Концепция размито заключениезаема важно място в размитата логика Алгоритъм Мамдани, алгоритъм Цукамото, алгоритъм Сугено, алгоритъм Ларсен, опростен алгоритъм за размит извод, методи за яснота.

Механизмът на размитите изводи, използвани в различни видове експертни и контролни системи, се основава на база от знания, формирана от специалисти в предметната област под формата на набор от размити предикатни правила от формата:

P1: ако хтогава има A 1 приима B 1,

P2: ако хтогава има А 2 приима B 2,

·················································

П н: Ако хИма Ан, Тогава приима Б н, Където х— входна променлива (име за известни стойности на данните), при— изходна променлива (име за стойността на данните, която ще бъде изчислена); A и B са функции на принадлежност, дефинирани съответно на хИ при.

Пример за такова правило

Ако х- тогава ниско при- Високо.

Нека дадем по-подробно обяснение. Експертното знание A → B отразява размита причинно-следствена връзка между предпоставки и заключение, така че може да се нарече размита връзка и да се означи с Р:

Р= A → B,

където “→” се нарича размита импликация.

Поведение Рможе да се разглежда като размито подмножество на прекия продукт X×Yпълен набор от предпоставки хи заключения Y. По този начин процесът на получаване на (размит) изходен резултат B" с помощта на дадено наблюдение а"и знанието A → B може да бъде представено като формула

B" = A"ᵒ Р= A"ᵒ (A → B),

където "o" е операцията за навиване, въведена по-горе.

Както операцията за съставяне, така и операцията за импликация в алгебрата на размитите множества могат да бъдат реализирани по различни начини (в този случай, естествено, полученият краен резултат също ще се различава), но във всеки случай общият логически извод се извършва в след четири етапа.

1. Бухнал(въвеждане на размиване, фазиране, размиване). Функциите на принадлежност, дефинирани върху входните променливи, се прилагат към техните действителни стойности, за да се определи степента на истинност на всяка предпоставка на всяко правило.

2. Логичен извод.Изчислената стойност на истината за предпоставките на всяко правило се прилага към заключенията на всяко правило. Това води до едно размито подмножество, което ще бъде присвоено на всяка изходна променлива за всяко правило. Като правила за логически извод обикновено се използват само операциите min(MINIMUM) или prod(MULTIPLICATION). В логическия извод на MINIMUM функцията за членство в извода е „отрязана“ на височина, съответстваща на изчислената степен на истинност на предпоставката на правилото (размита логика „И“). При извода MULTIPLY изходната функция на принадлежност се мащабира от изчислената степен на истинност на предпоставките на правилото.

3. Състав.Всички размити подмножества, присвоени на всяка изходна променлива (във всички правила), се комбинират заедно, за да образуват едно размито подмножество за всяка изходна променлива. При комбиниране на такава комбинация обикновено се използват операциите max(MAXIMUM) или sum(SUM). Със състава на МАКСИМУМ комбинираният изход на размито подмножество се конструира като точков максимум за всички размити подмножества (размита логика „ИЛИ“). При състава на SUM комбинираният изход на размито подмножество се конструира като поточкова сума за всички размити подмножества, присвоени на изходната променлива от правилата за извод.

4. В заключение (по избор) - довеждане до яснота(defuzzification), който се използва, когато е полезно да се преобразува размит набор от изходи в ясно число. Има голям брой методи за внасяне на яснота, някои от които са разгледани по-долу.

Пример.Нека някоя система бъде описана със следните размити правила:

P1: ако хтогава има А ω има D,

P2: ако прие B, тогава ω има Е,

P3: ако zе C, тогава ω е F, където x, yИ z— имена на входни променливи, ω е името на изходната променлива, а A, B, C, D, E, F са посочените функции на принадлежност (с триъгълна форма).

Процедурата за получаване на логическо заключение е илюстрирана на фиг. 1.9.

Предполага се, че входните променливи са приели някои специфични (ясни) стойности - xo,гОИ zО.

В съответствие с горните етапи, на етап 1, за дадени стойности и въз основа на функциите на принадлежност A, B, C, се намират степени на истина α (x o), α (Йо)И α (z o) за помещенията на всяко от трите дадени правила (виж Фиг. 1.9).

На етап 2 функциите на членство на заключенията на правилото (т.е. D, E, F) се „отрязват“ на нивата α (x o), α (Йо) И α (z o).

На етап 3 се разглеждат функциите на принадлежност, съкратени на втория етап, и те се комбинират с помощта на операцията max, което води до комбинирано размито подмножество, описано от функцията на принадлежност μ ∑ (ω) и съответстващо на логическото заключение за изходната променлива ω .

И накрая, на 4-ти етап - ако е необходимо - се намира ясна стойност на изходната променлива, например, като се използва методът на центроида: ясната стойност на изходната променлива се определя като център на тежестта за кривата μ ∑ (ω) , т.е.

Нека разгледаме следните най-често използвани модификации на алгоритъма за размит извод, като приемем за простота, че базата знания е организирана от две размити правила на формата:

P1: ако хима A 1 и притогава има B 1 zима C 1,

P2: ако хима A 2 и притогава има B 2 zе C 2, където хИ при— имена на входни променливи, z- име на изходната променлива, A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2 - някои специфични допълнителни функции с ясно значение z 0 трябва да се определи въз основа на предоставената информация и ясни стойности х 0 и при 0 .

Ориз. 1.9. Илюстрация на процедурата за извод

Алгоритъм на Мамдани

Този алгоритъм съответства на разглеждания пример и фиг. 1.9. В разглежданата ситуация тя може да се опише математически по следния начин.

1. Неясни: намират се степени на истинност за предпоставките на всяко правило: A 1 ( х 0), A 2 ( х 0), B 1 ( г 0), B 2 ( г 0).

2. Размито заключение: намират се нивата на „прекъсване“ за предварителните условия на всяко от правилата (с помощта на операцията MINIMUM)

α 1 = A 1 ( х 0) ˄ B 1 ( г 0)

α 2 = A 2 ( х 0) ˄ B 2 ( г 0)

където "˄" означава логическата минимална операция (min), тогава се намират "отсечени" функции на принадлежност

3. Композиция: използвайки операцията МАКСИМУМ (max, по-нататък обозначена като "˅"), намерените съкратени функции се комбинират, което води до получаване на финалразмито подмножество за изходна променлива с функция на принадлежност

4. И накрая, довеждане до яснота (за намиране z 0 ) извършени например по метода на центроида.

Алгоритъм Цукамото

Началните предпоставки са същите като в предишния алгоритъм, но в този случай се приема, че функциите C 1 ( z), C 2 ( z) са монотонни.

1. Първият етап е същият като в алгоритъма на Мамдани.

2. На втория етап първо се намират нивата на „прекъсване“ α 1 и α 2 (както в алгоритъма на Mam-dani), а след това чрез решаване на уравненията

α 1 = C 1 ( z 1), α 2 = C2( z 2)

- ясни стойности ( z 1 И z 2 ) за всяко от оригиналните правила.

3. Определя се ясна стойност на изходната променлива (като среднопретеглена стойност z 1 И z 2 ):

в общия случай (дискретна версия на метода на центроида)

Пример. Нека имаме A 1 ( х 0) = 0,7, A 2 ( х 0) = 0,6, B 1 ( г 0) = 0,3, V 2 ( г 0) = 0,8, съответстващи гранични нива

a 1 =мин. (A 1 ( х 0), B 1 ( г 0)) = min(0,7; 0,3) = 0,3,

a 2 =мин. (A 2 ( х 0), B 2 ( г 0)) = min (0,6; 0,8) = 0,6

и значения z 1 = 8 и z 2 = 4, получено чрез решаване на уравненията

C 1 ( z 1) = 0,3, C 2 ( z 2) = 0,6.

Ориз. 1.10. Илюстрации за алгоритъма Цукамото

В този случай изчистената стойност на изходната променлива (виж Фиг. 1.10)

z 0 = (8 0,3 + 4 0,6) / (0,3 + 0,6) = 6.

