Tek değişkenli fonksiyonlar teorisi. Matematiksel analiz

"Matematiksel Analiz" sınavı için sorular, 1. yıl, 1. yarıyıl.

1. Kümeler. Kümeler üzerinde temel işlemler. Metrik ve aritmetik uzaylar.

2. Sayısal kümeler. Sayı doğrusundaki kümeler: doğru parçaları, aralıklar, yarı eksenler, komşuluklar.

3. Sınırlı bir kümenin tanımı. Sayısal kümelerin üst ve alt sınırları. Sayısal kümelerin üst ve alt sınırları hakkında varsayımlar.

4. Matematiksel tümevarım yöntemi. Bernoulli ve Cauchy eşitsizlikleri.

5. Fonksiyon tanımı. fonksiyon grafiği. Çift ve tek fonksiyonlar. Periyodik fonksiyonlar. Bir işlevi ayarlamanın yolları.

6. Sıra sınırı. Yakınsak dizilerin özellikleri.

7. sınırlı diziler Bir dizinin diverjansı için yeterli koşula ilişkin bir teorem.

8. Monoton dizinin tanımı. Weierstrass'ın monoton dizi teoremi.

9. Numara e.

10. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti. Sonsuzda bir fonksiyonun limiti. Tek taraflı limitler.

11. Sonsuz küçük fonksiyonlar. Toplam, çarpım ve bölüm fonksiyonlarının limiti.

12. Eşitsizliklerin kararlılığı ile ilgili teoremler. Eşitsizliklerde limite geçiş. Üç fonksiyonla ilgili teorem.

13. Birinci ve ikinci harika sınırlar.

14. Sonsuz büyük fonksiyonlar ve bunların sonsuz küçük fonksiyonlarla bağlantısı.

15. Sonsuz küçük fonksiyonların karşılaştırılması. Eşdeğer sonsuz küçüklerin özellikleri. Sonsuz küçüklerin eşdeğer olanlarla değiştirilmesine ilişkin teorem. Temel eşdeğerlikler.

16. Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği. Sürekli işlevlere sahip eylemler. Temel temel fonksiyonların sürekliliği.

17. Bir fonksiyonun kesme noktalarının sınıflandırılması. Süreklilik ile uzatma

18. Karmaşık bir fonksiyonun tanımı. Karmaşık bir fonksiyonun limiti. Karmaşık bir fonksiyonun sürekliliği. hiperbolik fonksiyonlar

19. Bir segment üzerinde bir fonksiyonun sürekliliği. Cauchy'nin bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun yok olmasına ve bir fonksiyonun ara değerine ilişkin teoremleri.

20. Bir doğru parçası üzerinde sürekli olan fonksiyonların özellikleri. Sürekli bir fonksiyonun sınırlılığı üzerine Weierstrass teoremi. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri üzerine Weierstrass teoremi.

21. Monoton bir fonksiyonun tanımı. Weierstrass'ın monoton bir fonksiyonun limiti üzerindeki teoremi. Bir aralıkta monoton ve sürekli olan bir fonksiyonun değerler kümesine ilişkin teorem.

22. Ters fonksiyon. Ters fonksiyon grafiği. Ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliği üzerine teorem.

23. Ters trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar.

24. Bir fonksiyonun türevinin tanımı. Temel temel fonksiyonların türevleri.

25. Türevlenebilir bir fonksiyonun tanımı. Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli ve yeterli koşul. Türevlenebilir bir fonksiyonun sürekliliği.

26. Türevin geometrik anlamı. Fonksiyonun grafiğine teğet ve normalin denklemi.

27. İki fonksiyonun toplamının türevi, çarpımı ve bölümü

28. Bileşik fonksiyon ve ters fonksiyonun türevi.

29. Logaritmik farklılaşma. Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun türevi.

30. Fonksiyon artışının ana kısmı. Fonksiyon doğrusallaştırma formülü. Diferansiyelin geometrik anlamı.

31. Bir bileşik fonksiyonun diferansiyeli. Diferansiyel formun değişmezliği.

32. Türevlenebilir fonksiyonların özellikleri üzerine Rolle, Lagrange ve Cauchy teoremleri. Sonlu artışların formülü.

33. Türevin içindeki belirsizliklerin ifşasına uygulanması. L'Hopital'in kuralı.

34. türev tanımı n. sıra. n'inci mertebenin türevini bulma kuralları. Leibniz formülü. Daha yüksek dereceli diferansiyeller.

