Нека се спрем по-подробно на работата на Остроградски върху множество интеграли.
Формулата на Остроградски за превръщане на троен интеграл в двоен, която обикновено записваме във формата
където div A е дивергенцията на полето на вектор A,
Аn е скаларното произведение на вектора A и единичния вектор на външната нормала n на граничната повърхност; в математическата литература често се свързва с имената на Гаус и Грийн.
Всъщност в работата на Гаус върху привличането на сфероиди могат да се видят само много специални случаи на формула (1), например с P=x, Q=R=0 и т.н. Що се отнася до J. Green, в неговата работа върху теорията на електричеството и във формула (1) изобщо няма магнетизъм; той извежда друга връзка между тройни и двойни интеграли, а именно формулата на Грийн за оператора на Лаплас, която може да бъде записана във формата
Разбира се, можем да извлечем формула (1) от (2), като приемем
и по същия начин е възможно да се получи формула (2) от формула (1), но Грийн не се сети да направи това.
където отляво е интегралът върху обема, а отдясно е интегралът върху граничната повърхност и това са насочващите косинуси на външната нормала.
Парижките ръкописи на Остроградски свидетелстват с пълна сигурност, че както откритието, така и първото съобщение на интегралната теорема (1) принадлежат на него. За първи път е заявено и доказано, точно както правят сега, в „Доказателство за теорема на интегралното смятане“, представено на Парижката академия на науките на 13 февруари 1826 г., след което е формулирано отново в тази част на „Мемоарът за дифузията на топлината в твърди тела.“, който Остроградски представя на 6 август 1827 г. „Мемоарът“ е даден за преглед на Фурие и Поасон и последният със сигурност го е прочел, както се вижда от записа на първия страници от двете части на ръкописа. Разбира се, идеята да припише на себе си теоремата, с която се запознава в работата на Остроградски две години преди да представи работата си по теорията на еластичността, дори не хрумва на Поасон.
Що се отнася до връзката между работите върху множествените интеграли на Остроградски и Грийн, припомняме, че в „Бележка за теорията на топлината“ е изведена формула, която обхваща собствената формула на Грийн като много специален случай. Вече необичайната символика на Коши, използвана от Остроградски в „Записката“, доскоро криеше това важно откритие от изследователите. Разбира се, Грийн запазва честта на откриването и първото публикуване през 1828 г. на формулата за операторите на Лаплас, която носи неговото име.
Откриването на формула за преобразуване на троен интеграл в двоен интеграл помогна на Остроградски да реши проблема с промяната на n-кратен интеграл, а именно да изведе общата формула за преобразуване на интеграла от израз на типа дивергенция върху n- размерна област и интеграл върху суперповърхността S, ограничаваща я с уравнението L(x,y, z,…)=0. Ако се придържаме към предишната нотация, тогава формулата има формата
Но Остроградски не е използвал геометричните образи и термини, които ние използваме: геометрията на многомерните пространства все още не е съществувала по това време.
В „Мемоари върху вариационното смятане на множество интеграли“ се разглеждат още два важни въпроса в теорията на такива интеграли. Първо, Остроградски извежда формула за промяна на променливи в многомерен интеграл; второ, за първи път той дава пълно и точно описание на метода за изчисляване на n-кратен интеграл, използвайки n последователни интеграции върху всяка от променливите в съответните граници. И накрая, от формулите, съдържащи се в този мемоар, лесно се извежда общото правило за диференциране по отношение на параметъра на многомерен интеграл, когато не само функцията интегранд, но и границата на интегралната област зависи от този параметър. Посоченото правило следва от формулите в мемоара по толкова естествен начин, че по-късните математици дори го идентифицират с една от формулите на този мемоар.
