Bir dikdörtgenin formülleri ve özellikleri. geometrik şekiller

Dikdörtgen her köşesi dik açı olan bir dörtgendir.

Kanıt

Özellik, paralelkenarın 3. özelliğinin eylemiyle açıklanır (yani \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Karşılıklı kenarlar eşittir.

AB = CD,\enspace BC = AD

3.Karşılıklı kenarlar paraleldir.

AB \parallel CD,\enspace BC \paralel AD

4. Bitişik kenarlar birbirine diktir.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir.

AC=BD

Kanıt

Buna göre özellik 1 dikdörtgen bir paralelkenardır, bu da AB = CD anlamına gelir.

Bu nedenle, iki bacak boyunca \triangle ABD = \triangle DCA (AB = CD ve AD - eklem).

Her iki şekil - ABC ve DCA aynıysa, hipotenüsleri BD ve AC de aynıdır.

Yani AC = BD .

Tüm şekillerin yalnızca bir dikdörtgeni (yalnızca paralelkenarlardan!) Eşit köşegenlere sahiptir.

Bunu da kanıtlayalım.

ABCD bir paralelkenardır \Rightarrow AB = CD , AC = BD koşula göre. \sağ ok \üçgen ABD = \üçgen DCA zaten üç tarafta.

Görünüşe göre \açı A = \açı D (bir paralelkenarın köşeleri gibi). Ve \açı A = \açı C , \açı B = \açı D .

şunu çıkarıyoruz \açı A = \açı B = \açı C = \açı D. Hepsi 90^(\circ) . Toplam 360^(\circ) .

Kanıtlanmış!

6. Köşegenin karesi, bitişik iki kenarının karelerinin toplamına eşittir.

Bu özellik, Pisagor teoremi sayesinde geçerlidir.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Köşegen, dikdörtgeni iki özdeş dik üçgene böler.

\üçgen ABC = \üçgen ACD, \enspace \üçgen ABD = \üçgen BCD

8. Köşegenlerin kesişme noktası onları ikiye böler.

AO=BO=CO=DO

9. Köşegenlerin kesişme noktası, dikdörtgenin merkezi ve çevrelenmiş dairedir.

10. Tüm açıların toplamı 360 derecedir.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Dikdörtgenin tüm köşeleri diktir.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Dikdörtgenin etrafındaki çevrel çemberin çapı, dikdörtgenin köşegenine eşittir.

13. Bir daire her zaman bir dikdörtgenin etrafında tanımlanabilir.

Bu özellik, bir dikdörtgenin karşılıklı köşelerinin toplamının 180^(\circ) olması nedeniyle geçerlidir.

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Bir dikdörtgen, yalnızca aynı kenar uzunluklarına sahipse (bu bir karedir) bir iç çember içerebilir.

tüm açıların 90° olduğu ve karşılıklı kenarların çiftler halinde paralel ve eşit olduğu bir paralelkenardır.

Dikdörtgenin, dikdörtgenin alanı ve çevresi için formüllerde birçok sorunun çözümünde kullanılan reddedilemez birkaç özelliği vardır. İşte buradalar:

Dikdörtgenin bilinmeyen kenarının veya köşegeninin uzunluğu, Pisagor teoremi ile hesaplanır. Bir dikdörtgenin alanı iki şekilde bulunabilir - kenarlarının çarpımı veya köşegen boyunca bir dikdörtgenin alanı formülü ile. İlk ve en basit formül şöyle görünür:

Bu formülü kullanarak bir dikdörtgenin alanını hesaplama örneği çok basittir. İki kenarı bilerek, örneğin a=3 cm, b=5 cm, dikdörtgenin alanını kolayca hesaplayabiliriz:
Böyle bir dikdörtgende alanın 15 metrekareye eşit olacağını anlıyoruz. santimetre.

