Натрупване на грешки. Математическа енциклопедия: какво е натрупване на грешки, какво означава и как да го напишем правилно

Аналитична химия

УДК 543.08+543.422.7

ПРОГНОЗИРАНЕ НА ФОТОМЕТРИЧНИТЕ ГРЕШКИ С ИЗПОЛЗВАНЕТО НА ЗАКОНА ЗА НАТРУПВАНЕ НА ГРЕШКИТЕ И МЕТОДА МОНТЕ КАРЛО

В И. Голованов, Е. М. Данилина

В изчислителен експеримент, използвайки комбинация от закона за разпространение на грешката и метода Монте Карло, беше изследвано влиянието на грешките при приготвяне на разтвора, грешките на празния експеримент и грешките при измерване на пропускливостта върху метрологичните характеристики на фотометричния анализ. Установено е, че резултатите от прогнозирането на грешката чрез аналитични и статистически методи са взаимно съвместими. Показано е, че характеристика на метода Монте Карло е способността да се предскаже законът за разпределение на грешките във фотометрията. Използвайки примера на сценарий за рутинен анализ, се разглежда влиянието на хетероскедастичността на разсейването по калибрационната графика върху качеството на анализа.

Ключови думи: фотометричен анализ, закон за натрупване на грешки, калибровъчна графика, метрологични характеристики, метод Монте Карло, стохастично моделиране.

Въведение

Прогнозирането на грешките във фотометричния анализ се основава главно на използването на закона за натрупване на грешки (LOA). За случай на линейна форма на закона за поглъщане на светлина: - 1§T = A = b1c, ZNO обикновено се записва с уравнението:

8A _ 8C _ 0,434-10^

A '8T-

В този случай стандартното отклонение на измерването на пропускливостта се приема за постоянно в целия динамичен диапазон на фотометъра. В същото време, както е отбелязано в , в допълнение към инструменталните грешки, точността на анализа се влияе от грешката на празния експеримент, грешката при определяне на границите на скалата на инструмента, грешката на кюветата, химичните фактори и грешката в настройка на аналитичната дължина на вълната. Тези фактори се считат за основните източници на грешка в резултата от анализа. Приносът към натрупаната грешка в точността на приготвяне на разтвори за калибриране обикновено се пренебрегва.

От това виждаме, че уравнение (1) няма значителна предсказваща сила, тъй като отчита влиянието само на един фактор. В допълнение, уравнение (1) е следствие от приблизителното разширяване на закона за поглъщане на светлина в серия на Тейлър. Това повдига въпроса за неговата точност, поради пренебрегването на условията на разширението над първи ред. Математическият анализ на остатъците от разлагане е свързан с изчислителни трудности и не се използва в практиката на химичния анализ.

Целта на тази работа е да се проучи възможността за използване на метода Монте Карло (статистически метод за тестване) като независим метод за изследване и прогнозиране на натрупването на грешки при фотометричен анализ, допълващ и задълбочаващ възможностите на ZNO.

Теоретична част

В тази работа ще приемем, че крайната случайна грешка на функцията за калибриране е причинена не само от инструментални грешки при измерване на оптичната плътност, но и от грешки при настройването на скалата на инструмента на 0 и 100% пропускливост (грешката на

богат опит), както и грешки при приготвянето на разтвори за калибриране. Ние пренебрегваме другите източници на грешки, споменати по-горе. След това пренаписваме уравнението на закона на Bouguer-Lambert-Beer във форма, удобна за по-нататъшно изграждане:

Ay = ks" + A

В това уравнение c51 е концентрацията на главния стандартен разтвор на оцветеното вещество, аликвотни части (Va) от които се разреждат в колби с номинален обем Vd, за да се получи серия от разтвори за калибриране, Ai е оптичната плътност на празния разтвор . Тъй като по време на фотометрията оптичната плътност на тестовите разтвори се измерва спрямо празен разтвор, т.е. Ay се приема като конвенционална нула, тогава Ay = 0. (Имайте предвид, че стойността на оптичната плътност, измерена в този случай, може да се нарече конвенционална екстинкция. ) В уравнение (2) безразмерната величина c" има смисъла на концентрацията на работния разтвор, изразена в единици от концентрацията на главния стандарт. Коефициентът k ще наричаме екстинкция на стандарта, тъй като Ag1 = e1c81 с c" = 1.

Нека приложим оператора на закона за натрупване на случайни грешки към израз (2), като приемем Vа, Vd и Ау за случайни величини. Получаваме:

Друга независима случайна променлива, която влияе върху разпространението на стойностите на A, е степента на предаване, тъй като

A = -1§T, (4)

Следователно добавяме още един член към дисперсиите от лявата страна на уравнение (3):

52а=(0,434-10а)Ч+8Іьі +

В този окончателен запис на закона за натрупване на грешките абсолютните стандартни отклонения на T, Ay и Ud са постоянни, а за Va относителната стандартна грешка е постоянна.

При конструирането на стохастичен модел на функцията за калибриране, базиран на метода Монте Карло, ние приемаме, че възможните стойности x * на случайните променливи T, Ay Ua и Vd са разпределени според нормалния закон. Според принципа на Монте Карло ще изиграем възможните стойности, използвайки метода на обратната функция:

Х; =M(x1) + р-1(г])-вХ|, (6)

където M(x) е математическото очакване (реална стойност) на променливата, ¥(r^) е функцията на Лаплас-Гаус, μ са възможните стойности на случайната променлива R, равномерно разпределени в интервала (0,1 ), т.е. случайни числа, 3x - стандартно отклонение на съответната променлива, \ = 1...t - пореден номер на независимата случайна променлива. След заместване на израз (6) в уравнения (4) и (2) имаме:

А" = -18Хі=-1810-а + Р-1(г])8т,

където A" = "k-+ x2

Изчисленията, използващи уравнение (7), връщат отделна реализация на функцията за калибриране, т.е. зависимостта на A" от математическото очакване M(c") (номинална стойност c"). Следователно запис (7) е аналитичен израз на произволна функция. Секциите на тази функция се получават чрез многократно възпроизвеждане на произволни числа във всяка точка от зависимостта на калибриране.Извадков набор от реализации се обработва с помощта на статистически математически методи за целите на оценка на общи параметри на калибриране и тестване на хипотези за свойствата на генералната съвкупност.

Очевидно е, че двата подхода, които разглеждаме към проблема за прогнозиране на метрологичните характеристики във фотометрията - базиран на ZNO, от една страна, и базиран на метода Монте Карло, от друга, трябва да се допълват взаимно. По-специално, от уравнение (5) е възможно да се получи резултатът с много по-малко количество изчисления в сравнение с (7), както и класиране

класират случайните променливи според значимостта на техния принос към получената грешка. Класирането ви позволява да се откажете от експеримента за скрининг в статистическите тестове и априори да изключите незначителни променливи от разглеждане. Уравнение (5) е лесно за анализиране математически, за да се прецени естеството на приноса на факторите към общата дисперсия. Частичните приноси на факторите могат да бъдат разделени на такива, които не зависят от А или нарастват с увеличаване на оптичната плътност. Следователно sA като функция на A трябва да бъде монотонно нарастваща зависимост без минимум. Когато се апроксимират експериментални данни чрез уравнение (5), частични приноси от едно и също естество ще бъдат смесени, например експерименталната грешка може да бъде смесена с грешката на празния експеримент. От друга страна, при статистическо тестване на модела с помощта на метода Монте Карло е възможно да се идентифицират такива важни свойства на графиката за калибриране като закона(ите) за разпределение на грешките, както и да се оцени скоростта на сближаване на извадковите оценки към общите. Такъв анализ не е възможен въз основа на рак.

Описание на изчислителния експеримент

Когато конструираме симулационен модел за калибриране, приемаме, че серията от разтвори за калибриране се приготвя в мерителни колби с номинален капацитет от 50 ml и максимална грешка от +0,05 ml. Добавете от 1 до 17 ml изходен стандартен разтвор към поредица от колби с грешка при пипетиране > 1%. Грешките при измерване на обема бяха оценени с помощта на справочника. Аликвотни части се добавят на еднакви стъпки от 1 ml. В серията има общо 17 разтвора, чиято оптична плътност покрива диапазона от 0,1 до 1,7 единици. Тогава в уравнение (2) коефициентът k = 5. Грешката на празния експеримент се приема на ниво от 0,01 единици. оптична плътност. Грешките при измерване на степента на пропускливост, според , зависят само от класа на устройството и са в диапазона от 0,1 до 0,5% T.

За да свържем по-добре условията на изчислителния експеримент с лабораторния експеримент, използвахме данни за възпроизводимостта на измерванията на оптичните плътности на разтворите на K2Cr2O7 в присъствието на 0,05 M H2S04 на спектрофотометър SF-26. Авторите апроксимират експерименталните данни в интервала A = 0.1... 1.5 с параболично уравнение:

sBOCn*103 =7,9-3,53A + 10,3A2. (8)

Успяхме да напаснем изчисленията, използвайки теоретичното уравнение (5), към изчисленията, използвайки емпиричното уравнение (8), използвайки метода на оптимизация на Нютон. Установихме, че уравнение (5) задоволително описва експеримента при s(T) = 0.12%, s(Abi) = 0.007 и s r(Va) = 1.1%.