Алгоритъм на Sugeno

Сугено и Такаги използваха набор от правила в следната форма (както преди, ето пример за две правила):

P 1: ако хима A 1 и притогава има B 1 z 1 = А 1 х + b 1 y,

P 2: ако хима A 2 и притогава има B 2 z 2 = а 2 х+ b 2 г.

Представяне на алгоритъм

2. На втория етап има α 1 = A 1 ( х 0) ˄ B 1 ( г 0), α 2 = A 2 ( х 0) ˄ V 2 ( при 0) и отделни изходи на правило:

З. На третия етап се определя ясна стойност на изходната променлива:

Алгоритъмът е илюстриран на фиг. 1.11.

Ориз. 1.11. Илюстрация за алгоритъма Sugeno

Алгоритъм на Ларсен

В алгоритъма на Ларсен размитата импликация се моделира с помощта на оператор за умножение.

Описание на алгоритъма

1. Първият етап е като в алгоритъма на Мамдани.

2. На втория етап, както в алгоритъма на Мамдани, първо се намират стойностите

α 1 = A 1 ( х 0) ˄ B 1 ( г 0),

α 2 = A 2 ( х 0) ˄ V 2 ( г 0),

и след това - частни размити подмножества

α 1 C 1 ( z), а 2 ° С 2 (z).

3. Намерете крайното размито подмножество с функцията за принадлежност

μs(z)= СЪС(z)= (a 1 C 1 ( z)) ˅ ( a 2 C 2(z))

(общо взето нправила).

4. Ако е необходимо, се извършва редукция до яснота (както в разгледаните по-горе алгоритми).

Алгоритъмът на Ларсен е илюстриран на фиг. 1.12.

Ориз. 1.12. Илюстрация на алгоритъма на Ларсен

Опростен алгоритъм за размит извод

Първоначалните правила в този случай са дадени във формата:

P 1: ако хима A 1 и притогава има B 1 z 1 = ° С 1 ,

P 2: ако хима A 2 и притогава има B 2 z 2 = с 2 , Където ° С 1 и от 2- някои обикновени (ясни) числа.

Описание на алгоритъма

1. Първият етап е като в алгоритъма на Мамдани.

2. На втория етап числата α 1 = A 1 ( х 0) ˄ B 1 ( г 0), α 2 = A 2 ( х 0) ˄ B 2 ( г 0).

3. На третия етап се намира ясна стойност на изходната променлива с помощта на формулата

или - в общия случай на наличност нправила - по формулата

Илюстрация на алгоритъма е показана на фиг. 1.13.

Ориз. 1.13. Илюстрация на опростен алгоритъм за размит извод

Методи за яснота

1. Един от тези методи вече беше обсъден по-горе - troid. Нека представим отново съответните формули.

За непрекъснатата опция:

за дискретен вариант:

2. Първо от Максима. Ясната стойност на изходната променлива се намира като най-малката стойност, при която се постига максимумът на крайния размит набор, т.е. (виж Фиг. 1.14a)

Ориз. 1.14. Илюстрация на методи за внасяне на яснота: α - първи максимум; b - среден максимум

3. Среден максимум. Точната стойност се намира по формулата

където G е подмножество от елементи, които максимизират C (вижте Фиг. 1.14 б).

Дискретна опция (ако C е дискретна):

4. Максимален критерий (Max-Criterion). Ясната стойност се избира произволно сред набора от елементи, които доставят максимално C, т.е.

5. Дефузификация на височината. Елементи от областта на дефиниция Ω, за които стойностите на функцията на принадлежност са по-малки от определено ниво α не се вземат предвид, а точната стойност се изчислява по формулата

където Сα е размито множество α -ниво (виж по-горе).

Размит извод отгоре надолу

Размитите изводи, обсъдени досега, са изводи отдолу нагоре от предпоставки до заключение. През последните години изводът отгоре надолу започна да се използва в диагностичните размити системи. Нека да разгледаме механизма на такова заключение, използвайки пример.

Нека вземем опростен модел за диагностициране на неизправност на автомобила с имена на променливи:

х 1—неизправност на батерията;

х 2 - отпадъци от двигателно масло;

г 1 - трудно стартиране;

г 2 — влошаване на цвета на отработените газове;

г 3 - липса на мощност.

Между x iИ y jима неясни причинно-следствени връзки r ij= x i→ y j, която може да се представи като матрица Рс елементи r ijϵ. Конкретни входове (предпоставки) и изходи (заключения) могат да се разглеждат като размити множества A и B на пространства хИ Y. Отношенията на тези множества могат да бъдат означени като

IN= А ᵒ Р,

където, както и преди, със знака “о” е обозначено правилото за съставяне на неясни заключения.

В този случай посоката на изводите е обратна на посоката на изводите за правилата, т.е. при диагностика има (посочена) матрица Р(експертни познания), резултатите се наблюдават IN(или симптоми) и входовете се определят А(или фактори).

Нека знанията на експертен автомеханик имат формата

и в резултат на прегледа на автомобила може да се оцени състоянието му като

IN= 0,9/г 1 + 0,1/при 2 + 0,2/при 3 .

Необходимо е да се определи причината за това състояние:

А =а 1 /х 1 + а 2 /х 2 .

Връзката на въведените размити множества може да бъде представена като

или транспониране под формата на размити колонни вектори:

Когато се използва композиция (max-mix), последната връзка се преобразува във формата

0,9 = (0,9 ˄ α 1) ˅ (0,6 ˄ α 2),

0,1 = (0,1 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2),

0,2 = (0,2 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2).

Когато решаваме тази система, първо отбелязваме, че в първото уравнение вторият член от дясната страна не засяга дясната страна, следователно

0,9 = 0,9 ˄ α 1, α 1 ≥ 0,9.

От второто уравнение получаваме:

0,1 ≥ 0,5 ˄ α 2 , α 2 ≤ 0,1.

Полученото решение удовлетворява третото уравнение, така че имаме:

0,9 ≤ α 1 ≤ 1,0, 0 ≤ α 2 ≤ 0,1,

тези. по-добре е да смените батерията (α 1 е параметърът за неизправност на батерията, α 2 е параметърът за разход на двигателно масло).

На практика, в проблеми, подобни на разглеждания, броят на променливите може да бъде значителен, различни композиции от размити изводи могат да се използват едновременно и самата верига за извод може да бъде многоетапна. Понастоящем очевидно няма общи методи за решаване на подобни проблеми.

Проектиране и симулиране на размити логически системи

Fuzzy Logic Toolbox™ предоставя MATLAB ® функции, приложения и Simulink ® блок за анализ, проектиране и симулация на размити логически системи. Ръководствата за продуктите ви превеждат през стъпките на разработване на системи за размит извод. Осигурени са функции за много общи техники, включително размито клъстериране и адаптивно невро-размито обучение.

Кутията с инструменти ви позволява да моделирате сложно поведение на системата с помощта на прости логически правила и след това да приложите тези правила в система за размити изводи. Може да се използва като самостоятелна машина за размити изводи. Можете също така да използвате размити изходни блокове в Simulink и да моделирате размити системи в цялостен модел на цялата динамична система.

Начало на работа

Научете основите на Fuzzy Logic Toolbox

Моделиране на изхода на размита система

Създавайте системи за размит извод и размити дървета

Настройка на размит системен изход

Настройте функции за членство и размити системни правила

Групиране на данни

Намерете клъстери във входни/изходни данни, като използвате размити c-средни или субтрактивно групиране

5. Размита логика. Кратки исторически сведения. Аспекти на непълната информация

6. Дефиниции на ясни и размити множества. Дефиниция на размито множество. Членска функция. Примери за размити дискретни и непрекъснати множества.

7. Основни свойства на размитите множества. Размито число и размит интервал.

*7. Основни свойства на размитите множества. Размито число и размит интервал.

*7. Основни свойства на размитите множества. Размито число и размит интервал.