Остроградски посвети специална работа на промяната на променливите в множество интеграли. За двойния интеграл Ойлер извежда съответното правило с помощта на формални трансформации; за тройния интеграл го извежда Лагранж. Въпреки това, въпреки че резултатът на Лагранж е правилен, разсъжденията му не бяха точни: той сякаш изхождаше от факта, че елементите на обемите в старите и новите променливи - координатите - са равни един на друг. Остроградски допусна подобна грешка в началото при току-що споменатото извеждане на правилото за замяна на променливи. В статията „За преобразуването на променливи в множество интеграли” Остроградски разкрива грешката на Лагранж и също така за първи път очерта този визуален геометричен метод за преобразуване на променливи в двоен интеграл, който в малко по-строга форма също е представен в нашите ръководства. А именно, когато се заместват променливи в интеграла с помощта на формули, областта на интегриране се разделя от координатните линии на две системи u=const, v=const на безкрайно малки криволинейни четириъгълници. Тогава интегралът може да се получи, като първо се съберат онези негови елементи, които съответстват на безкрайно тясна извита ивица, и след това продължи да се сумират елементите в ивици, докато не бъдат изчерпани всички. Едно просто изчисление дава за площта, която до малки от по-висок порядък може да се разглежда като успоредник, изразът където е избран така, че площта да е положителна. Резултатът е добре познатата формула
Министерство на образованието и науката на Руската федерация
Курсова работа
Дисциплина: Висша математика
(Основи на линейното програмиране)
По темата: МНОГОКРАТНИ ИНТЕГРАЛИ
Завършено от: ______________
Учител:___________
Дата ___________________
Степен _________________
Подпис ________________
ВОРОНЕЖ 2008г
1 Множество интеграли
1.1 Двоен интеграл
1.2 Троен интеграл
1.3 Многократни интеграли в криволинейни координати
1.4 Геометрични и физически приложения на множество интеграли
2 Криволинейни и повърхностни интеграли
2.1 Криволинейни интеграли
2.2 Повърхностни интеграли
2.3 Геометрични и физически приложения
Библиография
1 Множество интеграли
1.1 Двоен интеграл
Нека разгледаме затворена област D в равнината Oxy, ограничена от права L. Нека разделим тази област на n части с няколко прави
, а съответните най-големи разстояния между точки във всяка от тези части ще бъдат означени с d 1, d 2, ..., d n. Нека изберем точка P i във всяка част.Нека функция z = f(x, y) е дадена в област D. Нека обозначим с f(P 1), f(P 2),…, f(P n) стойностите на тази функция в избрани точки и съставим сума от продуктите под формата f(P i)ΔS i:
, (1)
наречена интегрална сума за функцията f(x, y) в областта D.
Ако има същата граница на интегралните суми (1) за
и , което не зависи нито от метода за разделяне на областта D на части, нито от избора на точките Pi в тях, тогава се нарича двоен интеграл на функцията f(x, y) върху областта D и се означава
. (2)
Изчисляване на двойния интеграл върху областта D, ограничена с линии
x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
= 
(3)
1.2 Троен интеграл
Понятието троен интеграл се въвежда по аналогия с двойния интеграл.
Нека в пространството е дадена определена област V, ограничена от затворена повърхност S. Нека дефинираме непрекъсната функция f(x, y, z) в тази затворена област. След това разделяме областта V на произволни части Δv i, като разглеждаме обема на всяка част, равен на Δv i, и съставяме интегрална сума от формата
, (4)Ограничение при
интегрални суми (11), независимо от метода на разделяне на домейна V и избора на точки Pi във всяка подобласт на този домейн, се нарича троен интеграл на функцията f(x, y, z) върху домейна V:
. (5)
Тройният интеграл на функцията f(x,y,z) върху областта V е равен на тройния интеграл върху същата област:
. (6)
1.3 Многократни интеграли в криволинейни координати
Нека въведем криволинейни координати на равнината, наречени полярни. Нека изберем точка O (полюс) и лъча, излизащ от нея (полярна ос).
Ориз. 2 Фиг. 3
Координатите на точка M (фиг. 2) ще бъдат дължината на отсечката MO - полярният радиус ρ и ъгълът φ между MO и полярната ос: M(ρ,φ). Обърнете внимание, че за всички точки на равнината, с изключение на полюса, ρ > 0 и полярният ъгъл φ ще се считат за положителни, когато се измерват в посока, обратна на часовниковата стрелка, и за отрицателни, когато се измерват в обратна посока.
Връзката между полярните и декартовите координати на точка M може да бъде зададена чрез подравняване на началото на декартовата координатна система с полюса и положителната полуос Ox с полярната ос (фиг. 3). Тогава x=ρcosφ, y=ρsinφ. Оттук
, tg. Нека дефинираме в областта D, ограничена от кривите ρ=Φ 1 (φ) и ρ=Φ 2 (φ), където φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
(7)
В тримерното пространство се въвеждат цилиндрични и сферични координати.