Независимите оценки на грешката, дадени в предходния параграф, са в добро съответствие с тези, открити по време на настройката. За изчисления съгласно уравнение (7) е създадена програма под формата на електронна таблица на MS Excel. Най-важната характеристика на нашата програма Excel е използването на израза NORMSINV(RAND()) за генериране на нормално разпределени грешки, вижте уравнение (6). В специализираната литература за статистически изчисления в Excel подробно е описана помощната програма „Генериране на случайни числа“, която в много случаи за предпочитане е заменена с функции като NORMSINV(RAND()). Тази замяна е особено удобна, когато създавате свои собствени програми за симулация Монте Карло.

Резултати и тяхното обсъждане

Преди да продължим със статистическите тестове, нека оценим приноса на членовете от лявата страна на уравнение (5) към общата дисперсия на оптичната плътност. За да направите това, всеки член се нормализира към общата дисперсия. Изчисленията са извършени с s(T) = 0.12%, s(Aw) = 0.007, Sr(Va)=1.1% и s(Vfi) = 0.05. Резултатите от изчислението са показани на фиг. 1. Виждаме, че приносите към общата дисперсия на грешките на измерване Vfl могат да бъдат пренебрегнати.

Докато вноските на друга стойност, която засяга грешките при подготовката на решения, Va

доминират в диапазона на оптичната плътност 0.8__1.2. Това заключение обаче не е общо

характер, тъй като при измерване на фотометър с s(T) = 0,5%, грешките на калибриране, според изчисленията, се определят главно от разпространението на Ay и разпространението на T. На фиг. Фигура 2 сравнява относителните грешки в измерванията на оптичните плътности, предвидени въз основа на ZNO (плътна линия) и метода Монте Карло (символи). При статистическите тестове кривата

грешките бяха реконструирани от 100 реализации на калибрационната зависимост (1700 стойности на оптична плътност). Виждаме, че и двете прогнози са взаимно съвместими. Точките са равномерно групирани около теоретичната крива. Но дори и при такъв доста впечатляващ статистически материал не се наблюдава пълно сближаване. Във всеки случай, разсейването не ни позволява да идентифицираме приблизителната природа на рака, вижте въведението.

0 0.4 0.8 1.2 1.6

Ориз. 1. Претеглени приноси на членовете на уравнение (5) към дисперсията A: 1 - за Ay; 2 - за Ua; 3 - за Т; 4 - за

Ориз. 2. Крива на грешката на графиката за калибриране

От теорията на математическата статистика е известно, че при извършване на интервална оценка на математическото очакване на случайна променлива, надеждността на оценката се увеличава, ако е известен законът на разпределение за тази стойност. Освен това, в случай на нормално разпределение, оценката е най-ефективна. Следователно изучаването на закона за разпределение на грешките в калибровъчната графика е важна задача. При такова изследване на първо място се тества хипотезата за нормалността на разсейването на оптичните плътности в отделни точки на графиката.

Лесен начин за тестване на основната хипотеза е да се изчислят коефициентите на асиметрия (a) и коефициентите на ексцес (e) на емпиричните разпределения, както и тяхното сравнение със стойностите на критериите. Надеждността на статистическите заключения нараства с увеличаване на обема на извадковите данни. На фиг. Фигура 3 показва последователността от коефициенти за 17 секции на функцията за калибриране. Коефициентите се изчисляват въз основа на резултатите от 100 теста във всяка точка. Критичните стойности на коефициентите за нашия пример са |a| = 0,72 и |e| = 0,23.

От фиг. 3 можем да заключим, че разсейването на стойностите в точките на графиката като цяло не е

противоречи на хипотезата за нормалност, тъй като последователностите от коефициенти почти нямат предпочитана посока. Коефициентите са произволно локализирани близо до нулевата линия (показана с пунктирана линия). За нормално разпределение, както е известно, математическото очакване на коефициента на асиметрия и коефициента на ексцес е нула. Съдейки по факта, че за всички секции коефициентите на асиметрия са значително по-ниски от критичната стойност, можем уверено да говорим за симетрия на разпределението на грешките на калибриране. Възможно е разпределението на грешките да е леко изкривено в сравнение с нормалната крива на разпределение. Това заключение следва от наблюдаваното на фиг. 3 малки поло-

Ориз. 3. Коефициенти на ексцес (1) и коефициенти на асиметрия (2) в точките на графиката за калибриране

резидентно изместване на централната линия на дисперсия на коефициентите на ексцес. По този начин, от изучаването на модела на обобщената функция за калибриране на фотометричния анализ с помощта на метода Монте Карло (2), можем да заключим, че разпределението на грешките при калибриране е близко до нормалното. Следователно изчисленията на доверителните интервали за резултатите от фотометричния анализ с помощта на коефициентите на Student могат да се считат за напълно оправдани.

При извършване на стохастично моделиране беше оценена скоростта на сближаване на кривите на грешката на извадката (виж фиг. 2) към математическото очакване на кривата. За математическото очакване на кривата на грешката ще вземем кривата, изчислена от ЗНО. Близостта на резултатите от статистическите тестове с различен брой изпълнения на калибриране n до теоретичната крива ще бъде оценена чрез коефициента на неопределеност 1 - R2. Този коефициент характеризира съотношението на вариацията в извадката, която не може да бъде описана теоретично. Установихме, че зависимостта на коефициента на неопределеност от броя на реализациите на калибровъчната функция може да се опише с емпиричното уравнение I - K2 = -2.3n-1 + 1.6n~/a -0.1. От уравнението намираме, че при n = 213 трябва да очакваме почти пълно съвпадение на теоретичните и емпиричните криви на грешки. По този начин последователна оценка на грешките на фотометричния анализ може да се получи само върху доста голям статистически материал.

Нека разгледаме възможностите на статистическия тестов метод за прогнозиране на резултатите от регресионния анализ на калибровъчната графика и използването на графиката при определяне на концентрациите на фотометрирани разтвори. За да направим това, ние ще изберем ситуацията на измерване на рутинен анализ като сценарий. Графиката се начертава с помощта на единични измервания на оптичните плътности на серия от стандартни разтвори. Концентрацията на анализирания разтвор се намира от графиката въз основа на 3-4 резултата от паралелни измервания. При избора на регресионен модел трябва да се има предвид, че разпространението на оптичните плътности в различни точки на калибровъчната графика не е еднакво, вижте уравнение (8). В случай на хетероекедастично разсейване се препоръчва да се използва схемата на претеглените най-малки квадрати (WLS). В литературата обаче не намерихме ясни указания за причините, поради които класическата OLS схема, едно от условията за приложимост на която е изискването за хомоскедастичност на разсейването, е по-малко за предпочитане. Тези причини могат да бъдат установени чрез обработка на същия статистически материал, получен по метода Монте Карло по сценария на рутинния анализ, с два варианта на OLS - класически и претеглен.

В резултат на регресионен анализ само на едно изпълнение на функцията за калибриране бяха получени следните оценки на най-малките квадрати: k = 4.979 с Bk = 0.023. Когато оценяваме същите характеристики на VMNC, получаваме k = 5.000 с Bk = 0.016. Регресиите бяха реконструирани с помощта на 17 стандартни решения. Концентрациите в серията за калибриране нарастват в аритметична прогресия, а оптичните плътности се променят еднакво равномерно в диапазона от 0,1 до 1,7 единици. В случая на VMNC, статистическите тегла на точките от калибрационната графика бяха намерени с помощта на дисперсиите, изчислени съгласно уравнение (5).

Вариациите на оценките и за двата метода са статистически неразличими според теста на Фишер при ниво на значимост от 1%. Въпреки това, при същото ниво на значимост, OLS оценката на k се различава от VMLS оценката според 1;-критерия. Оценката на OLS на коефициента на калибрационната графика е изместена спрямо действителната стойност M(k) = 5.000, съдейки по теста при 5% ниво на значимост. Докато претеглената OLS дава оценка, която не съдържа систематична грешка.

Сега нека разберем как пренебрегването на хетероскедастичността може да повлияе на качеството на химическия анализ. Таблицата показва резултатите от симулационен експеримент за анализ на 17 контролни проби от оцветено вещество с различни концентрации. Освен това всяка аналитична серия включва четири решения, т.е. За всяка проба бяха извършени четири паралелни определяния. За обработка на резултатите бяха използвани две различни зависимости на калибриране: едната беше възстановена чрез прост метод на най-малките квадрати, а втората чрез претеглен. Ние вярваме, че контролните разтвори са били подготвени за анализ по същия начин като разтворите за калибриране.

