maddi bir nokta için d'Alembert ilkesi. Newton yasalarına göre hareket denkleminin şekli tek değildir. Bu denklemler başka şekillerde de yazılabilir. Bu olasılıklardan biri, d'Alembert ilkesi, bu da diferansiyel hareket denklemlerinin denge denklemleri şeklini almasına izin verir.

Bu ilke, Newton'un ikinci yasasının yerini alan bağımsız bir aksiyom olarak düşünülebilir. Bunu problem çözme aracı olarak kullanıyoruz ve onu Newton yasasından türetiyoruz.

Eylemsiz bir referans çerçevesine göre bir malzeme noktasının hareketini düşünün. Ücretsiz bir malzeme noktası için

sahibiz: O = = BEN.

Aktarılan vektör O eşitliğin sağ tarafında, bu oran bir denge denklemi olarak temsil edilebilir: Ben o - 0.

konsepti tanıtıyoruz atalet kuvvetleri.İvmenin tersi yönde ve noktanın kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşit olan vektöre diyelim. malzeme noktasının atalet kuvveti: = -ta.

Bu kavramı kullanarak şunu yazabiliriz (Şekil 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Pirinç. 3.42.

maddi nokta için

Denklem (3.47), serbest bir malzeme noktası için d'Alembert ilkesidir: noktaya uygulanan kuvvetlere atalet kuvveti eklenirse, nokta denge durumunda olacaktır.

Açıkça söylemek gerekirse, belirtilen konum, yazar tarafından formüle edildiği biçimdeki d'Alembert ilkesi değildir.

d'Alembert düşünüldü bir noktanın serbest olmayan hareketi, bağlardan salma ilkesini kullanmadan, bir bağ reaksiyonu getirmeden. Bir bağlantının varlığında, bir noktanın ivmesinin kuvvet ile yönde çakışmadığına dikkat çekilerek ve ta FR, o konsepti tanıttı kayıp güç P - O ve kayıp kuvvetin bir noktaya uygulanmasının denge durumunu bozmadığını, çünkü kayıp kuvvetin bağlantının reaksiyonuyla dengelendiğini belirtti.

İlişki (3.47) kinetostatiğin temel denklemi, veya Hermann'ın Petersburg ilke denklemi-Euler. Kinetostatik yöntemi, pratik kullanım için daha uygun olan serbest bir malzeme noktası da dahil olmak üzere, d'Alembert ilkesinin bir modifikasyonu olarak düşünülebilir. Bu nedenle, çoğu edebi kaynakta, denklem (3.47) d'Alembert ilkesi olarak adlandırılır.

Nokta serbest değilse, yani. üzerine bir kısıtlama getirilir, noktaya etki eden kuvvetleri aktif 1'e bölmek uygundur, R°(ayar-

verilen) ve CU bağının reaksiyonu: p(bir) + n =

Bu teknik uygundur, çünkü bazı bağ türleri için, bu bağların reaksiyonlarını içermeyecek şekilde bir hareket denklemi oluşturmak mümkündür. Böylece, serbest olmayan bir nokta için d'Alembert ilkesi şu şekilde yazılabilir (Şekil 3.43):

R (bir)+/V+ RW) = 0, (3.48)

yani, aktif kuvvetlere ve birleştirme reaksiyonuna ek olarak serbest olmayan bir malzeme noktasına bir atalet kuvveti uygulanırsa, ortaya çıkan kuvvetler sistemi herhangi bir zamanda dengede olacaktır.

Pirinç. 3.43.

maddi nokta

A- İngilizceden, aktif- aktif. Tüm bağlar çıkarıldığında değerlerini koruyorlarsa kuvvetlerin aktif olarak adlandırıldığını hatırlayın.

Bir noktanın eğrisel hareketi göz önüne alındığında, atalet kuvvetinin iki bileşen biçiminde temsil edilmesi tavsiye edilir: Г "‘ n) \u003d -ta n- merkezkaç ve W, p) \u003d -ta x - teğet (Şekil 3.44).

Pirinç. 3.44.

maddi bir noktanın hareketi

Normal ve teğetsel ivmeler için ifadelerin şu şekilde olduğunu hatırlayın: bir p -U 2 / p ve ben t = s1U D/L

O zaman şunu yazabilirsiniz: P^ t) - -t-p Rp p) - -t-t veya son olarak: P

rt + p(t) + p(bir) + yy = o (3.49)

Eşitlik (3.49), serbest olmayan bir noktanın eğrisel hareketi için d'Alembert ilkesini ifade eder.

Sonunda sabit bir kütle noktası olan / uzunluğunda bir iplik düşünün. T.İplik, dikey bir eksen etrafında dönerek, generatrix'in sabit bir eğim açısına sahip konik bir yüzeyi tanımlar. A. Noktanın karşılık gelen sabit hızını ve ipliğin gerilimini belirleyin T(Şekil 3.45).

Pirinç. 3.45.

serbest olmayan bir malzeme noktasının hareketi

Evet, ancak: /u, /, a = sabit. Bulmak: TELEVİZYON.

İvmenin karşılık gelen bileşenlerine zıt yönlenen atalet kuvvetlerini noktaya uygulayalım. Ataletin teğetsel kuvvetinin sıfır olduğuna dikkat edin, çünkü koşul gereği hız sabittir:

/1°") = -ta = -t-= Ah

ve atalet merkezkaç kuvveti ifade ile belirlenir P^ m) \u003d mU 2 /p, burada p = /Bta.

D'Alembert ilkesinin bu soruna uygulanması, incelenen malzeme noktasının hareket denklemini, yakınsak kuvvetlerin dengesi için bir koşul biçiminde yazmamızı sağlar: T? + T + Pp n) = 0.

Bu durumda, doğal koordinat eksenlerine izdüşümde tüm denge denklemleri geçerlidir:

X^n=0, - FJ" 1+ Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + T cosa = 0,

+ T günah bir =

- mg + T cosa = 0,

nerede buluruz T= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

d'Alembert'in bir maddi noktalar sistemi ilkesi. Maddi noktalardan oluşan mekanik bir sistemin hareketini düşünün. OZMS'nin geri çekilmesinde olduğu gibi, her bir noktaya uygulanan kuvvetleri harici ve dahili olarak ayırıyoruz (Şekil 3.46).

Pirinç. 3.46.

/-th noktasına uygulanan dış kuvvetlerin bileşkesi olsun ve / G (L - aynı noktaya uygulanan iç kuvvetlerin bileşkesi olsun. d'Alembert ilkesine göre atalet kuvvetleri her malzemeye uygulanmalıdır. sistemin püf noktası: Рр n) = -т,а г

Daha sonra sistemin her noktasına uygulanan kuvvetler şu ilişkiyi sağlar:

1?E) + pY) + p0n)

onlar. noktalarının her birine ek bir atalet kuvveti uygulanırsa, malzeme noktaları sistemi dengede olacaktır. Böylece d'Alembert ilkesi yardımıyla sistemin hareket denklemlerine denge denklemleri biçimini vermek mümkündür.

Atalet kuvvetleri ve dış kuvvetlerin statik eşdeğerlerini kullanarak sistemin kinetostatik denge koşullarını ifade edelim. Bu amaçla, hepsini topluyoruz P denklemler (A), Sistemin bireysel noktalarına uygulanan kuvvetlerin tanımlanması. Ardından, keyfi bir noktaya göre tek tek noktalara uygulanan tüm dış ve iç kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin momentlerini hesaplıyoruz. HAKKINDA:

g bir X R "E> + g bir X /*") + g bir X t > =0. і = 1,2,..., ".

Sonra özetliyoruz, sonuç olarak elde ediyoruz

// pp

'(E) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M ( 0 E) + M ( 0 n + %M a) = 0.

Çünkü Ki)= 0 ve M 1 0 p = 0, sonunda elimizde:

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M (bir E) + M('n) = 0.

Denklem sisteminden (3.50) görülebilir ki, atalet kuvvetlerinin ana vektörü, dış kuvvetlerin ana vektörü tarafından dengelenir ve keyfi bir noktaya göre ana atalet kuvvetleri momenti, dış kuvvetlerin ana momenti ile dengelenir. aynı noktaya göre.

Problemleri çözerken, ana vektör ve ana atalet momenti kuvvetleri için ifadelere sahip olmak gerekir. Bu vektörlerin büyüklükleri ve yönleri, tek tek noktaların ve bunların kütlelerinin ivmelerinin dağılımına bağlıdır. Kural olarak, doğrudan bir tanım ben (ş) Ve M ( "" ] geometrik toplam, yalnızca şu durumlarda nispeten basit bir şekilde gerçekleştirilebilir: P - 2 veya P= 3. Aynı zamanda rijit bir cismin hareketi probleminde, kinematik özelliklere bağlı olarak bazı özel hareket durumlarında atalet kuvvetlerinin statik eşdeğerlerini ifade etmek mümkündür.

Çeşitli hareket durumlarında rijit bir cismin atalet kuvvetlerinin ana vektörü ve ana atalet momenti. Kütle merkezinin hareketi ile ilgili teoreme göre c \u003d I (E) ile t. d'Alembert ilkesine göre, elimizde: Ben (1P) + Ben (E) = Oh, nerede bulacağız: ben "1P) = -t ile bir ile. Böylece, vücudun herhangi bir hareketi ile atalet kuvvetlerinin ana vektörü, vücut kütlesinin ürününe ve kütle merkezinin ivmesine eşittir ve kütle merkezinin ivmesinin tersine yönlendirilir(Şekil 3.47).

Pirinç. 3.47.

Vücudun malzeme simetri düzlemine dik sabit bir eksen etrafında vücudun dönme hareketi sırasında atalet kuvvetlerinin ana momentini ifade edelim (Şekil 3.48). / noktasına uygulanan atalet kuvvetleri: R"! n) = m,x işlem; 2 ve R? P)= /u,ep,.