35. Peano formunda kalan terimli Taylor formülü. Artık terimler Lagrange ve Cauchy biçiminde.

36. Artan ve azalan fonksiyonlar. uç noktalar.

37. Bir fonksiyonun dışbükeyliği ve içbükeyliği. Eğilme noktaları.

38. Sonsuz işlev kesintileri. Asimptotlar.

39. Bir fonksiyon grafiği çizme şeması.

40. Ters türevin tanımı. Antiderivatifin ana özellikleri. En basit entegrasyon kuralları. Basit integral tablosu.

41. Değişken değiştirerek integral alma ve belirsiz integralde kısmi integral alma formülü.

42. Form ifadelerinin entegrasyonuözyinelemeli ilişkileri kullanarak e ax cos bx ve e ax sin bx.

	43. Kesir İntegrasyonu			özyinelemeli ilişkiler kullanarak.
			bir 2n

44. Bir rasyonel fonksiyonun belirsiz integrali. Basit kesirlerin entegrasyonu.

45. Bir rasyonel fonksiyonun belirsiz integrali. Uygun kesirlerin basit kesirlere ayrıştırılması.

46. İrrasyonel bir fonksiyonun belirsiz integrali. İfade entegrasyonu

	Rx, m

47. Bir irrasyonel fonksiyonun belirsiz integrali. R x , ax 2 bx c biçimindeki ifadelerin entegrasyonu. Euler ikameleri.

48. Form ifadelerinin entegrasyonu

balta2 bxc

balta2 bxc

2 bx c

49. İrrasyonel bir fonksiyonun belirsiz integrali. Binom diferansiyellerinin entegrasyonu.

50. Trigonometrik ifadelerin entegrasyonu. Evrensel trigonometrik ikame.

51. İntegrandın sin'e göre tek olması durumunda rasyonel trigonometrik ifadelerin entegrasyonu x (veya cos x ) veya hatta sin x ve cos x'e göre.

52. İfade entegrasyonu sin n x cos m x ve sin n x cos mx .

53. İfade entegrasyonu tg mx ve ctg mx .

54. İfade entegrasyonu Trigonometrik ikameler kullanılarak R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 ve R x , x 2 a 2.

55. Kesin integral. Eğrisel bir yamuğun alanını hesaplama sorunu.

56. integral toplamlar. Darboux toplamları. Belirli bir integralin var olma koşuluna ilişkin teorem. İntegrallenebilir fonksiyonların sınıfları.

57. Belirli bir integralin özellikleri. Ortalama değerle ilgili teoremler.

58. Üst sınırın bir fonksiyonu olarak belirli integral. formül Newton-Leibniz.

59. Değişken formülün değiştirilmesi ve belirli bir integralde kısımlara göre entegrasyon için formül.

60. İntegral hesabın geometriye uygulanması. Şeklin hacmi. Dönme rakamlarının hacmi.

61. İntegral hesabın geometriye uygulanması. Bir uçak figürünün alanı. Eğrisel sektörün alanı. Eğri uzunluğu.

62. Birinci türden uygun olmayan bir integralin tanımı. formül Birinci türden uygunsuz integraller için Newton-Leibniz. En basit özellikler.

63. Pozitif bir fonksiyon için birinci türden uygun olmayan integrallerin yakınsaması. 1. ve 2. karşılaştırma teoremleri.

64. Birinci tür değişkenli fonksiyonun uygunsuz integrallerinin mutlak ve koşullu yakınsaması. Abel ve Dirichlet için yakınsama kriterleri.

65. İkinci türden uygun olmayan bir integralin tanımı. formülİkinci türden uygun olmayan integraller için Newton-Leibniz.