От таблицата виждаме, че действителните стойности на концентрациите на контролните разтвори както в случая на VMNC, така и в случая на MNC не попадат извън доверителните интервали, т.е. резултатите от анализа не съдържат значителни систематични грешки. Максималните грешки на двата метода не са статистически различни, с други думи, и двете оценки

Сравняването на резултатите от определянето на концентрациите има същата ефективност. от-

контролни разтвори с помощта на два метода, може да се заключи, че когато

При рутинни анализи използването на прост непретеглен OLS дизайн е напълно оправдано. Използването на VMNC е за предпочитане, ако изследователската задача е само определяне на моларна екстинкция. От друга страна, трябва да се има предвид, че нашите заключения имат статистически характер. Вероятно с увеличаване на броя на паралелните определяния хипотезата за безпристрастността на OLS оценките на концентрациите няма да намери потвърждение, дори ако систематичните грешки са незначителни от практическа гледна точка.

Сравнително високото качество на анализа, който открихме въз основа на проста схема на класически най-малки квадрати, изглежда особено неочаквано, ако вземем предвид факта, че се наблюдава много силна хетероскедастичност в диапазона на оптичната плътност от 0,1 h - 1,7. Степента на хетерогенност на данните може да се прецени по тегловната функция, която е добре апроксимирана от полинома w = 0.057A2 - 0.193A + 0.173. От това уравнение следва, че в крайните точки на калибрирането статистическите тегла се различават повече от 20 пъти. Нека обаче обърнем внимание на факта, че калибриращите функции бяха възстановени с помощта на 17 точки на графиката, докато по време на анализа бяха извършени само 4 паралелни определяния. Следователно значителната разлика, която открихме между функциите за калибриране на LLS и VMLS и незначителната разлика в резултатите от анализа, използвайки тези функции, може да се обясни със значително различния брой степени на свобода, които бяха налични при конструирането на статистически заключения.

Заключение

1. Предложен е нов подход към стохастичното моделиране във фотометричния анализ, базиран на метода Монте Карло и закона за натрупване на грешки с помощта на процесора за електронни таблици Excel.

2. Въз основа на 100 изпълнения на калибрационната зависимост е показано, че прогнозирането на грешките чрез аналитичните и статистическите методи е взаимно съвместимо.

3. Изследвани са коефициентите на асиметрия и ексцес по калибровъчната графика. Установено е, че вариациите в грешките на калибриране се подчиняват на закон на разпределение, близък до нормалния.

4. Разглежда се влиянието на хетероскедастичността в разсейването на оптичните плътности по време на калибриране върху качеството на анализа. Установено е, че при рутинни анализи използването на проста непретеглена OLS схема не води до забележимо намаляване на точността на резултатите от анализа.

Литература

1. Бърнстейн, И.Я. Спектрофотометричен анализ в органичната химия / I.Ya. Бернщайн, Ю.Л. Камински. - Л.: Химия, 1986. - 200 с.

2. Булатов, М.И. Практическо ръководство за фотометрични методи за анализ / M.I. Булатов, И.П. Калинкин. - Л.: Химия, 1986. - 432 с.

3. Гмурман, В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика / V.E. Гмурман. - М.: Висше училище, 1977. - 470 с.

№ s", s", намерени (P = 95%)

n/a дадено от МНК ВМНК

1 0,020 0,021±0,002 0,021±0,002

2 0,040 0,041±0,001 0,041±0,001

3 0,060 0,061±0,003 0,061±0,003

4 0,080 0,080±0,004 0,080±0,004

5 0,100 0,098±0,004 0,098±0,004

6 0,120 0,122±0,006 0,121±0,006

7 0,140 0,140±0,006 0,139±0,006

8 0,160 0,163±0,003 0,162±0,003

9 0,180 0,181±0,006 0,180±0,006

10 0,200 0,201±0,002 0,200±0,002

11 0,220 0,219±0,008 0,218±0,008

12 0,240 0,242±0,002 0,241±0,002

13 0,260 0,262±0,008 0,261±0,008

14 0,280 0,281±0,010 0,280±0,010

15 0,300 0,307±0,015 0,306±0,015

16 0,320 0,325±0,013 0,323±0,013

17 0,340 0,340±0,026 0,339±0,026

4. Правдин, П. В. Лабораторни инструменти и оборудване от стъкло / П.В. Правдин. - М.: Химия, 1988.-336 с.

5. Макарова, Н.В. Статистика в Excel / Н.В. Макарова, В.Я. Трофимец. - М.: Финанси и статистика, 2002. - 368 с.

ПРОГНОЗИРАНЕ НА ГРЕШКИ ВЪВ ФОТОМЕТРИЯТА С ИЗПОЛЗВАНЕ НА ЗАКОНА ЗА НАТРУПВАНЕ НА ГРЕШКИ И МЕТОДА МОНТЕ КАРЛО

По време на изчислителен експеримент, в комбинация от закона за натрупване на грешки и метода Монте Карло, е изследвано влиянието на грешките при вземане на решение, грешките на празния експеримент и грешките при измерване на оптично предаване върху метрологичните характеристики на фотометричния анализ. Доказано е, че резултатите от прогнозирането чрез аналитични и статистически методи са взаимосъгласувани. Установено е, че уникалната характеристика на метода Монте Карло позволява прогнозиране на закона за натрупване на грешки във фотометрията. За версията на рутинния анализ е изследвано влиянието на хетероскедастичността на дисперсията по калибрационната крива върху качеството на анализа.

Ключови думи: фотометричен анализ, закон за натрупване на грешки, калибровъчна крива, метрологични характеристики, метод Монте Карло, стохастично моделиране.

Голованов Владимир Иванович - д-р. Sc. (химия), професор, ръководител на катедрата по аналитична химия, Южноуралски държавен университет.

Голованов Владимир Иванович - доктор на химическите науки, професор, ръководител на катедрата по аналитична химия, Южноуралски държавен университет.

Електронна поща: [имейл защитен]

Данилина Елена Ивановна - доктор по химия, доцент, катедра "Аналитична химия", Южноуралски държавен университет.

Данилина Елена Ивановна - кандидат на химическите науки, доцент, катедра по аналитична химия, Южноуралски държавен университет.

при числено решаване на алгебрични уравнения - общото влияние на закръглянията, направени на отделни стъпки от изчислителния процес, върху точността на полученото линейно алгебрично решение. системи. Най-често срещаният начин за априорна оценка на общото въздействие на грешките при закръгляване в числените методи на линейната алгебра е така наречената схема. обратен анализ. В приложение за решаване на линейна алгебрична система. уравнения

Схемата за обратен анализ е следната. Решението, изчислено по директния метод, не удовлетворява (1), но може да бъде представено като точно решение на смутената система

Качеството на директния метод се оценява чрез най-добрата априорна оценка, която може да се даде за нормите на матрицата и вектора. Такива „най-добри“ и т.нар. съответно матрица и вектор на еквивалентно смущение за метода М.

Ако има оценки за и, тогава теоретично грешката на приблизителното решение може да се оцени чрез неравенството

Тук е номерът на условието на матрица A и се приема, че матричната норма в (3) е подчинена на векторната норма

В действителност оценката за рядко е известна и основната точка на (2) е да може да се сравнява качеството на различни методи. По-долу е формата на някои типични оценки за матрицата За методи с ортогонални трансформации и аритметика с плаваща запетая (в система (1) A и b се считат за реални)

В тази оценка - относителната точност на аритметиката. компютърни операции, е евклидовата матрична норма, f(n) е функция от формата , където n е редът на системата. Точните стойности на константата C на индикатора k се определят от такива детайли на изчислителния процес като метода на закръгляване, използването на операцията за натрупване на скаларни продукти и т.н. Най-често k = 1 или 3/2 .

В случай на методи от тип Гаус, дясната страна на оценката (4) също включва фактор, отразяващ възможността за растеж на елементите на матрицата Ana на междинни стъпки на метода в сравнение с първоначалното ниво (такъв растеж липсва в ортогонални методи). За да се намали стойността на , се използват различни методи за избор на водещия елемент, предотвратявайки увеличаването на матричните елементи.

За метод на квадратен корен,който обикновено се използва в случай на положително определена матрица A, се получава най-силната оценка

Съществуват директни методи (Jordan, граничещи, спрегнати градиенти), за които директното прилагане на схемата за обратен анализ не води до ефективни оценки. В тези случаи при изучаването на Н. се прилагат и други съображения (виж -).

Лит.: Givens W., "TJ. S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL", 1954, № 1574; Wilkinson J.H., Грешки при закръгляване в алгебрични процеси, L., 1963; Уилкинсън Дж.

Х. Д. Икрамов.

Проблемът със закръгляването или грешката на метода възниква при решаване на задачи, при които решението е резултат от голям брой последователно изпълнени аритметични операции. операции.

Значителна част от тези задачи включва решаване на алгебрични задачи. проблеми, линейни или нелинейни (вижте по-горе). На свой ред сред алгебрич проблеми Най-честите проблеми възникват при апроксимиране на диференциални уравнения. Тези задачи имат определени специфични характеристики. особености.

Методът за решаване на проблем следва същите или по-прости закони като метода на изчислителната грешка; Н., стр. метод се изследва, когато се оценява метод за решаване на проблем.