8. Концепции за размиване, размиване, лингвистична променлива. Пример.

9. Операции с размити множества (еквивалентност, включване, размита операция “и”, “или”, “не”).

10. Обобщение на операциите пресичане и обединение в класа на t-норми и s-конорми.

11. Размити връзки. Правила за съставяне (max-min) и (max-prod). Примери.

12. Размити алгоритми. Обобщена диаграма на процедурата за размит логически извод.

13. Размити алгоритми. Методът на максимума-минимум (метод Мамдани) като метод за размит логически извод (презентацията трябва да бъде придружена с пример).

14. Размити алгоритми. Методът на максималното произведение (метод на Ларсен) като метод за размит логически извод (презентацията трябва да бъде придружена с пример).

15. Методи за дефузификация.

16. Процедура (схема) на размит логически извод. Пример за размит извод за изпълнение на множество правила. Предимства и недостатъци на системи, базирани на размита логика.

17.Изкуствени невронни мрежи. Характеристики на биологичен неврон. Модел на изкуствен неврон.

18. Дефиниция на изкуствена невронна мрежа (ANM). Еднослойни и многослойни перцептрони.

19. Класификация на инс. Проблеми, решени с помощта на невронни мрежи.

20.Основни етапи на анализа на невронни мрежи. Класификация на известни невронни мрежови структури по тип връзки и тип обучение и тяхното приложение.

21. Алгоритъм за контролирано обучение за многослоен перцептрон

22. Алгоритми за обучение на невронни мрежи. Алгоритъм за обратно разпространение

23. Проблеми с ученето ns.

24. Мрежи на Кохонен. Формулиране на проблема за групиране. Алгоритъм за групиране.

25. Трансформация на алгоритъма за клъстериране с цел реализация в невронна мрежова основа. Структура на мрежата на Кохонен

26. Алгоритъм за неконтролирано обучение за мрежи на Кохонен. Обща процедура

27. Алгоритъм за неконтролирано обучение за мрежи на Кохонен. Метод на изпъкнала комбинация. Графична интерпретация

28. Самоорганизиращи се карти (сок) на Кохонен. Характеристики на обучението на сок. Изграждане на карти

29. Проблеми на обучението по ин.

30. Генетични алгоритми. Определение. Предназначение. Същността на естествения подбор в природата

31. Основни понятия на генетичните алгоритми

32. Блокова схема на класически генетичен алгоритъм. Характеристики на инициализацията. Пример.

33. Блокова схема на класически генетичен алгоритъм. Избор на хромозома. Метод на рулетка. Пример.

33. Блокова схема на класически генетичен алгоритъм. Избор на хромозома. Метод на рулетка. Пример.

34. Блокова схема на класически генетичен алгоритъм. Приложение на генетични оператори. Пример.

35. Блокова схема на класически генетичен алгоритъм. Проверка на състоянието на спиране.

36. Предимства на генетичните алгоритми.

37. Хибриди и техните видове.

38. Структура на мека експертна система.

39. Методика за разработване на интелигентни системи. Видове прототипи на експертни системи.

40. Обобщена структура на основните етапи на развитие на експертните системи.

1. Идентификация.

2. Концептуализация.

3. Формализация

4. Програмиране.

5. Тестване за пълнота и цялост

16. Процедура (схема) на размит логически извод. Пример за размит извод за изпълнение на множество правила. Предимства и недостатъци на системи, базирани на размита логика.

Размиването е процесът на преход от ясен набор към размит.

Агрегиране на предпоставки - за всяко правило се формира - нива на изрязване и изрязване.

Активиране на правила - активирането се основава на всяко от техните правила, базирано на min-активиране (Mamdani), prod-активиране (Larsen)

Натрупване на изход – композиция, обединение на намерени пресечени размити множества с помощта на операцията max-disjunction.

Езикова променлива е променлива, чиито стойности са термини (думи, фрази на естествен език).

Всяка стойност на лингвистична променлива съответства на специфично размито множество със собствена функция на принадлежност.

Обхват на приложение на размитата логика:

1) Неадекватност или несигурност на знанието, когато получаването на информация е трудна или невъзможна задача.

2) Когато има затруднения при обработката на несигурна информация.

3) Прозрачност на моделирането (за разлика от невронните мрежи).

Обхват на приложение на размитата логика:

1) При проектиране на системи за поддръжка и вземане на решения на базата на експертни системи.

2) При разработване на размити контролери, използвани за управление на технически системи.

“+”: 1) Решаване на лошо формализирани проблеми.

2) Приложение в области, където е желателно да се изразят стойностите на променливите в езикова форма.

„–“: 1) Проблемът с избора на функция за членство (решен при създаване на хибридни интелигентни системи)

2) Формулираният набор от правила може да се окаже непълен и противоречив.

*16.Процедура (схема) на размит логически извод. Пример за размит извод за изпълнение на множество правила. Предимства и недостатъци на системи, базирани на размита логика.

Крайният резултат зависи от избора на NLV и метода за дефузификация.

P1: Ако температурата (T) е ниска И влажността (F) е средна, тогава вентилът е наполовина отворен.

P2: Ако температурата (T) е ниска И влажността (F) е висока, тогава вентилът е затворен.

NLV: Макс-мин метод (Mamdani);

Дефузификация: Средна стойност на метода на максимума.

17.Изкуствени невронни мрежи. Характеристики на биологичен неврон. Модел на изкуствен неврон.

Невронните мрежи се отнасят до изчислителни структури, които моделират прости биологични процеси, обикновено свързани с тези на човешкия мозък. Човешката нервна система и мозък се състоят от неврони, свързани с нервни влакна, които са способни да предават електрически импулси между невроните.

Невронът е нервна клетка, която обработва информация. Състои се от тяло (ядро и плазма) и израстъци на два вида нервни влакна - дендрити, през които се получават импулси от аксоните на други неврони, и собствен аксон (в края се разклонява на влакна), през който се може да предава импулс, генериран от тялото на клетката. В краищата на влакната има синапси, които влияят върху силата на импулса. Когато импулс достигне синаптичен терминал, се освобождават определени химикали, наречени непротрансмитери, които възбуждат или инхибират способността на приемния неврон да генерира електрически импулси. Синапсите могат да се обучават в зависимост от активността на процесите, в които участват. Теглата на синапсите могат да се променят с времето, което променя поведението на съответния неврон.

Модел на изкуствен неврон

x 1 …x n – невронни входни сигнали, идващи от други неврони. W 1 ...W n – синаптични тегла.

Мултипликатори (синапси) – комуникират между невроните, умножават входния сигнал по число, характеризиращо силата на връзката.

суматор – добавяне на сигнали, пристигащи чрез синаптични връзки от други неврони.

*17.Изкуствени невронни мрежи. Характеристики на биологичен неврон. Модел на изкуствен неврон.

Нелинеен преобразувател – реализира нелинейна функция на един аргумент – изхода на суматора. Тази функция се нарича функция за активиране или трансферна функция неврон.
;

Модел на неврон:

1) Изчислява претеглената сума на своите входове от други неврони.

2) На входовете на невроните има възбудни и инхибиторни синапси

3) Когато сумата от входовете превиши прага на неврона, се генерира изходен сигнал.

Видове функции за активиране:

1) прагова функция: диапазон (0;1)

“+”: лекота на внедряване и висока скорост на изчисление

2) Сигмоидална (логистична функция)

Когато a намалява, сегментът става по-плосък; когато a=0, той се превръща в права линия.

"+": прост израз на неговата производна, както и способността да усилва слабите сигнали по-добре от големите и да предотвратява насищането от големите сигнали.

“-”: обхватът на стойността е малък (0,1).

3) Хиперболичен тангенс: диапазон (-1,1)

През 1965 г. работата на Л. Заде, озаглавена „Размити множества“, е публикувана в списание „Информация и контрол“. Това заглавие се превежда на руски като размити множества. Движещата сила беше необходимостта да се опишат такива явления и понятия, които са двусмислени и неточни. Известните преди това математически методи, използващи класическата теория на множествата и двузначната логика, не позволяваха решаването на проблеми от този тип.