Цилиндричните координати на точката P(ρ,φ,z) са полярните координати ρ, φ на проекцията на тази точка върху равнината Oxy и апликацията на тази точка z (фиг. 5).
Фиг.5 Фиг.6
Формулите за преход от цилиндрични към декартови координати могат да бъдат определени, както следва:
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)
В сферичните координати позицията на точка в пространството се определя от линейната координата r - разстоянието от точката до началото на декартовата координатна система (или полюса на сферичната система), φ - полярният ъгъл между положителния полуос Ox и проекцията на точката върху равнината Ox, а θ - ъгълът между положителната полуос на оста Oz и отсечката OP (фиг. 6). При което
Нека зададем формулите за преход от сферични към декартови координати:
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)
Тогава формулите за преход към цилиндрични или сферични координати в тройния интеграл ще изглеждат така:
, (10)
където F 1 и F 2 са функции, получени чрез заместване на техните изрази чрез цилиндрични (8) или сферични (9) координати във функцията f вместо x, y, z.
1.4 Геометрични и физически приложения на множество интеграли
1) Площ на плоската област S:
(11)Пример 1.
Намерете площта на фигура D, ограничена от линии
Удобно е да се изчисли тази площ, като се брои y като външна променлива. Тогава границите на региона се дават от уравненията
И 
изчислено чрез интегриране по части: 
Преди това доказахме свойствата на определен интеграл, използвайки неговата дефиниция като граница на сумите. Основните свойства на множество интеграли могат да бъдат доказани по абсолютно същия начин. За простота ще считаме всички функции за непрекъснати, така че интегралите от тях със сигурност имат смисъл.
I. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак, а интегралът на крайната сума от функции е равен на сумата от интегралите на членовете:
II. Ако една област се разложи на краен брой части [например на две части, тогава интегралът върху цялата област е равен на сумата от интегралите върху всички части:
III. Ако в района, тогава
В частност :
IV. Ако знакът в област (a) е запазен, тогава е валидна теоремата за средната стойност, изразена с формулата
където е някаква точка, разположена вътре в областта (a).
По-специално, когато получим
къде е площта на региона.
Подобни свойства важат и за тройния интеграл. Обърнете внимание, че когато се дефинира двоен и троен интеграл като граница на сума, винаги се приема, че областта на интегриране е крайна и функцията интегранд във всеки случай е ограничена, тоест има положително число A, такова че изобщо точки N от региона на интеграция. Ако тези условия не са изпълнени, тогава интегралът може да съществува като неправилен интеграл по същия начин, както беше случаят с прост определен интеграл. Ще се занимаваме с неправилни кратни интеграли в §8.
Внимание: Когато изчислявате неправилни интеграли с особени точки вътре в интервала на интегриране, не можете механично да приложите формулата на Нютон–Лайбниц, тъй като това може да доведе до грешки.
Общо правило:Формулата на Нютон–Лайбниц е правилна, ако първоизводната на f(x)в сингулярната точка на последния е непрекъснат.
Пример 2.11.
Нека разгледаме неправилен интеграл с особена точка x = 0. Формулата на Нютон–Лайбниц, приложена формално, дава
Тук обаче общото правило не важи; за f(x) = 1/x първоизводната ln |x| не е дефиниран при x = 0 и е безкрайно голям в тази точка, т.е. не е непрекъснат в този момент. Лесно е да се провери чрез директна проверка, че интегралът се разминава. Наистина ли,
Получената несигурност може да бъде разкрита по различни начини, тъй като e и d клонят към нула независимо. По-специално, задавайки e = d, получаваме главната стойност на неправилния интеграл, равна на 0. Ако e = 1/n и d =1/n 2, т.е. d клони към 0 по-бързо от e, тогава получаваме
кога и обратно,
тези. интегралът се разминава.н
Пример 2.12.
Нека разгледаме неправилен интеграл с особена точка x = 0. Първопроизводната на функцията има формата и е непрекъсната в точката x = 0. Следователно можем да приложим формулата на Нютон–Лайбниц:
Естествено обобщение на концепцията за определен интеграл на Риман за случая на функция на няколко променливи е концепцията за кратен интеграл. За случая на две променливи такива интеграли се наричат двойно.
Разгледайте в двумерно евклидово пространство R´R, т.е. на равнина с декартова координатна система, множество дкрайна зона С.