66. Uygun olmayan integrallerin bağlantısı 1. ve 2. tür. Asal değer anlamında yanlış integraller.

değişkene izin ver X N sonsuz bir değer dizisi alır

X 1 , X 2 , ..., X N , ..., (1)

ve değişkenin değişim yasası biliniyor X N, yani her doğal sayı için N karşılık gelen değeri belirtebilirsiniz X N. Böylece, değişkenin olduğu varsayılır. X N bir fonksiyonudur N:

X N = f(n)

Matematiksel analizin en önemli kavramlarından birini tanımlayalım - bir dizinin limiti veya aynısı olan bir değişkenin limiti X N koşu dizisi X 1 , X 2 , ..., X N , ... . .

Tanım. sabit sayı A isminde dizi sınırı X 1 , X 2 , ..., X N , ... . veya bir değişkenin limiti X N, keyfi olarak küçük bir pozitif sayı e için böyle bir doğal sayı varsa N(yani sayı N) değişkenin tüm değerleri X N, ile başlayan X N farklı A e'den mutlak değerde daha az. Bu tanım kısaca şöyle yazılır:

| X N - A |< (2)

hepsi için N  N veya aynı olan,

Cauchy limitinin tanımı. Bir A sayısına, bir fonksiyonun a noktasındaki limiti denir, eğer bu fonksiyon a noktasının bazı komşuluklarında tanımlanmışsa, belki a noktasının kendisi hariç ve her ε > 0 için δ > 0 vardır. öyle ki tüm x için |x – a| koşulunu sağlıyor< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Heine sınırının tanımı. Bir A sayısına, f(x) fonksiyonunun a noktasındaki limiti denir, eğer bu fonksiyon a noktasının bir komşuluğunda tanımlanmışsa, a noktasının kendisi dışında ve herhangi bir dizi için a sayısına yakınsayan, işlevin karşılık gelen değer dizisi A sayısına yakınsar.

f(x) fonksiyonunun a noktasında bir limiti varsa, bu limit tektir.

A 1 sayısına f (x) fonksiyonunun a noktasındaki sol limiti denir, eğer her ε > 0 için δ > varsa

A 2 sayısına f (x) fonksiyonunun a noktasındaki sağ limiti denir, eğer her ε > 0 için δ > 0 varsa, öyle ki eşitsizlik

Soldaki limit, sağdaki limit olarak gösterilir - Bu limitler, fonksiyonun a noktasının solundaki ve sağındaki davranışını karakterize eder. Genellikle tek yönlü limitler olarak adlandırılırlar. Tek taraflı limitlerin x → 0 olarak gösteriminde, ilk sıfır genellikle atlanır: ve . Yani fonksiyon için

Her ε > 0 için bir a noktasının δ-komşusu varsa, öyle ki tüm x'ler için |x – a| koşulunu sağlıyor.< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, o zaman f (x) fonksiyonunun a noktasında sonsuz bir limite sahip olduğunu söylüyoruz:

Böylece, fonksiyonun x = 0 noktasında sonsuz bir limiti vardır. +∞ ve –∞'a eşit limitler genellikle ayırt edilir. Bu yüzden,

Her ε > 0 için δ > 0 varsa, öyle ki herhangi bir x > δ için eşitsizlik |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

En küçük üst sınır için varlık teoremi

Tanım: AR mR, m - A'nın üst (alt) yüzü, eğer аА am (аm) ise.

Tanım: A kümesi yukarıdan (aşağıdan) sınırlıdır, eğer аА olacak şekilde m varsa, am (аm) sağlanır.

Tanım: SupA=m, eğer 1 ise) m - A'nın üst sınırı

2) m': m' m', A'nın üst yüzü değildir

InfA = n, eğer 1) n, A'nın alt sınırıdır

2) n': n'>n => n', A'nın alt sınırı değildir

Tanım: SupA=m öyle bir sayıdır ki: 1)  aA am

2) >0 a  A, öyle ki a  a-

InfA = n şöyle bir sayı olarak adlandırılır:

2) >0 a  A, öyle ki a E a+

teorem: Yukarıdan sınırlandırılmış, boş olmayan herhangi bir АR kümesinin en iyi üst sınırı vardır ve bu noktada benzersizdir.