Използвайки размити набори, неточни и двусмислени понятия като „висока температура“ или „голям град“ могат да бъдат формално дефинирани. За да се формулира определението за размито множество, е необходимо да се уточни така нареченият обхват на разсъжденията. Например, когато оценяваме скоростта на автомобил, ние се ограничаваме до диапазона X = , където Vmax е максималната скорост, която автомобилът може да достигне. Трябва да се помни, че X е отделно множество.

Основни понятия

Размит комплект A в някое непразно пространство X е множеството от двойки

Където

е функцията на членство на размитото множество A. Тази функция присвоява на всеки елемент x степента на принадлежност към размитото множество A.

Продължавайки предишния пример, разгледайте три неточни формулировки:
- „Ниска скорост на автомобила”;
- „Средна скорост на МПС”;
- „Висока скорост на автомобила.“
Фигурата показва размити множества, съответстващи на горните формулировки, използващи функции на принадлежност.


Във фиксирана точка X=40km/h. Функцията на принадлежност на размитото множество „ниска скорост на автомобила” приема стойност 0,5. Функцията за принадлежност на размитото множество „средна скорост на автомобила” приема същата стойност, докато за набора „висока скорост на автомобила” стойността на функцията в тази точка е 0.

Извиква се функция T от две променливи T: x -> Т-норма, ако:
- не нараства по отношение на двата аргумента: T(a, c)< T(b, d) для a < b, c < d;
- е комутативен: T(a, b) = T(b, a);
- удовлетворява условието за връзка: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c));
- удовлетворява граничните условия: T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.

Директен размит извод

Под неясно заключениесе разбира като процес, при който някои следствия, вероятно също неясни, се получават от неясни предпоставки. Приблизителното разсъждение е в основата на способността на човека да разбира естествения език, да дешифрира почерка, да играе игри, които изискват умствено усилие, и като цяло да взема решения в сложна и несъвършено дефинирана среда. Тази способност да се разсъждава с качествени, неточни термини отличава човешкия интелект от компютърния интелект.

Основното правило за извод в традиционната логика е правилото на modus ponens, според което съдим за истинността на твърдение B по истинността на твърдения A и A -> B. Например, ако A е твърдението „Степан е астронавт ”, B е твърдението „Степан лети в космоса” , тогава ако твърденията „Степан е космонавт” и „Ако Степан е астронавт, значи той лети в космоса” са верни, тогава твърдението „Степан лети в космоса” е също вярно.

Въпреки това, за разлика от традиционната логика, основният инструмент на размитата логика няма да бъде правилото modus ponens, а така нареченото правило за композиционно заключение, много специален случай на което е правилото modus ponens.

Да предположим, че има крива y=f(x) и е дадена стойността x=a. Тогава от факта, че y=f(x) и x=a, можем да заключим, че y=b=f(a).


Нека сега обобщим този процес, като приемем, че a е интервал и f(x) е функция, чиито стойности са интервали. В този случай, за да намерим интервала y=b, съответстващ на интервала a, първо конструираме множеството a" с основа a и намираме неговата пресечна точка I с кривата, чиито стойности са интервали. След това проектираме тази пресечна точка върху OY ос и получаваме желаната стойност на y във формата на интервал b. Така, от факта, че y=f(x) и x=A е размито подмножество на оста OX, получаваме стойността на y в форма на размито подмножество B на оста OY.

Нека U и V са две универсални множества с базови променливи u и v, съответно. Нека A и F са размити подмножества на множествата U и U x V. Тогава правилото за композиционен извод гласи, че размитото множество B = A * F следва от размитите множества A и F.

Нека A и B са размити изрази и m(A), m(B) съответните функции на принадлежност. Тогава импликацията A -> B ще съответства на някаква функция на принадлежност m(A -> B). По аналогия с традиционната логика може да се предположи, че

Тогава

Това обаче не е единственото обобщение на импликационния оператор; има и други.

Внедряване

За да приложим метода на директния размит извод, ще трябва да изберем оператора за импликация и T-нормата.
Нека T-нормата е минималната функция:

и импликационният оператор ще бъде функцията на Гьодел:


Входните данни ще съдържат знания (размити набори) и правила (последствия), например:
A = ((x1, 0,0), (x2, 0,2), (x3, 0,7), (x4, 1,0)).
B = ((x1, 0,7), (x2, 0,4), (x3, 1,0), (x4, 0,1)).
А => Б.

Импликацията ще бъде представена под формата на декартова матрица, всеки елемент от която се изчислява с помощта на избрания оператор на импликация (в този пример функцията на Гьодел):

1. def compute_impl(set1, set2):
2. """
   Изчислителна импликация
   """
3. отношение = ()
4. за i в set1.items():
5. отношение[i] = ()
6. за j в set2.items():
7. v1 = set1.value(i)
8. v2 = set2.value(j)
9. връзка[i][j] = impl(v1, v2)
10. обратна връзка

За данните по-горе ще бъде:
Заключение:
А => Б.
x1 x2 x3 x4
x1 1,0 1,0 1,0 1,0
x2 1,0 1,0 1,0 0,1
x3 1,0 0,4 1,0 0,1
x4 0,7 0,4 1,0 0,1

1. def заключение (набор, връзка):
2. """
   Заключение
   """
3. conl_set =
4. за мен във връзка:
5. l =
6. за j във връзка [i]:
7. v_set = комплект.value(i)
8. v_impl = релация[i][j]
9. l.append(t_norm(v_set, v_impl))
10. стойност = макс(л)
11. conl_set.append((i, стойност))
12. връщане conl_set

Резултат:
B" = ((x1, 1,0), (x2, 0,7), (x3, 1,0), (x4, 0,7)).

Източници

• Рутковская Д., Пилински М., Рутковски Л. Невронни мрежи, генетични алгоритми и размити системи: Превод. от полски И. Д. Рудински. - М.: Гореща линия - Телеком, 2006. - 452 с.: ил.
• Zadeh L. A. Размити множества, информация и контрол, 1965, том. 8, s. 338-353

Концепцията за размит извод заема централно място в размитата логика и теорията за размито управление. Говорейки за размитата логика в системите за управление, можем да дадем следната дефиниция на система за размит извод.

Система за размит изводе процес на получаване на размити заключения за необходимото управление на обект въз основа на размити условия или предпоставки, които представляват информация за текущото състояние на обекта.

Този процес съчетава всички основни понятия на теорията на размитите множества: функции на принадлежност, лингвистични променливи, методи на размита импликация и др. Разработването и прилагането на системи за размит извод включва редица етапи, чието изпълнение се извършва въз основа на разгледаните по-рано разпоредби на размитата логика (фиг. 2.18).

Фиг.2.18. Диаграма на процеса на размит извод в размитите системи за автоматично управление

Базата от правила на системите за размити изводи е предназначена да представи формално емпиричните знания на експертите в определена тематична област във формата размити производствени правила.По този начин основата на размитите производствени правила на системата за размит извод е система от размити производствени правила, която отразява знанията на експертите за методите за управление на обект в различни ситуации, естеството на неговото функциониране в различни условия и т.н., т. съдържащи формализирано човешко знание.

Правило за размито производствое израз на формата:

(i):Q;P;A═>B;S,F,N,

Където (i) е името на размития продукт, Q е обхватът на приложение на размития продукт, P е условието за приложимост на ядрото на размития продукт, A═>B е ядрото на размития продукт, в което A е условието на ядрото (или предходното), B е заключението на ядрото (или следствието), ═> - знак за логическа последователност или импликация, S - метод или метод за определяне на количествената стойност на степента на истинност на заключението на ядрото, F - коефициент на сигурност или увереност на размити продукти, N - постусловия на производство.

Обхватът на размитите продукти Q описва изрично или имплицитно предметната област на познание, която представлява даден продукт.