При изследване на натрупването на изчислителна грешка се разграничават два подхода. В първия случай се смята, че изчислителните грешки на всяка стъпка се въвеждат по най-неблагоприятния начин и се получава мажорна оценка на грешката. Във втория случай се смята, че тези грешки са случайни с определен закон на разпределение.

Естеството на проблема зависи от проблема, който се решава, от метода на решаване и редица други фактори, които на пръв поглед може да изглеждат маловажни; Това включва формата на записване на числа в компютър (с фиксирана запетая или с плаваща запетая), реда, в който се извършва аритметиката. операции и пр. Например в задачата за изчисляване на сумата от N числа

Редът, в който се извършват операциите, е важен. Нека изчисленията се извършват на машина с плаваща запетая с t двоични цифри и всички числа са в . Когато се изчислява директно с помощта на повтаряща се формула, оценката на основната грешка е от порядъка 2 -t N.Можете да го направите по различен начин (вижте). При изчисляване на суми по двойки (Ако N=2l+1странно) вярвам . След това се изчисляват техните суми по двойки и т.н. След стъпките за формиране на суми по двойки с помощта на формулите

получите оценка на голяма грешка при поръчка

В типичните проблеми количествата a tсе изчисляват с помощта на формули, по-специално повтарящи се, или се въвеждат последователно в RAM на компютъра; в тези случаи използването на описаната техника води до увеличаване на натоварването на компютърната памет. Въпреки това е възможно да се организира последователността от изчисления, така че натоварването на RAM да не надвишава -log 2 N клетки.

При числено решаване на диференциални уравнения са възможни следните случаи. Тъй като стъпката на мрежата h клони към нула, грешката нараства където и да е . Такива методи за решаване на проблеми се класифицират като нестабилни. Употребата им е спорадична. характер.

Стабилните методи се характеризират с увеличаване на грешката като Грешката на такива методи обикновено се оценява, както следва. Конструира се уравнение по отношение на смущението, въведено или чрез закръгляване, или от грешки на метода, след което се изследва решението на това уравнение (виж,).

В по-сложни случаи се използва методът на еквивалентните смущения (виж,), разработен във връзка с проблема за изследване на натрупването на изчислителни грешки при решаване на диференциални уравнения (виж,,). Изчисленията, използващи определена изчислителна схема със закръгляване, се считат за изчисления без закръгляване, но за уравнение с нарушени коефициенти. Чрез сравняване на решението на оригиналното мрежово уравнение с решението на уравнението със смутени коефициенти се получава оценка на грешката.

Обръща се значително внимание на избора на метод с по възможност по-ниски стойности на q и A(h) . С фиксиран метод за решаване на проблема, формулите за изчисление обикновено могат да бъдат преобразувани във формата където (вижте , ). Това е особено важно в случай на обикновени диференциални уравнения, където броят на стъпките в някои случаи се оказва много голям.

Стойността (h) може да нарасне значително с увеличаване на интервала на интегриране. Затова те се опитват да използват методи с по-ниска стойност на A(h), ако е възможно. . В случая на проблема на Коши, грешката при закръгляването на всяка конкретна стъпка по отношение на следващите стъпки може да се счита за грешка в първоначалното условие. Следователно ниската граница (h) зависи от характеристиката на дивергенцията на близки решения на диференциалното уравнение, дефинирано от вариационното уравнение.

В случай на числено решение на обикновено диференциално уравнение уравнението в вариации има формата

и следователно при решаване на задача на интервала ( x 0, X) невъзможно е да се разчита, че константата A(h) в мажорантната оценка на изчислителната грешка ще бъде значително по-добра от

Следователно при решаването на този проблем най-често се използват едноетапни методи от типа Runge-Kutta или методи от типа на Adams (виж,), където проблемът се определя главно чрез решаване на уравнението във варианти.

За редица методи основният член на грешката на метода се натрупва по подобен закон, докато изчислителната грешка се натрупва много по-бързо (виж). Област на практика приложимостта на такива методи се оказва значително по-тясна.

Натрупването на изчислителна грешка значително зависи от метода, използван за решаване на проблема с мрежата. Например, когато се решават проблеми с гранични стойности на мрежата, съответстващи на обикновени диференциални уравнения, като се използват методи за стрелба и метене, проблемът има характера A(h) ч-к,където q е същото. Стойностите на A(h) за тези методи могат да се различават толкова много, че в определена ситуация един от методите да стане неприложим. При решаване на задача с гранична стойност на мрежата за уравнението на Лаплас по метода на стрелба, проблемът има характер s 1/h, s>1, а в случай на метода на почистване А-к.С вероятностния подход към изследването на грешките при закръгляване, в някои случаи те a priori приемат някакъв закон за разпределение на грешките (вижте), в други случаи въвеждат мярка за пространството на разглежданите проблеми и въз основа на тази мярка, получи закон за разпределение на грешката при закръгляване (виж, ).

При умерена точност при решаването на проблема мажорантният и вероятностният подход за оценка на натрупването на изчислителна грешка обикновено дават качествено едни и същи резултати: или в двата случая грешката се появява в приемливи граници, или и в двата случая грешката надхвърля тези граници.

Лит.: Воеводин В.В., Изчислителни основи на линейната алгебра, М., 1977; Шура-Бура М.Р., „Приложна математика и механика“, 1952 г., том 16, № 5, стр. 575-88; Бахвалов Н. С., Числени методи, 2 изд., М., 1975 г.; Wilkinson J. X., The Algebraic Eigenvalue Problem, trans. от англ., М.. 1970; Бахвалов Н. С., в книгата: Изчислителни методи и програмиране, т. 1, М., 1962, с. 69-79; Годунов С.К., Рябенкий В.С., Разностни схеми, 2 изд., М., 1977; Бахвалов Н. С., "Док. Академия на науките на СССР", 1955 г., т. 104, № 5, с. 683-86; негов, "J. ще изчисли, математика и математическа физика", 1964; том 4, № 3, стр. 399-404; Лапшин Е. А., пак там, 1971, том 11, № 6, стр. 1425-36.

• - отклонения на резултатите от измерването от истинските стойности на измереното количество. Систематично...
• - метрологични отклонения свойства или параметри на средства за измерване от мемориални, влияещи върху грешките на резултатите от измерванията...

  Естествени науки. енциклопедичен речник

• - отклонения на резултатите от измерването от истинските стойности на измереното количество. Те играят съществена роля в редица съдебни експертизи...

  Криминалистична енциклопедия

• - : Вижте още: - грешки на измервателните уреди - грешки на измерванията...
• - Виж...

  Енциклопедичен речник по металургия

• - отклонения на метрологичните параметри на средствата за измерване от номиналните, влияещи върху грешките на резултатите от измерването...

  Енциклопедичен речник по металургия

• - „...Периодичните грешки са грешки, чиято стойност е периодична функция на времето или движението на стрелката на измервателния уред.....

  Официална терминология

• - "...Постоянните грешки са грешки, които запазват стойността си дълго време, например по време на цялата поредица от измервания. Те се срещат най-често.....

  Официална терминология

• - "...Прогресивните грешки са непрекъснато нарастващи или намаляващи грешки...

  Официална терминология

• - вижте Грешки при наблюдение...

  Енциклопедичен речник на Brockhaus и Euphron

• - грешки при измерване, отклонения на резултатите от измерването от истинските стойности на измерените количества. Има систематични, произволни и груби П. и. ...
• - отклонения на метрологичните свойства или параметри на средствата за измерване от номиналните, засягащи грешките на резултатите от измерванията, получени с помощта на тези инструменти...

  Велика съветска енциклопедия

• - разликата между резултатите от измерването и истинската стойност на измерената стойност. Относителната грешка на измерване е съотношението на абсолютната грешка на измерване към истинската стойност...

  Съвременна енциклопедия

• - отклонения на резултатите от измерването от истинските стойности на измереното количество...

  Голям енциклопедичен речник

• - прил., брой синоними: 3 коригирани отстранени неточности отстранени грешки...

  Речник на синонимите

• - прил., брой синоними: 4 коригирани, отстранени дефекти, отстранени неточности, отстранени грешки...

  Речник на синонимите

"НАТРУПВАНЕ НА ГРЕШКА" в книгите

Технически грешки

От книгата Звезди и малко нервно автор

Технически грешки

От книгата Vain Perfections and Other Vignettes автор Жолковски Александър Константинович

Технически грешки Историите за успешна съпротива срещу сила не са толкова неправдоподобни, колкото латентно се страхуваме. Атаката обикновено предполага пасивността на жертвата и следователно се обмисля само една стъпка напред и не може да издържи на контраатака. Татко ми каза за един от тях

Грехове и грешки

От книгата Как НАСА показа на Америка Луната от Рене Ралф

Грехове и грешки Въпреки цялата фиктивност на своята космическа навигация, НАСА се похвали с удивителна точност във всичко, което направи. Девет поредни пъти капсулите на Аполо паднаха перфектно в лунната орбита, без да се налагат големи корекции на курса. Лунен модул,

Първоначално натрупване на капитал. Принудително лишаване от собственост на селяните. Натрупване на богатство.