Tüm merkezkaç atalet kuvvetleri dönme eksenini kestiğinden, bu atalet kuvvetlerinin ana momenti sıfırdır ve teğetsel atalet kuvvetlerinin ana momenti:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i.p; = - J z (3.51)

Böylece, teğet atalet kuvvetlerinin dönme ekseni etrafındaki ana momenti, bu eksen etrafındaki atalet momentinin ve açısal ivmenin ürününe eşittir ve teğet atalet kuvvetlerinin ana momentinin yönü, açısal ivmenin yönü.

Pirinç. 3.48.

dönme ekseni hakkında

Daha sonra, cismin düzlemsel paralel hareketi için atalet kuvvetlerini ifade ediyoruz. Vücudun düzlem-paralel hareketini (Şekil 3.49) öteleme hareketinin toplamı olarak düşünürsek kütle merkezi ile birlikte ve etrafında döndürme kütle merkezinden geçen eksen hareket düzlemine dik, kütle merkezinin hareket düzlemiyle çakışan bir malzeme simetri düzleminin varlığında, düzlem-paralel hareketteki atalet kuvvetlerinin ana vektöre eşdeğer olduğu kanıtlanabilir / ? (" p) kütle merkezine uygulanan kütle merkezinin ivmesinin tersidir ve ana atalet momenti kuvvetleridir. M^n) merkez eksene göre, hareket düzlemine dik, açısal ivmenin tersi yönde yönlendirilmiş:

Pirinç. 3.49.

notlar

• 1. d'Alembert ilkesi izin verdiği için sadece hareket denklemini bir denge denklemi şeklinde yazın, o zaman hareket denkleminin herhangi bir integralini vermez.
• 2. Şunu vurguluyoruz eylemsizlik kuvveti d'Alembert ilkesinde hayali gri, sadece bir denge sistemi elde etmek amacıyla etki eden kuvvetlere ek olarak uygulanır. Bununla birlikte, doğada geometrik olarak atalet kuvvetlerine eşit kuvvetler vardır, ancak bu kuvvetler, dikkate alınan hareketli cisme uygulanan bir ivme kuvvetinin ortaya çıktığı etkileşimde diğer (hızlanan) cisimlere uygulanır. Örneğin, yatay bir düzlemde bir daire etrafında sabit hızla dönen bir ipliğe sabitlenmiş bir noktayı hareket ettirirken, ipliğin gerilimi tam olarak şuna eşittir: atalet kuvveti, onlar. iplik üzerindeki bir noktanın tepki kuvveti, nokta, ipliğin ona tepkisinin etkisi altında hareket ederken.
• 3. Daha önce gösterildiği gibi, d'Alembert ilkesinin yukarıdaki biçimi, d'Alembert tarafından kullanılandan farklıdır. Burada kullanılan sistemin diferansiyel hareket denklemlerini derleme yöntemi, bir dizi St. Petersburg bilim adamı tarafından geliştirildi ve genişletildi ve adını aldı. kinetostatik yöntem.

Raylı taşıtların dinamiğinin bazı problemlerine mekanik yöntemlerin uygulanması:

? bir raylı taşıtın kavisli bir yol boyunca hareketi.Şu anda, bilgisayar teknolojisinin yetenekleri nedeniyle, bir demiryolu aracının bir virajda hareketi sırasında meydana gelen tüm mekanik olayların analizi, sistemin tüm bireysel gövdelerini hesaba katan oldukça karmaşık bir model kullanılarak gerçekleştirilmektedir. ve aralarındaki bağlantıların özellikleri. Bu yaklaşım, hareketin gerekli tüm kinematik ve dinamik özelliklerini elde etmeyi mümkün kılar.

Bununla birlikte, nihai sonuçları analiz ederken ve teknik literatürde ön tahminler yürütürken, bazı mekanik kavramlarının bazı çarpıtmalarıyla oldukça sık karşılaşılır. Bu nedenle, mürettebatın bir virajdaki hareketini tarif ederken kullanılan en "orijinal temellerden" bahsetmek tavsiye edilir.

Ele alınan süreçlerin bazı matematiksel açıklamalarını temel bir formülasyonda sunalım.

Özelliklerin doğru ve tutarlı bir açıklaması için mürettebatın sabit hareketi dairesel bir eğride gereklidir:

• bu hareketi tanımlamak için kullanılan mekanik yöntemini seçin;
• mekanik açısından açık bir "kuvvet" kavramından hareket edin;
• etki ve tepkinin eşitliği yasasını unutmayın.

Mürettebatın bir virajda hareket etme süreci, kaçınılmaz olarak hız yönünde bir değişiklik anlamına gelir. Bu değişimin hızının özelliği, kütle merkezinin eğrisel yörüngesinin eğrilik merkezine yönelik normal ivmesidir: bir p - V 2/p, burada p, eğrinin yarıçapıdır.

Hareket sırasında araç ray yolu ile etkileşime girerek tekerlek takımlarına normal ve teğetsel reaktif kuvvetler uygular. Doğal olarak raylara eşit ve zıt basınç kuvvetleri uygulanır. Yukarıdaki mekanik kavramlara göre kuvvet, cisimlerin veya bir cisim ile bir alanın etkileşiminin sonucu olarak anlaşılır. Ele alınan problemde iki fiziksel sistem vardır: tekerlek takımlı bir araba ve bir ray, bu nedenle kuvvetler bunların temas yerlerinde aranmalıdır. Ek olarak, mürettebatın ve Dünya'nın yerçekimi alanının etkileşimi yerçekimini oluşturur.

Mürettebatın eğrideki hareketinin açıklaması kullanılarak yapılabilir. genel dinamik teoremleri OZMS'nin sonuçları olan veya mekaniğin ilkeleri(örneğin, temel olan d'Alembert ilkesi) kinetostatik yöntem.

açıklamak istemek eşit özellikler iz ekseninin eğriliğini mürettebatın hareket özelliklerine göre hesaba katma yöntemleri, önce en basit idealleştirilmiş modeli kullanıyoruz. Mürettebat, bu sistemin kütlesine eşit bir kütleye sahip bir malzeme düzlemi olarak kabul edilecektir.

Bu düzlemde bulunan kütle merkezi, yolun eksenine uygun bir yörünge boyunca verilen bir hareketi belirli bir hızla gerçekleştirir. V. Ray yolu ile temas, hareketli düzlemin ray dişleri ile kesiştiği iki noktada gerçekleştirilir. Bu nedenle, aracın ray hattı ile etkileşiminden bahsetmişken, rayların her bir raydan ayrı tekerlek takımları üzerindeki tüm reaksiyonlarının bileşkesi olan konsantre kuvvetlerden bahsedebiliriz. Ayrıca, reaktif kuvvetlerin oluşumunun doğası önemsizdir;

? dış rayın yükselmesi olmadan ray boyunca taşıma hareketi.Şek. 3.50, kavisli bir yol boyunca hareket eden mürettebatın tasarım şemasını göstermektedir. Bu durumda dış ve iç raylar aynı seviyede bulunur. Şek. 3.50 mürettebat üzerine etki eden kuvvetleri ve bağların tepkilerini gösterir. olmadığını vurguluyoruz. bu şemada gerçek merkezkaç kuvvetleri yoktur.

Newton'un geometrik mekaniği çerçevesinde, bir aracın bir virajdaki hareketi, sistem dinamiğinin genel teoremleriyle tanımlanır.

Bu durumda kütle merkezinin hareketi ile ilgili teoreme göre,

t c a c - ben bir), (a)

burada R), dış kuvvetlerin ana vektörüdür.

İfadenin her iki parçasını da yansıtma (A) merkezi aracın kütle merkezinde olan eşlik eden doğal koordinat eksenlerinde m, i birim vektörleri ile, B ve inanmak ts = T.

Ana normale izdüşümde, şunu elde ederiz: n \u003d F n, veya

mV / p \u003d Fn (b)

Nerede F n - gerçek güç ray reaksiyonlarının yörünge normaline olan izdüşümlerinin toplamı olan tekerlek setlerine ray reaksiyonları. Bunlar tekerlek flanşları üzerindeki rayların yönlendirici basınç kuvvetleri olabilir. Bu yönde başka bir dış güç yoktur.

ifade projeksiyonunda (A) binormalde şunu elde ederiz:

O = -mg+Nout+N Han. (İle)

İşte indeksler 1 dışarı dış olana karşılık gelir, bir Han- eğrinin iç rayı. (c) ifadesindeki sol taraf sıfıra eşittir, çünkü ivmenin binormal üzerine izdüşümü sıfıra eşittir.

Açısal momentumdaki değişim teoremini kullanarak üçüncü denklemi elde ederiz. kütle merkezine göre:

dKc /dt = ^Mc . (D)

Bir ifade tasarlama D t ekseninde, burada t = nx b - birim vektörlerin vektörel çarpımı P Ve B, hesaba katıldığında KCI\u003d U St ile t, U St - mürettebatın kütle merkezinin yörüngesine teğet eksen hakkındaki atalet momenti, sahip olacağız

Ja *i=NJS-N m S + F K H = 0, (e)

dairesel bir eğri boyunca sabit harekette m ekseni etrafındaki açısal ivme sıfır olduğundan.

İfade ( B), (c) ve (e)üç bilinmeyen miktar için doğrusal cebirsel denklem sistemidir M-tp> hangisini çözerek şunu elde ederiz:

Pirinç. 3.50.

Bu nedenle, genel dinamik teoremlerinin tutarlı bir şekilde uygulanması, incelenen problemde, mürettebatın pistin eğrisel bir bölümünden geçişiyle ilişkili tüm fenomenleri oluşturmamıza izin verir.