Köşegen cinsinden bir dikdörtgenin alanı

Bazen bir dikdörtgenin alanı için formülü köşegenler cinsinden uygulamanız gerekir. Bunun için sadece köşegenlerin uzunluğunu değil, aynı zamanda aralarındaki açıyı da bilmeniz gerekecek:

Köşegenleri kullanarak bir dikdörtgenin alanını hesaplama örneğini ele alalım. Köşegeni d = 6 cm ve açısı = 30° olan bir dikdörtgen verilsin. Verileri zaten bilinen formülle değiştiriyoruz:

Bu nedenle, köşegen boyunca bir dikdörtgenin alanını hesaplama örneği bize, açı verildiğinde alanı bu şekilde bulmanın oldukça basit olduğunu gösterdi.
Beynimizi biraz esnetmemize yardımcı olacak başka bir ilginç bulmacayı ele alalım.

Görev: Bir kare verildi. Alanı 36 metrekaredir. Bir kenar uzunluğu 9 cm olan ve alanı yukarıda verilen kareninkine eşit olan bir dikdörtgenin çevresini bulunuz.
Yani birkaç şartımız var. Anlaşılır olması için, bilinen ve bilinmeyen tüm parametreleri görmek için bunları yazıyoruz:
Şeklin kenarları ikili paralel ve eşittir. Bu nedenle, şeklin çevresi, kenar uzunluklarının toplamının iki katına eşittir:
Şeklin iki tarafının ürününe eşit olan bir dikdörtgenin alanı formülünden, b kenarının uzunluğunu buluruz.
Buradan:
Bilinen verileri yerine koyuyoruz ve b kenarının uzunluğunu buluyoruz:
Şeklin çevresini hesaplayın:
Böylece, birkaç basit formülü bilerek, alanını bilerek bir dikdörtgenin çevresini hesaplayabilirsiniz.

Tanım.

Dikdörtgen Karşılıklı iki kenarı ve dört açısı da eşit olan bir dörtgendir.

Dikdörtgenler, yalnızca uzun kenarın kısa kenara oranında farklılık gösterir, ancak dördü de diktir, yani her biri 90 derecedir.

Dikdörtgenin uzun kenarına denir dikdörtgen uzunluğu ve kısa dikdörtgen genişliği.

Dikdörtgenin kenarları da yüksekliğidir.

Bir dikdörtgenin temel özellikleri

Dikdörtgen paralelkenar, kare veya eşkenar dörtgen olabilir.

1. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları aynı uzunluktadır, yani eşittirler:

AB=CD, BC=AD

2. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir:

3. Bir dikdörtgenin bitişik kenarları her zaman diktir:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Dikdörtgenin dört köşesi de düzdür:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Dikdörtgenin iç açılarının toplamı 360 derecedir:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Dikdörtgenin köşegenleri aynı uzunluktadır:

7. Bir dikdörtgenin köşegenlerinin karelerinin toplamı, kenarlarının karelerinin toplamına eşittir:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Bir dikdörtgenin her bir köşegeni, dikdörtgeni iki özdeş şekle, yani dik üçgenlere böler.

9. Dikdörtgenin köşegenleri kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür:

		AO=BO=CO=DO=	D
			2

10. Köşegenlerin kesişme noktasına dikdörtgenin merkezi denir ve aynı zamanda çevrelenmiş çemberin de merkezidir.

11. Dikdörtgenin köşegeni, çevrelenmiş çemberin çapıdır.

12. Karşılıklı açıların toplamı 180 derece olduğundan, bir dikdörtgenin etrafında bir daire her zaman tanımlanabilir:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Uzunluğu enine eşit olmayan bir dikdörtgenin içine daire çizilemez, çünkü karşılıklı kenarların toplamı birbirine eşit değildir (bir daire yalnızca özel bir dikdörtgen - kare durumuna yazılabilir).

Bir dikdörtgenin kenarları

Tanım.

dikdörtgen uzunluk kenarlarından daha uzun olan çiftin uzunluğuna denir. dikdörtgen genişliği kenarlarından daha kısa olan çiftin uzunluğunu adlandırın.