автор

Първоначално натрупване на капитал. Принудително лишаване от собственост на селяните. Натрупване на богатство. Капиталистическото производство предполага две основни условия: 1) наличието на маса бедни хора, лично свободни и в същото време лишени от средства за производство и

Социалистическо натрупване. Натрупване и потребление в социалистическото общество.

От книгата Политическа икономия автор Островитянов Константин Василиевич

Социалистическо натрупване. Натрупване и потребление в социалистическото общество. Източникът на разширеното социалистическо възпроизводство е социалистическото натрупване. Социалистическото натрупване е използването на част от чистия доход на обществото,

Грешки при измерване

TSB

Грешки на измервателните уреди

От книгата Велика съветска енциклопедия (ПО) на автора TSB

Ултразвукови грешки

От книгата Възстановяване на щитовидната жлеза Ръководство за пациенти автор Ушаков Андрей Валериевич

Грешки на ултразвука Когато пациент дойде при мен от Санкт Петербург за консултация, видях три доклада от ултразвуково изследване наведнъж. Всички те са направени от различни специалисти. Описан по различен начин. В същото време датите на проучванията почти се различават една от друга

Приложение 13 Грешки в говора

От книгата Изкуството да постигаш своя път автор Степанов Сергей Сергеевич

Приложение 13 Грешки в говора Дори привидно безобидни фрази често могат да се превърнат в сериозна пречка за напредък в кариерата. Известният американски специалист по маркетинг Джон Р. Греъм състави списък с изрази, чието използване, според неговите наблюдения,

Грешки в говора

От книгата Колко струваш [Технологии за успешна кариера] автор Степанов Сергей Сергеевич

Грешки в говора Дори привидно безобидни фрази често могат да се превърнат в сериозна пречка за напредък в кариерата. Известният американски специалист по маркетинг Джон Р. Греъм състави списък с изрази, чието използване, според неговите наблюдения, не позволява

Катастрофални грешки

От книгата Черният лебед [Под знака на непредсказуемостта] автор Талеб Насим Николас

Катастрофални грешки Грешките имат такова разрушително свойство: колкото по-значими са, толкова по-голям е маскиращият им ефект.Никой не вижда мъртви плъхове и следователно колкото по-смъртоносен е рискът, толкова по-малко очевиден е той, тъй като жертвите са изключени от броя на свидетели. как

Грешки в ориентацията

Из книгата Азбука на туризма автор Бардин Кирил Василиевич

Грешки в ориентацията И така, обичайната задача за ориентиране, която туристът трябва да реши, е да стигне от една точка до друга, като използва само компас и карта. Районът е непознат и освен това затворен, тоест лишен от всякакъв

Грешки: философия

От книгата на автора

Грешки: философия На интуитивно ниво ние разбираме, че нашите знания в много случаи не са точни. Можем предпазливо да предположим, че нашите знания като цяло могат да бъдат точни само в отделен мащаб. Можете да знаете точно колко топки има в торбата, но не можете да знаете какво е теглото им,

Грешки: модели

От книгата на автора

Грешки: модели Когато измерваме нещо, е удобно да представим наличната информация към момента на започване на измерванията (както съзнателни, така и несъзнателни) под формата на модели на обект или явление. Моделът на “нулево ниво” е модел на наличието на количество. Вярваме, че съществува -

Грешки: какво и как да контролираме

От книгата на автора

Грешки: какво и как да се контролира Изборът на контролирани параметри, схема на измерване, метод и обхват на контрол се извършва, като се вземат предвид изходните параметри на продукта, неговия дизайн и технология, изискванията и нуждите на лицето, което използва контролираните продукти . Още веднъж,

Под грешка при измерване разбираме съвкупността от всички грешки при измерване.

Грешките в измерването могат да бъдат класифицирани в следните типове:

Абсолютно и относително,

Положителни и отрицателни,

Постоянно и пропорционално,

Случайно и систематично,

Абсолютна грешка А г) се определя като разликата на следните стойности:

А г = газ- гист.  газ - г,

Където: г i – единичен резултат от измерване; гист. – истински резултат от измерването; г– средноаритметична стойност на резултата от измерването (наричана по-долу средна стойност).

Константа се нарича абсолютна грешка, която не зависи от стойността на измереното количество ( г г).

Грешка пропорционален , ако посочената зависимост съществува. Естеството на грешката на измерване (постоянна или пропорционална) се определя след специални изследвания.

Относителна грешка резултат от едно измерване ( IN г) се изчислява като отношението на следните количества:

От тази формула следва, че големината на относителната грешка зависи не само от величината на абсолютната грешка, но и от стойността на измереното количество. Ако измерената стойност остане непроменена ( г) относителната грешка на измерване може да бъде намалена само чрез намаляване на абсолютната грешка ( А г). Ако абсолютната грешка на измерване е постоянна, техниката за увеличаване на стойността на измереното количество може да се използва за намаляване на относителната грешка на измерване.

Знакът на грешката (положителен или отрицателен) се определя от разликата между единичния и получения (средноаритметичен) резултат от измерването:

газ - г> 0 (грешката е положителна );

газ - г< 0 (грешката е отрицателна ).

Груба грешка измерване (пропускане) възниква, когато техниката на измерване е нарушена. Резултат от измерване, съдържащ груба грешка, обикновено се различава значително по големина от другите резултати. Наличието на груби грешки в измерването в извадката се установява само чрез методите на математическата статистика (с броя на повторенията на измерването н>2). Запознайте се сами с методите за откриване на груби грешки.

ДА СЕ случайни грешки включват грешки, които нямат постоянна стойност и знак. Такива грешки възникват под въздействието на следните фактори: неизвестни на изследователя; известни, но нерегламентирани; постоянно се променя.

Случайните грешки могат да бъдат оценени само след извършване на измервания.

Следните параметри могат да бъдат количествена оценка на модула на случайната грешка на измерване: дисперсия на пробата на единични стойности и средната стойност; примерни абсолютни стандартни отклонения на единични стойности и средна стойност; примерни относителни стандартни отклонения на единични стойности и средна стойност; обща дисперсия на единични стойности), съответно и др.

Случайните грешки при измерване не могат да бъдат елиминирани, те могат само да бъдат намалени. Един от основните начини за намаляване на големината на случайната грешка при измерване е увеличаване на броя (размера на извадката) на единичните измервания (увеличаване на величината н). Това се обяснява с факта, че големината на случайните грешки е обратно пропорционална на величината н, Например:

.

Системни грешки – това са грешки с непроменени големина и знак или вариращи по известен закон. Тези грешки са причинени от постоянни фактори. Систематичните грешки могат да бъдат количествено определени, намалени и дори елиминирани.

Систематичните грешки се класифицират в грешки от тип I, II и III.

ДА СЕ систематични грешкиазТипсе отнасят за грешки с известен произход, които могат да бъдат оценени чрез изчисление преди измерването. Тези грешки могат да бъдат елиминирани чрез въвеждането им в резултата от измерването под формата на корекции. Пример за грешка от този тип е грешка в титриметричното определяне на обемната концентрация на разтвор, ако титрантът е приготвен при една температура, а концентрацията е измерена при друга. Познавайки зависимостта на плътността на титранта от температурата, е възможно да се изчисли преди измерването промяната в обемната концентрация на титранта, свързана с промяната в неговата температура, и тази разлика може да се вземе предвид като корекция като резултат от измерването.

СистематиченгрешкиIIТип– това са грешки с известен произход, които могат да бъдат оценени само по време на експеримент или в резултат на специално изследване. Този тип грешки включва инструментални (инструментални), реактивни, референтни и други грешки. Запознайте се сами с характеристиките на такива грешки в .

Всяко устройство, когато се използва в измервателна процедура, въвежда свои собствени грешки на инструмента в резултата от измерването. Освен това някои от тези грешки са случайни, а другата част са систематични. Случайните грешки на инструмента не се оценяват отделно; те се оценяват в съвкупност с всички други случайни грешки на измерване.

Всеки екземпляр на всяко устройство има своя лична систематична грешка. За да се оцени тази грешка, е необходимо да се проведат специални изследвания.

Най-надеждният начин за оценка на систематичната грешка на инструментите от тип II е да се провери работата на инструментите спрямо стандартите. За измерване на стъклария (пипета, бюрета, цилиндри и др.) се извършва специална процедура - калибриране.

На практика това, което най-често се изисква, е не да се оцени, а да се намали или елиминира систематичната грешка тип II. Най-често срещаните методи за намаляване на системните грешки са методи на релативизация и рандомизация.Открийте тези методи за себе си на .

ДА СЕ грешкиIIIТипвключват грешки с неизвестен произход. Тези грешки могат да бъдат открити само след елиминиране на всички систематични грешки от тип I и II.

ДА СЕ други грешки Нека включим всички останали видове грешки, които не са обсъдени по-горе (допустими, възможни маргинални грешки и т.н.).

Концепцията за възможните максимални грешки се използва в случаите на използване на измервателни уреди и предполага максималната възможна стойност на инструменталната грешка при измерване (реалната стойност на грешката може да бъде по-малка от стойността на възможната максимална грешка).