Aslında, her iki tekerlek de virajın içine yönlendirilen kuvvetlere tabidir. Bu kuvvetlerin bileşkesi, aracın kütle merkezi etrafında dönmeye ve hatta virajın dışına doğru devrilmeye neden olabilecek bir moment oluşturur. V 2 N/p5" > G. Bu kuvvetin etkisi tekerleklerin aşınmasına neden olur. Doğal olarak, raya etki eden zıt yönlü kuvvet -R p ray aşınmasına neden olur.

Yukarıdaki açıklamada, yalnızca iki rayın yatay reaksiyonlarının bileşkesinin bulunabileceğine dikkat edin. R. Bu kuvvetin iç ve dış raylar arasındaki dağılımını belirlemek için statik olarak belirsiz bir problemi ek koşullar kullanarak çözmek gerekir. Ayrıca arabanın hareketi sırasında dış ve iç rayların normal reaksiyonları farklı değerlere sahiptir. Dış ray dişi daha fazla yüklenir.

İç ipliğin araca verdiği tepki daha azdır ve belirli bir hız değerinde sıfıra bile eşit olabilir.

Klasik mekanikte bu duruma denir. devrilme, aslında henüz bir rollover olmamasına rağmen. Gerçek devrilme durumunun ne zaman meydana geldiğini bulmak için, arabanın m'ye paralel bir eksen etrafında dönmesi ve tekerleğin dış ray ile temas noktasından geçmesi düşünülmelidir? T F 0. Böyle bir görev tamamen akademik açıdan önemlidir, çünkü gerçek bir sistemi böyle bir duruma getirmek elbette kabul edilemez.

Tüm olguları açıklarken gerçeklerden hareket ettiğimizi bir kez daha vurguluyoruz. arabanın hareketi sadece gerçek kuvvetlerin etkisi altında.

m ekseni etrafındaki diferansiyel dönme denkleminin, = 0'da bile, merkezi eksen m'ye göre yazıldığına dikkat edin.Bu eksenin farklı bir noktada seçilmesi, denklemin sol tarafının şeklinde bir değişikliğe yol açar. moment teoremi. Bu nedenle, örneğin normal reaksiyonların değerini bulmak daha kolay olacak gibi görünse de, örneğin tekerleğin ray ile temas noktasından geçen eksene göre bu denklemi aynı biçimde yazmak imkansızdır. bu durumda. Ancak, bu yaklaşım yanlış sonuca yol açacaktır: osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Noktanın, örneğin bir noktadan geçen bir eksen etrafındaki dönme denkleminin olduğu gösterilebilir. İLE, hareketin öteleme kısmından cismin momentum momenti dikkate alınarak yazılmalıdır. g x x ta s: J Cl? t+ T(g ks xx gün)=^ M Kh.

Bu nedenle, St ekseni üzerindeki izdüşümdeki denklem (c) yerine, ifadeyi elde ederiz.

(8 )

/ St? t+ t[g ks X AC) t = -teB + N ipp 25,

parantez içinde, vektör çarpımının St ekseni üzerindeki izdüşüm değeridir. ? ks ha s.

Gerekli prosedürlerin art arda uygulanmasının bulmamıza izin verdiğini gösterelim. s w elde edilen denklemden). Şek. 3.50 bunu gösteriyor

g ks - bp + hb Ve bir c =

Vektörel çarpımı hesaplayalım:

Burada dikkate alınan php = 0 Ve bx = - t.Bu nedenle,

tNU 2

2L gr/lp 5',

iç rayın tepkisini bulduğumuz yer:

(/) ifadesinde elde edilen sonuçla aynıdır.

Sorunun sunumunun sonunda, arabanın dikkate alınmasına dikkat çekiyoruz. hareket Newton'un geometrik mekanik yöntemlerini kullanmak, problemin çözülmesine izin verir hayali ve bu atalet tanıtımı olmadan. Sadece mekaniğin tüm hükümlerini doğru bir şekilde kullanmak gerekir. Bununla birlikte, bu yöntemin kullanımının, örneğin d'Alembert ilkesini kullanırken olduğundan daha büyük miktarda hesaplamayla ilişkili olabileceğine dikkat edilmelidir.

Şimdi, kinetostatik yöntemin genel kabul görmüş biçimindeki d'Alembert ilkesinin kullanımına dayalı olarak aynı sorunun nasıl çözüldüğünü gösterelim. Bu durumda, ek bir uygulama gereklidir.

diş açma hayali atalet kuvveti: G* = -ta sp = -T-P. Ve eki-

sayfa durur, yani şimdi kütle merkezinin ivmesi AC= 0. Şek. 3.51 böyle gösterir dinlenme sistemi Atalet kuvveti de dahil olmak üzere ona uygulanan tüm kuvvetler, kinetostatik denklemleri karşılamalıdır. hareket değil denge,önceki durumda olduğu gibi.

Bu durum, bilinmeyen tüm miktarları bulmamızı sağlar. denge denklemi. Bu durumda, denge denklemlerinin şeklinin ve momentlerin hesaplandığı noktaların seçimi keyfi hale gelir. İkinci durum, tüm bilinmeyenleri birbirinden bağımsız olarak bulmamızı sağlar:

BEN M = oh BEN M,_= ah

-n = yaklaşık.

1 de Milletvekili

Pirinç. 3.51. Mürettebata etki eden kuvvetlerin, Şekil 1'deki ile aynı koşullar altında tasarım şeması. d'Alembert ilkesini kullanırken 3.50

Bu denklem sisteminin çözümlerinin, dinamik teorisi kullanılarak elde edilen karşılık gelen formüllerle örtüştüğünü görmek kolaydır. Böylece, söz konusu örnekte, d'Alembert ilkesinin uygulanması, sorunun çözümünü bir şekilde basitleştirmeyi mümkün kılmıştır.

Bununla birlikte, sonuçları yorumlarken, ek olarak uygulanan atalet kuvvetinin gerçekte olduğu anlamında hayali olduğu akılda tutulmalıdır. mürettebata etki eden böyle bir kuvvet yoktur. Ek olarak, bu kuvvet Newton'un üçüncü yasasını karşılamaz - bu kuvvetin "ikinci ucu" yoktur, yani. muhalefet yok

Genel olarak, bir eğride mürettebat hareketi sorunu da dahil olmak üzere pek çok mekanik problemini çözerken, d'Alembert ilkesini uygulamak uygundur. Bununla birlikte, herhangi bir fenomeni bununla ilişkilendirmemek gerekir. aksiyon bu atalet kuvveti. Örneğin, bu merkezkaç atalet kuvvetinin ayrıca dış rayı yükleyip iç rayı boşalttığını ve dahası bu kuvvetin aracın devrilmesine neden olabileceğini söylemek. Bu sadece cahil değil, aynı zamanda anlamsızdır.

Bir virajda arabaya etki eden ve hareketinin durumunu değiştiren harici uygulanan kuvvetlerin yerçekimi, rayların dikey ve yatay tepkileri olduğunu bir kez daha hatırlayalım;

? taşıyıcının dış rayın yüksekliği ile bir eğri boyunca hareketi. Gösterildiği gibi, araç virajlardan dış ray yükselmeden geçtiğinde meydana gelen süreçler, istenmeyen sonuçlarla ilişkilidir - rayların düzensiz dikey yüklenmesi, rayın tekerleğe önemli ölçüde normal yatay tepkisi ve artan aşınma hem tekerleklerin hem de rayların, hız aşıldığında devrilme olasılığı, belirli bir limitin hareketi vb.

Büyük ölçüde, dış ray iç rayın üzerine yükseltilerek virajların geçişine eşlik eden hoş olmayan olaylardan kaçınılabilir. Bu durumda, taşıyıcı, generatrix'in yatay eksene eğim açısı ile koninin yüzeyi boyunca yuvarlanacaktır (Şekil 3.52): f L \u003d arcsin (L / 25) veya küçük açılarda

FA * L/2 S.

Pirinç. 3.52.

dış rayın yüksekliği ile

Durağan durumda, ne zaman V- const ve φ A = const, arabanın düz bir bölümünün kendi düzlemindeki hareketini, dış rayı kaldırmadan bir eğriye sığdırırken olduğu gibi düşünebiliriz.

Genel dinamik teoremlerini kullanarak sorunu çözmek için bir teknik düşünün. Aracın kütle merkezinin, p yarıçaplı dairesel bir eğri boyunca hareket ettiğini varsayacağız, ancak söz konusu durumda, tam anlamıyla, iz ekseninin eğrilik yarıçapı, merkezin yörüngesinin eğrilik yarıçapından farklıdır. az miktarda kütle:

H günah cf L ~ H uzak.

Bu nedenle, p ile karşılaştırıldığında, ikinci değer ihmal edilebilir. Mürettebatın "düz bölümünün" hareketi, beraberindeki eksenlere atfedilecektir. Su Si x(bkz. Şekil 3.52), burada eksen Su] iz düzlemine paralel. Sabit bir hareket hızında, kütle merkezinin ivmesinin hareketinin yörüngesinin ana normali üzerindeki izdüşümü, yüksekliği olmayan bir eğride hareket ederken olduğu gibi yazılabilir, yani. bir p = V ben/R.

Su ekseni üzerindeki ivme izdüşümleri ve cz^ sırasıyla eşittir:

bir ux = bir p sovf; BEN. \u003d bir „smy h.

