Funktionsteori för en variabel. Matematisk analys

Frågor till tentamen i "Matematisk analys", 1:a år, 1:a termin.

1. Uppsättningar. Grundläggande operationer på set. Metriska och aritmetiska mellanslag.

2. Numeriska uppsättningar. Uppsättningar på tallinjen: segment, intervall, halvaxlar, kvarter.

3. Definition av en avgränsad mängd. Övre och nedre gränser för numeriska uppsättningar. Postulerar om övre och nedre gränser för numeriska uppsättningar.

4. Metod för matematisk induktion. Bernoulli och Cauchy ojämlikheter.

5. Funktionsdefinition. Funktionsdiagram. Jämna och udda funktioner. Periodiska funktioner. Sätt att ställa in en funktion.

6. Sekvensgräns. Egenskaper för konvergerande sekvenser.

7. begränsade sekvenser. Ett teorem om ett tillräckligt villkor för divergensen av en sekvens.

8. Definition av en monoton sekvens. Weierstrass monotona sekvenssats.

9. Nummer e.

10. Gräns ​​för en funktion vid en punkt. Gränsen för en funktion i oändligheten. Ensidiga gränser.

11. Oändligt små funktioner. Gräns ​​för summa-, produkt- och kvotfunktioner.

12. Satser om ojämlikheters stabilitet. Övergång till gränsen för ojämlikheter. Sats om tre funktioner.

13. Första och andra underbara gränser.

14. Oändligt stora funktioner och deras samband med infinitesimala funktioner.

15. Jämförelse av infinitesimala funktioner. Egenskaper för ekvivalenta infinitesimals. Satsen om att ersätta infinitesimals med ekvivalenta. Grundläggande ekvivalenser.

16. Kontinuitet för en funktion vid en punkt. Åtgärder med kontinuerliga funktioner. Kontinuitet av grundläggande elementära funktioner.

17. Klassificering av brytpunkter för en funktion. Förlängning genom kontinuitet

18. Definition av en komplex funktion. Gräns ​​för en komplex funktion. Kontinuitet i en komplex funktion. Hyperboliska funktioner

19. Kontinuitet för en funktion på ett segment. Cauchys satser om att en funktion försvinner kontinuerligt på ett intervall och om en funktions mellanvärde.

20. Egenskaper för funktioner kontinuerliga på ett segment. Weierstrass-satsen om begränsningen av en kontinuerlig funktion. Weierstrass sats om det största och minsta värdet på en funktion.

21. Definition av en monoton funktion. Weierstrass sats om gränsen för en monoton funktion. Sats om uppsättningen värden för en funktion som är monoton och kontinuerlig på ett intervall.

22. Omvänd funktion. Invers funktionsgraf. Sats om den inversa funktionens existens och kontinuitet.

23. Inversa trigonometriska och hyperboliska funktioner.

24. Definition av derivatan av en funktion. Derivater av grundläggande elementära funktioner.

25. Definition av en differentierbar funktion. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för en funktions differentierbarhet. Kontinuitet för en differentierbar funktion.

26. Den geometriska betydelsen av derivatan. Ekvationen för tangenten och normalen till grafen för funktionen.

27. Derivat av summan, produkten och kvoten av två funktioner

28. Derivat av en sammansatt funktion och en invers funktion.

29. Logaritmisk differentiering. Derivata av en funktion given parametriskt.

30. Huvuddelen av funktionen ökar. Funktionslinjäriseringsformel. Den geometriska betydelsen av differentialen.

31. Differential för en sammansatt funktion. Invarians av differentialformen.

32. Rolles, Lagranges och Cauchys satser om egenskaperna hos differentierbara funktioner. Formel med ändliga steg.

33. Tillämpning av derivatet för att avslöja osäkerheter inom. L'Hopitals regel.

34. Derivatdefinition n:e ordningen. Regler för att hitta derivatan av n:e ordningen. Leibniz formel. Högre ordningsskillnader.

35. Taylor-formel med restterm i Peano-form. Kvarstående termer i form av Lagrange och Cauchy.

36. Ökar och minskar funktioner. extrema punkter.

37. Konvexitet och konkavitet för en funktion. Böjningspunkter.

38. Oändliga funktionsavbrott. Asymptoter.

39. Schema för att rita en funktionsgraf.

40. Definition av antiderivat. Antiderivatets huvudsakliga egenskaper. De enklaste integrationsreglerna. Tabell över enkla integraler.