Условието за приложимост на производственото ядро ​​P е логически израз, обикновено предикат. Ако той присъства в продукта, тогава активирането на ядрото на продукта става възможно само ако това условие е вярно. В много случаи този продуктов елемент може да бъде пропуснат или включен в сърцевината на продукта.

Ядрото A═>B е централният компонент на размития продукт. Може да се представи в една от най-разпространените форми: „АКО А, ТОГДА Б“, „АКО А, ТОГАВА Б“; където A и B са някои изрази на размитата логика, които най-често се представят под формата на размити изрази. Съставните логически размити изрази могат да се използват и като изрази, т.е. елементарни размити твърдения, свързани с размити логически връзки, като размито отрицание, размита конюнкция, размита дизюнкция.

S – метод или метод за определяне на количествената стойност на степента на истинност на заключение B въз основа на известната стойност на степента на истинност на условие A. Този метод дефинира схема или алгоритъм за размит извод в производствени размити системи и се нарича композиционен методили метод на активиране.

Коефициентът на доверие F изразява количествена оценка на степента на истинност или относителното тегло на размития продукт. Коефициентът на доверителност взема стойността си от интервала и често се нарича тегловен коефициент на правилото за размит продукт.

Постусловието на размит продукт N описва действията и процедурите, които трябва да бъдат извършени в случай на внедряване на ядрото на продукта, т.е. получаване на информация за истинността на B. Природата на тези действия може да бъде много различна и да отразява изчислителен или друг аспект на производствената система.

Съгласуван набор от размити правила за производство размита производствена система.По този начин една размита производствена система е списък от размити производствени правила „АКО А, ТОГАВА Б“, свързани с конкретна предметна област.

Най-простата версия на правилото за размита продукция:

ПРАВИЛО<#>: АКО β 1 „Е ά 1“ ТОГАВА „β 2 Е ά 2“

ПРАВИЛО<#>: АКО "β 1 Е ά 1" ТОГАВА "β 2 дисплей: блок Е ά 2".

Антецедентът и следствието на ядрото на размит продукт могат да бъдат сложни, състоящи се от свързващи елементи „И“, „ИЛИ“, „НЕ“, например:

ПРАВИЛО<#>: АКО „β 1 Е ά“ И „β 2 НЕ Е ά“, ТОГАВА „β 1 НЕ Е β 2“

ПРАВИЛО<#>: АКО „β 1 Е ά“ И „β 2 НЕ Е ά“, ТОГАВА „β 1 НЕ Е β 2“.

Най-често основата на правилата за размита продукция се представя под формата на структуриран текст, който е последователен по отношение на използваните лингвистични променливи:

ПРАВИЛО_1: АКО „Условие_1“ ТОГАВА „Заключение_1“ (F 1 t),

RULE_n: АКО „Условие_n“ ТОГАВА „Заключение_n“ (F n),

където F i ∈ е коефициентът на сигурност или тегловният коефициент на съответното правило. Последователността на списъка означава, че само прости и съставни размити изрази, свързани с бинарни операции „И“ и „ИЛИ“, могат да се използват като условия и заключения на правилата, докато във всеки от размитите изрази функциите на принадлежност на стойностите на трябва да се дефинира наборът от термини за всяка лингвистична променлива. По правило функциите на принадлежност на отделните термини се представят чрез триъгълни или трапецовидни функции. Следните съкращения обикновено се използват за назоваване на отделни термини.

Таблица 2.3.

Пример.Има контейнер за пълнене (резервоар) с непрекъснат контролиран поток от течност и непрекъснат неконтролиран поток от течност. Базата от правила на системата за размит извод, съответстваща на знанията на експерта за това какъв вид течност трябва да бъде избрана, така че нивото на течността в резервоара да остане средно, ще изглежда така:

ПРАВИЛО<1>:		И „консумацията на течности е висока“	КЪМ „приток на течности“	големи средни малки	»;
ПРАВИЛО<2>:	АКО „нивото на течността е ниско“	И „консумацията на течности е средна“	КЪМ „приток на течности“	големи средни малки	»;
ПРАВИЛО<3>:	АКО „нивото на течността е ниско“	И „консумацията на течности е ниска“	КЪМ „приток на течности“	големи средни малки	»;
ПРАВИЛО<4>:		И „консумацията на течности е висока“	КЪМ „приток на течности“	големи средни малки	»;
ПРАВИЛО<5>:	АКО „нивото на течността е средно“	И „консумацията на течности е средна“	КЪМ „приток на течности“	големи средни малки	»;
ПРАВИЛО<6>:	АКО „нивото на течността е средно“	И „консумацията на течности е ниска“	КЪМ „приток на течности“	големи средни малки	»;
ПРАВИЛО<7>:		И „консумацията на течности е висока“	КЪМ „приток на течности“	големи средни малки	»;
ПРАВИЛО<8>:	АКО „нивото на течността е високо“	И „консумацията на течности е средна“	КЪМ „приток на течности“	големи средни малки	»;
ПРАВИЛО<9>:	АКО „нивото на течността е високо“	И „консумацията на течности е ниска“	КЪМ „приток на течности“	големи средни малки	».

Използвайки обозначенията ZP – „малък“, PM – „среден“, PB – „голям“, тази база от размити производствени правила може да бъде представена под формата на таблица, чиито възли съдържат съответните заключения за необходимия приток на течност :

Таблица 2.4.

Ниво ЗП следобед П.Б. ЗП 0 0 0 следобед 0.5 0.25 0 П.Б. 0.75 0.25 0

Размиване(въвеждане на размиване) е установяването на съответствие между числената стойност на входната променлива на системата за размит извод и стойността на функцията на принадлежност на съответния термин на лингвистичната променлива. На етапа на размиване стойностите на всички входни променливи на системата за размит извод, получени по начин, външен за системата за размит извод, например с помощта на сензори, се присвояват на специфични стойности на функциите на принадлежност на съответните лингвистични термини, които се използват в условията (антецедентите) на ядрата на размитите производствени правила, съставляващи основата на размитите производствени правила на системата за размит извод. Размиването се счита за завършено, ако степените на истинност μ A (x) са намерени за всички елементарни логически твърдения от формата „β IS ά“, включени в предшестващите правила на размитите производствени правила, където ά е някакъв термин с известна функция на принадлежност μ A (x), a е ясна числова стойност a, принадлежаща към вселената на лингвистичната променлива β.

Пример.Формализирането на описанието на нивото на течността в резервоара и скоростта на потока на течността се извършва с помощта на лингвистични променливи, чийто кортеж съдържа три размити променливи, съответстващи на концепциите за малки, средни и големи стойности на съответните физически величини, чиито функции на принадлежност са представени на фиг. 2.19.

Триъгълен Трапецовиден Z-линеен S-линеен
Триъгълен Трапецовиден Z-линеен S-линеен
Текущо ниво:

Триъгълен Трапецовиден Z-линеен S-линеен
Триъгълен Трапецовиден Z-линеен S-линеен
Триъгълен Трапецовиден Z-линеен S-линеен
Текуща консумация:

Фиг.2.19. Функции на принадлежност на кортежи от лингвистични променливи, съответстващи съответно на размитите концепции за малко, средно, голямо ниво и флуиден поток

Ако текущото ниво и скоростта на потока на течността са съответно 2,5 m и 0,4 m 3 /sec, тогава с размиване получаваме степените на истинност на елементарни размити твърдения:

• „Ниво на течността е ниско“ – 0,75;
• “средно ниво на течност” – 0,25;
• „нивото на течността е високо“ – 0.00;
• „разходът на течности е нисък“ – 0,00;
• “среден разход на течности” – 0,50;
• „разходът на течности е голям” – 1.00.

Агрегиране– това е процедура за определяне степента на истинност на условията за всяко от правилата на системата за размит извод. В този случай се използват стойностите на функциите на членство на термини на лингвистични променливи, които съставляват горепосочените условия (предшестващи) на ядрата на правилата за размита продукция, получени на етапа на размиване.