Когато използвате измервателни уреди, можете да изчислите възможното максимално абсолютно (
) или относително (
) грешка при измерване. Така, например, възможната максимална абсолютна грешка на измерване се намира като сумата от възможната максимална произволна (
) и неизключени систематични (
) грешки:

=
+

За малки проби ( н20) на неизвестна съвкупност, която се подчинява на нормалния закон за разпределение, случайните възможни максимални грешки при измерване могат да бъдат оценени, както следва:

= =
,

Където: – доверителен интервал за съответната вероятност Р;

–квантил на t-разпределението на Стюдънт за вероятност Ри проби от нили с броя на степените на свобода f = н – 1.

Абсолютно възможната максимална грешка на измерване в този случай ще бъде равна на:

=
+
.

Ако резултатите от измерването не се подчиняват на нормалния закон за разпределение, тогава грешките се оценяват с помощта на други формули.

Определяне на величината
зависи от това дали измервателният уред има клас на точност. Ако измервателният уред няма клас на точност, тогава на размер
можете да приемете минималната цена на деление на скалата(или половината от него) средство за измерване. За измервателен уред с известен клас на точност на стойността
може да се приеме абсолютно допустимосистематична грешка на измервателния уред (
):


.

величина
изчислено по формулите, дадени в табл. 2.

За много измервателни уреди класът на точност е посочен под формата на числа А10 н, Където Ае равно на 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 и не равно на 1; 0; -1; -2 и т.н., които показват стойността на възможната максимално допустима систематична грешка (Е г , добавете.) и специални знаци, указващи вида му (относителен, намален, постоянен, пропорционален).

Ако компонентите на абсолютната систематична грешка на средноаритметичния резултат от измерването са известни (например грешка на инструмента, грешка на метода и т.н.), тогава тя може да бъде оценена с помощта на формулата

,

Където: м– броя на компонентите на систематичната грешка на средния резултат от измерването;

к– коефициент, определен от вероятността Ри номер м;

– абсолютна систематична грешка на отделен компонент.

Индивидуалните компоненти на грешката могат да бъдат пренебрегнати, ако са изпълнени подходящи условия.

таблица 2

Примери за обозначаване на класове на точност на измервателни уреди

Обозначаване на класа точност		Формула за изчисление и стойност на максимално допустимата систематична грешка	Характеристики на систематичната грешка
в документацията	на измервателния уред
			Дадената допустима систематична грешка като процент от номиналната стойност на измерената стойност, която се определя от вида на скалата на измервателния уред
			Дадената допустима систематична грешка като процент от дължината на използваната скала на измервателния уред (A) при получаване на единични стойности на измереното количество
			Постоянна относителна допустима систематична грешка като процент от получената единична стойност на измереното количество
		° С = 0,02; д = 0,01	Пропорционална относителна допустима систематична грешка в части от получената единична стойност на измерената стойност, която нараства с увеличаване на крайната стойност на обхвата на измерване от даден измервателен уред ( г k) или намаляване на единичната стойност на измереното количество ( ги)

Систематичните грешки могат да бъдат пренебрегнати, ако неравенството е в сила

0,8.

В този случай те приемат


 
.

Случайните грешки могат да бъдат пренебрегнати

8.

ad hoc

.

За да се гарантира, че общата грешка на измерване се определя само от систематични грешки, броят на повтарящите се измервания се увеличава. Минималният брой повторни измервания, необходими за това ( н min) може да се изчисли само с известна стойност на съвкупността от отделни резултати, като се използва формулата

.

Оценката на грешките при измерване зависи не само от условията на измерване, но и от вида на измерването (пряко или косвено).

Разделянето на измерванията на преки и непреки е доста произволно. В бъдеще под директни измервания Ще разберем измервания, чиито стойности са взети директно от експериментални данни, например, прочетени от скалата на инструмент (добре известен пример за директно измерване е измерването на температурата с термометър). ДА СЕ косвени измервания ще включим тези, чиито резултати са получени на базата на известна връзка между желаната стойност и стойностите, определени в резултат на директни измервания. При което резултатиндиректно измерване получени чрез изчислениекато функционална стойност  , чиито аргументи са резултатите от директни измервания ( х 1 ,х 2 , …,х j,. ..., хк).

Трябва да знаете, че грешките на индиректните измервания винаги са по-големи от грешките на отделните директни измервания.

Грешки при индиректни измервания се оценяват според съответните закони за натрупване на грешки (с к2).

Закон за натрупване на случайни грешкииндиректните измервания изглеждат така:

.

Закон за натрупване на възможни максимални абсолютни систематични грешкикосвените измервания са представени от следните зависимости:

;
.

Закон за натрупване на възможни ограничаващи относителни систематични грешкикосвените измервания имат следната форма:

;

.

В случаите, когато изискваната стойност ( г) се изчислява като функция от резултатите от няколко независими директни измервания на формата
, законът за натрупване на ограничаващите относителни систематични грешки на косвените измервания приема по-проста форма:

;
.

Грешките и несигурностите в измерванията определят тяхната точност, възпроизводимост и коректност.

точностколкото по-висока, толкова по-малка е грешката на измерване.

Възпроизводимострезултатите от измерването се подобряват чрез намаляване на случайните грешки при измерване.

вярнорезултатът от измерването се увеличава с намаляване на остатъчните систематични грешки при измерване.

Научете сами повече за теорията на грешките при измерване и техните характеристики. Бих искал да обърна внимание на факта, че съвременните форми на представяне на крайните резултати от измерванията задължително изискват включване на грешки или грешки на измерване (вторични данни). В този случай трябва да се представят грешки и грешки при измерване числа,които съдържат не повече от две значими фигури .

1.2.10. Обработка на индиректни измервания.

При косвени измервания, желаната стойност на физическа величина Y открити въз основа на резултатите х 1 , х 2 , … х аз , … х н, директни измервания на други физични величини, свързани с желаната известна функционална зависимост φ:

Y= φ( х 1 , Х 2 , … Х аз , … х н). (1.43)

Ако приемем, че х 1 , х 2 , … х аз , … х н– коригирани резултати от преките измервания и методологичните грешки на непрякото измерване могат да бъдат пренебрегнати, резултатът от непрякото измерване може да се намери директно с помощта на формула (1.43).

Ако Δ х 1 , Δ х 2 , … Δ х аз , … Δ х н– грешки в резултатите от директни измервания на величини х 1 , х 2 , … х аз , … х н, тогава грешката Δ на резултата Y непряко измерване в линейно приближение може да се намери по формулата

Δ = . (1.44)

Срок

(1.45)

– компонент на грешката в резултата от непряко измерване, причинена от грешката Δ х азрезултат х аздиректното измерване се нарича частична грешка, а приблизителната формула (1.44) е закон за натрупване на частни грешки. (1Q22)

За да се оцени грешката Δ на резултата от непрякото измерване, е необходимо да има известна информация за грешките Δ х 1 , Δ х 2 , … Δ х аз , … Δ х нрезултати от директни измервания.

Обикновено граничните стойности на компонентите на грешката на директните измервания са известни. Например, за грешка Δ х азизвестни: границата на основната грешка, границите на допълнителните грешки, границата на неизключените остатъци от систематичната грешка и др. Грешка Δ х азравна на сумата от тези грешки:

,

и граничната стойност на тази грешка ΔX аз,п – сбор от лимити:

. (1.46)

Тогава граничната стойност Δ на грешката на резултата от косвеното измерване П = 1 може да се намери с помощта на формулата

Δ p =
. (1.47)

Гранична стойност Δ g на грешката на резултата от непряко измерване за доверителната вероятност П = 0,95 може да се намери с помощта на приблизителната формула (1,41). Като вземем предвид (1.44) и (1.46), получаваме:

. (1.48)

След изчисляване на Δ p или Δ g, резултатът от непрякото измерване трябва да бъде записан в стандартна форма (съответно (1.40) или (1.42)). (1P3)

ВЪПРОСИ:

1. За решаване на какви проблеми се използват? измервателна апаратура? Който метрологични характеристикиЗапознати ли сте с измервателната техника?

2. По какви критерии се класифицират? метрологични характеристикиизмервателна апаратура?

3. Как се нарича компонент на грешката на измервателния уред основен?

4. Как се нарича компонент на грешката на измервателния уред допълнителен?

5. Дефинирайте абсолютна, относителна и намалена грешкаизмервателни уреди.

6. Дефинирайте абсолютна грешка на измервателния преобразувател за вход и изход.

7. Как експериментално бихте определили грешки на измервателния преобразувател на входа и изхода?

8. Как са свързани помежду си? абсолютни грешки на измервателния преобразувател за вход и изход?

9. Дефинирайте адитивни, мултипликативни и нелинейни компоненти на грешката на измервателната апаратура.

10. Защо нелинеен компонент на грешката на измервателното оборудванепонякога се нарича грешка на линейността? За което функции на преобразуване на измервателни преобразувателиима смисъл?

11. Каква информация за грешката на измервателния уред предоставя? клас на точност?

12. Формулирайте закон за натрупване на частични грешки.

13. Формулирайте проблем със сумиране на грешки.