Нека означим с ( аз = 1, …, к) задайте дял д, т.е. такава система от нейните подгрупи д i, i = 1,. . ., к, че Ø за i ¹ j и (фиг. 2.5). Тук обозначаваме подмножеството д i без неговата граница, т.е. вътрешни точки на подмножеството E i , които заедно с границата си Gr Eобразувам затворено подмножество даз, . Ясно е, че района С(д i) подмножества д i съвпада с площта на нейната вътрешност, тъй като площта на границата GrE i е равно на нула.
Нека d(E i) означава зададен диаметър E i, т.е. максималното разстояние между две негови точки. Ще се извика величината l(t) = d(E i). финост на дяла T. Ако функцията f(x),x = (x, y), е дефинирана върху E като функция от два аргумента, тогава всяка сума от формата
X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),
в зависимост както от функцията f и дяла t, така и от избора на точки x i О E i М t, се нарича интегрална сума на функцията f .
Ако за функция f съществува стойност, която не зависи нито от дяловете t, нито от избора на точки (i = 1, ..., k), тогава тази граница се нарича двоен риманов интегралот f(x,y) и се обозначава
В този случай се извиква самата функция f Интегрируем на Риман.
Спомнете си, че в случай на функция с един аргумент като набор двърху който се извършва интегрирането, обикновено се взема сегментът , а неговият дял t се счита за дял, състоящ се от сегменти. В други отношения, както е лесно да се види, дефиницията на двойния интеграл на Риман повтаря дефиницията на дефинирания интеграл на Риман за функция от един аргумент.
Двойният интеграл на Риман от ограничени функции на две променливи има обичайните свойства на определен интеграл за функции от един аргумент – линейност, адитивностпо отношение на наборите, върху които се извършва интегриране, запазванепри интегриране нестроги неравенства, интегрируемост на продуктаинтегрирани функции и др.
Изчисляването на множество интеграли на Риман се свежда до изчислението итерирани интеграли. Нека разгледаме случая на двойния интеграл на Риман. Нека функцията f(x,y)е определено върху множеството E, лежащо в декартовото произведение на множествата X ´ Y, E М X ´ Y.
Чрез повторен интегрална функцията f(x, y) се нарича интеграл, в който интегрирането се извършва последователно върху различни променливи, т.е. интеграл на формата
Задайте E(y) = (x:
За итерирания интеграл се използва и следната нотация:
което, подобно на предишното, означава, че първо, за фиксирана y, y О E y ,функцията е интегрирана f(x, y)от хпо сегмента д(г), което е част от комплекта дсъответстващи на това г.В резултат на това вътрешният интеграл дефинира някаква функция на една променлива - г.След това тази функция се интегрира като функция на една променлива, както е посочено от външния интегрален символ.
При промяна на реда на интегриране получаваме повторен интеграл на формата
където се извършва вътрешна интеграция y,и външни - от х.Как този повторен интеграл е свързан с повторения интеграл, дефиниран по-горе?
Ако има двоен интеграл на функцията f, т.е.
тогава и двата повтарящи се интеграла съществуват и те са еднакви по големина и равни на двойно, т.е.
Подчертаваме, че формулираното в това твърдение условие за възможността за промяна на реда на интегриране в итерирани интеграли е само достатъчно, но не е необходимо.
Други достатъчни условиявъзможностите за промяна на реда на интегриране в итерирани интеграли са формулирани по следния начин:
ако поне един от интегралите съществува
след това функцията f(x, y)Риман интегрируем на множеството д, двата повторни интеграла от него съществуват и са равни на двойния интеграл. н
Нека уточним обозначението на проекциите и сеченията в обозначението на итерираните интеграли.
Ако множеството E е правоъгълник
Че E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d);при което E(y) = E x за всяко y, y О E y . ,А E(x) = Eyза всяко x , x О E x ..
Официално вписване: " y y О E yÞ E(y) = ПрÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey
Ако множеството E има извита границаи позволява представителства
В този случай повтарящите се интеграли се записват, както следва:
Пример 2.13.
Изчислете двойния интеграл върху правоъгълна област, намалявайки го до итеративен.