Ако условието на размито производствено правило е просто размито твърдение, тогава степента на неговата истинност съответства на стойността на функцията на принадлежност на съответния член на лингвистичната променлива.

Ако условието представлява съставно твърдение, тогава степента на истинност на сложното твърдение се определя въз основа на известните стойности на истината на съставните му елементарни твърдения, като се използват предварително въведени размити логически операции в една от предварително зададените бази.

Например, като се вземат предвид стойностите на истината на елементарни твърдения, получени в резултат на размиване, степента на истинност на условията за всяко съставно правило на системата за размит извод за контролиране на нивото на течността в резервоара, в съответствие с дефиницията на Zade на размитото логическо „И“ на две елементарни изявления A, B: T(A ∩ B)=min(T(A);T(B)) ще бъде следващо.

ПРАВИЛО<1>: антецедент – ​​„нивото на течността е ниско“ И „потокът на течност е висок“; степен на истинност
антецедент min(0.75 ;1.00 )=0.00 .

ПРАВИЛО<2>: антецедент – ​​„нивото на течността е ниско“ И „потокът на течността е среден“; степен на истинност
антецедент min(0.75 ;0.50 )=0.00 .

ПРАВИЛО<3>: антецедент – ​​„нивото на течността е ниско“ И „потокът на течност е нисък“, степен на истинност
антецедент min(0.75 ;0.00 )=0.00 .

ПРАВИЛО<4>: антецедент – ​​„нивото на течността е средно“ И „потокът на течност е висок“, степен на истина
антецедент min(0.25 ;1.00 )=0.00 .

ПРАВИЛО<5>: антецедент – ​​„средно ниво на течност“ И „среден поток на течност“, степен на истинност
антецедент min(0.25 ;0.50 )=0.00 .

ПРАВИЛО<6>: антецедент – ​​„средно ниво на течност“ И „ниска консумация на течност“, степен на истинност
антецедент min(0.25;0.00)=0.00.

ПРАВИЛО<7>: антецедент – ​​„нивото на течността е високо“ И „потокът на течността е висок“, степен на истинност
антецедент min(0.00 ;1.00 )=0.00 .

ПРАВИЛО<8>: антецедент – ​​„нивото на течността е високо“ И „потокът на течност е среден“, степен на истина
антецедент min(0.00 ;0.50 )=0.00 .

ПРАВИЛО<9>: антецедент – ​​„нивото на течността е високо“ И „потокът на течност е нисък“, степен на истина
антецедент min(0.00 ;0.00 )=0.00 .

Ниво 0.75 0.25 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.25 0 1 0.75 0.25 0

Активиранев системите за размит извод, това е процедура или процес на намиране на степента на истинност на всяко от елементарните логически твърдения (подзаключения), които съставляват следствията от сърцевините на всички размити производствени правила. Тъй като се правят заключения по отношение на изходните лингвистични променливи, степените на истинност на елементарните подзаключения се свързват с елементарни функции на принадлежност, когато са активирани.

Ако заключението (последствието) на размито производствено правило е просто размито твърдение, тогава степента на неговата истинност е равна на алгебричното произведение на коефициента на тежест и степента на истинност на предходното на това размито производствено правило.

Ако заключението представлява съставно твърдение, тогава степента на истинност на всяко от елементарните твърдения е равна на алгебричното произведение на тегловния коефициент и степента на истинност на антецедента на даденото размито производствено правило.

Ако тегловните коефициенти на производствените правила не са изрично посочени на етапа на формиране на базата от правила, тогава техните стойности по подразбиране са равни на единица.

Функциите на принадлежност μ (y) на всяко от елементарните подзаключения на следствията от всички производствени правила се намират с помощта на един от методите на размитата композиция:

• min–активиране – μ (y) = min ( c ; μ (x) ) ;
• прод-активиране – μ (y) =c μ (x);
• средно активиране – μ (y) =0.5(c + μ (x)) ;

Където μ (x) и c са, съответно, функциите на принадлежност на термините на лингвистичните променливи и степента на истинност на размитите твърдения, които формират съответните следствия (последствия) от ядрата на размитите производствени правила.

Пример.Ако формализирането на описанието на притока на течност в резервоара се извършва с помощта на лингвистична променлива, чийто кортеж съдържа три размити променливи, съответстващи на концепциите за малки, средни и големи стойности на притока на течност, функциите на принадлежност на които са представени на Фиг. 2.19, тогава за производствените правила на системата за размит контрол на нивото на течността в контейнера чрез промяна на потока на течността, функциите на принадлежност на всички подзаключения с min активиране ще изглеждат както следва (Фиг. 2.20( а), (б)).

Фиг.2.20(а). Функция на принадлежностите на набор от езикови променливи, съответстващи на размитите концепции за малък, среден, голям приток на течност в резервоара и минимално активиране на всички подзаключения на правилата за размито производство на системата за контрол на нивото на течността в резервоара

Фиг.2.20(b). Функция на принадлежностите на набор от езикови променливи, съответстващи на размитите концепции за малък, среден, голям приток на течност в резервоара и минимално активиране на всички подзаключения на правилата за размито производство на системата за контрол на нивото на течността в резервоара

Натрупване(или съхранение) в системите за размит извод е процесът на намиране на функцията на принадлежност за всяка от изходните лингвистични променливи. Целта на натрупването е да се комбинират всички степени на истинност на подзаключенията, за да се получи функцията на принадлежност на всяка от изходните променливи. Резултатът от натрупването за всяка изходна лингвистична променлива се определя като обединение на размити набори от всички подзаключения на размитата база от правила по отношение на съответната лингвистична променлива. Обединяването на функциите на принадлежност на всички подизводи обикновено се извършва класически използван:

• алгебричен съюз ∀ x ∈ X μ A+B x = μ A x + μ B x - μ A x ⋅ μ B x ,
• граничен съюз ∀ x ∈ X μ A B x = min( μ A x ⋅ μ B x ;1) ,
• драстично обединение ∀ x ∈ X μ A ∇ B (x) = ( μ B (x) , ако и μ A (x) = 0, μ A (x) , ако и μ B (x) = 0 , 1, в други случаи,
• както и λ -суми ∀ x ∈ X μ (A+B) x = λ μ A x +(1-λ) μ B x ,λ∈ .

Пример.За правилата за производство на система за размит извод за контролиране на нивото на течността в контейнер чрез промяна на входящия поток на течност, функцията на принадлежност на лингвистичната променлива „входящ поток на течност“, получена в резултат на натрупването на всички подзаключения по време на максимално сливане, ще изглежда както следва (фиг. 2.21).

Фиг. 2.21 Функция на принадлежност на лингвистичната променлива „приток на течност“

Дефузификацияв системите за размит извод това е процесът на преход от функцията на принадлежност на изходната лингвистична променлива към нейната ясна (числова) стойност. Целта на дефузификацията е да се използват резултатите от натрупването на всички изходни лингвистични променливи, за да се получат количествени стойности за всяка изходна променлива, която се използва от устройства, външни за системата за размит извод (задвижки на интелигентната система за автоматично управление).

