A според графиката, а секущата AB ще се завърти. Пределната позиция на секанса AB при ∆x→ 0 ще бъде права линия (a), наречена допирателна към графиката на функцията y = f (x) в точка A.
Ако отидем до границата като ∆x → 0 в равенството tgβ =∆y/∆x, получаваме 
ortg =f "(x 0), тъй като 
-ъгъл на наклона на допирателната към положителната посока на оста Ox 
, по дефиниция на производна. Но tg = k е ъгловият коефициент на тангентата, което означава k = tg = f "(x 0).
И така, геометричното значение на производната е следното:
Производна на функция в точка x 0 равен на наклона на допирателната към графиката на функцията, начертана в точката с абсцисата x 0 .
3. Физическо значение на производната.
Помислете за движението на точка по права линия. Нека е дадена координатата на точка по всяко време x(t). Известно е (от курс по физика), че средната скорост за период от време е равна на отношението на изминатото разстояние за този период от време към времето, т.е.
Vav = ∆x/∆t. Нека отидем до границата в последното равенство като ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - моментна скорост в момент t 0, ∆t → 0.
и lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по дефиниция на производна).
И така, (t) =x"(t).
Физическото значение на производната е следното: производна на функциятаг = f(х) в точках 0 е скоростта на промяна на функциятаf(x) в точках 0
Производната се използва във физиката за намиране на скорост от известна функция на координатите спрямо времето, ускорение от известна функция на скоростта спрямо времето.
(t) = x"(t) - скорост,
a(f) = "(t) - ускорение, или
Ако е известен законът за движение на материална точка в кръг, тогава може да се намери ъгловата скорост и ъгловото ускорение по време на въртеливо движение:
φ = φ(t) - промяна на ъгъла във времето,
ω = φ"(t) - ъглова скорост,
ε = φ"(t) - ъглово ускорение, или ε = φ"(t).
Ако е известен законът за разпределение на масата на нехомогенен прът, тогава може да се намери линейната плътност на нехомогенния прът:
m = m(x) - маса,
x , l - дължина на пръта,
p = m"(x) - линейна плътност.
С помощта на производната се решават задачи от теорията на еластичността и хармоничните вибрации. И така, според закона на Хук
F = -kx, x – променлива координата, k – коефициент на еластичност на пружината. Поставяйки ω 2 =k/m, получаваме диференциалното уравнение на пружинното махало x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
където ω = √k/√m честота на трептене (l/c), k - коравина на пружината (H/m).
Уравнение под формата y" + ω 2 y = 0 се нарича уравнение на хармоничните трептения (механични, електрически, електромагнитни). Решението на такива уравнения е функцията
y = Asin(ωt + φ 0) или y = Acos(ωt + φ 0), където
A - амплитуда на трептенията, ω - циклична честота,
φ 0 - начална фаза.
Решаването на физически задачи или примери по математика е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физично и геометрично значение, как се изчислява производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?
Геометрично и физическо значение на производната
Нека има функция f(x) , посочени в определен интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разликата в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата между стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производна:
Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.
Иначе може да се напише така:
Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е:
производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.
Физическо значение на производната: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.
Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време T . Средна скорост за определен период от време:
За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:
Правило едно: задайте константа
Константата може да бъде извадена от знака за производна. Освен това това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете го за правило - Ако можете да опростите израз, не забравяйте да го опростите .
Пример. Нека изчислим производната:
Второ правило: производна на сумата от функции
Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.
Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.
Намерете производната на функцията:
Трето правило: производна на произведението на функциите
Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:
Пример: намерете производната на функция:
Решение: 
Тук е важно да говорим за изчисляване на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.
В горния пример срещаме израза:
В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.
Четвърто правило: производна на частното на две функции
Формула за определяне на производната на частното на две функции:
Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.
С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния тест и да разберете задачите, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.
Много лесен за запомняне.
Е, нека не отиваме далеч, нека веднага разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциалната функция? Логаритъм:
В нашия случай основата е числото:
Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.