Тъй като условието sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, след което проверка на изпълнимостта на достатъчни условия за съществуването на двойния интеграл I под формата на съществуването на който и да е от повтарящите се интеграли
няма нужда да извършвате това специално и можете веднага да преминете към изчисляване на повтарящия се интеграл
Ако съществува, тогава двойният интеграл също съществува и I = I 1 . Тъй като
Така че аз = .n
Пример 2.14.
Изчислете двойния интеграл върху триъгълната област (вижте фиг. 2.6), като го намалите до повторен
Gr(E) = (
Първо, нека проверим съществуването на двойния интеграл I. За да направим това, достатъчно е да проверим съществуването на повтарящия се интеграл
тези. интегрантите са непрекъснати на интервалите на интегриране, тъй като всички те са степенни функции. Следователно интегралът I 1 съществува. В този случай двойният интеграл също съществува и е равен на всеки повторен, т.е.
Пример 2.15.
За да разберете по-добре връзката между концепциите за двойни и итерирани интеграли, разгледайте следния пример, който може да бъде пропуснат при първо четене. Дадена е функция на две променливи f(x, y).
Забележете, че за фиксирано x тази функция е нечетна по y, а за фиксирано y е нечетна по x. Като множество E, върху което е интегрирана тази функция, вземаме квадрата E = (
Първо разглеждаме повторния интеграл
Вътрешен интеграл
се взема за фиксирано y, -1 £ y £ 1. Тъй като интегралната функция за фиксирано y е нечетно по x и интегрирането върху тази променлива се извършва върху сегмента [-1, 1], симетричен по отношение на точка 0, тогава вътрешният интеграл е равен на 0. Очевидно е, че външният интеграл върху променливата y на нулевата функция също е равен на 0, т.е.
Подобно разсъждение за втория повторен интеграл води до същия резултат:
И така, за разглежданата функция f(x, y) съществуват повтарящи се интеграли, които са равни един на друг. Въпреки това, няма двоен интеграл на функцията f(x, y). За да видим това, нека се обърнем към геометричния смисъл на изчисляването на повтарящи се интеграли.
За изчисляване на итерирания интеграл
използва се специален вид разделяне на квадрата E, както и специално изчисляване на интегрални суми. А именно, квадрат Е е разделен на хоризонтални ивици (виж Фиг. 2.7), а всяка лента е разделена на малки правоъгълници. Всяка лента съответства на определена стойност на променливата y; например, това може да бъде ординатата на хоризонталната ос на лентата.
Изчисляването на интегралните суми се извършва, както следва: първо, сумите се изчисляват за всяка лента поотделно, т.е. при фиксирано y за различно x и след това тези междинни суми се сумират за различни ленти, т.е. за различни y. Ако фиността на дяла клони към нула, тогава в границата получаваме гореспоменатия повторен интеграл.
Ясно е, че за втория повторен интеграл
множеството E е разделено на вертикални ивици, съответстващи на различни x. Междинните суми се изчисляват във всеки диапазон в малки правоъгълници, т.е. по y, а след това се сумират за различни ленти, т.е. от x. В границата, когато фиността на дяла клони към нула, получаваме съответния повторен интеграл.
За да се докаже, че двоен интеграл не съществува, е достатъчно да се даде един пример за дял, изчисляването на интегралните суми, за които, в границата, когато фиността на дяла клони към нула, дава резултат, различен от стойността на повтарящите се интеграли. Нека дадем пример за такова разделение, съответстващо на полярната координатна система (r, j) (виж фиг. 2.8).
В полярната координатна система позицията на всяка точка от равнината M 0 (x 0 , y 0), където x 0 , y 0 са декартовите координати на точката M 0, се определя от дължината r 0 на радиуса свързвайки го с началото и ъгъла j 0, образуван от този радиус с положителна посока на оста x (ъгълът се брои обратно на часовниковата стрелка). Връзката между декартовите и полярните координати е очевидна:
y 0 = r 0 × sinj 0 .
| |
Преградата е изградена по следния начин. Първо, квадрат Е е разделен на сектори с радиуси, излизащи от центъра на координатите, а след това всеки сектор е разделен на малки трапеци с линии, перпендикулярни на оста на сектора. Изчисляването на интегралните суми се извършва, както следва: първо по малките трапеци във всеки сектор по неговата ос (по r), а след това по всички сектори (по j). Позицията на всеки сектор се характеризира с ъгъла на неговата ос j, а дължината на оста r(j) зависи от този ъгъл:
ако или , тогава ;
ако , тогава ;
ако , тогава
ако , тогава .