Преходът от функцията на принадлежност μ (x) на изходната лингвистична променлива, получена в резултат на натрупване, към числената стойност y на изходната променлива се извършва с помощта на един от следните методи:

• метод на центъра на тежестта(Център на тежестта) е да се изчисли център на площта y = ∫ x min x max x μ (x) d x ∫ x min x max μ (x) d x , където [ x max ; x min ] – носител на размитото множество на изходната лингвистична променлива; (на фиг. 2.21 резултатът от дефузификацията е обозначен със зелена линия)
• метод на площен център(Center of Area) се състои в изчисляване на абсцисата y, разделяща площта, ограничена от кривата на функцията на принадлежност μ (x), така наречената ъглополовяща на площта ∫ x min y μ (x) d x = ∫ y x max μ (x) d x ; (на фиг. 2.21 резултатът от дефузификацията е обозначен със синя линия)
• ляв модален метод y= x min ;
• десен модален метод y= x макс

  Пример.За производствените правила на система за размит извод за контролиране на нивото на течността в контейнер чрез промяна на входящия поток на течност, дефузификацията на функцията на принадлежност на лингвистичната променлива „входящ поток на течност“ (фиг. 2.21) води до следните резултати:

• метод на центъра на тежестта y= 0,35375 m 3 /sec;
• метод на центъра на площта y= 0, m 3 /сек
• метод на лява модална стойност y= 0,2 m 3 /sec;
• метод на дясната модална стойност y= 0,5 m 3 /sec

Разгледаните етапи на размит извод могат да бъдат реализирани по двусмислен начин: агрегирането може да се извърши не само на базата на размитата логика на Zadeh, активирането може да се извърши чрез различни методи на размита композиция, на етапа на натрупване комбинацията може да се извърши по начин, различен от максималната комбинация, дефузификацията може да се извърши и чрез различни методи. По този начин изборът на конкретни методи за реализиране на отделни етапи на размит извод определя един или друг алгоритъм за размит извод. Понастоящем въпросът за критериите и методите за избор на алгоритъм за размит извод в зависимост от конкретен технически проблем остава открит. Понастоящем следните алгоритми се използват най-често в системите за размит извод.

Алгоритъм на Мамданинамира приложение в първите размити системи за автоматично управление. Предложено е през 1975 г. от английския математик Е. Мамдани за управление на парна машина.

• Формирането на базата от правила на системата за размит извод се извършва под формата на подреден съгласуван списък от правила за размита продукция във формата „АКО A THEN B“, където предшестващите ядра на правилата за размита продукция се конструират с помощта на логическите връзки „И“ и последствията от ядрата на правилата за размита продукция са прости.
• Размиването на входните променливи се извършва по описания по-горе начин, точно както в общия случай на конструиране на система за размит извод.
• Агрегирането на подусловията на правилата за размита продукция се извършва с помощта на класическата размита логическа операция „И“ на две елементарни твърдения A, B: T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) ) .
• Активирането на подзаключенията на правилата за размита продукция се извършва чрез метода на мин. активиране μ (y) = min(c; μ (x) ) , където μ (x) и c са съответно функциите на принадлежност на термините на лингвистичните променливи и степента на истинност на размитите твърдения, формиращи съответните следствия (последствия) ядра на размити производствени правила.
• Натрупването на подзаключения на правила за размита продукция се извършва с помощта на класическото размито логическо максимално обединение на функции на членство ∀ x ∈ X μ A B x = max( μ A x ; μ B x ) .
• Дефузификацията се извършва с помощта на метода на центъра на тежестта или центъра на площта.

Например, описаният по-горе случай на контрол на нивото на резервоара съответства на алгоритъма на Mamdani, ако на етапа на дефузификация се търси ясна стойност на изходната променлива чрез метода на центъра на тежестта или площта: y = 0,35375 m 3 /sec или y = 0,38525 m 3 /сек, съответно.

Алгоритъмът на ЦукамотоФормално изглежда така.

• Агрегирането на подусловията на правилата за размита продукция се извършва подобно на алгоритъма на Мамдани, като се използва класическата размита логическа операция „И“ на две елементарни изявления A, B: T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) )
• Активирането на подзаключенията на правилата за размити продукти се извършва на два етапа. На първия етап степените на истинност на заключенията (последствията) на правилата за размита продукция се намират подобно на алгоритъма на Мамдани, като алгебричен продукт на тегловния коефициент и степента на истинност на антецедента на дадено правило за размита продукция. На втория етап, за разлика от алгоритъма на Мамдани, за всяко от производствените правила, вместо да се конструират функции на членство на подзаключения, се решава уравнението μ (x) = c и се определя ясна стойност ω на изходната лингвистична променлива, където μ (x) и c са, съответно, функциите на принадлежност на променливите на лингвистичните термини и степента на истинност на размитите твърдения, които формират съответните следствия (последствия) от ядрата на размитите производствени правила.
• На етапа на дефузификация за всяка лингвистична променлива се прави преход от дискретен набор от ясни стойности (w 1 . . . w n) към единична ясна стойност според дискретния аналог на метода на центъра на тежестта y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i,

  където n е броят на правилата за размита продукция, в чиито подзаключения се появява тази лингвистична променлива, c i е степента на истинност на подзаключението на производственото правило, w i е ясната стойност на тази лингвистична променлива, получена на етапа на активиране чрез решаване на уравнението μ (x) = c i, т.е. μ(wi) = c i и μ(x) представлява функцията на принадлежност на съответния термин на лингвистичната променлива.

Например,Алгоритъмът на Tsukamoto се прилага, ако в случая на контрол на нивото на резервоара, описан по-горе:

• на етапа на активиране използвайте данните от фиг. 2.20 и за всяко производствено правило решете графично уравнението μ (x) = c i, т.е. намерете двойки стойности (c i, w i): правило1 - (0,75; 0,385), правило2 - (0,5; 0,375), правило3- (0; 0), правило4 - (0,25; 0,365), правило5 - (0,25; 0,365 ),
  правило6 - (0 ; 0), правило7 - (0 ; 0), правило7 - (0 ; 0), правило8 - (0 ; 0), правило9 - (0 ; 0), за петото правило има два корена;
• на етапа на дефузификация за лингвистичната променлива „приток на течност“, направете прехода от дискретен набор от ясни стойности ( ω 1 . . . ω n ) към една ясна стойност според дискретния аналог на центъра на тежестта метод y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , y = 0,35375 m 3 /сек

Алгоритъмът на Ларсен формално изглежда така.

• Формирането на базата от правила на системата за размит извод се извършва подобно на алгоритъма на Мамдани.
• Размиването на входните променливи се извършва подобно на алгоритъма на Мамдани.
• Активирането на подзаключенията на правилата за размита продукция се извършва чрез метода на прод-активиране, μ (y) = c μ (x), където μ (x) и c са съответно функциите на принадлежност на термините на лингвистичните променливи и степен на истинност на размитите твърдения, формиращи съответните следствия (последствия) от правилата за производство на размитите ядра.
• Натрупването на подзаключения на правила за размита продукция се извършва подобно на алгоритъма на Мамдани, използвайки класическото размито логическо максимално обединение на функциите на членство T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) ) .
• Дефузификацията се извършва по който и да е от описаните по-горе методи.

Например,Алгоритъмът на Larsen се прилага, ако в случая на контрол на нивото на резервоара, описан по-горе, на етапа на активиране функциите на членство на всички подзаключения се получават според прод-активиране (фиг. 2.22 (a), (b)), тогава членството функцията на лингвистичната променлива „течен приток“, получена в резултат на натрупването на всички подзаключения по време на максимално сливане, ще изглежда по следния начин (фиг. 2.22(b)), а дефузификацията на функцията на принадлежност на лингвистичната променлива „течност“ приток” води до следните резултати: метод на центъра на тежестта y= 0,40881 m 3 /sec, метод на центъра на площта y= 0,41017 m 3 /sec

Фиг.2.22(a) Производствено активиране на всички подзаключения на правилата за размит продукт на системата за контрол на нивото на течността в резервоара

Фиг.2.22(b) Производствено активиране на всички подзаключения на размитите производствени правила на системата за контрол на нивото на течността в резервоара и функцията на членство на лингвистичната променлива „течен приток“, получена от max-union

,Алгоритъм на Sugenoкакто следва.