15. Какво е коригирана стойност на резултата от измерването?

16. Каква е целта обработка на резултатите от измерванията?

17. Как се изчислява гранична стойностΔ p грешки директен резултат от измерванеза вероятност за доверие П= 1 и ее гранична стойностΔ g за П = 0,95?

18. Какво измерение се нарича непряк? как намерете резултата от непряко измерване?

19. Как се изчислява гранична стойностΔ p грешки резултат от непряко измерванеза вероятност за доверие П= 1 и ее гранична стойностΔ g за П = 0,95?

20. Дайте примери за методологични грешки при преки и непреки измервания.

Тестовете за подточка 1.2 са дадени в (1KR1).

ЛИТЕРАТУРА към раздел 1.

2. МЕТОДИ ЗА ИЗМЕРВАНЕ НА ЕЛЕКТРИЧЕСКИ ВЕЛИЧИНИ

2.1. Измерване на напрежения и токове.

2.1.1. Главна информация.

При избора на средство за измерване на електрически напрежения и токове е необходимо преди всичко да се вземе предвид:

Вид на физичната величина, която се измерва (напрежение или ток);

Наличието и характера на зависимостта на измерената стойност от времето през интервала на наблюдение (зависи или не, зависимостта е периодична или непериодична функция и т.н.);

Диапазон от възможни стойности на измерената стойност;

Измерван параметър (средна стойност, ефективна стойност, максимална стойност за интервала на наблюдение, набор от моментни стойности за интервала на наблюдение и др.);

Честотен диапазон;

Необходима точност на измерване;

Максимален интервал от време на наблюдение.

Освен това е необходимо да се вземат предвид диапазоните на стойностите на влияещите величини (околна температура, захранващо напрежение на измервателния уред, изходно съпротивление на източника на сигнал, електромагнитни смущения, вибрации, влажност и др.), в зависимост от условията на измервателния експеримент.

Диапазоните на възможните стойности на напрежението и тока са много широки. Например токовете могат да бъдат от порядъка на 10 -16 A, когато се измерват в космоса, и от порядъка на 10 5 A във веригите на мощни електроцентрали. Този раздел се занимава главно с измервания на напрежения и токове в диапазоните, които най-често се срещат в практиката: от 10 -6 до 10 3 V и от 10 -6 до 10 4 A.

За измерване на напрежения се използват аналогови (електромеханични и електронни) и цифрови волтметри(2K1), компенсатори (потенциометри) на постоянен и променлив ток, аналогови и цифрови осцилоскопи и измервателни системи.

За измерване на токове се използват електромеханични инструменти. амперметри(2K2), и мултиметрии измервателни системи, в които измереният ток първо се преобразува в пропорционално на него напрежение. В допълнение, за експериментално определяне на токовете се използва индиректен метод, измерващ напрежението, причинено от преминаването на ток през резистор с известно съпротивление.

2.1.2. Измерване на постоянни напрежения с електромеханични устройства.

За да създадете волтметри, използвайте следното измервателни механизми(2K3): магнитоелектрически(2K4), електромагнитни(2K5), електродинамичен(2K6), феродинамични(2K7)И електростатичен(2K8).

В магнитоелектрически измервателен механизъм въртящият момент е пропорционален на тока в движещата се намотка. За да се изгради волтметър, допълнително съпротивление е свързано последователно с намотката на бобината. Измереното напрежение, приложено към тази последователна връзка, е пропорционално на тока в намотката; следователно скалата на инструмента може да се калибрира в единици за напрежение. Посоката на въртящия момент зависи от посоката на тока, така че е необходимо да се обърне внимание на полярността на напрежението, подадено към волтметъра.

Входен импеданс Рвходът на магнитоелектрически волтметър зависи от крайната стойност Uспрямо обхвата на измерване и общия ток на отклонение азспоред - ток в намотката на бобината, при който стрелката на инструмента ще се отклони до пълната скала (настроена на маркировката UДа се). Очевидно е, че

Рв = UДа се ​​/ азот. (2.1)

В устройствата с много диапазони често не се нормализира стойността Рв, и ток азот. Познавайки напрежението U k за диапазона на измерване, използван в този експеримент, стойността Р inx може да се изчисли с помощта на формула (2.1). Например за волтметър с U k = 100 V и азот = 1 mA Р in = 10 5 Ohm.

За изграждане на електромагнитни, електродинамични и феродинамични волтметри се използва подобна схема, само допълнителното съпротивление е свързано последователно с намотката на неподвижната намотка на електромагнитния измервателен механизъм или с намотките на движещите се и неподвижни намотки на електродинамичния или феродинамичния измервателни механизми, свързани преди това последователно. Общите токове на отклонение за тези измервателни механизми обикновено са значително по-високи, отколкото за магнитоелектричните, така че входните съпротивления на волтметрите са по-ниски.

Електростатичните волтметри използват електростатичен измервателен механизъм. Измереното напрежение се прилага между неподвижни и подвижни пластини, изолирани една от друга. Входното съпротивление се определя от съпротивлението на изолацията (около 10 9 Ohms).

Най-често срещаните електромеханични волтметри с класове на точност 0,2. 0.5, 1.0, 1.5 ви позволяват да измервате постоянно напрежение в диапазона от 0.1 до 10 4 V. За измерване на високо напрежение (обикновено повече от 10 3 V) използвайте делители на напрежението(2K9). За измерване на напрежение под 0,1 V, магнитоелектрически галванометри(2Q10)и устройства, базирани на тях (например фотогалванометрични устройства), но е по-препоръчително да се използват цифрови волтметри.

2.1.3. Измерване на постоянен ток с електромеханични устройства.

За да създадете амперметри, използвайте следното измервателни механизми(2K3): магнитоелектрически(2K4), електромагнитни(2K5), електродинамичен(2K6)И феродинамични(2K7).

В най-простите едногранични амперметри веригата на измервания ток се състои от намотка на подвижна намотка (за магнитоелектрически измервателен механизъм), намотка на неподвижна намотка (за електромагнитен измервателен механизъм) или последователно свързани намотки на подвижни и неподвижни намотки (за електродинамични и феродинамични измервателни механизми). По този начин, за разлика от веригите на волтметъра, те не съдържат допълнително съпротивление.

Многограничните амперметри са изградени на базата на едногранични амперметри, като се използват различни техники за намаляване на чувствителността. Например, чрез преминаване на измерения ток през част от намотката на бобината или чрез свързване на намотките на бобината паралелно. Използват се и шунтове - резистори с относително ниско съпротивление, свързани успоредно на намотките.

Най-често срещаните електромеханични амперметри с класове на точност 0,2. 0.5, 1.0, 1.5 ви позволяват да измервате постоянни токове в диапазона от 10 -6 до 10 4 A. За измерване на токове по-малки от 10 -6 A, магнитоелектрически галванометри(2Q10)и устройства, базирани на тях (например фотогалванометрични устройства).

2.1.4. Измерване на променливи токове и напрежения

електромеханични устройства.

Електромеханичните амперметри и волтметри се използват за измерване на ефективните стойности на периодични токове и напрежения. За тяхното създаване се използват електромагнитни, електродинамични и феродинамични, както и електростатични (само за волтметри) измервателни механизми. В допълнение, електромеханичните амперметри и волтметри също включват устройства, базирани на магнитоелектрически измервателен механизъм с преобразуватели на променлив ток или напрежение в постоянен ток (токоизправителни и термоелектрически устройства).

Измервателните вериги на електромагнитни, електродинамични и феродинамични амперметри и волтметри за променлив ток практически не се различават от веригите на подобни устройства за постоянен ток. Всички тези устройства могат да се използват за измерване както на постоянен, така и на променлив ток и напрежение.

Моментната стойност на въртящия момент в тези устройства се определя от квадрата на моментната стойност на тока в намотките на бобината, а положението на стрелката зависи от средната стойност на въртящия момент. Следователно устройството измерва RMS (rms) стойността на измерения периодичен ток или напрежение, независимо от формата на кривата. Най-често срещаните амперметри и волтметри с класове на точност 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 ви позволяват да измервате променливи токове от 10 -4 до 10 2 A и напрежения от 0,1 до 600 V в честотния диапазон от 45 Hz до 5 kHz.

Електростатичните волтметри могат да се използват и за измерване на постоянни и ефективни стойности на променливи напрежения, независимо от формата на кривата, тъй като моментната стойност на въртящия момент в тези устройства се определя от квадрата на моментната стойност на измереното напрежение. Най-често срещаните волтметри с класове на точност 0,5, 1,0, 1,5 ви позволяват да измервате променливи напрежения от 1 до 10 5 V в честотния диапазон от 20 Hz до 10 MHz.

Магнитоелектричните амперметри и волтметри, предназначени за работа във вериги с постоянен ток, не могат да измерват ефективните стойности на променливи токове и напрежения. Наистина, моментната стойност на въртящия момент в тези устройства е пропорционална на моментната стойност на тока в намотката. При синусоидален ток средната стойност на въртящия момент и съответно показанието на инструмента е нула. Ако токът в бобината има постоянен компонент, тогава показанието на устройството е пропорционално на средната стойност на тока в бобината.