Bir dikdörtgenin kenarlarının uzunluklarını belirlemek için formüller

1. Köşegen ve diğer kenar açısından bir dikdörtgenin kenarı (dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği) için formül:

bir = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - bir 2

2. Bir dikdörtgenin kenarının (dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği) alan ve diğer kenar cinsinden formülü:

b = dcos	β
	2

Dikdörtgen Çapraz

Tanım.

Çapraz Dikdörtgen Bir dikdörtgenin karşılıklı köşelerinin iki köşesini birleştiren doğru parçasına denir.

Bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunu belirlemek için formüller

1. Dikdörtgenin iki kenarı cinsinden köşegen formülü (Pisagor teoremi aracılığıyla):

d = √ bir 2 + b 2

2. Alan ve herhangi bir kenar açısından bir dikdörtgenin köşegen formülü:

4. Çevrelenmiş dairenin yarıçapı cinsinden bir dikdörtgenin köşegen formülü:

d=2R

5. Bir dikdörtgenin köşegeninin çevrelenmiş dairenin çapı cinsinden formülü:

d = Do

6. Bir dikdörtgenin köşegeninin, köşegene bitişik açının sinüsü ve bu açının karşısındaki kenarın uzunluğu cinsinden formülü:

8. Bir dikdörtgenin köşegeninin, köşegenler ile dikdörtgenin alanı arasındaki dar açının sinüsü cinsinden formülü

d = √2S: sinβ

bir dikdörtgenin çevresi

Tanım.

bir dikdörtgenin çevresi dikdörtgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır.

Bir dikdörtgenin çevre uzunluğunu belirlemek için formüller

1. Dikdörtgenin iki kenarı cinsinden bir dikdörtgenin çevre formülü:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Alan ve herhangi bir kenar cinsinden bir dikdörtgenin çevre formülü:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	A		B

3. Köşegen ve herhangi bir kenar açısından bir dikdörtgenin çevresi için formül:

P = 2(bir + √ d 2 - bir 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Çevrelenmiş dairenin ve herhangi bir kenarın yarıçapı cinsinden bir dikdörtgenin çevre formülü:

P = 2(bir + √4R 2 - bir 2) = 2(b + √4R 2 - b2)

5. Çevrelenmiş dairenin çapı ve herhangi bir kenarı cinsinden bir dikdörtgenin çevre formülü:

P = 2(a + √D o 2 - bir 2) = 2(b + √D o 2 - b2)

dikdörtgen alan

Tanım.

dikdörtgen alan dikdörtgenin kenarları tarafından sınırlanan, yani dikdörtgenin çevresi içindeki boşluk olarak adlandırılır.

Bir dikdörtgenin alanını belirlemek için formüller

1. İki kenar açısından bir dikdörtgenin alanı için formül:

S = bir b

2. Çevre ve herhangi bir kenar boyunca bir dikdörtgenin alanı için formül:

5. Çevrelenmiş dairenin yarıçapı ve herhangi bir kenar açısından bir dikdörtgenin alanı formülü:

S = bir √4R 2 - bir 2= b √4R 2 - b2

6. Çevrelenmiş dairenin çapı ve herhangi bir kenar açısından bir dikdörtgenin alanı formülü:

S \u003d bir √ D o 2 - bir 2= b √ D o 2 - b2

Bir dikdörtgenin çevrelediği daire

Tanım.

Bir dikdörtgenin çevrelediği daire Bir daire, merkezi dikdörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasında bulunan bir dikdörtgenin dört köşesinden geçen bir daire olarak adlandırılır.