• Формирането на базата от правила на системата за размит извод се извършва под формата на подреден съгласуван списък от правила за размита продукция във формата „АКО A И B ТОГАВА w = ε 1 a + ε 2 b“, където предходните на ядрата на правилата за размита продукция са изградени от две прости размити изявления A, B с използване на логически връзки „И“, a и b са ясни стойности на входните променливи, съответстващи съответно на изявления A и B, ε 1 и ε 2 са тегловни коефициенти, които определят коефициентите на пропорционалност между ясните стойности на входните променливи и изходната променлива на системата за размит извод, w – изчистване на стойността на изходната променлива, дефинирана в заключението на размитото правило, като a реално число.
• Размиването на входните променливи, дефиниращи изразите, се извършва подобно на алгоритъма на Мамдани.
• Агрегирането на подусловията на правилата за размита продукция се извършва подобно на алгоритъма на Мамдани, като се използва класическата размита логическа операция „И“ на две елементарни изявления A, B: T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) ) .
• „Активирането на подзаключенията на правилата за размити продукти се извършва на два етапа. На първия етап степените на истинност c на заключенията (последствията) на размитите производствени правила, които присвояват реални числа на изходната променлива, се намират подобно на алгоритъма на Мамдани, като алгебричното произведение на тегловния коефициент и степента на истинност на предшественикът на дадено размито производствено правило. На втория етап, за разлика от алгоритъма на Мамдани, за всяко от производствените правила, вместо да се конструират функциите на принадлежност на подизводите, ясно се намира ясна стойност на изходната променлива w = ε 1 a + ε 2 b. Така на всяко i-то производствено правило се присвоява точка (c i w i), където c i е степента на истинност на производственото правило, w i е ясната стойност на изходната променлива, дефинирана в следствието на производственото правило.
• Натрупването на заключения на правилата за размита продукция не се извършва, тъй като на етапа на активиране вече са получени дискретни набори от ясни стойности за всяка от изходните лингвистични променливи.
• Дефузификацията се извършва както в алгоритъма Tsukamoto. За всяка лингвистична променлива се прави преход от дискретен набор от ясни стойности ( w 1 . . . w n ) към единична ясна стойност според дискретния аналог на метода на центъра на тежестта y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , където n е броят на размитите производствени правила, в подзаключенията на които се появява тази лингвистична променлива, c i е степента на истинност на подзаключението на производственото правило, w i е ясната стойност на тази лингвистична променлива, установена в следствие от производственото правило.

Например,Алгоритъмът Sugeno се прилага, ако в гореописания случай на контролиране на нивото на течността в резервоара на етапа на формиране на базата от правила на системата за размит извод правилата се задават въз основа на факта, че при поддържане на постоянно ниво на течност , числените стойности на притока w и потока b трябва да бъдат равни една на друга ε 2 =1, а скоростта на пълнене на контейнера се определя от съответната промяна в коефициента на пропорционалност ε 1 между притока w и течността ниво а. В този случай базата от правила на системата за размит извод, съответстваща на знанията на експерта за това какъв вид течност трябва да бъде избрана w = ε 1 a + ε 2 b, така че нивото на течността в резервоара да остане средно, ще изглежда така това:

ПРАВИЛО<1>: АКО „нивото на течността е ниско“ И „потокът на течността е висок“ ТОГАВА w=0,3a+b;

ПРАВИЛО<2>: АКО „нивото на течността е ниско“ И „потокът на течността е среден“ ТОГАВА w=0,2a+b;

ПРАВИЛО<3>: АКО „нивото на течността е ниско“ И „дебитът на течността е нисък“ ТОГАВА w=0,1a+b;

ПРАВИЛО<4>: АКО „нивото на течността е средно“ И „потокът на течността е висок“ ТОГАВА w=0,3a+b;

ПРАВИЛО<5>: АКО „нивото на течността е средно“ И „потокът на течността е средно“ ТОГАВА w=0,2a+b;

ПРАВИЛО<6>: АКО „нивото на течността е средно“ И „потокът на течността е нисък“ ТОГАВА w=0,1a+b;

ПРАВИЛО<7>:АКО „нивото на течността е високо“ И „потокът на течността е висок“ ТОГАВА w=0,4a+b;

ПРАВИЛО<8>: АКО „нивото на течността е високо“ И „дебитът на течността е среден“ ТОГАВА w=0,2a+b;

ПРАВИЛО<9>: АКО „нивото на течността е високо“ И „потокът на течността е нисък“ ТОГАВА w=0,1a+b.

При разгледаното по-рано текущо ниво и скорост на потока на течността a = 2,5 m и b = 0,4 m 3 /sec, съответно, в резултат на размиване, агрегиране и активиране, като се вземе предвид изричното определение на ясни стойности на изходна променлива в следствията от правилата за производство, получаваме двойки стойности (c i w i) : правило1 - (0,75 ; 1,15), правило2 - (0,5 ; 0,9), правило3- (0 ; 0,65), правило4 - (0,25 ; 1,15 ), правило5 - (0,25 ; 0,9), правило6 - (0 ; 0,65), правило7 - (0 ; 0), правило7 - (0 ; 1,14), правило8 - (0 ; 0,9), правило9 - (0 ; 0, 65 ). На етапа на дефузификация за лингвистичната променлива „приток на течност“ се прави преход от дискретен набор от ясни стойности ( w 1 . . . w n ) към една ясна стойност според дискретния аналог на центъра на тежестта метод y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , y = 1,0475 m 3 /сек

Опростен алгоритъм за размит изводе формално определен точно по същия начин като алгоритъма на Sugeno, само когато изричните стойности са посочени в следствията от производствените правила, вместо връзката w= ε 1 a+ ε 1 b, изрична спецификация на непосредствената стойност на w се използва. По този начин, формирането на базата от правила на системата за размит извод се извършва под формата на подреден, съгласуван списък от правила за размита продукция във формата „АКО A И B ТОГАВА w=ε“, където предшествениците на ядрата на правилата за размита продукция се изграждат от две прости размити твърдения A, B с помощта на логически връзки „И“, w – ясна стойност на изходната променлива, дефинирана за всяко заключение на i-то правило, като реално число ε i.

Например,се прилага опростен алгоритъм за размит извод, ако в гореописания случай на контролиране на нивото на течността в резервоар, на етапа на формиране на базата от правила на системата за размит извод, правилата са зададени, както следва:

ПРАВИЛО<1>: АКО „нивото на течността е ниско“ И „потокът на течността е висок“ ТОГАВА w=0,6;

ПРАВИЛО<2>: АКО „нивото на течността е ниско“ И „потокът на течността е среден“ ТОГАВА w=0,5;

ПРАВИЛО<3>: АКО „нивото на течността е ниско“ И „потокът на течността е нисък“ ТОГАВА w=0,4;

ПРАВИЛО<4>: АКО „нивото на течността е средно“ И „потокът на течността е висок“ ТОГАВА w=0,5;

ПРАВИЛО<5>: АКО „нивото на течността е средно“ И „потокът на течността е средно“ ТОГАВА w=0,4;

ПРАВИЛО<6>: АКО „нивото на течността е средно“ И „потокът на течността е нисък“ ТОГАВА w=0,3;

ПРАВИЛО<7>:АКО „нивото на течността е високо“ И „потокът на течността е висок“ ТОГАВА w=0,3;

ПРАВИЛО<8>: АКО „нивото на течността е високо“ И „дебитът на течността е среден“ ТОГАВА w=0,2;

ПРАВИЛО<9>: АКО „нивото на течността е високо“ И „течният поток е нисък“ ТОГАВА w=0,1.

Като се има предвид обсъжданото по-рано текущо ниво и скорост на потока на течността и съответно в резултат на размиване, агрегиране и активиране, като се вземе предвид изричното определение на ясни стойности на изходната променлива в последствията от производствените правила, получаваме двойки от стойности (c i w i): правило1 - (0.75; 0.6), правило2 - (0.5; 0.5), правило3- (0; 0.4), правило4 - (0.25; 0.5), правило5 - (0.25; 0.4), правило6 - (0; 0,3),
правило7 - (0 ; 0,3), правило7 - (0 ; 0,3), правило8 - (0 ; 0,2), правило9 - (0 ; 0,1) . На етапа на дефузификация за лингвистичната променлива „приток на течност“ се прави преход от дискретен набор от ясни стойности ( w 1 . . . w n ) към една ясна стойност според дискретния аналог на центъра на тежестта метод y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , y= 1,0475 m 3 /sec, y= 0,5 m 3 /sec