Преминавайки към границата на интегралните суми на полярно разпределение, когато фиността на разпределението клони към нула, получаваме представяне на двойния интеграл в полярни координати. Такава нотация може да се получи по чисто формален начин, като се заменят декартовите координати (x, y) с полярни (r, j).
Според правилата за преход в интегралите от декартови към полярни координати трябва да се напише по дефиниция:
В полярни координати функцията f(x, y) ще бъде записана по следния начин:
Най-накрая имаме
Вътрешен интеграл (неправилен) в последната формула
където функцията r(j) е посочена по-горе, 0 £ j £ 2p, е равна на +¥ за всяко j, защото
Следователно интегралната функция във външния интеграл, оценен върху j, не е дефинирана за нито едно j. Но тогава самият външен интеграл не е дефиниран, т.е. оригиналният двоен интеграл не е дефиниран.
Забележете, че функцията f(x, y) не удовлетворява достатъчното условие за съществуването на двоен интеграл върху множеството E. Нека покажем, че интегралът
не съществува. Наистина ли,
По същия начин, същият резултат се установява за интеграла
Концепцията за двоен интеграл
Двойният интеграл (DI) е обобщение на определен интеграл (DI) на функция на една променлива за случая на функция на две променливи.
Нека непрекъсната неотрицателна функция $z=f\left(x,y\right)$ е дефинирана в затворена област $D$, разположена в координатната равнина $xOy$. Функцията $z=f\left(x,y\right)$ описва определена повърхност, която се проектира в областта $D$. Областта $D$ е ограничена от затворена линия $L$, чиито гранични точки също принадлежат на областта $D$. Приемаме, че линията $L$ е образувана от краен брой непрекъснати криви, определени от уравнения от вида $y=\vartheta \left(x\right)$ или $x=\psi \left(y\right)$ .
Нека разделим областта $D$ на $n$ произволни участъци от площ $\Delta S_(i) $. Във всяка от секциите избираме по една произволна точка $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Във всяка от тези точки изчисляваме стойността на дадената функция $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Нека разгледаме обема под тази част от повърхността $z=f\left(x,y\right)$, която е проектирана в областта $\Delta S_(i) $. Геометрично този обем може да бъде приблизително представен като обем на цилиндър с основа $\Delta S_(i) $ и височина $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$ , тоест равно на произведението $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Тогава обемът под цялата повърхност $z=f\left(x,y\right)$ в областта $D$ може да бъде приблизително изчислен като сбор от обемите на всички цилиндри $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Тази сума се нарича интегрална сума за функцията $f\left(x,y\right)$ в областта $D$.
Нека наречем диаметъра $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ на сечение $\Delta S_(i) $ най-голямото разстояние между крайните точки на това сечение. Нека $\lambda $ означава най-големия от диаметрите на всички сечения от областта $D$. Нека $\lambda \to 0$ поради неограничено $n\to \infty $ прецизиране на разделянето на домейна $D$.
Определение
Ако има граница на интегралната сума $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $, тогава това число се нарича CI на функцията $f\left(x,y\ дясно)$ върху домейна $D $ и означава $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ или $I=\iint \limits _(D)f\ ляво(x,y\дясно) \cdot dx\cdot dy $.
В този случай областта $D$ се нарича област на интегриране, $x$ и $y$ са интеграционните променливи, а $dS=dx\cdot dy$ е елементът площ.
От определението следва геометричното значение на DI: то дава точната стойност на обема на определен криволинеен цилиндър.
Приложение на двойни интеграли
Обем на тялото
В съответствие с геометричния смисъл на DI, обемът $V$ на някакво тяло, ограничено отгоре от повърхността $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, отдолу от областта $D$ на равнината $xOy$, отстрани с цилиндрична повърхност, чиито образуващи са успоредни на оста $Oz$, а водач е контурът на областта $D$ (линия $L$), се изчислява по формулата $ V=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Нека тялото ограничава повърхността $z=f_(2) \left(x,y\right)$ отгоре и повърхността $z=f_(1) \left(x,y\right)$ отдолу, и $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. Проекцията на двете повърхности върху равнината $xOy$ е една и съща област $D$. Тогава обемът на такова тяло се изчислява по формулата $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.