На какво е равно? Разбира се, .
Производната на естествения логаритъм също е много проста:
Примери:
- Намерете производната на функцията.
- Каква е производната на функцията?
Отговори: Експоненциалният и естественият логаритъм са уникално прости функции от производна гледна точка. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.
Правила за диференциране
Правила на какво? Пак нов мандат, пак?!...
Диференциацияе процесът на намиране на производната.
Това е всичко. Как иначе можете да наречете този процес с една дума? Не производна... Математиците наричат диференциала същото нарастване на функция при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. Тук.
Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:
Има общо 5 правила.
Константата се изважда от знака за производна.
Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.
Очевидно това правило работи и за разликата: .
Нека го докажем. Нека бъде или по-просто.
Примери.
Намерете производните на функциите:
- в точка;
- в точка;
- в точка;
- в точката.
Решения:
- (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните ли?);
Производно на продукта
Тук всичко е подобно: нека въведем нова функция и да намерим нейното увеличение:
Производна:
Примери:
- Намерете производните на функциите и;
- Намерете производната на функцията в точка.
Решения:
Производна на експоненциална функция
Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на експоненти (забравили ли сте вече какво е това?).
И така, къде е някакво число.
Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да намалим нашата функция до нова основа:
За целта ще използваме едно просто правило: . Тогава:
Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.
Се случи?
Ето, проверете сами:
Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, остава същата, само се появи фактор, който е просто число, но не и променлива.
Примери:
Намерете производните на функциите:
Отговори:
Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се запише в по-прост вид. Затова го оставяме в този вид в отговора.
Имайте предвид, че тук е частното на две функции, така че прилагаме съответното правило за диференциране:
В този пример продуктът на две функции:
Производна на логаритмична функция
Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:
Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:
Трябва да намалим този логаритъм до основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:
Само сега вместо това ще напишем:
Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната се получава много просто:
Производни на експоненциални и логаритмични функции почти никога не се срещат в Единния държавен изпит, но няма да е излишно да ги знаете.
Производна на сложна функция.
Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако намирате логаритъма за труден, прочетете темата „Логаритми“ и ще се оправите), но от математическа гледна точка думата „комплексен“ не означава „труден“.
Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадово блокче в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Резултатът е съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.
Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число и след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, получаваме число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). Какво стана? функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с това, което е резултат от първото.
С други думи, сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .
За нашия пример,.
Можем лесно да направим същите стъпки в обратен ред: първо го повдигате на квадрат, а аз след това търся косинуса на полученото число: . Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.
Втори пример: (същото нещо). .
Действието, което извършваме последно, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие - съотв "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).
Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:
Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция
- Какво действие ще извършим първо? Първо, нека изчислим синуса и едва след това го кубираме. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
И първоначалната функция е тяхната композиция: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Променяме променливи и получаваме функция.
Е, сега ще извлечем нашето шоколадово блокче и ще потърсим производната. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. Във връзка с оригиналния пример изглежда така:
Друг пример:
И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:
Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:
Изглежда просто, нали?
Нека проверим с примери:
Решения:
1) Вътрешен: ;
Външен: ;
2) Вътрешен: ;
(Само не се опитвайте да го отрежете досега! Нищо не излиза изпод косинуса, помните ли?)
3) Вътрешен: ;
Външен: ;
Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние също извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставете шоколада в обвивка и с панделка в куфарчето). Но няма причина да се страхувате: ние все пак ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.
Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.
В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:
Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията е същата като преди:
Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.
1. Радикален израз. .
2. Корен. .
3. Синус. .
4. Квадрат. .
5. Събираме всичко заедно:
ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
Производна на функция- отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента:
Основни производни:
Правила за диференциация:
Константата се изважда от знака за производна:
Производна на сумата:
Производно на продукта:
Производна на коефициента:
Производна на сложна функция:
Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:
- Дефинираме „вътрешната“ функция и намираме нейната производна.
- Дефинираме „външната“ функция и намираме нейната производна.
- Умножаваме резултатите от първа и втора точка.