Kanıt:

Gerçek doğru üzerinde bir m sayısı oluşturuyoruz ve bunun A'nın en küçük üst sınırı olduğunu kanıtlıyoruz.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A'nın üst yüzü

Segment [[m],[m]+1] - 10 parçaya bölünmüş

m 1 =maks:aA)]

m 2 =maks,m 1:aA)]

m ila =maks,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - üst yüz A

m=[m],m 1 ...m K'nin en küçük üst sınır olduğunu ve benzersiz olduğunu kanıtlayalım:

: .

Pirinç. 11. y arcsin x fonksiyonunun grafiği.

Şimdi karmaşık bir fonksiyon kavramını tanıtalım ( kompozisyonları göster). Üç küme D, E, M verilsin ve f: D→E, g: E→M olsun. Açıkçası, f ve g eşlemelerinin bir bileşimi veya karmaşık bir fonksiyon olarak adlandırılan yeni bir h: D→M eşlemesi oluşturmak mümkündür (Şekil 12).

Karmaşık bir fonksiyon şu şekilde gösterilir: z =h(x)=g(f(x)) veya h = f o g.

Pirinç. 12. Karmaşık fonksiyon kavramının gösterimi.

f (x) işlevi denir dahili işlev ve g ( y ) - işlevi harici fonksiyon.

1. Dahili fonksiyon f (x) = x², harici g (y) sin y. Karmaşık fonksiyon z= g(f(x))=sin(x²)

2. Şimdi tam tersi. İç fonksiyon f (x)= sinx, dış g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Kurs, matematik, ekonomi veya doğa bilimlerinde uzmanlaşmış lisans ve yüksek lisans öğrencilerinin yanı sıra orta öğretim matematik öğretmenleri ve üniversite profesörlerine yöneliktir. Ayrıca matematiğe derinden ilgi duyan öğrenciler için de faydalı olacaktır.

Kursun yapısı gelenekseldir. Ders, üniversitenin ilk yılında birinci yarıyılda incelenen matematiksel analiz üzerine klasik materyali kapsar. "Kümeler ve gerçek sayılar teorisinin elemanları", "Nümerik diziler teorisi", "Bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği", "Fonksiyonun türevlenebilirliği", "Türevlenebilirliğin uygulamaları" bölümleri sunulacaktır. Küme kavramını tanıyacağız, gerçek sayının kesin bir tanımını yapacağız ve gerçek sayıların özelliklerini inceleyeceğiz. Ardından sayı dizileri ve özelliklerinden bahsedeceğiz. Bu, okul çocukları tarafından iyi bilinen sayısal bir fonksiyon kavramını yeni ve daha titiz bir düzeyde ele almamızı sağlayacaktır. Bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği kavramını tanıtıyoruz, sürekli fonksiyonların özelliklerini ve problem çözmedeki uygulamalarını tartışıyoruz.

Dersin ikinci bölümünde, tek değişkenli bir fonksiyonun türevini ve türevini tanımlayacağız ve türevlenebilir fonksiyonların özelliklerini inceleyeceğiz. Bu, bir fonksiyonun değerlerinin yaklaşık olarak hesaplanması ve denklemlerin çözümü, limitlerin hesaplanması, bir fonksiyonun özelliklerinin incelenmesi ve grafiğinin oluşturulması gibi önemli uygulamalı problemlerin nasıl çözüleceğini öğrenmenizi sağlayacaktır. .

Biçim

Eğitim şekli yarı zamanlı (uzaktan).
Haftalık dersler, tematik video dersleri izlemeyi ve sonuçların otomatik olarak doğrulanmasıyla test görevlerini tamamlamayı içerecektir.
Disiplin çalışmasının önemli bir unsuru, hesaplama problemlerinin ve ispat problemlerinin bağımsız çözümüdür. Çözüm, doğru cevaba götüren (bir hesaplama problemi durumunda) veya gerekli ifadeyi tamamen kanıtlayan (teorik problemler için) titiz ve mantıksal olarak doğru muhakeme içermelidir.