Bir dikdörtgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapını belirlemek için formüller

1. İki kenardan geçen bir dikdörtgenin çevrelediği çemberin yarıçap formülü:

4. Bir karenin köşegeni boyunca bir dikdörtgen hakkında açıklanan bir dairenin yarıçapı formülü:

5. Bir dairenin çapı boyunca bir dikdörtgenin yanında açıklanan (sınırlandırılmış) bir dairenin yarıçapı formülü:

6. Bir dikdörtgenin yanında, köşegene bitişik açının sinüsü boyunca açıklanan dairenin yarıçapı ve bu açının karşısındaki kenarın uzunluğu için formül:

7. Bir dikdörtgen hakkında köşegene komşu açının kosinüsü ve bu açıdaki kenar uzunluğu cinsinden tanımlanan çemberin yarıçapının formülü:

8. Köşegenler ile dikdörtgenin alanı arasındaki dar açının sinüsü boyunca bir dikdörtgenin yanında açıklanan dairenin yarıçapı formülü:

Bir dikdörtgenin bir kenarı ile köşegeni arasındaki açı.

Bir dikdörtgenin kenarı ile köşegeni arasındaki açıyı belirlemek için formüller:

1. Köşegen ve kenar boyunca bir dikdörtgenin kenarı ile köşegeni arasındaki açıyı belirleme formülü:

2. Köşegenler arasındaki açıdan bir dikdörtgenin kenarı ile köşegeni arasındaki açıyı belirleme formülü:

Dikdörtgenin köşegenleri arasındaki açı.

Bir dikdörtgenin köşegenleri arasındaki açıyı belirlemek için formüller:

1. Bir dikdörtgenin köşegenleri arasındaki açıyı, yan ve köşegen arasındaki açıdan belirleme formülü:

β = 2α

2. Alan boyunca bir dikdörtgenin köşegenleri ile köşegen arasındaki açıyı belirleme formülü.

İçerik:

Köşegen, bir dikdörtgenin iki zıt köşesini birleştiren bir çizgi parçasıdır. Bir dikdörtgenin iki eşit köşegeni vardır. Dikdörtgenin kenarları biliniyorsa, köşegen Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir, çünkü köşegen dikdörtgeni iki dik üçgene böler. Kenarlar verilmemişse, ancak alan ve çevre veya kenarların oranı gibi diğer nicelikler biliniyorsa, dikdörtgenin kenarlarını bulabilir ve ardından Pisagor teoremini kullanarak köşegeni hesaplayabilirsiniz.

Adımlar

1 yan yana

1. 1 Pisagor teoremini yazınız. Formül: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Yanları formüle takın. Problemde verilirler veya ölçülmeleri gerekir. Yan değerler 3 yerine konur
   • Örneğimizde:
     4 2 + 3 2 = 2 4

     2 Alana ve çevreye göre

     1. 1 Formül: S \u003d l w (Şekilde S yerine A sembolü kullanılmıştır.)
     2. 2 Bu değer S 3 yerine geçer w 4'ü izole edecek şekilde formülü yeniden yazın Bir dikdörtgenin çevresini hesaplamak için formülü yazın. Formül: P = 2 (w + l)
     3. 5 Dikdörtgenin çevre değerini formülde yerine yaz. Bu değer, P 6 için ikame edilir Denklemin her iki tarafını da 2'ye bölün. Dikdörtgenin kenarlarının toplamını, yani w + l 7'yi elde edeceksiniz. Formülde, w 8'i hesaplamak için ifadeyi değiştirin Kesirlerden kurtulun. Bunu yapmak için, denklemin her iki tarafını da l 9 ile çarpın. Denklemi 0 olarak ayarlayın. Bunu yapmak için, birinci dereceden değişkenli terimi denklemin her iki tarafından çıkarın.
        • Örneğimizde:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Denklemin terimlerini sıralayın.İlk üye, ikinci değişken üye, ardından ilk değişken üye ve ardından serbest üye olacaktır. Aynı zamanda üyelerin önündeki işaretleri (“artı” ve “eksi”) de unutmayın. Denklemin ikinci dereceden bir denklem olarak yazılacağını unutmayın.
          • Örneğimizde, 0 = 35 + l 2 - 12 l 11
            • Örneğimizde, denklem 0 = l 2 − 12 l + 35 12 l 13'ü bul Pisagor teoremini yazınız. Formül: a 2 + b 2 = c 2
              • Pisagor teoremini kullanın, çünkü bir dikdörtgenin her köşegeni onu iki eşit dik üçgene böler. Ayrıca, dikdörtgenin kenarları üçgenin bacaklarıdır ve dikdörtgenin köşegeni üçgenin hipotenüsüdür.
            • 14 Bu değerler 15 yerine konur. Uzunluk ve genişliğin karesini alın ve ardından sonuçları ekleyin. Bir sayının karesini alırken kendisiyle çarpıldığını unutmayın.
              • Örneğimizde:
                5 2 + 7 2 = 2 16 Denklemin her iki tarafının karekökünü alın. Karekökü hızlıca bulmak için bir hesap makinesi kullanın. Çevrimiçi hesap makinesini de kullanabilirsiniz. c'yi bulacaksın