Kütle merkezinin hareketine ilişkin teoreme ve Cx eksenine göre açısal momentumun değişimine ilişkin teoreme dayanan bir düzlem kesitinin hareket denklemleri aşağıdaki gibidir:

= 0 olduğunu hesaba katarak, ikameden sonra, üç bilinmeyenli üç lineer cebirsel denklem sistemi elde ederiz. F vi, N ii, N (sıfır:

/i-si Pf l = -mg cosV/ , + N dk + N çıkışı; P

-sof bir = mgs bir + F ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

İz ekseni düzleminin dış rayın yükselmesi nedeniyle eğiminin, kütle merkezinin ivmesinin Cy ve Cr ekseni üzerindeki izdüşümünde bir değişikliğe yol açtığına dikkat edin. yükseklik yokluğunda olanlara kıyasla rayların tepkileri, ne zaman A. - 0, a l İvme izdüşümlerindeki bu değişimler, aracın eğrinin eğrilik merkezinden geçen binormal etrafında dönüşünü, eksenler etrafındaki iki dönüşün ω = ω (+ b) geometrik toplamı olarak ele alırsak açıklanabilir?, y, eğrinin aynı merkezinden geçiyor.

Bir denklem sistemini derlerken (İle) cp L açısının küçüklüğü öngörülmemiştir. Ancak, pratik bir tasarımda

wtf A ~ /g/25.

Böylece, küçük f L durumunda, yolun araca olan tepkilerini belirlemek için denklem sistemi aşağıdaki forma sahiptir:

= -g^+LG, „ + Mgsh,;

T- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Bu denklemleri çözerek şunu elde ederiz:

N...... =

mg + TU/G

Cum/77 bin VE /77 „

• - +--+-N
• 2r 25 25

Yükseltinin olmadığı özel durumda (VE= 0), bu ifadeler daha önce elde edilenlerle (/) örtüşür.

Şimdi problem çözme sonuçlarının analizine dönelim. EĞER 0.

Bu durumda, rayın ray düzlemine yönlendirilen enine reaksiyonunun azaldığına dikkat edilmelidir. Bu, kütle merkezinin Su ekseni yönünde ivmesinin oluşumunda sadece // kuvvetinin değil, aynı zamanda yerçekimi bileşeninin de yer almasıyla açıklanmaktadır. Ayrıca belirli bir değer için VE\u003d 25K 2 / p? güç R sıfır olur:

Akılda tutarak

g - T,= X bir,%>+ X A[

• (3.42)

Parantez içindeki değere denir olağanüstü hızlanma Devlet ne zaman P = 0, normal ivmenin olduğu duruma karşılık gelir A sadece mürettebatın yerçekimi kuvveti olan d> ekseni üzerindeki izdüşümünden oluşur.

Ele alınan sorunu tartışırken, bazen hızlanmanın bir p yatay olarak yönlendirilir ve yerçekimi dikeydir (bkz. Şekil 3.52) ve bu nedenle dikkate alınan ivmeyi oluşturamaz. bir p de R= 0. Kuvvete ek olarak yatay ivme oluşumunda olduğu için bu akıl yürütme bir hata içerir. R, normal reaksiyonlar D r w u ve / V veya r de yer alır.Bu iki reaksiyonun küçük f A'daki toplamı şuna eşittir: 1H tp + 1U oig \u003d mg. Bu nedenle, yerçekimi hala yatay ivmenin oluşumuna katılır. bir p, ancak reaksiyonların etkisiyle Nm Ve S oiG

Şimdi rayların ray yüzeyine dik normal reaksiyonlarının nasıl değiştiğini tartışalım.

/7 = 0 durumunun aksine, reaksiyonların aynı değerde arttığına dikkat edin. TU 2 I/2r28, ihmal edilir çünkü ///25 - değer küçük. Ancak, titiz bir akıl yürütmede, ifadeler için bu terimi çıkarın ve N w bunu yapma.

Ne zaman - > -2-, yani pozitif olağanüstü hızlanma ile, s 25

iç rayın reaksiyonu dış raydan daha azdır, ancak aralarındaki fark kadar önemli değildir. VE = 0.

Olağanüstü ivme sıfıra eşitse, reaksiyon değerleri şuna eşit olur: IV oSH = mg|2(küçük için VE), onlar. dış rayın yüksekliği sadece elde edilmesine izin vermez RU= 0, ancak aynı zamanda dış ve dış raylar üzerindeki basıncı eşitler. Bu koşullar, her iki ray için daha düzgün aşınma değerleri elde etmeyi mümkün kılar.

Ancak, dış rayın yüksekliği nedeniyle, negatif bir değer olasılığı vardır. R", tutmayan kısıtlamalara sahip gerçek bir sistemde, aracın eksen boyunca kaydırılması işlemine karşılık gelir. y g onlar. eğrinin içinde. Yolun aynı eğimi nedeniyle, reaksiyonların yeniden dağılımı meydana gelebilir N w Ve Hayır! baskın Mş.

Bu nedenle, Newton'un geometrik mekanik yöntemleri kullanılarak gerçekleştirilen, dış rayın yükseldiği bir yol boyunca bir virajda bir aracın hareketi üzerine yapılan çalışmalar, ek terminolojik hipotezler olmadan sistemin durumunu analiz etmeyi mümkün kılar. Muhakemede atalet kuvvetleri yoktur.

Şimdi arabanın aynı eğri üzerindeki hareketinin d'Alembert ilkesi kullanılarak nasıl tanımlandığını görelim.

Bu prensibi kinetostatik yöntemin formülasyonunda önceki durumda olduğu gibi uygulayarak, normal (merkezkaç) eylemsizlik kuvvetini kütle merkezine uygulamak gerekir. Рn), normal hızlanmanın tersi yönde yönlendirilmiş (Şek. 3.53):

nerede sistem Tekrar durur, yani mürettebat pist boyunca hareket etmiyor. Bu nedenle, kinetostatik dengenin tüm denklemleri geçerlidir:

BEN İle= °-X r* =Ö.

/L^ypf, - G'p sov* + Gu[ = 0;

- /L?S08f /; -BIPf, + +N^1

Buradaki değeri değiştirerek, herhangi bir f / (veya (İle) küçük VE.

Bu nedenle, her iki yöntemin kullanılması tamamen aynı sonuçlara yol açar. Denklem sistemi ( İle) ve d'Alembert ilkesine göre elde edilen sistem aynıdır.

Bununla birlikte, içinde nihai sonuçlar herhangi bir atalet kuvveti içermez. Bu anlaşılabilir bir durumdur, çünkü kinetostatik yönteminin altında yatan d'Alembert ilkesi yalnızca sistemin diferansiyel hareket denklemlerini derlemenin bir yolu. Aynı zamanda, ele alınan problemde d'Alembert ilkesinin uygulanmasının hesaplamaları basitleştirmeyi mümkün kıldığını ve pratik hesaplamalar için önerilebileceğini görüyoruz.

Ancak gerçekte gücün olmadığını bir kez daha vurguluyoruz. ÖG 2/p hareket halindeki aracın kütle merkezine uygulanır. Bu nedenle, bir eğrideki hareketle ilgili tüm olgular, sistem (/) çözümünün sonuçlarının analizi temelinde yapıldığı gibi açıklanmalıdır veya (İle).

Sonuç olarak, ele alınan problemdeki "Newton yöntemi" ve "D'Alembert yöntemi"nin sadece diferansiyel hareket denklemlerini derlemek amacıyla kullanıldığını belirtiyoruz. Aynı zamanda ilk aşamada diferansiyel denklemlerin kendileri dışında herhangi bir bilgi almıyoruz. Elde edilen denklemlerin müteakip çözümü ve gerçekleştirilen analiz, denklemlerin kendilerinin elde edilmesi yöntemiyle ilgili değildir.

Pirinç. 3.53.

• dışarı-İngilizceden, dış- harici.
• Han-İngilizceden, iç- iç mekan.
• Han-İngilizceden, iç- iç mekan.

d'Alembert ilkesi

Zh.L.'nin ana eseri. d'Alembert(1717-1783) - "Dinamikler Üzerine İnceleme" - 1743'te yayınlandı

İncelemenin ilk bölümü, analitik statiğin inşasına ayrılmıştır. Burada d'Alembert, "atalet ilkesi", "hareket ekleme ilkesi" ve "denge ilkesi" gibi "mekaniğin temel ilkelerini" formüle eder.

"Atalet ilkesi", dinlenme durumu ve düzgün doğrusal hareket durumu için ayrı ayrı formüle edilmiştir. "Atalet kuvveti, - diye yazıyor d'Alembert, ben, Newton ile birlikte, vücudun mülkiyetini içinde bulunduğu durumu korumak olarak adlandırıyorum."

"Hareketleri toplama ilkesi", paralelkenar kuralına göre hızları ve kuvvetleri toplama yasasıdır. Bu prensibe dayanarak, d'Alembert statik problemlerini çözer.

"Denge ilkesi" şu teorem olarak formüle edilir: "Kütleleriyle ters orantılı hızlarda hareket eden iki cisim zıt yönlere sahipse ve bir cisim bir yerden diğerine kaymadan hareket edemiyorsa, bu cisimler dengede olacaktır. ". İnceleme'nin ikinci bölümünde d'Alembert, dinamik problemini statiğe indirgemeye dayalı olarak herhangi bir malzeme sistemi için diferansiyel hareket denklemlerini derlemek için genel bir yöntem önerdi. Herhangi bir maddi nokta sistemi için, daha sonra "d'Alembert ilkesi" olarak adlandırılan, sistemin noktalarına uygulanan kuvvetlerin "hareket eden", yani ivmeye neden olan kuvvetlere ayrıştırılabileceği bir kural formüle etti. sistem ve sistemin dengesi için gerekli olan "kayıp". d'Alembert, "kayıp" ivmeye karşılık gelen kuvvetlerin, sistemin gerçek davranışını etkilemeyen bir kombinasyon oluşturduğuna inanıyor. Başka bir deyişle, sisteme yalnızca bir dizi "kaybedilen" kuvvet uygulanırsa, sistem hareketsiz kalacaktır. D'Alembert ilkesinin modern formülasyonu, M. E. Zhukovsky tarafından "Teorik Mekanik Kursu"nda verilmiştir: "Sistem herhangi bir zamanda durursa, hareket halindedir ve biz ona sürüşüne ek olarak ekleriz. kuvvetler, zaman içinde belirli bir noktaya karşılık gelen tüm atalet kuvvetleri, o zaman bir denge gözlemlenirken, böyle bir dengede sistemin parçaları arasında gelişen tüm basınç, gerilim vb. kuvvetler gerçek kuvvetler olacaktır. sistem dikkate alınan zamanda hareket ettiğinde basınç, gerilim vb. ". D'Alembert'in ilkesini sunarken kuvvet kavramına da başvurmadığına dikkat edilmelidir (mekaniğin temel kavramları listesine dahil edilecek kadar açık olmadığı düşünüldüğünde), kavramdan çok daha az. atalet kuvveti. D'Alembert ilkesinin "kuvvet" terimi kullanılarak sunumu, "Analitik Mekanik" adlı eserinde analitik ifadesini olası yer değiştirmeler ilkesi biçiminde veren Lagrange'a aittir. Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ve özellikle mekaniğin analitik mekaniğe nihai dönüşümünde önemli bir rol oynayan Leonardo Euler (1707-1783).