41. Integration genom förändring av variabel och formeln för integration med delar i den obestämda integralen.

42. Integration av formens uttryck e ax cos bx och e ax sin bx med hjälp av rekursiva relationer.

	43. Integrering av en bråkdel			använda rekursiva relationer.
			a 2 n

44. Obestämd integral av en rationell funktion. Integration av enkla bråk.

45. Obestämd integral av en rationell funktion. Nedbrytning av egentliga bråk till enkla.

46. Obestämd integral av en irrationell funktion. Uttrycksintegration

	R x, m

47. Obestämd integral av en irrationell funktion. Integration av uttryck av formen R x , ax 2 bx c . Euler-byten.

48. Integration av formens uttryck

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Obestämd integral av en irrationell funktion. Integration av binomialdifferenser.

50. Integration av trigonometriska uttryck. Universell trigonometrisk substitution.

51. Integration av rationella trigonometriska uttryck i fallet då integranden är udda med avseende på synd x (eller cos x ) eller till och med med avseende på sin x och cos x .

52. Uttrycksintegration sin n x cos m x och sin n x cos mx .

53. Uttrycksintegration tg m x och ctg m x .

54. Uttrycksintegration Rx, x2a2, Rx, a2x2 och Rx,x2a2 med användning av trigonometriska substitutioner.

55. Definitiv integral. Problemet med att beräkna arean av en kurvlinjär trapets.

56. integrerade summor. Darboux summerar. Sats om villkoret för existensen av en bestämd integral. Klasser av integrerbara funktioner.

57. Egenskaper hos en bestämd integral. Satser om medelvärdet.

58. Bestämd integral som funktion av den övre gränsen. Formel Newton-Leibniz.

59. Ändring av variabel formel och formel för integration med delar i en bestämd integral.

60. Tillämpning av integralkalkyl på geometri. Figurens volym. Volymen av rotationsfigurer.

61. Tillämpning av integralkalkyl på geometri. Arean av en plan figur. Området för den kurvlinjära sektorn. Kurvlängd.

62. Definition av en felaktig integral av det första slaget. Formel Newton-Leibniz för felaktiga integraler av det första slaget. De enklaste egenskaperna.

63. Konvergens av felaktiga integraler av det första slaget för en positiv funktion. 1:a och 2:a jämförelsesatser.

64. Absolut och villkorad konvergens av olämpliga integraler av den första typen av en alternerande funktion. Konvergenskriterier för Abel och Dirichlet.

65. Definition av en olämplig integral av det andra slaget. Formel Newton-Leibniz för felaktiga integraler av det andra slaget.

66. Anslutning av felaktiga integraler 1:a och 2:a sorten. Otillbörliga integraler i betydelsen principiellt värde.

Låt variabeln x n tar en oändlig sekvens av värden

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

och ändringslagen för variabeln är känd x n, dvs. för varje naturligt tal n du kan ange motsvarande värde x n. Det antas alltså att variabeln x när en funktion av n:

x n = f(n)

Låt oss definiera ett av de viktigaste begreppen för matematisk analys - gränsen för en sekvens, eller, vad är samma, gränsen för en variabel x n löpsekvens x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definition. konstant antal a kallad sekvensgräns x 1 , x 2 , ..., x n , ... . eller gränsen för en variabel x n, om det för ett godtyckligt litet positivt tal e finns ett naturligt tal N(dvs nummer N) att alla värden för variabeln x n, börjar med x N, avvika från a mindre i absolut värde än e. Denna definition är kortfattat skriven så här:

| x n -a |< (2)

för alla n  N, eller, vilket är detsamma,

Definition av Cauchy-gränsen. Ett tal A kallas gränsen för en funktion f (x) i en punkt a om denna funktion är definierad i någon granne av punkten a, utom kanske för själva punkten a, och för varje ε > 0 finns det δ > 0 så att för alla x uppfyller villkor |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definition av Heine-gränsen. Ett tal A kallas gränsen för en funktion f (x) i en punkt a om denna funktion är definierad i någon granne av punkten a, utom kanske för själva punkten a och för vilken sekvens som helst så att konvergerar till talet a, den motsvarande sekvensen av värden för funktionen konvergerar till talet A.

Om funktionen f(x) har en gräns vid punkten a, är denna gräns unik.