                3 Alan ve en boy oranına göre

                1. 1 Kenarların oranını karakterize eden bir denklem yazın. l 2'yi izole et Bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için formülü yazın. Formül: S = l w (Şekilde S yerine A notasyonu kullanılmıştır.)
                   • Bu yöntem, dikdörtgenin çevre değeri bilindiğinde de geçerlidir, ancak o zaman alanı değil, çevreyi hesaplamak için formülü kullanmanız gerekir. Bir dikdörtgenin çevresini hesaplamak için formül: P = 2 (w + l)
                2. 3 Dikdörtgenin alanını formüle yerleştirin. Bu değer, S 4 için ikame edilir Kenarların oranını karakterize eden ifadeyi formülde değiştirin. Dikdörtgen olması durumunda, l 5'i hesaplamak için bir ifade kullanabilirsiniz. İkinci dereceden bir denklem yazın. Bunu yapmak için parantezleri açın ve denklemi sıfıra eşitleyin.
                   • Örneğimizde:
                     35 = w (w + 2) 6 İkinci dereceden denklemi çarpanlara ayırın. Ayrıntılı talimatlar için okumaya devam edin.
                     • Örneğimizde, denklem 0 = w 2 − 12 w + 35 7 w 8'i bul Kenarların oranını karakterize eden denklemde bulunan genişliğin (veya uzunluğun) değerini değiştirin. Böylece dikdörtgenin diğer tarafını da bulabilirsiniz.
                       • Örneğin, bir dikdörtgenin genişliğinin 5 cm olduğunu ve en boy oranının l = w + 2 9 denklemiyle verildiğini hesapladıysanız Pisagor teoremini yazınız. Formül: a 2 + b 2 = c 2
                         • Pisagor teoremini kullanın, çünkü bir dikdörtgenin her köşegeni onu iki eşit dik üçgene böler. Ayrıca, dikdörtgenin kenarları üçgenin bacaklarıdır ve dikdörtgenin köşegeni üçgenin hipotenüsüdür.
                       • 10 Uzunluk ve genişlik değerlerini formüle girin. Bu değerler 11 ile değiştirilir. Uzunluk ve genişliğin karesini alın ve ardından sonuçları ekleyin. Bir sayının karesini alırken kendisiyle çarpıldığını unutmayın.
                         • Örneğimizde:
                           5 2 + 7 2 = 2 12 Denklemin her iki tarafının karekökünü alın. Karekökü hızlıca bulmak için bir hesap makinesi kullanın. Çevrimiçi hesap makinesini de kullanabilirsiniz. Üçgenin hipotenüsü ve dolayısıyla dikdörtgenin köşegeni olan c'yi (görüntü stili c) bulacaksınız.
                           • Örneğimizde:
                             74 = c 2 (görüntü stili 74=c^(2))
                             74 = c 2 (görüntü stili (kare (74))=(kare (c^(2))))
                             8, 6024 = c (görüntü stili 8,6024=c)
                             Böylece, uzunluğu eninden 2 cm fazla ve alanı 35 cm2 olan bir dikdörtgenin köşegeni yaklaşık 8,6 cm'dir.