Malzeme noktasının analitik mekaniği ve Euler'in rijit cisim dinamikleri

Leonardo Euler- XVIII.Yüzyılda fizik ve matematik bilimlerinin gelişimine büyük katkı sağlayan seçkin bilim adamlarından biri. Çalışmaları, araştırma düşüncesinin içgörüsü, yeteneğin evrenselliği ve geride bırakılan muazzam miktarda bilimsel miras açısından dikkat çekicidir.

Petersburg'daki bilimsel faaliyetinin ilk yıllarında (Euler 1727'de Rusya'ya geldi), mekanik alanında görkemli ve kapsamlı bir çalışma döngüsü programı hazırladı. Bu ek, iki ciltlik "Mekanik veya analitik olarak ifade edilen hareket bilimi" (1736) adlı çalışmasında bulunur. Euler'in Mekaniği, Newton mekaniğinin ilk sistematik dersiydi. Bir noktanın dinamiğinin temellerini içeriyordu - mekanikten Euler, kuvvetler dengesi biliminin veya statik bilimin aksine hareket bilimini anladı. Euler'in "Mekaniği"nin tanımlayıcı özelliği, yeni bir matematiksel aygıtın - diferansiyel ve integral hesabın - geniş kullanımıydı. 17.-18. yüzyılların başında ortaya çıkan mekanik üzerine ana çalışmaları kısaca karakterize eden Euler, çalışmalarının okuyucular için pek çok iş yaratan son-tethiko-geometrik tarzına dikkat çekti. Newton's Elements ve daha sonra J. Herman tarafından yazılan Foronomia (1716) bu şekilde yazılmıştır. Euler, Hermann ve Newton'un eserlerinin, analiz kullanılmadan "sentetik geometrik kanıtlar yardımıyla eskilerin geleneğine göre" ifade edildiğine dikkat çekiyor, "yalnızca bu şeyler hakkında tam bir anlayışa ulaşılabilir."

Sentetik-geometrik yöntem genelleştirici bir karaktere sahip değildi, ancak kural olarak her görev için ayrı ayrı yapılar gerektiriyordu. Euler, "Phoronomy" ve "Beginnings" okuduktan sonra, kendisine göründüğü gibi, "birçok sorunun çözümünü oldukça net bir şekilde anladığını, ancak artık onlardan bir dereceye kadar sapan sorunları çözemediğini" itiraf ediyor. Daha sonra "bu sentetik yöntemin analizini izole etmeye ve aynı önerileri analitik olarak kendi yararına yapmaya" çalıştı. Euler, bu sayede konunun özünü çok daha iyi anladığını belirtiyor. Mekanik problemlerini incelemek için temelde yeni yöntemler geliştirdi, matematiksel aygıtını yarattı ve onu birçok karmaşık problemde zekice uyguladı. Euler sayesinde diferansiyel geometri, diferansiyel denklemler ve varyasyonlar hesabı mekaniğin araçları haline geldi. Euler'in daha sonra halefleri tarafından geliştirilen yöntemi açıktı ve konu için yeterliydi.

Euler'in sert bir cismin dinamikleri üzerine çalışması "Katı cisimlerin hareket teorisi", bir noktanın dinamiğinin yeniden ana hatlarıyla verildiği altı bölümden oluşan geniş bir girişe sahiptir. Girişte bir dizi değişiklik yapılmıştır: özellikle, bir noktanın hareket denklemleri, sabit dikdörtgen koordinatların ekseni üzerindeki izdüşüm kullanılarak yazılır (teğet, ana normal ve normal, yani eksen üzerinde değil) "Mekanik" te olduğu gibi, yörünge noktalarıyla ilişkili taşınmaz bir doğal trihedron.

Giriş bölümünü takip eden "Rijit Cisimlerin Hareketi Üzerine İnceleme" 19 bölümden oluşmaktadır.Dergi d'Alembert ilkesine dayanmaktadır.Rijit cisimlerin öteleme hareketini kısaca ele alan ve atalet merkezi kavramını ortaya koyan Euler, sabit bir eksen ve sabit bir nokta etrafındaki dönüşleri dikkate alır.İşte anlık açısal hızın, koordinat eksenlerindeki açısal ivmenin izdüşümleri için formüller, sözde Euler açıları kullanılır, vb. atalet açıklanır, ardından Euler katı bir cismin dinamiğine geçer. Dış kuvvetlerin yokluğunda ağır bir cismin sabit ağırlık merkezi etrafında dönüşü için diferansiyel denklemler türetir ve bunları basit bir özel durum için çözer. Katı bir cismin sabit bir nokta etrafında dönmesiyle ilgili jiroskop teorisindeki iyi bilinen ve eşit derecede önemli sorun bu şekilde ortaya çıktı. Euler ayrıca hidro ve aeromekanik, balistik, kararlılık teorisi ve küçük titreşimler teorisi, gök mekaniği ve benzeri.

Mechanics'in yayınlanmasından sekiz yıl sonra Euler, en az eylem ilkesinin ilk kesin formülasyonuyla bilimi zenginleştirdi. Maupertuis'e ait olan en az eylem ilkesinin formülasyonu hâlâ çok kusurluydu. İlkenin ilk bilimsel formülasyonu Euler'e aittir. İlkesini şu şekilde formüle etti: Eğer düşünürsek, integral gerçek bir yörünge için en küçük değere sahiptir.

ortak bir başlangıç ​​ve son konuma sahip olan ve aynı enerji değeriyle gerçekleştirilen olası yörüngeler grubunun sonuncusu. Euler, ilkesini tam bir matematiksel ifade ve bir maddi nokta için kesin bir gerekçelendirme ile sağlar, merkezi kuvvetlerin eylemlerini test eder. 1746-1749 s. Euler, elastik kuvvetlerin etki ettiği problemlere en az etki ilkesinin uygulandığı esnek bir ipliğin denge rakamları üzerine birkaç makale yazdı.

Böylece, 1744'te mekanik iki önemli ilkeyle zenginleştirildi: d'Alembert ilkesi ve Maupertuis-Euler en az etki ilkesi. Lagrange, bu ilkelere dayanarak bir analitik mekanik sistemi kurdu.

Maddi bir nokta hareket ettiğinde, zamanın her anında ivmesi, noktaya uygulanan belirli (aktif) kuvvetler, bağların reaksiyonları ve dengeli bir kuvvetler sistemi oluşturan hayali d'Alembert kuvveti Ф = - olacak şekildedir.

Kanıt. Bir kütle ile serbest olmayan bir malzeme noktasının hareketini düşünün T eylemsiz bir referans çerçevesinde. Temel dinamik yasasına ve bağlardan kurtulma ilkesine göre, elimizde:

F, verilen (aktif) kuvvetlerin bileşkesidir; N, noktaya uygulanan tüm bağların reaksiyonlarının bileşkesidir.

(13.1)'i şu forma dönüştürmek kolaydır:

Vektör Ф = - O d'Alembert atalet kuvveti, atalet kuvveti veya basitçe d'Alembert'in gücü. Aşağıda sadece son terimi kullanacağız.

D'Alembert ilkesini sembolik biçimde ifade eden Denklem (13.3) denir. kinetostatik denklem maddi nokta.

Mekanik bir sistem (sistem) için d'Alembert ilkesinin bir genellemesini elde etmek kolaydır. P maddi noktalar).

Herhangi İle mekanik sistemin inci noktası, eşitlik (13.3) sağlanır:

Nerede ? İle -üzerine etki eden belirli (aktif) kuvvetlerin bileşkesi İle-inci nokta; N İle -üst üste binen bağların reaksiyonlarının bileşkesi k-inci nokta; F k \u003d - bu k- d'Alembert kuvveti İle-inci nokta.

Açıkçası, F*, N* : , Ф* kuvvetlerinin her üçlüsü için denge koşulları (13.4) karşılanırsa (İle = 1,. .., P), ardından tüm sistem 3 P kuvvetler

dengelidir.

Sonuç olarak mekanik bir sistemin hareketi sırasında her an ona uygulanan aktif kuvvetler, bağların tepkimeleri ve sistemin noktalarına ait d'Alembert kuvvetleri dengeli bir kuvvetler sistemi oluşturur.

Sistemin (13.5) kuvvetleri artık yakınsak değildir, bu nedenle statikten (bölüm 3.4) bilindiği gibi, dengesi için gerekli ve yeterli koşullar aşağıdaki forma sahiptir:

Denklemler (13.6), bir mekanik sistemin kinetostatik denklemleri olarak adlandırılır. Hesaplamalar için bu vektör denklemlerinin moment noktasından geçen eksenler üzerindeki izdüşümleri kullanılır. HAKKINDA.