Gereksinimler

Kurs, 1 yıllık lisans öğrencileri için tasarlanmıştır. Ortaokul hacminde (11 sınıf) ilköğretim matematik bilgisi gerektirir.

Kurs programı

Ders 1 Küme teorisinin elemanları.
Ders 2 Gerçek sayı kavramı. Sayısal kümelerin tam yüzleri.
Ders 3 Reel sayılar üzerinde aritmetik işlemler. Gerçek sayıların özellikleri.
Ders 4 Sayı dizileri ve özellikleri.
Ders 5 monoton diziler Dizi yakınsaması için Cauchy kriteri.
Ders 6 Tek değişkenli fonksiyon kavramı. İşlev sınırı. Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar.
Ders 7 Fonksiyon sürekliliği. Kesme noktası sınıflandırması. Sürekli fonksiyonların lokal ve global özellikleri.
Ders 8 Monoton fonksiyonlar. Ters fonksiyon.
Ders 9 En basit temel fonksiyonlar ve özellikleri: üstel, logaritmik ve kuvvet fonksiyonları.
Ders 10 Trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonlar. Olağanüstü sınırlar. Bir fonksiyonun düzgün sürekliliği.
Ders 11 Türev ve diferansiyel kavramı. Türevin geometrik anlamı. Farklılaşma kuralları.
Ders 12 Temel temel fonksiyonların türevleri. Fonksiyon diferansiyeli.
Ders 13 Türevler ve yüksek dereceli diferansiyeller. Leibniz formülü. Parametrik olarak verilen fonksiyonların türevleri.
Ders 14 Türevlenebilir fonksiyonların temel özellikleri. Rolle ve Lagrange teoremleri.
Ders 15 Cauchy teoremi. L'Hospital'in belirsizlikleri açıklama konusundaki ilk kuralı.
Ders 16 L'Hopital'in belirsizlikleri açıklama konusundaki ikinci kuralı. Peano formunda kalan terimli Taylor formülü.
Ders 17 Genel formda, Lagrange ve Cauchy formunda kalan terimli Taylor formülü. Maclaurin'in temel temel işlevleri genişletmesi. Taylor formülünün uygulamaları.
Ders 18 Bir ekstremum için yeterli koşullar. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. dışbükey
Ders 19 Eğilme noktaları. İşlev çalışmasının genel şeması. Çizim örnekleri.

Öğrenme Çıktıları

Kursta ustalaşmanın bir sonucu olarak, öğrenci matematiksel analizin temel kavramları hakkında bir fikir edinecek: küme, sayı, dizi ve fonksiyon, özelliklerini tanıyacak ve bu özellikleri problem çözmede nasıl uygulayacağını öğrenecek.

Ders, Akademik Üniversite'de okunan matematiksel analiz üzerine derslerin birinci yarıyılın ilk yarısının stüdyo video kaydıdır. 4 modül boyunca, öğrenciler matematiksel analizin temel kavramlarıyla tanışacaklar: diziler, limitler ve süreklilik. Kendimizi gerçek sayılar ve tek değişkenli fonksiyonlarla sınırlıyoruz. Sunum, ispatların ana fikirlerini değiştirmeyen, ancak algıyı belirgin şekilde karmaşıklaştıran olası genellemeler olmadan oldukça basit bir düzeyde gerçekleştirilecektir. Tüm ifadeler (kursun en başındaki ve temel fonksiyonların tanımındaki bazı sıkıcı resmi gerekçeler dışında) titizlikle kanıtlanacaktır. Video kayıtlarına öğrencilerin bağımsız çalışabilmeleri için çok sayıda görev eşlik eder.

bu kurs kimler için

Teknik uzmanlık lisans öğrencileri

Öğrencilerin matematikte okul müfredatına iyi hakim olmaları gerekir. Yani, temel temel fonksiyonların grafiklerinin nasıl göründüğünü bilmek, trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonlar, aritmetik ve geometrik ilerlemeler için temel formülleri bilmek ve ayrıca eşitliklerle cebirsel dönüşümleri güvenle yapabilmek gerekir. eşitsizlikler Çeşitli problemler için, rasyonel ve irrasyonel sayıların en basit özelliklerini de bilmek gerekir.