Talet A 1 kallas den vänstra gränsen för funktionen f (x) vid punkten a om det för varje ε > 0 finns δ >

Talet A 2 kallas den högra gränsen för funktionen f (x) i punkten a om det för varje ε > 0 finns δ > 0 så att olikheten

Gränsen till vänster betecknas som gränsen till höger - Dessa gränser kännetecknar beteendet för funktionen till vänster och höger om punkten a. De kallas ofta för enkelriktade gränser. I notationen av ensidiga gränser som x → 0, utelämnas vanligtvis den första nollan: och . Så för funktionen

Om det för varje ε > 0 finns en δ-grannskap till en punkt a sådan att för alla x som uppfyller villkoret |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, då säger vi att funktionen f (x) har en oändlig gräns vid punkten a:

Funktionen har alltså en oändlig gräns vid punkten x = 0. Gränser lika med +∞ och –∞ särskiljs ofta. Så,

Om det för varje ε > 0 finns δ > 0 så att för varje x > δ olikheten |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Existenssats för den minsta övre gränsen

Definition: AR mR, m - övre (nedre) sidan av A, om аА аm (аm).

Definition: Mängden A är avgränsad från ovan (underifrån), om det finns m så att аА, så är аm (аm) uppfyllt.

Definition: SupA=m, om 1) m - övre gräns för A

2) m’: m’ m' är inte en ovansida av A

InfA = n om 1) n är infimum av A

2) n’: n’>n => n’ är inte ett infimum av A

Definition: SupA=m är ett tal så att: 1)  aA am

2) >0 a  A, så att en  a-

InfA = n kallas ett tal så att:

2) >0 a  A, så att en E a+

Sats: Varje icke-tom uppsättning АR avgränsad från ovan har en bästa övre gräns, och en unik.

Bevis:

Vi konstruerar ett tal m på den reella linjen och bevisar att detta är den minsta övre gränsen för A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - ovansidan av A

Segment [[m],[m]+1] - delas upp i 10 delar

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m till =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - ovansida A

Låt oss bevisa att m=[m],m 1 ...m K är den minsta övre gränsen och att den är unik:

till: .

Ris. 11. Graf över funktionen y båge x.

Låt oss nu introducera begreppet en komplex funktion ( visa kompositioner). Låt tre uppsättningar D, E, M ges och låt f: D→E, g: E→M. Uppenbarligen är det möjligt att konstruera en ny mappning h: D→M, kallad en sammansättning av mappningar f och g eller en komplex funktion (fig. 12).

En komplex funktion betecknas enligt följande: z =h(x)=g(f(x)) eller h = f o g.

Ris. 12. Illustration för begreppet en komplex funktion.

Funktionen f (x) anropas intern funktion, och funktionen g ( y ) - extern funktion.

1. Intern funktion f (x) = x², extern g (y) sin y. Komplex funktion z= g(f(x))=sin(x²)

2. Nu vice versa. Inre funktion f (x)= sinx, yttre g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Kursen vänder sig till kandidater och magister med inriktning på matematik, ekonomi eller naturvetenskap, samt gymnasielärare i matematik och universitetsprofessorer. Det kommer också att vara användbart för elever som är djupt involverade i matematik.

Kursens upplägg är traditionellt. Kursen omfattar det klassiska materialet om matematisk analys, som studeras under första året på universitetet under första terminen. Avsnitten "Element i teorin om mängder och reella tal", "Teori om numeriska sekvenser", "Begränsning och kontinuitet för en funktion", "Differentieringsbarhet för en funktion", "Tillämpningar av differentiabilitet" kommer att presenteras. Vi kommer att bekanta oss med begreppet en mängd, ge en rigorös definition av ett reellt tal och studera egenskaperna hos reella tal. Sedan ska vi prata om talföljder och deras egenskaper. Detta kommer att tillåta oss att överväga konceptet med en numerisk funktion, som är välkänd för skolbarn, på en ny, mer rigorös nivå. Vi introducerar begreppet gräns och kontinuitet för en funktion, diskuterar egenskaperna hos kontinuerliga funktioner och deras tillämpning för att lösa problem.

I kursens andra del kommer vi att definiera derivatan och differentierbarheten av en funktion av en variabel samt studera egenskaperna hos differentierbara funktioner. Detta gör att du kan lära dig hur du löser sådana viktiga tillämpade problem som den ungefärliga beräkningen av värdena för en funktion och lösningen av ekvationer, beräkningen av gränser, studien av egenskaperna hos en funktion och konstruktionen av dess graf .