Açıklama 1. Sistemin tüm iç kuvvetlerinin toplamı ve herhangi bir noktaya göre momentlerinin toplamı sıfıra eşit olduğundan, denklemlerde (13.6) sadece reaksiyonları hesaba katmak yeterlidir. harici bağlantılar.

Kinetostatik denklemleri (13.6), genellikle sistemin hareketi verildiğinde mekanik bir sistemin kısıtlamalarının reaksiyonlarını ve dolayısıyla sistemin noktalarının ivmelerini ve bunlara bağlı d'Alembert kuvvetlerini belirlemek için kullanılır. biliniyor.

örnek 1 Destek tepkilerini bulun A Ve İÇİNDE 5000 rpm'lik bir frekansta düzgün dönüşü olan şaft.

Noktasal kütleler mile rijit bir şekilde bağlanmıştır. gp= 0,1 kg, t2 = 0,2 kilo Bilinen boyutlar AC - CD - DB = 0,4 m H= 0,01 m Şaftın kütlesinin ihmal edilebilir olduğunu kabul edin.

Çözüm.İki nokta kütlesinden oluşan mekanik bir sistem için d'Alembert ilkesini kullanmak için, diyagramda (Şekil 13.2) verilen kuvvetleri (yerçekimi) Gi, G2, N4, N # ve d bağlarının reaksiyonunu gösteriyoruz. 'Alembert kuvvetleri Ф|, Ф 2.

Dalambres kuvvetlerinin yönleri, noktasal kütlelerin ivmelerinin tersidir. T B t 2y yarıçaplı daireleri düzgün bir şekilde tanımlayan H eksen etrafında ABşaft.

Yerçekimi kuvvetlerinin ve Dalambres kuvvetlerinin büyüklüklerini buluyoruz:

Burada milin açısal hızı ortak 5000* l/30 = 523,6 sn Ah ah, Az, Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2 paralel kuvvetlerin düz bir sistemi için denge koşullarını elde ederiz:

Bulduğumuz moment denkleminden N inç = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w"

272 N ve üzerindeki projeksiyon denkleminden

eksen Ay:Na \u003d -NB + G, + G2 + F, -F2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Kinetostatik denklemler (13.6), bağların reaksiyonları hariç tutulacak ve sonuç olarak bağımlılıkları elde etmek mümkün olacak şekilde oluşturulduysa, sistemin diferansiyel hareket denklemlerini elde etmek için de kullanılabilir. verilen kuvvetler üzerindeki ivmelerin

Bir malzeme noktasının ve mekanik bir sistemin dinamiğindeki atalet kuvvetleri

atalet kuvveti ile bir malzeme noktasının değeri, bir noktanın kütlesi ile ivmesinin çarpımıdır, eksi işaretiyle alınır, yani dinamikteki atalet kuvvetleri aşağıdaki durumlarda kullanılır:

• 1. Bir malzeme noktasının hareketini incelerken eylemsiz(hareketli) koordinat sistemi, yani göreceli hareket. Bunlar, genellikle Euler kuvvetleri olarak anılan öteleme ve Coriolis atalet kuvvetleridir.
• 2. Kinetostatik yöntemini kullanarak dinamik problemlerini çözerken. Bu yöntem, bir malzeme noktasının veya bir malzeme noktaları sisteminin atalet kuvvetlerinin bir miktar ivme ile hareket ettiği d'Alembert ilkesine dayanmaktadır. atalet referans sistemi. Bu atalet kuvvetlerine d'Alembert kuvvetleri denir.
• 3. d'Alembert atalet kuvvetleri, Lagrange-D'Alembert prensibi veya genel dinamik denklemi kullanılarak dinamik problemlerinin çözümünde de kullanılır.

Kartezyen koordinatların eksenleri üzerindeki izdüşümlerde ifade

Nerede - Kartezyen koordinat ekseni üzerindeki nokta ivmeli projeksiyon modülleri.

Bir noktanın eğrisel hareketi ile atalet kuvveti teğetsel ve normal olarak ayrıştırılabilir:; , - teğetsel ve normal ivmelerin modülü; - yörüngenin eğrilik yarıçapı;

V- nokta hızı.

maddi bir nokta için d'Alembert ilkesi

ücretsiz değilse uygulanan aktif kuvvetlerin ve bağların reaksiyon kuvvetlerinin etkisi altında hareket eden bir maddi noktaya, atalet kuvvetini uygulayın, daha sonra herhangi bir zamanda ortaya çıkan kuvvetler sistemi dengelenecek, yani bu kuvvetlerin geometrik toplamı sıfıra eşit olacaktır.

mekanik nokta gövde malzemesi

Nerede - noktaya uygulanan aktif kuvvetlerin bileşkesi; - noktaya uygulanan bağların reaksiyonlarının bileşkesi; malzeme noktasının atalet kuvveti. Not: Aslında, bir maddi noktanın atalet kuvveti, noktanın kendisine değil, bu noktaya ivme kazandıran cisme uygulanır.

mekanik bir sistem için d'Alembert ilkesi

geometrik toplam sisteme etki eden dış kuvvetlerin ana vektörleri ve sistemin tüm noktalarının atalet kuvvetleri ve ayrıca bu kuvvetlerin ana momentlerinin herhangi bir zamanda özgür olmayan bir mekanik sistem için belirli bir merkeze göre geometrik toplamı sıfıra eşittir, yani

Rijit bir cismin atalet kuvvetlerinin asli vektörü ve asli momenti

Sistemin noktalarına ait atalet kuvvetlerinin ana vektörü ve ana momenti, bu mekanik sistemde yer alan her rijit cisim için ayrı ayrı belirlenir. Tanımları, keyfi bir kuvvet sistemini belirli bir merkeze getirmekle ilgili statikten bilinen Poinsot yöntemine dayanmaktadır.

Bu yönteme dayanarak, genel hareket durumunda vücudun tüm noktalarının atalet kuvvetleri kütle merkezine getirilebilir ve ana vektör * ve ana moment ile değiştirilebilir. kütle merkezi hakkında. Formüllerle belirlenirler yani herhangi biri için rijit bir cismin hareketi, atalet kuvvetlerinin ana vektörü, vücut kütlesinin ürününe ve vücudun kütle merkezinin ivmesine eksi işaretiyle eşittir; ,Nerede R kc -- yarıçap vektörü k-inci kütle merkezinden çizilen nokta. Bu formüller, katı bir cismin belirli hareket durumlarında şu şekildedir:

1. İlerici hareket.

2. Bir cismin kütle merkezinden geçen bir eksen etrafında dönmesi

3. Düzlem paralel hareket

Analitik Mekaniğe Giriş

Analitik mekaniğin temel kavramları

analitik mekanik- herhangi bir mekanik sistem için kullanılan genel, birleşik analitik yöntemler kullanılarak mekanik sistemlerin hareketinin veya dengesinin incelendiği bir mekanik alanı (bölümü).

Analitik mekaniğin en karakteristik kavramlarını ele alalım.

1. Bağlantılar ve sınıflandırılması.

Bağlantılar-- mekanik bir sistemin noktalarının hareketine uygulanan cisimler veya herhangi bir kinematik koşul biçimindeki herhangi bir kısıtlama. Bu kısıtlamalar denklemler veya eşitsizlikler olarak yazılabilir.

Geometrik bağlantılar-- denklemleri yalnızca noktaların koordinatlarını içeren bağlantılar, yani kısıtlamalar yalnızca noktaların koordinatlarına uygulanır. Bunlar gövdeler, yüzeyler, çizgiler vb. şeklindeki bağlantılardır.

Diferansiyel bağlantılar-- sadece noktaların koordinatlarına değil aynı zamanda hızlarına da kısıtlamalar getiren bağlantılar.

Holonomik bağlantılar -- tüm geometrik bağlantılar ve denklemleri entegre edilebilen diferansiyel bağlantılar.

Holonomik olmayan kısıtlamalar-- diferansiyel entegre edilemeyen bağlantılar.

Sabit iletişim -- denklemleri açıkça zamanı içermeyen bağlantılar.

Sabit olmayan iletişim- zamanla değişen, yani denklemleri açıkça zamanı içeren bağlantılar.

İkili (tutma) bağlantılar -- bir noktanın hareketini iki zıt yönde sınırlayan bağlantılar. Bu tür bağlantılar denklemlerle tanımlanır. .

Tek taraflı(tutmayan) bağlantılar - hareketi yalnızca bir yönde kısıtlayan bağlantılar. Bu tür bağlantılar eşitsizliklerle tanımlanır.

2. Olası (sanal) ve gerçek hareketler.

Olası veya sanal mekanik bir sistemin noktalarının yer değiştirmeleri, sisteme dayatılan kısıtlamaların izin verdiği hayali sonsuz küçük yer değiştirmelerdir.

Olası Mekanik bir sistemin yer değiştirmesi, sistemin kısıtlamalarla uyumlu noktalarının eşzamanlı olası yer değiştirmeleri kümesidir. Mekanik sistem bir krank mekanizması olsun.

Olası hareket noktası A küçüklüğünden dolayı doğrusal olarak kabul edilen ve dik olarak yönlendirilen bir yer değiştirmedir. ÖA.

Olası hareket noktası İÇİNDE(kaydırıcı) kılavuzlarda hareket ediyor. Krankın olası hareketi OA bir açıyla dönüş ve biyel kolu AB -- MCS etrafında bir açıda (nokta R).

Geçerli Sistemin noktalarının yer değiştirmelerine, üst üste binen bağlantılara izin veren, ancak hareketin başlangıç ​​koşullarını ve sisteme etki eden kuvvetleri dikkate alan temel yer değiştirmeler de denir.

derece sayısıözgürlük S Bir mekanik sistemin, zaman içinde sabit bir noktada sistemin noktalarına iletilebilen bağımsız olası yer değiştirmelerinin sayısıdır.