За създаване на AC амперметри и волтметри, базирани на магнитоелектрически измервателен механизъм, се използват AC-to-DC преобразуватели на базата на полупроводникови диоди или термични преобразуватели. На фиг. 2.1 е показана една от възможните схеми на амперметъра на токоизправителната система, а на фиг. 2.2 – термоелектрически.

Токът, измерен в амперметъра на токоизправителната система, е аз(T) изправя и преминава през намотката на бобината на магнитоелектричния измервателен механизъм на ИМ. Показанието на прибора е пропорционално на средния модул за периода Tтекуща стойност:

. (2.2)

Значение аз cp е пропорционален на ефективната стойност на тока, но коефициентът на пропорционалност зависи от вида на функцията аз(T). Всички устройства на токоизправителната система са калибрирани в ефективни стойности на токове (или напрежения) със синусоидална форма и не са предназначени за измервания във вериги с токове с произволна форма.

Измереният ток в амперметъра на термоелектрическа система е аз(T) преминава през нагревателя на термопреобразувателя TP. Когато се нагрява, в свободните краища на термодвойката възниква термо-ЕМП, което предизвиква постоянен ток през намотката на бобината на магнитоелектрическия измервателен механизъм на ИМ. Стойността на този ток зависи нелинейно от ефективната стойност азизмерен ток аз(T) и зависи малко от неговата форма и спектър.

Веригите на волтметрите на токоизправителните и термоелектрическите системи се различават от веригите на амперметрите по наличието на допълнително съпротивление, свързано последователно към веригата на измервания ток аз(T) и изпълнява функцията на преобразувател на измерено напрежение към ток.

Най-често срещаните амперметри и волтметри на токоизправителната система с класове на точност 1.0 и 1.5 ви позволяват да измервате променливи токове от 10 -3 до 10 A и напрежения от 1 до 600 V в честотния диапазон от 45 Hz до 10 kHz.

Най-често срещаните амперметри и волтметри на термоелектрически системи с класове на точност 1.0 и 1.5 позволяват измерване на променливи токове от 10 -4 до 10 2 A и напрежения от 0,1 до 600 V в честотния диапазон от 1 Hz до 50 MHz.

Обикновено устройствата на токоизправителните и термоелектрическите системи са направени многообхватни и комбинирани, което им позволява да се използват за измерване както на променливи, така и на постоянни токове и напрежения.

2.1.5. Измерване на постоянно напрежение

За разлика от електромеханичните аналогови волтметри(2K11)електронните волтметри включват усилватели на напрежение. Информационният параметър на измереното напрежение се преобразува в тези устройства в постоянен ток в намотката на бобината на магнитоелектрическия измервателен механизъм (2K4), чиято скала е градуирана в единици за напрежение.

Усилвателят с електронен волтметър трябва да има стабилно усилване в определен честотен диапазон от определена по-ниска честота f n до върха f V. Ако f n = 0, тогава обикновено се нарича такъв усилвател DC усилвател, и ако f n > 0 и усилването е нула при f = 0 – AC усилвател.

Опростена схема на електронен DC волтметър се състои от три основни компонента: делител на входно напрежение (2K9), DC усилвател, свързан към неговия изход, и магнитоелектрически волтметър. Делител на напрежение с висок импеданс и усилвател за постоянен ток осигуряват висок входен импеданс на електронния волтметър (около 1 MΩ). Коефициентите на деление и усилване могат да се регулират дискретно, което позволява волтметрите да бъдат направени многообхватни. Поради голямото усилване, електронните волтметри осигуряват по-висока чувствителност в сравнение с електромеханичните.

Характеристика на електронните DC волтметри е дрейф на показанията– бавни промени в показанията на волтметъра при постоянно измерено напрежение (1Q14), причинени от промени в параметрите на елементите на веригата на DC усилвател. Дрейфът на показанията е най-значителен при измерване на ниски напрежения. Следователно, преди да започнете измерванията, е необходимо, като използвате специални регулиращи елементи, да настроите нулевото отчитане на волтметъра с късо съединение на входа.

Ако към въпросния волтметър се приложи периодично променливо напрежение, тогава, поради свойствата на магнитоелектрическия измервателен механизъм, той ще измерва директния компонент на това напрежение, освен ако променливият компонент не е твърде голям и усилвателят на волтметъра работи в линеен режим .

Най-често срещаните аналогови електронни DC волтметри ви позволяват да измервате напрежения в диапазона от 10 -6 до 10 3 V. Стойностите на границите на основната намалена грешка зависят от диапазона на измерване и обикновено са ± (0,5 - 5,0) %.

2.1.6. Измерване на AC напрежение

аналогови електронни волтметри.

Аналоговите електронни волтметри се използват главно за измерване на ефективните стойности на периодични напрежения в широк честотен диапазон.

Основната разлика между схемата на електронния променлив волтметър и веригата на постоянен волтметър, разгледана по-горе, е свързана с наличието на допълнителна единица в нея - преобразувател на информативното променливо променливо напрежение в постоянен ток. Такива преобразуватели често се наричат ​​"детектори".

Има детектори за стойности на амплитуда, средна величина и ефективно напрежение. Постоянното напрежение на изхода на първия е пропорционално на амплитудата на напрежението на неговия вход, постоянното напрежение на изхода на второто е пропорционално на абсолютната средна стойност на входното напрежение, а третото е пропорционално на ефективното стойност.

Всяка от трите посочени групи детектори от своя страна може да се раздели на две групи: детектори с отворен вход и детектори със затворен вход. При детектори с отворен вход изходното напрежение зависи от DC компонента на входното напрежение, докато при детектори със затворен вход не зависи. Очевидно е, че ако веригата на електронния волтметър има детектор със затворен вход или AC усилвател, тогава показанията на такъв волтметър не зависят от DC компонента на измереното напрежение. Изгодно е да се използва такъв волтметър в случаите, когато само променливият компонент на измереното напрежение носи полезна информация.

Опростени диаграми на амплитудни детектори с отворени и затворени входове са показани съответно на фиг. 1. 2.3 и 2.4.

Когато се прилага към входа на амплитуден детектор с отворен вход за напрежение u(T) = U м sinωtКондензаторът се зарежда до напрежение U м, който изключва диода. В същото време на изхода на детектора се поддържа постоянно напрежение U м. Ако към входа се приложи напрежение с произволна форма, кондензаторът ще се зареди до максималната положителна стойност на това напрежение.

Когато се прилага към входа на амплитуден детектор със затворен вход за напрежение u(T) = U м sinωtКондензаторът също се зарежда до напрежение U ми на изхода се генерира напрежение u(T) = U м + U м sinωt. Ако такова напрежение или пропорционален на него ток се приложи към намотката на бобината на магнитоелектрически измервателен механизъм, тогава показанията на устройството ще зависят от постоянния компонент на това напрежение, равно на U м (2K4). При подаване на напрежение към входа u(T) = U ср + U м sinωt, Където U ср– средна стойност на напрежението u(T) , кондензаторът се зарежда до напрежение U м + U ср, и изходното напрежение е зададено u(T) = U м + U м sinωt, независим от U ср .

Примери за детектори със средна величина и стойности на ефективно напрежение бяха обсъдени в подраздел 2.1.4 (фиг. 2.1 и 2.2, съответно).

Детекторите на стойностите на амплитудата и средната величина са по-прости от детекторите на ефективна стойност, но базираните на тях волтметри могат да се използват само за измерване на синусоидални напрежения. Факт е, че техните показания, в зависимост от вида на детектора, са пропорционални на средната стойност на величината или амплитудата на измереното напрежение. Следователно разглежданите аналогови електронни волтметри могат да бъдат калибрирани в ефективни стойности само за определена форма на измереното напрежение. Това се прави за най-често срещаното - синусоидално напрежение.

Най-често срещаните аналогови електронни волтметри ви позволяват да измервате напрежения от 10 -6 до 10 3 V в честотния диапазон от 10 до 10 9 Hz. Стойностите на границите на основната намалена грешка зависят от обхвата на измерване и честотата на измереното напрежение и обикновено са ± (0,5 - 5,0)%.

Техниката на измерване с помощта на електронни волтметри се различава от техниката на използване на електромеханични волтметри. Това се дължи на наличието в тях на електронни усилватели със захранващи устройства с постоянен ток, работещи по правило от мрежа с променлив ток.

Ако свържете клема 6 към входна клема 1 на волтметъра и измерите, например, напрежение U 65, тогава резултатът от измерването ще бъде изкривен от напрежението на смущение, чиято стойност зависи от параметрите на еквивалентните схеми на фиг. 2.5 и 2.6.

При директно измерване на напрежението U 54 смущенията ще изкривят резултата от измерването, независимо от това как е свързан волтметърът. Това може да се избегне с непряко измерване чрез измерване на напрежението U 64 и U 65 и изчисляване U 54 = U 64 - U 65. Въпреки това, точността на такова измерване може да не е достатъчно висока, особено ако U 64 ≈ U 65 . (2Q12)