Formatera

Utbildningsformen är deltid (distans).
Veckoklasser kommer att innefatta att titta på tematiska videoföreläsningar och slutföra testuppgifter med automatisk verifiering av resultat.
En viktig del av studiet av disciplinen är den oberoende lösningen av beräkningsproblem och bevisproblem. Lösningen måste innehålla rigorösa och logiskt korrekta resonemang som leder till det korrekta svaret (vid ett beräkningsproblem) eller helt bevisar det nödvändiga påståendet (för teoretiska problem).

Krav

Kursen är avsedd för kandidater med 1 års studier. Kräver kunskaper i elementär matematik i volymen gymnasieskola (11 klasser).

Kursprogram

Föreläsning 1 Element i mängdlära.
Föreläsning 2 Begreppet ett reellt tal. Exakta ytor av numeriska uppsättningar.
Föreläsning 3 Aritmetiska operationer på reella tal. Egenskaper för reella tal.
Föreläsning 4 Numeriska sekvenser och deras egenskaper.
Föreläsning 5 monotona sekvenser. Cauchy-kriterium för sekvenskonvergens.
Föreläsning 6 Begreppet en funktion av en variabel. Funktionsgräns. Oändligt små och oändligt stora funktioner.
Föreläsning 7 Funktionskontinuitet. Brytpunktsklassificering. Lokala och globala egenskaper hos kontinuerliga funktioner.
Föreläsning 8 Monotone funktioner. Omvänd funktion.
Föreläsning 9 De enklaste elementära funktionerna och deras egenskaper: exponential-, logaritm- och potensfunktioner.
Föreläsning 10 Trigonometriska och omvända trigonometriska funktioner. Anmärkningsvärda gränser. Enhetlig kontinuitet för en funktion.
Föreläsning 11 Begreppet derivata och differential. Den geometriska betydelsen av derivatan. Differentieringsregler.
Föreläsning 12 Derivater av grundläggande elementära funktioner. Funktionsdifferential.
Föreläsning 13 Derivat och differentialer av högre ordning. Leibniz formel. Derivator av parametriskt givna funktioner.
Föreläsning 14 Grundläggande egenskaper för differentierbara funktioner. Rolle och Lagranges satser.
Föreläsning 15 Cauchys sats. L'Hospitals första regel för avslöjande av osäkerheter.
Föreläsning 16 L'Hopitals andra regel om avslöjande av osäkerheter. Taylor-formel med restterm i Peano-form.
Föreläsning 17 Taylors formel med en restterm i allmän form, i form av Lagrange och Cauchy. Maclaurins expansion av grundläggande elementära funktioner. Tillämpningar av Taylor-formeln.
Föreläsning 18 Tillräckliga förutsättningar för ett extremum. Asymptoter i grafen för en funktion. Konvex.
Föreläsning 19 Böjningspunkter. Det allmänna schemat för studien av funktionen. Exempel på plottning.

Lärandemål

Som ett resultat av att behärska kursen kommer studenten att få en uppfattning om de grundläggande begreppen för matematisk analys: mängd, tal, sekvens och funktion, bekanta sig med deras egenskaper och lära sig hur man tillämpar dessa egenskaper för att lösa problem.

Kursen är en studiovideoinspelning av första halvan av första terminens föreläsningar om matematisk analys i den form de läses vid Akademiska universitetet. Under 4 moduler kommer studenterna att bekanta sig med de grundläggande begreppen för matematisk analys: sekvenser, gränser och kontinuitet. Vi begränsar oss till reella tal och funktioner för en variabel. Presentationen kommer att genomföras på en ganska elementär nivå utan eventuella generaliseringar som inte förändrar bevisens huvudtankar, utan märkbart försvårar uppfattningen. Alla påståenden (förutom några tråkiga formella motiveringar i början av kursen och i definitionen av elementära funktioner) kommer att bevisas noggrant. Videoinspelningar åtföljs av ett stort antal uppgifter för eleverna att arbeta självständigt.

Vem är den här kursen för

Studenter i tekniska specialiteter

Eleverna behöver ha goda kunskaper i skolans läroplan i matematik. Det är nämligen nödvändigt att veta hur graferna för de grundläggande elementära funktionerna ser ut, att känna till de grundläggande formlerna för trigonometriska, exponentiella och logaritmiska funktioner, för aritmetiska och geometriska progressioner, och även att med säkerhet kunna göra algebraiska transformationer med likheter och ojämlikheter. För flera problem behöver man också känna till de enklaste egenskaperna hos rationella och irrationella tal.