Olası yer değiştirmeler ilkesi (Lagrange ilkesi)

Olası yer değiştirmeler ilkesi veya Lagrange ilkesi, uygulanan aktif kuvvetlerin etkisi altında serbest olmayan bir mekanik sistem için denge koşulunu ifade eder. İlkenin formülasyonu.

denge için Uygulanan aktif kuvvetlerin etkisi altında hareketsiz olan iki taraflı, durağan, holonomik ve ideal kısıtlamalara sahip özgür olmayan bir mekanik sistem için, tüm aktif kuvvetlerin temel işlerinin toplamının herhangi bir mermiye eşit olması gerekli ve yeterlidir. sistemin dikkate alınan denge konumundan olası yer değiştirmesi:

Genel dinamik denklemi (Lagrange-D'Alembert ilkesi)

Genel dinamik denklemi, gövdeleri veya noktaları belirli ivmelerle hareket eden, serbest olmayan mekanik sistemlerin hareketinin incelenmesine uygulanır.

D'Alembert ilkesine göre, mekanik sisteme uygulanan aktif kuvvetlerin, bağların reaksiyon kuvvetlerinin ve sistemin tüm noktalarının atalet kuvvetlerinin toplamı dengeli bir kuvvetler sistemi oluşturur.

Böyle bir sisteme olası yer değiştirmeler ilkesi (Lagrange ilkesi) uygulanırsa, birleşik Lagrange-D'Alembert ilkesini elde ederiz veya dinamiklerin genel denklemi.bu ilkenin formülasyonu.

Hareket ederken serbest değilİki yönlü, ideal, durağan ve holonomik kısıtlamalara sahip bir mekanik sistemin, sistemin herhangi bir olası yer değiştirmesinde sistemin noktalarına uygulanan tüm aktif kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin temel işlerinin toplamı sıfıra eşittir:

İkinci türden Lagrange denklemleri

Lagrange denklemleri ikinci tür, genelleştirilmiş koordinatlarda bir mekanik sistemin diferansiyel hareket denklemleridir.

olan bir sistem için S serbestlik dereceleri, bu denklemler şu şekildedir:

Fark sistemin kinetik enerjisinin genelleştirilmiş hıza göre kısmi türevinin ve kinetik enerjisinin genelleştirilmiş koordinata göre kısmi türevinin toplam zaman türevi genelleştirilmiş kuvvete eşittir.

Konservatif mekanik sistemler için Lagrange denklemleri. Döngüsel koordinatlar ve integraller

Muhafazakar bir sistem için, genelleştirilmiş kuvvetler, sistemin potansiyel enerjisi cinsinden formülle belirlenir.

Daha sonra Lagrange denklemleri şu şekilde yeniden yazılır:

Sistemin potansiyel enerjisi yalnızca genelleştirilmiş koordinatların bir fonksiyonu olduğundan, yani, bunu dikkate alarak, onu şu şekilde temsil ederiz: T - P \u003d L - Lagrange fonksiyonu (kinetik potansiyel). Son olarak, konservatif bir sistem için Lagrange denklemleri

Mekanik bir sistemin denge konumunun kararlılığı

Mekanik sistemlerin denge pozisyonunun kararlılığı sorunu, sistemlerin salınımları teorisinde doğrudan bir öneme sahiptir.

Denge pozisyonu kararlı, kararsız ve kayıtsız olabilir.

sürdürülebilir denge konumu - bu konumdan türetilen mekanik bir sistemin noktalarının daha sonra denge konumlarının yakınında yakın çevredeki kuvvetlerin etkisi altında hareket ettiği bir denge konumu.

Bu hareketin zaman içinde değişen derecelerde tekrarı olacaktır, yani sistem salınımlı bir hareket gerçekleştirecektir.

dengesiz denge konumu - gelecekte, sistemin noktalarında keyfi olarak küçük bir sapma ile, etki eden kuvvetlerin noktaları denge konumlarından daha da uzaklaştıracağı bir denge konumu .

kayıtsız denge konumu - sistemin noktalarının yeni konumda bu konumdan herhangi bir küçük ilk sapması için sistem de dengede kaldığında denge konumu. .

Mekanik bir sistemin kararlı denge konumunu belirlemek için çeşitli yöntemler vardır.

Aşağıdakilere dayalı kararlı bir denge tanımını düşünün: Lagrange-Dirichlet teoremleri

eğer pozisyondaİdeal ve durağan kısıtlamalara sahip muhafazakar bir mekanik sistemin dengesi, potansiyel enerjisi minimumdur, o zaman bu denge konumu kararlıdır.

Darbe fenomeni. Darbe kuvveti ve darbe dürtüsü

Cismin noktalarının hızlarının ihmal edilebilecek kadar kısa bir sürede sonlu bir miktarda değiştiği olguya ne ad verilir? üflemek. Bu süreye denir etki süresi. Bir darbe sırasında, bir darbe kuvveti sonsuz derecede küçük bir süre boyunca etki eder. vuruş kuvvetiçarpma sırasındaki momentumu sonlu bir değer olan bir kuvvet olarak adlandırılır.

modulo sonlu kuvvet ise zaman içinde hareket eder, eylemini zamanın bir noktasında başlatır , o zaman momentumu şu şekle sahiptir:

Ayrıca, darbe kuvveti maddi bir noktaya etki ettiğinde şunu söyleyebiliriz:

darbe sırasında anlık olmayan kuvvetlerin etkisi ihmal edilebilir;

darbe sırasında bir malzeme noktasının hareketi göz ardı edilebilir;

darbe kuvvetinin bir malzeme noktası üzerindeki etkisinin sonucu, hız vektörünün etkisi sırasındaki son değişiklikte ifade edilir.

Çarpma anında mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem

Darbe sırasında mekanik sistemin momentumundaki değişim, sistemlerin noktalarına uygulanan tüm dış şok darbelerinin geometrik toplamına eşittir, Nerede - Darbe kuvvetlerinin etkisinin sona erdiği andaki mekanik sistemin hareket miktarı, - darbe kuvvetlerinin harekete başladığı andaki mekanik sistemin hareket miktarı, - dış şok darbesi.

D'Alembert ilkesi, mekanik sistemlerin dinamik problemlerini statik problemler olarak formüle etmeyi mümkün kılar. Bu durumda, dinamik diferansiyel hareket denklemlerine denge denklemleri formu verilir. Böyle bir yöntem denir kinetostatik yöntem .

maddi bir nokta için d'Alembert ilkesi: « Maddi bir noktanın hareketinin her anında, ona fiilen etki eden aktif kuvvetler, bağların reaksiyonları ve noktaya koşullu olarak uygulanan atalet kuvveti dengeli bir kuvvetler sistemi oluşturur.»

nokta atalet kuvveti Mutlak değerde bir kuvvetin boyutu, bir noktanın kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşit olan ve ivme vektörünün zıt yönünde yönlendirilen bir vektör miktarı olarak adlandırılır.

. (3.38)

Mekanik bir sistemi, d'Alembert ilkesine göre, her biri dengeli kuvvet sistemleri tarafından etkilenen bir dizi maddi nokta olarak düşünürsek, bu ilkeden sistemle ilgili sonuçlar elde ederiz. Sisteme uygulanan herhangi bir dış kuvvet merkezine ve tüm noktalarının atalet kuvvetlerine göre ana vektör ve ana moment sıfıra eşittir:

(3.39)

Burada dış kuvvetler, aktif kuvvetler ve bağların reaksiyonlarıdır.

Eylemsizlik kuvvetlerinin ana vektörü Bir mekanik sistemin kütlesi, sistemin kütlesi ile kütle merkezinin ivmesinin çarpımına eşittir ve bu ivmenin tersi yöndedir.

. (3.40)

Atalet kuvvetlerinin ana momenti keyfi bir merkeze göre sistem HAKKINDA aynı merkeze göre açısal momentumunun zamana göre türevine eşittir

. (3.41)

Sabit bir eksen etrafında dönen rijit bir cisim için Öz atalet kuvvetlerinin ana momentini bu eksene göre buluruz

. (3.42)

3.8. Analitik mekaniğin unsurları

"Analitik Mekanik" bölümü, malzeme sistemlerinin mekaniğindeki problemlerin çözümü için genel ilkeleri ve analitik yöntemleri ele alır.

3.8.1.Sistemin olası hareketleri. sınıflandırma

bazı bağlantılar

Olası nokta hareketleri
zaman içinde sabit bir noktada sisteme dayatılan kısıtlamaların izin verdiği hayali, sonsuz küçük yer değiştirmelerine mekanik sistemler denir. A-rahip, serbestlik derecesi sayısı mekanik bir sistemin bağımsız olası yer değiştirmelerinin sayısıdır.

Sisteme uygulanan bağlantılara denir ideal , sistem noktalarının olası yer değiştirmelerinden herhangi birine tepkilerinin temel işlerinin toplamı sıfıra eşitse

. (3. 43)

Kendileri tarafından getirilen kısıtlamaların sistemin herhangi bir konumunda korunduğu bağlantılara denir. geri çekilmek . Denklemleri açıkça zamanı içermeyen, zamanla değişmeyen ilişkilere denir. sabit . Sadece sistem noktalarının yer değiştirmelerini sınırlayan bağlantılara denir. geometrik ve sınırlayıcı hızlar kinematik . Gelecekte, sadece geometrik ilişkileri ve entegrasyon yoluyla geometrik olanlara indirgenebilecek kinematik ilişkileri ele alacağız.