Да предположим, че в областта $D$ функцията $f\left(x,y\right)$ променя знака. След това, за да се изчисли обемът на съответното тяло, областта $D$ трябва да бъде разделена на две части: част $D_(1) $, където $f\left(x,y\right)\ge 0$, и част $D_(2) $, където $f\left(x,y\right)\le 0$. В този случай интегралът върху областта $D_(1) $ ще бъде положителен и равен на обема на тази част от тялото, която лежи над равнината $xOy$. Интегралът върху областта $D_(2) $ ще бъде отрицателен и по абсолютна стойност равен на обема на тази част от тялото, която лежи под равнината $xOy$.
Площ на плоска фигура
Ако поставим $f\left(x,y\right)\equiv 1$ навсякъде в региона $D$ на координатната равнина $xOy$, тогава CI е числено равен на площта на интеграционния регион $D $, тоест $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. В полярната координатна система същата формула приема формата $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.
Площ на произволна повърхност
Нека някаква повърхност $Q$, дадена от уравнението $z=f_(1) \left(x,y\right)$, се проектира върху координатната равнина $xOy$ в областта $D_(1)$. В този случай площта на повърхността $Q$ може да се изчисли по формулата $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.
Количество вещество
Да приемем, че в областта $D$ някакво вещество с повърхностна плътност $\rho \left(x,y\right)$ е разпределено в равнината $xOy$. Това означава, че повърхностната плътност $\rho \left(x,y\right)$ е масата на материята на елементарна площ $dx\cdot dy$ на $D$ областта. При тези условия общата маса на веществото може да се изчисли по формулата $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Имайте предвид, че „субстанцията“ може да бъде електрически заряд, топлина и т.н.
Координати на центъра на масата на плоска фигура
Формулите за изчисляване на координатните стойности на центъра на масата на плоска фигура са както следва: $ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x ,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.
Величините в числителите се наричат статични моменти $M_(y) $ и $M_(x) $ на равнинната фигура $D$ съответно спрямо осите $Oy$ и $Ox$.
Ако плоската фигура е хомогенна, т.е. $\rho =const$, тогава тези формули са опростени и се изразяват не чрез масата, а чрез площта на плоската фигура $S$: $x_(c) = \frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )( S) $.
Инерционни моменти на площта на плоска фигура
Нека разгледаме материална плоска фигура в равнината $xOy$. Нека си го представим като определена област $D$, върху която е разпределено вещество с обща маса $M$ с променлива повърхностна плътност $\rho \left(x,y\right)$.
Стойността на инерционния момент на площта на плоска фигура спрямо оста $Oy$: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Стойността на инерционния момент около оста $Ox$: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot\; dx\; \cdot dy $. Инерционният момент на плоска фигура спрямо началото е равен на сумата от инерционните моменти спрямо координатните оси, т.е. $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.
Въвеждат се тройни интеграли за функции на три променливи.
Да приемем, че е дадена определена област $V$ от тримерното пространство, ограничена от затворена повърхност $S$. Предполагаме, че точките, които лежат на повърхността, също принадлежат към областта $V$. Да предположим, че някаква непрекъсната функция $f\left(x,y,z\right)$ е дадена в областта $V$. Например, такава функция, при $f\left(x,y,z\right)\ge 0$, може да бъде обемната плътност на разпределение на някакво вещество, разпределение на температурата и т.н.
Нека разделим областта $V$ на $n$ произволни части, чиито обеми са $\Delta V_(i) $. Във всяка част избираме една произволна точка $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. Във всяка от тези точки изчисляваме стойността на дадената функция $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$.
Нека формираме интегралната сума $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \Delta V_ (i) $ и ние ще прецизираме за неопределено време $\left(n\to \infty \right)$ разделянето на региона $V$, така че най-големият от диаметрите $\lambda $ на всички части $\Delta V_(i) $ намалява безкрайно $ \left(\lambda \to 0\right)$.
Определение
При горните условия границата $I$ на тази интегрална сума съществува, нарича се троен интеграл на функцията $f\left(x,y,z\right)$ върху областта $V$ и се обозначава с $I\ ; =\; \iiiint \ограничава _(V)f\наляво(x,y,z\надясно)\; \cdot dV $ или $I\; =\; \iiiint \лимити _(V)f\наляво(x,y,z\надясно)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz$.