3.8.2. Olası hareketler ilkesi

Sınırlayıcı ideal ve durağan kısıtlamalara sahip bir mekanik sistemin dengesi için, aşağıdakilerin sağlanması gerekli ve yeterlidir:

Sistemin herhangi bir olası yer değiştirmesi üzerine etki eden tüm aktif kuvvetlerin temel işlerinin toplamı sıfıra eşitti.

. (3.44)

Koordinat eksenlerindeki projeksiyonlarda:

. (3.45)

Muhtemel yer değiştirmeler ilkesi, herhangi bir mekanik sistemin tek tek parçalarının dengesini hesaba katmadan denge koşullarını genel bir biçimde oluşturmamıza izin verir. Bu durumda sadece sisteme etki eden aktif kuvvetler dikkate alınır. İdeal bağların bilinmeyen reaksiyonları bu koşullara dahil değildir. Aynı zamanda bu ilke, ideal bağların bilinmeyen reaksiyonlarını, bu bağları atarak ve reaksiyonlarını aktif kuvvetlerin sayısına dahil ederek belirlemeyi mümkün kılar. Reaksiyonlarının belirlenmesi gereken bağlar atıldığında, sistem ek olarak karşılık gelen sayıda serbestlik derecesi elde eder.

örnek 1 . Kuvvetler arasındaki ilişkiyi bulun Ve kriko, kolun her dönüşünde olduğu biliniyorsa AB = ben, vida İLEölçüde uzanır H(Şekil 3.3).

Çözüm

Mekanizmanın olası hareketleri, kolun  dönüşü ve yükün  hareketidir. H. Temel kuvvet çalışmasının sıfıra eşitlik koşulu:

lütfen- Qsaat = 0;

Daha sonra
. beri H 0, o zaman

3.8.3. Dinamiklerin genel varyasyonel denklemi

Şunlardan oluşan bir sistemin hareketini düşünün: N puan. Aktif kuvvetler onun üzerinde hareket eder. ve bağ reaksiyonları .(k = 1,…,N) Etki eden kuvvetlere noktaların atalet kuvvetlerini eklersek
, o zaman d'Alembert ilkesine göre ortaya çıkan kuvvetler sistemi dengede olacaktır ve bu nedenle olası yer değiştirmeler ilkesi (3.44) temelinde yazılan ifade geçerlidir:

. (3.46)

Tüm bağlantılar idealse, 2. toplam sıfıra eşittir ve koordinat eksenlerindeki izdüşümlerde eşitlik (3.46) şöyle görünecektir:

Son eşitlik, mekanik bir sistemin diferansiyel hareket denklemlerinin oluşturulmasına izin veren, koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerdeki dinamiğin genel bir değişken denklemidir.

Dinamiklerin genel varyasyonel denklemi matematiksel bir ifadedir. d'Alembert-Lagrange ilkesi: « Bir sistem hareket halindeyken, sabit, ideal, sınırlayıcı kısıtlamalara bağlı olarak, herhangi bir zamanda, sisteme uygulanan tüm aktif kuvvetlerin temel işlerinin toplamı ve sistemin olası herhangi bir yer değiştirmesi üzerindeki atalet kuvvetleri sıfıra eşit».

Örnek 2 . Üç gövdeden oluşan mekanik bir sistem için (Şekil 3.4), aşağıdaki durumlarda yükün 1 ivmesini ve kablonun 1-2 gerilimini belirleyin: M 1 = 5M; M 2 = 4M; M 3 = 8M; R 2 = 0,5R 2; blok 2'nin dönme yarıçapı Ben = 1,5R 2. Silindir 3, sürekli homojen bir disktir.

Çözüm

Olası bir yer değiştirmede temel işi yapan kuvvetleri gösterelim  S kargo 1:

Yük 1'in olası yer değiştirmesi yoluyla tüm gövdelerin olası yer değiştirmelerini yazıyoruz:

Tüm gövdelerin doğrusal ve açısal ivmelerini, yük 1'in istenen ivmesi cinsinden ifade ediyoruz (oranlar, olası yer değiştirmeler durumundakilerle aynıdır):

.

Bu problem için genel varyasyon denklemi şu şekildedir:

Daha önce elde edilen ifadeleri aktif kuvvetler, atalet kuvvetleri ve olası yer değiştirmeler için basit dönüşümlerden sonra değiştirerek, şunu elde ederiz:

'dan beri S 0, bu nedenle ivmeyi içeren parantez içindeki ifade sıfıra eşittir A 1 , Neresi A 1 = 5G/8,25 = 0,606G.

Yükü tutan kablonun gerilimini belirlemek için, yükü kablodan serbest bırakırız ve eylemini istenen tepkiyle değiştiririz. . Verilen kuvvetlerin etkisi altında ,ve yüke uygulanan atalet kuvveti
o dengede. Bu nedenle, d'Alembert ilkesi dikkate alınan yüke (noktaya) uygulanabilir, yani; bunu yazıyoruz
. Buradan
.

3.8.4. 2. tür Lagrange denklemi

Genelleştirilmiş koordinatlar ve genelleştirilmiş hızlar. Mekanik bir sistemin uzaydaki konumunu benzersiz olarak belirleyen, karşılıklı olarak bağımsız herhangi bir parametreye denir. genelleştirilmiş koordinatlar . Bu koordinatlar, belirtilen Q 1 ,....Q i , herhangi bir boyuta sahip olabilir. Özellikle, genelleştirilmiş koordinatlar yer değiştirmeler veya dönüş açıları olabilir.

Ele alınan sistemler için, genelleştirilmiş koordinatların sayısı, serbestlik derecelerinin sayısına eşittir. Sistemin her noktasının konumu genelleştirilmiş koordinatların tek değerli bir işlevidir

Böylece, sistemin genelleştirilmiş koordinatlardaki hareketi aşağıdaki bağımlılıklarla belirlenir:

Genelleştirilmiş koordinatların ilk türevleri denir genelleştirilmiş hızlar :
.

Genelleştirilmiş kuvvetler. Bir kuvvetin temel işi için ifade olası bir harekette
şuna benziyor:

.

Kuvvetler sisteminin temel çalışması için yazıyoruz

Elde edilen bağımlılıklar kullanılarak bu ifade şu şekilde yazılabilir:

,

karşılık gelen genelleştirilmiş kuvvet nerede Ben-th genelleştirilmiş koordinat,

. (3.49)

Böylece, karşılık gelen genelleştirilmiş kuvvet Ben-th genelleştirilmiş koordinat, sistemin olası yer değiştirmesi üzerindeki aktif kuvvetlerin temel çalışmalarının toplamının ifadesinde bu koordinatın değişim katsayısıdır . Genelleştirilmiş kuvveti hesaplamak için, sisteme yalnızca genelleştirilmiş koordinatın değiştiği olası bir yer değiştirme hakkında bilgi vermek gerekir. Q Ben. katsayısı
ve istenen genelleştirilmiş kuvvet olacaktır.

Genelleştirilmiş koordinatlarda sistem hareketinin denklemleri. mekanik bir sistem verilsin Sözgürlük derecesi. Üzerine etki eden kuvvetleri bilerek, genelleştirilmiş koordinatlarda diferansiyel hareket denklemlerini oluşturmak gerekir.
. Sistemin diferansiyel hareket denklemlerini - 2. türden Lagrange denklemlerini - derleme prosedürünü, bu denklemlerin serbest bir malzeme noktası için türetilmesine benzeterek uyguluyoruz. Newton'un 2. yasasına göre yazıyoruz

Bir malzeme noktasının kinetik enerjisinin gösterimini kullanarak bu denklemlerin bir benzerini elde ederiz,

Eksen üzerindeki hızın izdüşümüne göre kinetik enerjinin kısmi türevi
bu eksendeki hareket miktarının izdüşümüne eşittir, yani

Gerekli denklemleri elde etmek için zamana göre türevleri hesaplıyoruz:

Ortaya çıkan denklem sistemi, bir malzeme noktası için 2. türden Lagrange denklemleridir.

Mekanik bir sistem için, 2. türden Lagrange denklemlerini, aktif kuvvetlerin izdüşümleri yerine denklemler biçiminde temsil ediyoruz. P X , P y , P z genelleştirilmiş kuvvetler kullan Q 1 , Q 2 ,...,Q i ve genel durumda kinetik enerjinin genelleştirilmiş koordinatlara bağımlılığını dikkate alın.

Mekanik bir sistem için 2. türden Lagrange denklemleri şu şekildedir:

. (3.50)

Herhangi bir mekanik sistemin hareketini geometrik, ideal ve sınırlayıcı kısıtlamalarla incelemek için kullanılabilirler.

Örnek 3 . Verileri önceki örnekte verilen mekanik sistem için (Şekil 3.5), 2. türden Lagrange denklemini kullanarak bir diferansiyel hareket denklemi çizin,

Çözüm

Mekanik sistem bir serbestlik derecesine sahiptir. Genelleştirilmiş koordinat için yükün doğrusal hareketini alırız Q 1 = s; genelleştirilmiş hız - . Bunu akılda tutarak, 2. türden Lagrange denklemini yazıyoruz.

.

Sistemin kinetik enerjisi için bir ifade oluşturalım.

.

Tüm açısal ve doğrusal hızları genelleştirilmiş hız cinsinden ifade ediyoruz:

Şimdi alıyoruz

Olası bir yer değiştirme  üzerinde temel iş için ifadeyi oluşturarak genelleştirilmiş kuvveti hesaplayalım. S tüm aktif kuvvetler. Sürtünme kuvvetleri olmadan, sistemdeki iş sadece yükün yerçekimi ile gerçekleştirilir 1
Genelleştirilmiş kuvveti  noktasında yazıyoruz. S, temel çalışmada bir katsayı olarak Q 1 = 5mg. sonra buluruz

Son olarak, sistemin diferansiyel hareket denklemi şu şekilde olacaktır: